Автоматика и телемеханика, № 1, 2022
Нелинейные системы
© 2022 г. И.Н. БАРАБАНОВ, канд. физ.-мат. наук (ivbar@ipu.ru),
В.Н. ТХАЙ, д-р физ.-мат. наук (tkhai@ipu.ru)
(Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)
СТАБИЛИЗАЦИЯ ЦИКЛА В СВЯЗАННОЙ
МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ1
Исследуются механические системы, каждая из которых в отсутствие
связи допускает семейство периодических движений. Доказывается, что
необходимым условием существования цикла в связанной системе явля-
ется невырожденность периодических движений в подсистемах; исключе-
ние быть может в одной подсистеме. Находятся структура и конкретный
вид связующего управления, решаются задачи существования, устойчи-
вости и естественной стабилизации колебания. Показывается, что в цикле
происходит синхронизация колебаний механических систем по частоте и
фазе. В статье развивается идея стабилизации колебания связанной си-
стемы путем выбора подходящей связи-управления между подсистемами.
Ключевые слова: механическая система, связующее управление, колеба-
ние, цикл, стабилизация.
DOI: 10.31857/S0005231022010044
1. Введение
Для решения задачи стабилизации колебания модели, содержащей связан-
ные подсистемы (МССП), в [1] предлагается выбирать связи, обеспечиваю-
щие одновременно существование, устойчивость и саму стабилизацию. Тогда
связь действует как управление, а задача стабилизации колебания решается
естественным образом, т.е. без привлечения иных управлений.
В рамках механической системы, подверженной действию позиционных
сил, периодическое движение (одночастотное колебание) не может быть
асимптотически устойчивым. Поэтому для стабилизации необходимо привле-
кать управление, нарушающее симметрию фазового портрета системы. Та-
ким управлением для равновесия служит диссипация Релея. В уравнении
Ван дер Поля используется нелинейная диссипация, которая линейна по ско-
рости и приложена в текущей точке траектории. Здесь действие на линейный
осциллятор управления с малым коэффициентом ε регулятора приводит к
орбитально асимптотически устойчивому циклу. Физически управление реа-
лизуется посредством анодного тока в триоде, который не зависит явно от
времени. Поэтому замкнутая система остается автономной и допускает цикл.
1 Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фунда-
ментальных исследований (проект № 19-01-00146).
67
В уравнении Ван дер Поля в терминах МССП связь замыкает систему на
себя: конструируется управлямаемая система с обратной связью. Такой под-
ход к управляемой механичекой системе оказался продуктивным для произ-
вольной механической системы [2, 3]. Возникает вопрос о перенесении подхода
Ван дер Поля на связанную систему.
Связанные системы исследуются в различных областях знаний. Классиче-
ским примером в механике является симпатический маятник Зоммерфельда.
Синхронизация находит примение в механических и электрических устрой-
ствах. Некоторые примеры, показыващие разнообразие постановок задач и
исследуемых динамических свойств в связанных системах, даются в [4-14].
В этой статье приоритетными являются вопросы агрегирования консерва-
тивных систем в связанную систему с притягивающим циклом и управление
посредством связей в сложной системе. Способы агрегирования сложной си-
стемы методом Ляпунова приводятся в [15].
Идея [1] о связях-управлениях развивается в статье для слабо связан-
ных механических систем с одной степенью свободы. Предполагается, что
в каждой из них в отсутствие связи существует семейство периодических
движений. Устанавливается, что необходимым условием существования цик-
ла в связанной системе является невырожденность семейства в подсистемах;
исключение может быть в одной подсистеме. Находятся структура и конкрет-
ный вид связующего управления, решаются задачи существования, устойчи-
вости и естественной стабилизации колебания связанной системы. Показыва-
ется, что в цикле происходит синхронизация колебаний механических систем
по частоте и фазе.
