Автоматика и телемеханика, № 2, 2022

Линейные системы

(Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)

РАЗРЕЖЕННАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ

ПРИ ОГРАНИЧЕННЫХ ВНЕШНИХ ВОЗМУЩЕНИЯХ¹

Предложен простой и универсальный подход к решению задачи раз-

реженной фильтрации использующей пониженное число выходов

при произвольных ограниченных внешних возмущениях с использовани-

ем наблюдателя. Подход основан на методе инвариантных эллипсоидов

и технике линейных матричных неравенств. Применение этой концепции

позволило свести исходную проблему к задаче полуопределенного про-

граммирования, легко решающейся численно. Подход отличается просто-

той и легкостью реализации и в равной мере охватывает как непрерыв-

ную, так и дискретную постановки задачи. Эффективность предлагаемой

процедуры продемонстрирована на тестовом примере.

Ключевые слова: фильтрация, линейный стационарный фильтр, разре-

женность, внешние возмущения, линейные матричные неравенства, ин-

вариантные эллипсоиды.

DOI: 10.31857/S0005231022020039

1. Введение

В современной литературе термин “разреженная фильтрация” (sparse fil-

tering) в основном закрепился за такими направлениями, как машинное обу-

чение, распознавание образов, обработка сигналов и изображений; см., на-

пример, [1-3]. Вместе с тем напомним, что классическая постановка задачи

фильтрации (т.е. оценки состояния динамической системы по измерениям)

при случайных возмущениях допускает практически исчерпывающее реше-

ние с помощью фильтра Калмана. Однако во многих ситуациях предполо-

жение о случайности шумов является неоправданным; часто известно лишь,

что все возмущения являются ограниченными, а в остальном произвольными.

В этом случае можно строить гарантированные (а не вероятностные) оценки

состояний. Такой подход был предложен в конце 60-х - начале 70-х гг. XX в.

в работах американских ученых Виценхаузена, Бертсекаса и Родеса, Швеп-

пе [4]. Примерно в это же время подобные проблемы разрабатывались на се-

минаре Н.Н. Красовского такими исследователями, как А.Б. Куржанский [5]

¹ Исследование выполнено при частичной поддержке Российского научного фонда, про-

ект № 21-71-30005.

и др. Существенный вклад в этот круг исследований внес Ф.И. Черноусь-

ко [6]. В частности, в [4-6] была развита эллипсоидальная техника фильтра-

ции; обзор результатов в этой области можно найти в [7, 8].

В [9-11] рассматривалась проблема фильтрации с ограниченными неслу-

чайными возмущениями, однако лишь для стационарных задач, когда все

параметры модели не зависят от времени. Более того, искалась оценка со-

стояния, такая что ее ошибка гарантированно заключена в единый ин-

вариантный эллипсоид для всех моментов времени, т.е. оценка является

равномерной. Сам фильтр также искался в классе линейных стационарных

фильтров. В этом суженном классе задач и оценок проблема оказалась полно-

стью разрешимой, так что удалось построить оптимальный фильтр и оцен-

ку состояния. Этим данная постановка задачи отличается от упомянутых

выше; там рассматривались более общие модели, однако получаемое реше-

ние было лишь субоптимальным, а равномерность оценок не имела места.

С технической точки зрения в [9-11] применен аппарат линейных матричных

неравенств [12], который хорошо зарекомендовал себя в анализе и синтезе

систем управления, но не очень широко применялся в задачах фильтрации.

Систематическое изложение этой техники дано в монографии [13].

C другой стороны, в обработке сигналов и изображений, распознавании

образов и многих других областях широко используются идеи разреженнос-

ти. Одной из первых областей применения концепции разреженности явля-

ется ℓ₁-оптимизация, в дальнейшем успешно развиваемая в различных на-

правлениях, таких как compressed sensing, ℓ₁-фильтрация и др. (см., напри-

мер, [14, 15]). Вместе с тем идеи разреженности не нашли широкого примене-

ния в управлении; среди немногочисленных публикаций по построению раз-

реженной обратной связи можно упомянуть [16, 17], в которых разреженная

структура оговорена заранее; основное внимание в этих публикациях уделено

оптимизационным алгоритмам.

