Автоматика и телемеханика, № 12, 2022

(Институт космических исследований РАН, Москва)

ЗАДАЧА ФОРМИРОВАНИЯ ПОКРЫТИЯ ОБЛАСТИ

НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ЭТАЛОНАМИ ДЛЯ СИСТЕМ

ОПТИЧЕСКОЙ НАВИГАЦИИ

Процесс управления стыковкой некооперируемых космических аппа-

ратов требует информации о взаимном положении активного и пассивно-

го аппаратов. Такую задачу решают оптические системы относительной

навигации, анализирующие видимые изображения, идентифицирующие

(распознающие) наблюдаемый аппарат и выполняющие измерение отно-

сительных линейных и угловых координат. Поскольку ракурс, с которого

наблюдается пассивный аппарат, может изменяться в широких пределах

(вплоть до полной сферы), соответственно в широких пределах меняется

и само изображение пассивного космического аппарата. Поэтому для ре-

шения задач идентификации и измерения требуется наличие достаточно

большого количества эталонов. В статье предложен способ существен-

ного сокращения количества эталонов, используемых для формирования

покрытия области неопределенности.

Ключевые слова: некооперируемая стыковка космических аппаратов, оп-

тическая относительная навигация, распознавание, эталонные изображе-

ния.

DOI: 10.31857/S0005231022120066, EDN: KRWINC

1. Введение

В настоящее время существенно расширяется круг задач, в которых ис-

пользуется стыковка с беспилотными космическими аппаратами. Новые за-

дачи связаны с обслуживанием космических аппаратов, пополнением запасов

топлива/окислителя, заменой вышедших из строя компонентов космического

аппарата, изменением орбиты и др.

В процессе стыковки система управления активного космического аппа-

рата использует информацию о своих координатах относительно пассивного

аппарата. В качестве основного источника такой информации сейчас рас-

сматриваются системы оптической навигации, решающие взаимосвязанные

задачи идентификации (распознавания) объекта и измерения относительных

координат. Основной проблемой является стыковка с некооперируемыми кос-

мическими аппаратами. На таких космических аппаратах отсутствует спе-

циальная мишень, которая устанавливается на кооперируемых космических

аппаратах, изначально предназначенных для выполнения стыковок. Мишень

позволяет производить измерение относительных координат с высокой точ-

ностью и надежностью. При некооперируемой стыковке алгоритмы работы

оптико-электронных систем по сравнению с алгоритмами, предназначенны-

ми для навигации при стыковке с кооперируемыми космическими аппара-

тами, многократно усложняются. Соответственно, возникает необходимость

решения задачи информационного обеспечения процесса стыковки, а имен-

но, подготовки эталонной информации для решения задач распознавания и

измерения [1].

В общем случае ракурс наблюдения пассивного аппарата может быть лю-

бым (т.е. пассивный аппарат может наблюдаться с любого направления),

а расстояние до него изменяться в очень широких пределах. Космический

аппарат является конструктивно сложным трехмерным (3D) объектом. Рас-

смотрим некоторые вопросы отображения (в частности, центральной проек-

ции) точек поверхности 3D объекта на плоскость (в которой располагается

фотоприемная матрица). При этом будет введено важное понятие классов эк-

вивалентности отображений. Интересно, что происходит при изменении ра-

курса наблюдения 3D объекта. Во-первых, при изменении ракурса наблюде-

ния в определенных пределах на плоскость могут проектироваться одни и те

же точки 3D объекта. Такие проекции можно назвать топологически эквива-

лентными, поскольку между ними существует взаимно однозначное взаимно

обратимое непрерывное отображение. В качестве примера можно привести

наблюдение кубика вдоль линии, проходящей через центр кубика и одну из

его вершин. При изменении ракурса наблюдения в окрестности этой линии в

довольно широких пределах будем наблюдать те же самые три грани кубика,

и любые два таких изображения могут быть преобразованы одно в другое.

Более того, если наблюдать этот же кубик вдоль линии, проходящей через

центр кубика и противоположную вершину, то можно наблюдать три дру-

гие грани кубика. Важно отметить, что эти две проекции задают два класса

топологической эквивалентности проекций кубика и несут в себе информа-

цию о множестве всех возможных проекций изображения этого кубика.

