Автоматика и телемеханика, № 11, 2022

Нелинейные системы

(va.alexandrov@yandex.ru)

(Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва),

Е.Ю. ЗЫБИН, д-р техн. наук (zybin@mail.ru),

В.В. КОСЬЯНЧУК, д-р техн. наук (kos.vl.v@gmail.com),

Н.И. СЕЛЬВЕСЮК, д-р техн. наук (nis@gosniias.ru)

(ФАУ Государственный научно-исследовательский институт

авиационных систем, Москва),

А.А. ТРЕМБА, канд. физ.-мат. наук (atremba@ipu.ru),

М.В. ХЛЕБНИКОВ, д-р физ.-мат. наук (khlebnik@ipu.ru)

(Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва;

Национальный исследовательский университет

“Московский физико-технический институт”, Москва)

ОПТИМИЗАЦИЯ РАСХОДА ТОПЛИВА ВОЗДУШНОГО

СУДНА НА ЭТАПЕ НАБОРА ВЫСОТЫ¹

Рассматривается задача минимизации расхода топлива дозвукового

турбореактивного пассажирского самолета на этапе набора высоты. Це-

левая функция оптимизации кроме расхода топлива включает время, за-

траченное на этап набора высоты, так как оптимизация набора высоты

это часть задачи оптимизации всего полета с требованием прибытия в

заданную точку в заданное время. Так как в конце этапа нужно выйти

на заданные значения скорости и высоты, с которых должен начинаться

крейсерский полет, то в целевую функцию добавлены штрафы за недо-

стижение этих значений. Значение целевой функции это результат чис-

ленного решения системы дифференциальных уравнений, поэтому для

оптимизации предлагается безградиентный метод поиска с использова-

нием точек-кандидатов и учетом ограничений. Рассмотрен пример опти-

мизации расхода топлива в сравнении со стандартным профилем набора

высоты для двух вариантов возможной реализации системы управления:

управление тягой и тангажом или управление только тангажом при по-

стоянном значении управления тягой.

Ключевые слова: оптимизация, дозвуковой турбореактивный самолет, на-

бор высоты, расход топлива, моделирование полета.

DOI: 10.31857/S0005231022110034, EDN: KEFPHO

1. Введение

В работе исследуется задача оптимизации этапа набора высоты в рамках

общей задачи минимизации расхода топлива дозвукового турбореактивного

¹ Исследование выполнено при поддержке Российского научного фонда, проект № 21-

71-30005.

среднемагистрального узкофюзеляжного пассажирского самолета при усло-

вии прибытия в заданное время в точку захода на посадку. В [1] рассматри-

вался этап крейсерского полета. Этап набора высоты начинается от высоты,

на которой заканчивается этап взлета, когда шасси и закрылки убраны, и

конфигурация самолета это конфигурация полета по маршруту. Обычно

это значение принимается равным 1500 футов, но может отличаться в зави-

симости от воздушного судна и условий аэродрома. Для исследуемого этапа

должна быть задана эта начальная высота и другие начальные условия для

этой точки: скорость, угол наклона траектории, масса. В конце этапа набора

высоты необходимо выйти на значения высоты и скорости, с которых будет

начинаться этап крейсерского полета. В рассматриваемой задаче оптимиза-

ции этапа набора высоты предполагается, что эти значения заданы. Необхо-

димо учитывать ограничения допустимой скорости, в том числе обусловлен-

ные ограничением шума на малой высоте, а также ускорения и скороподъ-

емности, обусловленные не только техническими ограничениями воздушного

судна, но и требованиями комфорта пассажиров. Существенной особенно-

стью этапа набора высоты является учет доступной тяги двигателей, так как

допустимые значения ускорения и угла наклона траектории могут требовать

значения тяги, превышающие максимально доступное. Кроме того, доступ-

ная тяга уменьшается с ростом высоты полета. Это приводит к тому, что

если пытаться поддерживать высокое значение угла наклона траектории, то

скорость будет падать, а при поддержании допустимого ускорения или даже

постоянной скорости угол наклона траектории должен уменьшаться по мере

увеличения высоты.

Так как этап набора высоты непродолжителен, то очевидно, что выигрыш

расхода топлива, полученный в результате оптимизации, в абсолютных зна-

чениях будет незначителен. В [2] такой вывод сделан при сравнении резуль-

татов оптимизации набора высоты дальнемагистрального самолета для трех

различных критериев: минимизации пройденного расстояния, затраченного

времени и расхода топлива. Экономия при минимизации расхода топлива по

сравнению с расходом, полученным при оптимизации по другим критериям,

составила менее 1%. Необходимо заметить, что в этой работе горизонтальное

ускорение и угол наклона траектории принимаются постоянными в каждый

момент времени, что позволяет не моделировать систему управления, прене-

брегая переходными процессами.

В [3] движение воздушного судна моделируется через энергетическое со-

стояние с использованием аппроксимирующей табличной функции, завися-

щей от высоты, скорости, угла атаки, угла руля высоты и управления тягой.

Для определения секундного расхода топлива также используется таблица за-

висимости от высоты, скорости и управления тягой. Таким образом, переход-

ные процессы тоже не учитываются, и система управления не моделируется.

При поиске оптимального решения методом нелинейного программирования

для угла набора высоты и управления тягой получено подтверждение при-

меняемого на практике правила, что значение управления тягой выбирается

максимально разрешенным (положение “Climb”) на всем этапе набора высо-

ты. Для среднемагистрального самолета получена экономия топлива до 0,9%

по сравнению со стандартным профилем с постоянной приборной скоростью.