В [18] был предложен новый подход к построению разреженной обрат-

ной связи, связанный с минимизацией числа не ненулевых компонент векто-

ра, а ненулевых строк или столбцов матрицы. Такие матрицы называются

строчно- и столбцово-разреженными соответственно. Концепция разрежен-

ности используется для синтеза линейной обратной связи по состоянию или

выходу в системах управления при нестандартных целочисленных критериях

качества, таких как число ненулевых компонент вектора управления. Такие

задачи являются трудными, их непосредственное решение приводит к ком-

бинаторному перебору. Вместо этого было предложено воспользоваться овы-

пуклением задачи, основанным на использовании специальных матричных

норм, и явным образом получить субоптимальное решение.

Этот подход отличается простотой (исходные задачи сводятся к реше-

нию маломерных задач выпуклого программирования, а для их численного

решения могут быть использованы стандартные средства, такие как среда

Matlab), универсальностью (задачи в непрерывном и дискретном времени

рассматриваются единообразно, подход распространим на различные робаст-

ные постановки задачи, на построение линейной обратной связи как по со-

стоянию, так и по выходу), а также распространимостью на различные зада-

чи оптимального управления, такие как линейно-квадратичное управление,

H_∞-оптимизация и др.

Настоящая статья является естественным продолжением как [9-11], так

и [18]. В ней рассматривается подход к решению задачи разреженной филь-

трации фильтрации, использующей пониженное число выходов для си-

стем, подверженных воздействию произвольных ограниченных внешних воз-

мущений. Этот подход приводит к столбцово-разреженным матрицам филь-

тра при относительно малых потерях по критерию качества, позволяя избе-

жать комбинаторного перебора всевозможных комбинаций нулевых столбцов

в матрице фильтра. При этом в равном объеме рассматриваются как непре-

рывный, так и дискретный варианты задачи.

Всюду далее ∥·∥ евклидова норма вектора и спектральная норма матри-

цы, I единичная матрица соответствующей размерности, а все матричные

неравенства понимаются в смысле знакоопределенности матриц.

2. Разреженное управление

Напомним основные идеи упомянутого выше подхода к построению раз-

реженного управления. Пусть X ∈ R^n×p; введем в рассмотрение следующие

матричные нормы:

∑

∥X∥r1 =

max

|x_ij |,

∥X∥c1 =

max

|x_ij |.

1≤j≤p

1≤i≤n

i=1

j=1

Эти нормы хорошо известны: первая из них иногда называется rx-нормой или

ℓ_1,∞-нормой; ее основное применение восстановление строчно-разреженных

решений матричных уравнений [19]; аналогично r₁-норма восстанавливает

столбцово-разреженные решения.

В [18] установлен следующий результат.

Теорема 1. Если задача

min ∥X∥r1 при ограничении AX = B,

где A ∈ R^m×n, m < n, B ∈ R^m×p и X ∈ R^n×p, разрешима, то найдется ее

решение, имеющее не более m ненулевых строк.

Аналогичный результат может быть сформулирован для c₁-нормы и ну-

левых столбцов.

Развитый в [18] подход позволяет регулярным образом строить разрежен-

ные регуляторы в различных ситуациях. В частности, рассмотрим линейную

систему в непрерывном времени

(1)

x = Ax + Bu

с фазовым состоянием x ∈ Rⁿ и управлением u ∈ R^m, так что A ∈ R^n×n,

B ∈ R^n×m; пара (A,B) управляема. Задача состоит в синтезе разрежен-

ного стабилизирующего управления u = Kx, под которым понимается на-

личие у вектора управления нулевых компонент. Эта задача эквивалент-

на нахождению строчно-разреженной матрицы стабилизирующего регуля-

тора K ∈ R^m×n, т.е. имеющей некоторое количество нулевых строк.

Технические приемы, используемые для получения соответствующего ре-

зультата, понадобятся в дальнейшем изложении. Как хорошо известно, мат-

рица A + BK замкнутой системы устойчива тогда и только тогда, когда су-

ществует положительно-определенная матрица Q ≻ 0 такая, что

(A + BK)^⊤Q + Q(A + BK) ≺ 0.

