Автоматика и телемеханика, № 2, 2022

Линейные системы

Е.А. МАНЖУЛИНА (l.manzhulina@gmail.com)

(Белорусский государственный университет, Минск)

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ

СТАЦИОНАРНЫМИ ДИСКРЕТНЫМИ СИСТЕМАМИ

БЕЗ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ

ИДЕНТИФИКАЦИИ

Рассматривается задача оптимального управления линейной стацио-

нарной дискретной системой по неточным измерениям ее выходных сиг-

налов при условии гарантированного удовлетворения геометрических

ограничений на выходные сигналы. Исследуется случай, когда минималь-

ная реализация системы в пространстве состояний известна, и случай,

когда параметрическая модель системы не известна. Предлагается новый

метод решения поставленной задачи в случае неизвестной модели, опи-

рающийся на единственную наблюдаемую траекторию входного и выход-

ного сигнала системы и позволяющий опустить этап ее параметрической

идентификации.

Ключевые слова: оптимальное управление, линейная дискретная система,

неточные измерения, неизвестная модель, управление на основе данных.

DOI: 10.31857/S0005231022020015

1. Введение

В современном мире неумолимо возрастают размерность и общая слож-

ность систем управления. Моделирование многих процессов представляется

чрезмерно трудоемким, а построенная модель зачастую слишком сложна и

громоздка для практического использования. В последние годы все большую

популярность набирают методы системного анализа и управления, базирую-

щиеся не на достоверном знании внутренней организации системы (ее моде-

ли), но лишь на ее наблюдаемом поведении (измеренных выходных сигналах).

В литературе (см., например, [1]) новые методы получили название data-

driven control methods, т.е. методы управления на основе данных. Настоящая

работа примыкает к направлению в рамках теории управления на основе дан-

ных, истоки которого находятся в поведенческой (бихевиористской) теории

динамических систем. В рамках этой теории будем опираться в основном на

результаты работы [2], согласно которой пространство всех траекторий ли-

нейной стационарной дискретной системы порождается сдвигами по времени

априорных измерений выходных сигналов системы (и, таким образом, обра-

зующих матрицу Ганкеля), записанных в одном единственном процессе на-

блюдения при условии постоянно возбуждающего входного сигнала (управле-

ния), и на развитие этих результатов в [3] для описания систем в пространстве

состояний. В качестве примеров успешного использования результатов [3] от-

метим работы по стабилизации линейных стационарных систем [4-6], а также

одношаговый метод проверки системы на диссипативность [7]. Некоторые ре-

зультаты получены и для нелинейных систем [6, 8], хотя в этом направлении

продвижение не столь велико.

Цель настоящей работы исследование задачи оптимального гарантиро-

ванного управления линейной стационарной дискретной системой по неточ-

ным измерениям выходных сигналов и при наличии ограничений, в форму-

лировке которой собственно модель в явном виде отсутствует, а динамика

системы неявно задается данными априорного наблюдения. При наличии

параметрической модели аналогичная задача для непрерывных систем и с

терминальными ограничениями на состояния исследовалась в [9], где в ре-

жиме реального времени строятся реализации оптимальной обратной связи

по измерениям на основе решения ряда задач оптимального наблюдения и

управления. Принцип разделимости процесса на наблюдение и управление,

а также формулировки соответствующих задач в рамках подхода на основе

данных составляют центральные результаты настоящей работы.

Структура работы. В разделе 2 приводится постановка задачи управле-

ния при наличии параметрической модели управляемой системы, метод реше-

ния которой вынесен в Приложение. В разделе 3 исследуется та же задача при

условии, что модель системы неизвестна, известна лишь одна априорная тра-

ектория входного и выходного сигнала системы. Использование этих данных

для генерирования произвольной траектории обсуждается в подразделе 3.1.

В подразделе 3.2 обосновываются ключевые результаты работы принцип

разделимости процессов управления и наблюдения и алгоритм управления

системой на основе данных, реализуемость которого доказывается в подраз-

деле 3.3. Работа завершается (раздел 4) двумя иллюстративными примерами.

2. Оптимальное гарантированное управление линейной системой

Рассмотрим линейную стационарную дискретную систему G, минималь-

ная реализация (A, B, C, D) которой известна:

(1)

x(t + 1) = Ax(t) + Bu(t), x(0) = x₀,

y(t) = Cx(t) + Du(t), t = 0, . . . , T - 1.

Здесь x(t) ∈ Rⁿ, u(t) ∈ R^m, y(t) ∈ R^k состояние системы, управление и вы-

ходной сигнал в момент времени t, (A, B) управляема, (A, C) наблю-

даема.

Траекторией системы G будем называть пару {u, y} = {u(t), y(t)}^T-1t=0 из

управления и выходного сигнала, удовлетворяющую (1) при некотором (на-

блюдателю не известном) начальном состоянии x(0) ∈ Rⁿ.

Относительно начального состояния x(0) = x₀ будем предполагать, что ин-

формация о нем ограничивается включением

x₀ ∈ X₀ = {x ∈ Rⁿ : x_min ≤ x ≤ x_max}.

В работе все неравенства, относящиеся к векторам, понимаются как поком-

понентные.

На траекторию {u, y} наложим ограничения:

(2)

u(t) ∈ U, y(t) ∈ Y (t), t = 0, . . . , T - 1,

где U = {u ∈ R^m : u_min ≤ u ≤ u_max} множество доступных значений управ-

ления, Y (t) = {y ∈ R^k : G(t)y ≤ g(t)} множество допустимых значений вы-

ходного сигнала в момент времени t, G(t) ∈ R^q×k, g(t) ∈ R^q, t = 0, . . . , T - 1.