А это множество является несчетным и имеет мощность континуума. Под-

ход, связанный с классами эквивалентности отображений, рассматривается

в книге [2]. В этой книге классы эквивалентности формируются при исполь-

зовании групп преобразований. Следует отметить, что в данном случае речь

идет не о яркости точек, а о соответствии образов точек 3D объекта на раз-

личных его отображениях (проекциях). Это соответствие ни в коей мере не

зависит ни от источников освещения, ни от теней, ни от двухлучевых функ-

ций отражательной способности (bidirectional reflectance distribution function)

поверхности 3D объекта в каждой точке его поверхности и т.д.

Во-вторых, при изменении ракурса наблюдения 3D объекта проекции од-

них элементов этого объекта могут перекрывать проекции других элементов.

В этом случае эти два отображения уже не будут содержать отображения

(проекции) в точности совпадающих множеств точек 3D объекта и не бу-

дут являться топологически эквивалентными, поскольку между ними уже

не будет существовать во всех точках взаимно однозначного взаимно об-

ратимого непрерывного отображения, а будет наблюдаться топологическая

перестройка изображения.

Существует еще и третий случай, когда при изменении ракурса наблюде-

ния точки 3D объекта, расположенные вблизи от границ проекций его точек,

“уходят за горизонт” либо “появляются из-за горизонта”. В качестве приме-

ра можно привести точки поверхности шара. Формально этот случай можно

рассматривать как второй случай. Однако, исключив точки, находящиеся

близко от “горизонта”, этот случай можно свести к первому случаю с класса-

ми эквивалентности.

Вообще говоря, для анализа топологических перестроек изображений объ-

екта используется аппарат дифференциальной геометрии и теории особенно-

стей (теории катастроф). Достаточно подробно и строго с математической

точки зрения данные вопросы изложены в книге [3]. Для описания топологи-

ческой перестройки изображений (в частности, видимых и невидимых кон-

туров) могут быть использованы так называемые аспектные графы (aspect

graphs) [4-7], предложенные Koenderink и van Doorn в 1979 г.

В принципе, количество эталонов, необходимых для распознавания/изме-

рения, должно соответствовать числу топологически не эквивалентных про-

екций объекта. Однако дискретное представление изображений, которое фор-

мируется фотоприемной матрицей, ограничивает возможности по их транс-

формации. Поэтому требуется некоторое увеличение количества эталонов.

2. Частная форма представления эталонной информации

Существенного упрощения задачи подготовки эталонной информации

можно добиться путем использования эталонов специального вида. А имен-

но, предлагается использовать эталоны, состоящие из набора информативных

(особых) точек изображения (interest points) с их привязкой к трехмерным ко-

ординатам пассивного космического аппарата. Трехмерные координаты осо-

бых точек получаются из трехмерной конструкторской модели объекта, фор-

мируемой в системах автоматизированного проектирования (computer-aided

design CAD), а особые точки формируются при обработке синтезированных

системой визуализации изображений объекта в процессе подготовки миссии

на Земле. В этом случае топологическая перестройка изображения, возни-

кающая при изменении ракурса, приводит к исчезновению одних особых то-

чек на изображении и к появлению других особых точек.

Указанные преобразования эталонов, состоящих из особых точек, гораз-

до проще выявлять и оценивать, чем выявлять и оценивать топологические

перестройки всего изображения. А самое главное число эталонов, необходи-

мых для покрытия всей области неопределенности, радикально сокращается.

Остановимся на понятии области неопределенности. Собственно, навига-

ция это определение местоположения и ориентации движущегося объекта.

Соответственно, если требуется решить такую задачу, то, по крайней мере,

один из указанных параметров не определен, либо определен с недостаточной

точностью.

Вообще говоря, в практически важных случаях искомые параметры не

могут принимать абсолютно произвольные значения. То есть всегда мож-

но указать некую область, в которой может находиться рассматриваемый

объект, координаты которого требуется определить. В реальных ситуациях

размер таких областей может определяться по данным, поступающим от раз-

личных источников навигационной информации. В частности, это могут быть

инерциальные навигационные системы, радионавигационные системы, систе-

ма звездной навигации, спутниковые навигационные системы и др. Таким

образом, область неопределенности это та область, в которой может нахо-

диться объект. Решение навигационной задачи приводит к уменьшению об-

ласти неопределенности.

