Автоматика и телемеханика, № 11, 2022

Управление в социально-экономических

системах

(Самарский национальный исследовательский

университет им. академика С.П. Королева)

ВЛИЯНИЕ РЕФЛЕКСИИ НА СВОЙСТВА РАВНОВЕСИЙ В

НЕЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ ОЛИГОПОЛИИ ШТАКЕЛЬБЕРГА

Рассматривается теоретико-игровая проблема выбора оптимальных

стратегий агентов рынка олигополии при линейной функции спроса и

нелинейных функциях издержек агентов. Исследовано влияние рефлек-

сивного поведения на число и свойства равновесий в игре для агентов,

имеющих различные типы функций издержек: вогнутые, соответствую-

щие положительному эффекту расширения масштаба, и выпуклые, соот-

ветствующие отрицательному эффекту. Доказано, что в случае выпуклых

функций издержек существует только одно равновесие, а в случае вогну-

тых функций издержек может существовать два равновесия, одно из ко-

торых меньше равновесия при линейных издержках, а другое больше.

Установлено, что при выпуклых функциях издержек равновесное дей-

ствие увеличивается с ростом рефлексии агента и снижается с ростом

рефлексии окружения, как и в модели с линейными функциями издер-

жек. При вогнутых функциях издержек влияние рефлексии зависит от

знака суммы предположительных вариаций S: с повышением рефлексии

агента большее равновесие растет, а меньшее снижается при S < 0, а при

S >0

наоборот.

Ключевые слова: олигополия, игра Штакельберга, вогнутость и выпук-

лость функции издержек, рефлексия.

DOI: 10.31857/S000523102211006X, EDN: KELPWF

1. Введение

В играх олигополии с нелинейными функциями издержек агентов тра-

диционный подход вычисления равновесия Курно-Нэша [1, 2] требует совер-

шенствования, поскольку включение в модель лидерства по Штакельбергу [3]

приводит к расширению содержания понятия ¾тип агента¿. Если в самой

распространенной модели с линейными издержками [4-6] параметром типа

агента являются предельные издержки агентов, то нелинейная модель с ли-

дерством по Штакельбергу, во-первых, типизирует агента по признаку вы-

пуклости (вогнутости) функции издержек, т.е. по специфике технологии, и,

во-вторых, по типу рефлексивного поведения.

145

В рамках рефлексии исследуется многообразие представлений агента

1) о стратегиях окружения (т.е. других игроков), 2) о представлениях окру-

жения о стратегии агента; 3) о представлениях окружения о представлении

агента о стратегиях окружения и т.д. В этом ряду номер представления на-

зывается рангом [7]. Модель рефлексивной игры является инструментом опи-

сания информированности агентов, с помощью которого экзогенно заданная

информированность сводится к множеству возможных игр с полной инфор-

мированностью. Поэтому решением рефлексивной игры является информа-

ционное равновесие [8]. Рефлексивное поведение агентов исследовалось в по-

становке Курно-Штакельберга в процессах стратегической и информацион-

ной рефлексии [9-13], а также в рамках динамики установления равновесия

Курно [14] и Штакельберга 15].

Таким образом, тип агента представляет собой множество из двух ха-

рактеристик, первая из которых выражает технологию производства аген-

та, а вторая его способ мышления. Поскольку технология предопределяет

вид зависимости производственных издержек от выпуска, то первый элемент

множества параметров типа, т.е. технологический тип агента, характери-

зуется значениями коэффициентов его функции издержек. В соответствии

с видом функции издержек агента могут быть следующие технологические

типы: 1) постоянная отдача от расширения масштаба производства, при ко-

торой издержки возрастают прямо пропорционально выпуску, а технология

оптимальна, так как достигла предела улучшения; 2) отрицательный эффект

расширения масштаба, когда издержки возрастают ускоренным темпом от-

носительно роста выпуска, и технология рецессивная, т.е. тормозит расши-

рение производства; 3) положительный эффект расширения масштаба, ес-

ли издержки возрастают замедленным темпом относительно роста выпуска,

что соответствует прогрессирующей технологии, способствующей расшире-

нию производства. Для реальных фирм выявлена [16] следующая тенденция

перехода от одного технологического типа к другому в процессе развития

фирмы: вначале наблюдается третий тип (положительный эффект), затем

совершенствование технологии приводит к оптимуму, т.е. первому типу (по-

стоянная отдача), после чего технология деградирует и наступает второй тип

(отрицательный эффект). Следовательно, вообще в экономике могут сосуще-

ствовать агенты различных технологических типов. Однако олигополии, как

рынки, возникшие из монополии и, следовательно, предлагающие покупате-

лю идентичный товар, как правило, включают в себя фирмы, пребывающие

на одной и той же стадии развития. Поэтому в статье исследуется игра оли-

гополии, в которой все агенты имеют одинаковые технологические типы.

В свою очередь, ментальное поведение агента в игре при взаимодействии с

окружением характеризуется рангом его рефлексии, которому можно поста-

вить в соответствие предположительную вариацию, т.е. предполагаемое из-

менение выпуска контрагента, вызываемое единичным увеличением выпуска

агента. Поэтому второй элемент множества параметров типа агента, т.е. мен-

тальный тип, количественно измеряется его предположительной вариацией,

146

точнее, в игре более двух агентов, суммой предположительных вариаций ка-

сательно всех агентов окружения. По этому признаку агентов можно разде-

лить на следующие типы: 1) ведомый агент, не выдвигающий предположений

о стратегиях окружении, вследствие чего сумма предположительных вариа-

ций такого агента равна нулю; 2) лидер по Штакельбергу (первого уровня),

предполагающий, что его окружают ведомые агенты, что, как известно [3],

означает отрицательную предположительную вариацию, т.е. предположено

снижение выпуска контрагента в ответ на рост выпуска лидера; 3) лидер

по Штакельбергу второго уровня (или более высоких уровней), предпола-

гающий, что его окружают лидеры первого уровня (или последующих, но

низших уровней). В этой классификации типов с ростом уровня лидерства

сумма предположительных вариаций лидера возрастает по абсолютной ве-

личине, оставаясь отрицательной, если лидера окружают агенты первого и

второго технологических типов. Однако если окружение имеет третий техно-

логический тип (положительный эффект), то углубление рефлексии (т.е. рост

ранга) агента может приводить к атипичному предположению о том, что рост

выпуска агента вызывает увеличение выпуска контрагента; в таком случае

сумма предположительных вариаций атипичного агента положительна [17].

Следовательно, на ментальный тип агента опосредованно, через функции из-

держек агентов как общее знание, влияет технологический тип окружения, и

предположительные вариации в результате могут принимать значения в диа-

пазоне (-∞, ∞). Поэтому дискретный набор ментальных типов моделируется

в статье непрерывной величиной суммы предположительных вариаций.

Поскольку совместное влияние технологического и ментального компонен-

тов типа агентов на равновесие в агрегативной игре олигополистов не иссле-

довано, то эта проблема является предметом данной статьи.

2. Методология

Рассмотрим рынок олигополии, на котором фирмы (агенты) имеют сте-

пенные функции издержек следующего вида:

(1)

∈ (0, 2) , i ∈ N,

C_i (Q_i) = C_Fi + B_iQβii, CFi ≥ 0, Bi > 0, βi

где Q_i действие (объем выпуска) i-го агента; N = {1, . . . , n} множество

агентов рынка; n количество агентов; C_Fi, B_i, β_i коэффициенты функ-

ций издержек агентов. Степенная функция издержек (1) в диапазоне коэф-

фициентов β_i ∈ (0, 2) обобщает три технологических типа: агент с постоян-

ной отдачей от расширения масштаба описывается линейной функцией из-

держек (β_i = 1), агент с отрицательным эффектом выпуклой функцией

при 1 < β_i < 2, агент с положительным эффектом расширения масштаба

вогнутой функцией издержек при 0 < β_i < 1. Следовательно, коэффициенты

B_i, β_i представляют собой параметры технологического типа агента.