2. Связанные механические системы
Рассматриваются слабо связанные механические системы
(1)
xs + fs(xs) = εus(x, x), s = 1,... ,n, x = (x1,... ,xn
),
где параметр ε можно интерпретировать как коэффициент усиления регу-
лятора. При ε > 0 получается связанная система, в которой наличие мало-
го ненулевого параметра ε может приводить к качественным изменениям в
поведении механических систем. Функции εus(x, x) действуют как связи-
управления. Они замыкают систему на себя: связанная система (1) стано-
вится замкнутой системой.
В случае ε = 0 система (1) распадается на независимые консервативные
системы с интегралами энергии
∫
x2s
Es ≡
+ f(xs)dxs = hs (const), s = 1,...,n.
2
Фазовый портрет каждой системы симметричен относительно оси абсцисс;
колебания пересекают эту ось в двух различных точках и представляют собой
симметричные периодические движения (СПД).
68
Предполагается, что каждая из систем допускает семейство СПД; решения
содержат два параметра hs и γs и обозначаются как
xs = ϕs(hs,t + γs), s = 1,... ,n.
Нулевому значению сдвига γs начальной точки по времени отвечает в каждой
системе четная функция xs = ϕs(hs, t).
Семейство СПД бывает двух типов в зависимости от того, как ведет себя
период с изменением энергии. Так, колебания линейного осциллятора име-
ют один и тот же период. В другом примере период колебаний математиче-
ского маятника монотонно зависит от начального отклонения маятника от
вертикали. Чтобы различать эти типы семейств СПД, будем пользоваться
следующим определением для системы с одной степенью свободы.
Определение 1. Семейство СПД по параметру h называется невы-
рожденным, если на нем производная от периода T(h) по постоянной энер-
гии h отлична от нуля. СПД невырожденного семейства называется невы-
рожденным.
Вырожденное семейство СПД описывается формулой
xs = As cos ωs(t + γs),
где As амплитуда колебания, ωs частота.
Для связанной автономной системы сдвиг будет единым для всех подси-
стем. Без ограничения общности полагается, что траектории в подсистемах
пересекают оси абцисс в момент времени t = 0. Тогда γs = γ, s = 1, . . . , n.
Рассмотрим систему (1) при малых ε = 0 и запишем условие существо-
вания T∗-периодического решения в первом по ε приближении. Получится
амплитудное, или бифуркационное, уравнение
∑
(2)
I≡
us(ϕ1(h1,t),... ,ϕn(hn,t),ϕ˙1(h1,t),... ,ϕ˙n(hn,t))ψs
dt = 0,
s=1
0
где ψs решение сопряженной линейной системы; для консервативной си-
стемы с одной степенью свободы ψs = xs [1].
Выполнение условия (2) приводит к продолжению в первом по ε приближе-
нии T∗-периодического решения, которым обладала система при ε = 0. Най-
дем необходимые условия выполнения равенства (2) по частотам в случае
двух систем. Для линейных осцилляторов выполнение (2) возможно только
тогда, когда их частоты равны: ω1 = ω2 = 2π/T∗. Для механических систем с
невырожденными семействами СПД необходимым условием будут равенства
T∗ = Ts(hs(h∗)), s = 1,2, где в каждой подсистеме Ts = Ts(hs) зависимость
периода от параметра. Наконец, для механических систем с различными ти-
пами семейств СПД получается: ω1 = 2π/T∗ для вырожденного семейства,
T∗ = T2(h∗2) для невырожденного семейства.
69
При действии автономного управления решение в (1) может быть изолиро-
ванным периодическим решением автономной системы, т.е. циклом. Доста-
точное условие существования цикла в слабо связанной системе (1) дается
неравенством (см. [1])
dI(h∗)
(3)
= 0,
dh
гарантирующим простоту корня амплитудного уравнения.
Пусть необходимые условия по частотам для амплитудного уравнения (2)
выполнены. Найдем условия для выполнения неравенства (3) в случае двух
механических систем в (1). Если системы содержат вырожденные семейства
СПД, то уравнение (2) содержит два независимых друг от друга неизвест-
ных A1 и A2, поэтому простой корень в (2) невозможен и (3) не выполняется.