Поставим задачу о минимизации энергетических затрат на управление си-

стемой

∑

J (u) =

∥u(t)∥²

t=0

на множестве доступных управляющих воздействий u(t) ∈ U, гарантирую-

щих выполнение ограничений на выходные сигналы (2) при всех возможных

реализациях начального состояния x(0) ∈ X₀:

∑

(3)

min

||u(t)||²,

t=0

x(t + 1) = Ax(t) + Bu(t),

y(t) = Cx(t) + Du(t),

u(t) ∈ U, y(t) ∈ Y (t) ∀x(0) ∈ X0,

t = 0,1,...,T - 1.

Задача (3) решается до начала процесса управления и позволяет дать апри-

орную оценку качества этого процесса.

В каждом конкретном процессе управления реализуется некоторая траек-

тория {u^p, y^p} = {u^p(t), y^p(t)}^T-1t=0 системы G, которая определяется реализо-

вавшимся, но наблюдателю не известным начальным состоянием x^p0 ∈ X₀ и

поданным на вход системы (1) управлением u^p. Далее будем считать, что в

процессе управления доступны лишь неточные измерения выходных сигна-

лов вида

yp(t) = y^p(t) + ξ(t), t = 0, . . . , T - 1,

где ξ(t) ошибка измерения в момент времени t. Величина реализовавшей-

ся ошибки ξ(t) достоверно не известна, однако полагаем ее в дальнейшем

принадлежащей известному множеству Ξ = {ξ ∈ R^k : ||ξ||_∞ ≤ ε}, т.е. ξ(t) ∈ Ξ,

t = 0,...,T - 1, где || · ||_∞

равномерная норма.

К некоторому моменту времени τ пара {u^τ , y^τ} = {u^p(t), y^p(t)}^τ-1t=0 из реа-

лизовавшихся в рассматриваемом процессе управления и измерений состав-

ляет текущую позицию процесса. Она позволяет оценить реализовавшееся

начальное состояние, скорректировать будущее управление и улучшить апри-

орную оценку качества процесса управления, которую дает задача (3).

Определение 1. Состояние x(τ) назовем согласующимся c позицией

{u^τ, y^τ}, если найдутся такие допустимые начальное состояние x₀ ∈ X₀ и

ошибки измерения ξ(t) ∈ Ξ, t = 0,... ,τ - 1, что выполняются тождества

x(τ) = x (τ|x₀, u^pτ ) ,

yp(t) = Cx (t|x₀, u^pt) + Du^p(t) + ξ(t), t = 0, . . . , τ - 1,

где x(t|x₀, u^pt)

состояние, в которое система (1) приходит в момент t,

двигаясь из начальной точки x(0) = x₀ под воздействием управления u^pt.

Отметим, что начальное состояние x₀, о котором идет речь в определе-

нии 1, порождает траекторию {u^τ , y_τ }, в которой, возможно, y_τ = y^τ.

Обозначим через X(τ, u^τ , y^τ) множество всех состояний x(τ), согласую-

щихся с измеренной траекторией {u^τ, y^τ}. В момент времени τ сформулируем

задачу оптимального управления:

∑

(4)

min

||u(t)||²,

t=τ

x(t + 1) = Ax(t) + Bu(t),

y(t) = Cx(t) + Du(t),

u(t) ∈ U, y(t) ∈ Y (t) ∀x(τ) ∈ X(τ,upτ, ypτ),

t = τ,...,T - 1.

Пусть u^∗(t|τ, u^τ , y^τ), t = τ, . . . , T - 1,

оптимальное управление в зада-

че (4). Согласно [9] в момент τ на вход системы G подается первое значение

оптимального управления

(5)

u^p(τ) = u^∗ (τ|τ,u^pτ, y^pτ

после чего в момент τ + 1 решается следующая задача оптимального про-

граммного управления (4), в которой на единицу уменьшается горизонт

управления и обогащается знание о поведении системы за счет новой позиции

{u^pτ+1, y^pτ+1}.

Таким образом, для оптимального управления системой G по неточным

измерениям ее выходных сигналов при наличии модели системы необходимо

в каждый момент τ решать задачу (4). Ee решение основано на принципе

разделимости процессов управления и наблюдения (см., например, [10]). Для

рассматриваемой задачи можно применить результаты работы [9], модифи-

цируя их с учетом нового типа ограничений и дискретности динамической

системы. Соответствующая модификация приводится в Приложении к дан-

ной работе.

Управление u^p(τ), τ = 0, . . . , T - 1, построенное по правилу (5), представ-

ляет собой [9] реализацию в конкретном процессе управления оптимальной

обратной связи по неточным измерениям. Это простейший тип обратной

связи по неточным измерениям, использующий только прошлую информа-

цию об измерениях, поступившую к моменту времени τ, и не учитывающий

будущую информацию о возможных реализациях неизвестных величин. Та-

кой тип обратных связей в [11] назван размыкаемой обратной связью. Она

опирается на оптимальные программные решения задачи в отличие от опти-

мальных стратегий и замыкаемых или замкнутых обратных связей [11, 12].

Отсюда следуют одновременно консерватизм и простота построений пред-

ложенной обратной связи. Более сложные постановки задач управления на

основе, например, результатов [12] будут исследованы в последующих рабо-

тах.