В агрегативной игре на рынке олигополии с линейной функцией спроса

агенты выбирают оптимальные действия из условия максимума функции по-

147

лезности:

{

}

maxΠi (Q,Qi) = max

(a - bQ) Q_i - C_Fi - B_iQβi

Q_i≥0

(2)

∑

Q_i ≥ 0, Q = Q_i, i ∈ N,

i∈N

при условии¹

(2а)

a>C^′iQ

∀β ∈ [1,2) , a > β^-1C^′

∀β ∈ (0,1) ,

iQ_i

где Π_i функция полезности (прибыль) i-го агента; Q суммарный объем

рынка; a, b коэффициенты обратной функции спроса, a > 0, b > 0, a ≫ b.

Равновесие Нэша в модели (2) есть вектор действий агентов при выбран-

ных действиях окружения (т.е. других агентов), который определяется из

уравнений

∂Πi (Q_i,ρ_ij)

(3)

= 0, i, j ∈ N,

∂Q_i

где ρ_ij = Q^′

предположительная вариация i-го агента, т.е. предполагае-

jQ_i

мое изменение выпуска j-го агента в ответ на единичный прирост выпуска∑

i-го агента. Сумма вариаций i-го агента S_i =

ρ_il выражает ментальный

l∈N\i

параметр типа агента.

Стратегическая игра Г есть кортеж множества агентов, множества стра-

тегий (действий), множества функций полезности и множества уровней ли-

дерства по Штакельбергу:

(4)

Γ = 〈N,{Q_i,i ∈ N},{Π_i

,i ∈ N},G〉,

где G = (M₀, M₁, . . . , M_L) множество уровней лидерства агентов; L ко-

личество уровней лидерства агентов; M_r (r = 0, . . . , L) множества агентов;

M₀

множество ведомых агентов; M_r (r = 1, . . . , L) множество лидеров

r-го уровня. Формально уровни лидерства определяются следующим обра-

зом. Нулевой уровень, соответствующий ведомому η₀-му агенту, имеет место,

если в η₀-м уравнении системы (3) полагается ρ0η0j^{=0∀j∈N\η}0^{,гдеверхний}

индекс вариации обозначает уровень лидерства r. Первый уровень лидерства

η₁-го агента возникает, если в η₁-м уравнении системы (3) вариации ρ1η1j^вы-

числяются дифференцированием по Qη1 остальных (n - 1) уравнений (3), в

которых полагается ρ^0ij = 0 ∀j ∈ N\i. Произвольный r-й уровень лидерства

η_r-го агента возникает, если в η_r-м уравнении системы (3) вариации ρrηrj^вы-

числяются дифференцированием по Qηr остальных (n - 1) уравнений (3), в

которых полагается ρ_ij = ρ^r-1ij ∀j ∈ N\i.

Рефлексией [7] будем называть выполняемую η_r-м агентом мыслитель-

ную операцию вычисления вариации ρrηr j^{изсистемы(3)впредположении}

ρ_ij = ρ^r-1ij ∀j ∈ N\i; соответственно, индекс r для агента, выполнившего эту

операцию, есть ранг рефлексии.

¹ Условие существования стационарной точки функции полезности.

148

Ростом рефлексии будем называть увеличение параметра S^ri по абсолют-

ной величине, поскольку в модели с линейными издержками с увеличением r

модуль ρ_ij растет.

Обозначим нормированное действие агента как y_i =Qi

∈ (0, 1), где

Qmax

Q_max =^ab есть максимальный объем рынка. Введем обозначения:

β_i-1

â - Biβi (2 - β_i) x

B_iβ_i (β_i - 1)

α_i =

δ_i = 2 +

xβi-2i + S^ri,

â = Q_maxa,

b = Q^2maxb,

B_i = QβimaxBi,

где параметры x_i удовлетворяют следующим условиям:

y_i - x_i < ε_i, x_i < y_i, Ω_i = x_i + ξ_i (y_i - x_i),

(5)

ξ_i,x_i ∈ (0,1) , ε_i ∈ (0,Ω_i) , i ∈ N.

Переменные x_i представляют собой параметры линеаризации системы (3),

поэтому имеют ту же размерность, что и равновесные действия y_i, и должны

быть им равны с точностью до малых положительных чисел ε_i.

Решение системы (3) было получено [18] в виде следующей формулы рав-

новесия:

θ_i

a_0i + a_1ix

(6а)

y_i =

b_0i + b_1ixθi-1

где коэффициенты вычисляются по следующим формулам:

1-λ_i

θ_i = β_i - 1 ∈ (-1,1) , a_0i =

a_1i = θ²ⁱ - 1 < 0,

B_i

(6б)

1+S^r

+τ_i

b_0i =

b_1i = θ_i (θ_i + 1) ,

B_i

при условии² [19]

(6в)

S^ri ∈ Ξ_i, i ∈ N, Ξ_i = {S^ri : δ_i

> 0} ,

где

∑

B_i

B_i =

λ_i = τ_i

α_j , τ_i =

ω_j

∑

bQmax

j=i

ω_j

(6г)

j=i

{

> 0, θ_i ∈ (0, 1) ,

ω_i = δ_i - 1, b_1i

< 0, θ_i ∈ (-1, 0) .

Поставим задачу анализа влияния параметров функций издержек агентов

и суммы предположительных вариаций S_i на функцию равновесного дей-

ствия агента (6а).

² Условие максимума функции полезности в стационарной точке.

149

3. Результаты

Опишем свойства равновесий, определяемых формулой (6а), для различ-

ных типов функций издержек и ментальных типов агентов. В дальнейшем

рассмотрим i-го агента, поэтому для упрощения записи опустим индекс ¾i¿, а

если рассуждения касаются окружения, используем индекс ¾-i¿; также опу-

стим индекс ¾r¿, считая, что каждый агент имеет некоторый ранг рефлексии,

приводящий к сумме вариаций S^r.

Для оценки свойств равновесий важную роль играют характеристики па-

раметров (6г), которые представим в виде следующего вспомогательного ре-

зультата.

Лемма 1. Коэффициенты τ и λ при различных параметрах типа окру-

жения в равновесии удовлетворяют следующим условиям:





(0, 1) , если θ_-i ∈ [0, 1) ,

[

)



(0, 1) , если θ_-i ∈ (-1, 0) пр

S_-i ∈

S,∞

(7а)

τ ∈

(

)



(

)

 -

, если θ_-i ∈ (-1,0) пр

S_-i ∈

S - 1,S

n-2



(0, 1) , если θ_-i ∈ [0, 1) ,



[

)



(0, 1) , если θ_-i ∈ (-1, 0) пр

S_-i ∈

S,∞

(7б)

λ∈

(

)



(0, 1) , если θ_-i ∈ (-1, 0) пр

S_-i ∈

S - 1,S

и n ∈ (n₂,∞),



(

)

(1, 2) , если θ_-i ∈ (-1, 0) пр

S_-i ∈

S - 1,S

и n ∈ (n₁,n₂),

∂τ

∂λ

∂τ

∂λ

(7в)

> 0,

< 0,

= 0,

∂S_-i

∂S

где



 (

)



2-α_max

S =b^-1

θ

θ+1

Q^θ-1 - 1, n₁ =4-αmax,

n₂ =

2-α_max

1-α_max

(

)

B 1-θ2 Q^θmax

∑

α_max = 1 -

∈ (0,1),

S_-i =

S_j;

n-1

j=i

θ,

B подобраны из условий

(

)

∑

(

)

∑

B =

ω_j, α

B =

α_j.

n-1

j=i

Содержательно коэффициент τ характеризует интенсивность рефлексии

окружения данного агента, так как если S_-i < 0, то с увеличением |S_-i| па-

раметр ω_-i уменьшается и τ стремится к нулю, а если параметр S_-i > 0, то

его рост приводит к повышению τ. Коэффициент λ это комплексная оценка

типа окружения, он объединяет коэффициент τ и характеристику нелинейно-

сти функций издержек окружения α: чем больше |θ|, т.е. чем более выпуклы

150

(или вогнуты) функции издержек, тем коэффициент α ближе к единице, а

чем меньше |θ|, тем α ближе к нулю.