Умножая это матричное неравенство слева и справа на P = Q^-1 и вводя но-

вую переменную Y = KP , приходим к линейному матричному неравенству

(2)

AP + P A^⊤ + BY + Y^⊤B^⊤

≺ 0, P ≻ 0,

относительно матричных переменных P = P^⊤ и Y . Тогда любой стабилизи-

рующий регулятор для системы (1) дается выражениемK

P^-1, где мат-

риц

Y удовлетворяют (2).

Ясно, что если матрицу, содержащую нулевые строки, умножить справа

на матрицу соответствующего размера, то эти же нулевые строки появятся

и в результирующей матрице; иными словами, умножение справа сохраняет

строчно-разреженную структуру матрицы. Поэтому если решени

Y линей-

ного матричного неравенства (2) является строчно-разреженным, то и соот-

ветствующий регуляторK строчно-разрежен. В свою очередь строчной раз-

реженности матрицы Y можно добиться, минимизируя ее r₁-норму. Таким

образом, справедливо

Утверждение[18].Решени

Y задачи выпуклого программирования

min ∥Y ∥r1 при ограничениях AP + P A^⊤ + BY + Y^⊤B^⊤ ≺ 0, P ≻ 0,

относительно матричных переменных P = P^⊤ ∈ R^n×n и Y ∈ R^m×n опреде-

ляет строчно-разреженный стабилизирующий регулятор K_sp

P^-1 для

системы (1).

Этот результат позволяет определить управления, стабилизирующие си-

стему; эти управления определяются номерами ненулевых строк матри-

цы K_sp. При этом, вообще говоря, нельзя гарантировать, что получившееся

решение обязательно окажется разреженным, однако наличие разреженности

можно ожидать в силу теоремы 1.

Эти идеи мы применим для решения задачи разреженной фильтрации,

формулируемой в следующем разделе.

3. Непрерывный случай

3.1. Задача фильтрации

Рассмотрим непрерывную систему

x = Ax + D₁w, x(0) = x₀,

(3)

y=Cx+D₂w,

где A ∈ R^n×n, D₁ ∈ R^n×m, D₂ ∈ R^l×m, C ∈ R^l×n, с фазовым состоянием

x(t) ∈ Rⁿ, наблюдаемым выходом y(t) ∈ R^l и внешним возмущением (шумом)

w(t) ∈ R^m, удовлетворяющим ограничению

(4)

∥w(t)∥ ≤ 1 при всех t ≥ 0;

пара (A, D₁) управляема, пара (A, C) наблюдаема.

Пусть состояние x системы недоступно измерению и информация о системе

предоставляется ее выходом y. Построим фильтр, описываемый линейным

дифференциальным уравнением относительно оценки состояния x, включаю-

щим в себя рассогласование выхода y и его прогноза Cx:

(5)

= Ax + L(y - Cx),

x(0) = 0,

где L ∈ R^n×l. Подчеркнем, что структура фильтра задается заранее он

является линейным стационарным, подлежит выбору лишь постоянная мат-

рица L. Эта структура такая же, как в известном наблюдателе Люенбергера.

Введем в рассмотрение невязку

e(t) = x(t) - x(t),

характеризующую точность фильтрации.

Задачей является нахождение минимального (в том или ином смысле) ин-

вариантного эллипсоида, содержащего невязку e. Идеология инвариантных

эллипсоидов для задач анализа и синтеза систем управления подробно осве-

щена в [12, 13]. Напомним, что эллипсоид

{

}

E_x =

x∈Rⁿ: x^⊤P^-1x≤1

P ≻ 0,

называется инвариантным для динамической системы, если из условия

x(0) ∈ E_x следует x(t) ∈ E_x для всех моментов времени t ≥ 0. Иными словами,

любая траектория системы, исходящая из точки, лежащей в эллипсоиде E_x,

в любой момент времени будет находиться в этом эллипсоиде при всех допу-

стимых внешних возмущениях, действующих на систему. Заметим, что в силу

свойства притягиваемости инвариантного эллипсоида при больших уклоне-

ниях оценивается асимптотическая, а при малых уклонениях и равномерная

по t точность фильтрации.