При оптимизации и сравнении результатов учитывается типовое ограничение

приборной скорости на высоте до 10 000 футов. Заметим, что в этой работе не

учитывается ограничение на горизонтальное ускорение, что приводит к рез-

кому росту скорости и скачкам угла набора высоты при достижении высоты

полета 10 000 футов.

Многокритериальная оптимизация, учитывающая кроме расхода топлива

выбросы CO₂ и NO_x, рассматривается в [4], где отмечается, что в зависимо-

сти от условий полета выбросы NO_x могут быть непропорциональны расходу

топлива. Так как этап набора высоты часто происходит в густонаселенных

районах, сокращение вредных выбросов является одним из основных факто-

ров оптимизации.

Экологический критерий оптимизации как сумма расхода топлива и уров-

ня шума рассмотрен в [5]. Здесь задача оптимизации сформулирована как за-

дача терминального управления и предложено ее решение псевдоспектраль-

ным методом Чебышева. Рассмотрена оптимизация набора высоты дальнема-

гистрального самолета для четырех значений начальной массы и проведено

сравнение с записями данных реальных полетов. Полученную значительную

экономию топлива от 7 до 23% оптимального решения по сравнению с ре-

альными полетами можно объяснить тем, что, во-первых, при оптимизации

не учитывалось время, затраченное на набор высоты, и это время получи-

лось примерно на 30% больше при практически том же расстоянии полета,

а во-вторых, в модели не учитываются ограничения на допустимое ускоре-

ние и доступную тягу, что видно на приведенных графиках скорости. Поэто-

му важно находить значение критерия оптимизации по более точной модели

системы.

Статья организована следующим образом. В разделе 2 описана матема-

тическая модель движения центра масс воздушного судна без маневрирова-

ния по курсу. Это система с двумя степенями свободы: управление тягой и

тангажом, которые формируются в соответствии с выбранными значения-

ми скорости и угла наклона траектории. При том, что большую часть этапа

набора высоты значение тяги получается равным максимально доступному,

рассмотрен также вариант системы с одной степенью свободы управле-

ние тангажом, тогда как тяга принимается равной максимально доступной.

В разделе 3 приведена постановка задачи оптимизации, где вектор варьируе-

мых переменных это значения уставок для соответствующих регуляторов

калиброванной приборной скорости и угла наклона траектории на каждом

участке равной длины, на которые разбивается этап набора высоты, а целе-

вая функция это расход топлива на этапе со штрафами за время и недо-

стижение заданных значений скорости и высоты в конце этапа. В разделе 4

предложен алгоритм оптимизации, основанный на покоординатном спуске с

учетом ограничений и со вспомогательными точками-кандидатами. Пример

оптимизации набора высоты среднемагистрального пассажирского самолета

представлен в разделе 5. Заключительные выводы приведены в разделе 6.

2. Математическая модель движения воздушного судна

Модель движения центра масс воздушного судна может быть описана сле-

дующей системой дифференциальных уравнений [1, 6, 7]:

mV = T cos(α + φ) -1cxρSV2 - mg sin Θ + V qc,

mVΘ = T sin(α + φ) +1cyρSV2 - mg cos Θ,

h=VsinΘ,

(1)

L=VcosΘ+Vw,

m= -q_c,

= -k₁T + k₂δ_T ,

θ=-k3θ + k₄δ_θ,

где m масса воздушного судна (кг), V воздушная скорость (м/с), T

суммарная тяга двигателей (Н), α угол атаки (рад), φ угол установки

двигателей (рад), c_x, c_y аэродинамические коэффициенты лобового сопро-

тивления и подъемной силы, ρ плотность воздуха (кг/м³), S площадь

крыла (м²), g

ускорение свободного падения (м/с²), Θ угол наклона

траектории (рад), h высота полета (м), L пройденное расстояние (м),

V_w скорость попутной/встречной составляющей ветра (м/с), q_c секунд-

ный расход топлива (кг/с), θ тангаж угол между осью воздушного судна

и горизонтом (рад), δ_T , δ_θ

значения сигналов управления, k₁, k₂, k₃, k₄

коэффициенты упрощенных моделей первого порядка динамики тяги и тан-

гажа. Точное моделирование тяги это фактически моделирование работы

двигателя, которая описывается намного более сложной системой уравнений

с большим количеством параметров. Для целей оценки расхода топлива пред-

лагается учитывать только доминирующую динамику.

К этим дифференциальным уравнениям нужно добавить, что угол атаки

определяется как разность тангажа и угла наклона траектории, как показано

на рис. 1:

(2)

α = θ - Θ,

а секундный расход топлива это произведение тяги и удельного расхода

топлива η (кг/с/Н):

(3)

q_c

= ηT.

Переменные системы (1)-(3) можно разбить на несколько групп:

1) переменные состояния системы дифференциальных уравнений:

m,V,Θ,h,L,T,θ, для которых требуется задать начальные значения;

Рис. 1. Углы тангажа θ, атаки α и наклона траектории Θ. Стрелкой показано

направление движения центра масс.

2) известные константы: φ, S, k₁, k₂, k₃, k₄

должны быть заданы для

исследуемой модели воздушного судна, g принимаем равным стандартному

значению g₀ = 9, 80665;

3) параметры атмосферы: значение ρ в зависимости от текущей высоты в

этой работе определяем из стандартной атмосферы [8] или оно может быть

получено из данных температуры и давления реальной атмосферы; скорость

ветра в этой работе не учитываем, и значение V_w принимаем равным 0;

4) значения табличных или аппроксимирующих функций, заданных для

исследуемой модели воздушного судна, в зависимости от текущих значений

переменных состояния: аэродинамические коэффициенты c_x и c_y зависят от

угла атаки α и числа Маха M = V/a, где a скорость звука на текущей

высоте полета; удельный секундный расход топлива η зависит от текущих

значений высоты, числа Маха и тяги [9];

5) вычисляемые значения угла атаки α и секундного расхода топлива q_c

по формулам (2) и (3) соответственно;

6) значения сигналов управления δ_T , δ_θ.