Таким образом, коэффициенты τ и λ положительны и не превышают еди-

ницы в случаях линейных или выпуклых функций издержек окружения (по-

стоянного или отрицательного эффектов расширения масштаба), а также в

случае вогнутых функций издержек окружения, если средняя сумма вариа-

ций окружения S_-i не меньше S; если эта величина меньше S, то коэффици-

ент τ отрицательный и по модулю меньше

, а коэффициент λ либо также

n-2

не превышает единицы при большом числе агентов (больше n₂), либо не пре-

вышает двух при меньшем числе агентов (от n₁ до n₂). Важно, что с ростом

рефлексии окружения, т.е. с увеличением |S_-i|, в случае S_-i > 0 коэффици-

ент τ растет, а α снижается, а в случае S_-i < 0 наоборот. Опосредованно

через функцию y (S, S_-i) коэффициенты τ и λ испытывают также влияние

изменения равновесия, но эта зависимость будет исследована в нижеследую-

щих утверждениях.

Равновесие3 (6а) отклоняется от классического равновесия Курно [20]

вследствие двух факторов нелинейности функции издержек агента, ха-

рактеризуемой параметром θ, а также рефлексии агента (параметр S) и его

окружения (параметры λ и τ). Поэтому для факторного анализа устраним

влияние нелинейности, т.е. рассмотрим случай θ = 0 (или β = 1), что позво-

ляет выявить чистое влияние фактора рефлексии.

Утверждение 1. В игре агентов с линейными функциями издержек

(β = 1) равновесное действие y_β=1

i) единственное, конечное, отличное от нуля, вычисляется по формуле

a-B

(8а)

y_β=1 = χ_β=1

Q_maxb

ii) растет с ростом рефлексии агента и снижается с ростом рефлексии

окружения

∂χ_β=1

(8б)

< 0,

> 0,

∂S

∂S_-i

iii) превышает равновесное действие по Курно y_K =^a-B(n+1)Q

, т.е.

maxb

χ_β=1 > χ_K, при следующих ограничениях:

(8в)

κ < 0 ∨ (n < κ ∧ κ > 0),

где χ_β=1 =^τ1+S+τ , κ =^S+1S

S_-i, χ_K =

, индекс K равновесие Курно.

-i-S

n+1

Содержательно коэффициент χ показывает изменение действия агента

вследствие рефлексии по сравнению с равновесным действием по Курно.

Далее рассмотрим игру агентов, имеющих технологии с отрицательным

эффектом расширения масштаба, т.е. выпуклыми функциями издержек.

³ Здесь и далее термин ¾равновесие¿ используется также как синоним термина ¾равно-

весное действие¿.

151

Утверждение 2. В игре агентов с выпуклыми функциями издержек

(β > 1) равновесие агента y_β>1

i) существует при следующих условиях:

(9а)

S ∈ (max{-1,s₂},0], если

{S, τ, λ} ⊂ Ω_β>1,

⌢

причем s₂ > -1, если λ + τ < 1 и Q_max < Q

max

ii) при β = 2 вычисляется по формуле

(9б)

y_β=2 = χ_β=2,

iii) меньше равновесия при линейных функциях издержек

(9в)

y_β=2 < y_β=1 при S < S

^⌢,

iiii) растет с ростом рефлексии агента и снижается с ростом рефлексии

окружения

∂χ_β=2

(9г)

< 0,

> 0,

∂S

∂S_-i

iiiii) влияние рефлексии ниже, чем при линейных функциях издержек



∂χβ=2

∂χβ=1

∂χ_β=2

∂χ_β=1

(9д)



<



,

∂S

∂S_-i

где

χ_β=2 =

s₂ = -βB - (λ + τ),

1 + S + τ + 2b^-1B

) 1

(

)

⌢

(B β

1-β

max

^⌢ =

-1-τ,

a 1-λ-τ

Ω_β>1 = {(S,τ,λ) : a₀ > 0 ∧ b₀ > 0}.

Наконец, исследуем игру агентов, имеющих технологии с положительным

эффектом расширения масштаба, т.е. вогнутыми функциями издержек.

Утверждение 3. В игре агентов с вогнутыми функциями издержек

(β < 1) равновесие агента y_β<1

i) существует при следующих условиях:



}



(max {s₀, s₁} , s₃) при a₀ > |a₁| ,



если

{S,τ,λ} ⊂ Ω^1β<1,



(max {s₀, s₁} , s₂) при a₀ < |a₁| ,



(10а)

(max {s₀, s₂} , s₄) , если

{S,τ,λ} ⊂ Ω^2β<1,

S∈



(s₀, s₂) , если

{S,τ,λ} ⊂ Ω^3β<1,





(s₀, min {s₁, s₂}) , если

{S,τ,λ} ⊂ Ω^4β<1,

152

ii) при β = 0,5 вычисляется по формуле



√



ζ±



y^+,-β=0,5 =

, если

{S,τ,λ} ⊂ Ω^2β<1,

2(1 + S + τ)

(10б)

y_β=0,5 =

(



0,5B



³ , если {S, τ, λ} ⊂ Ω1β<1

⋃Ω^3β<1⋃

Ω^4β<1,

1+S+τ

iii) соотносится с равновесием при линейных функциях издержек как

y^+β=0,5 > y_β=1 ∧ y^-β=0,5 < y_β=1 при λ < λ, если

{S,τ,λ} ⊂ Ω^2β<1,

(10в)

y_β=1 < y_β=0,5 при Q_max > Q_max, если

{S, τ, λ} ⊂ Ω^1β<1,

iiii) зависит от рефлексии агента и рефлексии окружения следующим

образом:



∂y^+β=0,5

∂y^-β=0,5



< 0,

> 0,



∂S

если

{S, τ, λ} ⊂ Ω^2β<1,



∂y^+β=0,5

∂y^-β=0,5



(10г)

> 0,

< 0 при λ > λ

^⌢,

∂S_-i

∂y_β=0,5

< 0,

< 0, если

{S, τ, λ} ⊂ Ω^1β<1

⋃Ω^3β<1⋃

Ω^4β<1,

∂S

∂S_-i

iiiii) влияние рефлексии по сравнению со случаем линейных функций

издержек сказывается следующим образом:







⌢

∂yβ=1

y^+β=0,5

⌢



∂



при λ > λ

⁺,





>



∂S



∂S











⌢



∂yβ=1

y^-β=0,5

∂



⌢



при λ > λ

⁻,

если

{S, τ, λ} ⊂ Ω^2β<1,



>

∂S



∂S













∂yβ=1

y^+,-β=0,5

(10д)

∂







при λ > λ

^⌢ +⌢-i,



>

 ∂S_-i

 ∂S-i



∂yβ=1

∂yβ=0,5

∂yβ=1

∂yβ=0,5



>



,

>



∂S

 ∂S_-i

∂S_-i

при Q_max > Q_max, если

{S,τ,λ} ⊂ Ω^1β<1,

где

Ω^1β<1 = {(S,τ,λ) : a₀ > 0 ∧ b₀ > 0 ∧ b₀ < |b₁|},

Ω^2β<1 = {(S,τ,λ) : a₀ > 0 ∧ b₀ > 0 ∧ b₀ > |b₁| ∧ a₀ > |a₁|} ,

Ω^3β<1 = {(S,τ,λ) : a₀ < 0 ∧ b₀ < 0} ,

Ω^4β<1 = {(S,τ,λ) : a₀ > 0 ∧ b₀ < 0} ,

153

ζ = 1 - λ, d = ζ² - 2B (1 + S + τ), λ = 1 - τ (1 - B/a),

⌢

2τ (1 - B/a)

⌢

2τ (1 - B/a)

⁺ =1-

⁻ =1-

Δ₁ + 2

Δ₁

s₀ = β (1 - β) By^β-2 - 2, s₁ = - (1 + τ), s₂ = -βB - (λ + τ) ,

s₃ = β (1 - β) B - (1 + τ) , s₄ = β (1 - β) ψ - (1 + τ) ,

⌢

2(1 - B/a)(1 + S) - Δ₂

(0,5B/a)

-i =

Q_max =

^⌢ =

1-(1+S +τ)α,

2+Δ₁

τ³(1-B/a)³

0,5

Q^m,ax (1 - τα (n - 1))

(B/a)^0,5 (1 + τ)

Δ₁ =

- 1, Δ₂ =

ϕ^0,5

ϕ = Q0,5max (1 - τα(n - 1))² - 2B

(1 + τ) ,

y^-, y⁺ меньшее и большее равновесия.