Отметим, что из условия наблюдаемости следует существование хотя бы

одного инвариантного эллипсоида (а управляемость гарантирует его полно-

мерность). Инвариантных эллипсоидов много, цель найти минимальный

из них при фиксированном стабилизирующем L, а затем добиться минимума

этого эллипсоида по L. Удобно считать тот эллипсоид минимальным, у ко-

торого минимален след его матрицы.

В [9] установлена справедливость следующей теоремы.

Теорема 2. ПустьQ

Y решение задачи

min tr H

при ограничениях

(

)

A^⊤Q + QA - Y C - C^⊤Y^⊤ + αQ QD₁ - Y D₂

≼ 0,

D^⊤1Q - D^⊤2Y^⊤

-αI

(H I)

≽ 0,

Q ≻ 0,

I Q

относительно матричных переменных Q = Q^⊤ ∈ R^n×n, Y ∈ R^n×l, H =

= H^⊤ ∈ R^n×n и скалярного параметра α > 0.

Тогда матрица оптимального фильтра дается выражением

L=Q-

а минимальный инвариантный эллипсоид, содержащий невязку систе-

мы (3), (5) с x₀ = 0, определяется матрицей

P =Q-1.

Отметим, что при фиксированном α задача, сформулированная в теоре-

ме 2, сводится к минимизации линейной функции при ограничениях, пред-

ставляющих собой линейные матричные неравенства, т.е. к задаче полу-

определенного программирования (Semi-Definite Programming, SDP), кото-

рая принадлежит к классу задач выпуклой оптимизации.

3.2. Разреженная фильтрация

Итак, будем искать разреженное решение задачи фильтрации для систе-

мы (3), (4). Заметим, что матрица фильтра L находится как L = Q^-1Y , поэто-

му если величина Y окажется столбцово-разреженной, то и соответствующая

матрица фильтра L будет столбцово-разреженной. В свою очередь столбцо-

вой разреженности матрицы Y можно добиться, минимизируя ее c₁-норму.

Таким образом, имеем следующий алгоритм, предполагающий выполнение

трех последовательных шагов.

Алгоритм 1.

Шаг 1. Решая задачу выпуклого программирования

(6)

min tr H

при ограничениях

(

)

A^⊤Q + QA - Y C - C^⊤Y^⊤ + αQ QD₁ - Y D₂

(7)

≼ 0,

D^⊤1Q - D^⊤2Y^⊤

-αI

(H I)

(8)

≽ 0,

Q ≻ 0,

I Q

относительно матричных переменных Q = Q^⊤ ∈ R^n×n, Y ∈ R^n×l, H = H^⊤ ∈

∈ R^n×n и скалярного параметра α > 0, находим величины Q^∗, Y ^∗, H^∗, опре-

деляющие матрицу оптимального фильтра

L^∗ = (Q^∗)^-1Y^∗,

матрицу

P^∗ = (Q^∗)^-1

минимального инвариантного эллипсоида для невязки и соответствующее оп-

тимальное значение функционала

J^∗ = tr H^∗.

Шаг 2. Имея оптимальное значение функционала J^∗, введем скалярный

коэффициент релаксации γ > 1 и решаем выпуклую задачу c₁-оптимизации:

(9)

min ∥Y ∥c1 при ограничениях (7), (8) и tr H ≼ γJ^∗

относительно матричных переменных Q = Q^⊤ ∈ R^n×n, Y ∈ R^n×l, H = H^⊤ ∈

∈ R^n×n и скалярного параметра α. В силу свойств c₁-нормы можно ожидать

появления нулевых столбцов в решени

Y₀ задачи (9).

Шаг 3. Решается исходная задача (6)-(8), где в матричной переменной Y

зафиксировано такое же расположение нулевых столбцов, что и в столб-

цово-разреженной матриц

Y₀. Ее решениеQ

Y доставляет столбцово-раз-

реженную матрицу фильтра

L=Q-

и матрицу

P =Q-1

соответствующего инвариантного эллипсоида для невязки.