Для оптических навигационных систем важным параметром является со-

отношение размера области пространства, в которой эталонное изображение

способно обеспечить решение задачи навигации, и размера области неопре-

деленности положения объекта. Если размер области пространства, в кото-

рой эталонное изображение способно обеспечить решение задачи навигации,

меньше области неопределенности положения объекта, то приходится стро-

ить сетку гипотез о возможных положениях объекта, покрывающую область

неопределенности, и рассматривать все возможные гипотезы положения объ-

екта в этой области неопределенности. Для каждой гипотезы необходимо на-

личие, по крайней мере, одного эталонного изображения. Область неопреде-

ленности лежит в пространстве той системы координат, которая используется

для навигации и управления.

Для описания относительного положения в статье использована сфериче-

ская система координат, связанная с корпусом пассивного космического ап-

парата. По аналогии со сферической географической системой координат ис-

пользуются термины ¾долгота¿ и ¾широта¿. Начало координат может распо-

лагаться на плоскости, на которой располагается либо стыковочная мишень

для случая кооперируемой стыковки, либо стыковочный узел, либо иные ком-

поненты, важные для проведения стыковки. Нулевые значения ¾долготы¿

и ¾широты¿ соответствуют нормали к указанной плоскости. Для описания

углового положения активного космического аппарата использовались раз-

личные матрицы поворота относительно системы координат, в которой два

вектора лежат в указанной плоскости пассивного космического аппарата, а

третий ортогонален к ней.

В тексте уже неоднократно использовался термин ¾ракурс наблюдения¿.

Уточним этот термин. Ракурс это направление, с которого наблюдается

пассивный космический аппарат в системе координат, связанной с этим са-

мым пассивным космическим аппаратом. В данном случае это сферическая

система координат. Активный космический аппарат определяет свое положе-

ние также в этой системе координат, поскольку решается задача стыковки с

пассивным аппаратом. Множество ракурсов наблюдения в данном случае па-

раметризовано двумя углами ¾долготой¿ и ¾широтой¿. С этого направления

активный космический аппарат ведет наблюдение пассивного космического

аппарата.

Разворот камеры относительно ее оптической оси не учитывается, посколь-

ку дескрипторы, использованные для описания эталонов, инвариантны к по-

вороту. На малых расстояниях до пассивного космического аппарата при-

ходится вводить параметризацию эталонов в зависимости от расстояния по

причине влияния перспективных искажений.

Собственно, совокупность таких эталонов для различных ракурсов и ис-

пользуется для распознавания пассивного аппарата. Каждая особая точка

снабжается специальным дескриптором, который обеспечивает правильную

идентификацию точки на реальном изображении, формируемом камерой на

борту активного космического аппарата. К дескриптору предъявляются до-

статочно жесткие требования по устойчивости к характеру освещения, устой-

чивости к изменению ракурса наблюдения, ориентации в поле зрения и к из-

менению масштаба изображения. Удовлетворительными характеристиками

обладают дескрипторы особых точек, используемые, например, в алгоритмах

SIFT (scale-invariant feature transform) и SURF (speeded-up robust features).

Использование эталонов изображений, состоящих из особых точек, как пока-

зывает практика, позволяет достаточно успешно решать задачи распознава-

ния изображений, включая задачи навигации [8-10].

Вторым преимуществом такого подхода является то, что особые точки,

хорошо локализуемые на изображении и используемые для решения зада-

чи распознавания, также могут быть использованы и для решения задачи

относительной навигации, поскольку заданы их трехмерные координаты.

