Автоматика и телемеханика, № 11, 2022

Обзоры

(Воронежский государственный университет;

Федеральный исследовательский центр “Информатика и управление”

Российской академии наук, Москва),

М.А. КАЛАШНИКОВА, канд. физ.-мат. наук

(margarita.kalashnikova@mail.ru)

(Атос АйТи Солюшенс энд Сервисез, Воронеж)

СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫЕ ЗАДАЧИ

С РАЗНОТЕМПОВЫМИ БЫСТРЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ¹

Посвящается светлой памяти

А.Б. Васильевой (1926-2018), В.Ф. Бутузова (1939-2021),

А.М. Ильина (1932-2013)

Статья содержит обзор публикаций, в которых исследуются задачи,

характеризующиеся наличием быстрых переменных с различными ско-

ростями изменения. Рассматривается предельный переход решения воз-

мущенной задачи к решению вырожденной, асимптотические решения

начальных и краевых задач, устойчивость и управляемость, асимптоти-

ческие решения задач оптимального управления, задачи со “скрытыми”

разнотемповыми быстрыми переменными. Кроме этого, представлены за-

дачи с ограничением на управление, игровые задачи и стохастические си-

стемы. В последнем разделе статьи приводятся практические задачи с

многотемповыми быстрыми движениями.

Ключевые слова: сингулярные возмущения, разнотемповые быстрые пе-

ременные, асимптотические разложения, задачи управления.

DOI: 10.31857/S0005231022110010, EDN: KDWMLX

1. Введение

Параметры, входящие в систему, могут влиять на ее динамику различным

образом. Если при малых значениях параметров это влияние существенно,

то такие системы получили название сингулярно возмущенных. В противном

случае они называются регулярно возмущенными. Если в системе присут-

ствуют переменные с различными порядками скоростей изменения, то систе-

мы называют разнотемповыми или многотемповыми.

¹ Работа первого автора поддержана Российским научным фондом (проект № 21-11-

00202).

Необходимость использования асимптотических методов теории сингуляр-

ных возмущений для изучения практических задач возникает как при иссле-

довании задач, имеющих разнотемповые движения, так и при исследовании

задач, в процессе изучения которых возникают уравнения с разнотемповыми

переменными, например, задач с “дешевыми” управлениями. Наиболее попу-

лярными при этом являются методы пограничных функций [1] и интеграль-

ных многообразий [2], которые приводят к понижению размерности исходной

разнотемповой системы и ее сведению к задачам более простой структуры.

При решении сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений

стандартными численными методами исследователь сталкивается со значи-

тельными трудностями, связанными с увеличением времени счета и, как след-

ствие, с накоплением вычислительных ошибок. Для решения таких уравне-

ний разрабатываются специальные численные методы (см., например, [3]),

учитывающие асимптотическую структуру решения. При использовании ите-

рационных методов асимптотический анализ решения помогает найти на-

чальное приближение, обеспечивающее быструю сходимость метода [4]. При

построении асимптотики решения используются численные методы для ре-

шения задач, из которых находятся члены разложения. Таким образом, чис-

ленные и асимптотические методы решения сингулярно возмущенных задач

взаимно дополняют друг друга.

Подавляющее большинство работ в теории сингулярных возмущений,

включая задачи управления, имеет дело с задачами, характеризующимися

наличием переменных со скоростями изменения двух порядков (медленных

и быстрых). Такие работы указаны, например, в [5-11]. Но математические

модели многих практических задач содержат разнотемповые быстрые пере-

менные. В конце этой статьи приведены соответствующие примеры.

Если в системе дифференциальных уравнений с малыми параметрами при

производных, обеспечивающих разнотемповый характер переменных, поло-

жить эти параметры равными нулю, то получим не разрешенную относитель-

но производных систему, которая называется вырожденной (неявной, син-

гулярной, дескрипторной) системой или дифференциально-алгебраическим

(алгебро-дифференциальным) уравнением. Изучению таких систем посвяще-

на обширная литература (например, монографии [12-16]). Обзор публика-

ций, касающихся сингулярных возмущений задач управления с уравнением

состояния, не разрешенным относительно производной, приведен в [17].

Дискретизация систем со многими параметрами при производных рас-

сматривается в [18].

Иногда малые параметры вводятся в задачу искусcтвенным образом. На-

пример, при регуляризации вырожденных задач оптимального управления,

а именно, если в линейно-квадратичной задаче в критерии качества отсут-

ствует управление, то прибавляют к подынтегральной функции квадратич-

ные формы от компонент управления с малыми параметрами перед ними.

В результате получают задачу с “дешевыми” управлениями. В [19] для реше-

ния систем нелинейных уравнений с плохо обусловленной матрицей Якоби

предложен метод дифференцирования по параметру, использующий систе-

му обыкновенных дифференциальных уравнений с малыми множителями

при производных. Дополнительные быстрые переменные рассматриваются

в [20, 21] при изучении стабилизации.

Выделение групп разнотемповых переменных при моделировании обсуж-

дается в [22].

Данная статья представляет собой обзор публикаций, связанных с асимп-

тотическими методами исследования задач, в постановке или в процессе ре-

шения которых присутствуют несколько быстрых переменных со скоростями

изменения различных порядков. Отметим, что в п. 8.1 из [23] имеется крат-

кий обзор публикаций 1976-1983 гг. на эту тему. Поводом к написанию этого

обзора послужило знакомство авторов с обзорной статьей [24], посвященной

детерминированным и стохастическим сингулярно возмущенным системам с

несколькими малыми параметрами, в которой, к сожалению, не упомянуты

первые основополагающие работы на эту тему.

Во втором разделе настоящей статьи обсуждаются работы, касающиеся

предельного перехода при стремлении малых параметров к нулю решения ис-

ходной задачи c разнотемповыми переменными к решению вырожденной, по-

лучающейся из исходной при нулевых значениях малых параметров. Асимп-

тотические решения начальных и краевых задач рассмотрены в третьем раз-

деле. Следующий раздел имеет дело с проблемами устойчивости и управляе-

мости. Пятый раздел посвящен задачам оптимального управления. Задачи

со “скрытыми” разнотемповыми быстрыми переменными, в том числе зада-

чи управления, в критерии качества которых имеется сумма квадратичных

форм относительно управления с разными степенями малого параметра, т.е.

некоторые компоненты управления являются “дешевыми”, рассматривают-

ся в шестом разделе. Многотемповые задачи с ограничением на управление

в форме замкнутых неравенств приводятся в седьмом разделе. Следующие

два раздела имеют дело соответственно с игровыми задачами и стохасти-

ческими системами. Последний раздел посвящен практическим задачам, в

которых имеются быстрые переменные со скоростями изменения различных

порядков.

Всюду в этой статье уравнения рассматриваются в конечномерном веще-

ственном пространстве; штрих означает транспонирование; I_n единичная

матрица порядка n; ε, ε_j неотрицательные малые параметры; положитель-

но определенная матрица A обозначается через A > 0, а неотрицательно опре-

деленная A ≥ 0. Через diag(A₁, . . . , A_n) обозначается матрица, у которой на

главной диагонали стоят матрицы A₁, . . . , A_n, а остальные элементы нулевые.

Коэффициент при ε^j в разложении функции w(ε) в ряд по целым неотрица-

тельным степеням ε обозначается как w_j. Если не оговорено противное, все

функции, входящие в постановки задач, предполагаются достаточно гладки-

ми по своим аргументам.

2. Предельный переход

Построение приближенного решения сингулярно возмущенной задачи

обычно начинается с решения вырожденной задачи, которая имеет более низ-

кий порядок по отношению к исходной. В связи с этим возникает необходи-

мость исследования предельного перехода решения исходной возмущенной

задачи к решению вырожденной. Краткий обзор публикаций, касающихся

этой темы, содержится в [25].

Приведем некоторые сведения для систем с разнотемповыми быстрыми

переменными.

Предельный переход при стремлении малых параметров к нулю для ре-

шения задачи вида

= f(x,z₁,...,z_m,t),

(1)

dz_j

ε_j

= F_j(x,z₁,...,z_m,t), j = 1,m,

(2)

x(t₀) = x⁰, z_j (t₀) = z^0j

при t ∈ [t₀, T ] изучался А.Н. Тихоновым и И.С. Градштейном в [26-30]. При

этом предполагалось, что ε_j+1/ε_j → 0. Статьи [26, 28], а также другие работы

А.Н. Тихонова, касающиеся уравнений вида (1), приведены в [30]. Поведение

производных решения по параметрам при стремлении этих параметров к ну-

лю исследовалось в [25].

Заметим, что систему (1) можно привести к виду εdy/dt = F (y, t, ε) пу-

тем умножения уравнений системы на некоторые малые множители. Однако

при этом уничтожатся свойства системы, которые важны в теории сингуляр-

ных возмущений, так как члены, которые оказывают решающее влияние на

асимптотическое решение системы при стремлении малых параметров к ну-

лю, могут стать малыми при умножении их на некоторые малые параметры.

Условия, обеспечивающие стремление решения исходной возмущенной за-

дачи (1), (2) к некоторому решению вырожденной задачи при стремлении

малых параметров к нулю, сформулированы в [26, 28] с помощью присоеди-

ненных систем разных порядков. Приведем здесь определение таких систем.

Под присоединенной системой первого порядка понимается система

dz_m

(3)

= F_m(x,z₁,... ,z_m

,t),

dτ

в которой x, z₁, . . . , z_m-1, t являются параметрами. Предполагая, что систе-

ма F_m(x, z₁, . . . , z_m, t) = 0 имеет единственный изолированный корень z_m =

= ϕ_m(x,z₁,... ,z_m-1,t) и подставляя его в предыдущие уравнения систе-

мы, из уравнения для z_m-1 можно записать присоединенную систему вто-

рого порядка. Аналогичным образом получаем присоединенные системы

j-го порядка для j = 3, m. Областью влияния устойчивого корня z_m при

заданных значениях x⁰, z^0j, j = 1, m - 1, t₀ называется совокупность та-

ких точек {z^0m}, что траектории присоединенной системы (3) при x = x⁰,

z_j = z^0j, j = 1,m - 1, t = t₀ и начальном условии z_m(t₀) = z^0m стремятся к

z_m = ϕ_m(x⁰,z⁰¹,... ,z^0m-1,t₀) при τ → +∞. Подобным способом определяются

области влияния для изолированных устойчивых корней z_j = ϕ_j , j = 1, m - 1

уравнений F_j = 0, при помощи которых определяется вырожденная система.

В [28] (см. также [26, 31]) изучался предельный переход решения задачи

(1), (2) при t ∈ (t₀, T ] к решению вырожденной системы для медленной пере-

менной с начальным значением x⁰ при стремлении к нулю малых параметров

при условии, что корни z_j = ϕ_j являются устойчивыми корнями присоединен-

ных систем j-го порядка, j = 1, m, а начальные значения z^0j входят в область

влияния корня z_j при заданных значениях x⁰, z⁰¹, . . . , z^0j-1, t₀.

Другой подход к исследованию систем дифференциальных уравнений с

малыми множителями при производных, связанный с применением теории

устойчивости А.М. Ляпунова, рассматривался в [27, 29].

Сходимость на полупрямой при стремлении малых параметров к нулю

решения возмущенной задачи (1), (2) к решению вырожденной задачи изу-

чалась в [32] (см. также замечание о трехтемповых системах в [33]).

Предельный переход при ε → 0 к решению вырожденной задачи реше-

ния двухточечной краевой задачи для линейной системы с множителями 1,

εk2,... ,εkp при производных, где k_i

целые числа такие, что 0 < k₂ < . . . <

< k_p, исследовался в [34].

В [35] установлены оценки близости решения нелинейной краевой задачи

с двухтемповыми быстрыми переменными в условно устойчивом случае для

системы вида

= f(x,y,z,t),

ε₁

= g(x,y,z,t),

ε₂

= h(x, y, z, t),

где ε₂/ε₁ → 0, к решению вырожденной задачи. Термин условная устойчи-

вость в данном случае означает, что матрицы h_z и g_y - g_z(h_z)^-1h_y имеют

собственные значения как с отрицательными, так и с положительными дей-

ствительными частями. Чертой сверху здесь обозначено значение функции

на решении вырожденной задачи.

Для частного случая нелинейной управляемой системы с произведения-

ми малых параметров при части производных и измеримыми управлениями

со значениями из компактного множества в [36] приведен алгоритм после-

довательного понижения порядка системы. В итоге получается управляемая

система для медленных переменных состояния.

Существование решения и предельный переход при стремлении к нулю

малого параметра для системы

)

(∂²u

∂u

ε⁶

= f(u,v,t,ε),

∂x²

∂t

)

(∂²v

∂v

ε²

= g(u,v,t,ε), (x,t) ∈ (a,b) × (0,+∞),

∂x²

∂t

∂u

∂v

(a, t, ε) =

(b, t, ε) =

(a, t, ε) =

(b, t, ε) = 0, t ∈ (0, +∞),

∂x

u(x, 0, ε) = u⁰(x), v(x, 0, ε) = v⁰(x), x ∈ [a, b]

изучались в [37].

При некоторых условиях предельный переход решения начальной задачи

для одного класса систем дифференциальных уравнений с частными произ-

водными, содержащих два стремящихся к нулю малых параметра, обеспечи-

вающих три временных масштаба, рассматривался в [38].

Для решения начальной задачи для дифференциального уравнения вто-

рого порядка в банаховом пространстве с малыми параметрами при первой

и второй производных в [39] изучался предельный переход при стремлении

малых параметров к нулю.

3. Решение начальных и краевых задач

3.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Первые работы, посвященные построению асимптотики решения сингу-

лярно возмущенных начальных задач с несколькими малыми параметрами

при производных, принадлежат А.Б. Васильевой (см., например, [40-43]).

Для частного случая таких задач вида

= f(x,y,z,t),

ε₁

= g(x,y,z,t),

(4)

ε₁ε₂

= h(x, y, z, t),

x(t₀) = x⁰, y(t₀) = y⁰, z(t₀) = z⁰, t ∈ [t₀, T ]

асимптотическое разложение решения по степеням εⁱ¹ε^k2, поcтроенное в

[43], содержит пограничные функции от аргументов τ₁ = (t - t₀)/ε₁ и τ₂ =

= (t - t₀)/ε₁ε₂, т.е.

(

)

∑

w = (x^′,y^′,z^′)^′ =

εⁱ¹ε^k

w_ik(t - t₀) +

⁽¹⁾Π_ikw(τ₁) +Πikw(τ2)

i,k=0

Уравнения, определяющие коэффициенты разложения, получаются в резуль-

тате подстановки постулируемого разложения в условие задачи (4) и прирав-

нивания членов с одинаковыми степенями ε₁ и ε₂, отдельно зависящих от t,

τ₁, τ₂.

В случае правых частей и начальных условий в (4), зависящих от малых

параметров, асимптотика решения построена в [44]. Асимптотическое реше-

ние начальной задачи с трехтемповыми переменными рассматривалось также

в [45].

Как указано в [43, 44], используемые в этих статьях алгоритмы могут быть

применены для построения асимптотики решения начальной задачи для син-

гулярно возмущенной системы со многими малыми параметрами при произ-

водных.

В [46] изложено применение метода пограничных функций для асимптоти-

ческого решения различных сингулярно возмущенных задач для систем с раз-

ными степенями малого параметра при производных. Асимптотика периоди-

ческого решения для таких систем с периодической правой частью построена

в [47, стр. 352-381; 48].

Для краевой задачи вида

d²y

(5)

ε₁a(t)

+ ε₂b(t)

+ c(t)y = f(t), t ∈ (0, 1),

dt²

(6)

y(0) = y⁰, y(1) = y¹

при некоторых условиях в [49] построена асимптотика решения в двух слу-

чаях, когда ε₁ → 0, ε^-11ε²² → 0 и ε₁ε^-22 → 0, ε₂ → 0.

В трех случаях зависимого стремления к нулю двух малых параметров

в [50] построена асимптотика решения двухточечной краевой задачи на от-

резке [0, 1] для уравнения вида

ε₁My + ε₂Ny + Ly = 0,

где M, N и L линейные обыкновенные дифференциальные операторы по-

рядков m₂, m₁ и m₀ соответственно, причем m₂ > m₁ > m₀ ≥ 0, а краевые

условия задаются в концах отрезка [0, 1]. Исследование двухпараметрических

сингулярно возмущенных задач, в том числе нелинейных, приведено также

в [51, стр. 66-75, 94-102].

Асимптотическое разложение решений систем уравнений, содержащих ма-

лые параметры при производных, строится в основном, как в цитированных

выше работах, в случае, когда малые параметры при производных стремятся

к нулю зависимым образом. Представляет интерес асимптотическое разло-

жение и в том случае, когда параметры при производных независимо друг

от друга стремятся к нулю.

В [52] представлено асимптотическое разложение решения задачи вида

(5), (6) при независимом стремлении ε₁ и ε₂ к нулю. Для этого сначала стро-

ится асимптотика решения, которая не является равномерно относительно ε₂

близкой к решению возмущенной задачи. Затем при условии b(t) > 0 (либо

b(t) < 0), t ∈ [0, 1], строится равномерная относительно ε₂ асимптотика.

Для решения начальной задачи с двумя независимыми малыми парамет-

рами вида

ε₁

= a(t)x + b(t)y + f(t),

(7)

ε₂

= c(t)x + d(t)y + g(t),

x(0) = x⁰, y(0) = y⁰,

(8)

a(t) < 0, d(t) < 0, b(t)c(t) - a(t)d(t) < 0, b(t)c(t) ≥ 0,

в [53] приведен алгоритм построения асимптотического разложения решения,

включающего пограничные функции, аргумент которых зависит от произве-

дения малых параметров, т.е.

(9)

z(t, ε₁, ε₂) = z(t, ε₁, ε₂) + Πz(τ, ε₁, ε₂), τ =

z = (x,y).

ε₁ε₂

Здесь

∑

z(t, ε₁, ε₂) =

ε^m1εⁿ²z_m,n(t), Πz(τ,ε₁,ε₂) =

ε^m1εⁿ²Π_m,nz(τ,ε₁,ε₂)

m,n=0

пограничные функции в окрестности t = 0.

Обоснование асимптотики (9), равномерной по ε₁, ε₂, приведено в [54]. При

этом доказывается, что

∥Π_m,nz(τ, ε₁, ε₂)∥ ≤

exp (-σρτ), τ ≥ 0, i = min(m, n),

ρⁱ

где ρ = ρ(ε₁, ε₂) = ε₁ε₂/(ε₁ + ε₂), c и σ положительные постоянные, не за-

висящие от ε₁, ε₂, τ.

Асимптотическое решение начальной задачи (7) в случае, когда последнее

неравенство в (8) заменяется на b(t)c(t) < 0, t ∈ [0, T ], построено в [55].

Асимптотика решения начальной задачи для системы двух обыкновенных

нелинейных дифференциальных уравнений с двумя малыми параметрами

при производных, независимо друг от друга стремящихся к нулю, приведена

в [56].

Алгоритм построения асимптотики интегральных многообразий для си-

стем с несколькими малыми параметрами при производных вида

∏ dx_i

(10)

ε_k

= X_i(t,x⁽ⁿ⁾,x_n,ε,ε_n

i = 0,n,

k=0

где ε₀ = 1, x_i ∈ IRmi , x⁽ⁿ⁾ = (x₀, . . . , x_n-1), ε = (ε₁, . . . , ε_n-1), приведен

в [2, стр. 116-127].

В [2, стр. 127-134] для системы (10) также рассматривается расщепление

начальных и краевых задач. Изложенная в [2] схема расщепления наиболее

просто реализуется для систем линейных дифференциальных уравнений с

малыми параметрами при производных. При этом расщепляющее преобразо-

вание является линейным, а результирующая система блочно-диагональ-

ной. Приведение матрицы коэффициентов линейной системы с малыми пара-

метрами при производных к виду, обеспечивающему расщепление на задачи с

меньшим числом переменных, используется также в [47, стр. 339-352; 57-63].

Для решения краевой задачи для системы двух уравнений второго порядка

d²u

ε⁴

= f(u,v,t,ε),

dt²

d²v

ε²

= g(u,v,t,ε), t ∈ (0,1),

dt²

(0) =

(1) = 0,

(0) =

(1) = 0

в [64] строится асимптотика решения с переходным слоем в окрестности неко-

торой внутренней точки t^∗ отрезка [0, 1]. Наряду с функциями от аргумента t

эта асимптотика содержит функции переходного слоя в окрестности точки t^∗

от аргументов (t - t^∗)/ε и (t - t^∗)/ε² и функции пограничных слоев в окрест-

ностях граничных точек t = 0 и t = 1 от аргументов t/ε^j , (1 - t)/ε^j , j = 1, 2.

Краевая задача для системы двух линейных обыкновенных дифференци-

альных уравнений второго порядка с двумя независимыми малыми парамет-

рами при высших производных рассматривается в [65].

Асимптотическое разложение матричной экспоненты exp((A + B/ε +

+ C/ε^r)t), r > 1 построено в [66].

В [67] предложен алгоритм выбора формы асимптотического представле-

ния решений линейных дифференциальных уравнений n-го порядка (n > 1)

с переменными коэффициентами и малым параметром при старшей произ-

водной.