В случае двух невырожденных семейств уравнение (2) составляется относи-
тельно одной неизвестной h и уравнение I(h) = 0 может допускать простой
корень. Наконец, когда рассматриваются семейства различных типов, урав-
нение (2) содержит одну неизвестную A1: простой корень уравнения (2) воз-
можен.
Эти рассуждения распространяются на случай произвольного числа ме-
ханических систем с учетом того, что вырожденное семейство допускается
только в одной системе.
Лемма 1. Цикл в слабо связанной системе (1) существует только в
случае, когда все механические системы, за исключением, быть может, од-
ной системы с вырожденным семейством СПД, содержат невырожденные
семейства СПД.
Пусть ε = 0 и каждая система в (1) допускает невырожденное семейство
СПД. Тогда справедлива следующая лемма 2.
Лемма 2. Если при ε = 0 в системе (1) содержатся только невырож-
денные семейства СПД и (1) допускает периодическое движение, то:
1) движение принадлежит к семейству СПД ;
2) периоды СПД во всех механических системах в (1) возрастают (убы-
вают).
Доказательство. При ε = 0 в (1) получается обратимая механическая
система с фазовым портретом, симметричным относительно неподвижного
множества M = {x, x : x = 0}. Поэтому каждое невырожденное СПД систе-
мы принадлежит семейству (см., например, [16]). Это семейство для системы
с n степенями свободы содержит в качестве составляющих семейства систем
с одной степенью свободы, которые, следовательно, имеют одновременно воз-
растающие (убывающие) периоды на семействах СПД. Лемма 2 доказана.
Семейство СПД системы (1) при ε = 0 обозначается через Σ. СПД содер-
жат два скалярных параметра h и γ и описываются векторной функцией
ϕ(h, t + γ), ϕ = (ϕ1, . . . , ϕn).
70
3. Поиск управления
При доказательстве леммы 2 указывалось, что при ε = 0 системы с одной
степенью свободы в (1) объединяются в обратимую механическую систему с
n степенями свободы, содержащую семейство Σ невырожденных СПД. В слу-
чае, когда управления us(x, x) удовлетворяют условиям
(4)
us(x, x) = us
(x, - x),
система (1) сохраняет свою принадлежность к классу обратимых механиче-
ских систем при ε > 0 и согласно [16] по-прежнему обладает невырожденным
семейством СПД.
Таким образом, справедлива лемма 3.
Лемма 3. Если управления в (1) удовлетворяют условиям (4), то си-
стема (1) допускает невырожденное семейство СПД, наследующее моно-
тонную зависимость периода СПД в подсистемах.
Условия (4) гарантируют симметрию фазового портрета связанной систе-
мы (1). Поэтому при конструировании цикла в управляемой системе необхо-
димо нарушать данную симметрию. Пример необходимого для этого управ-
ления находится в правой части уравнения Ван дер Поля
x + x = ε(1 - x2)x.
Это управление вполне удовлетворяет условиям (2), (3). При этом отри-
цательность производной (3) гарантирует существование притягивающего
цикла.
Изохронность семейства СПД осциллятора не стала препятствием для
обобщения результата Ван дер Поля на семейство невырожденных колеба-
ний. Результат по существованию орбитально асимптотически устойчивого
цикла переносится в [1] на общий случай консервативной системы с одной
степенью свободы. При этом для одного уравнения стабилизируется колеба-
ние управляемой системы, близкой к неуправляемой системе. Тогда для рас-
сматриваемых здесь n механических систем ставится задача стабилизации
колебания всей связанной системы: при отсутствии связи нет самой связан-
ной системы.
Выбор управления основывается на следующих наблюдениях. Для связан-
ной системы управляющие связи должны быть такими, чтобы в случае одной
подсистемы переходили в управление, найденное в [1]. В уравнении Ван дер
Поля управление представляется диссипацией, действующей в текущей точ-
ке цикла. В связанной системе текущая точка единая для всех подсистем.
Наконец, требуется выполнение амплитудного уравнения.