Вопрос о выборе коэффициента релаксации γ весьма сложен; здесь трудно

дать какие-либо количественные оценки заранее. В [20] обсуждается зависи-

мость решений задачи вида (9) от величины γ и даются некоторые эвристи-

ческие подходы к выбору коэффициента релаксации.

Заметим, что для получения разреженного решения этой задачи методом

“грубой силы” понадобилось бы решить ее для всевозможных столбцово-раз-

реженных структур матрицы Y и выбрать лучшее по критерию качества;

иными словами, комбинаторного перебора избежать бы не удалось. В разде-

ле 5 будет показано, что предлагаемая процедура приводит к сильно разре-

женным матрицам фильтра при небольших потерях по критерию качества.

Замечание 1. В некоторых случаях имеется априорная информация о

начальном состоянии системы x(0) ∈ E₀, где

{

}

E₀ = x: x^⊤P^-10x ≤ 1

Тогда, выбирая x(0) = 0, можно гарантировать, что e(0) ∈ E₀. Если потребо-

вать, чтобы E₀ ⊂ E, то можно гарантировать, что e(t) ∈ E для всех t. Соответ-

ственно если к системе ограничений (7)-(8) в алгоритме 1 добавить условие

Q≼P^-10,

то получим не только асимптотическую, но и справедливую для всех момен-

тов времени оценку точности разреженной фильтрации.

Замечание 2. Нередко нужно оценивать качество фильтрации не всех

координат состояния x, а лишь некоторых. Пусть имеется выход y₁ = C₁x

(например, одна из координат состояния) и желательно сделать ошибку его

оценки

e₁ = y₁ - y₁ = C₁(x - x)

возможно малой. Решение этой задачи достигается заменой первого из усло-

вий (8) на

(

)

H C₁

≽ 0.

C^⊤1

4. Дискретный случай

Аналогичные результаты могут быть установлены и для линейной дис-

кретной системы

x_k+1 = Ax_k + D₁w_k,

(10)

y_k = Cx_k + D₂w_k

с некоторым начальным условием x₀, где A ∈ R^n×n, D₁ ∈ R^n×m, D₂ ∈ R^l×m,

C ∈ R^l×n, с состоянием x_k ∈ Rⁿ, наблюдаемым выходом y_k ∈ R^l и внешним

возмущением w_k ∈ R^m, удовлетворяющим ограничению

(11)

∥w_k

∥≤1

при всех k = 0, 1, 2, . . . ;

пара (A, D₁) управляема, пара (A, C) наблюдаема.

А именно построим фильтр, описываемый линейным разностным уравне-

нием с постоянной матрицей L относительно оценки состояния x_k:

(12)

xk+1 = Axk + L(yk - Cxk),

x₀

= 0,

где L ∈ R^n×l.

Введем в рассмотрение невязку

e_k = x_k - x_k.

Как и в непрерывном случае, задачей является нахождение матрицы L,

обеспечивающей минимальность инвариантного эллипсоида E, содержащего

невязку e_k.

Следующая теорема является дискретным аналогом Теоремы 2.

Теорема 3

[13]. ПустьQ

Y решение задачи

min tr H

при ограничениях





-αQ (QA - Y C)^⊤





QA - Y C

-Q

QD₁ - Y D₂ ≼ 0,

(QD₁ - Y D₂)^⊤

-(1 - α)I

(H I)

≽ 0,

Q ≻ 0,

I Q

относительно матричных переменных Q = Q^⊤ ∈ R^n×n, Y ∈ R^n×l, H =

= H^⊤ ∈ R^n×n и скалярного параметра 0 < α < 1.

Тогда матрица оптимального фильтра дается выражением

L=Q-

а минимальный инвариантный эллипсоид, содержащий невязку e_k систе-

мы (10), (12) с x₀ = 0, определяется матрицей

P =Q-1.

Процедура поиска разреженного решения задачи фильтрации для систе-

мы (10), (11) также предполагает выполнение трех последовательных шагов.

Алгоритм 2.