Таким образом, исследована полная совокупность возможных игровых си-

туаций, возникающих при различных технологических и ментальных типах

агентов олигополии.

4. Численный эксперимент и обсуждение результатов

Игра агентов с линейными функциями издержек, свойства равновесия в

которой описаны в утверждении 1, является референтным случаем. В этом

случае равновесные действия агентов выше, чем в классическом случае Кур-

но, если рефлексия агента выше рефлексии окружения (т.е. |S| > |S_-i|) при

любых n > 1, а если окружение рефлексирует сильнее (т.е. |S| < |S_-i|), то при

некотором ограниченном числе агентов, т.е. n < κ. Кроме того, поскольку в

случае линейных издержек S < 0 и S_-i < 0, то рост рефлексии агента все-

гда ведет к росту его равновесия, а рост рефлексии окружения способствует

снижению равновесия агента.

В игре агентов, имеющих технологии с отрицательным эффектом масшта-

ба, т.е. выпуклые функции издержек, описанной в утверждении 2, область

значений S, при которых равновесие в игре существует, может сужаться по

сравнению с линейным случаем, когда S ∈ (-1, 0]. Это проявляется при ма-

лых значениях λ и τ, т.е. когда S_-i → -1 (окружение интенсивно рефлекси-

рует) и |θ| → 0 (функции издержек окружения близки к линейным). Выпук-

лость функций издержек приводит к уменьшению равновесного действия по

сравнению с моделью линейных издержек при условии S < S

^⌢, что является

типичным случаем, поскольку S

^⌢ ≫ 1, так как ^ab ≫ 1. Кроме того, при выпук-

лых функциях издержек снижается влияние рефлексии по сравнению с ли-

нейным случаем, а тип влияния рефлексии на равновесие остается прежним:

рост рефлексии агента повышает его равновесное действие, а рост рефлексии

окружения снижает.

154

Коэффициенты функций издержек телекоммуникационных компаний РФ

Агент

B_i

β_i

ПАО ¾МТС¿

2,41

0,76

ПАО ¾МегаФон¿

1,36

0,85

ПАО ¾ВымпелКом¿

2,46

0,81

Игра агентов, технологии которых характеризуются положительным эф-

фектом расширения масштаба, когда у всех агентов вогнутые функции из-

держек, описана в утверждении 3. При этом равновесие существует в менее

широком диапазоне, чем S ∈ (-∞, ∞) [19]. Следовательно, в этом случае S

может быть как положительным, так и отрицательным, поэтому понятие ро-

ста рефлексии можно трактовать двояко: при S < 0, как и ранее, ростом

рефлексии будем считать увеличение параметра S по абсолютной величине,

т.е. уменьшение S; при S > 0 будем называть ростом рефлексии увеличение

параметра S.

Возможны две ситуации: существование двух равновесий в случае

{S, τ, λ} ⊂ Ω^2β<1 или одного равновесия в случае {S, τ, λ} ⊂ Ω^1β<1 ∪Ω^3β<1 ∪Ω^4β<1.

В ситуации двух равновесий одно из них больше равновесия в линейном

случае, а другое меньше, если λ < λ, а поскольку λ близко к единице при

достаточно большом n, то эта закономерность типична. Кроме того, в этой

ситуации рост рефлексии агента при S < 0 влечет за собой увеличение боль-

шего равновесия и уменьшение меньшего, а при S > 0, наоборот, приводит

к снижению большего равновесия и повышению меньшего. В свою очередь,

рост рефлексии окружения вызывает противоположный эффект при условии

λ>λ

^⌢.

В ситуации единственного равновесия его значение больше равновесия в

линейном случае при условии Q_max > Q_max, которое выполняется при малых

значениях Q_max, т.е. когда B ≪ a. Кроме того, в данной ситуации при S < 0

рост рефлексии агента и окружения способствует уменьшению равновесия, а

при S > 0 ведет к увеличению равновесия.

При вогнутых функциях издержек влияние рефлексии на равновесие отли-

чается от случая линейных издержек следующим образом: 1) в ситуации двух

равновесий рефлексия агента в линейном случае влияет сильнее, чем в нели-

⌢

нейном, при условии λ > λ

⁺ для большего равновесия и λ > λ^⌢⌢- для мень-

шего равновесия, а рефлексия окружения при условии λ > λ

^⌢ + ⌢-i; 2) в си-

туации одного равновесия рефлексия агента и окружения влияет сильнее в

линейном случае при условии Q_max > Q_max.

Проведем моделирование равновесий на основе параметров функций спро-

са a = 1,77, b = 0,0009 и издержек (таблица), полученных для телекоммуни-

кационных компаний РФ [19], причем C_Fi = 0, i = 1, 2, 3. Поскольку β_i < 1,

i = 1,2,3, то для всех агентов имеет место наиболее интересный случай по-

ложительного эффекта масштаба, описанный в утверждении 3, в котором

могут наблюдаться два равновесия.

155

Поскольку для таких исходных данных не выполняются условия приме-

нимости приближенных формул (10) [18], то равновесия рассчитаны путем

численного решения уравнения (9а) [18], т.е. f (y) =b0a₀ y+b1aa1 y^β-1 =1.Для0

всех агентов выполняются условия a₀ > 0, b₀ > 0, b₀ > |b₁|, a₀ > |a₁| [18], при

которых может быть два равновесия, а условия существования двойного рав-

новесия a₀ - b₀ - β < 0 и u_∞ > 0 соблюдаются в определенных диапазонах S

и S_-i. Во всех точках равновесия выполняется условие S = s₄, т.е. u_∞ = 0

(или f(y) = 1). Кроме того, моделирование показало, что при равновесии со-

блюдается соотношение ω_i = -τ_i ∀i ∈ N; это свойство не было установлено

аналитически.

Рассмотрим влияние на равновесия рефлексии агента (рис. 1-3), считая

S_-i = 0. Для равновесия y⁺ при S < -0,8 нарушается условие a₀ - b₀ - β < 0

(рис. 1), т.е. условие S > s₂ (рис. 3). Для равновесия y^- при S < -0,8 наруша-

ется условие (6в), т.е. S > s₀, в результате становится τ > 1 (рис. 2). Поэтому

равновесия рассчитаны в указанных диапазонах. Характер изменения рав-

новесий с ростом S подтверждает условия (10г): с ростом S равновесие y⁺

уменьшается, а равновесие y^- возрастает.

Рассмотрим влияние на равновесия рефлексии окружения (рис. 4-6), по-

лагая S = 0. Изменение S_-i не ведет к нарушению условий a₀ - b₀ - β < 0 и

u_∞ > 0 в данных диапазонах (рис. 4), однако условие (6в), т.е. S > s₀, для

равновесия y^- выполняется только в диапазоне S_-i ∈ (-0,6; 0), поэтому y^-

представлено в указанном диапазоне. В соответствии с условиями (10г) с ро-

стом S_-i равновесие y^- уменьшается, а равновесие y⁺ возрастает, если λ > λ^⌢

(рис. 6).

5. Заключение

Исследование совместного влияния технологического и ментального порт-

ретов агентов на равновесие в игре олигополии продемонстрировало зави-

симость количества равновесий и величины равновесных действий как от

выпуклости (вогнутости) функций издержек агентов, так и от их рефлек-

сивного поведения. Если в случае линейных функций издержек существует

единственное равновесие и рост рефлексии агента всегда ведет к увеличению

его равновесия, а рост рефлексии окружения способствует снижению равно-

весия агента, то нелинейный характер издержек приводит к существенным

особенностям.

Первая особенность игры агентов с нелинейными функциями издержек

состоит в сужении допустимого диапазона суммы предположительных ва-

риаций агента, в котором существует игровое равновесие, по сравнению с

возможным значением этой суммы с точки зрения менталитета агента.