3. Оптимальное гарантированное управление линейной системой

на основе данных

Далее сосредоточимся на задаче управления системой G, однако условим-

ся, что реализация (A, B, C, D) системы в пространстве состояний не извест-

на. Классический подход в подобных ситуациях состоит в предварительной

идентификации системы и последующей формулировке и решении задачи из

раздела 2.

В настоящей работе будет предложен альтернативный подход, не нуждаю-

щийся в явном параметрическом представлении системы. Вместо модели

(A, B, C, D) будем использовать полученное в [3] представление любой тра-

ектории системы G на основе одной предварительно измеренной траектории

из управления и выходного сигнала

{

}

{

}_Td-1

u^d,y^d

= u^d(t),y^d(t)

t=0

которую далее будем называть априорной траекторией.

Будем считать, что априорная траектория {u^d, y^d} измерена точно и для

системы G дана верхняя оценка размерности ее состояния n (см. [3]).

Предположение о точных измерениях априорной траектории описывает

идеализированную ситуацию и будет опущено в последующих исследованиях.

3.1. Информативность априорной траектории

Предварительно приведем результаты работ [2, 3], в которых показано,

как априорная траектория {u^d, y^d} при определенных условиях может иметь

ту же информационную ценность, что и модель системы (A, B, C, D).

Определение 2

[3]. Пусть L, L^d ∈ N, L ≤ L^d. Управление u =

= {u(t)}Ld-1t=0 называется постоянно возбуждающим порядка L, если мат-

рица Ганкеля





u(0)

u(1)

···

u(L^d - L)







u(1)

u(2)

··· u(L^d - L + 1)



H_L(u) =









u(L - 1) u(L)

···

u(L^d - 1)

имеет полный строчный ранг, т.е. rankH_L(u) = mL.

Замечание 1. Если управление u является постоянно возбуждающим

порядка L, то оно должно быть достаточно длинным. Поскольку матрица

H_L(u) ∈ RmL×(Ld-L+1) имеет полный строчный ранг, число строк не превы-

шает число столбцов: L^d - L + 1 ≥ mL. Отсюда следует необходимое усло-

вие на длину L^d постоянно возбуждающего управления порядка L: L^d ≥

≥ L(m + 1) - 1.

Согласно [2, 3], априорная траектория {u^d, y^d}, порожденная постоянно

возбуждающим управлением достаточно высокого порядка, содержат инфор-

мацию, достаточную для представления любой траектории системы G. Далее

будем использовать следующий результат работы [2], сформулированный в [3]

в терминах классических моделей в пространстве состояний:

Теорема 1

[3]. Пусть {u^d, y^d} = {u^d(t), y^d(t)}Td-1t=0

априорная траек-

тория линейной системы G размерности n, причем u^d постоянно воз-

буждающее управление порядка T + n. Тогда {u, y} = {u(t), y(t)}^T-1t=0 являет-

ся траекторией G в том и только в том случае, когда для

(

) (

)

H_T (u^d)

α=

H_T (y^d)

существует решение α ∈ RTd-T+1.

Теорема 1 позволяет проверять любую пару {u, y} на принадлежность

множеству траекторий системы G. В дальнейшем будем использовать усло-

вия теоремы для построения множества возможных траекторий {u^τ, u, y^τ, y}

длины T с некоторой фиксированной

“прошлой” частью

{u^τ , y^τ} =

= {u^p(t), y^p(t)}^τ-1t=0 длины τ и нефиксированной “будущей” частью {u, y} =

= {u(t), y(t)}T-1t=τ . Для этого будем делить строки матриц Ганкеля для апри-

орной траектории следующим образом:





u^d(0)

···

u^d(T^d - T)









(

)









u^d(τ - 1)

··· u^d(τ - 1 + T^d - T)





H_T (u^d) =





u^d(τ)

···

u^d(τ + T^d - T)

U^τ













u^d(T - 1) ···

u^d(T^d - 1)





y^d(0)

···

y^d(T^d - T)













(

)

yd(τ - 1)

··· y^d(τ - 1 + T^d - T)

H_T (y^d) =









y^d(τ)

···

y^d(τ + T^d - T)

Yτf













y^d(T - 1) ···

y^d(T^d - 1)

Если управление u^d является постоянно возбуждающим порядка T + n,

то согласно теореме 1 {u^τ , u, y^τ, y} является траекторией системы G тогда и

только тогда, когда уравнение









u^τ













y^τ









(6)

α(τ) =









u







Yτf

имеет решение α(τ) ∈ RTd-T+1.

В силу теоремы 1 для любых u^τ , y^τ, u можно найти хотя бы один воз-

можный выходной сигнал y, но для единственности y, которая представляет

практический интерес, необходимо наложить дополнительные условия. При

условии наблюдаемости пары (A, C) траектория {u^p, y^p} длины n однозначно

определяет начальное состояние [3], поэтому для обеспечения единственности

достаточно потребовать τ ≥ n.

3.2. Принцип разделимости

Найдем аналог принципа разделимости управления и наблюдения для ли-

нейных систем с известной моделью в пространстве состояний для случая,

когда траектория системы G представлена в виде (6). Будем следовать идее

декомпозиции будущего выходного сигнала y (см. Приложение)

(7)

y=y₀

+ ŷ,

где y₀ = {y₀(t)}^T-1t=τ выходной сигнал системы G, соответствующий управ-

лению u и тривиальному начальному условию x(τ) = 0; ŷ = {ŷ(t)}^T-1t=τ вы-

ходной сигнал неуправляемой системы G для некоторого начального усло-

вия x(τ), согласующегося с текущей позицией процесса {u^τ, y^τ}.