Значения δ_T , δ_θ формируются системой управления, работу которой также

надо моделировать. Если точная реализация системы управления доступна

и ее вычислительная сложность не велика, то можно моделировать ее пол-

ностью. При использовании упрощенной модели системы управления необхо-

димо добиться схожих переходных процессов, в том числе для управляющих

сигналов для корректной оценки расхода топлива. В настоящей статье бу-

дем моделировать систему управления вычислительно простыми алгоритма-

ми ПИД- и ПИ-регуляторов, коэффициенты которых подобраны так, чтобы

переходные процессы были близки к реальной системе.

Предполагается, что на этапе набора высоты управление тягой формиру-

ется ПИД-регулятором скорости:

(4)

δ_T = PID(V_SP - V_CAS

где V_SP требуемое значение калиброванной приборной скорости (узлы), а

V_CAS текущее значение калиброванной приборной скорости, которое можно

вычислить по стандартной формуле [10]:

((

)_2/7

)

(5)

V_CAS = a₀√5

((1 + 0,2M²)^3,5 - 1) + 1

-1 ,

P₀

где a₀, P₀ скорость звука и давление на уровне моря в стандартной атмо-

сфере, P давление на текущей высоте, M число Маха. Таким образом,

калиброванная приборная скорость определяется значениями переменных со-

стояния V и h. Требуемое значение V_SP должно определяться исходя из це-

лей оптимизации с учетом ограничений на допустимые значения. Заметим,

что истинная воздушная скорость V в системе (1), соответствующая значе-

нию V_CAS, зависит от высоты, т.е. при постоянном значении калиброванной

приборной скорости V_CAS значение истинной воздушной скорости V должно

возрастать с ростом высоты.

Следует учитывать, что в конце этапа набора высоты нужно выйти на

заданную скорость начала крейсерского полета, которая выражена числом

Маха M_SP, и в крейсерском полете регулятор поддерживает заданное чис-

ло Маха. Поэтому при достижении заданной скорости начала крейсерского

полета регулятор тяги должен переключиться на заданное число Маха M_SP

вместо калиброванной приборной скорости:

(6)

δ_T = PID(M_SP

− M).

Будем также предполагать, что управление тангажом формируется

ПИ-регулятором угла наклона траектории:

(7)

δ_θ = PI(Θ_SP

− Θ),

где Θ_SP требуемое значение угла наклона траектории, которое при дости-

жении заданной высоты начала крейсерского полета h_SP формируется регу-

лятором высоты:

(8)

Θ_SP = K_h(h_SP

− h).

Таким образом, заданные значения V_SP и Θ_SP для заданных начальных

условий определяют полет воздушного судна в соответствии с уравнениями

(1)-(5), (7) до достижения заданных целевых значений набора высоты: числа

Маха M_SP, когда регулятор (4) заменяется на (6), и высоты h_SP, когда уставка

для регулятора (7) формируется регулятором (8). Численно моделируя полет

на некотором участке, можно получить значение расхода топлива на этом

участке, а также значения скорости и высоты, достигнутые в конце этого

участка. При этом необходимо учитывать существующие ограничения:

технические это допустимые минимальная и максимальная калибро-

ванные приборные скорости VCASmin , VCASmax , максимально допустимые угол

атаки α, ускорение и скороподъемность, доступная тяга двигателей T ;

диспетчерские например, во многих аэропортах действует ограниче-

ние V_CAS < 250 узлов для высоты h < 10 000 футов;

целевые скорость и высота в конце этапа должны отличаться от тре-

буемых на величину не более заданной погрешности.

На рассматриваемом этапе доступная тяга двигателей это не предельное

значение, а значение, рекомендуемое для этапа набора высоты (положение

“Climb” на рычаге управления двигателями). Кроме того, при неизменном

значении управления тягой само значение тяги зависит от скорости и атмо-

сферного давления при росте скорости и высоты значение тяги снижает-

ся. При моделировании для получения значения доступной тяги T_max можно

использовать аппроксимирующие формулы [9]. Если принять приоритет ско-

рости, то требуемое значение угла наклона траектории должно выбираться

какΘSP = min(Θ_SP,Θ), гдеΘ максимально возможный угол наклона тра-

ектории для текущих условий, определяемый из (1) для значения доступной

тяги T_max:

((

)

(9)

Θ= arcsin T_max cos(α + φ) -1cxρSV2 - mV

/mg

Особенность этапа набора высоты состоит в том, что большую часть вре-

мени необходимо использовать всю доступную тягу, чтобы обеспечить уско-

рение и набор высоты. На таких участках вместо предпоследнего уравне-

ния системы (1), моделирующего тягу, и регулятора тяги (4) можно принять

T = T_max, а управление тангажом будет осуществляться для поддержания

заданной скорости:

(10)

δ_θ = PID(V_SP - V_CAS

Такой режим может сохраняться до того момента, когда будет достигнута

заданная высота в конце этапа. После этого управление тангажом переклю-

чается на регулятор угла наклона траектории (7), где Θ_SP определяется раз-

ницей заданного и текущего значений высоты. При достижении заданных

скорости M_SP и высоты h_SP включается управление тягой (6).