В результате находятся управления
(
)
∑
(5)
us =
1 - K∥x∥2
xs,
∥x∥2 =
x2s,
s=1
71
где положительное число K гарантирует выполнение амплитудного уравне-
ния. В связанной системе реализуется колебание, рождающееся из колеба-
ния системы (1) при ε = 0, т.е. порождающего решения. Поэтому K(h) будет
функцией параметра h, отвечающего порождающему решению.
Функция K(h) выбирается так, чтобы амплитудное уравнение
T∫(h∗)
(
)
1 - K(h∗)∥ϕ(h,t)∥2
∥ ϕ(h,t)∥2dt = 0
0
имело бы корнем число h = h∗. В результате для T∗-периодического движе-
ния, T∗ = T (h∗), находится число K(h∗), которое вычисляется как отношение
интегралов в правой части равенства при h = h∗. Теперь, рассматривая h∗ как
переменную, получим, что
∫
∥ ϕ(h,t)∥2dt
0
K(h) =
∫
∥ϕ(h, t)∥2∥ϕ˙(h, t)∥2dt
0
Функция K(h) становится характеристикой семейства СПД связанной си-
стемы, гарантирующей выполнение амплитудного уравнения при всех h∗. По-
этому для СПД с коэффициентом K(h∗) амплитудное уравнение имеет ко-
рень h = h∗.
Применение управлений вида (5) обосновывается в [2, 3].
4. Цикл связанной системы
Для найденного связующего управления (5) амплитудное уравнение (2)
принимает вид
∫T∗
(
)
(6)
I(h) ≡
1 - K(h∗)∥ϕ(h,t)∥2
∥ ϕ(h,t)∥2
dt = 0.
0
Вычислим
dI(h∗)
= χν,
dh
∗
(7)
∫
T
dK(h∗)
χ=
,
ν =
∥ϕ(h∗, t)∥2∥ϕ˙(h∗, t)∥2dt > 0.
dh
0
Определение 2. Точка, в которой χ = 0, назовается критической
точкой семейства СПД по характеристике K(h).
72
С использованием определения 2 формулируется достаточное условие су-
ществования цикла связанной системы.
Теорема 1. Пусть каждая консервативная система с одной степенью
свободы допускает семейство невырожденных СПД, принадлежащее семей-
ству Σ по параметру h несвязанной системы. Тогда при выборе связующих
управлений (5) связанная система в каждой точке, не являющейся крити-
ческой по характеристике K(h), допускает единственный цикл.
Замечание 1. Согласно лемме 2 существование семейства Σ гарантиру-
ется существованием хотя бы одного СПД системы (1) при ε = 0.
Замечание 2. В цикле происходит синхронизация колебаний механиче-
ских систем по частоте и фазе.
Замечание 3. В случае отдельной системы теорема 1 доставляет усло-
вия существования предельного цикла Понтрягина [17].
Теперь обратимся к задаче стабилизации цикла. Система (1), (5) записы-
вается в виде
∑
(8)
xs + fs(xs) = εΨ xs, Ψ ≡ 1 - K(h∗) x2j
,
s = 1,...,n.
j=1
При этом для s-й системы справедливо дифференциальное равенство
dEs
(9)
= εΨ ˙x2s
,
s = 1,...,n.
dt
Следствием равенств (9) будет закон изменения полной механической энергии
∑n
E=
Es системы из n консервативных систем с одной степенью свободы
s=1
∑
dE
(10)
= εΨ
x2s.
dt
s=1
Из (10) при h = h∗ получается амплитудное уравнение:
∫T∗
(11)
I(h) ≡
E(h, t)dt = 0.
0
Отсюда с использованием (9) вычисляется приращение ΔE энергии E на
отрезке [0, T∗]:
(12)
ΔE = εχν(h - h∗
) + o(ε).
Формула (12) справедлива при малых приращениях Δh = h - h∗. Из нее сле-
дует, что при χ < 0 на каждом временном отрезке длиной T∗ знак прира-
щения энергии противоположен знаку приращения Δh. Значит, траектория
системы (8) асимптотически приближается к поверхности уровня энергии
73
h = h∗, отвечающей циклу. При этом происходит бифуркация одной жорда-
новой клетки с нулевым характеристическим показателем (ХП). В результате
цикл имеет один нулевой ХП, связанный с произвольностью сдвига γ в ре-
шении автономной системы, другой ХП вычисляется по формуле (см. [1])
λh =εdI(h∗)
+ o(ε).