Вторая особенность присуща игре агентов с вогнутыми издержками, в ко-

торой может существовать два равновесия, одно из которых меньше равнове-

сия в линейном случае, а другое больше; если же равновесие единственно, то

оно, как правило, больше равновесного действия в линейном случае. В случае

158

с выпуклыми издержками равновесие, как правило, меньше, чем в линейном

случае.

Третье свойство касается степени влияния рефлексии на равновесие при

выпуклых или вогнутых издержках. Выпуклость функций издержек приво-

дит к ослаблению влияния рефлексии по сравнению с линейным случаем,

но характер влияния совпадает с линейным случаем. В случае вогнутых из-

держек рефлексия агента и рефлексия окружения, как правило, слабее, чем

в линейном случае, влияют на изменение единственного равновесия, а если

равновесия два, то рефлексия окружения может влиять как сильнее, так и

слабее.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Доказательство леммы 1. Поскольку условия (5) определяют непо-

движную точку, т.е. x = y, то преобразуем выражения α, δ и ω:

(

)

a-B

1-θ²

Q^θ

α=

δ = 2 + S + b^-1Bθ(θ + 1)Q^θ-1,

Q_maxb

ω = 1 + S + b^-1Bθ(θ + 1)Q^θ-1.

Введем следующее упрощение: так как параметры τ и λ зависят от сумм

α_-i

по множеству -i = {N\i}, то без ограничения общности положим

ω_-i

параметры α и ω равными средним в этом множестве, т.е. α_-i = α, ω_-i = ω

∑_n

(символом ¾∼¿ обозначим такжеθ

S_-i, при которых ω =

ω_j,

n-1

j=i

∑_n

α=

α_j). Тогда

n-1

j=i

(n - 1) α

τ =

λ = τ (n - 1)

1 + (n - 1) ¹

ω+n-1

Из этих формул следует:

∂τ

ω^′S (ω + n - 1) - ωω^′S

ω^′S (n - 1)

∂S

(ω + n - 1)²



∂λ

-ω′S (n - 1) α

∂λ

∂τ



=

∂S

(ω + n - 1)²

∂S

∂S

Производные

ω^′S = 1 + b^-1Bθ(θ + 1)(θ - 1)Q^θ-2Q^′S,

ω^′S

= b^-1Bθ(θ + 1)(θ - 1)Q^θ-2Q^′S

-i

учитывают неявную зависимость Q (S, S_-i), но поскольку оцениваются зна-

ки производных^∂τ∂S ,^∂λ∂S с целью последующего вывода о знаках Q^′S

, Q^′

S_-i

которые связаны со знаками τ′Si , τ^′

, то эта зависимость не учитывается и

S_-i

159

считается, что в равновесии Q (S, S_-i) = const. Поэтому ω^′S = 1, ω^′

= 0. То-

S_-i

∂τ

∂λ

гда

= (n-1)

> 0,

= -(n-1)α

< 0,^∂τ∂S

= ∂λ = 0. Заметим, что так_∂S

∂S_-i

(ω+n-1)²

∂S_-i

(ω+n-1)²

^B(1-θ2)Q

как Q_maxb = a, то α = 1 -

< 1 ∀Q > 0. Кроме того, из условия (2а)

следует, что α > 0, так как a

B(1 -θ2)Q^θ > 0 при θ_-i ∈ (0, 1), если a > C^′

iQ_i

т.е. a

B(1 +θ)Q^θ, и a -

B(1 -θ2)Q^θ > 0 при θ_-i ∈ (-1, 0), если a > β^-1C^′

iQ_i

т.е. a

BQ^θ. Поэтому α ∈ (0, 1).

В случае θ_-i ∈ [0, 1) доказано, что S_-i ∈ (-1, 0] [19], поэтому ω_-i > 0, значит,

τ ∈(0,1); при этом λ∈(0,1), так как^(n-1)α

> 0 ∀n > 1 и (n - 1)(α - 1) <

ω+n-1

< ω ∀n > 1. В случае θ_-i ∈ (-1,0) по [19] S_-i ∈ (-∞,∞), но с учетом (6в), из

которого следует ω > -1, возможны два варианта: i) ω ≥ 0 при услови

S≥

≥b^-1

B|θ|(θ+ 1)Q^θ-1 - 1 = S; в этом случае, как и в предыдущем, τ ∈ (0, 1),

λ∈(0,1);ii) ω<0приуслови

S<S и ω>-1приуслови

S > S - 1; тогда

(

)

(

)

τ ∈

-^1n-2,0 , а λ ∈

0,^n-1n-2 α при n > 2, причем λ ∈ (0, 1), если α <^n-2n-1 =

B(1-θ2)Q_m

= n₂, т.е. если α_max = 1 -

< n-2n-1, откуда n > 2-αmax; а при λ > 1_1-̃α

max

условие λ - 1 ≤ 1 выполняется, если n ≥4−αmax2m⁼ⁿ1^{,тогдаλ∈(1,2).}

Доказательство утверждения 1. В случае β = 1 (или θ = 0) по-

казано [19], что S < 0, |S| ∈ [0, 1), поэтому δ = 2 + S > 1, значит, ω = δ - 1 =

= S + 1 ∈ (0,1). Если все агенты окружения интенсивно рефлексируют, т.е.

|S_-i| → 1, то ω_-i → 0, поэтому по (6г) τ → 0; если окружение не рефлексиру-

ет, т.е. |S_-i| = 0, то ω_-i = 1, поэтому τ =¹ⁿ . Поскольку a₁ = -1, b₁ = 0, α =

= aQmax-BQmax

= a-BQ

при θ = 0, то, во-первых, из

(6а) следует y =

Q^2maxb

maxb

∑_n

Qmaxb

= Q^maxb-λ

во-вторых, λ = ατ

= ατ

¹ = ατ (τ - 1).

1+S+τ

j=i ω_j

j=1\i ω_j

Причем из (2а) следует, что a > B. Следовательно, y = χ^a-BQ

, где χ =^τω+τ .

maxb

Сравним данное решение с равновесным действием при условии гипотезы

Курно Q^Ki =^a-B(n+1)b или y^K =^a-B(n+1)Q

[20], т.е. когда предположительные

maxb

вариации всех агентов равны нулю (S = 0, S_-i = 0), поэтому ω = 1, τ =¹ⁿ ,

χ^K =

. Покажем, как рефлексивное поведение агентов влияет на увели-

n+1

чение действия, т.е. при каких n выполняется неравенство^χ

= τ(n+1)ω+τ > 1:

χ^K

пусть S_-i одинаковы для всех агентов окружения, тогда τ =S-i+1S,иχ

-i+n

χ^K

при условиях n >^S+1S

S_-i, если S_-i - S > 0 (т.е. κ < 0) или n <^S+1S

S_-i,

-i-S

если S_-i - S < 0 (т.е. κ > 0), где обозначено κ =^S+1S

S_-i; очевидно, что

-i-S

n > κ ∀n > 1 при κ < 0. Поскольку ^∂ω∂S > 0, ^∂τ∂S = 0, то ^∂χ∂S = -^τ

ω^′ < 0, а

(ω+τ)²

∂χ

с учетом (7в) получим

= τ^′(ω+τ)-ττ′

= τ^′ω

> 0.

∂S_-i

(ω+τ)²

Доказательство утверждения 2. В случае β > 1 (или θ > 0) пока-

зано, что S ∈ (-1, 0] [19], и B =

= B

; из условия (2а) вытекает,

bQmaxQ^m

aQmax

что B < 1, так как из a > βBQ^β-1 следует^B

<^1β < 1.

aQ^1-β

160

1+S+τ

Рассмотрим случай t = 1 [18], когда a₀ =^1-λ

> 0, b₀ =

> 0, т.е. λ < 1,

1+S+τ >0. Условие равновесия a₀-b₀-β <0 имеет вид - ¹

(λ + S + τ)-

−β < 0, откуда следует λ + S + τ > -βB. Поэтому получаем систему:

S > -(1 + τ) = s₁, S > -βB - (λ + τ) = s₂. С учетом S ∈(-1,0] и (7а) огра-

ничение S > s₁ не играет роли, так как s₁ < -1. Поэтому будет следующее

решение: если s₂ ≤ -1, то S ∈ (-1, 0], а если s₂ > -1, то S ∈ (s₂, 0]. Вариант

(

)

B β

s₂ > -1 имеет место, если λ + τ < 1 и Q_max <

^1-β .

a 1-λ-τ

В случае t = 2 [18], когда a₀ < 0, b₀ > 0, равновесие отсутствует, поскольку

λ > 1 противоречит (7б). Случаи t = 3,4 [18], когда b₀ < 0, т.е. 1 + S + τ < 0,

невозможны при S ∈ (-1, 0] и (7а).