Необходимо отметить, что в процессе создания эталонов оператор должен

производить жесткий отбор информативных (особых) точек (interest points),

используемых для распознавания и навигации. Это связано с тем, что на изоб-

ражении космического аппарата присутствует большое количество информа-

тивных точек, которые легко обнаруживаются алгоритмами поиска, но не мо-

гут быть использованы для навигации, поскольку не имеют жесткой привязки

в системе координат, связанной с космическим аппаратом. В первую очередь

к ним относятся очень яркие блики на поверхностях с большим коэффициен-

том отражения. Это, в частности, зеркальная экранно-вакуумная изоляция

(multi-layer insulation

MLI), которая покрывает большую часть поверхно-

сти корпуса, и ее форма не является стабильной, а также различные поли-

рованные металлические элементы, границы очень резких теней на корпусе

аппарата от выступающих элементов конструкции, наложение изображений

контрастных элементов конструкции, имеющих различное пространственное

положение. Реально указанные факторы приводят к тому, что практически

для решения задачи навигации пригодно очень небольшое количество то-

чек поверхности космического аппарата. Все это является причиной того,

что процесс формирования эталонных изображений является весьма трудо-

емким и должен обязательно выполняться под непосредственным контролем

квалифицированного оператора.

3. Формирование покрытия как выборки из множества ракурсов

с высокой избыточностью

При использовании эталонов, состоящих из набора особых точек изобра-

жения, возможно существенное упрощение процедуры формирования мини-

мального покрытия эталонами области неопределенности. Для формирова-

ния покрытия области неопределенности сначала покрываем всю область

неопределенности достаточно частой сеткой эталонов, например с шагом по-

рядка 1^◦. Сетка может быть неравномерной, например, как в случае покры-

тия сферы. Затем необходимо отобрать те эталоны, которые удовлетворяют

указанным ниже условиям.

1. Покрытие должно обеспечивать для каждого ракурса наблюдение и

распознание числа информативных точек не меньше заданной величи-

ны.

2. Матрица ошибок измерения для каждого ракурса должна удовлетво-

рять заданным требованиям по точности и корреляционным связям

между ошибками измерения. Матрица ошибок измерений может быть

рассчитана для любой фиксированной конфигурации особых точек.

Теоретически для решения задачи относительной навигации достаточно

трех точек. Однако для увеличения точности навигации, снижения коэффи-

циентов корреляции ошибок линейных и угловых координат, а также повы-

шения надежности измерений желательно иметь не менее 7-10 точек.

Если дополнительно построить изображения при разных положениях

Солнца, то при такой частой сетке, покрывающей всю область неопределенно-

сти, возможно реализовать полуавтоматическую селекцию информативных

точек, которые не могут быть использованы для навигации, что обеспечит су-

щественную помощь оператору при формировании эталонных изображений.

При формировании минимального покрытия области неопределенности

проблемой является то, что область применимости каждого эталона по ракур-

сам наблюдения определяется множеством точек, в которых удовлетворяются

ограничения, указанные выше. Форма этих областей не является постоянной,

зависит от многих факторов и индивидуальна для каждого конкретного эта-

лона. Поэтому получение оптимального покрытия весьма проблематично.

Следует отметить, что прямой перебор вариантов всех возможных покры-

тий практически невозможен даже для 11 × 11 = 121 отсчетов углов ракурса.

В [11] показано, что в этом случае число вариантов покрытия, которые необ-

ходимо рассмотреть и сравнить, будет равно 2,658 ∗ 10³⁶. Если принять, что

на формирование одного покрытия и оценку его качества требуется всего

1 микросекунда (что очень быстро), тогда на полный перебор потребуется

8,429 ∗ 10²². Очевидно, что прямой перебор невозможен.

Исходя из технической сущности задачи следует рассматривать только та-

кие покрытия, которые обеспечивают полное покрытие области неопределен-

ности, т.е. когда любая точка области неопределенности покрывается хотя бы

одним эталоном. Имеется большое число теоретических работ, относящихся

к задачам покрытия. Например, в классической работе [12] получена оцен-

ка плотности системы равных кругов, покрывающей бесконечную плоскость.

В [13] построены покрытия квадрата равными кругами и даны оценки плот-

ности таких покрытий. В [14] построены покрытия плоскости кругами двух

радиусов. В общем, полученные разными авторами теоретические результаты

синтеза оптимальных покрытий относятся к покрытиям регулярными фигу-

рами, чаще всего кругами одного радиуса или кругами нескольких заданных

радиусов. В рассматриваемом здесь случае и форма областей применимости

эталонов может существенно различаться, и размеры этих областей зависят

от ракурса формирования эталона.

Остается только численное решение, которое может быть получено путем

перебора с возвратами и большим количеством специально разработанных

эвристик для сокращения этого перебора. Такой вариант решения представ-

ляется неоправданно сложным и трудоемким, тем более что создание такого

покрытия является далеко не единственным этапом, которые должны быть

реализованы при формировании эталонной информации.