Для системы вида

= ε(µ - f₁y),

= z - x,

= -y + f₂z² + f₃z³,

где s = εt медленное время, в [68] при некоторых условиях изучается фе-

номен возникновения так называемых “уток”. Приводятся асимптотические

формулы.

3.2. Уравнения с частными производными

Для системы двух уравнений с частными производными первого порядка

и малым параметром в различных степенях перед производными

∂u

ε²

+ εb₁(x)

= a₁₁(x,t)u + a₁₂(x,t)v + f₁(x,t,ε),

∂t

∂x

∂v

+ ε²b₂(x)

= a₂₁(x,t)u + a₂₂(x,t)v + f₂(x,t,ε),

∂t

∂x

(x, t) ∈ G = (0, X] × (0, T ],

c краевыми условиями

u|_t=0 = u|_x=0 = v|_t=0 = v|_x=0 = 0

в [69] при некоторых условиях построено непрерывное асимптотическое ре-

шение четвертого порядка, содержащее четыре типа обыкновенных погра-

ничных функций и три типа угловых пограничных функций вида

∑ (

w = (u,v)^′ =

εⁱ w_i(x,t) + Π_iw(x,τ₁) + Ω_iw(x,τ₂) + Q_iw(ξ₁,t) +

i=0

)

+ R_iw(ξ₂,t) + P_iw(ξ₁,τ₁) + S_iw(ξ₁,τ₂) + T_iw(ξ₂,τ₁)

+ O(ε⁵),

где w_i

члены регулярной части асимптотики, Π_iw, Ω_iw пограничные

функции, описывающие погранслой вблизи стороны t = 0 прямоугольника G,

Q_iw, R_iw пограничные функции, описывающие погранслой вблизи стороны

x = 0 прямоугольника G, P_iw, S_iw, T_iw угловые пограничные функции,

τ_j = t/ε^j, ξ_j = x/ε^j, j = 1,2.

Асимптотическое решение краевой задачи для системы трех уравнений с

частными производными первого порядка и разными степенями малого па-

раметра при производных построено в [70].

Для уравнений эллиптического типа

)

(∂²u

∂²u

∂u

ε²

- A(x, y)

- k²(x,y)u = f(x,y,ε),

∂x²

∂y²

∂y

)

(∂²u

∂²u

∂u

ε²¹ε²

- ε₁A(x,y)

- k²(x,y)u = f(x,y,ε₁,ε₂)

∂x²

∂y²

∂y

соответственно в [71, 72] (параметры ε₁ и ε₂ считаются независимыми) при

некоторых условиях построены асимптотические разложения решений крае-

вых задач, содержащие разного типа пограничные функции от аргументов

различных порядков. Для системы двух эллиптических уравнений с различ-

ными степенями малого параметра при производных в [73] доказано суще-

ствование решения с внутренним переходным слоем в окрестности некоторой

замкнутой кривой и построена асимптотика этого решения по малому пара-

метру с произвольной точностью.

Асимптотика сингулярно возмущенных параболических уравнений, содер-

жащая разнотемповые пограничные функции, построена в [74].

3.3. Дискретные уравнения

Асимптотическое решение двухточечной краевой задачи для дискретной

трехтемповой системы вида





x(k + 1)

A11 εA12

A₁₃

 x(k)

B₁

y(k)

+ B2

u(k),k=0,N-1,

 y(k + 1)

= A21 εA₂₂ A₂₃

εz(k + 1)

A₃₁

εA₃₂

A₃₃

z(k)

B₃

x(0) = x⁰ или x(N) = x^N , y(0) = y⁰, z(N) = z^N

при предположении, что матрица A₃₃ невырожденная, представлено в [75,

стр. 120-126; 76, стр. 142-148].

В [77] рассмотрены три типа краевых задач для сингулярно возмущенных

дискретных систем с двумя различными малыми параметрами. Для каждого

из этих трех типов задач построены асимптотические решения, содержащие

регулярные и пограничные функции. Соответствующие результаты для на-

чальных задач получены в [78]. Асимптотика начальных и краевых задач для

дискретных трехтемповых систем обсуждается также в [79, 80].

Метод пограничных функций асимптотического решения начальных и

краевых задач для линейных сингулярно возмущенных дискретных систем

со многими малыми параметрами использовался в [81].

3.4. Численное решение задач с двумя параметрами

Для численного решения сингулярно возмущенных задач с двумя малы-

ми параметрами предложены различные методы. Укажем здесь некоторые

публикации на эту тему.

Статьи [82-84] посвящены численным методам решения задач типа (5), (6).

Для краевых задач этого вида в [85] предлагается метод решения, основан-

ный на сплайнах. Случай разрывной правой части изучался в [86]. Для нели-

нейных уравнений численные методы использовались в [87, 88]. Начально-

краевые задачи для параболического уравнения с двумя малыми параметра-

ми при производных первого и второго порядков по пространственной пере-

менной рассматривались в [89, 90], а начальная задача для уравнений такого

типа в [91]. Сеточная аппроксимация решения задачи Дирихле для сингу-

лярно возмущенного эллиптического уравнения конвекции-диффузии иссле-

довалась в [92]. При этом тип пограничных слоев в окрестностях различных

участков границы области зависит от соотношения между двумя параметра-

ми. Случай неограниченных областей рассматривался в [93]. Статьи [94-96]

имеют дело с запаздывающим аргументом, [97, 98] с негладкими данны-

ми, [99] с уравнением четвертого порядка, а [100] с системой двух урав-

нений второго порядка. Для решения краевой задачи для системы линейных

дифференциальных уравнений второго порядка с малыми множителями при

вторых производных в [101] используется метод конечных элементов.

4. Качественные характеристики систем

Связь теории дифференциальных уравнений с малыми множителями при

производных с устойчивостью, по-видимому, впервые обсуждалась в работах

И.С. Градштейна и А.Н. Тихонова (см., например, [26, 29]).

Один раздел в обзоре [24] посвящен асимптотической устойчивости ли-

нейных и нелинейных систем с малыми параметрами при производных. По-

лученные результаты основаны на асимптотической устойчивости системы

меньшего порядка для медленных переменных и подсистем для быстрых пе-

ременных. Отметим, что ссылок на работы А.Б. Васильевой, И.С. Градштей-

на и А.Н. Тихонова в этом обзоре нет.

В [102] приводятся условия, обеспечивающие асимптотическую устойчи-

вость многотемповой линейной системы с постоянными коэффициентами

∑

= A₀x + A_0jz_j, x(0) = x⁰,

j=1

∑

dz_i

ε_i

= A_i0x + A_ijz_j, z_i(0) = z0i , z_i ∈ IRni, i = 1,N,

j=1

для малых параметров одинакового порядка, т.е. предполагается, что отно-

шения величин ε₁, . . . , ε_N ограничены некоторыми положительными постоян-

ными m_ij, M_ij :

ε_i

(11)

m_ij ≤

≤M_ij.

ε_j

Случай переменных коэффициентов и m_ij = m, M_ij = M изучается в [103].

Как указано в [6], иногда сингулярно возмущенные задачи с малыми па-

раметрами одинакового порядка сводятся к задаче с одним малым парамет-

ром µ посредством замены ε_i = β_iµ. Недостаток такого подхода, состоящий в

том, что коэффициенты β_i часто неизвестны, отмечен в [102, 103].

Система погранслоя в [102] записывается в виде

= D(ε)A_f z,

z(0) = z₀ - z(0),

dτ

где

τ = t/µ, µ = µ(ε) = (ε1 ...ε_N)^1/N, ε = (ε₁,...,ε_N)^′,

D(ε) = diag(µ/ε₁In1 , . . . , µ/ε_N InN ),

z(t)

решение вырожденной системы, получающейся из исходной при ε =

= 0, а матрица A_f сформирована из коэффициентов исходной системы. В си-

лу (11) все элементы матрицы D(ε) ограничены. Используется понятие блоч-

ной D-устойчивости: матрица A_f называется блочной D-устойчивой, если

Reλ(DA_f ) < 0

для всех D = diag(α₁In1 , . . . , α_N InN ) с произвольными положительными по-

стоянными α_i.

В [104] рассматривается многотемповая линейная система с переменными

коэффициентами

∑

= A₀(t)x + B_0k(t)y_k +

C_0k(t)z_k,

k=1

∑

dy_i

(12)

ε_i

= A^εi0(t)x +

B^εik(t)y_k +

C^εik(t)z_k, i = 1,r,

k=1

∑

dz_j

µ_j

= A^µj0(t)x +

B^µjk(t)y_k +

C^µjk(t)z_k, j = 1,s,

k=1

где x ∈ IRn0 , y_i ∈ IRmi , z_j ∈ IRlj , а для положительных малых параметров

ε_i, µ_j справедливы неравенства

ε_i

µ_j

ε≤

≤ ε, µ ≤

≤ µ,

ε_k

µ_k

ε, ε, µ, µ

некоторые положительные числа. Введем обозначения ε =

= (ε₁ . . . ε_r)^1/r, µ = (µ₁ . . . µ_s)^1/s, y = (y^′1, . . . , y^′r)^′, z = (z^′1, . . . , z^′s)^′. Предпола-

гая, что µ/ε → 0 при ε → 0, исходную систему можно записать в виде системы

для переменных со скоростями изменения трех порядков

= A₀(t)x + A₀₁(t)y + A₀₂(t)z,

= D₁A₁₀(t)x + D₁A₁₁(t)y + D₁A₁₂(t)z,

= D₂A₂₀(t)x + D₂A₂₁(t)y + D₂A₂₂(t)z,

где

D₁ = diag(ε/ε₁Im1 ,... ,ε/ε_rImr ), D₂ = diag(µ/µ₁Il1 ,... ,µ/µ_sIls).

При некоторых условиях в [104] доказывается глобальная экспоненциальная

устойчивость положения равновесия системы (12) (см. также [58]).

Используя теорию сингулярных возмущений и метод Ляпунова, в [105]

(см. также [106]) изучается асимптотическая устойчивость для нелинейной

нестационарной системы вида (1), где ε_j = ε₁/π_j , j = 1, m, π₁ = 1, значе-

ния π_j ∈ [π_jm, 1], j = 2, m, не известны, но нижние границы этих значений

π_jm ∈ (0,1] заданы. При этом находится верхняя граница параметров, при

которых исходная возмущенная система асимптотически устойчива.

Приближенное решение уравнения Ляпунова для трехтемповых перемен-

ных путем решения трех систем меньшего порядка обсуждается в [107].

Условия асимптотической устойчивости нелинейных по медленной пере-

менной и линейных по быстрым переменным систем получены в [108] в случае

различных малых параметров одинакового порядка при производных.

Устойчивость интегрального многообразия медленных движений для си-

стемы вида (10) обсуждается в [2, стр. 129; 109, стр. 220-221].

Граница D-устойчивости дискретных многотемповых сингулярно возму-

щенных систем изучается в [110].

Достаточные условия асимптотической устойчивости для линейных си-

стем с параметрами при производных и постоянным запаздыванием пред-

ставлены в [111].

Различные вопросы, связанные с устойчивостью линейных и нелинейных

систем с многотемповыми переменными, рассматривались также в [18, 112-

119]. В [120] изучалась асимптотическая устойчивость для систем с малыми

и большими параметрами при производных.

Стабилизация для достаточно малых значений параметров линейных ста-

ционарных сингулярно возмущенных систем с неизвестными малыми пара-

метрами ε_i при производных в уравнениях для быстрых переменных, удовле-

творяющих (11), где m_ij , M_ij известны, изучалась в [121]. Для нелинейных

по медленной переменной и линейных по n быстрым переменным систем,

для которых в [108, 122] исследовалась устойчивость, в [123] для такого клас-

са систем при n = 2 изучается стабилизация. При этом используется алгеб-

раическое матричное уравнение Риккати с коэффициентами, зависящими от

медленной переменной.

Вопросы устойчивости адаптивных систем стабилизации с разнотемповы-

ми процессами исследовались в [124]. В частности, рассматривался случай,

когда процессы в фильтре являются быстрыми, процессы в адаптере сред-

ними по скорости, а процессы, описываемые вырожденной системой, мед-

ленными.

Для управляемой линейной сингулярно возмущенной системы с разны-

ми параметрами при производных и заданными ограничениями на значения

управляющей функции и медленной переменной в [125] изучалось поведе-

ние множества достижимости возмущенной системы при стремлении к нулю

малых параметров.

В [126-128] при формулировке условий управляемости для системы

= A₁₁x + A₁₂y + B₁u,

E(ε)

= A₂₁x + A₂₂y + B₂u,

где E(ε) = diag(ε₁In1 , . . . , ε_N InN ), detA₂₂ = 0, для подсистемы быстрых дви-

жений используется понятие D-управляемости. Приведем соответствующее

определение. Пара (A, B) называется D-управляемой, если для любой диа-

гональной матрицы D с положительными элементами на диагонали пара

(DA, DB) управляема.

Условия управляемости линейной многотемповой системы

∑

dx_i

(13)

εki

= A_ij(ε)x_j + B_i

(ε)u(t), i = 1, n,

j=1

где k_i целые числа такие, что k₁ > k₂ > . . . > k_n ≥ 0, x_i = x_i(t) ∈ IRni и мат-



A₁₁

... A_1j

рицы

, j = 1, n - 1, при ε = 0 обратимы, установлены в [129]

A_j1

... A_jj

на основе свойств управляемости систем меньшей размерности, к которым

сводится исходная система при помощи замены переменных. При этом для

достаточно малых ε = 0 используется алгоритм сведения путем линейной за-

мены переменных системы

ε^k

= (C₁₁ + O(ε))x + (C₁₂ + O(ε))y + (D₁ + O(ε))u(t),

ε^m

= C₂₁(ε)x + C₂₂(ε)y + D₂(ε)u(t),

где k, m целые числа такие, что k > m ≥ 0, а C₁₁ обратимая матрица, к

двум уравнениям вида

dξ

ε^k

= (C₁₁ + O(ε))ξ + (D₁ + O(ε))u(t),

dη

ε^m

= (C₂₂(ε) - H(C₁₂ + O(ε))η + (D₂(ε) - H(D₁ + O(ε)))u(t),

где матрица H определяется в виде разложения по степеням ε. Применив

этот алгоритм к системе (13) n - 1 раз, получим n уравнений

dξ_i

εki

= (E_i + O(ε))ξ_i + (G_i + O(ε))u(t), ξ_i = ξ_i(t) ∈ IRni , i = 1, n.

При условии rank(G_i, E_iG_i, . . . , Eni-1iG_i) = n_i доказано, что система (13) пол-

ностью управляема при достаточно малых ε = 0.

Для частного случая системы (13) (n = 3) в [130] получены условия пол-

ной управляемости в терминах решения рекуррентных матричных алгебраи-

ческих уравнений, называемых определяющими уравнениями системы, кото-

рые, по-видимому, впервые были использованы для исследования относитель-

ной управляемости линейных динамических систем с запаздыванием в [131].

Метод определяющих уравнений используется также в [132] для изучения

полной и относительной управляемости трехтемповых систем с множителя-

ми при производных 1, ε^k, ε^m, где k, m целые положительные числа.

Наряду с обсуждением управляемости линейных трехтемповых систем

в [2, стр. 170-172] приводится утверждение для нелинейных трехтемповых си-

стем, касающееся локальной управляемости вблизи начала координат. Управ-

ляемости и наблюдаемости вблизи начала координат многотемповых нели-

нейных систем, линейных по быстрым переменным и управлению, посвящена

статья [133].

5. Асимптотический анализ задач оптимального управления

без ограничений на управление

При построении асимптотических решений задач оптимального управле-

ния используются два подхода. Более распространенный состоит в построе-

нии асимптотического решения задачи, вытекающей из условий оптималь-

ности управления. Другой подход, называемый прямой схемой (см., напри-

мер, [9, 134]), заключается в непосредственной подстановке постулируемого

асимптотического разложения решения в условие задачи и построении се-

рии задач для нахождения членов асимптотики. Этот подход позволяет ис-

пользовать пакеты программ решения задач оптимального управления для

нахождения членов асимптотического разложения решения и устанавливать

невозрастание значений минимизируемого функционала при использовании

членов разложения оптимального управления высших порядков.

В обзоре [24] имеется раздел, посвященный линейно-квадратичным регу-

ляторам на бесконечном промежутке времени. Там же приводятся алгоритмы

различных методов решения алгебраических матричных уравнений Риккати

с несколькими малыми параметрами. В частности, в [135] для алгебраиче-

ского уравнения Риккати со знаконеопределенным квадратичным членом,

возникающего в теории H_∞, изучается асимптотическая структура решения

и предлагается итерационный метод его нахождения.

Задачи оптимального управления на бесконечном промежутке в случае

малых параметров одинакового порядка (см. (11)), стоящих перед производ-

ными в уравнении состояния, исследовались в [102, 136-141].

В [102] асимптотическое поведение решения задачи минимизации квадра-

тичного функционала

∫

∑

(14)

J =

(y^′y + u^′Ru) dt, R > 0, y = C₀x +

C_jz_j,

j=1

на траекториях линейной системы

∑

= A₀x + A_0jz_j + B₀u, x(0) = x⁰,

j=1

(15)

∑

dz_i

ε_i

= A_i0x + A_ijz_j + B_iu, z_i(0) = z0i , i = 1,N,

j=1

в случае малых параметров при производных одинакового порядка изучалось

при некоторых условиях на основе асимптотики решения алгебраического

матричного уравнения Риккати, имеющего следующую структуру:

(

)

K₁(ε)

µ(ε)K₂(ε)

µ(ε) = (ε₁ . . . ε_N )^1/N

µ(ε)K₂(ε)^′ µ(ε)K₃(ε)

Подобная (14), (15) задача для уравнения состояния с одним малым и

одним большим параметрами при производных рассматривалась в [142].

Отметим здесь статью [136], где, в отличие от [102], для задачи (14), (15)

изучался критический (нестандартный) случай, когда быстрая переменная

состояния не может быть однозначно выражена из ее уравнения при нулевом

значении малого параметра.

На практике часто малые параметры ε_i в (15) не известны. Поэтому пред-

ставляет интерес построение регуляторов, не зависящих от малых парамет-

ров. Значение критерия качества для построенных в [102, 136] регуляторов

отличается от оптимального на O(∥ε∥), ε = (ε₁, . . . , ε_N ).

Для критического случая со специальным видом уравнений для быст-

рых переменных, связанных между собой посредством медленных перемен-

ных, в [139] предложен алгоритм построения регулятора, не зависящего от

неизвестных малых параметров, значение критерия качества для которо-

го отличается от оптимального на O(∥ε∥²). Для одного класса линейно-

квадратичных задач на бесконечном промежутке с трехтемповыми перемен-

ными состояния в [137, стр. 117-132] подробно описан алгоритм сведения ре-

шения к решению трех независимых алгебраических матричных уравнений

Риккати, которые предлагается решать итерационным методом Ньютона (см.

также [138]).

В [140] для задачи минимизации функционала

∫

J =

z(t)^′z(t) dt, z(t) = Cx(t) + Du(t),

x(t) = (x₀(t)^′, x₁(t)^′, x₂(t)^′)^′, u(t) = (u₁(t)^′, u₂(t)^′)^′,

на траекториях системы со слабосвязанными быстрыми переменными

dx₀(t)

= A₀₀x₀(t) + A₀₁x₁(t) + A₀₂x₂(t) + B₀₁u₁(t) + B₀₂u₂(t), x₀(0) = x⁰⁰,

dx₁(t)

ε₁

= A₁₀x₀(t) + A₁₁x₁(t) + ε₃A₁₂x₂(t) + B₁₁u₁(t), x₁(0) = x⁰¹,

dx₂(t)

ε₂

= A₂₀x₀(t) + ε₄A₂₁x₁(t) + A₂₂x₂(t) + B₂₂u₂(t), x₂(0) = x⁰²

построен регулятор, не зависящий от неизвестных значений малых парамет-

ров, значение критерия качества для которого отличается от оптимального

на O(ε₁ε₂).

Для последней задачи при помощи итерационного метода в [141] построен

регулятор, обеспечивающий лучшее приближение значения критерия каче-

ства к оптимальному, а именно, значение критерия качества для построен-

ного регулятора отличается от оптимального на O(∥ε∥2i+1 ), где ε = (ε₁, ε₂)^′,

номер итерации.

Для системы вида (15) при некоторых условиях в [143] построено субоп-

тимальное стабилизирующее управление в форме обратной связи для задачи

минимизации квадратичного функционала на бесконечном промежутке.

Декомпозиция на N однотемповых подсистем системы уравнений с мно-

жителями ε₁, . . . , ε_N при производных (0 < ε_N << ε_N-1 << . . . << ε₂ << ε₁)

для переменных состояния и сопряженных переменных, полученной из усло-

вия оптимальности управления для задачи минимизации квадратичного

функционала на бесконечном промежутке, описана в [144]. В этой статье так-

же приводится декомпозиция соответствующего алгебраического матричного

уравнения Риккати на системы низшего порядка.