Получим аналитическое решение в случае t = 1 для наиболее характерно-

го варианта нелинейности β = 2 (или θ = 1), используя формулу (10а) [18]:

y_β=2 =

k₁+k₂

где k₁ =b0a₀ =¹

1-λ

k₂ =b1-a1a₀ =^1−λB.Тогдаyβ=2⁼

1-λ

, причем при θ = 1: B = b^-1B, ω = 1 + S + 2b^-1B, поэтому y_β=2 =

1+S+τ+2B

=^1-λω+τ . Если θ = 1 для всех агентов, то α_-i = 1. Аналогично лемме 1 рас-

смотрим средние значени

S_-i,θ,

B, тогда λ =^{(n-1)̃ω+n-1}, и 1 - λ = τ, поэтому

y_β=2 =^τω+τ = χ_β=2.

Сравним y_β=1 и y_β=2, пусть y_β=1 > y_β=2, т.е.^τa-B1+S+τa ÷

> 1,

1+S+2b^-1B+τ

(

)

(

)

откуда 1+S+τ <2ab

1-^Ba

, или S < 2^ab

1-^Ba

-1-τ =S

^⌢. Как и в

τ^′

∂χ

S-i

утверждении 1, доказывается, что^∂χ∂S = -^τ

ω^′S < 0,

> 0. Но

(ω+τ)²

∂S_-i

(ω+τ)²

∂τ

поскольку ω′β=1S = ω′β=2S = 1, ω_β=2 > ω_β=1, τ_β=2 > τ_β=1 (так как

> 0), то

∂ω_-i



χ_β=2



χ_β=1



χ_β=2

^∂

<

^∂

, аналогично,^∂

, так как τ′β=2S

>τ^′

∂S

∂S_-i

S_-i

β=1_S-i

-i

Доказательство утверждения 3. В случае β < 1 (или θ < 0) по-

казано S ∈ (-∞, ∞) [19], но из условия (6в) ω = 1 + S + b^-1Bθ (θ + 1) Q^θ-1 =

= δ - 1 > -1, т.е. S > b^-1B |θ|(θ + 1)Q^θ-1 - 2 = β (1 - β)By^β-2 - 2 = s₀, и

B=^B

= B

< 1 из условия (2а).

bQmaxQ^m

aQmax

Рассмотрим случай t = 5 [18], когда a₀ =^1-λ

> 0, b₀ = ^1+S+τ

> 0, т.е.

λ < 1, 1 + S + τ > 0.

Случай t = 5.1: введем множество параметров (S, τ, λ), соответствую-

щих этому случаю, в виде Ω^1β<1 = {(S, τ, λ) : a₀ > 0 ∧ b₀ > 0 ∧ b₀ < |b₁|}; усло-

1+S+τ

вие b₀ < |b₁| равносильно

< |θ| (θ + 1) = β (1 - β), т.е.

1+S+τ <

< β (1 - β)B; условие равновесия a₀ - b₀ - β > 0 имеет вид - ¹

(λ + S + τ) -

−β > 0, откуда следует λ + S + τ < -βB. Поэтому получаем систему: S >

> β (1 - β)By^β-2 - 2 = s₀, S > -(1 + τ) = s₁, S < -βB - (λ + τ) = s₂, S <

< β (1 - β)B - (1 + τ) = s₃.

В этой системе s₂ < s₃, т.е. 1 - λ < β (2 - β) B при условии a₀ < |a₁|, и s₃ < s₂

1-τ

при a₀ > |a₁|; неравенство s₁ < s₀, т.е.

< y^β-2 может выполняться при

β(1-β)B

y→0,так как y^β-2 имеет порядок Qmax, а B-1 имеет порядок Qmax. Поэто-

161

{(max {s₀, s₁} , s₃) при a₀ > |a₁| ,

му решением системы будет диапазон S ∈

(max{s₀,s₁},s₂) при a₀ < |a₁|.

Этот диапазон не пуст в частных случаях, например, s₁ < s₃ (так как

β (1 - β) B > 0); s₁ < s₂, если βB < 1 - λ.

В случае t = 5.1 аналитическое решение для варианта нелинейности

β = 0,5 (или θ = -0,5) следует из формулы (10) [18]:

(√

√

)₂

√

y_β=0,5

-q +

D +³ -q -

0,5

где k₁ =^1+S+τ1-λ =^γζ , k₂ =

B = 0,5ζ B, γ = 1 + S + τ, ζ = 1 - λ, q =k2 =_2k

1-λ

= 0,25^Bγ , D = 27k2k¹-4

. Поскольку λ < 1, то ζ³ ≪ 1, поэтому

108k³¹

08γ³

√

D ≈ 0,25B4γ2 , значит, -q +

D = 0, -q -

D = - ^B2γ, следовательно, y_β=0,5 =

(

)

0,5B

³.

1+S+τ

Сравним y_β=1 и y_β=0,5, учитывая, что из формулы

(8а) следует

y_β=1 =^{τ(1-ϑ)1+S+τ} , где ϑ = B_β=1 =^Ba < 1 при a > B (но иное невозможно, так как

y_β=1 < 0 при a < B), а в формуле (9б) B_β=0,5 =^B

. Пусть y_β=0,5 > y_β=1,

aQma

(

)

(

)

0,5B_β=0,5

τ(1-ϑ)

т.е.

³ ÷

> 1, откуда следуетτ3(1-ϑ)

> 1 + S + τ; по-

1+S+τ

(0,5Bβ=0,5)²

скольку 0 < 1 + S + τ < β (1 - β) B < 1 по свойствам случая t = 5.1, то за-

меним это неравенство на более жесткоеτ3(1-ϑ)

Q_max > 1, откуда Q_max >

(0,5ϑ)²

> (0,5ϑ)

=Q_max.

τ³(1-ϑ)³

(

)

∂y_β=0,5

Оценим влияние S и S_-i:

=-²³

0,5B_β=0,5

³ (1 + S + τ)-3

< 0,

∂S

(

∂y_β=0,5

=-²³

0,5B_β=0,5

³ (1 + S + τ)-3 τ^′

< 0, так как

1+S+τ >0

∂S_-i

S-i



y_β=1



y_β=0,5



τ′S-i > 0 согласно

(7в). Неравенство

^∂

>

^∂

, учитывая, что

∂S

(₃)₃

∂y_β=1

τ³(1-ϑ)³

=-^τ(1-ϑ)

, приводит к

> (1 + S + τ)⁵, которое также

∂S

(1+S+τ)²

(0,5Bβ=0,5)²



(0,5ϑ)



y_β=1



y_β=0,5



выполняется при Q_max >

= Q_max. Неравенство

^∂

>

^∂

 вер-

τ³(1-ϑ)³

∂S_-i

но по аналогии.

Случай t = 5.2: условие b₀ > |b₁| равносильно 1 + S + τ > β (1 - β) B, усло-

вие a₀ < |a₁| ⇒^1-λ

< 1 - θ² ⇒ λ > 1 - β (2 - β)B. Если суммировать эти

два неравенства, то λ + S + τ > -βB, поэтому a₀ - b₀ - β < 0, т.е. производ-

ная функции (6а) не меняет знака при y ∈ (0, 1), значит, равновесие не суще-

ствует.

