Автоматика и телемеханика, № 2, 2022

Нелинейные системы

(Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)

РЕЖИМ ЦИКЛА В СВЯЗАННОЙ КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ¹

Предлагается схема управления колебаниями, в которой в рамках свя-

занной системы режим цикла Ван-дер-Поля навязывается консерватив-

ной системе, допускающей семейство периодических движений. Находит-

ся действующее управление, строится цикл, определяется область притя-

жения к циклу, даются закон управления и алгоритм асимптотического

выхода связанной системы на режим цикла.

Ключевые слова: уравнение Ван дер Поля, консервативная система, се-

мейство колебаний, управление, цикл, схема управления, область притя-

жения.

DOI: 10.31857/S0005231022020064

1. Введение. Постановка задачи

При исследовании модели, содержащей связанные подсистемы (МССП),

в [1] предлагается выбирать связи, обеспечивающие одновременно существо-

вание, устойчивость и стабилизацию колебаний связанной системы. Тогда

связь действует как управление, а задача стабилизации решается естествен-

ным образом, т.е. без привлечения других управлений. В частности, связь

может замыкать систему на себя: конструируется управляемая система с об-

ратной связью.

Пример такого управления находится в уравнении Ван дер Поля, в кото-

ром действие ε-малой силы на линейный осциллятор приводит к существова-

нию орбитально асимптотически устойчивого цикла. Само управление дает-

ся нелинейной диссипацией, линейной по скорости и приложенной в текущей

точке траектории осциллятора Ван дер Поля. В результате через обратную

связь системе навязывается режим цикла. При этом действие управления

оказывается глобальным уже с малым ε. Физически диссипация реализуется

в мягком режиме функционирования триода.

Возникает мысль использовать осциллятор Ван дер Поля в рамках слабо

связанной МССП для навязывания режима цикла другой системе. Реализа-

ция этой идеи приведет к конструированию управляемой системы, в качестве

рабочего режима которой будет притягивающий цикл.

¹ Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фунда-

ментальных исследований (проект № 19-01-00146а).

В данной статье рассматривается система, включающая в себя уравнение

Ван дер Поля и слабо связанную с ней консервативную механическую систе-

му, в которой одночастотные колебания образуют семейство Σ по парамет-

ру h постоянной интеграла энергии. В системе осциллятор Ван дер Поля

генерирует одностороннюю связь управление, настраивающую консерва-

тивную систему на режим орбитально асимптотически устойчивого колеба-

ния, близкого к одному колебанию из Σ. Цикл представляет собой изолиро-

ванное периодическое решение автономной системы. Связь не зависит явно от

времени в каждой инвариантной области фазового пространства: связанная

система кусочно-непрерывна.

Уравнение Ван дер Поля широко используется в составе связанных си-

стем (см., например, [2-4]) при моделировании нелинейных колебаний. Одна-

ко этот осциллятор не рассматривался в качестве управляющего звена систе-

мы управления. В [5] решалась задача об орбитальной стабилизации (в ма-

лом) периодических решений малоприводных нелинейных механических си-

стем (с числом независимых приводов на единицу меньше числа степеней

свободы неуправляемой консервативной системы). Синтезированный нели-

нейный закон управления с обратной связью зависит от времени.

2. Связанная система

Исследуется связанная система

x + ω²x = ε(1 - Kx²)x,

d ∂L

∂L

= kε(1 - Kx²)u_s(q,

˙q), s = 1, . . . , n,

(1)

dt ∂

q_s

∂q_s

∑

L = T - Π(q), T =

a_sj(q)qsqj.

s=1,j=1

В уравнении Ван дер Поля через ω обозначена частота линейного осцил-

лятора, K - параметр, принимающий положительные значения. Действие

осциллятора Ван дер Поля на механическую систему передается через функ-

цию (1-Kx²), которая вместе с множителями kεu_s осуществляет односторон-

нюю связь между двумя подсистемами: осциллятор Ван дер Поля генерирует

связь-управление для консервативной системы. Функции u_s зависят от век-

торов обобщенных координат q и скоростей

˙q. Для слабой связи параметр ε

принимает близкие к нулю значения; параметр также может интерпретиро-

ваться как малый коэффициент регулятора. Число k равно 1 или (-1).