Задача об оптимальном линейном регуляторе, минимизирующем квадра-

тичный функционал

∫

J =

y(1)^′F y(1) +

(y(t)^′Q(t)y(t) + u(t)^′R(t)u(t)) dt

на траекториях трехтемповой линейной системы

dy₁

= A₁₁y₁ + A₁₂y₂ + A₁₃y₃ + B₁u,

dy₂

(16)

ε₁

= A₂₁y₁ + A₂₂y₂ + A₂₃y₃ + B₂u,

dy₃

ε₁ε₂

=A₃₁y₁ + A₃₂y₂ + A₃₃y₃ + B₃u

с закрепленным левым концом, где y_i ∈ IRmi , u ∈ IR^r, A_ij = A_ij (t, ε₁, ε₂), B_i =

= B_i(t,ε₁,ε₂), рассматривается в [109, стр. 262-273] (см., также [2, стр. 195-

200]).

Оптимальное управление для этой задачи имеет вид u = -R^-1B^′Ky, где

K положительно определенное решение матричного дифференциального

уравнения Риккати

= -KA - A^′K + KSK - Q, S = BR^-1B^′,

с конечным условием

K(1, ε₁, ε₂) = F.

Здесь









A₁₁

A₁₂

A₁₃

B₁









 A21/ε1 A22/ε1 A23/ε1

, B=

 B2/ε1

,

A₃₁/ε₁ε₂

A₃₂/ε₁ε₂

A₃₃/ε₁ε₂

B₃/ε₁ε₂





F₁₁

ε₁F₁₂

ε₁ε₂F₁₃





F =

 ε1F¹²

ε₁F₂₂

ε₁ε₂F₂₃

.

ε₁ε₂F^′13

ε₁ε₂F^′23

ε₁ε₂F₃₃

Учитывая вид F , матрица K ищется в аналогичном виде. Ее блоки K_ij , j =

= 1, 3, i = 1, j, должны удовлетворять трехтемповой сингулярно возмущен-

ной системе. При некоторых условиях для построения асимптотического ре-

шения этой системы производится асимптотическое расщепление уравнений

и конечных условий с помощью метода интегральных многообразий, изло-

женного, например, в [109, п. 9].

Алгоритм приведения к блочно-диагональной форме линейной нестацио-

нарной управляемой системы с множителями при производных вида (16) опи-

сан в [109, стр. 246-248] (см. также [2, стр. 146-148]). При этом расщепляющие

преобразования ищутся в виде асимптотических разложений. Для большего

числа параметров частный случай обсуждается в [145, п. 9].

Приведем алгоритм метода прямой схемы из [146] для асимптотическо-

го решения нелинейной задачи оптимального управления с трехтемповыми

переменными состояния вида

∫T

J_ε(u) = F(x,y,z,u,t,ε)dt → min,

= f(x,y,z,u,t,ε), x(0) = x⁰,

(17)

= g(x,y,z,u,t,ε), y(0) = y⁰,

ε²

= h(x, y, z, u, t, ε), z(0) = z⁰.

Используя идеи метода пограничных функций из [1, cтр. 114-123; 43], ре-

шение задачи (17) ищется в виде разложения

∑

(18)

v(t, ε) = v(t, ε) +

(Π_iv(τ_i, ε) + Q_iv(σ_i, ε)), v = (x^′, y^′, z^′, u^′)^′,

i=0

где

∑

v(t, ε) =

ε^jv_j(t), t ∈ [0,T], τ_i = t/εⁱ⁺¹ ≥ 0, σ_i = (t - T)/εⁱ⁺¹ ≤ 0,

j≥0

∑

Π_iv(τ_i,ε) =

ε^jΠ_ijv(τ_i), Q_iv(σ_i,ε) =

ε^jQ_ijv(σ_i), i = 0,1,

j≥0

v_j(t)

регулярные функции от аргумента t, Π_ij v(τ_i) пограничные функ-

ции экспоненциального типа в окрестности t = 0 от аргумента τ_i, Q_ijv(σ_i)

пограничные функции экспоненциального типа в окрестности t = T от аргу-

мента σ_i, т.е. справедливы неравенства

∥ Π_ijv(τ_i) ∥≤ cexp(-æτ_i), τ_i ≥ 0,

∥ Q_ijv(σ_i) ∥≤ cexp(æσ_i), σ_i ≤ 0,

где c > 0 и æ > 0 означают постоянные, не зависящие от аргументов рассмат-

риваемых функций.

Подставим разложение (18) в уравнения системы (17) и правую часть пред-

ставим в виде асимптотической суммы слагаемых, зависящих от t, τ_i, σ_i, i =

= 0,1 (соответствующие формулы для такого представления см., например,

в [147]). Затем, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ε, от-

дельно зависящие от t, τ_i, σ_i, i = 0,1, получаем соотношения для нахождения

регулярных и пограничных членов асимптотики. Подставим (18) в функцио-

нал J_ε(u) и представим подынтегральную функцию в виде асимптотической

суммы слагаемых, зависящих от t, τ_i, σ_i, i = 0,1. Далее произведем разло-

жение по степеням малого параметра, при этом в интегралах от выражений,

зависящих от τ_i и σ_i, i = 0,1, перейдем к интегрированию соответственно по

промежуткам [0, +∞) и (-∞, 0]. В итоге получим разложение функционала

по степеням ε

∑

J_ε(u) =

ε^jJ_j.

j≥0

Анализируя коэффициенты J_j , находим более простые, чем исходная, задачи

оптимального управления для определения членов ряда (18). В [146] объяс-

няется получение явного вида задач для нахождения асимптотического ре-

шения нулевого порядка, а также приводятся оценки близости построенного

асимптотического решения к точному решению для управления, траектории

состояния и критерия качества.

Для линейно-квадратичного случая задачи (17) при помощи метода пря-

мой схемы в [148] построено асимптотическое приближение решения нулевого

порядка, а в [149] произвольного порядка. При этом доказано, что соотно-

шения для членов асимптотического решения двухточечной краевой задачи,

вытекающей из условия оптимальности управления для исходной возмущен-

ной задачи, соответствуют краевым задачам, полученным из условий опти-

мальности управления построенных задач для отыскания членов асимптоти-

ки при помощи метода прямой схемы.

Для нечеткой сингулярно возмущенной модели, определяемой дифферен-

циальными уравнениями с разными малыми параметрами при производных,

в [150] рассматривается многоцелевое управление.

В [151, 152] на основе асимптотики решения двухточечной краевой задачи,

вытекающей из условия оптимальности управления, построена асимптотика

решения задачи минимизации квадратичного функционала

∑

J (u) =

(w(k)^′Qw(k) + u(k)^′Ru(k)),

k=0

где w(k) = (x(k)^′, ε₁y(k)^′, ε₁ε₂z(k)^′)^′, на траекториях трехтемповой системы





x(k)

 x(k + 1)



 y(k + 1)

=Aε1y(k)

 + Bu(k)

z(k + 1)

ε₁ε₂z(k)

с заданными начальными условиями

x(0) = x⁰, y(0) = y⁰, z(0) = z⁰.

Обобщение этой задачи на случай многих малых параметров рассматривается

в [153] (см. также [154]).

6. “Скрытые” разнотемповые быстрые переменные

Иногда разнотемповые быстрые переменные могут быть “скрытыми”, т.е.

их наличие не видно из постановки задачи, а уравнения для них появляются в

результате дополнительных преобразований (например, задачи с “дешевыми”

управлениями, цены которых имеют разный порядок, сингулярно возмущен-

ные уравнения в специальном критическом случае и в случае кратных корней

вырожденного уравнения).

Особенность задач с дешевым управлением заключается в том, что при ну-

левом значении малого параметра и отсутствии ограничений на управление

получаются задачи с особым управлением, т.е. из принципа максимума Понт-

рягина [155] нельзя выразить управление через сопряженную переменную и

переменную состояния. Большинство работ в этом направлении посвящено

линейно-квадратичным задачам, в критерии качества которых перед управ-

лениями стоит один малый параметр, т.е. управления имеют одинаковый по-

рядок “дешевизны”. Такие работы приведены, например, в [8, 9, 17, 147].

В качестве мотивации изучения задач с дешевыми управлениями разных

порядков в [156] указана необходимость обеспечения “бесконечных” собствен-

ных значений различных порядков в задаче распределения полюсов. Задачи

такого типа возникают также при исследовании моделей многосекторной эко-

номики, когда управляющие функции имеют разный уровень “дешевизны”.

Если использовать известный метод линейной свертки критериев для много-

критериальных задач, где “цена” некоторых управлений мала по сравнению

с другими, то получаются задачи с дешевыми управлениями.

Приведем работы, посвященные дешевым управлениям, при изучении ко-

торых возникают разнотемповые быстрые переменные.

На основе асимптотики решения алгебраического уравнения Риккати в

[156] исследуется асимптотическая структура оптимального управления в

форме обратной связи и оптимальной траектории для задачи





∫

∑

x′Wx + ε^2ju^′

u_j dt → min,

j=1

∑

= Ax + B_ju_j , x(0) = x⁰,

j=1

где ε_j возрастающая функция малого параметра ε такая, что ε_j = ε_j (ε) >

> 0 и lim_ε→0ε_j+1(ε)/ε_j(ε) = 0, ε₀(ε) = 1. Обзор работ в этом направлении,

включая критический случай, приведен в [24].

Асимптотическое решение произвольного порядка, содержащее погранич-

ные функции четырех типов, при помощи метода прямой схемы построено

в [157] для линейно-квадратичной задачи с дешевыми управлениями двух

различных порядков малости вида

(

)

∫

∑

(k)

z^′W(t,ε)z +

v)′ R (t, ε)(k)v dt → min,

k=1

= A(t, ε)z + C(t, ε)v, t ∈ [0, T ], z(0, ε) = z⁰,

где

(

)_′

^(k)v(t, ε) ∈ IRⁿk , v(t, ε) =

v (t, ε)^′

z(t, ε) ∈ IRⁿ, n = n₁ + n₂,

при всех t ∈ [0, T ] матрицы W (t, ε) и

^(k)R(t, ε) симметричны, W (t, 0) > 0,

^(k)R(t, 0) > 0, k = 1, 2, а матрица C(t, 0) обратима. Путем замены переменных

рассматриваемая задача преобразуется к задаче оптимального управления с

трехтемповыми переменными состояния в критическом случае, когда вырож-

денное уравнение состояния не разрешимо однозначно относительно быст-

рой переменной. Оценки близости построенного асимптотического решения

к точному и факт невозрастания значений минимизируемого функционала

при использовании следующего приближения оптимального управления до-

казаны в [158]. Подробное изложение алгоритма построения асимптотики для

конкретного примера приведено в [159].

В [160] (см. также [161]) при некоторых условиях построено асимптотиче-

ское решение начальной задачи для слабонелинейного уравнения вида

(19)

ε²

= A(t)x + εf(x, t, ε), t ∈ [0, T ],

в критическом случае (матрица A(t) вырождена). При этом асимптотика со-

держит пограничные функции двух типов от аргументов τ₁ = t/ε и τ₂ = t/ε²:

(20)

x(t, ε) = x(t, ε) + Π₁x(τ₁, ε) + Π₂x(τ₂

, ε).

Для понимания алгоритма построения асимптотического решения началь-

ной задачи для уравнения (19) полезен предложенный в [162] проекторный

подход, использующий ортогональные проекторы на KerA(t) и KerA(t)^′.

В [160] рассматривался также дискретный аналог начальной задачи для

уравнения (19)

x(t + ε²) = B(t)x(t) + εf(x(t), t, ε), x(0) = x⁰,

где t = 0, ε², 2ε², . . . (t ≤ T ), а матрица B(t) имеет собственное значение λ(t)≡

≡ 1. Асимптотика решения этой задачи строится в виде (20).

Асимптотика решения двухточечной краевой задачи для линейной систе-

мы с множителями 1 и ε при производных в критическом случае, содержащая

пограничные функции от аргументов

t-T

(21)

i = 1,2,

εⁱ

построена в [163].

Асимптотическое решение нулевого порядка получено при помощи метода

прямой схемы в [164] для линейно-квадратичной задачи управления слабо-

управляемой системой вида

∫

(x^′W (t, ε)x + 2x^′g(t, ε) + ε²u^′R(t, ε)u) dt → min,

ε²

= A(t, ε)x + ε²B(t, ε)u + εf(t, ε), x(0, ε) = x⁰

в критическом случае (матрица A(t, 0) вырождена). Асимптотика решения

содержит пограничные функции четырех типов от аргументов (21).

Построению и обоснованию асимптотики решения краевой задачи

(

)

(

)

d²x

ε⁴

=ε

A ε³

,x,t

+B ε³

,x,t

t ∈ (0,1),

dt²

x(0, ε) = x⁰, x(1, ε) = x¹

посвящена статья [165]. При этом левая пограничная функция зависит от

аргумента t/ε³, а правая от (t-1)/ε. Такая асимптотика для более простого

уравнения рассмотрена в [166].

Параболическая задача с двумя малыми параметрами (ε² при u_xx,

µ при u_x) и разрывными данными, асимптотика решения которой при ε << µ

содержит быстрые переменные относительно t и x со скоростями изменения

различных порядков, изучалась в [167].

Параболическому уравнению с разными степенями малого параметра при

производных и условием периодичности по временному аргументу, асимпто-

тическое решение которого имеет внутренний и пограничные слои, зависящие

от растянутых переменных разного порядка, посвящена статья [168].

В.Ф. Бутузовым и его учениками проводилось активное исследование син-

гулярно возмущенных задач с кратным корнем вырожденного уравнения,

которые, по-видимому, впервые изучались А.Б. Васильевой [169]. Оказалось,

что во многих таких задачах поведение решения в пограничном (внутрен-

нем) слое качественно отличается от поведения в случае простого корня вы-

рожденного уравнения. Пограничный (внутренний) слой становится много-

зонным с различным поведением решения в разных зонах. В частности, в

случае двукратного корня вырожденного уравнения f(x, t, 0) = 0 в [170] по-

строено асимптотическое решение краевой задачи для дифференциального

уравнения второго порядка

d²x

ε²

= f(x,t,ε), t ∈ (0,1),

dt²

x(0, ε) = x⁰, x(1, ε) = x¹.

Последнее уравнение с краевыми условиями

x(0, ε) = ϕ(0) + ε^αp, x(1, ε) = ϕ(1) + ε^αq,

где ϕ(t)

двукратный корень вырожденного уравнения, рассматривалось

в [171]. Доказано, что при 0 < α < 1/2, p > 0, q > 0 пограничные слои яв-

ляются трехзонными, как и при α = 0 в [170], но масштабы погранслойных

переменных зависят от α; при α = 1/2 пограничные слои становятся однозон-

ными и остаются таковыми для α > 1/2, причем масштабы погранслойных

переменных уже не зависят от α.

Асимптотическое решение краевой задачи для системы двух обыкновен-

ных дифференциальных уравнений второго порядка с множителями ε² и ε

при вторых производных построено в [172] в случае, когда вырожденное урав-

нение для первой неизвестной переменной имеет двукратный корень относи-

тельно этой переменной. При этом для первой неизвестной переменной рас-

сматриваются краевые условия Дирихле, а для второй краевые условия

Неймана. Асимптотика подобной задачи в случае краевых условий Неймана

для обеих переменных приведена в [173], а в случае краевых условий Ней-

мана для первой неизвестной и условий Дирихле для второй неизвестной

в [174].

Асимптотика начально-краевой задачи для параболического уравнения

)

(∂u

∂²u

ε²

= f(u,x,t,ε),

∂t

∂x²

u(x, 0, ε) = u⁰(x),

∂u

(0, t, ε) =

(1, t, ε) = 0,

∂x

где

(x, t) ∈ (0, 1) × (0, T ], f(u, x, t, ε) = -h(x, t)(u - ϕ(x, t))³ + εf₁(u, x, t, ε),

т.е. корень вырожденного уравнения является трехкратным, при некоторых

условиях построена в [175]. Погранслойные переменные имеют вид τ₁ = t/ε²,

τ₂ = t/ε^4/3, ζ₁ = x/ε^2/3, ζ₂ = (1 - x)/ε^2/3, регулярная и погранслойные части

представляют собой ряды по целым степеням ε^1/3, а пограничный слой в

окрестности начального момента времени имеет три зоны. Еще одной осо-

бенностью случая трехкратного корня вырожденного уравнения является то,

что теперь важную роль в построении асимптотики играют члены порядка ε,

входящие в правую часть уравнения. Периодические по t решения для пара-

болического уравнения изучаются в [176-178] при различных предположени-

ях на кратный корень вырожденного уравнения.

Построение и обоснование асимптотики по малому параметру решения

краевой задачи для сингулярно возмущенной стационарной частично дисси-

пативной системы уравнений в случае, когда одно из уравнений вырожденной

системы имеет двукратный корень, рассматривается в [179]. Кратность кор-

ня является причиной того, что пограничный слой оказывается многозонным,

а стандартный алгоритм построения асимптотики погранслойного решения

становится недостаточным и требует существенной модификации.

Отметим здесь цикл работ, выполненных А.М. Ильиным вместе со свои-

ми учениками (см. [180]), посвященных классу задач с малым параметром,

характеризующихся тем, что при построении асимптотики их решения по

степеням малого параметра в коэффициентах рядов обнаруживаются разно-

го типа сингулярности. Такого рода задачи названы, по-видимому, впервые

в [181] бисингулярными. В [182] (последней работе из этого цикла в [180])

изучалась начальная задача вида

dx₁

= -x²¹ + x³² + t,

dx₂

=x³¹ -x²² +t³,

x₁(0) = x⁰¹, x₂(0) = x⁰², t ∈ [0,T].

Построенное асимптотическое решение имеет вид различных рядов на четы-

рех промежутках из отрезка [0, T ], коэффициенты которых зависят от аргу-

ментов t/ε, t/ε^2/3, t/ε^4/7 и t соответственно.

Обзор результатов, связанных с дополнительными асимптотическими

слоями в асимптотике решений сингулярно возмущенных систем нелиней-

ных дифференциальных уравнений типа А.Н. Тихонова в случае нарушения

условия устойчивости, которое предполагалось в [1], приведен в [183, п. 5].

Быстрые переменные со скоростями изменения различных порядков рас-

сматриваются и при применении метода согласования асимптотических раз-

ложений для задачи Дирихле в прямоугольнике для уравнения

)

(∂²u

∂²u

∂u

- a(x, y)

= f(x,y),

∂x²

∂y²

∂y

где a(x, y) > 0 (см. [184]).

Процесс согласования асимптотических разложений используется также

в [185, стр. 142-154] при построении асимптотики решения бисингулярных

краевых задач вида

d²u

ε²

- xp(x)

- q(x)u = f(x), x ∈ [0,1], p(x) > 0, q(x) > 0,

dx²

u(0, ε) = 0, u(1, ε) = 0.

Асимптотика решения бисингулярной начально-краевой задачи для одной

системы линейных параболических уравнений построена в [186] без исполь-

зования процедуры согласования.

Многопараметрические сингулярно возмущенные начальные и краевые

∑

дискретные задачи для уравнения вида a_ix(k + i) = au(k), где коэффици-

i=n

енты a_i представляют собой постоянные числа, умноженные на произведение

некоторых степеней малых параметров, изучались в [187]. Асимптотическое

разложение решений таких задач содержит регулярную функцию и различ-

ные пограничные функции, число которых равно числу исчезающих при вы-

рождении дополнительных условий.

7. Задачи с ограничением на управление

Использование асимптотических методов встречает значительные трудно-

сти при решении сингулярно возмущенных задач с ограничением на управ-

ление в форме замкнутых неравенств, поскольку возникают негладкие реше-

ния. Эффективным методом асимптотического решения задач такого типа

является построение асимптотики точек переключения управления (см., на-

пример, [188]). Этот подход реализован в [189] для следующей задачи опти-

мального быстродействия для линейной стационарной системы

(22)

= A(ε)w + b(ε)u, w(0) = w⁰, w = (x^′, y^′, z^′)^′,









A₁

B₁

C₁

b₁

A(ε) = A₂/ε B₂/ε C₂/ε

,b(ε)= b2/ε

,

A₃/ε²

B₃/ε²

C₃/ε²

b₃/ε²

u(t) ∈ IR,

|u(t)| ≤ 1, t ∈ [0, T ],

w(T ) = 0, J(u) = T → min .

Здесь x, y, z векторы произвольной размерности и предполагается выпол-

ненным условие

I: матрицы C₃ и B₂ - C₂C^-13B₃ устойчивые.

Как следует из принципа максимума Понтрягина, оптимальное управ-

ление в этой задаче является релейным. Опираясь на метод пограничных

функций, в [189] предложен алгоритм, позволяющий строить асимптотиче-

ские приближения к решению рассматриваемой задачи произвольного по-

рядка точности. Суть алгоритма состоит в построении асимптотики точек

переключения оптимального управления и момента оптимального быстро-

действия в виде разложений по неотрицательным целым степеням малого

параметра. При применении алгоритма происходит своеобразная декомпози-

ция исходной задачи на три задачи меньшей размерности, одной из которых

является вырожденная задача.

В [190] исследуется линейная стационарная терминальная задача опти-

мального управления с уравнением состояния (22) и ограничением типа ра-

венства на правый конец траектории, т.е.

Hw(T) = g, H = diag(H₁,H₂,H₃), g = (g^′1,g^′2,g^′3)^′,

c(ε)^′w(T ) → max, c(ε) = (c^′1, εc^′2, ε²c^′3)^′.