Рассмотрим подробно слагаемые в (7). При определении y₀ тривиальное

начальное состояние x(τ) = 0 можно зафиксировать неявно посредством три-

виальной прошлой траектории {0, 0} длины не менее n. С тривиальной траек-

торией, очевидно, согласуется начальное условие x(0) = 0, а поскольку τ ≥ n,

это единственно возможное начальное состояние. Тогда система остается в на-

чале координат вплоть до момента τ: x(t) = 0, t = 0, . . . , τ. Из рассуждений

следует, что {0, u, 0, y₀} является траекторией длины T системы G.

Далее {0, ŷ} траектория системы G c начальным условием x(τ) из мно-

жества состояний, в которые система могла прийти, точно следуя траектории

{u^τ, y^τ}, где о выходном сигнале y^τ известно только, что он отклоняется от

измеренного y^τ в равномерной норме не более чем на ε. Тогда {u^τ, 0, y^τ, ŷ}

траектория длины T системы G.

Из необходимого условия теоремы 1 следует, что для траекторий {0, u, 0, y₀}

и {u^τ , 0, y^τ, ŷ} существуют α₀(τ), α(τ) соответственно, удовлетворяющие

















u^τ

























y^τ

















(8)

α₀(τ) =



,

α(τ) =













u

0











Yτf

y₀

Yτf

Суммируя равенства (8), получаем









u^τ













y^τ









(9)

(α(τ) + α₀(τ)) =









 u







Yτf

ŷ+y₀

В силу теоремы 1 условие (9) является достаточным для того, чтобы

{u^τ, u, y^τ, ŷ + y₀} являлась траекторией системы. Поскольку начальное со-

стояние x₀ неявно зафиксировано достаточно длинным участком {u^τ , y^τ}, эта

траектория совпадает с искомой {u^τ , u, y^τ, y}, т.е. y = ŷ + y₀. Суммируя рас-

суждения выше, любую траекторию можно строить согласно лемме:

Лемма. Пусть {u^τ,y^τ} некоторая фиксированная прошлая траекто-

рия системы G длины τ ≥ n. Тогда любая траектория {u^τ,u,y^τ,y} длины T

системы G однозначно представима в виде суммы траекторий {0,u,0,y₀} и

{u^τ, 0, y^τ, ŷ} длины T , причем для фиксированного управления u определить

неизвестные будущие участки y₀, ŷ можно следующим образом:

1. Найти некоторые решения α(τ), α₀(τ) двух систем алгебраических урав-

нений



U^pτ

u^pτ

U^pτ

0

















(10)

Y

 α(τ) =

yτ,

Y

 α0(τ) =

0

.

U^τ

2. Вычислить ŷ =

α(τ), y₀ =

τ α0(τ).

Замечание 2. Для получения ŷ(t), y₀(t) в конкретный момент времени t

на шаге 2 необходимо использовать блок Y^d(t) матрицы

τ (или HT (y^d)):

(

)

Y d(t) = y^d(t),y^d(t + 1),... ,y^d(t + T^d - T)

Получим ŷ(t) = Y^d(t)α(τ), y₀(t) = Y^d(t)α₀(τ).

По аналогии с определением 1 дадим

Определение 3. Назовем параметр α(τ) согласующимся с текущей

позицией процесса {u^τ, y^τ}, если



U^pτ

u^pτ









Y

 α(τ) =

yτ,

||y^p(t) - y^p(t)||_∞ ≤ ε, t = 0, . . . , τ - 1.

U^τ

Пусть A(τ, u^τ, y^τ) множество всех α(τ), согласующихся с {u^τ , y^τ}:

{

A(τ, u^pτ , y^pτ) =

α(τ) ∈ RTd-T+1 : U^pτ α(τ) = u^pτ , U^fτ α(τ) = 0,

}

- ε1 ≤ Y ^pτ α(τ) - y^pτ ≤ ε1 ,

где 1

k(T - τ)-вектор из единиц. Множество A(τ, u^τ , y^τ) аналог множе-

ства X(τ, u^τ , y^τ) состояний x(τ), согласующихся с текущей позицией {u^τ , y^τ}.

Далее определим Y(t|τ, u^τ , y^τ) как множество всех ŷ(t), согласующихся с

позицией {u^τ, y^τ}. В соответствии с замечанием 2 это множество порождается

множеством A(τ, u^τ, y^τ):

{

}

Y(t|τ, u^pτ , y^pτ) =

ŷ(t) = Y^d(t)α(τ) : α(τ) ∈ A(τ, upτ , ypτ)

В связи с декомпозицией (7) выходного сигнала ограничение (2) в момент t

принимает вид G(t)(y₀(t) + ŷ(t)) ≤ g(t). Тогда на y₀(t) наложим “суженное”

условие:

(11)

G(t)y₀

(t) ≤ g(t) - χ(t|τ),

где χ(t|τ) = (χ_i(t|τ), i = 1, . . . , q) соответствует наихудшей реализации выход-

ного сигнала ŷ(t) в позиции {u^τ, y^τ}, а именно, каждый его элемент χ_i(t|τ)

является решением задачи

(12)

χ_i(t|τ) = max

Gi(t)ŷ(t),

ŷ(t) ∈ Y(t|τ, u^pτ , y^pτ

ŷ(t)

где G_i(t) i-я строка матрицы G(t).