3. Постановка задачи

В работе рассматривается задача оптимизации расхода топлива воздуш-

ного судна на этапе набора высоты при предположении прямолинейного дви-

жения, т.е. без учета маневрирования по курсу. Предполагается, что заданы

параметры воздушного судна: константы φ, S, таблицы и аппрокси-

мирующие формулы для аэродинамических коэффициентов c_x(α, M) и

c_y(α,M), коэффициенты k₁,k₂,k₃,k₄ для системы (1), формулы и коэффици-

енты регуляторов (4), (6), (7), (8), аппроксимирующие формулы для расчета

удельного расхода топлива η(h, M, T ) и доступной тяги T_max(h, V_CAS);

начальные значения переменных состояния системы (1): m, V , Θ, h, L,

T,θ;

ограничения допустимых значений: скорости V_CAS ∈ [VCASmin , VCASmax ],

углов наклона траектории Θ ≤ Θ_max и атаки α ≤ α_max, ускорения

≤V˙_max

и скороподъемности V sin Θ ≤ Vvertmax ;

значения скорости M_SP и высоты h_SP, которые должны быть достигну-

ты в конце этапа набора высоты, и допустимые погрешности ε_M и ε_h;

горизонтальное расстояние полета R, отведенное на этап набора высоты,

достаточное и с некоторым запасом, чтобы заданные значения скорости и

высоты в конце этапа могли быть достигнуты.

Тогда, как следует из приведенного выше описания динамики движения

воздушного судна, необходимо определить для каждого момента времени

требуемые значения калиброванной приборной скорости V_SP и угла накло-

на траектории Θ_SP, обеспечивающие при соблюдении всех ограничений вы-

ход на заданные значения скорости и высоты в конце этапа с минимальным

расходом топлива. Предлагается формировать значения V_SP и Θ_SP как ку-

сочно-постоянные функции, разделив расстояние этапа на n участков равной

длины, на каждом из которых будут использоваться постоянные значения

VSPi, ΘSPi, i = 1,... ,n. В конце расстояния, отведенного на этап набора вы-

соты, нужно предусмотреть участок длиной r_fin, на котором управление осу-

ществляется исходя из требуемых значений скорости и высоты в конце этапа.

Тогда целевые значения скорости или высоты не будут достигнуты только в

случае выбора слишком низких значений VSPi или ΘSPi , а в остальных слу-

чаях этот финальный участок может давать дополнительный расход топлива

при неоптимальном выборе значений VSPi и ΘSPi . Таким образом, при за-

данных значениях R, r_fin и n длина участков равна r =R-rfinn^.

Задача 1. Для этапа набора высоты для заданных параметров воздуш-

ного судна, начальных условий, расстояния, отведенного на этап набора вы-

соты, и числа участков n определить значения вектора

(11)

x = [VSP1,... ,VSPn,ΘSP1,...,ΘSPn]

такие, что при соблюдении заданных ограничений на скорость, угол накло-

на траектории, ускорение, скороподъемность и доступную тягу двигателей

минимизируется функционал

tcl

∫

(12)

f (x) = q_c(t)dt + C₁t_cl + C₂(M) |M_SP - M(t_cl)| + C₃(h) |h_SP - h(t_cl

)| ,

где t_cl

время, затраченное на прохождение расстояния R, а C₁, C₂, C₃

весовые коэффициенты.

Для того, чтобы незначительные отклонения полученных в конце этапа

значений скорости M(t_cl) и высоты h(t_cl) от заданных не влияли на резуль-

тат оптимизации, нужно определить допустимые погрешности ε_M и ε_h и при

выполнении условий |M_SP - M(t_cl)| < ε_M и |h_SP - h(t_cl)| < ε_h принимать зна-

чения C₂(M) и C₃(h) равными 0. При превышении допустимых погрешностей

значения весовых коэффициентов C₂(M) и C₃(h) должны быть достаточно

большими, чтобы полученное значение функционала (12) не могло быть оп-

тимальным.

Итак, в функционале (12) первое слагаемое соответствует расходу топлива

на этапе, второе учитывает время, затраченное на этап, а третье и четвер-

тое

это штрафы за недостижение заданных скорости и высоты в конце

этапа. Про второе слагаемое поясним, что хотя здесь нет задачи минимиза-

ции времени полета, но есть задача прилета в заданное время. Эта задача

решается при оптимизации этапов крейсерского полета и снижения, и ес-

ли уменьшение времени, отведенного на эти этапы приводит к увеличению

расхода топлива, то это должно быть учтено при оптимизации набора вы-

соты выбором весового коэффициента C₁. Его значение должно быть равно

дополнительному расходу топлива на последующих этапах при сокращении

времени, оставленного на эти этапы, на 1 секунду.

4. Алгоритм оптимизации

В задаче оптимизации, соответствующей задаче 1, вектор варьируемых пе-

ременных (11) состоит из двух групп: x = [x¹, x²], где x¹ = [VSP1 , . . . , VSPn ]

значения скорости, x² = [ΘSP1 , . . . , ΘSPn ] значения угла наклона траекто-

рии для каждого из участков. Таким образом, i-му участку полета соответ-

ствуют i-е элементы обеих групп. Для варьируемых переменных заданы огра-

ничения:

(13)

VSPi ∈ [VCASmin,VCASmax ], ΘSPi ∈ [0,Θ_max

i = 1,...,n,

которые можно записать как x_i ∈ [lb_i, ub_i], i = 1, . . . , 2n, где lb_i, ub_i соответ-

ствующие нижняя и верхняя границы для i-го элемента вектора x. При этом

нужно учитывать, что дополнительные ограничения, такие как ограничение

скорости на высоте до 10 000 футов и ограничение угла наклона траектории,

обусловленное доступной максимальной тягой, здесь не описываются, так как

зависят от текущих значений переменных состояния и не могут быть привя-

заны к участкам, связанным только с расстоянием. Эти ограничения должны

быть реализованы в процедуре численного моделирования при вычислении

значения целевой функции.