Здесь x ∈ IRn1 , y ∈ IRn2 , z ∈ IRn3 , g_i ∈ IRmi , i = 1, 3, m₁ < n₁, m₂ ≤ n₂,

m₃ ≤ n₃. Считается выполненным условие I.

Предложенный в [190] алгоритм решения рассматриваемой задачи в идей-

ном плане близок алгоритму из [189]. Он основан на построении асимпто-

тических приближений к точкам переключения оптимального управления.

Одни из этих точек близки к соответствующим точкам переключения оп-

тимального управления в вырожденной задаче, а остальные группируются

вблизи конечного момента T и отстоят от него на величины порядка ε и ε².

Реализация алгоритма предполагает решение трех невозмущенных задач оп-

тимального управления, в которых переменные состояния размерности n₁,

n₂, n₃ соответственно, причем первой из них является вырожденная задача.

Разработанный в [190] алгоритм может быть применен (см. [191]) для

асимптотического решения сингулярно возмущенной задачи оптимального

управления с большой длительностью процесса

= A₁y + A₂z + b₁v, y(0) = y⁰,

= A₃y + A₄z + b₂v, z(0) = z⁰,

v(t) ∈ IR,

|v(t)| ≤ 1, t ∈ [0, T/ε], H₁y(T/ε) = g₁, H₂z(T/ε) = g₂,

∫

J (v) = (c^′1y(t) + c^′2z(t) + hv(t)) dt → max,

где y ∈ IRn1 , z ∈ IRn2 , g_i ∈ IRmi , i = 1, 2, и m₁ ≤ n₁, m₂ ≤ n₂. Переходя к мед-

ленному времени s = εt и полагая u(s) = v(s/ε), последнюю задачу можно

записать в виде эквивалентной задачи терминального управления

= c^′1y + c^′2z + hu, x(0) = 0,

= A₁y + A₂z + b₁u, y(0) = y⁰,

ε²

= A₃y + A₄z + b₂u, z(0) = z⁰,

|u(s)| ≤ 1, s ∈ [0, T ], H₁y(T ) = g₁, H₂z(T ) = g₂,

J₀(u) = x(T) → max.

Эта задача является частным случаем задачи из [190] и, следовательно, мо-

жет быть решена с помощью предложенного в этой статье алгоритма, если

выполнено условие I, которое в данном случае заключается в требовании

устойчивости матриц A₄ и A₁ - A₂A^-14A₃.

Опираясь на алгоритм построения программных асимптотически опти-

мальных управлений из [190], в [192] предложен алгоритм построения асимп-

тотически оптимального регулятора типа обратной связи в задаче терминаль-

ного управления линейной стационарной сингулярно возмущенной системой

со скалярными управлениями, значения которых принадлежат замкнутому

интервалу, и с множителями при производных 1, ε и ε².

В [193] для нелинейной трехтемповой системы управления с компактным

множеством значений управления используется метод усреднения для по-

строения предельной системы в форме дифференциального включения для

траектории медленного движения. Приводятся достаточные условия равно-

мерной сходимости медленных траекторий при стремлении к нулю малых па-

раметров, стоящих при производных в уравнении состояния. Эти результаты

распространяются при помощи другой техники на случай систем управления

с многотемповыми переменными в [194].

8. Игровые задачи

В [195] для системы

(23)

E_ε dt=Ax+B1u¹ +B2u²,x(0)=x0,

где

x = (x^′0,x^′1,x^′2)^′, x_j ∈ IRnj, j = 0,1,2, u_i ∈ IRmi, i = 1,2,



 A₀₀ A₀₁ A₀₂

E_ε = diag(In0 ,ε₁In1 ,ε₂In2 ), A = A₁₀ A₁₁

,

A₂₀

A₂₂



 B₀₁

 B₀₂

B₁ = B₁₁

, B₂ = 

,

B₂₂

ε₁, ε₂

одинакового порядка малые параметры, для которых существует

lim

ε₁/ε₂, ищется оптимальная по Парето ситуация u, представляющая со-

ε₁,ε₂→0

бой пару стратегий u = (u^′1, u^′2)^′, минимизирующая линейную свертку функ-

ций выигрыша J = γ₁J₁ +γ₂J₂, γ_j ∈ (0, 1), j = 1, 2, γ₁ +γ₂ = 1, где J_j задается

формулой

∫

J_j =

(y_j(t)^′y_j(t) + u_j(t)^′R_j u_j(t))dt, R_j > 0,

(24)

y_j = C_j0x₀ + C_jjx_j, j = 1,2.

Заметим, что в (23) матрицы A_jj могут быть вырожденными. Решение этой

задачи в форме обратной связи задается формулой

u^∗j(t) = -

R^-1jB^′jεP_εx(t), j = 1,2,

γ_j

где P_ε удовлетворяет матричному алгебраическому уравнению Риккати

(25)

A^′εP_ε + P_εA_ε - P_εS_εP_ε

+ Q = 0.

Здесь

A_ε = E^-1εA, S_ε = 1/γ₁S_1ε + 1/γ₂S_2ε, S_jε = B_jεR^-1jB^′jε, j = 1,2,









B₀₁

B₀₂









B_1ε =

 ε^-11B11

, B2ε =



, Q = γ1Q1 + γ2Q2,

ε^-1B22



 C^′10C₁₀ C^′10C₁₁

 C^′20C₂₀

C^′20C₂₂









Q₁ =

 C¹¹C10

C^′11C₁₁

, Q2 =



.

C^′22C₂₀

C^′22C₂₂

При некоторых условиях изучается асимптотическая структура решения



P₀₀

ε₁P^′10

ε₂P^′20





уравнения (25)

матрицы P_ε вида

 ε1P10

ε₂P₁₁

√ε₁ε₂P^′21

, где

√

ε₂P₂₀

ε₁ε₂P₂₁

ε₂P₂₂

P₀₀ = P^′00, P₁₁ = P^′11, P₂₂ = P^′22. Далее, используя решения уравнений низ-

шего порядка, находятся стратегии, значения функции выигрыша для ко-

торых отличаются от оптимальных значений на величину порядка O(∥ε∥),

ε = (ε₁,ε₂)^′.

Парето-оптимальные стратегии изучались также в [196] для систем со сла-

босвязанными быстрыми переменными при условии обратимости матриц при

быстрых переменных в вырожденных уравнениях для этих переменных.

Антагонистические линейно-квадратичные дифференциальные игры, ди-

намика которых описывается системой

dx₁

= A₁₁(t)x₁ + A₁₂(t)x₂ + A₁₃(t)x₃ + B₁(t)u₁ + D₁(t)u₂, x₁(0) = x⁰¹,

dx₂

ε₁

= A₂₁(t)x₁ + A₂₂(t)x₂ + A₂₃(t)x₃ + B₂(t)u₁ + D₂(t)u₂, x₂(0) = x⁰²,

dx₃

ε₁ε₂

= A₃₁(t)x₁ + A₃₂(t)x₂ + A₃₃(t)x₃ + B₃(t)u₁ + D₃(t)u₂, x₃(0) = x⁰³,

причем первый игрок старается минимизировать функцию выигрыша

∫T

J = x(T)^′Fx(T) + (x(t)^′W(t)x(t) + u₁(t)^′u₁(t) - γ²u₂(t)^′u₂(t))dt,

а второй максимизировать, изучались на конечном и бесконечном проме-

жутках в [197].

Примеры, в которых обсуждаются различные подходы к построению пре-

дельной задачи, приводящие к разным результатам, рассматриваются в [102]

для дифференциальной бескоалиционной игры двух лиц, изменение управ-

ляемой системы в которой описывается линейной системой с малыми пара-

метрами ε₁, . . . , ε_N одинакового порядка (см. (11)) при производных. Эта си-

стема может быть записана в виде

= A₀x + A_0f z + B₀₁u₁ + B₀₂u₂, x(0) = x⁰,

µ(ε)

= D(ε)(A_f0x + A_f z + B_f1u₁ + B_f2u₂), z(0) = z⁰,

где µ(ε) = (ε₁ . . . ε_N )^1/N , D(ε) = diag(µ/ε₁In1 , . . . , µ/ε_N InN ). Здесь i-й игрок

(i = 1, 2) выбирает свою стратегию u_i, стараясь добиться по возможности

меньшего значения функции выигрыша, задаваемой функционалом

)

∫

(( x)′ ( x)

J_i(u_i,u_j) =

Q_i

+u^′iR_iiu_i+u^′

R_iju_j dt, R_ii > 0, Q_i ≥ 0,

i, j = 1, 2, i = j.

Равновесие по Нэшу в этой игре определяется ситуацией (u^∗1, u^∗2) такой, что

J_i(u^∗i,u^∗j) ≤ J_i(u_i,u^∗j), i = j, i = 1,2. Стратегии u^∗i ищутся в форме линейной

обратной связи

)

( x

u^∗i = -R^-1iiB^′

K_i

i = 1,2,

где K₁, K₂ решение взаимосвязанных алгебраических уравнений Риккати,

удовлетворяющих некоторому условию устойчивости.

Случай слабосвязанных уравнений для двухтемповых быстрых перемен-

ных изучался в [198].

Равновесные по Нэшу стратегии рассматриваются в [199] для дифференци-

альной игры двух лиц, динамика которой задается уравнением (23), а функ-

ции выигрыша

∫

J_i(u_i,u_j) =

(y_i(t)^′y_i(t) + u_i(t)^′R_iiu_i(t) + µu_j(t)^′R_ij u_j(t)) dt,

где y_i = C_i0x₀ + C_iix_i, R_ii > 0, R_ij ≥ 0, µ =

√ε₁ε₂. Малые положительные

параметры ε₁, ε₂ не известны, но их границы известны, а именно, ε_j - σ_j µ^η ≤

≤ ε_j ≤ ε_j + σ_jµ^η, j = 1,2, µ =

√ε₁ε₂,

εj, σj , η

известные величины, и

существует lim

ε₁/ε₂. Не предполагается обратимость матриц A_ii, i = 1,2,

ε₁,ε₂→0

т.е. рассматривается и критический случай теории сингулярных возмущений.

Предлагается итерационный метод нахождения с высокой точностью страте-

гий, выражающихся через решения взаимосвязанных алгебраических уравне-

ний Риккати. Доказывается, что если η = n + 1, то при некоторых условиях

функции выигрыша для приближения n-го порядка отличаются от оптималь-

ных на O(µⁿ⁺¹).

Итерационный метод, основанный на методе Ньютона, для решения

взаимосвязанных алгебраических уравнений Риккати, возникающих при изу-

чении ситуации равновесия по Нэшу в линейно-квадратичной дифференци-

альной игре с уравнением состояния (23) в критическом случае и функциями

выигрыша (24) при условии существования lim

ε₁/ε₂, излагается в [200].

ε₁,ε₂→0

При указанных в этой статье предположениях значения функций выигрыша

для приближения n-го порядка построенных стратегий отличаются от опти-

мальных на O(∥ε∥2n ), ε = (ε₁, ε₂)^′.

В [201] рассматривается оптимальная по Нэшу ситуация в игре N лиц, ди-

намика управляемой системы в которой задается дифференциальным урав-

нением вида

E_ε dt=Ax+Bu,Eε =diag(In0 ,ε1In1,...,εN InN ),

где x = (x^′0, . . . , x^′N )^′,









A₀₀

A₀₁

... A_0N

B₀₁

B₀₂

... B_0N







 A₀₁

A₁₁

B₁₁











,



,

A_0N

... A_NN

... B_NN

а функции выигрыша представляют собой функционалы

∫

J_i(u₁,... ,u_N) =

(y^′iy_i + u^′iR_iiu_i) dt,

y_i = C_i0x₀ + C_iix_i, R_ii > 0, i = 1,N.

Предполагается, что существует lim

ε_j/ε_i. Требуется найти ситуацию u^∗ =

ε_i,ε_j→0

= (u^∗1, . . . , u^∗N ) с линейной обратной связью такую, что J_i(u^∗1, . . . , u^∗N ) ≤

≤ J_i(u^∗1,... ,u^∗i-1,u_i,u^∗i+1,... ,u^∗N), i = 1,N. Искомые стратегии, образую-

щие равновесную по Нэшу ситуацию u^∗, определяются формулой u^∗i(t) =

= -R^-1iiB^′iP_ix(t), где P_i решение системы взаимосвязанных алгебраических

уравнений Риккати. Построены не зависящие от малых параметров страте-

гии, выигрыши для которых отличаются от выигрышей равновесных по Нэшу

стратегий на O(∥ε∥), ε = (ε₁, . . . , ε_N )^′.

Отметим здесь обзор [24], в котором один раздел посвящен равновесию

по Нэшу в дифференциальных играх с разнотемповыми быстрыми перемен-

ными.

9. Стохастические системы

В [144] рассматривается построение оптимального фильтра Калмана для

системы

∑

dx_k(t)

(26)

ε_k

= A_kjx_j(t) + G_k

w(t), k = 1, N ,

j=1

c измеряемой функцией

(27)

y(t) = Cx(t) + v(t),

где 0 < ε_N << ε_N-1 . . . << ε₂ << ε₁, а w(t) и v(t) гауссовские случайные

процессы белого шума. Используется метод декомпозиции соответствующих

матричных алгебраических уравнений Риккати.

В этой статье также изучается задача минимизации критерия качества





∫

J = lim

M (x(t)^′Wx(t) + u(t)^′Ru(t))dt , W ≥ 0, R > 0,

T→+∞ T

на траекториях системы

∑

dx_k(t)

ε_k

= A_kjx_j(t) + B_ku(t) + G_kw(t), k = 1,N,

j=1

с выходной переменной (27).

Декомпозиция оптимального фильтра Калмана подробно описана в [137,

cтр. 132-139] для частного случая системы (26).

Стохастические игры Нэша с разнотемповыми быстрыми переменными

изучались в [202].

В обзоре [24] имеется раздел, посвященный стохастическим системам,

управляемым сингулярно возмущенными уравнениями Ито с несколькими

малыми параметрами.

Линейно-квадратичная стохастическая задача для случая N-темповых

быстрых переменных с неизвестными скоростями изменения одинакового по-

рядка рассматривается в [203].

Детальное изучение зависимости стабилизирующих решений алгебраиче-

ского матричного уравнения Риккати от двух малых параметров, определяю-

щих скорость изменения быстрых переменных в задаче оптимального управ-

ления с уравнением состояния

ε_kdx_k(t) = (A_kx(t) + B_ku(t))dt + ε^δk(C_kx(t) + D_ku(t))dw(t),

(28)

x_k(0) = x^0k, k = 0,2, x = (x^′0,x^′1,x^′2)^′,

и минимизируемым критерием качества





∫

(29)

J (u) = M (x(t)^′W x(t) + 2x(t)^′Su(t) + u(t)^′Ru(t)) dt

приведено в [204]. Здесь W = W^′, R = R^′, x_k(t) ∈ IRnk , k = 0, 2, u(t) ∈ IR^r,

{w(t)}_t≥0

одномерный стандартный винеровский процесс, ε₀ = 1, ε_k =

= ε_k(ε), ε_k : [0,ε^∗] → [0,+∞), lim

ε_k(ε) = 0, k = 1,2, lim

ε₂(ε)/ε₁(ε) = 0,

ε→0

δ > 1/2. Получено управление в форме обратной связи, близкое к оптималь-

ному, определяемое матрицей, не зависящей от малых параметров, которые

могут быть неизвестными. Установлена оценка близости значения критерия

качества для найденного приближенного управления к оптимальному значе-

нию.

В [205] рассматривается задача минимизации математического ожидания

квадратичного функционала вида (29) на траекториях сингулярно возмущен-

ной системы дифференциальных уравнений Ито (28), где все коэффициенты

могут зависеть от ε, δ = 1/2, а ε_k неубывающие функции, удовлетворяю-

щие условиям из [204], причем ε_k(ε) = 0 в том и только том случае, если

ε = 0, k = 1,2.

При некоторых условиях в этой статье изучается асимптотическая струк-

тура стабилизирующего решения матричного алгебраического уравнения

Риккати, возникающего при отыскании оптимального управления рассмат-

риваемой стохастической задачи в форме обратной связи. При этом, в от-

личие от детерминированного случая, где система предельных алгебраиче-

ских уравнений Риккати получается из матричного уравнения Риккати для

возмущенной задачи при нулевых значениях малых параметров, в рассмат-

риваемом стохастическом случае система предельных уравнений Риккати не

может быть получена таким образом. Она зависит от матриц, определяю-

щих влияние винеровского процесса, которые входят в уравнения состояния

для быстрых переменных с малыми параметрами. Алгоритм получения си-

стемы предельных алгебраических уравнений Риккати для изучаемой задачи

подробно обсуждается.

10. Приложения

В различных областях науки и практики исследователи сталкиваются с

необходимостью изучения задач, содержащих быстрые и медленные перемен-

ные. Далее перечисляются некоторые практические задачи с разнотемповы-

ми быстрыми переменными.

Многотемповые системы возникают в теории цепных химических реакций

[43], где присутствуют активные центры, константы скорости реакции для ко-

торых различны (активными центрами называются те частицы валентные

атомы, радикалы, благодаря наличию которых реакция начинается и разви-

вается). В качестве малых параметров, стоящих при производных, здесь вы-

ступают отношения константы скорости медленного активного центра к кон-

стантам скоростей остальных активных центров. В [206] приведено обосно-

вание метода квазистационарных концентраций Семенова-Боденштейна, со-

стоящего в отбрасывании производных от концентраций быстрых активных

центров и решении вырожденной задачи. Как указано в [43], системы рас-

смотренного в [206] типа также возникают при описании цепи превращений

радиоактивных ядер, из которых некоторые являются наиболее долгоживу-

щими.

Кинетика вспомогательного механизма реакции фермента, где появляется

система нелинейных дифференциальных уравнений с малыми множителями

при производных, анализируется в [207].

В [208] изучается понижение размерности для появляющихся в биохимии

систем, число различных скоростей изменения переменных в которых больше

двух.

В монографии [145, cтр. 90-96] методами теории сингулярных возмущений

изучается линеаризованная модель управления с разнотемповыми быстрыми

переменными для топливных элементов с протонообменной мембраной (см.

также [63, 209, 210]).

Теорема Тихонова используется в [211] для анализа трехтемповых сингу-

лярно возмущенных систем, описывающих биомолекулярные модели. Приве-

ден пример системы, возникающей в фосфорилировании.

Быстрые переменные со скоростями изменения разных порядков появля-

ются при исследовании моделей океанических течений (см., например, [212]).

Система с двумя малыми параметрами различного порядка малости при

производных, описывающая пусковой режим электродвигателя постоянного

тока при одновременном включении цепи якоря и обмотки возбуждения, об-

суждается в [43].

Условия устойчивости разнотемповых систем, возникающих в различ-

ных моделях электрических цепей, рассмотрены в [102, 115]. Многотемпо-

вые системы, описывающие модель электрической цепи с туннельным дио-

дом [108] и электромеханические процессы в демпфированной синхронной ма-

шине с изменяющимися потокосцеплениями, исследуются в [2, cтр. 137-144;

109, cтр. 254-262] методом интегральных многообразий. Устойчивость син-

хронной машины изучалась в [213].

Анализ устойчивости системы с трехтемповыми переменными, возникаю-

щей при изучении одного класса микросетей переменного тока для распреде-

ленных генераторов, проводится в [214].

Эффективность полученного в [202] алгоритма построения приближенных

стратегий в стохастических играх Нэша с разнотемповыми быстрыми пере-

менными демонстрируется в этой статье на примере многоаппаратной энерге-

тической системы. Управление в форме обратной связи для линеаризованной

модели угольной электростанции с трехтемповыми переменными построено

в [215]. Асимптотический анализ начальных и краевых задач для дискрет-

ных линейных сингулярно возмущенных систем седьмого порядка с тремя

малыми параметрами, возникающих при моделировании управления часто-

той нагрузки двухзонной энергосистемы, приведен в [81]. Различные модели

энергосистем с разнотемповыми быстрыми переменными исследуются также

в [79; 80; 137, cтр. 139-141; 141; 196; 203; 216-218].

Используя асимптотику решения двухточечной краевой задачи, вытекаю-

щей из условия оптимальности управления, в [152] построено асимптотиче-

ское разложение второго порядка для оптимального управления в дискрет-

ной модели энергосистемы пятого порядка. Приближение второго порядка

для асимптотического решения начальной задачи для такой модели пред-

ставлено в [79].

Синтез нелинейных нестационарных систем управления с разнотемповы-

ми процессами изучается в [219]. В частности (стр. 118), рассматривается

случай, когда в модели объекта управления, эталонной модели желаемого

поведения выхода и в алгоритме управления присутствуют различные пара-

метры при производных. Трехтемповые процессы используются также при

синтезе систем экстремального регулирования [220].

Система для трехтемповых переменных, возникающая при использовании

устройства управления двигателем Уорда Леонарда, исследовалась в [221].

В математических моделях управления и эксплуатации ядерных реакто-

ров присутствуют переменные с разными скоростями изменения. В моногра-

фии [222] рассматриваются декомпозиция таких моделей и построение ком-

позитного (составного) управления, причем исследование в основном акцен-

тируется на трехтемповых системах.