При ε = 0 система (1) распадается на независимые подсистемы. Фазовое

пространство консервативной системы симметрично относительно неподвиж-

ного множества M = {q,

q=0}.Наодночастотных колебаниях скорость

в некоторый момент времени обращается в нуль, а траектория пересекает M.

Когда пересечение происходит в двух разных точках множества M, получа-

ется симметричное периодическое движение (СПД). Необходимые и доста-

точные условия существования СПД периода T записываются в виде:

(2)

q_s(q⁰¹,... ,q⁰ⁿ,τ) = 0, τ = 0, T/2, s = 1,...,n,

где через q⁰ = (q⁰¹, . . . , q⁰ⁿ), q⁰ ∈ M, обозначается начальная точка СПД при

t = 0.

При τ = 0 система (2) совместна. При τ = T/2 получается система из

n уравнений c n + 1 неизвестными. Следовательно, СПД всегда образуют

семейство Σ, например, по параметру T .

Определение. Случай rank ||∂˙q(q0, T/2)/∂q0|| = n называется невы-

рожденным для симметричного периодического движения, а само СПД

невырожденным.

Согласно определению семейство колебаний математического маятника

будет невырожденным, а колебания линейного осциллятора вырожденные.

Невырожденные СПД в фазовом пространстве заполняют инвариантное

двумерное многообразие; период на семействе СПД монотонно зависит от од-

ного параметра [6]. Такая ситуация типична для семейства невырожденных

СПД. В консервативной системе за параметр h семейства колебаний Σ обыч-

но выбирается постоянная интеграла энергии; на Σ обобщенная координата

описывается формулой q = ϕ(h, t + γ), где γ - временной сдвиг на траекто-

рии. При γ = 0 координата q дается четной функцией времени t.

Предполагается, что рассматриваемая консервативная система допуска-

ет семейство Σ невырожденных СПД. В фазовом пространстве семейство Σ

заполняет инвариантное многообразие, которое обозначается черезΣ. Для

системы с одной степенью свободыΣ будет областью на фазовой плоскости.

В случае n > 1 выделение Σ представляет собой отдельную задачу.

3. Цикл в случае консервативной системы с одной степенью свободы

Исследуется система

x + ω²x = ε(1 - Kx²)x,

(3)

ÿ+ f(y) = kε(1 - Kx²)u(y, y), u = y.

Здесь величина положительной постоянной ω никоим образом не влия-

ет на создание нелинейной диссипации в мягком режиме функционирова-

ния триода, которая определяется только характеристикой триода; постоян-

ная K дает амплитуду порождающего колебания в уравнении Ван дер Поля

и находится далее. При ε = 0 решение уравнения Ван дер Поля имеет вид

x(A, t + β) = A cos ω(t + β), где β - временной сдвиг на траектории. Ампли-

туда колебания A находится из уравнения

∫

(4)

(1 - Kx²) xψ_x

dt = 0,

в котором для линейного осциллятора сопряженное решение ψ_x = x. П√став-

ляя решение уравнения Ван дер Поля при ε = 0 в (4), находим A =

2/K.

Тогда цикл Ван дер Поля описывается формулой

√

x = x^c(t + β) =

2/K cos ω(t + β) + O(ε).

Второе уравнение в (3) при ε = 0 допускает семейство колебаний y =

= ϕ(h, t + γ), в котором период T (h) монотонно зависит от параметра h. При

ε > 0 из-за наличия связи для переменной y получается неавтономное воз-

мущенное уравнение. Для него периодическое решение, отвечающее циклу

x^c(t + β) Ван дер Поля, находится при подстановке во второе уравнение в (3)

функции x = x^c(t + β). Это решение должно быть периодическим для произ-

вольного β. Сам вопрос существования периодического решения по перемен-

ной y решается с помощью амплитудного уравнения

∫

(5)

(1 - Kx²) yψ_y

dt = 0,

где ψ_y - периодическое решение линейного сопряженного уравнения: ψ_y = y

(см. [1]).

Уравнение (5) можно рассматривать вместе с уравнением (4) для одно-

временного нахождения неизвестных A и h. При этом используются порож-

дающие при ε = 0 решения. После подстановки их в (5) и учета γ = β + ν

получается амплитудное уравнение

∫

I(h, ν) ≡

ρ(h, ν, t + β)dt = 0,

(6)

ρ(h, ν, t + β) = [1 - 4 cos² ω(t + β)]ϕ˙²(h, t + β + ν).