Значение целевой функции (12) это результат численного решения си-

стемы нелинейных дифференциальных и алгебраических уравнений (1)-(10),

поэтому ее градиент практически недоступен. Следует отметить, что реше-

ние для любого вектора варьируемых переменных находится для одинакового

расстояния R независимо от момента достижения заданных скорости и высо-

ты в конце этапа, т.е. сравниваются расход топлива и время для расстояния,

отведенного на этап набора высоты, с дополнительными штрафами при недо-

стижении заданных целевых значений скорости и высоты.

Задачу поиска минимума целевой функции (12) для вектора варьируемых

переменных (11) в границах (13) предлагается решать детерминированным

методом, основанным на покоординатном спуске [11, 12], с вспомогательны-

ми точками-кандидатами. Особенности вычисления целевой функции ставят

дополнительные задачи алгоритму оптимизации. Одна из них это необ-

ходимость учитывать, что выбранное значение угла наклона траектории на

i-м участке, удовлетворяющее ограничениям (13), может быть не реализовано

из-за ограничения доступной тяги (9), и тогда для различных вариантов век-

тора варьируемых переменных (11) могут получаться одинаковые значения

целевой функции. Для эффективного поиска реализован выбор x с меньшим

значением угла наклона траектории при отличии значений целевой функции

на величину, меньшую заданного порога ε_f .

Другая особенность это неявные ограничения на итоговые скорость M_SP

и высоту h_SP, реализованные как элементы целевой функции. Хотя для их

достижения выделен отдельный участок, предыдущая ¾программа¿ набора

высоты может быть такой, что эти требуемые значения скорости и/или вы-

соты будут не достижимы. Для получения решения, удовлетворяющего ос-

новной задаче этапа набора высоты выход на заданные значения скорости

и высоты, необходим выбор соответствующих весовых коэффициентов C₂, C₃

в целевой функции (12).

Итак, для решения задачи 1 предлагается следующий алгоритм оптими-

зации.

Алгоритм 1.

1. Выбрать начальную точку x⁰ = [x^1,(0), x^2,(0)] : x⁰ⁱ ∈ [lb_i, ub_i].

2. Рассчитать рекордное значение целевой функции f^∗ = f(x⁰).

3. Инициировать счетчики:

l=0

общий счетчик итераций,

k¹ = k² = 1 внутренние счетчики для каждой группы переменных,

l^bad = 0

счетчик неэффективных шагов.

4. Выбрать блок переменных j = mod(l, 2) + 1.

5. Выбрать основную изменяемую компоненту k^j в блоке переменных x^j и

увеличить ее счетчик: k^j ← (mod(k^j + 1, n) + 1).

6. Сформировать набор точек-кандидатов X = {x^a, x^b, . . .} на основе вы-

бранной группы и изменяемой компоненты.

7. Вычислить целевую функцию во всех точках-кандидатах и выбрать сре-

ди них минимальное значение и соответствующую точку

x^cand = arg min f(x).

x∈X

8. Если значение функции удалось улучшить (f(x^cand) < f^∗), то изменить

текущую точку x^(l+1) ← x^cand, рекордное значение f^∗ ← f(x^cand), сбросить

счетчик неэффективных шагов l^bad ← 0 и перейти к шагу 4.

9. Если значение целевой функции не улучшается, но близко к рекорду

(f(x^cand) < f^∗ + ε_f ), а угол подъема уменьшился, то изменить текущую точ-

ку x^(l+1) ← x^cand, увеличить счетчик неэффективных шагов l^bad ← l^bad + 1 и

перейти к шагу 4.

10. В противном случае сохранить текущую точку x^(l+1) ← x^(l) и рекорд-

ное значение, увеличить счетчик неэффективных шагов l^bad ← l^bad + 1.

11. Если счетчик неэффективных шагов равен числу переменных l^bad =

= 2n, то завершить алгоритм и вернуть в качестве решения текущую точ-

ку x^(l) и соответствующий расход топлива f(x^(l)). В противном случае перей-

ти к шагу 4.

Изменение основной выбранной компоненты k характеризуется парамет-

ром алгоритма γ, играющим роль длины шага, причем его значение различно

для каждой группы (скорости и угла наклона траектории). Подзадача выбо-

ра точек-кандидатов состоит в подборе нескольких ¾соседних¿ по отношению

к текущей точке, также удовлетворяющих ограничениям. Первые две точки

соответствуют изменению одной компоненты:

x^ak = max{x_k - γ, lb_k},

x^bk = min{x_k + γ, ub_k},

x^ai = x^bi = x_i, i = k.

Здесь операции минимума и максимума гарантируют, что значение

k-й компоненты не выйдет за имеющиеся границы. Очевидно, что если те-

кущее значение уже находится на своей границе, то соответствующее изме-

нение координаты не требуется, так как точка-кандидат будет совпадать с

исходной точкой. Например, если x_k = lb_k, то x^ak = x_k, и набор кандидатов

состоит только из одной точки x^b.