При некоторых значениях параметров системы с трехтемповыми перемен-

ными присутствуют в модели воспламенения в дизельном двигателе [223; 224,

стр. 94-98], а также в системе уравнений Лоренца-Хакена (класс B по терми-

нологии [225, стр. 11, 15]), описывающей одну из основных моделей динамиче-

ской теории лазеров в случае твердотельных лазеров на слаболегированных

кристаллах и стеклах, волоконных, полупроводниковых и некоторых моле-

кулярных газовых лазеров низкого давления. Траектории-утки для таких

систем обсуждаются в [224, стр. 139-140].

Изучаются и системы с несколькими малыми параметрами при производ-

ных, возникающие в механике. Например, задача терминального управления

линейной трехтемповой системой с ограничениями на состояние в конечный

момент времени в виде равенства и со значениями скалярного управления

из замкнутого интервала, описывающая движение под действием управляю-

щих сил двух материальных точек с массами различных порядков малости,

соединенных между собой пружиной, решается в [190] с помощью построе-

ния асимптотики точек переключения трех базовых задач. Подобная задача

в случае, когда к точке с большей массой приложена возмущающая сила,

изучается в [192].

Метод интегральных многообразий применяется для анализа трехтемпо-

вой модели колебаний гироскопа в кардановом подвесе с упругим валом и

неуравновешенным ротором в [2, cтр. 137-136; 109, cтр. 248-250].

Система с трехтемповыми переменными, описывающая процесс намотки

для непрерывных прокатных станов, изучается в [226].

Системы с трехтемповыми переменными рассматриваются и при изучении

стабилизации верхнего положения равновесия маятника вращением инерци-

ального маховика [20], а также стабилизации поступательных движений вра-

щением эксцентрикового маховика [21]. При этом в качестве малых парамет-

ров при производных выступают временные константы фильтров.

Начально-краевая задача с разнотемповыми быстрыми переменными для

линейной системы дифференциальных уравнений, содержащей обыкновен-

ное дифференциальное уравнение и два уравнения в частных производных,

описывающей поворот твердого тела с жестко закрепленным в нем упругим

стержнем постоянного сечения, исследуется в [227].

В [228] рассматривается модель движения двухколесного экипажа с

передне-задним расположением колес, движущегося по горизонтальной ше-

роховатой поверхности. Эта модель содержит две быстрые переменные раз-

ных порядков изменения. Конструкция экипажа считается абсолютно жест-

кой, переднее колесо фиксировано в плоскости продольной симметрии эки-

пажа, боковых наклонов нет. Последнее допущение оправдано для общепри-

нятой в литературе “велосипедной” модели автомобиля либо для велосипеда

или мотоцикла в пренебрежении эффектами, связанными с наклонами кор-

пуса. Показано, что при определенном сочетании параметров потеря сцепле-

ния колеса с дорогой приводит к заносу экипажа. Исследования на эту тему

продолжены в [229] для разных режимов заноса.

Системы с быстрыми переменными двух порядков появляются также при

изучении модели качения с конечными углами поворота передних колес отно-

сительно корпуса [230, cтр. 84] и при исследовании вкатывания гребня колеса

железнодорожного экипажа на головку рельса одного из наиболее опасных

режимов движения, чреватого сходом [231]. Для таких систем в этих работах

обсуждается предельный переход решения возмущенной задачи к решению

вырожденной.

В [137, cтр. 141-143] для математической модели с трехтемповыми пе-

ременными движения легковой машины по неровной дороге решается за-

дача Калмановской фильтрации при помощи фильтров Калмана меньшего

порядка.

Если в модели однозвенного робота-манипулятора [232] величины момен-

тов инерции для двигателя и звена имеют различный порядок малости, то

получаем сингулярно возмущенную систему с двухтемповыми быстрыми дви-

жениями. Группы роботов, характеризующиеся разнотемповыми быстрыми

движениями, рассматривались в [233].

Методами теории сингулярных возмущений в [234] изучаются многотемпо-

вые системы с неопределенностями, возникающими при моделировании авто-

номных подводных аппаратов, являющихся важным инструментом для мор-

ских изысканий, исследования портов, обнаружения мин и прокладки под-

водных трубопроводов. Задачи управления и анализ устойчивости для таких

аппаратов с динамикой, ограниченной горизонтальной плоскостью, представ-

лены в [235].

Статья [236] посвящена моделированию различных переходных процессов

для системы преобразования энергии ветра на основе синхронного генератора

с постоянными магнитами. При этом используются сингулярно возмущенные

системы с трехтемповыми переменными. Такого типа системы применяются

также в [237] при изучении гибких ветряных турбин.

В [238] представлен обзор работ, связанных с приложением теории сингу-

лярно возмущенных задач с несколькими малыми параметрами к изучению

динамики летательных аппаратов, при этом рассмотрены несколько моде-

лей самолетов и ракет. Уравнения движения с трехтемповыми переменными

приведены в [239, 240]. В [241, cтр. 221-290; 242, 243] на основе декомпозиции

исходной системы с последующим построением составной функции Ляпунова

изучается устойчивость нелинейной трехтемповой системы, возникающей при

моделировании динамики вертолета. Гироскопическая стабилизация косми-

ческих летательных аппаратов, движение которых описывается многотемпо-

выми переменными, рассматривается в [117]. Используя теорию сингулярных

возмущений для трехтемповой системы, описывающей движение гиперзвуко-

вого воздушного летательного аппарата, в [244] предложен эффективный ме-

тод управления, обеспечивающий возможность восстановления после сбоев.

Управление нелинейными четырехтемповыми моделями самолета с неопреде-

ленностями и беспилотного летательного аппарата изучаются соответственно

в [245, 246], а трехтемповая модель, описывающая регулирование вертикаль-

ным положением радиоуправляемого вертолета, в [247].

В [248] рассматривается приближение нулевого порядка для решения за-

дачи быстродействия в плоской задаче перехвата, в которой используется

нелинейная система дифференциальных уравнений для трехтемповых пере-

менных.

Системы с трехтемповыми переменными появляются и при анализе одной

модели дофаминергических нейронов в [249], а также в модели, состоящей из

пары взаимосвязанных систем Морриса-Лекара [250].

В модели вирусной эволюции возникает начально-краевая задача с

трехтемповыми переменными для сингулярно возмущенной системы инте-

гро-дифференциальных уравнений в частных производных, содержащей два

малых параметра при производных. Асимптотическое решение такой задачи

при помощи метода пограничных функций построено в [251].

В [252] рассматриваются линейно-квадратичные задачи оптимального

управления на бесконечном промежутке с дешевыми управлениями двух раз-

личных порядков малости, получившиеся в результате линеаризации эпиде-

мической модели (SIRC). C помощью решения матричного алгебраического

уравнения Риккати находится оптимальное управление в форме обратной

связи. Используемые в численных расчетах параметры основаны на клини-

ческих наблюдениях.

Теория сингулярных возмущений применяется в [253] при изучении дина-

мики биологической модели Розенцвейга-Макартура для тритрофной пище-

вой цепи в случае хищников двух типов.

Трехтемповые переменные появляются и в модели лесного вредителя [254].

Вредитель питается старыми деревьями и растет быстро, молодые деревья

в среднем темпе, а старые в медленном.

Описание социально-экономической модели транснациональной корпора-

ции, представляющей собой линейную иерархическую трехуровневую систе-

му Центр-Регионы-Предприятия, где Центр характеризуется медленным тем-

пом, а Предприятия сверхбыстрым, приведено в [255]. Обсуждается воз-

можность декомпозиции исходной системы на три подсистемы. Задаче управ-

ления производственной моделью, содержащей процессы с тремя масштабами

изменения скорости, посвящена статья [256].

В [257] рассматривается сеточная аппроксимация решения и его произ-

водной на конечной области, содержащей переходный слой, для сингулярно

возмущенного уравнения Блэка-Шоулза с негладкими начальными данны-

ми, возникающего при математическом моделировании в финансовой мате-

матике. При этом порядок изменения скорости у пограничного и внутреннего

слоев разный.

11. Заключение

Как видно из раздела “Приложения”, имеется значительный интерес к при-

кладным задачам с разнотемповыми быстрыми переменными. Идеи А.Б. Ва-

сильевой, В.Ф. Бутузова и А.М. Ильина, впервые построивших асимптотику

решения для некоторых классов такого рода задач, продолжают развиваться

в разных направлениях и широко использоваться на практике.

Приведенный в этой статье список публикаций не претендует на абсолют-

ную полноту. Просим прощения у авторов, чьи работы по теме статьи не

были упомянуты.

Авторы выражают глубокую благодарность рецензентам статьи за указа-

ние полезной информации, а также А.В. Влаховой, Н.В. Воропаевой, А.Р. Да-

нилину, М.Г. Дмитриеву, Ю.Е. Гликлиху, В.Г. Задорожнему, А.И. Калинину,

О.О. Коврижных, А.С. Костенко, К.Н. Кудрявцеву, Д.А. Макарову, М.Е. Се-

менову, Н.Т. Хоай, О.Б. Цехан и G. Marinoschi за полезные обсуждения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингу-

лярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.

Воропаева Н.В., Соболев В.А. Геометрическая декомпозиция сингулярно воз-

мущенных систем. М.: Физматлит, 2009.

Дулан Э., Миллер Дж., Шилдерс У. Равномерные численные методы решения

задач с пограничным слоем. М.: Мир, 1983.

Doolan E.P., Miller J.J.H., Schilders W.H.A. Uniform Numerical Methods for

Problems with Initial and Boundary Layers. Dublin: Boole Press, 1980.

Дмитриев М.Г., Клишевич А.М. Итерационные методы решения сингулярно

возмущенных краевых задач условно устойчивого типа // Журн. вычисл. ма-

тем. и матем. физ. 1987. Т. 27. № 12. С. 1812-1823.

Dmitriev M.G., Klishevich A.M. Iterative Methods for Solving Singularly Perturbed

Boundary Value Problems of Conditionally Stable Type // USSR Comput. Math.

Math. Phys. 1987. V. 27. Iss. 6. P. 137-144.

Васильева А.Б. Асимптотика решений некоторых задач для обыкновенных

нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром при старших

производных // УМН. 1963. Т. XVIII. Вып. 3(111). С. 15-86.

Vasil’eva A.B. Asymptotic Behaviour of Solutions to Certain Problems Involving

Non-linear Differential Equations Containing a Small Parameter Multiplying the

Highest Derivatives // Russian Math. Surveys. 1963. V. 18. No. 3. P. 13-84.

Kokotovic P.V., O’Malley R.E. Jr., Sannuti P. Singular Perturbations and Or-

der Reduction in Control Theory

An Overview // Automatica. 1976. V. 12.

P. 123-132.

Васильева А.Б., Дмитриев М.Г. Сингулярные возмущения в задачах опти-

мального управления // Итоги науки и техн. Сер. Матем. анализ. 1982. Т. 20.

С. 3-77.

Vasil’eva A.B., Dmitriev M.G. Singular Perturbations in Optimal Control Prob-

lems // J. Soviet Mathematics. 1986. V. 34. P. 1579-1629.

https://doi.org/10.1007/BF01262406

Курина Г.А., Долгополова Е.Ю. Сингулярные возмущения в задачах управле-

ния. Библиогр. указатель (1982-2002). Воронеж: ВГЛТА, 2004.

Дмитриев М.Г., Курина Г.А. Сингулярные возмущения в задачах управле-

ния // АиТ. 2006. № 1. С. 3-51.

Dmitriev M.G., Kurina G.A. Singular Perturbations in Control Problems // Au-

tom. Remote Control. 2006. V. 67. No. 1. P. 1-43.

https://doi.org/10.1134/S0005117906010012

10.

Zhang Y., Naidu D.S., Cai C., Zou Y. Singular Perturbation and Time Scales in

Control Theory and Applications: an Overview 2002-2012 // Int. J. Inf. Syst. Sci.

2014. V. 9. No. 1. P. 1-36.

11.

Kurina G.A., Dmitriev M.G., Naidu D.S. Discrete Singularly Perturbed Control

Problems (A Survey) // Dyn. Contin. Discrete Impuls. Syst. Ser. B: Appl.

Algorithms. 2017. V. 24. P. 335-370.

https://www.semanticscholar.org/paper/Discrete-singularly-perturbed-control-

problems-(A-Kurina-Dmitriev/f4a005e6d3045c169ff54df3ffcc56598b271233

12.

Бояринцев Ю.Е. Регулярные и сингулярные системы линейных обыкновен-

ных дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, Сибирское отделе-

ние, 1980.

13.

Чистяков В.Ф., Щеглова А.А. Избранные главы теории алгебро-дифференци-

альных систем. Новосибирск: Наука, 2003.

14.

Kunkel P., Mehrmann V. Differential-Algebraic Equations Analysis and Numerical

Solution. Zürich: EMS Publishing House, 2006. https://doi.org/10.4171/017

15.

Duan G.-R. Analysis and Design of Descriptor Linear Systems. New York, Dor-

drecht, Heidelberg, London: Springer, 2010.

https://doi.org/10.1007/978-1-4419-6397-0

16.

Lamour R., März R., Tischendorf C. Differential-Algebraic Equations: A Projector

Based Analysis. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2013.

https://doi.org/10.1007/978-3-642-27555-5

17.

Курина Г.А. Сингулярные возмущения задач управления с уравнением состоя-

ния, не разрешенным относительно производной. Обзор // Изв. РАН. Техн.

кибернетика. 1992. № 4. С. 20-48.

Kurina G.A. Singular Perturbations of Control Problems with Equation of State

not Solved for the Derivative (a Survey) // J. Comput. Syst. Sci. Int. 1993. V. 31.

No. 6. P. 17-45.

18.

Abed E.H. On Multiparameter Singularly Perturbed Discrete-Time Systems //

Proc. 26th IEEE Conf. Decision and Control. Los Angeles, California, USA, 1987.

P. 2104-2105. https://doi.org/10.1109/CDC.1987.272925.

https://ieeexplore.ieee.org/abstract/document/4049669

19.

Вуйтович М. Метод дифференцирования по параметру при решении нелиней-

ных уравнений // Нелинейная динамика и управление. М.: Физматлит, 2007.

Вып. 5. С. 213-218.

20.

Хорошун А.С. О стабилизации верхнего положения равновесия маятника

вращением инерциального маховика // Прикл. механика. 2016. Т. 52. № 5.

С. 125-136.

Khoroshun A.S. Stabilization of the Upper Equilibrium Position of a Pendulum by

Spinning an Inertial Flywheel // Int. Appl. Mech. 2016. V. 52. No. 5. P. 547-556.

https://doi.org/10.1007/s10778-016-0775-1

21.

Хорошун А.С. О стабилизации поступательных движений вращением эксцен-

трикового маховика // Прикл. механика. 2018. Т. 54. № 5. С. 123-135.

Khoroshun A.S. Stabilization of Translation by an Eccentric Flywheel // Int. Appl.

Mech. 2018. V. 54. No. 5. P. 600-610. https://doi.org/10.1007/s10778-018-0914-y

22.

Kokotovic P.V. Subsystems, Time Scales and Multimodeling // IFAC Proceedings

Volumes. 1980. V. 13. Iss. 6. P. xxvii-xxxiii.

https://doi.org/10.1016/S1474-6670(17)64778-5

23.

Saksena V.R., O’Reilly J., Kokotovic P.V. Singular Perturbations and Time-Scale

Methods in Control Theory: Survey 1976-1983 // Automatica. 1984. V. 20. No. 3.

P. 273-293. https://doi.org/10.1016/0005-1098(84)90044-X

24.

Mukaidani H., Dragan V. Control of Deterministic and Stochastic Systems with

Several Small Parameters a Survey // Ann. Acad. Rom. Sci. Ser. Math. Appl.

2009. V. 1. No. 1. P. 112-158.

25.

Васильева А.Б. О дифференциальных уравнениях, содержащих малые пара-

метры // Матем. сб. 1952. Т. 31(73). № 3. С. 587-644.

26.

Тихонов А.Н. О системах дифференциальных уравнений, содержащих пара-

метры // Матем. сб. Новая серия. 1950. Т. 27(69). № 1. С. 147-156.

27.

Градштейн И.С. Дифференциальные уравнения, в которых множителями при

производных входят различные степени малого параметра // Докл. АН СССР.

1952. Т. LXXXII. № 1. С. 5-8.

28.

Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые па-

раметры при производных // Матем. сб. 1952. Т. 31(73). № 3. С. 575-586.

29.

Градштейн И.С. Применение теории устойчивости А.М. Ляпунова к теории

дифференциальных уравнений с малыми множителями при производных //

Матем. сб. 1953. Т. 32(74). № 2. С. 263-286.

30.

Тихонов А.Н. Сборник научных трудов в 10 томах; РАН. Т. 1. Математика

(в 2 ч.). Часть 1. М.: Наука, 2012.

31.

Hoppensteadt F. Stability in Systems with Parameter // J. Math. Anal. Appl. 1967.

V. 18. P. 129-134. https://doi.org/10.1016/0022-247X(67)90187-4

32.

Hoppensteadt F. On Systems of Ordinary Differential Equations with Several Pa-

rameters Multiplying the Derivatives // J. Different. Equat. 1969. V. 5. P. 106-116.

https://doi.org/10.1016/0022-0396(69)90106-5

33.

Градштейн И.С. О решениях на временной полупрямой дифференциальных

уравнений с малыми множителями при производных // Матем. сб. 1953.

Т. 32(74). № 3. С. 533-544.

34.

Harris W.A. Jr. Singular Perturbations of Two-Point Boundary Problems for Sys-

tems of Ordinary Differential Equations // Arch. Ration. Mech. Anal. 1960. V. 5.

P. 212-225. https://doi.org/10.1007/BF00252904

35.

Козловская Т.Д. Краевая задача для систем условно устойчивого типа с раз-

личными малыми параметрами при старших производных // Дифференц.

уравнения. 1973. Т. IX. № 5. С. 832-845.

36.

Grammel G. On Nonlinear Control Systems with Multiple Time Scales // J. Dyn.

Control Syst. 2004. V. 10. No. 1. P. 11-28.

https://doi.org/10.1023/B:JODS.0000012015.69096.f1

37.

Бутузов В.Ф., Неделько И.В. О формировании решения с внутренним слоем

в параболической системе с разными степенями малого параметра // Диффе-

ренц. уравнения. 2004. Т. 40. № 3. С. 356-367.

Butuzov V.F., Nedelko I.V. On the Formation of a Solution with an Internal Layer

in a Parabolic System with Different Powers of a Small Parameter // Different.

Equat. 2004. V. 40. No. 3. P. 382-395.

https://doi.org/10.1023/B:DIEQ.0000035776.65916.d7

38.

Cheng B., Ju Q., Schochet S. Three-Scale Singular Limits of Evolutionary PDEs //

Arch. Ration. Mech. Anal. 2018. V. 229. P. 601-625.

https://doi.org/10.1007/s00205-018-1233-5

39.

Perjan A., Rusu G. Convergence Estimates for Abstract Second Order Differen-

tial Equations with Two Small Parameters and Monotone Nonlinearities // Topol.

Methods Nonlinear Anal. 2019. V. 54. No. 2B. P. 1093-1110.

https://doi.org/10.12775/TMNA.2019.089

40.

Васильева А.Б. О дифференциальных уравнениях, содержащих малые пара-

метры // Автореф. дисс. канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ, 1951.

41.

Васильева А.Б. Асимптотические формулы для решений систем обыкновенных

дифференциальных уравнений, содержащих при производных параметры раз-

личных порядков малости // Докл. АН СССР. 1959. Т. 128. № 6. С. 1110-1113.

42.

Васильева А.Б. Асимптотические методы в теории обыкновенных дифференци-

альных уравнений с малыми параметрами при старших производных // Дисс.

докт. физ.-мат. наук. М.: МГУ, 1961.

43.

Васильева А.Б. Асимптотические методы в теории обыкновенных дифференци-

альных уравнений с малыми параметрами при старших производных // Журн.

вычисл. матем. и матем. физ. 1963. Т. 3. № 4. С. 611-642.

Vasil’eva A.B. Asymptotic Methods in the Theory of Ordinary Differential Equa-

tions with Small Parameters Multiplying the Highest Derivatives // Comput. Math.

Math. Phys. 1963. V. 3. Iss. 4. P. 823-863.

44.

O’Malley R.E. Jr. On Initial Value Problems for Nonlinear Systems of Differential

Equations with Two Small Parameters // Arch. Ration. Mech. Anal. 1971. V. 40.

P. 209-222. https://doi.org/10.1007/BF00281482

45.

Huang Wei-zhang, Chen Yu-sen. Initial Layer Phenomena for a Class of Singular

Perturbed Nonlinear System with Slow Variables // Appl. Math. Mech. 2004. V. 25.

No. 7. P. 836-844. https://doi.org/10.1007/bf02437577

46.

Кузьмина Р.П. Асимптотические методы для обыкновенных дифференциаль-

ных уравнений. М.: Едиториал УРСС, 2003.

Kuzmina R.P. Asymptotic Methods for Ordinary Differential Equations. Dordrecht:

Springer, 2000.

47.

Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференци-

альных уравнений. М.: Мир, 1968.

Wasow W. Asymptotic Expansions for Ordinary Differential Equations. New York,

London, Sydney: A Division of Jonh Wiley & Sons. Inc., 1965.

48.

