Автоматика и телемеханика, № 2, 2022

Линейные системы

Д.В. ТИТОВ, д-р техн. наук (amazing2004@inbox.ru)

(Юго-Западный государственный университет, Курск)

БИФУРКАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ ШИРОТНО-ИМПУЛЬСНОЙ

СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ¹

Исследуются локальные бифуркации в системе управления с широтно-

импульсной модуляцией первого рода (ШИМ-1), состояние которой опи-

сывается кусочно-гладким отображением. Показано, что в импульсных

системах наряду с классическими возможны так называемые бифурка-

ции граничного столкновения (¾border collision bifurcations¿), не имею-

щие аналогов в гладких системах. С использованием кусочно-линейного

непрерывного отображения в качестве нормальной формы описаны ос-

новные бифуркационные переходы.

Ключевые слова: широтно-импульсная модуляция, кусочно-гладкое отоб-

ражение, бифуркация граничного столкновения, нормальная форма.

DOI: 10.31857/S0005231022020040

1. Введение

Рассмотрим импульсную систему, состоящую из непрерывной линейной

части и широтно-импульсного модулятора

[1-4]. Поведение такой системы

описывается дифференциальным уравнением с разрывной правой частью

[2, 4, 5]

(1)

x + x = f, x ∈ R, σ = q - x,

T₀

где x - выход системы; x - производная x по безразмерному времени t_∗ = t/T₀;

T₀ - период модуляции; T - постоянная времени; q - внешнее воздействие;

σ, f - сигналы на входе и выходе модулятора, осуществляющего ШИМ-1:

{

k≤t_∗ <k+z_k;

f =

k + z_k ≤ t_∗ < k + 1.

¹ Работа поддержана Минобрнауки РФ, грант ¾Реализация программы стратегическо-

го академического лидерства Приоритет-2030¿ (соглашения № 075-15-2021-1155, № 075-15-

2021-1213).

Рис. 1. Кусочно-гладкое отображение: а - обратимое; б - необратимое: c_L =

α - 0,5

,c_R =q.

Здесь z_k - относительная ширина импульса (коэффициент заполнения):



0,

σ_k ≥ 0;





2α

z_k =

σ_k,

0<σ_k <

;



2α



1,

σ_k ≤

2α

σ_k = q - x_k, x_k = x(k),

где α - коэффициент усиления.

Из уравнения (1) получено кусочно-гладкое стробоскопическое отображе-

ние F : R → R (см., например, [6-8])

(2)

x → F(x),



α - 0,5



FL(x) = b(x - 1) + 1, x ≤ q

;





α - 0,5

F (x) =

FM(x) = b(x - 1) + b^(1-z), q

<x<q;





FR(x) = bx, x ≥ q,

q-x

b = e^λ, λ = -T₀/T,

0 < b < 1,0, z = 2α

α > 0,5.

Здесь F_L(x), F_R(x) - линейные функции, отвечающие насыщению модуля-

тора, а F_M(x) - нелинейная функция. Точки x = c_L и x = c_R являются гра-

ницами областей определения F_L(x), F_M(x) и F_R(x) [9] или многообразиями

переключения (¾switching manifold¿) [9]. Как показано на рис. 1, в зависимо-

сти от параметров функция F (x) может быть обратимой или необратимой.

Прежде чем продолжить, отметим некоторые свойства (2).

⋄ Точка x ∈ I, I⊆R, которая отображается за одну итерацию F в точку

x^′ = F(x), называется образом ранга один точки x.

⋄ Любая точка x, такая что F (x) = x^′, называется прообразом ранга один

точки x^′ или x^′ = F^-1(x), где F^-1(x) - обратная функция.

⋄ Точка x называется неподвижной, если

F (x) - x = 0,

и m-периодической (m > 0), если

F^m(x) - x = 0.

⋄ Если x есть m-периодическая точка, то она является km-периодической

для любого положительного целого k. Поэтому под m понимается наи-

меньший период.