С учетом определений множеств Y(t|τ,u^τ, y^τ), A(τ,u^τ, y^τ) задачи (12)

представляют собой задачи линейного программирования:

(13)

χ_i(t|τ) =max G_i(t)Y^d

(t)α(τ),

α(τ)

)

(

)

(U^pτ

u^τ

α(τ) =

ypτ - ε1 ≤ Y^pτ α(τ) ≤ y^pτ + ε1.

Задачи (13) задачи оптимального наблюдения, см. [9] и Приложение.

Выполнение для y₀(t) ограничения (11) очевидно влечет удовлетворение

исходного ограничения (2) на y(t) для любой возможной реализации ŷ(t),

согласующейся с позицией {u^τ, y^τ}.

Параметр α₀(τ), удовлетворяющий второму из условий (10) и такой, что

для y₀(t) = Y^d(t)α₀(τ) при всех t = τ, . . . , T - 1 выполняется неравенство

(11), определяет допустимое управление u =

Ufτ α0(τ). Тогда задача опти-

мального управления в момент времени τ имеет вид

(14)

min

∥u∥² ,

α₀(τ),u







U^pτ











 α0(τ) =

0,

U^τ

G(t)Y^d(t)α₀(τ) ≤ g(t) - χ(t|τ),

u_min ≤ u(t) ≤ u_max, t = τ,... ,T - 1.

Исключая в (14) управление u, получаем задачу квадратичного програм-

мирования относительно α₀(τ):

(15)

min

α₀(τ)^T (U^fτ)^T U^fτα₀

(τ),

α₀(τ)

)

(U^pτ

(0)

α₀(τ) =

G(t)Y^d(t)α₀(τ) ≤ g(t) - χ(t|τ),

u_min ≤ U^d(t)α₀(τ) ≤ u_max, t = τ,... ,T - 1,

где, по аналогии с Y^d(t), U^d(t) = (u^d(t), u^d(t + 1), . . . , u^d(t + T^d - T )).

Пусть α^∗0(τ, u^τ , y^τ)

решение задачи оптимального управления

(15).

На вход системы G подаем первое значение соответствующего управ-

ления (см.

(5)), которое вычисляется согласно формуле u^∗(τ|τ, u^τ , y^τ) =

= U^d(τ)α^∗0(τ,u^τ, y^τ). Таким образом,

Aлгоритм управления линейной стационарной дискретной системой по

неточным измерениям выходных сигналов и на основе точных априорных

данных {u^d, y^d} будет таким:

при всех τ = n, . . . , T - 1

1) решить задачи (13), найти оценки χ_i(t|τ), i = 1, . . . , q, t = τ, . . . , T - 1;

2) решить задачу (15), найти α^∗0(τ, u^τ , y^τ);

3) подать на вход системы управление u^p(τ) = U^d(τ)α^∗0(τ, u^τ , y^τ).

Как и в разделе 2, полученное в результате применения алгоритма управ-

ление u^p(τ), τ = n, . . . , T - 1, является реализацией в конкретном процессе

управления оптимальной обратной связи по неточным измерениям.

Для того, чтобы результаты представленного алгоритма совпадали с ре-

зультатом раздела 2, необходимо потребовать X₀ = Rⁿ, совпадения управ-

лений u^p(t) при t = 0, 1, . . . , n - 1 и также начинать процесс управления в

момент τ = n.

3.3. Основная теорема

Дадим теоретическое обоснование реализуемости предложенного алгорит-

ма управления. В частности, покажем, что при условии существования реше-

ний задач (13) и (14) в момент времени τ = n решения этих задач существуют

и для всех τ = n + 1, . . . , T - 1. С целью сокращения записи далее опустим

явное упоминание пары {u^τ, y^τ} в решениях задачи (15) для момента τ, т.е.

α^∗0(τ) = α^∗0(τ,u^τ, y^τ), u^∗(τ|τ) = u^∗(τ|τ,u^τ, y^τ), а также для момента τ + 1 и

позиции {u^τ , u^∗(τ|τ), y^τ, y^p(τ)}, которая реализуется при подаче управления

u^∗(τ|τ) = u^p(τ) в момент τ.

Теорема 2. Пусть в момент τ для позиции {u^τ, y^τ} каждая из за-

дач (13) имеет решение. Пусть имеет решение задача (15) с параметрами

χ(t|τ), поставленными решениями задач (13). Тогда в момент τ + 1 для по-

зиции {u^τ , u^∗(τ|τ), y^τ, y^p(τ)} задачи (13), (15) также имеют решение. Более

того,

∑

∥u^∗(t|τ + 1)∥² ≤

∥u^∗(t|τ)∥² .

t=τ+1

Доказательство. Сначала докажем разрешимость каждой из задач

оптимального наблюдения в момент τ + 1. Эти задачи можно записать в виде

(16)

χ_i(t|τ + 1) = max G_i(t)Y^d

(t)α(τ + 1),

α(τ+1)









u^τ









U^d(τ) α(τ + 1) =

u^∗(τ|τ),

U^f

τ+1

ypτ - ε1 ≤ Y^pτ α(τ + 1) ≤ y^pτ + ε1,

yp(τ) - ε1 ≤ Y^d(τ)α(τ + 1) ≤ y^p(τ) + ε1,

а задачи наблюдения для момента τ представимы в виде

(17)

χ_i(t|τ) =max G_i(t)Y^d

(t)α(τ),

α(τ)









u^τ









U^d

(τ) α(τ) =

0

,

U^f

τ+1

ypτ - ε1 ≤ Y^pτ α(τ) ≤ y^pτ + ε1.