Wasow W. Periodic Singular Perturbations of Ordinary Differential Equations //

Тр. Междунар. симпозиума по нелинейным колебаниям Международного сою-

за по теоретичеcкой и прикладной механике. Киев 12-18 сентября 1961. Анали-

тические методы теории нелинейных колебаний. T. I. Киев, 1963. С. 172-180.

49.

O’Malley R.E. Jr. Two-Parameter Singular Perturbation Problems for Second-

Order Equations // J. Math. Mech. 1967. V. 16. No. 10. P. 1143-1164.

50.

O’Malley R.E. Jr. Singular Perturbations of Boundary Value Problems for Linear

Ordinary Differential Equations Involving Two Parameters // J. Math. Anal. Appl.

1967. V. 19. P. 291-308. https://doi.org/10.1016/0022-247X(67)90124-2

51.

O’Malley R.E. Jr. Introduction to Singular Perturbations. New York and London:

Academic Press Inc., 1974.

52.

Шишкин Г.И. Первая краевая задача для уравнения второго порядка с малыми

параметрами при производных // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13. № 2.

С. 376-378.

53.

Ильин А.М., Коврижных О.О. Асимптотика решения системы линейных урав-

нений с двумя малыми параметрами // Докл. АН. 2004. Т. 396. № 1. С. 23-24.

54.

Коврижных О.О. Асимптотическое разложение решения сингулярно возму-

щенной системы линейных уравнений // Дифференц. уравнения. 2005. Т. 41.

№ 10. С. 1322-1331.

Kovrizhnykh O.O. Asymptotic Expansion of a Solution of a Singularly Perturbed

System of Linear Equations // Different. Equat. 2005. V. 41. No. 10. P. 1392-1402.

https://doi.org/10.1007/s10625-005-0291-2

55.

Данилин А.Р., Коврижных О.О. Об асимптотике решения системы линейных

уравнений с двумя малыми параметрами // Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44.

№ 6. С. 738-747.

Danilin A.R., Kovrizhnykh O.O. On the Asymptotics of the Solution of a System

of Linear Equations with Two Small Parameters // Different. Equat. 2008. V. 44.

No. 6. P. 757-767. https://doi.org/10.1134/S0012266108060025

56.

Коврижных О.О. Об асимптотическом решении сингулярно возмущенной си-

стемы с двумя малыми параметрами // Тр. ИММ УрО РАН. 2007. Т. 13. № 2.

С. 124-134.

Kovrizhnykh O.O. On an Asymptotic Solution of a Singularly Perturbed System

with Two Small Parameters // Proc. Steklov Inst. Math. (Suppl). 2007. V. 259.

Suppl. 2. P. S178-S189. https://doi.org/10.1134/S0081543807060120

57.

O’Malley R.E. Jr. Boundary Value Problems for Linear Systems of Ordinary Differ-

ential Equations Involving Many Small Parameters // J. Math. Mech. 1969. V. 18.

No. 9. P. 835-855.

58.

Ladde G.S., Rajalakshmi S.G. Diagonalization and Stability of Multi-Time-Scale

Singularly Perturbed Linear Systems // Appl. Math. Comput. 1985. V.

16.

P. 115-140. https://doi.org/10.1016/0096-3003(85)90003-7

59.

Ladde G.S., Rajalakshmi S.G. Singular Perturbations of Linear Systems with Mul-

tiparameters and Multiple Time Scales // J. Math. Anal. Appl. 1988. V. 129.

P. 457-481.

60.

Kathirkamanayagan M., Ladde G.S. Singularly Perturbed Linear Boundary Value

Problems // J. Math. Anal. Appl. 1992. V. 168. P. 430-459.

https://doi.org/10.1016/0022-247X(92)90171-9

61.

Prljaca N., Gajic Z. General Transformation for Block Diagonalization of Multi

Time-scale Singularly Perturbed Linear Systems // Proc. 2007 American Control

Conf. New York, 2007. P. 1670-1675.

62.

Cherevko I., Osypova O. Asymptotic Decomposition of Linear Singularly Perturbed

Multiscale Systems // Miskolc Math. Notes. 2015. V. 16. No. 2. P. 729-745.

https://doi.org/10.18514/MMN.2015.1627

63.

Kodra K., Zhong N. Singularly Perturbed Modeling and LQR Controller Design for

a Fuel Cell System // Energies. 2020. 13. 2735. https://doi.org/10.3390/en13112735

64.

Бутузов В.Ф., Левашова Н.Т., Мельникова А.А. Контрастная структура типа

ступеньки в сингулярно возмущенной системе уравнений с различными степе-

нями малого параметра // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2012. Т. 52.

№ 11. С. 1983-2003.

Butuzov V.F., Levashova N.T., Mel’nikova A.A. Steplike Contrast Structure in a

Singularly Perturbed System of Equations with Different Powers of Small Parame-

ter // Comput. Math. Math. Phys. 2012. V. 52. No. 11. P. 1526-1546.

https://doi.org/10.1134/S096554251211005X

65.

Roos H.-G. Special Features of Strongly Coupled Systems of Convection-Diffusion

Equations with Two Small Parameters // Appl. Math. Lett. 2012. V. 25. Iss. 8.

P. 1127-1130. https://doi.org/10.1016/j.aml.2012.02.018

66.

Campbell S.L., Rose N.J. Singular Perturbation of Autonomous Linear Systems

III // Houston J. Math. 1978. V. 4. No. 4. P. 527-539.

67.

Жукова Г.С. Асимптотическое интегрирование обыкновенных линейных диф-

ференциальных уравнений. Воронеж: Изд-во Воронеж. ун-та, 1988.

68.

Krupa M., Popović N., Kopell N. Mixed-Mode Oscillations in Three Time-Scale

Systems: A Prototypical Example // SIAM J. Appl. Dyn. Syst. 2008. V. 7. No. 2.

P. 361-420. https://doi.org/10.1137/070688912

69.

Бутузов В.Ф., Деркунова E.А. О сингулярно возмущенной системе уравнений

в частных производных первого порядка с разными степенями малого пара-

метра // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42. № 6. С. 775-789.

Butuzov V.F., Derkunova E.A. On a Singularly Perturbed System of First-Order

Partial Differential Equations with Various Degrees of a Small Parameter // Dif-

ferent. Equat. 2006. V. 42. No. 6. P. 826-841.

https://doi.org/10.1134/S0012266106060073

70.

Деркунова E.А. Об одной сингулярно возмущенной системе трех уравнений в

частных производных первого порядка // Вестн. Южно-Ур. ун-та. Сер.: Матем.

Мех. Физ. 2012. Вып. 7. С. 153-156.

71.

Бутузов В.Ф. Об асимптотике решений сингулярно возмущенных уравнений

эллиптического типа в прямоугольной области // Дифференц. уравнения. 1975.

Т. XI. № 6. С. 1030-1041.

72.

Бутузов В.Ф. Сингулярно возмущенное уравнение эллиптического типа с

двумя малыми параметрами // Дифференц. уравнения. 1976. Т. XII. № 10.

С. 1793-1803.

73.

Бутузов В.Ф., Неделько И.В. Контрастная структура типа ступеньки в син-

гулярно возмущенной системе эллиптических уравнений с разными степенями

малого параметра // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т. 40. № 6.

С. 877-899.

Butuzov V.F., Nedelko I.V. A Steplike Contrast Structure in a Singularly Perturbed

System of Elliptic Equations with Different Power of a Small Parameter // Comput.

Math. Math. Phys. 2000. V. 40. No. 6. P. 837-859.

74.

Бутузов В.Ф., Нестеров А.В. Об асимптотике решения уравнения параболи-

ческого типа с малыми параметрами при старших производных // Журн. вы-

числ. матем. и матем. физ. 1982. Т. 22. № 4. С. 865-870.

Butuzov V.F., Nesterov A.V. The Asymptotics of a Solution of an Equation of

Parabolic Type with Small Parameters Multiplying the Highest Derivatives //

USSR Comput. Math. Math. Phys. 1982. V. 22. No. 4. P. 100-105.

https://doi.org/10.1016/0041-5553(82)90011-8

75.

Naidu D.S., Rao A.K. Singular Perturbation Analysis of Discrete Control Systems.

Lecture Notes in Math. V. 1154. Berlin: Springer-Verlag, 1985.

https://doi.org/10.1007/BFb0074760

76.

Naidu D.S. Singular Perturbation Methodology in Control Systems. IEE Control

Eng. Ser. V. 34. London: Peter Peregrinus Ltd, 1988.

77.

Krishnarayalu M.S., Naidu D.S. Singular Perturbation Method for Boundary Value

Problems in Two-Parameter Discrete Control Systems // Int. J. Syst. Sci. 1988.

V. 19. No. 10. P. 2131-2143. https://doi.org/10.1080/00207728808964105

78.

Naidu D.S., Krishnarayalu M.S. Singular Perturbation Method for Initial Value

Problems in Two-Parameter Discrete Control Systems // Int. J. Syst. Sci. 1987.

V. 18. Iss. 12. P. 2197-2208. https://doi.org/10.1080/00207728708967181

79.

Kishore Babu G., Krishnarayalu M.S. An Application of Discrete Two Parameter

Singular Perturbation Method // Int. J. Eng. Res. Technol. 2012. V. 1. Iss. 10.

P. 1-10.

80.

Kishor Babu G., Krishnarayalu M.S. Application of Singular Perturbation Method

to Two Parameter Discrete Power System Model // J. Control Instrument. Eng.

2017. V. 3. Iss. 3. P. 1-13.

81.

Kishor Babu G., Krishnarayalu M.S. Discrete Multi Parameter Singular Perturba-

tion Method with Power System Application // Int. J. Recent Techn. Eng. 2019.

V. 8. Iss. 2. P. 236-244. https://doi.org/10.35940/ijrte.A3081.078219

82.

O’Riordan E., Pickett M.L., Shishkin G.I. Singularly Perturbed Problems. Mod-

eling Reaction-Convection-Diffusion Processes // Comput. Methods Appl. Math.

2003. V. 3. No. 3. P. 424-442. https://doi.org/10.2478/cmam-2003-0028

83.

O’Riordan E., Pickett M.L. Numerical Approximations to the Scaled First Deriva-

tives of the Solution to a Two Parameter Singularly Perturbed Problem // J. Com-

put. Appl. Math. 2019. V. 347. P. 128-149.

https://doi.org/10.1016/j.cam.2018.08.004

84.

Zhang J., Lv Y. High-Order Finite Element Method on a Bakhvalov-Type Mesh

for a Singularly Perturbed Convection-Diffusion Problem with Two Parameters //

Appl. Math. Comput. 2021. V. 397. 125953.

https://doi.org/10.1016/j.amc.2021.125953

85.

Khandelwal P., Khan A. Singularly Perturbed Convection-Diffusion Boundary

Value Problems with Two Small Parameters Using Nonpolynomial Spline Tech-

nique // Math. Sci. 2017. V. 11. No. 2. P. 119-126.

https://doi.org/10.1007/s40096-017-0215-3

86.

Chandru M., Prabha T., Shanthi V. A Parameter Robust Higher Order Numerical

Method for Singularly Perturbed Two Parameter Problems with Non-Smooth Da-

ta // J. Comput. Appl. Math. 2017. V. 309. P. 11-27.

https://doi.org/10.1016/j.cam.2016.06.009

87.

Tikhovskaya S.V., Korbut M.F. Two-Grid Algorithm for the Solution of Singularly

Perturbed Two-Parameter Problem on Shishkin Mesh // J. Phys.: Conf. Ser. 2019.

V. 1210. 012142. https://doi.org/10.1088/1742-6596/1210/1/012142

88.

Rao S.C.S., Chawla S. Parameter-Uniform Convergence of a Numerical Method

for a Coupled System of Singularly Perturbed Semilinear Reaction-Diffusion Equa-

tions with Boundary and Interior Layers // J. Comput. Appl. Math. 2019. V. 352.

P. 223-239. https://doi.org/10.1016/j.cam.2018.11.021

89.

O’Riordan E., Pickett M.L., Shishkin G.I. Parameter-Uniform Finite Difference

Schemes for Singularly Perturbed Parabolic Diffusion-Convection-Reaction Prob-

lems // Math. Comp. 2006. V. 75. No. 255. P. 1135-1154.

https://doi.org/10.1090/S0025-5718-06-01846-1

90.

Das P., Mehrmann V. Numerical Solution of Singularly Perturbed Convection-

Diffusion-Reaction Problems with Two Small Parameters // BIT Numer. Math.

2016. V. 56. Iss. 1. P. 51-76. https://doi.org/10.1007/s10543-015-0559-8

91.

Шишкин Г.И. Сеточная аппроксимация сингулярно возмущенных параболиче-

ских уравнений при наличии слабых и сильных переходных слоев, порождае-

мых разрывной правой частью // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2006.

Т. 46. № 3. С. 407-420.

Shishkin G.I. Grid Approximation of Singularly Perturbed Parabolic Equations in

the Presence of Weak and Strong Transient Layers Induced by a Discontinuous

Right-Hand Side // Comput. Math. Math. Phys. 2006. V. 46. No. 3. P. 388-401.

https://doi.org/10.1134/S0965542506030067

92.

Шишкин Г.И. Сеточная аппроксимация сингулярно возмущенного эллиптиче-

ского уравнения с конвективными членами при наличии различных типов по-

граничных слоев // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2005. Т. 45. № 1.

С. 110-125.

Shishkin G.I. Grid Approximation of a Singularly Perturbed Elliptic Equation with

Convective Terms in the Presence of Various Boundary Layers // Comput. Math.

Math. Phys. 2005. V. 45. No. 1. P. 104-119.

93.

Shishkin G. Multiscale Problems with Various Boundary Layers for PDE’S in

Unbounded Domains // Math. Model. Anal. Proc. 10th Int. Conf. MMA2005 &

CMAM2. Trakai, 2005. P. 251-257.

94.

Kalaiselvan S.S., Miller J.J.H., Sigamani V. A Parameter Uniform Numerical

Method for a Singularly Perturbed Two-Parameter Delay Differential Equation //

Appl. Numer. Math. 2019. V. 145. P. 90-110.

https://doi.org/10.1016/j.apnum.2019.05.028

95.

Govindarao L., Sahu S.R., Mohapatra J. Uniformly Convergent Numerical Method

for Singularly Perturbed Time Delay Parabolic Problem with Two Small Parame-

ters // Iran. J. Sci. Technol. Trans. A: Sci. 2019. V. 43. Iss. 5. P. 2373-2383.

https://doi.org/10.1007/s40995-019-00697-2

96.

Sumit, Kumar S., Kuldeep, Kumar M. A Robust Numerical Method for a Two-

Parameter Singularly Perturbed Time Delay Parabolic Problem // Comput. Appl.

Math. 2020. V. 39. Article number: 209.

https://doi.org/10.1007/s40314-020-01236-1

97.

Chandru M., Das P., Ramos H. Numerical Treatment of Two-Parameter Singu-

larly Perturbed Parabolic Convection Diffusion Problems with Non-Smooth Data //

Math. Methods Appl. Sci. 2018. V. 41. P. 5359-5387.

https://doi.org/10.1002/mma.5067

98.

Kumar D., Kumari P. Uniformly Convergent Scheme for Two-Parameter Singularly

Perturbed Problems with Non-Smooth Data // Numer. Methods Partial Different.

Equat. 2020. V. 37. P. 796-817. https://doi.org/10.1002/num.22553

99.

Brdar M., Franz S., Roos H.-G. Numerical Treatment of Singularly Perturbed

Fourth-Order Two-Parameter Problems // Electron. Trans. Numer. Anal. 2019.

V. 51. P. 50-62. https://doi.org/10.1553/etna_vol51s50

100.

Das P., Rana S., Vigo-Aguiar J. Higher Order Accurate Approximations on

Equidistributed Meshes for Boundary Layer Originated Mixed Type Reaction Dif-

fusion Systems with Multiple Scale Nature // Appl. Numer. Math. 2020. V. 148.

P. 79-97. https://doi.org/10.1016/j.apnum.2019.08.028

101.

Roos H.-G., Schopf M. Layer Structure and the Galerkin Finite Element Method for

a System of Weakly Coupled Singularly Perturbed Convection-Diffusion Equations

with Multiple Scales // ESAIM: Math. Model. Numer. Anal. M2AN. 2015. V. 49.

No. 5. P. 1525-1547. https://doi.org/10.1051/m2an/2015027

102.

Khalil H.K., Kokotovic P.V. Control of Linear Systems with Multiparameter Sin-

gular Perturbations // Automatica. 1979. V. 15. Iss. 2. P. 197-207.

https://doi.org/10.1016/0005-1098(79)90070-0

103.

Khalil H.K., Kokotovic P.V. D-Stability and Multi-Parameter Singular Perturba-

tion // SIAM J. Control Optim. 1979. V. 17. No. 1. P. 56-65.

https://doi.org/10.1137/0317006

104.

Ladde G.S.,

Šiljak D.D. Multiparameter Singular Perturbations of Linear Systems

with Multiple Time Scales // Automatica. 1983. V. 19. No. 4. P. 385-394.

https://doi.org/10.1016/0005-1098(83)90052-3

105.

Grujić L.T. Singular Perturbations, Large-Scale Systems and Asymptotic Stability

of Invariant Sets // Int. J. Syst. Sci. 1979. V. 10. No. 12. P. 1323-1341.

https://doi.org/10.1080/00207727908941662

106.

Grujić L.T. Singular Perturbations and Large-Scale Systems // Int. J. Control.

1979. V. 29. No. 1. P. 159-169. https://doi.org/10.1080/00207177908922687

107.

Tellili A., Abdelkrim N., Challouf A., Abdelkrim M.N. Adaptive Fault Tolerant Con-

trol of Multi-time-scale Singularly Perturbed Systems // Int. J. Autom. Comput.

2018. V. 15. No. 6. P. 736-746. https://doi.org/10.1007/s11633-016-0971-9

108.

Khalil H.K. Asymptotic Stability of Nonlinear Multiparameter Singularly Perturbed

Systems // Automatica. 1981. V. 17. No. 6. P. 797-804.

https://doi.org/10.1016/0005-1098(81)90067-4

109.

Воропаева Н.В., Соболев В.А. Декомпозиция многотемповых систем. Самара:

СМС, 2000.

110.

Hsiao F.-H., Pan S.-T., Teng C.-C. D-Stability Bound Analysis for Discrete Mul-

tiparameter Singularly Perturbed Systems // IEEE Trans. Circuits Syst.-I: Funda-

mental Theory and Applications. 1997. V. 44. No. 4. P. 347-351.

https://doi.org/10.1109/81.563624

111.

Chiou J.-S., Wang C.-J. An Infinite ε-Bound Stability Criterion for a Class of

Multiparameter Singularly Perturbed Time-Delay Systems // Int. J. Syst. Sci. 2005.

V. 36. No. 8. P. 485-490. https://doi.org/10.1080/00207720500156421

112.

Abed E.H., Tits A.L. On the Stability of Multiple Time-Scale Systems // Int. J.

Control. 1986. V. 44. No. 1. P. 211-218.

https://doi.org/10.1080/00207178608933591

113.

Abed E.H. Decomposition and Stability of Multiparameter Singular Perturbation

Problems // IEEE Trans. Automat. Control. 1986. V. AC-31. No. 10. P. 925-934.

https://doi.org/10.1109/TAC.1986.1104130

114.

Abed E.H. New Results in Multiparameter Singular Perturbations // Proc. 25th

Conf. Decision and Control. Athens, Greece, 1986. P. 1385-1387.

https://doi.org/10.1109/CDC.1986.267612

115.

Desoer C.A., Shahruz S.M. Stability of Nonlinear Systems with Three Time Scale //

Circuits Syst. Signal Proc. 1986. V. 5. No. 4. P. 449-464.

https://doi.org/10.1007/BF01599620

116.

Miladzhanov V.G. Stability of Singular Large-Scale Systems in the Presence of

Structural Perturbations // Int. Appl. Mech. 1993. V. 29. P. 480-486.

https://doi.org/10.1007/BF00846912

117.

Martynyuk A.A., Miladzhanov V.G. Stability Theory of Large-Scale Dynamical Sys-

tems. bookboon.com, 2014.

118.

Cardin P.T., Teixeira M.A. Fenichel Theory for Multiple Time Scale Singular Per-

turbation Problems // SIAM J. Appl. Dyn. Syst. 2017. V. 16. No. 3. P. 1425-1452.

https://doi.org/10.1137/16M1067202

119.

Cardin P.T., Teixeira M.A. A Geometric Singular Perturbation Theory Approach

to Constrained Differential Equations // Math. Nachr. 2019. V. 292. Iss.

P. 892-904. https://doi.org/10.1002/mana.201700444

120.

Abed E.H., Silva-Madriz R.I. Stability of Systems with Multiple Very Small and

Very Large Parasitics // IEEE Trans. Circuits Syst. 1987. V. CAS-34. No. 9.

P. 1107-1110. https://doi.org/10.1109/TCS.1987.1086248

121.

Khalil H.K. Stabilization of Multiparameter Singularly Perturbed Systems // IEEE

Trans. Automat. Control. 1979. V. 24. No. 5. P. 790-791.

https://doi.org/10.1109/TAC.1979.1102145

122.

Khalil H.K. Asymptotic Stability of Non-linear Multiparameter Singularly Per-

turbed Systems // IFAC Control Science and Technology (8th Triennial World

Congress), Kyoto, Japan. 1981. P. 137-142.