Видно, что уравнение (6) инвариантно относительно замены t + β → t. По-

этому можно ограничиться рассмотрением значения β = 0. В результате по-

лучается, что уравнение (6) содержит две неизвестные h и ν.

Пусть порождающему решению отвечает значение параметра h = h^∗, для

которого период СПД равен T^∗ = T (h^∗) = 2π/ω. Функция I(h^∗, ν) является

π/ω-периодической по ν, уравнение

∫

(7)

I(h^∗, ν) ≡

(1 - 4 cos² ωt)ϕ˙²(h^∗

,t + ν)dt = 0

служит для нахождения значения сдвига ν, отвечающего периодическому ре-

шению связанной системы (3) для СПД с значением h = h^∗. Оно содержит

параметр h^∗. В зависимости от значения h^∗ уравнение (7) может иметь или

не иметь корень. Существование корня означает, что в связанной системе (3)

осуществляется захват частоты СПД, для которого реализуется режим цик-

ла. Сам захват реализуется путем изменения частоты ω осциллятора Ван дер

Поля.

В силу симметричности фазового пространства консервативной системы

уравнение (7) достаточно рассматривать в промежутке [0, π/ω). В приложе-

нии доказывается, что в этом промежутке уравнение (7) допускает единствен-

ный изолированный корень.

Примеры показывают, что возможность захвата зависит от свойств семей-

ства СПД. Так, ляпуновское семейство для уравнения

ÿ+ ω²y - ey³ = 0, ω,e = const, e > 0,

рождающееся из положения равновесия, описывается формулами (см. [7,

гл. 7, § 3])

y = ccosτ + c³y₃(τ) + ..., y₃ =

(cos τ - cos 3τ),

32ω²

(

)

c² +

8ω²

Поэтому условиям захвата

c₁c₃ < 0

(c₁ = -c, c₃ = c³e/96),

приведенным в Приложении, удовлетворяют все СПД семейства: для ляпу-

новского семейства значение c мало.

С другой стороны, СПД ляпуновского семейства для уравнения

ÿ+ ω²y - ey² = 0, ω,e = const, e > 0,

не захватываются осциллятором Ван дер Поля. Это следует из вида решения

c²e

y = ccosτ +

(3 - 2 cos τ - cos 2τ) +

6ω²

c³e

(-48 + 29cos τ + 16cos 2τ + 3cos 3τ) + ... ,

144ω⁴

(

)

5e²

c² -

c³ + ...

12ω⁴

18ω⁴

вычисленного в [7, гл. 7, § 3], и нарушения условия захвата:

(

))

c₁c₃ > 0

c₁ = -c, c₃ = -c³e²/

144k⁴

Существование изолированного корня уравнения (7) будет только необхо-

димым условием существования цикла связанной системы (3). Достаточное

условие состоит в простоте корня h = h^∗ амплитудного уравнения (6) при

ν =ν^∗.

Вычислим при h = h^∗ производную

(∂ÿ(h,t + ν^∗))

= -χt y(h^∗,t + ν^∗) + v(t),

∂h

h=h^∗

)

( dT

χ=

v(t) = v(t + 2π/ω).

T^∗

dhh=h∗

Тогда в силу периодичности функции v(t) получается, что

∫

( dI(h, ν^∗))

(8)

= -χ

tρ(h^∗, ν^∗, t)dt = 0,

ρ(h^∗, ν^∗

,t)dt = 0

h=h^∗

условие простоты корня. Ряд для функции ρ(h^∗, ν^∗, t) приводится в При-

ложении. С использованием данного там выражения вычисляется, что

(

)

∑

( dI(h, ν^∗))

2π sin 2ων^∗

(9)

=χ

b_2m

ω²

m² - 1

h=h^∗

m=2

Здесь в правых скобках выписана сумма сходящего числового ряда, кото-

рая получается как значение ряда Фурье из косинусов с нулевым свободным

членом, когда все косинусы принимают равные 1 значения; b₂ < 0.

Условие (8) выполняется для невырожденного СПД.

Простой корень h^∗ уравнения I(h, ν^∗) = 0 приводит согласно [7, гл. 6, § 6] к

изолированному периодическому решению второго уравнения в (3), которое

получается при подстановке функции x = x^c(t + β) в правую часть (3). Это

решение существует при произвольном сдвиге β в решении уравнения Ван

дер Поля, что для связанной системы (3) означает существование цикла.