В статье рассматривается случай, приведенный в [2], когда F (x) имеет

два локальных экстремума в точках недифференцируемости (рис. 1,б ): мак-

симум в x = c_L = q^α-0,5α и минимум в x = c_R = q. Локальные экстремумы

отображаются в так называемые критические точки [9, 10] c₀ = F_L(c_L) =

= bq^α-0,5α - b + 1, c₁ = F_R(c_R) = bq, являющиеся образами ранга один точек

c_L и c_R соответственно. Точки c₀, c₁ делят прямую x ∈ R на три открытые об-

ласти. В области c₁ < x < c₀ каждая точка имеет три прообраза ранга один,

а в двух областях x ≤ c₁ и x ≥ c₀ - только один прообраз ранга один.

Таким образом, в рассматриваемом случае отображение (2) принадлежит

к классу Z₁ - Z₃ - Z₁ [9, 10]. Из (2) видно, что при α → ∞ отображение (2)

становится разрывным. Напомним, что если отображение разрывное, то роль

критических точек c₀, c₁ играют предельные значения функций F_L/R(x) в

точке разрыва: c₀ = lim

FL(x), c1 = lim

FR(x) [9].

x→q

Параметры модели: 0,5 < q < 1,25; λ = -0,2; α > 0,5.

В (2) возможны разные типы неподвижных точек. Неподвижные точки,

удовлетворяющие линейным уравнениям

FL(x) - x = 0 или FR(x) - x = 0,

соответствуют состояниям равновесия (1), а неподвижная точка, удовлетво-

ряющая

FM(x) - x = 0,

отвечает периодическому решению (1) с периодом модуляции.

При вариации параметров неподвижная точка попадает на одну из гра-

ниц (¾switching manifolds¿) c_L или c_R, разделяющих области определения

функций F_L(x), F_M(x) или F_M(x), F_R(x) (рис. 1). Это приводит к специфи-

ческим изменениям топологической структуры фазового пространства из-за

нарушения условия существования неподвижной точки. Подобные тополо-

гические перестройки фазового пространства кусочно-гладких отображений

названы H.E. Nusse и J.A. Yorke бифуркациями граничного столкновения

(¾border collision bifurcations¿) [11-13]. Однако следует заметить, что такие

бифуркации впервые были исследованы М.И. Фейгиным еще в семидесятых

годах задолго до появления работ H.E. Nusse и J.A. Yorke и названы им

¾С-бифуркациями¿ [14-17].

Работы М.И. Фейгина [14-17] долгое время оставались малоизвестными.

В конце 90-х гг. положение изменилось, после того как в 1999 г. была опубли-

кована работа [18], главной целью которой, как отмечают авторы, является

систематизация ранних результатов М.И. Фейгина в контексте современной

бифуркационной теории и представление их более широкой аудитории.

Бифуркации граничного столкновения не имеют аналогов в гладких ди-

намических системах и включают чрезвычайно большое многообразие нели-

нейных явлений, например удвоение или ¾умножение¿ периода колебаний,

одновременное возникновение нескольких сосуществующих аттракторов или

рождение из неподвижной точки хаотического аттрактора [11, 19-22].

Исследование нелинейных явлений, индуцированных такими бифуркация-

ми, представляет одну из актуальных задач современной нелинейной динами-

ки и стимулируется потенциальными приложениями результатов во многих

областях науки и техники. Сюда относятся приложения к силовой электрони-

ке и теории управления, механике, а также биологии, экономике и социаль-

ным наукам [20-22]. Сейчас по этому кругу вопросов существуют солидный

список монографий и огромное число статей. Обзор этих исследований можно

найти, например, в [23, 24], там же имеется обширная библиография.

Представленная работа посвящена изучению локальных бифуркаций

в широтно-имульсной системе управления. Такие системы описываются

кусочно-гладкими отображениями, в которых помимо классических бифур-

каций, связанных с устойчивостью инвариантных множеств, возможны так

называемые бифуркациии граничного столкновения (¾border collision bifur-

cations¿).

Известно, что в качестве нормальной формы для кусочно-гладких отоб-

ражений часто используется кусочно-линейное непрерывное отображение

(¾skew tent map¿) [9, 25]. Такая нормальная форма строится посредством ли-

неаризации отображения (2) в окрестности неподвижной точки, лежащей на

многообразии переключения. С помощью такого подхода описаны основные

бифуркационные переходы.