Ещe четыре точки-кандидата формируются изменением соседних компо-

нент:

k>1:

γ^c = min{γ, x_k - lb_k, ub_k-1 - x_k-1},

x^ck = x_k - γ^c,

x^ck-1 = x_k-1 + γ^c,

x^cj = x_j, j = k,k - 1,

γ^d = min{γ, ub_k - x_k, x_k-1 - lb_k-1},

x^dk = x_k + γ^d,

x^dk-1 = x_k-1 - γ^d,

x^di = x_i, i = k,k - 1,

k<n:

γ^e = min{γ, x_k - lb_k, ub_k+1 - x_k+1},

x^ek = x_k - γ^e,

x^ek+1 = x_k+1 + γ^e,

x^ei = x_i, i = k,k + 1,

γ^f = min{γ, ub_k - x_k, x_k+1 - lb_k+1},

x^fk = x_k + γ^f,

x^fk+1 = x_k+1 - γ^f,

x^fi = x_i, i = k,k + 1.

Таким образом, формируется до шести точек-кандидатов.

Для вектора x = [x¹, x²] размерности 2n, включающего компоненты обеих

групп, реализовано формирование точек-кандидатов, которые одновремен-

но изменяют переменные из двух групп, относящиеся к одному и тому же

участку. Это даeт четыре дополнительных точки-кандидата для выбранной

основной компоненты k:

x^ak = max{x_k - γ_speed, lb_k} ,

x^an+k = min {x_n+k + γ_angle, ub_n+k},

x^ai = x_i, i = k,n + k,

x^bk = max{x_k - γ_speed, lb_k} ,

x^bn+k = max{x_n+k - γ_angle, lb_n+k} ,

x^bi = x_i, i = k,n + k,

x^ck = min {x_k + γ_speed, ub_k} ,

x^cn+k = max{x_n+k - γ_angle, lb_n+k} ,

x^ci = x_i, i = k,n + k,

x^dk = min {x_k + γ_speed, ub_k} ,

x^dn+k = min {x_n+k + γ_angle, ub_n+k},

x^di = x_i, i = k,n + k.

Итого, может быть сформировано до 10 точек-кандидатов для выполнения

шага 4 алгоритма 1. Отметим, что каждое вычисление целевой функции тре-

бует моделирования всего этапа набора высоты, поэтому большое число кан-

дидатов может негативно сказаться на общем времени работы алгоритма.

5. Пример

Предложенный в настоящей работе алгоритм оптимизации реализован в

среде программирования Matlab. Для его проверки разработана процедура

вычисления целевой функции (12), реализующая численное моделирование

системы (1)-(10) методом Эйлера первого порядка с шагом 1 с, что обеспечи-

вает достаточную точность моделирования при невысокой вычислительной

сложности. Выбор шага соответствует постоянным времени моделируемой

системы управления. В [1], где исследовалось моделирование крейсерского

полета с учетом переходных процессов, в том числе и при изменении высо-

ты полета, отмечено, что в рассматриваемой системе моделирование методом

Эйлера не дает заметной ошибки по сравнению с методом Рунге-Кутты чет-

вертого порядка.

В табл. 1 для моделируемого среднемагистрального пассажирского само-

лета приведены начальные значения, ограничения и требуемые значения, ко-

торые должны быть достигнуты в конце этапа. Ограничение V_CAS < 250 уз-

лов для высоты h < 10 000 футов также будет учитываться.

Таблица 1. Параметры моделирования

Наименование

Обозначение Значение Комментарий

Начальная масса

m₀

75000 кг

75 т

Начальная высота

h₀

457 м

1500 футов

Требуемая конечная высота

h_SP

10363,2 м

FL340

Начальная скорость

VCAS0

223 узла V₀ = 117,2 м/с

Требуемая конечная скорость

M_SP

0,8

V = 238,3 м/с

Моделируемое расстояние

250000 м

250 км

Размер финального участка

rfin

50000 м

50 км

Минимальная скорость

VCASmin

200 узлов

Максимальная скорость

V_CAS

max

300 узлов

Максимальное ускорение

0,2 м/с²

Максимальная скороподъемность

20 м/с

Максимальный наклон траектории

Θ_max

15 град

Число участков

Таблица 2. Результаты оптимизации для начальной массы m₀ = 75 т

Вариант

Расход

Номер

Вариант оптимизации

Время, с

управления топлива, кг

Стандартный профиль

1443

1225

Минимальный расход

1419

1273

Минимальное время

1455

1218

Комбинированный (C₁ = 0,4)

1429

1234

Стандартный профиль

1446

1217

Минимальный расход

1431

1249

Минимальное время

1445

1218

Комбинированный (C₁ = 0, 4)

1433

1233

Стандартный профиль набора высоты состоит из трех участков:

1) для h < 10 000 футов требуемое значение скорости принимается равным

максимально разрешенному значению для этих высот VSP1 = 250 узлов;

2) для h ≥ 10 000 футов требуемое значение скорости принимается равным

максимально разрешенному значению VSP2 = 300 узлов;

3) при достижении заданного значения скорости M_SP переключаемся с ре-

гулятора калиброванной приборной скорости на регулятор скорости в Махах

с требуемым значением M_SP.

Угол наклона траектории при этом выбирается максимально возможный для

текущего значения доступной тяги и допустимых значений ускорения и ско-

роподъемности.

Результаты оптимизации будем сравнивать с результатом набора высоты

по этому профилю. В табл. 2 приведены значения расхода топлива и време-

ни, затраченного на прохождение расстояния R для стандартного профиля,

оптимального по расходу топлива без учета времени, когда в минимизируе-

мой функции (12) весовой коэффициент C₁ = 0, оптимального по времени

без учета расхода (C₁ = 1000) и по комбинированному критерию (C₁ = 0,4).