4. Упрощенная процедура формирования выборки

Поскольку синтез покрытия, связанный с перебором вариантов, является

достаточно сложным в плане создания набора эвристик, отбрасывающих бес-

перспективные варианты, поэтому предлагается искать решение задачи син-

теза покрытия существенно более простыми средствами, хотя и с возможно

меньшей эффективностью, что выразится в использовании несколько боль-

шего числа эталонных изображений. Предлагаемый подход также является

эвристическим.

Для упрощения задачи разработан алгоритм синтеза покрытия, исполь-

зующий частую сетку ракурсов (например, с шагом 1^◦), имеющую регуляр-

ную структуру (рис. 1). В качестве такой структуры целесообразно исполь-

зовать прямоугольную в некоторой, возможно нелинейной, системе коорди-

нат сетку. Узлы этой сетки соответствуют ракурсам, для которых строятся

изображения и формируются соответствующие эталоны. Для определенности

будем рассматривать сетку 51 × 51 углов, охватывающую область 50^◦ × 50^◦

по ¾долготе¿ и ¾широте¿. Ракурс, оптимальный для стыковки, соответствует

нулевым углам ¾долготы¿ и ¾широты¿.

Для построения сетки эталонов целесообразно использовать введенную ра-

нее сферическую систему координат. Сетка эталонов может быть задана для

некоторого пространственного угла, а также легко распространена на всю

сферу сферической системы координат, если возникает необходимость рас-

познавать и измерять относительные координаты для любого ракурса на-

j = 25°

l = -25°

l = 25°

1 2 3

j = -25°

49 50 51

Рис. 1. Формирование сетки эталонов по ракурсам наблюдения, покрывающей

всю область неопределенности.

Рис. 2. Формирование горизонтальной полосы покрытия.

блюдения пассивного аппарата. Поскольку наибольший интерес представля-

ет обычно только один пространственный (телесный) угол, в центре которого

находится либо стыковочная мишень, либо стыковочный узел, либо иной кон-

структивный элемент пассивного космического аппарата, используемый для

стыковки, то набор эталонов строится для четырехгранного телесного угла

сферы.

На рис. 2 показаны условные области применимости эталонов для зна-

чения ¾широты¿, равной 0^◦. Областью применимости для каждого эталона

является то множество ракурсов, для которых эталон может быть использо-

ван, поскольку в этих точках удовлетворяются указанные ранее два условия.

Поскольку рисунок является иллюстративным, то форма областей примени-

мости выбрана круговой. Реально и конфигурация, и размеры этих областей

зависят от ракурса, для которого синтезирован эталон. На рисунке для упро-

щения показаны области применимости 11 эталонов, а реально для нашей

сетки их количество равно 51 для одной полосы. Кроме того, реальные эта-

лоны в полосе имеют гораздо большее перекрытие областей применимости,

которые имеют размер порядка 10-30^◦.

На рисунке показаны два размера. Первый размер A соответствует

наименьшему вертикальному размеру области применимости из всех этало-

нов, находящихся в полосе. Второй размер B соответствует минималь-

ному вертикальному размеру объединения областей применимости всех

эталонов, находящихся в полосе.

Для упрощения задачи построения перейдем от задачи покрытия к зада-

че замощения, т.е. созданию покрытия без пробелов и двойных покрытий.

При замощении будем рассматривать прямоугольные фрагменты областей

покрытия, полностью находящиеся в области применимости каждого этало-

на. При этом прямоугольные фрагменты, из которых строится замощение,

укладываются стык в стык (без перекрытия), а полные области применимо-

сти перекрываются.

Для упрощения процедуры замощение строится горизонтальными полоса-

ми. Вертикальный размер прямоугольных фрагментов в каждой полосе один

и тот же, горизонтальный размер может отличаться в пределах одной поло-

сы. Вертикальный размер различных полос также может быть различным.