2. Бифуркационные явления в широтно-импульсной системе

Периодическому режиму с периодом модуляции, как было отмечено в

предыдущем разделе, отвечает неподвижная точка отображения (2), удов-

летворяющая уравнениям:

(3)

b(x - 1) + b^(1-z) - x = 0; q - x -

z = 0.

2α

Переменную x в (3) можно исключить. Для этого из первого уравнения (3)

выразим x и подставим во второе. В результате получим трансцендентное

уравнение относительно z:

b^(1-z) - b

(4)

ξ(z) = q -

z = 0,

0 ≤ z ≤ 1.

1-b

2α

Уравнение (4) называется уравнением периодов [4]. Из (4) видно, что функ-

ция ξ(z) монотонно убывающая. Для существования решения уравнения (4)

достаточно выполнения условия [4]

(

q )

ξ(0)ξ(1) < 0, или q q - 1 -

<0⇔ q-1-

< 0.

2α

Пусть z_∗ - наименьший неотрицательный корень уравнения (4). Тогда

неподвижная точка x_∗ находится по формуле

b(1-z∗) - b

x_∗ =

1-b

Локальная устойчивость x_∗ определяется неравенством

2λα

(5)

-1 < F^′M(x_∗) < 1, F^′M(x_∗) = b +

b1-z∗.

Производная F^′M(x_∗) называется мультипликатором неподвижной точ-

ки. Нарушение условия (5) приводит, например, к удвоению периода коле-

баний. Такая бифуркация отвечает тем значениям параметров, при кото-

рых неподвижная точка x_∗ становится негиперболической с мультипликато-

ром F^′M(x_∗) = -1. Это негрубое состояние (бифуркационное). Как известно,

устойчивость негиперболической неподвижной точки с мультипликатором -1

определяется знаком производной Шварца:

SF_M(x_∗) = -F^′′′M(x_∗) -

[F^′′M(x_∗)]².

Неподвижная точка асимптотически устойчива, если SF^′M(x_∗) < 0, и

неустойчива, если SF^′M(x_∗) > 0. При переходе через бифуркационное значе-

ние параметра происходит удвоение периода колебаний, а неподвижная точка

продолжает существовать, но становится неустойчивой.

В зависимости от знака производной Шварца различают два типа бифур-

каций удвоения периода: суперкритическую, если SF_M(x_∗) < 0, и субкрити-

ческую, если SF_M(x_∗) > 0. Субкритическая называется ещe ¾опасной¿ или

¾жeсткой¿, поскольку при переходе бифуркационного значения параметра

происходит внезапная (жeсткая) смена характера динамики.

На рис. 2,а приведена бифуркационная диаграмма, иллюстрирующая ос-

новные стадии перехода от регулярных колебаний к хаотическим при вариа-

ции коэффициента усиления α. В точке α = α_Flip из неподвижной точки рож-

дается устойчивый цикл с периодом 2 через классическую суперкритическую

бифуркацию удвоения периода (см. рис. 2,б ).

Рис. 2. а - Бифуркационная диаграмма, иллюстрирующая переход от регуляр-

ных колебаний к хаосу при q = 0,8 и 3,4 < α < 6,0. б - Бифуркация удвоения

периода и простого изменения типа решения (¾border collision persistence¿).

При дальнейшем изменении параметра α сначала устойчивый 2-цикл ме-

няет тип через так называемую бифуркацию простого изменения типа ре-

шения [17] (в [9, 22] названа ¾border collision persistence¿), когда одна из то-

чек 2-цикла сталкивается с многообразием переключения c_L = q^α-0,5α (см.

рис. 2,б ).

В результате такого перехода устойчивая периодическая орбита одного ти-

па с символической характеристикой M² переходит в устойчивую периодиче-

скую орбиту другого типа LM, но того же периода. Затем устойчивый 2-цикл

LM снова претерпевает суперкритическую бифуркацию удвоения периода.