T (h∗) dh
Законы изменения энергии (9) аналогичны закону (10) изменения энергии
всей системы. Поэтому сравнением равенств (9) и (10) находятся соотношения
∑
(13)
x2sdE =
x2jdEs
,
s = 1,...,n,
j=1
справедливые в точках, где Ψ = 0. На цикле функция Ψ(t) будет T∗-периоди-
ческой и Ψ(t) = 0 в конечном числе точек (двух для СПД, четырех для
двоякосимметричного периодического движения). Такая же ситуация будет
для траекторий в окрестности цикла.
Обратимся к точкам окрестности цикла. Из равенств (13) следует, что
изменение энергии Es каждой подсистемы в (8) происходит подобно изме-
нению энергии всей системы. В частности, для приращения ΔEs на отрезке
[0, T (h∗)] справедлив закон, аналогичный закону (12). Поэтому в случае χ < 0
траектория системы (8) по каждой паре переменных (xs, xs), будучи в момент
t = 0 в окрестности цикла, при t = T∗ по-прежнему будет находиться в этой
окрестности, приближаясь за время T∗ к поверхности h = h∗. Одновременное
во всех парах (xs, xs) приближение означает приближение к циклу. Следова-
тельно, применением отображения G : 0 → T∗ фазового пространства (x, x)
на себя в случае χ < 0 устанавливается орбитальная асимптотическая устой-
чивость цикла.
Таким образом, справедлива следующая теорема 2.
Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 и цикл связанной си-
стемы существует. Тогда при выполнении неравенства χ < 0 цикл орби-
тально асимптотически устойчив.
Замечание 4. При действии связующих управлений (5) осуществляется
естественная стабилизация цикла связанной механической системы.
5. Пример
Рассматриваются два идентичных друг другу слабо связанных математи-
ческих маятника. Для одного маятника
ϕ + sinϕ = 0 зависимость K(h) при-
водится в [18]: функция K(h) монотонно стремится к нулю. В случае двух ма-
ятников, когда частоты колебаний несвязанных маятников равны друг дру-
гу, характеристикой семейства будет согласно определению функция K(h),
деленная на два. Тогда в связанной системе с управлениями (5) согласно тео-
реме 2 реализуется асимптотически орбитально устойчивый цикл, близкий к
колебаниям маятников как одного целого.
74
6. Заключение
Связанные системы интенсивно исследуются в различных областях зна-
ний. Цикл в слабо связанной механической системе возможен, если состав-
ляющие его подсистемы обладают невырожденными семействами СПД за
исключением, быть может, одной системы с вырожденным семейством СПД.
Для решения задачи естественной стабилизации цикла системы подходят свя-
зующие управления типа диссипации Ван дер Поля, действующей в каждой
текущей точке траектории. В режиме цикла происходит синхронизация ко-
лебаний механических систем по частоте и фазе.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
Тхай В.Н. Стабилизация колебаний автономной системы // АиТ. 2016. № 6.
С. 38-46.
Tkhai V.N. Stabilizing the Oscillations of an Autonomous System // Autom. Remote
Control. 2016. V. 77. No. 6. P. 972-979.
2.
Тхай В.Н. Стабилизация колебания управляемой механической системы // АиТ.
2019. № 11. С. 83-92.
Tkhai V.N. Stabilizing the Oscillations of a Controlled Mechanical System // Autom.
Remote Control. 2019. V. 80. No. 11. P. 1996-2004.
3.
Тхай В.Н. Стабилизация колебания управляемой механической системы с N сте-
пенями свободы // АиТ. 2020. № 9. С. 93-104.
Tkhai V.N. Stabilizing the Oscillations of an N Degree of Freedom Controlled Me-
chanical System // Autom. Remote Control. 2020. V. 81. No. 9. P. 1637-1646.