123.

Dmitriev M., Makarov D. Stabilization of Quasilinear Systems with Multiparame-

ter Singular Perturbations // 13th Int. Conf. Management of Large-Scale System

Development (MLSD). 2020. https://doi.org/10.1109/MLSD49919.2020.9247844

124.

Шпилевая О.Я. Исследование разнотемповых процессов в адаптивной систе-

ме // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2009. № 6. С. 55-61.

125.

Dontchev A.L. Time-Scale Decomposition of the Reachable Set of Constrained Lin-

ear Systems // Math. Control Sygnal Syst. 1992. V. 5. P. 327-340.

126.

Abed E.H., Silva-Madriz R.I. Controllability of Multiparameter Singularly Per-

turbed Systems // IFAC 10th Triennial World Congress. Munich, FRG, 1987.

P. 127-130.

127.

Kekang X., Zhenquan W. D-controllability and Strong D-controllability and Control

of Multiparameter and Multiple Time-Scale Singularly Perturbed Systems / Syst.

Analysis and Simulation I. Advances in Simulation. V. 1. New York: Springer. 1988.

P. 255-258. https://doi.org/10.1007/978-1-4684-6389-7 53

128.

Kekang X., Zhenquan W. D-controllability and Control of Multiparameter and Mul-

tiple Time-Scale Singularly Perturbed Systems // J. Syst. Sci. Math. Sci. 1989. V. 2.

No. 3. P. 243-251.

129.

Курина Г.А. О полной управляемости разнотемповых сингулярно возмущен-

ных систем // Матем. заметки. 1992. Т. 52. Вып. 4. С. 56-61.

Kurina G.A. Complete Controllability of Various-Speed Singularly Perturbed Sys-

tems // Math. Notes. 1992. V. 52. No. 4. P. 1029-1033.

https://doi.org/10.1007/BF01210436

130.

Копейкина Т.Б. Управляемость разнотемповых сингулярно возмущенных си-

стем дифференциальных уравнений // Тр. БГТУ. Сер. 3: Физ.-мат. науки и

информатика. 2011. № 6. С. 7-11.

131.

Кириллова Ф.М., Чуракова С.В. Относительная управляемость линейных ди-

намических систем с запаздыванием // Докл. АН СССР. 1967. Т. 174. № 6.

С. 1260-1263.

132.

Копейкина Т.Б., Грекова А.В. Управляемость существенно разнотемповых син-

гулярно возмущенных динамических систем // Наука и техника. 2013. № 5.

С. 75-82.

133.

Семенова М.М. Декомпозиция многотемповых моделей управляемых и наблю-

даемых систем // Изв. Самар. научного центра РАН. Информатика, вычисли-

тельная техника и управление. 2020. Т. 22. № 1. С. 93-97.

134.

Белокопытов С.В., Дмитриев М.Г. Решение классических задач оптимального

управления с погранслоем // АиТ. 1989. № 7. С. 71-82.

Belokopytov S.V., Dmitriev M.G. Solution of Classical Optimal Control Problems

with a Boundary Layer // Autom. Remote Control. 1989. V. 50. No. 7. P. 907-917.

135.

Mukaidani H. A Numerical Algorithm for Finding Solution of Sign-Indefinite Al-

gebraic Riccati Equations for General Multiparameter Singularly Perturbed Sys-

tems // Appl. Math. Comput. 2007. V. 189. Iss. 1. P. 255-270.

https://doi.org/10.1016/j.amc.2006.11.088

136.

Wang Y-Y., Frank P.M., Wu N.E. Near-Optimal Control of Nonstandard Singularly

Perturbed Systems // Automatica. 1994. V. 30. No. 2. P. 277-292.

https://doi.org/10.1016/0005-1098(94)90030-2

137.

Gajić Z., Lim M. Optimal Control of Singularly Perturbed Linear Systems and Ap-

plications. High-Accuracy Techniques. Control Engineering Series. Marcel Dekker,

2000.

138.

Coumarbatch C., Gajić Z. Exact Decomposition of the Algebraic Riccati Equation of

Deterministic Multimodeling Optimal Control Problems // IEEE Trans. Automat.

Control. 2000. V. 45. No. 4. P. 790-794. https://doi.org/10.1109/9.847124

139.

Mukaidani H., Xu H., Mizukami K. New Results for Near-Optimal Control of Linear

Multiparameter Singularly Perturbed Systems // Automatica. 2003. V. 39. P. 2157-

2167. https://doi.org/10.1016/S0005-1098(03)00248-6

140.

Mukaidani H., Xu H., Mizukami K. Feedback Control of Linear Multiparameter

Singularly Perturbed Systems // IFAC 15th Triennial World Congress. Barcelona,

Spain, 2002.

141.

Mukaidani H., Shimomura T., Xu H. Near-Optimal Control of Linear Multiparam-

eter Singularly Perturbed Systems // IEEE Trans. Automat. Control. 2002. V. 47.

No. 12. P. 2051-2057. https://doi.org/10.1109/TAC.2002.805676

142.

Mahmoud M.S., Hassan M.F., Singh M.G. Approximate Feedback Design for a

Class of Singularly Perturbed Systems // IEE Proceedings D (Control Theory and

Applications). 1982. V. 129. No. 2. P. 49-56. https://doi.org/10.1049/ip-d.1982.0011

143.

Drǎgan V., Halanay A. Suboptimal Stabilization of Linear Systems with Several

Time Scales // Int. J. Control. 1982. V. 36. Iss. 1. P. 109-126.

https://doi.org/10.1080/00207178208932879

144.

Prljaca N., Gajic Z. A Method for Optimal Control and Filtering of Multitime-

Scale Linear Singularly-Perturbed Stochastic Systems // Automatica. 2008. V. 44.

P. 2149-2156. https://doi.org/10.1016/j.automatica.2007.12.001

145.

Radisavljević-Gajić V., Milanović M., Rose P. Multi-Stage and Multi-Time Scale

Feedback Control of Linear Systems with Applications to Fuel Cells. Mechanical

Engineering Series. Cham, Switzerland: Springer, 2019.

https://doi.org/10.1007/978-3-030-10389-7

146.

Калашникова М.А., Курина Г.А. Асимптотика решения трехтемповой задачи

оптимального управления // Тр. XII Всерос. сов. по проблемам управления.

Москва, ВСПУ 2014. M.: ИПУ РАН, 2014. C. 1560-1570.

147.

Калашникова М.А., Курина Г.А. Асимптотическое решение линейно-квадра-

тичных задач с дешевыми управлениями разной цены // Тр. Ин-та математики

и механики УрО РАН. 2016. Т. 22. № 1. C. 124-139.

148.

Калашникова М.А. Асимптотика приближения нулевого порядка решения

трехтемповой линейно-квадратичной задачи оптимального управления // Мо-

делирование и анализ информационных систем. 2015. Т. 22. № 1. C. 85-104.

149.

Калашникова М.А., Курина Г.А. Приближения любого порядка асимптоти-

ческого решения трехтемповой линейно-квадратичной задачи оптимального

управления методом прямой схемы // Вест. ВГУ. Сер.: Системный анализ и

информационные технологии. 2018. № 3. С. 33-43.

https://doi.org/10.17308/sait.2018.3/1228

150.

Yuan Y., Sun F., Hu Y. Decentralized Multi-objective Robust Control of Intercon-

nected Fuzzy Singular Perturbed Model with Multiple Perturbation Parameters //

WCCI 2012 IEEE World Congress on Computational Intelligence. Brisbane, Aus-

tralia, 2012. https://doi.org/10.1109/FUZZ-IEEE.2012.6251367

151.

Krishnarayalu M.S. Singular Perturbation Method Applied to the Open-Loop Dis-

crete Optimal Control Problem with Two Small Parameters // Int. J. Syst. Sci.

1989. V. 20. No. 5. P. 793-809. https://doi.org/10.1080/00207728908910170

152.

Kishore Babu G., Krishnarayalu M.S. Suboptimal Control of Singularly Perturbed

Two Parameter Discrete Control System // Int. Electr. Eng. J. 2014. V. 5. No. 11.

P. 1594-1604.

153.

Kishore Babu G., Krishnarayalu M.S. Suboptimal Control of Singularly Perturbed

Multiparameter Discrete Control System // 2015 IEEE Int. Conf. on Power, In-

strumentation, Control and Computing. Thrissur, India, 2015.

https://doi.org/10.1109/PICC.2015.7455794

154.

Kishore Babu G. Singular Perturbation Method for Boundary Value and Optimal

Problems to Power Factor Correction Converter Application // WSEAS Trans.

Electronics. 2020. V. 11. P. 42-53. https://doi.org/10.37394/232017.2020.11.6

155.

Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Матема-

тическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1983.

156.

Drǎgan V. Cheap Control with Several Scales // Rev. Roumaine Math. Pures Appl.

1988. V. 33. No. 8. P. 663-677.

157.

Kurina G., Kalashnikova M. High Order Asymptotic Solution of Linear-Quadratic

Optimal Control Problems under Cheap Controls with Two Different Costs // 21st

Int. Conf. Syst. Theory, Control and Computing. Sinaia, 2017. P. 499-504.

https://doi.org/10.1109/ICSTCC.2017.8107083

158.

Калашникова М.А., Курина Г.А. Прямая схема асимптотического решения

линейно-квадратичных задач с дешевыми управлениями разной цены // Диф-

ференц. уравнения. 2019. Т. 55. № 1. С. 83-102.

Kalashnikova M.А., Kurina G.А. Direct Scheme for the Asymptotic Solution of

Linear-Quadratic Problems with Cheap Controls of Different Costs // Differ. Equat.

2019. V. 55. No. 1. P. 84-104. https://doi.org/10.1134/S0012266119010099

159.

Kalashnikova M., Kurina G. Estimates of Asymptotic Solution of Linear-Quadratic

Optimal Control Problems with Cheap Controls of Two Different Orders of Small-

ness // Math. Numer. Aspects Dynam. Syst. Anal. DSTA. Lodz, 2017. P. 253-264.

160.

Бутузов В.Ф., Нефедов Н.Н. Об одной задаче теории сингулярных возмуще-

ний // Дифференц. уравнения. 1976. Т. 12. № 10. С. 1736-1747.

161.

Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Сингулярно возмущенные уравнения в крити-

ческих случаях. М.: Изд-во МГУ, 1978.

Vasil’eva A.B., Butuzov V.F. Singularly Perturbed Equations in the Critical Case.

Madison: University of Wisconsin-Madison, 1980.

162.

Курина Г.А., Хоай Н.Т. Проекторный подход к алгоритму Бутузова-Нефедова

асимптотического решения одного класса сингулярно возмущенных задач в

критическом случае // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2020. Т. 60. № 12.

С. 2073-2084. https://doi.org/10.31857/S0044466920120078

Kurina G.A., Hoai N.T. Projector Approach to the Butuzov-Nefedov Algorithm

for Asymptotic Solution of a Class of Singularly Perturbed Problems in a Critical

Case // Comput. Math. Math. Phys. 2020. V. 60. No. 12. P. 2007-2018.

https://doi.org/10.1134/S0965542520120076

163.

O’Malley R.E. Jr. A Singular Singularly-Perturbed Linear Boundary Value Prob-

lem // SIAM. J. Math. Anal. 1979. V. 10. No. 4. P. 695-708.

164.

Kurina G., Nguyen T.H. Zero-Order Asymptotic Solution of a Class of Singularly

Perturbed Linear-Quadratic Problems with Weak Controls in a Critical Case //

Optim. Control Appl. Meth. 2019. V. 40. Iss. 5. P. 859-879.

https://doi.org/10.1002/oca.2514

165.

Букжалев Е.Е. Сингулярно возмущенное уравнение с погранслойным реше-

нием, растянутые переменные которого зависят от различных степеней пара-

метра возмущения // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2003. Т. 43. № 12.

С. 1775-1785.

Bukzhalev E.E. A Singularly Perturbed Equation with a Boundary-Layer Solution

whose Expanded Variables Depend on Various Powers of a Perturbation Parame-

ter // Comput. Math. Math. Phys. 2003. V. 43. No. 12. P. 1707-1717.

166.

Васильева А.Б., Давыдова М.А. Сингулярно возмущенное уравнение второго

порядка с малыми параметрами при первой и второй производных // Журн.

вычисл. матем. и матем. физ. 1999. Т. 39. № 9. С. 1504-1512.

Vasil’eva A.B., Davydova M.A. Singularly Perturbed Second-Order Equation with

Small Parameters Multiplying the First and Second Derivatives // Comput. Math.

Math. Phys. 1999. V. 39. No. 9. P. 1441-1448.

167.

Капустина Т.О. Асимптотика по малым параметрам для решения параболи-

ческой задачи с разрывными данными // Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37.

№ 1. С. 124-125.

Kapustina T.O. Asymptotics with Respect to Small Parameters of the Solution of a

Parabolic Problem with Discontinuous Data // Different. Equat. 2001. V. 37. No. 1.

P. 138-140. https://doi.org/10.1023/A:1019236818987

168.

Букжалев Е.Е., Васильева А.Б. Решения сингулярно возмущенного парабо-

лического уравнения с внутренними и пограничными слоями, зависящими от

растянутых переменных разного порядка // Журн. вычисл. матем. и матем.

физ. 2007. Т. 47. № 3. С. 424-437.

Bukzhalev E.E., Vasil’eva A.B. Solutions to a Singularly Perturbed Parabolic Equa-

tion with Internal and Boundary Layers Depending on Stretched Variables of Dif-

ferent Orders // Comput. Math. Math. Phys. 2007. V. 47. No. 3. P. 407-419.

169.

Васильева А.Б. Об особенностях решений сингулярно возмущенных краевых

задач при слиянии корней вырожденного уравнения // Журн. вычисл. матем.

и матем. физ. 2003. Т. 43. № 4. С. 554-561.

Vasil’eva A.B. On Singularities of Solutions of Singularly Perturbed Boundary

Value Problems when the Roots of a Degenerate Equation Merge // Comput. Math.

Math. Phys. 2003. V. 43. No. 4. P. 529-536.

170.

Бутузов В.Ф. Об особенностях пограничного слоя в сингулярно возмущенных

задачах с кратным корнем вырожденного уравнения // Матем. заметки. 2013.

Т. 94. № 1. С. 68-80. https://doi.org/10.4213/mzm10106

Butuzov V.F. On the Special Properties of the Boundary Layer in Singularly Per-

turbed Problems with Multiple Root of the Degenerate Equation // Math. Notes.

2013. V. 94. P. 60-70. https://doi.org/10.1134/S0001434613070067

171.

Бутузов В.Ф. О зависимости структуры пограничного слоя от краевых усло-

вий в сингулярно возмущенной краевой задаче с кратным корнем вырожден-

ного уравнения // Матем. заметки. 2016. Т. 99. Вып. 2. С. 201-214.

https://doi.org/10.4213/mzm10832

Butuzov V.F. On the Dependence of the Structure of Boundary Layers on the

Boundary Conditions in a Singularly Perturbed Boundary-Value Problem with Mul-

tiple Root of the Related Degenerate Equation // Math. Notes. 2016. V. 99. No. 2.

P. 210-221. https://doi.org/10.1134/S0001434616010247

172.

Бутузов В.Ф. Об одной сингулярно возмущенной системе обыкновенных диф-

ференциальных уравнений с кратным корнем вырожденного уравнения //

Нелiнiйнi коливання. 2018. Т. 21. № 1. С. 6-28.

Butuzov V.F. On One Singularly Perturbed System of Ordinary Differential Equa-

tions with Multiple Root of the Degenerate Equation // J. Math. Sci. 2019. V. 240.

No. 3. P. 224-248. https://doi.org/10.1007/s10958-019-04350-6

173.

Бутузов В.Ф. Асимптотика решения системы сингулярно возмущенных урав-

нений в случае кратного корня вырожденного уравнения // Дифференц. урав-

нения. 2014. Т. 50. № 2. С. 175-186.

Butuzov V.F. Asymptotics of the Solution of a System of Singularly Perturbed

Equations in the Case of a Multiple Root of the Degenerate Equation // Different.

Equat. 2014. V. 50. No. 2. P. 177-188. https://doi.org/10.1134/S0012266114020050

174.

Бутузов В.Ф. О сингулярно возмущенных системах ОДУ с кратным корнем

вырожденного уравнения // Изв. РАН. Сер. матем. 2020. Т. 84. № 2. С. 60-89.

https://doi.org/10.4213/im8829

Butuzov V.F. On Singularly Perturbed Systems of ODE with a Multiple Root of

the Degenerate Equation // Izv. Math. 2020. V. 84. No. 2. P. 262-290.

https://doi.org/10.1070/IM8829

175.

Бутузов В.Ф., Бычков А.И. Асимптотика решения начально-краевой задачи

для сингулярно возмущенного параболического уравнения в случае трехкрат-

ного корня вырожденного уравнения // Журн. вычисл. матем. и матем. физ.

2016. Т. 56. № 4. С. 605-624. https://doi.org/10.7868/S0044466916040074

Butuzov V.F., Bychkov A.I. Asymptotics of the Solution to an Initial Boundary

Value Problem for a Singularly Perturbed Parabolic Equation in the Case of a Triple

Root of the Degenerate Equation // Comput. Math. Math. Phys. 2016. V. 56. No. 4.

P. 593-611. https://doi.org/10.1134/S0965542516040060

176.

Бутузов В.Ф. О периодических решениях сингулярно возмущенных парабо-

лических задач в случае кратных корней вырожденного уравнения // Журн.

вычисл. матем. и матем. физ. 2011. Т. 51. № 1. С. 44-55.

Butuzov V.F. On Periodic Solutions to Singularly Perturbed Parabolic Problems in

the Case of Multiple Roots of the Degenerate Equation // Comput. Math. Math.

Phys. 2011. V. 51. No. 1. P. 40-50. https://doi.org/10.1134/S0965542511010064

177.

Бутузов В.Ф. Об асимптотике решения сингулярно возмущенной параболиче-

ской задачи с многозонным внутренним переходным слоем // Журн. вычисл.

матем. и матем. физ. 2018. Т. 58. № 6. С. 961-987.

https://doi.org/10.7868/S0044466918060108

Butuzov V.F. On Asymptotics for the Solution of a Singularly Perturbed Parabolic

Problem with a Multizone Internal Transition Layer // Comput. Math. Math. Phys.

2018. V. 58. No. 6. P. 925-949. https://doi.org/10.1134/S0965542518060040

178.

Butuzov V.F., Nefedov N.N., Recke L., Schneider K.R. Existence, Asymptotics,

Stability and Region of Attraction of a Periodic Boundary Layer Solution in Case

of a Double Root of the Degenerate Equation // Comput. Math. Math. Phys. 2018.

V. 58. No. 12. P. 1989-2001. https://doi.org/10.1134/S0965542518120072

179.

Бутузов В.Ф. Асимптотика решения частично диссипативной системы урав-

нений с многозонным пограничным слоем // Журн. вычисл. матем. и матем.

физ. 2019. Т. 59. № 10. С. 1731-1751. https://doi.org/10.1134/S0044466919100053

Butuzov V.F. Asymptotic Expansion of the Solution to a Partially Dissipative Sys-

tem of Equations with a Multizone Boundary Layer // Comput. Math. Math. Phys.

2019. V. 59. No. 10. P. 1672-1692. https://doi.org/10.1134/S0965542519100051

180.

Ильин А.М. Избранные научные труды. Математика. Челябинск: Изд-во Че-

ляб. гос. ун-та, 2018.

181.

Ильин А.М. Пограничный слой // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл.

матем. Фундам. направления. 1988. Т. 34. С. 175-213.

182.

Ильин А.М., Хачай О.Ю. Структура пограничных слоев в сингулярных зада-

чах // Докл. АН. 2012. Т. 445. № 3. С. 256-258.

Il’in A.M., Khachai O.Yu. Structure of Boundary Layers in Singular Problems //

Dokl. Math. 2012. V. 86. No. 1. P. 497-499.

https://doi.org/10.1134/S1064562412040187

183.

Данилин А.Р., Захаров С.В., Коврижных О.О., Леликова Е.Ф., Першин И.В.,

Хачай О.Ю. Екатеринбургское наследие Арлена Михайловича Ильина // Тр.

ИММ Уро РАН. 2017. Т. 23. № 2. С. 42-66.

https://doi.org/10.21538/0134-4889-2017-23-2-42-66

184.

Ильин А.М., Леликова Е.Ф. Метод сращивания асимптотических разложений

для уравнения εΔu - a(x, y)u_y = f(x, y) в прямоугольнике // Матем. сб. 1975.

Т. 96(138). № 4. С. 568-583.

185.

Ильин А.М., Данилин А.Р. Асимптотические методы в анализе. М.: Физматлит,

2009.

186.

Бутузова М.В. Асимптотика решения бисингулярной задачи для системы ли-

нейных параболических уравнений. I // Моделирование и анализ информаци-

онных систем. 2013. Т. 20. № 1. C. 5-17.

https://doi.org/10.18255/1818-1015-2013-1-5-17

187.

Krishnarayalu M.S. Singular Perturbation Methods for a Class of Initial and

Boundary Value Problems in Multi-Parameter Classical Digital Control Systems //

ANZIAM J. 2004. V. 46. P. 67-77. https://doi.org/10.1017/S1446181100013675

188.