Далее реализуется бифуркация, приводящая к мягкому рождению 4-полос-

ного хаотического аттрактора (4-band chaotic attractor).

Здесь характеристика M² обозначает, что обе точки цикла периода 2 ле-

жат в области определения F_M(x). Cимволы LM введены для обозначения

другого типа 2-цикла, когда одна периодическая точка лежит в области опре-

деления F_L(x), а другая - в области определения F_M(x) (см. [7, 9, 19, 25]).

3. Бифуркации граничного столкновения и численные эксперименты

Применительно к неподвижной точке бифуркация граничного столкнове-

ния связана с нарушением условия существования решения уравнения перио-

дов (4), когда x_∗ попадает на левую границу области определения F_M(x):

(6)

x_∗ = c_L = q -

2α

Граница такой бифуркации на плоскости параметров α и q, отвечающая

нарушению условия существования решения уравнения периодов (4), опре-

деляется как

{

}

L_BCB = (α,q)|q - 1 -

2α

Рассмaтриваемая здесь методика естественным образом обобщается на

цикл любого периода m. Достаточно перейти к m-й итерации функции F .

Подход основан на следующем утверждении [25] (см. также [17]).

Утверждение 1. Рассмотрим семейство одномерных кусочно-гладких

непрерывных отображений F : I → I, I ⊆ R, зависящее от параметра r и

определяемое как

(7)

x → F(r,x).

Пусть c_B - многообразие переключения (¾border¿) отображения (7). По-

требуем, чтобы x = c_B при некотором c_B и для этого же самого значения c_B

выполнялось условие

F (r_∗, c_B) - c_B = 0.

Определим



∂F(r_∗,x)



a_L =

a_R =



∂x

x=c_B-0

x=c_B+0

Тогда в общем случае бифуркация граничного столкновения, возникающая

в (7) при r = r_∗, та же самая, что и в кусочно-линейном отображении

(¾skew tent map¿)

x → f(x),

{

a_Lx + µ,

eсли x < 0,

(8)

f (x) =

a_Rx + µ,

eсли x > 0,

при µ = 0.

Заметим, что здесь рассматриваются бифуркации, возникающие в точ-

ке µ = 0,0, когда бифуркационный параметр µ меняет знак с ¾минуса¿ на

¾плюс¿ или наоборот. В общем случае в качестве бифуркационного можно

выбрать любой из трех параметров a_L, a_R, µ [9, 25].

Далее покажем, что параметры нормальной формы (8) можно получить в

виде явной зависимости от параметров отображения (2). Изложенная здесь

методика получения параметров нормальной формы в точности совпадает с

той, которая представлена в [26] для анализа бифуркации рождения замкну-

той инвариантной кривой.

Начнем с небольшого предварительного замечания. Мультипликатор есть

F^′L(x_∗) = b, 0 < b < 1 и, следовательно, неподвижная точкa x_∗ = c_L = 1 устой-

чива.

Это означает, что в рассматриваемой системе бифуркации граничного

столкновения возникают, когда неподвижная точка пересекает многообразие

переключения c_L, отвечающее границе, разделяющей области определения

функций F_L(x) и F_M(x). Но в случае бифуркаций более сложных инвариан-

тых множеств, например периодических орбит, надо рассматривать обе гра-

ницы F_M(x).

Рис. 4. Рождение двухполосного хаотического аттрактора из неподвижной

точки. а - Бифуркационная диаграмма для отображения (2) при α = 6,5 и

1,105 < q < 1,11. б - Бифуркационная диаграмма для нормальной формы (8):

a_L = b, a_R = b+2λα-λ. в - До бифуркации µ < 0,0. г - В точке бифуркации

µ = 0,0. д - После бифуркации µ > 0,0.

где µ < 0, если q > q_∗; µ > 0, если q < q_∗; µ = 0, если q = q_∗. Здесь и далее

q_∗ =^αα-0,5 - точка бифуркации, лежащая на границе L_BCB.