Шаг 1. Решая задачу выпуклого программирования

(13)

min tr H

при ограничениях





-αQ (QA - Y C)^⊤





(14)

QA - Y C

-Q

QD₁ - Y D₂ ≼ 0,

(QD₁ - Y D₂)^⊤

-(1 - α)I

(H I)

(15)

≽ 0,

Q ≻ 0,

I Q

относительно матричных переменных Q = Q^⊤ ∈ R^n×n, Y ∈ R^n×l, H =

= H^⊤ ∈ R^n×n и скалярного параметра α > 0, находим величины Q^∗, Y ^∗, H^∗,

определяющие матрицу оптимального фильтра

L^∗ = (Q^∗)^-1Y^∗,

матрицу

P^∗ = (Q^∗)^-1

минимального инвариантного эллипсоида для невязки и соответствующее оп-

тимальное значение функционала

J^∗ = tr H^∗.

Шаг 2. Имея оптимальное значение функционала J^∗, введем скалярный

коэффициент релаксации γ > 1 и решаем задачу выпуклого программирова-

ния

min ∥Y ∥c1 при ограничениях (14), (15) и tr H ≼ γJ^∗

относительно матричных переменных Q = Q^⊤ ∈ R^n×n, Y ∈ R^n×l, H =

= H^⊤ ∈ R^n×n и скалярного параметра α. В силу свойств c₁-нормы можно

ожидать появления нулевых столбцов в решени

Y₀ этой задачи.

Шаг 3. Решается исходная задача (13)-(15), где в матричной перемен-

ной Y зафиксировано такое же расположение нулевых столбцов, что и в

столбцово-разреженной матрице

Y₀. Ее решение

Y доставляет столб-

цово-разреженную матрицу фильтра

L=Q-

и матрицу

P =Q-1

соответствующего инвариантного эллипсоида для невязки.

Замечания 1 и 2 сохраняют свою силу и в дискретном случае.

Как показывают результаты численного моделирования, “плата” за ис-

пользование малого числа управлений/выходов проигрыш по критерию

качества обычно очень невелика.

5. Пример

Продемонстрируем предложенный подход к решению задачи разреженной

фильтрации на примере задачи HE3 из библиотеки COMPleib [21]. В ней со-

браны тестовые задачи, которые имеют прозрачное инженерное происхожде-

ние и часто используются для проверки эффективности алгоритмов управле-

ния. Рассматриваемая далее система описывает линеаризованную модель ди-

намики вертолета Bell201A-1 с восемью состояниями; соответствующие мат-

рицы системы (3) имеют следующий вид:





-0,0046

0,038

0,3259

-0,0045

-0,402

-0,073

-9,81





−0,1978

-0,5667

0,357

-0,0378

-0,2149

0,5683









0,0039

-0,0029

-0,2947

0,007

0,2266

0,0148













0,0133

-0,0014

-0,4076

-0,0654

-0,4093

0,2674

9,81

A=

,



0,0127

-0,01

-0,8152

-0,0397

-0,821

0,1442











−0,0285

-0,0232

0,1064

0,0709

-0,2786

-0,7396

















0,0676













-1,1151















0,0062



0,1

























-0,017

0

1









D₁ =



,

C =



,

D₂ =













-0,0129

























0,139

0 0 1 0 0 0 0 0

0,05













Полагая P₀ = 0,1I и воспользовавшись теоремой 2, на первом шаге алго-

ритма 1 получаем оптимальную матрицу фильтра





-3,3888

-0,4284

0,0451

0,7626

1,3802

-0,6771







1,2477

-10,8108

-0,0285

-0,2999

-0,4385

0,2334









0,5366

-0,1163

0,0020

0,0763

-0,0001

-0,1173









-0,0430

0,0292

9,8101

0,3401

-0,3954

-0,4499

L^∗ =





−0,3659

0,0901

1,0006

-0,1135

-0,4449

-0,5456









0,2883

1,3576

0,0020

-0,4210

0,0414

-0,0226









 6,9893

-0,7343

-0,0084

-1,0649

0,7739

0,0687



0,0073

0,0021

0,2791

0,0000

-0,0043

-0,0000

и соответствующий инвариантный эллипсоид для невязки со следом tr P^∗ =

= 1,1381.