При оптимизации по комбинированному критерию значение весового коэф-

фициента C₁ должно выбираться исходя из дополнительного расхода топлива

на этапе крейсерского полета при сокращении времени, отведенного на этот

этап. Значение C₁ = 0,4 получено моделированием последующего крейсерско-

го полета на расстояние 1000 км с разницей по выделенному времени в 1 мин.

Полученная разница в расходе, деленная на 60 для оценки разницы за 1 с,

составила примерно 0,4 кг, и была принята как значение весового коэффи-

циента C₁. Остальные весовые коэффициенты функционала (12) выбраны

C₂ = 20000 и C₃ = 2 при ε_M = 0,001 и ε_h = 10.

Проведены моделирование стандартного профиля и оптимизация для двух

вариантов системы управления:

1) с управлением тягой (4) с переходом на регулятор (6) при достижении

заданного числа Маха и управлением тангажом (7) и

2) с тягой, равной доступной тяге T_max для текущих условий полета (ав-

томат тяги выключен) и управлением тангажом (10), пока не будут достиг-

нуты заданные число Маха и высота, после чего включается автоматическое

управление тягой (6) и управление тангажом (7), поддерживающее заданную

высоту.

Число участков выбрано n = 10. Оптимизация для n = 20 также прово-

дилась, но получены практически такие же результаты. Очевидно, что для

расстояния, необходимого для набора высоты, выбор числа участков больше

10 не должен давать преимущества. Выбор n = 5 также дает близкие резуль-

таты, поэтому при практической реализации, когда быстродействие работы

алгоритма важно, следует более тщательно исследовать выбор минимально-

го числа участков, что сократит число варьируемых переменных. Следует

также заметить, что при оптимизации системы с управлением вида 2 ва-

рьируется только скорость на каждом участке, а угол наклона траектории

формируется максимально возможный. Поэтому в этом случае число варьи-

руемых переменных равно n, а не 2n, как при реализации управления вида 1.

По результатам оптимизации видно, что вариант управления 2, когда не

задействовано автоматическое управление тягой до тех пор, пока не достиг-

нуты заданные значения скорости и высоты в конце этапа, и при этом исполь-

зуется максимальная доступная тяга, не позволяет достичь такого минималь-

ного значения расхода топлива при выборе значения весового коэффициента

C₁ = 0, какое получается при варианте управления 1. Но, с другой стороны,

вариант управления 2 позволяет получить меньший расход топлива при по-

иске профиля с минимальным временем без учета расхода, и стандартный

профиль является оптимальным в этом случае.

Вариант управления 1 при минимизации расхода с C₁ = 0 дает экономию

топлива более 1,5% по сравнению со стандартным профилем, но при этом вре-

мя полета на этапе увеличивается на 48 с. Оптимизация с выбором весового

500

1: V_CAS

1: V

450

2: V_CAS

2: V

400

3: V_CAS

3: V

350

4: V_CAS

4: V

300

250

200

400

600

800

1000

1200

1400

Время, с

Рис. 2. Приборная V_CAS и истинная воздушная V скорости для стандартного

профиля (1), минимизации расхода топлива (2), минимизации времени (3) и

комбинированной оптимизации (4) с вариантом управления 1.

1: стандартный

2: минимальный расход

3: минимальное время

4: комбинированный

-20

200

400

600

800

1000

1200

1400

Время, с

Рис. 3. Угол наклона траектории Θ для стандартного профиля (1), мини-

мизации расхода топлива (2), минимизации времени (3) и комбинированной

оптимизации (4) с вариантом управления 1.

коэффициента C₁ = 0,4 обеспечивает экономию топлива в размере 1% при

увеличении времени всего на 9 с по сравнению со стандартным профилем.

Графики калиброванной приборной и истинной воздушной скоростей для

стандартного профиля и трех вариантов оптимизации приведены на рис. 2

500

1: V_CAS

1: V

450

2: V_CAS

2: V

400

3: V_CAS

3: V

350

4: V_CAS

4: V

300

250

200

400

600

800

1000

1200

1400

Время, с

Рис. 4. Приборная V_CAS и истинная воздушная V скорости для стандартного

профиля (1), минимизации расхода топлива (2), минимизации времени (3) и

комбинированной оптимизации (4) с вариантом управления 2.

1: стандартный

2: минимальный расход

3: минимальное время

4: комбинированный

-1 0

200

400

600

800

1000

1200

1400

Время, с

Рис. 5. Угол наклона траектории Θ для стандартного профиля (1), мини-

мизации расхода топлива (2), минимизации времени (3) и комбинированной

оптимизации (4) с вариантом управления 2.

для варианта управления 1 и на рис. 4 для варианта управления 2. Анало-

гично на рис. 3 и 5 приведены графики изменения угла наклона траектории.

Графики полученной и максимальной доступной тяги приведены на рис. 6.

´10⁴

1: T_max

1: T

2: T_max

2: T

200

400

600

800

1000

1200

1400

Время, с

Рис. 6. Значение тяги T и доступная тяга T_max при минимизации расхода топ-

лива с вариантом управления 1 (1) и для стандартного профиля с вариантом

управления 2 (2).

В табл. 3 приведены значения расхода топлива и времени, полученные

для таких же вариантов оптимизации, но для примера воздушного судна

с неполной загрузкой, т.е. при тех же остальных исходных данных табл. 1

начальная масса принята равной m₀ = 55 тонн.