4.
Морозов Н.Ф., Товстик П.Е. Поперечные колебания стрежня, вызванные крат-
ковременным продольным ударом // ДАН. 2013. Т. 452. № 1. С. 37-41.
Morozov N.F., Tovstik, P.E. Transverse Rod Vibrations Under a Short-Term Longi-
tudinal Impact // Doklady Physics. 2013. V. 58. No. 9. P. 387-391.
5.
Kovaleva A., Manevitch L.I. Autoresonance Versus Localization in Weakly Coupled
Oscillators // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2016. V. 320 (15 Apr. 2016). P. 1-8.
6.
Кузнецов А.П., Сатаев И.Р., Тюрюкина Л.В. Вынужденная синхронизация
двух связанных автоколебательных осцилляторов Ван дер Поля // Нелинейная
динамика. 2011. Т. 7. № 3. С. 411-425.
7.
Rompala K., Rand R., Howland H. Dynamics of Three Coupled Van der Pol Oscilla-
tors with Application to Circadian Rhythms // Communicat. Nonlin. Sci. Numerical
Simulation. 2007. V. 12. No. 5. P. 794-803.
8.
Yakushevich L.V., Gapa S., Awrejcewicz J. Mechanical Analog of the DNA Base Pair
Oscillations // 10th Conf. on Dynamical Systems Theory and Applications. Lodz:
Left Grupa. 2009. P. 879-886.
9.
Кондрашов Р.Е., Морозов А.Д. К исследованию резонансов в системе двух урав-
нений Дюффинга-Ван дер Поля // Нелинейная динамика. 2010. Т. 6. № 2.
С. 241-254.
10.
Lazarus L., Rand R.H. Dynamics of a System of Two Coupled Oscillators which
Are Driven by a Third Oscillator // J. Appl. Nonlin. Dynam. 2014. V. 3. No. 3.
P. 271-282.
11.
Kawamura Y. Collective Phase Dynamics of Globally Coupled Oscillators: Noise-
induced Anti-phase Synchronization // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2014.
V. 270 (1 Jun. 2014). P. 20-29.
75
12.
Bolotnik N.N., Figurina T.Yu. Control of a System of Two Interacting Bodies on a
Rough Inclined Plane // Proc. 2020 15th Int. Conf. on Stability and Oscillations
of Nonlinear Control Systems (Pyatnitskiy’s Conference) (STAB). IEEE Xplore:
13.
Galyaev A., Lysenko P. About Synchronization Problem of Group of Weakly Cou-
pled Identical Oscillators // Proc. 2020 15th Int. Conf. on Stability and Oscillations
of Nonlinear Control Systems (Pyatnitskiy’s Conference) (STAB). IEEE Xplore:
14.
Tkacheva O., Vinogradova M., Utkin A. The Comparison of Approaches to Estimat-
ing Speed From Position Measurements in van der Pol-Duffing System // Proc. 2020
15th Int. Conf. on Stability and Oscillations of Nonlinear Control Systems (Pyatnit-
skiy’s Conference) (STAB).
15.
Александров А.Ю., Платонов А.В. Метод сравнения и устойчивость движений
нелинейных систем. СПб.: Изд-во СПбГУ. 2012.
16.
Тхай В.Н. О грубых по периодическому движению моделях // АиТ. 2009. № 9.
С. 162-167.
Tkhai V.N. On models structurally stable in periodic motion // Autom. Remote
Control. 2009. V. 70. No. 9. P. 1584-1589.
17.
Понтрягин Л.С. О динамических системах, близких к гамильтоновым // Журн.
эксперим. и теорет. физики. 1934. Т. 4. Вып. 9. С. 883-885.
18.
Tkhai V.N. Dissipation in the Vicinity of a Oscillation of the Mechanical System //
AIP Conf. Proc. 2018. V. 1959. No. 030022. P. 030022-1-030022-5.
Статья представлена к публикации членом редколлегии А.М. Красносельским.
Поступила в редакцию 02.11.2020
После доработки 03.08.2021
Принята к публикации 29.08.2021
76