Каждая задача (16) допустима, поскольку для истинной реализовавшей-

ся траектории {u^τ , u^∗(τ|τ), y^τ, y^p(τ)} и будущего тривиального управления

{u(t)}^Tt=τ+1 = 0 существует α^p(τ + 1), для которого выполняется первое из

условий (10) леммы, а значит, для этого α^p(τ + 1) удовлетворены все ограни-

чения (16).

Для доказательства разрешимости задачи (16) используем решение α^∗0(τ)

задачи оптимального управления (15) в момент τ. Обозначим:

(18)

u^c = U^fτ+1α^∗0(τ), y^∗0(τ|τ) = Y^d(τ)α^∗0

(τ).

Заметим, что u^c = {u^∗(t|τ)}^T-1t=τ+1, т.е. это “хвост” оптимального управления

задачи (15). Согласно лемме существует α^c, такое что выполняется равенство

















Ud(τ)





















(19)

α^c =







.









Y^d

(τ)

0



U^f

τ+1

Сдвинем переменную α(τ + 1), относительно которой поставлены задачи

оптимального наблюдения (16), на константу, перейдем к новой переменной

Δα(τ + 1):

α(τ + 1) = α^∗0(τ) - α^c + Δα(τ + 1).

Тогда

χ_i(t|τ + 1) = G_i(t)Y^d(t)(α^∗0(τ) - α^c) + Δχ_i(t|τ + 1),

где с учетом (18), (19)

(20)

Δχ_i(t|τ +1) = max G_i(t)Y^d

(t)Δα(τ + 1),

Δα(τ+1)









u^τ









U^d(τ) Δα(τ + 1) =

0

,

U^τ

ypτ - ε1 ≤ Y^pτΔα(τ + 1) ≤ y^pτ + ε1,

(21)

yp(τ) - y^∗0(τ|τ) - ε1 ≤ Y^d

(τ)Δα(τ + 1) ≤

≤ y^p(τ) - y^∗0(τ|τ) + ε1

и множество допустимых решений Δα(τ + 1) непустое.

Сравним задачи (20)-(21) для Δα(τ + 1) и (17) для α(τ). Очевидно, что

дополнительное ограничение (21) влечет Δχ_i(t|τ + 1) ≤ χ_i(t|τ) и справедлива

оценка

(22)

χ_i(t|τ + 1) ≤ G_i(t)Y^d(t)(α^∗0(τ) - α^c) + χ_i

(t|τ),

для всех i = 1, . . . , q, t = τ + 1, . . . , T - 1.

Таким образом, доказано, что в момент τ + 1 все задачи оптимального

наблюдения имеют решение.

Остается продемонстрировать, что множество допустимых решений

α₀(τ + 1) в задаче оптимального управления для момента τ + 1, которая име-

ет вид

min

α₀(τ + 1)^T (U^fτ+1)^T U^fτ+1α₀(τ + 1),

α₀(τ+1)

















Ud(τ)

0

(23)



α0(τ + 1) =



,





0

Y d(τ)

(24)

G(t)Y^d(t)α₀

(τ + 1) ≤ g(t) - χ(t|τ + 1),

(25)

u_min ≤ U^d(t)α₀(τ + 1) ≤ u_max

, t = τ + 1,...,T - 1,

непусто тогда эта выпуклая задача квадратичного программирования име-

ет решение.

Покажем, что α^c допустимое решение. По построению α^c выполнены

ограничения-равенства (23) и группа ограничений на управления (25). Пока-

жем, что выполнены также условия (24). Воспользовавшись сначала (22), а

затем тем фактом, что α^∗0(τ) удовлетворяет ограничениям задачи (15), полу-

чаем

G(t)Y^d (t) α^c + χ(t|τ + 1) ≤

≤ G(t)Y d (t)α^c + G(t)Y d (t)(α∗0 (τ) - α^c) + χ(t|τ) =

= G(t)Y d (t)α∗0 (τ) + χ(t|τ) ≤ g (t), t = τ + 1,...,T - 1,

что доказывает (24).

Наконец, поскольку решение α^c допустимо, оптимальное решение удовлет-

воряет

∑

∥u^∗(t|τ + 1)∥² ≤ (α^c)^T (U^fτ+1)^T U^fτ+1α^c =

∥u^∗(t|τ)∥² ,

t=τ+1

что завершает доказательство всех утверждений теоремы.

Следствие. Если задачи оптимального наблюдения (13) и управления

(15) имеют решение в момент времени τ = n, то они разрешимы и в каж-

дый из последующих моментов τ = n + 1, . . . , T - 1. При этом критерий ка-

чества, значение которого определяется в момент τ как

∑

J (τ) =

∥u^p(t)∥² +

∥u^∗(t|τ)∥² ,

t=0

t=τ

является невозрастающей функцией от τ.

Доказательство теоремы 2 использует “хвост” u^c = {u^∗(t|τ)}^T-1t=τ+1 опти-

мального управления, полученного в момент τ не только для доказательства

допустимости задачи оптимального управления (как и в случае наличия мо-

дели системы), но и для доказательства существования решения задач опти-

мального наблюдения. Это позволяет учесть взаимосвязь не только между

соответствующими задачами для τ и τ + 1, но и между самими задачами для

момента τ + 1. В частности, для задач оптимального наблюдения на осно-

ве u^c приводится такая верхняя оценка решения χ(t|τ + 1), которая позволя-

ет продемонстрировать и допустимость управления {u^∗(t|τ)}^T-1t=τ+1 в задаче

оптимального управления для момента τ + 1.