Фазовое пространство отображения (8) делится на две области L =

= {x ∈ R : x < 0} и R = {x ∈ R : x > 0}. Неподвижные точки в областях L

иR

x^∗L =

≤0

и x^∗R =

≥ 0.

1-a_L

1-a_R

Поскольку бифуркация возникает при µ = 0,0, то в точке бифуркации

получаем x^∗L = x^∗R = 0. Устойчивость x^∗L/R определяется коэффициентами

a_L,a_R: неподвижная точка x^∗L/R устойчива, если |a_L/R| < 1,0, и неустойчива,

если |a_L/R| > 1,0.

Из (9) видно, что коэффициент a_L = b = const. В зависимости от величи-

ны a_R можно наблюдать большое многообразие нелинейных явлений, напри-

мер удвоение или умножение периода колебаний, рождение многополосного

хаотического аттрактора в результате единственной бифуркации (за подроб-

ностями отсылаем к [9, 20-22]).

Приведeм несколько численных примеров, показывающих роль нормаль-

ной формы (8) в прогнозировании нелинейных явлений в широтно-импульс-

ной системе управления.

На рис. 3,a приведена бифуркационная диаграмма, иллюстрирующая би-

фуркацию удвоения периода при переходе через границу L_BCB при α = 5,25.

На рис. 3,б показаны результаты исследований с помощью нормальной фор-

мы (8). Значение коэффициента a_R отвечает точке (α, q), лежащей на границе

L_BCB при α = 5,25, определяемой уравнением q - 1 -^q2α = 0. На рис. 3,в-3,д

изображены итерационные диаграммы, показывающие бифуркационный пе-

реход. Как видно из этих диаграмм, в точке бифуркации µ = 0,0 существует

асимптотически устойчивая неподвижная точка x^∗L = x^∗R = 0,0. После бифур-

кации при µ > 0,0 возникают неустойчивая неподвижная точка x^∗R и устой-

чивый цикл с периодом 2, причем одна точка 2-цикла находится в области L,

а другая в области R (см. рис. 3,д). На рис. 4 изображен бифуркационный

переход для α = 6,5, при котором из неподвижной точки возникает двухпо-

лосный хаотический аттрактор.

4. Выводы

Импульсные системы автоматического управления описываются кусочно-

гладкими отображениями. В таких динамических системах помимо класси-

ческих локальных бифуркаций, связанных с устойчивостью инвариантных

множеств, возможны нелинейные явления, индуцированные бифуркациями

граничного столкновения, не имеющие аналогов в гладких динамических си-

стемах.

Известно, что в качестве нормальной формы можно использовать кусочно-

линейное непрерывное отображение. С помощью такого подхода описаны ос-

новные локальные бифуркации в широтно-импульсной системе управления.

Благодарности

Работа выполнена в Международной научной лаборатории динамики

негладких систем Юго-Западного государственного университета под руко-

водством проф. Ж.Т. Жусубалиева (Zh.T. Zhusubaliyev)

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Кипнис М.М. Фазовые потреты широтно-импульсных систем // АиТ. 1990. № 12.

С. 105-115.

Kipnis M.M. Phase portraits of impulse-modulated systems // Autom. Remote Con-

trol. 1990. V. 51. No. 12. P. 1693-1701.

Кипнис М.М. Хаотические явления в детерминированной одномерной широтно-

импульсной системе управления // Техническая киберненика. 1992. № 1. С. 108-

112.

Кипнис М.М. Символическая и хаотическая динамика широтно-импульсной си-

стемы управления // Докл. РАН. 1992. Том 324. № 2. С. 273-276.

Гелиг А.Х., Чурилов А.Н. Колебания и устойчивость нелинейных импульсных

систем. СПб.: Изд-во. СПб. ун-та., 1993.

Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правoй частью. М.:

Наука, 1985.

Розенвассер Е.Н. Периодически нестационарные системы управления. М.: Нау-

ка, 1973.

Avrutin V., Mosekilde E., Zhusubaliyev Zh.T., Gardini L. Onset of Chaos in a Single-

Phase Power Electronic Inverter // Chaos. 2015. No. 25. P. 043114-1-043114-14.