Построение замощения начинаем из центра, т.е. из области покрытия для

ракурса с равными нулю обоими углами, что соответствует индексам решет-

ки (26, 26). Целью является удаление максимального числа эталонов из этой

полосы для обеспечения минимального покрытия. При удалении части этало-

нов минимальный вертикальный размер объединения B при этом неизбеж-

но уменьшится. Поэтому задаем новое значение вертикального размера B,

уменьшенное на Δ = 2 - 4^◦. Теперь строим замощение полосы, последова-

тельно перебирая эталоны и строя для каждого прямоугольник максималь-

ного размера по горизонтали. Вертикальный размер всех прямоугольников

один и тот же, на Δ = 2 - 4^◦ меньше начального значения размера B. За-

мощение строим в положительном направлении от центрального эталона и в

отрицательном направлении. Если на каком-то этапе при переборе эталонов

по строке с шагом 1^◦ получилась ¾щель¿ между прямоугольными областями

замощения, делаем возврат на один шаг и уменьшаем ширину прямоугольной

области, чтобы избежать двойного покрытия. Если дошли до границ сетки,

то проверяем количество точек привязки на этих границах. Если оно меньше

заданной величины, то вставляем дополнительные эталонные изображения.

Может так получиться, что на одном крае полосы или на обоих краях пара

эталонов расположена слишком близко. Поэтому может возникнуть соблазн

разместить точки более равномерно, улучшив тем самым покрытие. Однако

такие попытки чаще всего требуют многократных перестановок, и более эф-

фективным методом получения более равномерного распределения эталонов

является небольшое изменение величины Δ и повторное построение замоще-

ния полосы. Ширина построенных прямоугольных областей может меняться

в зависимости от положения в полосе. Как правило, при движении к концам

полосы ширина прямоугольных областей уменьшается.

Рис. 3. Последовательное построение полос покрытия вверх и вниз от первой

построенной полосы.

Далее по такому же алгоритму последовательно строятся полосы выше и

ниже уже построенной полосы рис. 3.

Если строим полосу, лежащую выше уже построенной полосы, то доби-

ваемся, чтобы нижняя граница новой полосы вплотную примыкала к верх-

ней границе уже построенной полосы. Аналогично, если строим полосу, ле-

жащую ниже уже построенной полосы, то добиваемся того, чтобы верхняя

граница новой полосы вплотную примыкала к нижней границе уже постро-

енной полосы. Если на верхней или нижней границе всей области 50^◦ × 50^◦

не выполнены условия применимости, то вставляем дополнительную полосу

с центрами, расположенными на соответствующей границе. Ширина этих по-

лос может уменьшаться по мере отдаления от центральной полосы. На рис. 3

для упрощения ширина прямоугольных областей в разных полосах показана

одинаковой. На практике они обычно различаются.

Далее строим таблицу, связывающую ракурс в пределах ±25^◦ по каждо-

му из углов с конкретным эталоном, который должен быть использован для

распознавания и навигации. Оценка ракурса формируется на этапе грубого

распознавания пассивного космического аппарата.

Для отработки алгоритма синтеза покрытия области неопределенности

была разработана простая модель области применимости. Эта модель по-

строена на основании проведенных экспериментов для сетки эталонов малой

размерности

11 × 11 с шагом 5^◦. Модель числа точек, для которых уста-

навливается соответствие, имеет вид

[

(

))]

K(i, i₀, j, j₀) =

(ηi0,j₀ + A0 - µi,j) ∗ exp

α(i - i₀)² + β(j - j₀)²

Здесь квадратные скобки обозначают целую часть числа;

i₀,j₀

индексы, соответствующие ракурсу наблюдения, для которого

сформирован эталон;

i, j

индексы, соответствующие направлению, для которого определяется

число точек, для которых устанавливается соответствие;

µ_i,j

случайная величина с равномерным распределением в интервале

[0,1];

ηi0,j₀

случайная величина с равномерным распределением на отрезке

[0,3];

A₀

минимальное число особых точек, которым должен обладать эталон;

установлено значение A₀ = 20.

При использовании этой формулы в каждой точке (i, j) проверяется усло-

вие

K(i₀, i₀, j₀, j₀) ≥ K(i, i₀, j, j₀).

Если это условие в какой-то точке области применимости эталона наруше-

но, то значение K(i, i₀, j, j₀) заменяется на K(i₀, i₀, j₀, j₀). Коэффициенты α, β

отражают зависимость области применимости эталонов от ракурса визирова-

ния. Это обычно происходит, когда большая часть наблюдаемой поверхности

для ракурса i₀, j₀ приблизительно ортогональна направлению визирования.