4. Примеры

Пример 1. Применим предложенный алгоритм для управления системой:

(

)

(

)

0,9950

0,0998

0,0050

(26)

x(t + 1) =

x(t) +

u(t),

−0,0998

0,9950

0,0998

)

y(t) =

x(t), t = 0, . . . , T - 1.

∑_T-1

Требуется минимизировать величину

∥u(t)∥² при гарантированном со-

t=0

блюдении ограничений на значения выходных сигналов в последних 15 вре-

менных точках: |y(t)| ≤ 0,3, t = T - 15, . . . , T - 1. Доступны управления, для

которых |u(t)| ≤ 0,7, t = 0, . . . , T - 1. Горизонт планирования T = 135, абсо-

лютное значение ошибки ограничено величиной ε = 0, 02.

Управление системой (26) начинается в момент τ = n = 2.

Согласно замечанию 1 длина T^d априорной траектории должна быть не

меньше (n + T )(m + 1) - 1 = 273. Именно такой, наименьшей подходящей

длины была сгенерирована незашумленная априорная траектория {u^d, y^d},

в которой управления u^d(t), t = 0, . . . , T^d - 1, случайные числа, равномер-

но распределенные в [0, 0,7].

Пусть в конкретном процессе реализовалось начальное состояние x^p0 =

= (5, -2). Траектория {u^p2, y^p2}, соответствующая движению системы до на-

чала управления, получена при u^p(0) = u^p(1) = 0 и ξ(t), t = 0, 1, выбранных

случайным образом из отрезка [-ε, ε].

На рис. 1,а изображена реализация u^p(τ), τ = 0, . . . , T - 1, оптимальной

обратной связи в рассматриваемом процессе. Выходной сигнал (см. рис. 1,б )

удовлетворяет ограничениям на промежутке от τ = 120 до τ = 134. На

рис. 2,а изображена реализовавшаяся траектория системы (1). Априорная

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

-0,2

-1

-0,4

-2

-0,6

-0,8

-3

-1,0

-4

100

120

100

120

Рис. 1. Реализация оптимальной обратной связи (a), выходного сигнала (б ).

46,5

46,0

45,5

45,0

44,5

-1

44,0

-2

43,5

-3

-4

43,0

-5

42,5

-5

x₁

Рис. 2. Фазовая траектория (a), изменение критерия качества (б ).

оценка значения критерия качества, полученная в τ = 2, составила 46,3322.

В процессе управления значение критерия качества улучшилось до 42,5599.

Наиболее значительное изменение происходит при τ = 2, . . . , 28. Этот фраг-

мент приведен на рис. 2,б.

Пример 2. Рассмотрим задачу оптимального управления для системы,

которая была рассмотрена в [4]:









0,921

0,041

0,017

0,001

0







0,918

0,033

0,001

0,023

(27)

x(t + 1) =





(t) +



u(t),

0

0,924

x

0

0,061

0,937

0,072

(

)

y(t) =

x(t), t = 0, . . . , T - 1.

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

-1,0

4,0

y₁

3,5

3,0

2,5

2,0

1,5

1,0

0,5

Рис.

Реализация оптимальной обратной связи (a), (б ), соответствующие

выходные сигналы (в), изменение критерия качества (г).

∑_T-1

Снова требуется минимизировать величину

∥u(t)∥2 при следующих

t=0

ограничениях:

|y_i(t)| ≤ 0,1, t = T - 20, . . . , T - 1, i = 1, 2,

|u_i(t)| ≤ 0,8, t = 0, . . . , T - 1, i = 1, 2.

Положим T = 55, ε = 0,02.

Отметим, что для данной системы управление можно было бы начать в

момент τ = 2, поскольку наблюдений при t = 0, 1 достаточно для неявного

задания начального условия x₀. Однако, поскольку математическая модель

неизвестна, известна лишь точная размерность системы, n = 4, управление

системой (27) начинается в момент τ = n = 4.

Управления u^d(t), t = 0, . . . , T^d - 1 для априорной траектории {u^d, y^d}

длины T^d = 176 (см. замечание 1) были сгенерированы как случайные век-

торы, равномерно распределенные в [-0,8, 0,8]².

Траектория {u^p4, y^p4} конкретного процесса была сгенерирована для на-

чального состояния x^p0 = (4, 0, 1, -1) и u^p(t), ξ(t), t = 0, . . . , 3, выбранных слу-

чайным образом из квадратов [0, 0, 8]², [-ε, ε]² соответственно.

Рисунок 3 иллюстрирует результаты применения предложенной схемы

управления. Априорная оценка значения критерия качества, составляв-

шая 32,183, была улучшена до 21,857. Начиная с момента τ = 29 изменения

не существенны.

5. Заключение

Рассмотрена задача оптимального управления линейной стационарной си-

стемой при наличии ограничений и неточных измерений выходных сигналов.