На втором шаге, решая задачу c₁-оптимизации (9) при γ = 10, находим

матриц

Y₀ с двумя последними нулевыми столбцами порядка 10^-10:





-0,4093

-2,0441

0,1151

-0,1159

0,0000

-0,0000







0,4093

-2,0441

-0,2968

-0,2514

-0,0000

-0,0000







0,4093

2,0441

-1,0477

-0,0129

0,0000

-0,0000











0,0724

-0,3055

1,9967

0,2514

0,0000

-0,0000

Y₀ =





−0,4093

-0,3780

1,9967

-0,2514

-0,0000

0,0000











−0,4093

2,0441

1,1985

0,2514

0,0000

-0,0000









-0,2441

2,0441

1,9967

0,2514

0,0000

-0,0000

−0,0143

-0,4028

1,9967

0,0245

-0,0000

0,0000

Фиксируя эти строки как нулевые и вновь решая исходную задачу, на

третьем шаге получаем столбцово-разреженную матрицу фильтра





-1,4878

0,6754

0,0519

0,5895







0,7782

-11,1508

-0,3270

-0,2482

0







0,7283

0,0624

-0,0159

0,0733

0









−0,8973

-0,1698

9,9423

0,4216

0





−0,8263

-0,1289

1,0840

-0,0998

0









0,3308

1,3900

0,0164

-0,4074









 8,0516

-0,0006

-0,5781

-0,9786

0

0,1116

0,0000

0,3123

-0,0170

и матрицу





0,4183

-0,1314

0,0026

-0,0146

-0,0251

0,0179

-0,0083

-0,0147





-0,1314

0,1571

0,0013

0,0007

0,0069

-0,0076

0,0104

0,0050













0,0026

0,0013

0,1019

-0,0044

-0,0030

-0,0000

0,0055

-0,0010









−0,0146

0,0007

-0,0044

0,1105

0,0076

-0,0004

-0,0125

0,0026



P =





−0,0251

0,0069

-0,0030

0,0076

0,1062

-0,0011

-0,0077

0,0024













0,0179

-0,0076

-0,0000

-0,0004

-0,0011

0,1010

-0,0010

-0,0007









-0,0083

0,0104

0,0055

-0,0125

-0,0077

-0,0010

0,1170

-0,0022

−0,0147

0,0050

-0,0010

0,0026

0,0024

-0,0007

-0,0022

0,1011

инвариантного эллипсоида для невязки со следом

P = 1,2131.

Таким образом, построен разреженный фильтр не использующий выхо-

ды y₅ и y₆, причем проигрыш по критерию качества составил всего 6,5 %.

На рис. 1 сплошной линией показана траектория x₁(t) при начальном

условии x₁(0) = · · · = x₈(0) = 0,01 и допустимом (в данном случае ступен-

чатом) внешнем возмущении; штриховой линией показана ее оптимальная

-2

-4

-6

-8

-40

-30

-20

-10

x₁(t)

Рис. 3. Проекция траектории системы и ее оценок на плоскость (x₁, x₄).

ветственно. В силу неустойчивости исходной системы область, содержащая

ее траектории, является неограниченной.

6. Заключение

Предложен простой и универсальный подход к решению задачи разрежен-

ной фильтрации использующей пониженное число выходов при произ-

вольных ограниченных внешних возмущениях с использованием наблюдате-

ля. Подход основан на методе инвариантных эллипсоидов и технике линей-

ных матричных неравенств. Применение этой концепции позволило свести

исходную проблему к задаче полуопределенного программирования, легко

решающейся численно.

Подход отличается простотой и легкостью реализации и в равной мере

охватывает как непрерывную, так и дискретную постановки задачи. Эффек-

тивность предлагаемой процедуры продемонстрирована на тестовом примере.