{

Случай t = 5.3: обозначим Ω^2β<1 = (S, τ, λ) : a₀ > 0 ∧ b₀ > 0 ∧ b₀ > |b₁| ∧

}

∧a₀ > |a₁|

; условие b₀ > |b₁| равносильно 1 + S + τ > β (1 - β) B, условие

a₀ > |a₁| ⇒ 1 - λ > β (2 - β) B. Условие равновесия a₀ - b₀ - β < 0 имеет

162

вид

-¹

(λ + S + τ) - β < 0, откуда следует λ + S + τ > -βB. Дополни-



 θ



тельное условие

b0θ-1

равносильно

1 + S + τ < β (1 - β)Bψ, где

-a0a₁ >

b₁

(

)

β-2

(

)β-2

a₀

1-λ

ψ=

^β-1 =

^β-1 > 1 (в силу λ < 1 - β (2 - β) B). Поэтому по-

|a₁|

Bβ(2-β)

лучаем систему: S > β (1 - β) By^β-2 - 2 = s₀, S > - (1 + τ) = s₁, S > -βB-

- (λ + τ) = s₂, S > β (1 - β) B - (1 + τ) = s₃, S < β (1 - β) ψ - (1 + τ) = s₄.

В этой системе s₃ < s₂ (из условия a₀ > |a₁|), s₁ < s₃ (так как β(1 - β)B > 0),

т.е. s₁ < s₃ < s₂; а s₀ < s₂ в случае βB((1 - β)y^β-2 + 1) < 2 - (λ + τ). Поэтому

решением системы будет диапазон S ∈ (max{s₀, s₂}, s₄), который может быть

не пустым в частных случаях: например, s₀ < s₄, если β(1 - β)B(ψ - y^β-2) >

(

)

a₀

> τ - 1, т.е. когда ψ > y^β-2 (так как τ < 1) или y <

^β-1 , что выпол-

|a₁|

няется для меньшего из двух равновесий [18]; кроме того, s₂ < s₄, если

βB ((1 - β)ψ + 1) > 1 - λ; отметим, что более слабое неравенство s₃ < s₄ вер-

но, так как соответствует ψ > 1.

В случае t = 5.3 найдем решение для варианта β = 0,5 (или θ = -0,5),

из формулы (10) [18] для β = 0, поскольку она отражает два равнове-

сия, y_β=0,5 =1±√1-4k1k2 , подставив параметры, соответствующие t = 5.1:2k

√

1 - 4k₁k₂ = 1 - 2^Bγ

= ζ²-2Bγ

. Тогда получим: y^+,-β=0,5 =^ζ±

, d = ζ² - 2Bγ,

ζ²

2γ

γ=1+S+τ.

√

Сравним y_β=1 и y^+,-β=0,5, пусть y^+β=0,5 > y_β=1, т.е.^ζ+

÷ τ(1-ϑ)γ > 1, что при-

2γ

водит к неравенству 2τζ (1 - ϑ) - 2τ² (1 - ϑ)² - Bγ > 0, в котором последним

членом можно пренебречь, заменив неравенство на более жесткое, в результа-

те получим ζ - τ (1 - ϑ) > 0, откуда следует λ < 1 - τ (1 - B/a). Аналогично,

y^-β=0,5 < y_β=1 при том же условии λ < 1 - τ (1 - B/a) = λ.

√

∂y_β

=0,5

Оценим влияние S на равновесие:

=0,5d-0,5d^S2γ-2(^ζ+

∂S

4γ²

√

d+d)

(ζ+

∂y^-β=0,5

= -2Bγ-√(ζ

= -ζ2-d+√(ζ

√

< 0, по аналогии,

dγ²

∂S

√

(ζ-

√

> 0.

dγ²

Оценим влияние S_-i на равновесие, учитывая, что d′S-i = 2ζλ′S-i - 2Bτ^′

S_-i

(

)

√

ζ^′S

+0,5d^-0,5d^′S

∂y_β

2γ-2τ^′ (ζ+

=0,5

-i

S-i

ζ′S-i = -λ′S-i, λ′S-i = -ατ′S-i:

∂S_-i

4γ²

√

d+αζ-B)γ-ζ

d-d

(

d+ζ)(γα-ζ)+Bγ

∂y_β

=0,5

=τ^′ (^α

√

=τ^′

√

;

аналогично,

S_-i

2γ²

S_-i

2γ²

∂S_-i

√

(

d-ζ)(γα-ζ)-Bγ

∂y_β

=0,5

=τ^′

√

. Поскольку τ′S-i > 0 по

(7в), то

> 0 будет,

S_-i

2γ²

∂S_-i

)

(√

если верно неравенство

d + ζ (γα - ζ) + Bγ > 0, которое заменим (учи-

(√

)

тывая, что Bγ мало) на более жесткое

d + ζ (γα - ζ) > 0, верное при

∂y_β

=0,5

γα - ζ > 0, откуда следует λ > 1 - γα = λ

^⌢. Аналогично,

< 0 будет

∂S_-i

163

)

(√

√

при

d - ζ (γα - ζ) > 0, а поскольку ζ >

d, то также при γα - ζ > 0 или

λ>λ

^⌢.



+,-



y_β=1



∂y_β

=0,5



y_β=1



∂y^+β=0,5

Сравним

^∂

 и



Пусть

^∂

>



т.е.^τ(1-ϑ)÷

∂S



∂S

.

∂S



∂S

,

γ²

√

(ζ+

d)²

√

> 1; отсюда следует 2τ (1 - ϑ) > ζ2√Bγ

+ ζ, поскольку

√

dγ²

(

)

ζ²-Bγ√

+ζ

; заменим это неравенство на более жесткое

(

)

(Π.1)

2τ (1 - ϑ) >

√

+ζ =ζ

√ +1

(так как Bγ ≪ζ22^{изусловияd>0);численныеэкспериментыпоказывают,}

чт

√

≈ 1, поэтому сделаем замен

√

≤ 1 + Δ₁, откуда (1 + Δ₁)² ≥

;

2Bγ

ζ²

правая часть этого неравенства наибольшая при наибольшемγζ2 , или ко-

гда γ = 1 + τ (т.е. S = 0) и λ = τα (n - 1) (т.е. при ω = 1, когда S_-i = 0),

1+τ

поэтому^γ

; тогда (1 + Δ₁)² ≥

, откуда Δ₁ ≥

ζ²

(1-τα(n-1))²

2ϑ

1+τ

Qma

(1-τ α(n-1))

≥ Q^m,ax(1-τα(n-1))ϕ0,5 - 1, где ϕ = Q^m,ax (1 - τα (n - 1))² - 2ϑ (1 + τ); следова-

тельно, из неравенства (П.1) вытекает

2τ (1 - ϑ) > ζ (Δ₁ + 2), откуда

⌢



⌢



y_β=1



λ>1-^2τ(1-ϑ)Δ

=λ

⁺. При аналогичных рассуждениях условие

^∂

>

1+2

∂S



−



∂y_β



=0,5



риводит к виду 2τ (1 - ϑ) > ζΔ₁, или λ > 1 -^2τ(1-ϑ) = λ^⌢⌢-._Δ



∂S

п

∂y_β=1

(1-ϑ)(1+S)

Поскольку

=τ^′

, то определим условие, при котором

∂-i

S_-i

γ²



 (



y_β=1



∂y^+β=0,5

∂y^-β=0,5



y_β=1



^∂

>

тметим, что поскольку

то

^∂

>

∂S_-i



∂S_-i

 о



∂S_-i

>



∂S_-i

,

∂S_-i



−

)

√



∂y_β



=0,5

2(1-ϑ)(1+S)

>



удет также выполнено при таком условии , т.е.