Avrutin V., Zhusubaliyev Zh.T., Mosekilde E. Cascades of Alternating Pitchfork and

Flip Bifurcations in H-bridge Inverters // Physica D. 2017. No. 345. P. 27-39.

Avrutin V., Gardini L., Sushko I., Tramontana F. Continuous and Discontinuous

Piecewise-Smooth One-Dimensional Maps: Invariant Sets and Bifurcation Struc-

tures. Singapore: World Scientific, 2019.

10.

Mira C., Gardini L., Barugola A., Cathala J.C. Chaotic Dynamics in Two-

Dimensional Noninvertible Maps. Singapore: World Scientific, 1996.

11.

Nusse H.E., Yorke J.A. Border-Collision Bifurcations Including “Period Two to Pe-

riod Three” for Piecewise Smooth Systems // Physica D. 1992. V. 57. No. 1-2.

P. 39-57.

12.

Nusse H.E., Yorke J.A. Border-Collision Bifurcation: An Explanation for Observed

Bifurcation Phenomena // Physical Review E. 1994. V. 49. P. 1073-1076.

13.

Nusse H.E., Yorke J.A. Border-Collision Bifurcations for Piecewise Smooth One

Dimensional Maps // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1995. V. 5. No. 1. P. 189-207.

14.

Фейгин М.И. Удвоение периода колебаний при С-бифуркациях в кусочно-

непрерывных системах // ПММ. 1970. Т. 34. Вып. 5. С. 861-869.

15.

Фейгин М.И. О рождении семейства субгармонических режимов в кусочно-

непрерывной системе // ПММ. 1974. Т. 38. Вып. 5. С. 810-818.

16.

Фейгин М.И. О структуре С-бифуркационных границ кусочно-непрерывных си-

стем // ПММ. 1978. Т. 42. Вып. 5. С. 820-819.

17.

Фейгин М.И. Вынужденные колебания систем с разрывными нелинейностями.

М.: Наука, 1994.

18.

Di Bernardo M., Feigin M.I., Hogan S.J., Homer M.E. Local Analysis of C-bifur-

cations in n-Dimensional Piecewise-Smooth Dynamical Systems // Chaos, Solitons

and Fractals, 1999. V. 19. No. 11. P. 1881-1908.

19.

Banerjee S., Ranjan P., Grebogi C. Bifurcations in Two-Dimensional Piecewise

Smooth Maps: Theory and Applications in Switching Circuits // IEEE Trans. Circ.

Syst. I. 2000. V. 47. No. 5. P. 633-643.

20. Banerjee S., Verghese C.C. (Eds.) Nonlinear Phenomena in Power Electronis. New

York: IEEE Press, 2001.

21. Zhusubaliyev Zh.T., Mosekilde E. Bifurcations and Chaos in Piecewise-Smooth Dy-

namical Systems. Singapore: World Scientific, 2003.

22. Di Bernardo M., Budd C.J., Champneys A.R., Kowalczyk P. Piecewise-Smooth Dy-

namical Systems: Theory and Applications. London: Springer-Verlag, 2008.

23. Di Bernardo M., Budd C.J., Champneys A.R., Kowalczyk P., Nordmark A.B,

Tost G.O., Piiroinen P.T. Bifurcations in Nonsmooth Dynamical Systems // SIAM

Review. 2008. V. 50. P. 629-701.

24. Simpson D.J.W. Border-Collision Bifurcations in R^N // SIAM Review. 2016. V. 58.

P. 177-226.

25. Sushko I., Avrutin V., Gardini L. Bifurcation Structure in the Skew Tent Map and

its Application as a Border Collision Normal Form // J. Difference Equat. Appl.

2016. V. 22. No. 8. P. 1040-1087.

26. Zhusubaliyev Zh.T., Mosekilde E. Equilibrium-Torus Bifurcation in Nonsmooth Sys-

tems // Physica D. 2008. V. 237. No. 7. P. 930-936.

Статья представлена к публикации членом редколлегии А.П. Крищенко.

Поступила в редакцию 31.12.2020

После доработки 08.10.2021

Принята к публикации 15.10.2021