Калинин А.И. Асимптотические методы оптимизации возмущенных динами-

ческих систем. Минск: УП “Экоперспектива”, 2000.

189.

Грибковская И.В., Калинин А.И. Асимптотика решения задачи быстродей-

ствия для линейной сингулярно возмущенной системы, содержащей при про-

изводных параметры различных порядков малости // Дифференц. уравнения.

1995. T. 31. № 8. C. 1275-1284.

Gribkovskaya I.V., Kalinin A.I. Asymptotic Behavior of the Solution of the Time

Optimality Problem for a Linear Singularly Perturbed System that Contains Pa-

rameters of Variable Orders of Smallness at the Derivatives // Differ. Equat. 1995.

V. 31. No. 8. P. 1219-1228.

190.

Грибковская И.В., Калинин А.И. Асимптотическая оптимизация линейной син-

гулярно возмущенной системы, содержащей при производных параметры раз-

личных порядков малости // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1995. Т. 35.

№ 9. С. 1299-1312.

Gribkovskaya I.V., Kalinin A.I. Asymptotic Optimization of a Linear Singularly

Perturbed System Containing Parameters of Different Orders of Smallness in the

Derivatives // Comput. Math. Math. Phys. 1995. V. 35. No. 9. P. 1041-1051.

191.

Калинин А.И., Грибковская И.В. Асимптотическая оптимизация линейных ди-

намических систем, содержащих при производных параметры различных по-

рядков малости // Вест. Белорус. ун-та. Сер. 1: Физ. Матем. Информат. 1996.

№ 3. С. 52-55.

192.

Грибковская И.В., Калинин А.И. Асимптотически оптимальный регулятор для

линейной динамической системы, содержащей при производных параметры

различных порядков малости // Изв. АН. Теория и системы управления. 1997.

№ 4. С. 78-82.

193.

Gaitsgory V., Nguyen M.-T. Averaging of Three Time Scale Singularly Perturbed

Control Systems // Syst. Control Lett. 2001. V. 42. P. 395-403.

https://doi.org/10.1016/S0167-6911(00)00111-0

194.

Gaitsgory V., Nguyen M.-T. Multiscale Singularly Perturbed Control Systems:

Limit Occupational Measures Sets and Averaging // SIAM J. Control Optim. 2002.

V. 41. No. 3. P. 954-974. https://doi.org/10.1137/S0363012901393055

195.

Mukaidani H. Pareto Near-Optimal Strategy of Multimodeling Systems

IECON’01. 27th Annual Conference of the IEEE Industrial Electronics Society.

2001. V. 1. P. 500-505. https://doi.org/10.1109/IECON.2001.976533

196.

Khalil H.K., Kokotović P.V. Control Strategies for Decision Makers Using Different

Models of the Same System // IEEE Trans. Automat. Control. 1978. V. 23. No. 2.

P. 289-298. https://doi.org/10.1109/TAC.1978.1101712

197.

Pan Z., Basar T. Multi-Time Scale Zero-Sum Differential Games with Perfect State

Measurements // Dynam. Control. 1995. V. 5. P. 7-29.

https://doi.org/10.1109/CDC.1993.325835

198.

Khalil H.K. Multimodel Design of a Nash Strategy // J. Optim. Theory Appl. 1980.

V. 31. No. 4. P. 553-564. https://doi.org/10.1007/BF00934477

199.

Mukaidani H., Xu H. Near-Optimal Nash Strategy for Multiparameter Singularly

Perturbed Systems // 43rd IEEE Conf. on Decision and Control. Atlantis, Paradise

Island, Bahamas, 2004. P. 4868-4873. https://doi.org/10.1109/CDC.2004.1429568

200.

Mukaidani H. A New Design Approach for Solving Linear Quadratic Nash Games

of Multiparameter Singularly Perturbed Systems // IEEE Trans. Circuits Syst.-I.

Regular Papers. 2005. V. 52. No. 5. P. 960-974.

https://doi.org/10.1109/TCSI.2005.846668

201.

Mukaidani H. Local Uniqueness for Nash Solutions of Multiparameter Singularly

Perturbed Systems // IEEE Trans. Circuits Syst. II: Express Briefs. 2006. V. 53.

No. 10. P. 1103-1107. https://doi.org/10.1109/TCSII.2006.882211

202.

Mukaidani H., Xu H., Dragan V. Soft-Constrained Stochastic Nash Games for Mul-

timodeling Systems via Static Output Feedback Strategy // Joint 48th IEEE Conf.

Decision and Control and 28th Chinese Control Conf. Shanghai, P.R. China, 2009.

P. 5786-5791. https://doi.org/10.1109/CDC.2009.5400302

203.

Sagara M., Mukaidani H., Dragan V. Near-Optimal Control for Multiparameter

Singularly Perturbed Stochastic Systems // Optim. Control Appl. Methods. 2011.

V. 32. Iss. 1. P. 113-125. https://doi.org/10.1002/oca.934

204.

Dragan V. Near Optimal Linear Quadratic Regulator for Controlled Systems De-

scribed by Itô Differential Equations with Two Fast Time Scales // Ann. Acad.

Rom. Sci. Ser. Math. Appl. 2017. V. 9. No. 1. P. 89-109.

205.

Drǎgan V. On the Linear Quadratic Optimal Control for Systems Described by Sin-

gularly Perturbed Itô Differential Equations with Two Fast Time Scales // Axioms.

2019. 8. 30. https://doi.org/10.3390/axioms8010030

206.

Саясов Ю.С., Васильева А.Б. Обоснование и условия применимости метода

квазистационарных концентраций Семенова-Боденштейна // Журн. физ. хи-

мии. 1955. Т. 29. № 5. С. 802-808.

207.

Eilertsen J., Stroberg W., Schnell S. Characteristic, Completion or Matching

Timescales? An Analysis of Temporary Boundaries in Enzyme Kinetics // J. The-

oret. Biol. 2019. V. 481. P. 28-43. https://doi.org/10.1016/j.jtbi.2019.01.005

208.

Kruff N., Walcher S. Coordinate-Independent Singular Perturbation Reduction for

Systems with Three Time Scales // Math. Biosci. Eng. 2019. V.16. Iss. 5. P. 5062-

5091. https://doi.org/10.3934/mbe.2019255

209.

Kodra K., Zhong N., Gajić Z. Multi-time-scale Systems Control via Use of Com-

bined Controllers // 2016 Eur. Control Conf. Aalborg, Denmark, 2016. P. 2638-

2643. https://doi.org/10.1109/ECC.2016.7810688

210.

Milanovic M., Radisavljevic-Gajic V. Multi-Timescale-Based Partial Optimal Con-

trol of a Proton-Exchange Membrane Fuel Cell // Energies. 2020. V. 13. Iss. 1. 166.

https://doi.org/10.3390/en13010166

211.

Jayanthi S., Del Vecchio D. Retroactivity Attenuation in Bio-Molecular Systems

Based on Timescale Separation // IEEE Trans. Automat. Control. 2011. V. 56.

No. 4. P. 748-761. https://doi.org/10.1109/TAC.2010.2069631

212.

Ильин А.М., Каменкович В.М. О структуре пограничного слоя в двумерной

теории океанических течений // Океанология. 1964. Т. 4. Вып. 5. С. 756-769.

213.

Drǎgan V., Halanay A. Stability Problems for Synchronous Machines by Singular

Perturbation Methods // Rev. Roum. Sci. Techn.-Electrotechn. Energ. 1982. V. 27.

No. 2. P. 199-209.

214.

Meng X., Wang Q., Zhou N., Xiao S., Chi Y. Multi-Time Scale Model Order Reduc-

tion and Stability Consistency Certification of Inverter-Interfaced DG System in AC

Microgrid // Energies. 2018. V. 11. Iss. 1. 254. https://doi.org/10.3390/en11010254

215.

Munje R., Lin S., Zhang G., Zhang W. Observer-Based Output Feedback Inte-

gral Control for Coal-Fired Power Plant: A Three-Time-Scale Perspective // IEEE

Trans. Control Syst. Tech. 2020. V. 28. Iss. 2. P. 601-608.

https://doi.org/10.1109/TCST.2018.2879045

216.

Семенова М.М. Декомпозиция задач устойчивости линейных многотемповых

систем // Матем. моделирование и краевые задачи. Тр. Всерос. науч. конф.

2004. Часть 3. С. 192-194.

217.

Chen Y., Liu Y. Summary of Singular Perturbation Modeling of Multi-

time Scale Power Systems

2005

IEEE/PES Transmission and Distribu-

tion Conference & Exhibition: Asia and Pacific. Dalian, China, 2005. P. 1-4.

https://doi.org/10.1109/TDC.2005.1546882.

https://ieeexplore.ieee.org/document/1546882

218.

Shen F., Ju P., Shahidehpour M., Li Z., Wang C., Shi X. Singular Perturbation

for the Dynamic Modeling of Integrated Energy Systems // IEEE Trans. on Power

Systems. 2020. V. 35. Iss. 3. P. 1718-1728.

https://doi.org/10.1109/TPWRS.2019.2953672

219.

Юркевич В.Д. Синтез нелинейных нестационарных систем управления с раз-

нотемповыми процессами. СПб.: Наука, 2000.

220.

Французова Г.А. Синтез систем экстремального регулирования // Научный

вестник НГТУ. 2011. № 2(43). С. 47-58.

221.

González G.A., Barrera N.G., Ayala G., Padilla J.A., Alvarado D.Z. Quasi-Steady-

State Models of Three Timescale Systems: A Bond Graph Approach // Math. Probl.

Eng. 2019. Article ID 9783740. https://doi.org/10.1155/2019/9783740

222.

Shimjith S.R., Tiwari A.P., Bandyopadhyay B. Lecture Notes in Control and Infor-

mation Sciences. Modeling and Control of a Large Nuclear Reactor. A Three-Time-

Scale Approach. Berlin, Heidelberg, New York, Dordrecht, London: Springer-Verlag,

2013. https://doi.org/10.1007/978-3-642-30589-4

223.

Sazhin S.S., Feng G., Heikal M.R., Goldfarb I., Gol’dstein V., Kuzmenko G. Ther-

mal Ignition Analysis of a Monodisperse Spray with Radiation // Combustion and

Flame. 2001. V. 124. Iss. 4. P. 684-701.

https://doi.org/10.1016/S0010-2180(00)00237-6

224.

Соболев В.А., Щепакина Е.А. Редукция моделей и критические явления в мак-

рокинетике. М.: Физматлит, 2010.

225.

Ханин Я.И. Основы динамики лазеров. М.: Наука, Физматлит, 1999.

226.

Jamshidi M. Three-Stage Near-Optimum Design of Nonlinear-Control Processes //

Proc. Inst. Elect. Engin. 1974. V. 121. No. 8. P. 886-892.

https://doi.org/10.1049/piee.1974.0205

227.

Кубышкин Е.П., Хребтюгова О.А. Обобщенное решение одной начально-

краевой задачи, возникающей в механике дискретно-континуальных систем //

Моделирование и анализ информационных систем. 2012. Т. 19. № 1. С. 84-96.

https://doi.org/10.18255/1818-1015-2012-1-84-96

228.

Влахова А.В., Новожилов И.В. О заносе колесного экипажа при “блокировке”

и “пробуксовке” одного из колес // Фундамент. и прикл. матем. 2005. Т. 11.

№ 7. C. 11-20.

Vlakhova A.V., Novozhilov I.V. On Skidding of a Wheeled Vehicle when One of the

Wheels Locks or Slips // J. Math. Sci. 2007. V. 146. P. 5803-5810.

https://doi.org/10.1007/s10958-007-0396-7

229.

Влахова А.В., Новодерова А.П. Моделирование заноса аппарата с повернутыми

передними колесами // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2019. № 1. С. 23-49.

https://doi.org/10.1134/S0572329919010112

Vlakhova A.V., Novoderova A.P. The Skidding Modeling of an Apparatus with

Turned Front Wheels // Mech. Solids. 2019. V. 54. P. 19-38.

https://doi.org/10.3103/S0025654419010023

230.

Влахова А.В. Математические модели движения колесных аппаратов. Москва-

Ижевск: АНО “Ижев. ин-т компьют. исслед.”, 2014.

231.

Влахова А.В. К оценке опасности схода железнодорожного экипажа при вка-

тывании гребня колеса на рельс // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2015.

№ 1. С. 25-41.

Vlakhova A.V. Risk Assessment of Flange Climb Derailment of a Rail Vehicle //

Mech. Solids. 2015. V. 50. No. 1. P. 19-32.

https://doi.org/10.3103/S0025654415010033

232.

Ghadami S.M., Amjadifard R., Khaloozadeh H. Designing SDRE-Based Controller

for a Class of Nonlinear Singularly Perturbed Systems // Int. J. Robot. Autom.

2013. V. 4. Iss. 1. P. 1-18.

https://www.cscjournals.org/library/manuscriptinfo.php?mc=IJRA-85

233.

Sarkar S., Kar I.N. Formation of Multiple Groups of Mobile Robots: Multi-

Timescale Convergence Perspective // Nonlinear Dynam. 2016. V. 85. P. 2611-2627.

https://doi.org/10.1007/s11071-016-2848-4

234.

Xia G., Zhang Y., Zhang W., Chen X., Yang H. Multi-Time-Scale 3-D Coordi-

nated Formation Control for Multi-Underactuated AUV with Uncertainties: Design

and Stability Analysis Using Singular Perturbation Methods // Ocean Engineering.

2021. V. 230. 109053. https://doi.org/10.1016/j.oceaneng.2021.109053

235.

Lei M., Li Y. Model-Based Control and Stability Analysis of Underactuated Au-

tonomous Underwater Vehicles Via Singular Perturbations // J. Comput. Nonlinear

Dynam. 2020. V. 15. Iss. 6. 061006. Paper. No. CND-19-1446.

https://doi.org/10.1115/1.4046880

236.

Ye H., Yue B., Li X., Strunz K. Modeling and Simulation of Multi-Scale Transients

for PMSG-based Wind Power Systems // Wind Energ. 2017. V. 20. P. 1349-1364.

https://doi.org/10.1002/we.2097

237.

Oulad Ben Zarouala R., Acosta J.Á. Timescale Separation Via Rayleigh Quotient

in Flexible Wind Turbines: a Singularly Perturbed Approach // Nonlinear Dynam.

2019. V. 97. P. 2723-2738. https://doi.org/10.1007/s11071-019-05158-4

238.

Naidu D.S., Calise A.J. Singular Perturbations and Time Scales in Guidance and

Control of Aerospace Systems: A Survey // J. Guid. Control Dyn. 2001. V. 24.

No. 6. P. 1057-1078. https://doi.org/10.2514/2.4830

239.

Calise A.J. Singular Perturbation Methods for Variational Problems in Aircraft

Flight // IEEE Trans. Automat. Control. 1976. V. AC-21. No. 3. P. 345-353.

https://doi.org/10.1109/TAC.1976.1101221

240.

Hao Yang, Hailong Pei. Two Time-Scale Assignment with State Extension for an

Autonomous Helicopter // Asian J. Control. 2020. V. 23. Iss. 4. P. 1707-1719.

https://doi.org/10.1002/asjc.2324

241.

Roncero S.E. Three-Time-Scale Nonlinear Control of an Autonomous He-

licopter on a Platform. PhD Thesis. Sevilla: Universidad de Sevilla,

2011.

https://doi.org/10.13140/RG.2.1.4530.8881.

https://www.researchgate.net/publication/265013409_Three-Time-

Scale_Nonlinear_Control_of_an_Autonomous_Helicopter_on_a_Platform

242.

Esteban S., Vazquez R., Gordillo F., Aracil J. Singular Perturbation Stability Anal-

ysis for a Three-Time-Scale Autonomous Helicopter // Proc. 2nd Int. Conf. Ad-

vances in Control and Optimization of Dynamic Systems. Bangalore, India, 2012.

243.

Esteban S., Gordillo F., Aracil J. Three-Time Scale Singular Perturbation Control

and Stability Analysis for an Autonomous Helicopter on a Platform // Int. J. Robust

Nonlinear Control. 2013. V. 23. Iss. 12. P. 1360-1392.

https://doi.org/10.1002/rnc.2823

244.

Ren W., Jiang B., Yang H. Singular Perturbation-Based Fault-Tolerant Control

of the Air-Breathing Hypersonic Vehicle // IEEE/ASME Trans. on Mechatronics.

2019. V. 24. Iss. 6. P. 2562-2571. https://doi.org/10.1109/TMECH.2019.2946645

245.

Saha D., Valasek J., Leshikar C., Reza M.M. Multiple-Timescale Nonlinear Control

of Aircraft with Model Uncertainties // J. Guidance, Control, Dynam. 2020. V. 43.

No. 3. P. 1-17. https://doi.org/10.2514/1.G004303

246.

Garcia-Baquero L., Esteban S., Raffo G.V. Singular Perturbation Control for

the Longitudinal and Lateral-Directional Flight Dynamics of a UAV // IFAC-

PapersOnLine. 2018. V. 51. Iss. 12. P. 124-129.

https://doi.org/10.1016/j.ifacol.2018.07.099

247.

Esteban S., Aracil J., Gordillo F. Three-Time Scale Singular Perturbation Control

for a Radio-Control Helicopter on a Platform // AIAA Atmospheric Flight Me-

chanics Conference and Exhibit. San Francisco, California, 2005. 6236.

https://doi.org/10.2514/6.2005-6236

248.

Hepner S.A.R. Analysis of the Planar Intercept and Tracking Problem by Applica-

tion of Optimal Control and Singular Perturbation Theory. Doctoral Thesis. Diss.

ETH. No. 8170. Zurich: ETH, 1986. https://doi.org/10.3929/ethz-a-000409856

249.

Krupa M., Popović N., Kopell N., Rotstein H.G. Mixed-Mode Oscillations in a

Three Time-Scale Model for the Dopaminergic Neuron // Chaos: An Interdisci-

plinary Journal of Nonlinear Science. 2008. V. 18. Iss. 1. 015106.

https://doi.org/10.1063/1.2779859

250.

Nan P., Wang Y., Kirk V., Rubin J.E. Understanding and Distinguishing Three-

Time-Scale Oscillations: Case Study in a Coupled Morris-Lecar System // SIAM J.

Appl. Dyn. Syst. 2015. V. 14. No. 3. P. 1518-1557.

https://doi.org/10.1137/140985494

251.

Арчибасов А.А., Коробейников А., Соболев В.А. Асимптотические разложения

решений в сингулярно возмущенной модели вирусной эволюции // Журн. вы-

числ. матем. и матем. физ. 2015. Т. 55. № 2. С. 242-252.

https://doi.org/10.7868/S0044466915020039

Archibasov A.A., Korobeinikov A., Sobolev V.A. Asymptotic Expansions of Solu-

tions in a Singularly Perturbed Model of Virus Evolution // Comput. Math. Math.

Phys. 2015. V. 55. No. 2. P. 240-250. https://doi.org/10.1134/S0965542515020037

252.

Di Giamberardino P., Iacoviello D. A Linear Quadratic Regulator for Nonlinear

SIRC Epidemic Model // 23rd Int. Conf. System Theory, Control and Computing.

Sinaia, Romania, 2019. P. 733-738. https://doi.org/10.1109/ICSTCC.2019.8885727

253.

Cardin P.T., da Silva P.R., Teixeira M.A. Three Time Scale Singular Perturbation

Problems and Nonsmooth Dynamical Systems // Quart. Appl. Math. 2014. V. 72.

No. 4. P. 673-687. https://doi.org/10.1090/S0033-569X-2014-01360-X

254.

Brøns M., Desroches M., Krupa M. Mixed-Mode Oscillations Due to a Singular

Hopf Bifurcation in a Forest Pest Model // Math. Popul. Stud. An Int. J. of Math-

ematical Demography. 2015. V. 22. Iss. 2. P. 71-79.

https://doi.org/10.1080/08898480.2014.925344

255.

Грибковская И.В., Дмитриев М.Г. Управляемость в больших социально-

экономических системах с позиции разделения движений // Теория активных

систем. Тр. междунар. научно-практической конф. “Управление большими си-

стемами - 2011”. Том II. ИПУ РАН Москва, Россия, 2011. P. 93-96.

256.

Jiang J., Lou S.X.C. Production Control of Manufacturing Systems: A Multiple

Time Scale Approach // IEEE Trans. Automat. Control. 1994. V. 39. No. 11.

P. 2292-2297. https://doi.org/10.1109/9.333779

257.

Li S., Shishkin G.I., Shishkina L.P. Approximation of the Solution and Its Deriva-

tive for the Singularly Perturbed Black-Scholes Equation with Nonsmooth Initial

Data // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2007. Т. 47. № 3. С. 460-480.

Li S., Shishkin G.I., Shishkina L.P. Approximation of the Solution and Its Deriva-

tive for the Singularly Perturbed Black-Scholes Equation with Nonsmooth Initial

Data // Comput. Math. Math. Phys. 2007. V. 47. No. 3. P. 442-462.

https://doi.org/10.1134/S0965542507030098

Статья представлена к публикации членом редколлегии Н.В. Кузнецовым.

Поступила в редакцию 12.12.2021

После доработки 25.05.2022

Принята к публикации 28.07.2022