√



∂S_-i

 б

(

d+ζ)(γα-ζ)+Bγ

> 1; запишем это в виде

(

)

Bγ

(Π.2)

2(1 - ϑ)(1 + S) >

√

(γα - ζ) +

√ ;

как было показано при анализе (П.1)

√

≤ 1 + Δ₁; численные эксперименты

показывают, что^√γ

≈ 0, поэтому ^√γ

≤ Δ₂, откуда Δ²² ≥

и наибольшее

ζ²

-2

Bγ

значение правая часть неравенства принимает при наименьшемζ2

(как и

Bγ

для (П.1)), поэтому сделаем замену Δ²² ≥

, откуда Δ₂ ≥

Qma

x (1-τ α(n-1))2

-2

1+τ

0,5

≥ ϑ^0,5(1+τ)ϕ0,5

; значит, (П.2) можно записать в виде

2(1 - ϑ)(1 + S) >

> (2 + Δ₁) (γα - ζ) + Δ₂, откуда следует λ > 1 - γα + 2(1-ϑ)(1+S)-Δ2 =_2+Δ

=λ

^⌢ + ⌢ -i, где ⌢ -i = 2(1-ϑ)(1+S)-Δ2._2+Δ

164

В случае t = 6 [18] обозначим Ω^3β<1 = {(S, τ, λ) : a₀ < 0 ∧ b₀ < 0}, a₀ =

=^1-λ

< 0, b₀ = ^1+S+τ

< 0, т.е. λ > 1, 1 + S + τ < 0. Условие равновесия

a₀ - b₀ - β > 0 имеет вид -¹

(λ + S + τ) - β > 0, откуда следует λ + S + τ <

< -βB. Поэтому получаем систему: S > β (1 - β) By^β-2 - 2 = s₀, S <

< -(1 + τ) = s₁, S < -βB - (λ + τ) = s₂. Поскольку s₂ < s₁ (в силу λ - 1 >

> -βB), то решение будет S ∈ (s₀,s₂); этот диапазон не пуст при условии

(

)

s₀ < s₂, т.е. βB

(1 - β) y^β-2 + 1

< 2 - (λ + τ). Решение вычисляется как при

t = 5.1, но хотя λ > 1, тем не менее ζ³ ≪ 1, так как при условии (7б) λ < 2.

В случае t = 7 [18] обозначим Ω^4β<1 = {(S, τ, λ) : a₀ > 0 ∧ b₀ < 0}, a₀ =

=^1-λ

> 0, b₀ = ^1+S+τ

< 0, т.е. λ < 1, 1 + S + τ < 0. Условие равновесия

−¹

(λ + S + τ) - β > 0 дает λ + S + τ < -βB. Поэтому получаем систе-

му: S > β (1 - β) By^β-2 - 2 = s₀, S < - (1 + τ) = s₁, S < -βB - (λ + τ) = s₂.

В этом случае s₂ < s₁ не всегда, а только при условии 1 - λ > βB, поэтому ре-

шением является область S ∈ (s₀, min {s₁, s₂}), которая не пуста при условиях

(

)

1-τ

s₀ < s₁, т.е.

> y^β-2, и s₀ < s₂, т.е. βB

(1 - β) y^β-2 + 1

< 2 - (λ + τ).

β(1-β)B

Отметим, что в этом случае, как и при t = 6, сравнение y_β=1 и y_β=0,5, а также

их производных по S и S_-i, невозможно, так как y_β=1 > 0 не существует при

1 + S + τ < 0.

В случае t = 8 [18] a₀ < 0, b₀ > 0, и условие a₀ - b₀ - β > 0 не может быть

выполнено, поэтому равновесие отсутствует.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Nash J. Non-cooperative Games // Ann. Math. 1951. No. 54. P. 286-295.

2. Cournot A.A. Researches into the Mathematical Principles of the Theory of Wealth.

London: Hafner, 1960. (Original 1838).

3. Stackelberg H. Market Structure and Equilibrium: 1st Edition. Translation into En-

glish, Bazin, Urch & Hill: Springer, 2011. (Original 1934).

4. Sarkar S., Tarafdar S. Investment Choice with Managerial Incentive Schemes. Int.

Game Theory Rev. 2021. No. 23(2). Р. 2050016.

5. Cao B.-B., Gong Z.-J., You T.-H. Stackelberg Pricing Policy in Dyadic Capital-

Constrained Supply Chain Considering bank’s Deposit and Loan Based on Delay

Payment Scheme // J. Industr. Manag. Optimiz. 2021. No. 17(5). Р. 2855-2887.

6. Li M., Zhang J., Xu Y., Wang W. Effect of disruption risk on a supply chain with

price-dependent demand // J. Industr. Manag. Optimiz. 2020. No. 16(6). Р. 3083-

3103.

7. Novikov D.A., Chkhartishvili A.G. Reflexion and Control: Mathematical Models.

London: CRC Press, 2014.

8. Novikov D., Korepanov V., Chkhartishvili A. Reflexion in mathematical models

of decision-making // Int. J. Parall., Emergent Distribut. Syst. 2018. No. 33(3).

P. 319-335.

9. Novikov D.A., Chkhartishvili A.G. Mathematical Models of Informational and

Strategic Reflexion: a Survey // Advan. Syst. Sci. Appl. 2014. No. 3. P. 254-277.

165

10.

Chkhartishvili A.G., Korepanov V.O. Adding Informational Beliefs to the Players

Strategic Thinking Model // IFAC-PapersOnLine. 2016. No. 49(32). P. 19-23.

11.

Алгазин Г.И., Алгазина Д.Г. Коллективное поведение в модели Штакельберга

в условиях неполной информации // АиТ. 2017. № 9. С. 91-105.

Algazin G.I., Algazina D.G. Collective behavior in the Stackelberg model under

incomplete information // Autom. Remote Control. 2017. No. 78(9). P. 1619-1630.

12.

Filatov A.Yu., Makolskaya Ya.S. The equilibrium and socially effective number

of firms in oligopoly: theory and empirics // VIII Moscow Int. Conf. Oper. Res.

(ORM2016). 2016. P. 207-208.

13.

Korepanov V. Strategic Thinking Models for Team Building // Proc. 2019 1st Int.

Conf. Control Syst. Mathem. Modell., Autom. Energy Eff., SUMMA 2019. 2019.

No. 8947593. P. 185-187.

14.

Алгазин Г.И., Алгазина Д.Г. Рефлексивная динамика в условиях неопределен-

ности олигополии Курно // АиТ. 2020. № 2. С. 115-133.

Algazin G.I., Algazina D.G. Reflexive Dynamics in the Cournot Oligopoly under

Uncertainty // Autom. Remote Control. 2020. No. 81(2). P. 287-301.

15.

Алгазин Г.И., Алгазина Д.Г. Процессы рефлексии и равновесие в модели оли-

гополии с лидером // АиТ. 2020. № 7. С. 113-128.

Algazin G.I., Algazina D.G. Reflexion Processes and Equilibrium in an Oligopoly

Model with a Leader // Autom. Remote Control. 2020. No. 81(7). P. 1258-1270.

16.

Уолтерс А.А. Производственные функции и функции затрат: эконометрический

обзор // Теория фирмы. Т. 2. СПб: Экономич. школа. 2000. С. 160-204.

Walters A.A. Production and cost functions: and econometric survey // Econometr.

1963. No. 31(1). Р. 1-66.

17.

Гераськин М.И. Свойства предположительных вариаций в нелинейной модели

олигополии Штакельберга // АиТ. 2020. № 6. С. 105-130.

Geraskin M. The Properties of Conjectural Variations in the Nonlinear Stackelberg

Oligopoly Model // Autom. Remote Control. 2020. No. 81(6). P. 1051-1072.

18.

Гераськин М.И. Анализ равновесий в нелинейной модели олигополии // АиТ.

2022. № 8. С. 140-158.

19.

Гераськин М.И. Приближенное вычисление равновесий в нелинейной модели

олигополии Штакельберга на основе линеаризации // АиТ. 2020. № 9. С. 120-143.

Geraskin M. Approximate Calculation of Equilibria in the Nonlinear Stackelberg

Oligopoly Model: A Linearization Based Approach // Autom. Remote Control. 2020.

No. 81(9). P. 1659-1678.

20.

Intriligator M.D. Mathematical Optimization and Economic Theory. New Jersey:

Prentice-Hall. Englewood Cliffs. 1971.

Статья представлена к публикации членом редколлегии Д.А. Новиковым.

Поступила в редакцию 28.01.2022

После доработки 15.04.2022

Принята к публикации 10.06.2022

166