В этом случае при варианте управления 2 оптимизация не дает заметно-

го выигрыша по сравнению со стандартным профилем. При использовании

управления тягой в варианте управления 1 можно получить небольшую эко-

номию топлива. Графики калиброванной приборной и истинной воздушной

скоростей для стандартного профиля и трех вариантов оптимизации для ва-

Таблица 3. Результаты оптимизации для начальной массы m₀ = 55 т

Вариант

Расход

Номер

Вариант оптимизации

Время, с

управления топлива, кг

Стандартный профиль

1136

1211

Минимальный расход

1123

1258

Минимальное время

1139

1203

Комбинированный (C₁ = 0, 4)

1132

1216

Стандартный профиль

1143

1202

Минимальный расход

1139

1211

Минимальное время

1142

1203

Комбинированный (C₁ = 0, 4)

1139

1207

500

450

1: V_CAS

1: V

400

2: V_CAS

2: V

3: V_CAS

350

3: V

4: V_CAS

300

4: V

250

200

400

600

800

1000

1200

1400

Время, с

Рис. 7. Приборная V_CAS и истинная воздушная V скорости для стандартного

профиля (1), минимизации расхода топлива (2), минимизации времени (3) и

комбинированной оптимизации (4) с вариантом управления 1 при неполной

загрузке.

1: стандартный

2: минимальный расход

3: минимальное время

4: комбинированный

-2

200

400

600

800

1000

1200

1400

Время, с

Рис. 8. Угол наклона траектории Θ для стандартного профиля (1), мини-

мизации расхода топлива (2), минимизации времени (3) и комбинированной

оптимизации (4) с вариантом управления 1 при неполной загрузке.

рианта управления 1 приведены на рис. 7, а на рис. 8 приведены графики

изменения угла наклона траектории.

100

6. Заключение

Предложенный алгоритм оптимизации быстро сходится несмотря на слож-

ную структуру целевой функции, что позволяет использовать его в бортовых

системах управления самолетовождением. Тем не менее практическая реали-

зация предлагаемого подхода осложнена тем, что значение целевой функ-

ции оптимизации вычисляется путем моделирования полета на этапе набора

высоты. При этом используются аппроксимирующие формулы удельного се-

кундного расхода топлива и доступной тяги, которые должны быть опреде-

лены для используемых двигателей, а также формулы и параметры системы

управления тягой и тангажом.

При наличии необходимых данных для моделирования применение опти-

мизации может обеспечить экономию расхода топлива до 1,5% на этапе набо-

ра высоты. Это снижение расхода по сравнению со стандартным профилем,

также разработанным для минимизации расхода топлива, поэтому результат

можно считать значимым.

Проведенное исследование для среднемагистральных самолетов подтвер-

ждает эффективность использования максимальной доступной тяги с прио-

ритетом скорости, но при достижении высоты 6000 м может быть эффектив-

ным выбор скорости исходя из критериев минимизации расхода топлива с

учетом планируемого времени полета.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Александров В.А., Зыбин Е.Ю., Косьянчук В.В., Сельвесюк Н.И., Тремба А.А.,

Хлебников М.В. Оптимизация высотно-скоростного профиля крейсерского по-

лета воздушного судна при фиксированном времени прибытия // АиТ. 2021.

№ 7. С. 69-85.

Alexandrov V.A., Zybin E.Y., Kosyanchuk V.V., Selvesyuk N.I., Tremba A.A.,

Khlebnikov M.V. Optimization of the Altitude and Speed Profile of the Aircraft

Cruise with Fixed Arrival Time // Autom. Remote Control. 2021. V. 82. No. 7.

P. 1169-1182.

2. Губарева Е.А., Мозжорина Т.Ю. Оптимизация программы полета дозвукового

пассажирского самолета на участке разгона набора высоты // Инженерный

журн.: наука и инновации. 2013. № 7(19).

3. Ghaemi R., Lax D.M., Westervelt E.R., Darnell M., Visser N. Optimal Variable-

Speed Climb for a Fixed-Wing Aircraft // AIAA 2019-3617. AIAA Aviation 2019

Forum. 2019.

4. Wan J., Zhang H., Liu F., Lv W., Zhao Y. Optimization of aircraft climb trajectory

considering environmental impact under RTA constraints // J. Advanced Transport.

V. 2020. Article ID 2738517.

5. Villegas Diaz M., Gomez Comendador V.F., Garcia-Heras Carretero J., Arnaldo

Valdes R.M. Environmental benefits in terms of fuel efficiency and noise when intro-

ducing continuous climb operations as part of terminal airspace operation // Int. J.

Sustainable Transport. 2020. V. 14. I. 12. P. 903-913.

101

6. Григоров П.Ю., Куланов Н.В. Применение концепции обратных задач динамики

в задачах вертикальной навигации // Известия РАН. Теория и системы управ-

ления. 2016. № 3. С. 130-140.

7. Hull D.G. Fundamentals of Airplane Flight Mechanics. Berlin Heidelberg: Springer-

Verlag, 2007.

8. ГОСТ 4401-81. Атмосфера стандартная. Параметры. М.: Изд-во стандартов,

2004.

9. Bartel M., Young T.M. Simplified Thrust and Fuel Consumption Models for Modern

Two-Shaft Turbofan Engines // J. Aircraft. 2008. No. 45(4). P. 1450-1456.

10. Nuic A. User Manual for the Base of Aircraft Data (BADA), Revision 3.8. EURO-

CONTROL, EEC Technical Report No. 2010-003, 2010.

11. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. 2-е издание, исправленное и дополненное.

М.: ЛЕНАНД, 2014.

12. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002.

Статья представлена к публикации членом редколлегии Л.Б. Рапопортом.

Поступила в редакцию 30.04.2022

После доработки 14.07.2022

Принята к публикации 28.07.2022

102