В дальнейшем автор планирует распространить полученные результаты

на робастные постановки задачи, в частности на системы вида

x = (A + FΔH)x + Dw

с матричной неопределенностью Δ ∈ R^p×q, ограниченной в спектральной нор-

ме ∥Δ∥ ≤ 1, и заданными матрицами F , H соответствующих размерностей.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Zennaro F.M., Chen K. Towards Understanding Sparse Filtering: A Theoretical

Perspective // Neural Networks. 2018. V. 98. P. 154-177.

Zhang Z., Li S., Wang J., Xin Y., An Z. General Normalized Sparse Filtering:

A Novel Unsupervised Learning Method for Rotating Machinery Fault Diagnosis //

Mech. Syst. Signal Processing. 2019. V. 124. P. 596-612.

Han C., Lei Y., Xie Y., Zhou D., Gong M. Visual Domain Adaptation Based on

Modified A-Distance and Sparse Filtering // Pattern Recognition. 2020. V. 104.

Art. 107254.

Schweppe F.C. Uncertain Dynamic Systems. NJ: Prentice Hall, 1973.

Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.:

Наука, 1977.

Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. М.:

Наука, 1988.

Фурасов В.Д. Задачи гарантированной идентификации. М.: Бином, 2005.

Chernousko F., Polyak B. (eds.) Special Issue on Set-Membership Modelling of Un-

certainties in Dynamical Systems // Math. Comp. Modelling Dynam. Syst. 2005.

V. 11. Iss. 2. P. 123-124.

Поляк Б.Т., Топунов М.В. Фильтрация при неслучайных возмущениях: метод

инвариантных эллипсоидов // Докл. РАН. 2008. Т. 418. № 6. С. 749-753.

Polyak B.T., Topunov M.V. Filtering under Nonrandom Disturbances: The Method

of Invariant Ellipsoids // Doklady Mathematics. 2008. V. 77. No. 1. P. 158-162.

10.

Хлебников М.В. Робастная фильтрация при неслучайных возмущениях: метод

инвариантных эллипсоидов // АиТ. 2009. № 1. С. 147-161.

Khlebnikov M.V. Robust Filtering under Nonrandom Disturbances: The Invariant

Ellipsoid Approach // Autom. Remote Control. 2009. V. 70. No. 1. P. 133-146.

11.

Хлебников М.В., Поляк Б.Т. Фильтрация при произвольных ограниченных

внешних возмущениях: техника линейных матричных неравенств

13-я

Мультиконференция по проблемам управления (МКПУ-2020). Матер. XXXII

Конференции памяти выдающегося конструктора гироскопических приборов

Н.Н. Острякова. Санкт-Петербург, 6-8 октября 2020 г. СПб.: Концерн “ЦНИИ

“Электроприбор”, 2020. С. 291-294.

12.

Boyd S., El Ghaoui L., Feron E., Balakrishnan V. Linear Matrix Inequalities in

System and Control Theory. Philadelphia: SIAM, 1994.

13.

Поляк Б.Т., Хлебников М.В., Щербаков П.С. Управление линейными система-

ми при внешних возмущениях. Техника линейных матричных неравенств. М.:

ЛЕНАНД, 2014.

14.

Donoho D.L. Compressed Sensing // IEEE Trans. Inform. Theory. 2006. V. 52.

P. 1289-1306.

15.

Kim S.-J., Koh K., Boyd S., Gorinevsky D. ℓ₁-Trend Filtering // SIAM Rev. 2009.

V. 51. No. 2. P. 339-360.

16.

Lin F., Fardad M., Jovanović M. Sparse Feedback Synthesis via the Alternating

Direction Method of Multipliers // Proc.

2012 Amer. Control Conf. Montreal,

Canada, June 27-29, 2012. P. 4765-4770.

17.

Lin F., Fardad M., Jovanović M. Augmented Lagrangian Approach to Design of

Structured Optimal State Feedback Gains // IEEE Trans. Automat. Control. 2011.

V. 56. No. 12. P. 2923-2929.

18.

Polyak B.T., Khlebnikov M.V., Shcherbakov P.S. An LMI Approach to Structured

Sparse Feedback Design in Linear Control Systems // Proc. 12th Eur. Control Conf.

(ECC’13). Zürich, Switzerland, July 17-19, 2013. P. 833-838.