Таким образом, следующие выражения имитируют распределение точек

привязки, которое приблизительно изотропное для нулевого ракурса (26, 26)

и имеет тенденцию к сжатию носителя при отклонении от нулевого ракурса:

(

)

|i₀ - 26|

α=α₀

1+a

(

)

|j₀ - 26|

β=β₀

1+b

Заданы следующие параметры α₀ = 0,01, a = 1, β₀ = 0,01, b = 1.

На рис. 4 приведены профили области применимости девяти эталонов в

линиях уровня. На рис. 5 приведен профиль построенного покрытия также в

линиях уровня. Минимальное количество визируемых особых точек, удовле-

творяющих указанным выше двум условиям для любого ракурса в пределах

50^◦ × 50^◦, было задано равным 7.

Таким образом, чтобы покрыть область неопределенности размером

50^◦ × 50^◦ из общего количества 2601, были отобраны 28 эталонов, или 1,076%.

Качество построенного покрытия можно приблизительно определить как от-

ношение суммы площадей областей применимости использованных эталонов

к площади покрываемого пространства, равной 51 × 51 = 2601. У построенно-

го покрытия это отношение равно 1,772. Для оптимального покрытия беско-

нечной плоскости кругами в [10] получена оценка эффективности покрытия,

которая имеет вид

D≤

√

= 1,209 . . .

D это отношение суммарной площади всех кругов, покрывающих об-

ласть, к площади всей области. Таким образом, построенное покрытие можно

считать приемлемым с учетом простоты использованного алгоритма, а также

того, что покрывается ограниченная область, а не бесконечная плоскость.

Рис. 6. Синтезированное изображение космического аппарата при трех раз-

личных значениях угла ¾долготы¿.

Рассмотрим несколько иллюстраций. На рис. 6 представлены три синте-

зированных изображения некоторого абстрактного космического аппарата.

Слева и справа от корпуса аппарата видны солнечные блики на поверхности

больших параболических антенн. Сами параболические антенны при таком

освещении не просматриваются.

Вариации яркости панелей солнечных батарей на левом и правом изоб-

ражениях обусловлены, скорее всего, геометрическими и фотометрическими

погрешностями синтеза изображений программой рендеринга общего назна-

чения. Для визуализации космических аппаратов в ряде стран разработаны

специализированные программы рендеринга с гораздо более жесткими тре-

бованиями к величине геометрических и фотометрических ошибок, чем те,

которые установлены для программ рендеринга общего назначения. Иллю-

страции показывают, насколько сильно изменяется вид центральной части

(корпуса космического аппарата) при изменении ракурса наблюдения на ±25^◦

только по одной координате (¾долготе¿). Очевидно, что для перекрытия об-

ласти изменения ракурсов по двум координатам 50^◦ × 50^◦ потребуется зна-

чительное число эталонов.

Иллюстративное изображение результатов установления соответствия осо-

бых точек представлено на рис. 7. Это изображение иллюстративное в том

смысле, что оно позволяет понять, как произошло установление соответствия.

На рисунке показан результат установления соответствия для шести осо-

бых точек эталона. Реально, при благоприятной ситуации, происходит уста-

новление соответствия нескольких десятков точек (что делает визуальный

анализ результатов установления соответствия особых точек достаточно

сложным и требует нескольких итераций). На рисунке только для одной

из шести особых точек соответствие установлено неправильно. Обычно до-

ля ошибочно установленных соответствий больше чем 1/6. Одной из причин

Рис. 7. Установление соответствия особых точек эталона (слева) и изображе-

ния полученного для другого ракурса (справа).

этого является то, что дескрипторы особых точек, построенные на основе ши-

роко распространенных дескрипторов SIFT и SURF, на высококонтрастных

изображениях склонны к вырождению. Поэтому их эффективность снижа-

ется.

Для автоматического выявления точек, для которых соответствие уста-

новлено неправильно, используются специальные алгоритмы. Кроме того, на

рис. 7 особые точки располагаются симметрично, что на практике при работе

в автоматическом режиме наблюдается крайне редко. Характер расположе-

ния особых точек и степень их симметричности оказывают очень сильное

влияние на точность измерений. Приведенное изображение как раз и было

получено при экспериментальной оценке степени влияния симметрии поло-

жения особых точек на ошибки измерения.