Математическая модель системы в пространстве состояний предполагается

неизвестной, доступны только данные априорных наблюдений за ее поведе-

нием в одном процессе управления. В предположении об отсутствии в апри-

орных данных ошибок обоснован принцип разделимости процессов наблю-

дения и управления в линейных системах только на основе доступных дан-

ных, сформулированы соответствующие задачи оптимального наблюдения и

управления, предложен и обоснован алгоритм управления объектом в режи-

ме реального времени на основе данных. Развитие полученных результатов

на случай неточных априорных данных и исследование задачи управления в

менее консервативной постановке, например, как в [12], является предметом

дальнейших исследований.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Для решения задачи (4) из раздела 2 аналогично результатам [9] используем

принцип разделимости процессов управления и наблюдения для линейных

систем. С этой целью представим состояние x(t) и выходной сигнал y(t) в ви-

де x(t) = x₀(t) + x(t), y(t) = y₀(t) + ŷ(t), где x₀(t), y₀(t) соответствуют состоя-

нию и выходу номинальной системы с тривиальным начальным состоянием

x₀(t + 1) = Ax₀(t) + Bu(t), x₀(τ) = 0,

y₀(t) = Cx₀(t) + Du(t), t = τ,... ,T - 1,

а x(t), ŷ(t) соответствуют состоянию и выходу неуправляемой системы с

неопределенным начальным состоянием

x(t + 1) = Ax(t),

x(τ) ∈ X(τ, u^pτ , y^pτ),

ŷ(t) = C x(t), t = τ, . . . , T - 1.

Тогда ограничение на выходные сигналы (2) в виде

G(t)(y₀(t) + ŷ(t)) ≤ g(t),

∀x(τ) ∈ X(τ,u^pτ, y^pτ),

влечет естественное суженное условие на y₀(t), удовлетворение которого бу-

дет гарантировать допустимость выходного сигнала y(t):

y₀(t) ∈ Y₀(t|τ) = {y ∈ R^p : G(t)y ≤ g(t) - χ(t|τ)} ,

где каждая компонента χ_i(t|τ), i = 1, . . . , q, вектора χ(t|τ) соответствует наи-

худшей реализации состояния x(τ):

χ_i(t|τ) = max

Gi(t)ŷ(t),

x(s + 1) = Ax(s),

x(τ) = z,

y(s) = C x(s), s = τ, . . . , t,

z ∈ X(τ,u^pτ, y^pτ),

Gi(t) обозначает i-ю строку матрицы G(t).

После вычисления всех оценок χ(t|τ), t = τ, . . . , T - 1, оптимальное управ-

ление u^∗(t|τ, u^τ , y^τ) получим как решение следующей детерминированной за-

дачи оптимального управления:

∑

min

∥u(t)∥² ,

t=τ

x₀(t + 1) = Ax₀(t) + Bu(t), x₀(τ) = 0,

y₀(t) = Cx₀(t) + Du(t),

u(t) ∈ U, y₀(t) ∈ Y₀(t|τ),

t = τ,...,T - 1.

Таким образом, решение задачи (4) может быть получено в результате ре-

шения q(T - τ) задач оптимального наблюдения и одной детерминированной

задачи оптимального управления (см. [9]).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Hou Z.-S., Wang Z. From model-based control to data-driven control: Survey, clas-

sification and perspective // Inform. Sci. 2013. V. 235. P. 3-35.

2. Willems J.C., Markovsky I., Rapisarda P., De Moor B.L.M. A note on persistency

of excitation // Syst. Control Lett. 2005. V. 54. P. 325-329.

3. Berberich J., Allgöwer F. A trajectory-based framework for data-driven system anal-

ysis and control // European Control Conference, Saint Petersburg, Russia, 2020.

P. 1365-1370.

4. Berberich J., Köhler J., Müller M.A., Allgöwer F. Data-Driven Model Predictive

Control with Stability and Robustness Guarantees // IEEE Transactions on Auto-

matic Control. https://doi.org/10.1109/TAC.2020.3000182.

5. Berberich J., Romer A., Scherer C.W., Allgöwer F. Robust data-driven state-

feedback design // arXiv: 1909.04314. 2019.

6. De Persis C., Tesi P. Formulas for data-driven control: Stabilization, optimality

and robustness // IEEE Transactions on Automatic Control. 2019. V. 65. No. 3.

P. 909-924.

7. Romer A., Berberich J., Köhler J., Allgöwer F. One-shot verification of dissipativity

properties from input-output data // IEEE Control Syst. Lett. 2019. V. 3. No. 3.

P. 709-714.

8. Coulson J., Lygeros J., Dörfler F. Data-Enabled Predictive Control: In the Shallows

of the DeePC // European Control Conference, Naples, Italy, 2019. P. 307-312.

9. Габасов Р., Дмитрук Н.М., Кириллова Ф.М. Оптимальное управление много-

мерными системами по неточным измерениям их выходных сигналов // Труды

Института математики и механики УрО РАН. 2004. Т. 10. № 2. С. 33-57.

10. Kurzhanskii A.B., Vályi I. Ellipsoidal calculus for estimation and control. Nelson

Thornes, 1997.

11. Балашевич Н.В., Габасов Р., Кириллова Ф.М. Построение оптимальных обрат-

ных связей по математическим моделям с неопределенностью // Журн. вычисл.

мат. и мат. физики. 2004. Т. 44. № 2. С. 265-286.

12. Dmitruk N., Findeisen R., Allgöwer F. Optimal measurement feedback control of

finite-time continuous linear systems // IFAC Proceedings Volumes. 2008. Vol. 41.

No. 2. P. 15339-15344.

Статья представлена к публикации членом редколлегии М.В. Хлебниковым.

Поступила в редакцию 19.01.2021

После доработки 21.09.2021

Принята к публикации 15.10.2021