5. Заключение

В работе представлен простой способ формирования покрытия области

неопределенности эталонами для решения задач относительной навигации

при стыковке с некооперируемыми космическими аппаратами. Качество син-

тезированных покрытий может считаться приемлемым для практических

приложений.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гришин В.А., Бережков А.В. Информационное обеспечение задач стыковки

космических аппаратов (подготовка эталонов и отработка алгоритмов распозна-

вания и измерения) // Современные проблемы дистанционного зондирования

Земли из космоса. 2020. Т. 17. № 7. С. 50-57.

https://doi.org/10.21046/2070-7401-2020-17-7-50-57

2. Файн В.С. Опознавание изображений. Основы непрерывно-групповой теории ее

приложения. М.: Наука, 1970.

Форсайт Д., Понс Ж. Компьютерное зрение. Современный подход. Пер. с англ.

М.: Издательский дом “Вильямс”, 2004.

Bowyer K.W., Dyer C.R. Aspect graphs: an introduction and survey of recent re-

sults // Proc. of the SPIE 1395, Close-Range Photogrammetry Meets Machine Vi-

sion, 13950R. Zurich, Switzerland, 1990. https://doi.org/10.1117/12.2294270

Eggert D.W., Bowyer K.W., Dyer C.R. Aspect graphs: State-of-the-art and applica-

tions in digital photogrammetry // Proc. of the ISPRS 17th Congress: Int. Archives

Photogrammetry Remote Sensing. 1992. Pt. 5. P. 633-645.

Van Effelterre T. Aspect graphs for visual recognition of three-dimensional objects //

Perception. 1994. V. 23. No. 5. P. 563-582. https://doi.org/10.1068/p230563

Yang C.C., Marefat M.M., Johnson E.J. Entity-based aspect graphs: Making viewer

centered representations more efficient // Pattern Recogn. Lett. 1998. V. 19. No. 3-4.

P. 265-277. https://doi.org/10.1016/S0167-8655(98)00006-3

Lowe D.G. Distinctive Image Features from Scale-Invariant Keypoints // Int. J.

Comput. Vision. 2004. V. 60. P. 91-110.

https://doi.org/10.1023/B:VISI.0000029664.99615.94

Chen Yu-lang, Gao Jing-min. SURF-Based Image Matching Method for Landing

on Small Celestial Bodies // Proc. of the 2019 International Conference on Model-

ing, Analysis, Simulation Technologies and Applications (MASTA 2019). Hangzhou,

China, 2019. P. 401-407. https://doi.org/10.2991/masta-19.2019.68

10.

Qu X., Soheilian B., Habets E., Paparoditis N. Evaluation of SIFT and SURF for

vision based localization // The International Archives of the Photogrammetry,

Remote Sensing and Spatial Information Sciences. 2016. V. XLI-B3. P. 685-692.

https://doi.org/10.5194/isprs-archives-XLI-B3-685-2016

11.

Гришин В.А. Постановка задачи формирования оптимального покрытия обла-

сти неопределенности эталонами для систем оптической навигации // Матема-

тические методы распознавания образов: Тез. докл. 20-й Всеросс. конф. с меж-

дународным участием, г. Москва 2021 г. М.: РАН, 2021. C. 187-189.

URL: http://machinelearning.ru/wiki/images/0/02/Mmpr_2021.pdf.

12.

Тот Л.Ф. Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве. Пер. с немец-

кого И.М. Макаровой. М.: Физматлит, 1958.

13.

Tarnai T., Gáspár Z. Covering a square by equal circles // Elemente der Mathematik.

1995. V. 50. No. 4. P. 167-170. https://doi.org/10.5169/seals-46351

14.

Kennedy T. Compact packings of the plane with two sizes of discs // Discret. Com-

put. Geometry. 2006. V. 35. No. 2. P. 255-267.

https://doi.org/10.1007/s00454-005-1172-4

Статья представлена к публикации членом редколлегии А.А. Лазаревым.

Поступила в редакцию 21.01.2022

После доработки 14.06.2022

Принята к публикации 29.06.2022