Теорема 1. Связанная система (3) имеет единственный цикл

√

x^c(t + β) =

2/K cos ω(t + β) + O(ε),

y^c(t + ν^∗ + β) = y(h^∗,t + ν^∗ + β) + O(ε),

ν^∗ = 0.

Замечание 1. Введение в систему (3) ε-связи приводит к качественным

изменениям в поведении консервативной системы: на плоскости (y, y) воз-

никает описываемая функцией y^c(t + ν^∗ + β) инвариантная кривая, которая

соответствует циклу Ван дер Поля.

Замечание 2. Уравнение Ван дер Поля генерирует такую связь-управ-

ление, что режим цикла Ван дер Поля переносится на связанную систему.

Замечание 3. Вывод теоремы 1 не зависит от знака числа k в связанной

системе (3).

4. Стабилизация цикла

В уравнении Ван дер Поля цикл - кривая C_x достигается из любой, исклю-

чая равновесие, начальной точки на фазовой плоскости Π_x. Область внут-

ри C_x обозначается через Ω_x. Энергия линейного осциллятора E_x в уравнении

Ван дер Поля меняется по закону

dE_x

(10)

= ε(1 - Kx²) x², E_x = ( x² + ω²x²

)/2.

При ε = 0 энергия E_x = h_x и x = A cos ω(t + β) : h_x = A². Согласно (10) при-

ращение ΔE_x функции E_x на отрезке t ∈ [0, 2π/ω] дается равенством

∫

[

]

ΔE_x = εA²ω²

(1 - KA² cos² ωt) sin² ωt + O(ε)

dt.

√

Отсюда получается, что ΔE_x > 0, когда A <

2/K - O(ε), и ΔE_x < 0, когда

√

2/K + O(ε). Поэтому формулу можно записать в виде

(11)

ΔE_x(h_x) = εα_x(h_x)Δh_x

+ o(ε),

где Δh_x - приращение энергии линейного осциллятора, а α_x(h_x) < 0. Ра-

венство

(11) выражает закон приближения системы к режиму цикла.

В O(ε)-окрестности цикла α_x(h_x) = α^∗x + O(ε), где εω/2πα^∗x - будет харак-

теристическим показателем (ХП) цикла Ван дер Поля. Поэтому из форму-

лы εα^∗x = dE_x(h^∗x)/dh_x следует справедливость (11) также в O(ε)-окрестности

цикла: циклу уравнения Вандер Поля соответствует значение h^∗x энергии ли-

нейного осциллятора. На цикле ΔE_x = 0, и притяжение траектории к циклу

сопровождается предельным переходом ΔE_x → 0.

Закон изменения полной механической энергии E_y для второго уравнения

системы (3) такой

∫

dE_y

y²

(12)

= kε(1 - Kx²) y², E_y =

f (y)dy.

На плоскости Π_y = (y, y) рассматривается многообразиеΣ, заполненное

семейством Σ. Цикл связанной системы (3) представляется на Π_y замкнутой

кривой C_y, соответствующей кривой C_x ∈ Π_x. На цикле E_y(h^∗, t) становит-

ся (2π/ω)-периодической функцией с нулевым средним значением. Область

внутри кривой C_y обозначается через Ω_y.

Для взаимного изменения функций E_x и E_y из законов (10), (12) выводится

равенство

(

)

(13)

k y²dE_x = x²dE_y

dE_x = x²dσ, dE_y = k y²dσ, dσ = ε(1 - Kx²)dt

справедливое при (1 - Kx²) = 0. При k = 1 оно выражает одновременное воз-

растание или убывание энергии осциллятора и энергии консервативной си-

стемы.

Пусть рассматривается случай, когда на семействе Σ период T (h) воз-

растает, т.е. число χ > 0. Тогда из (13) получается, что приращение энергии

ΔE_y на отрезке t ∈ [0,T^∗] в области Ω_y (вне области Ω_y) удовлетворяет нера-

венству ΔE_y > 0 (ΔE_y < 0). В результате точка (y, y) ∈ Π_y приближается к

ε-окрестности кривой C_y по закону

(14)

ΔE_y = εα_y(h)Δh + o(ε), α_y

(h) < 0.

Равенство (13) справедливо на всем многообразииΣ, поэтому формула (14)

остается справедливой и в ε-окрестности кривой C_y. На кривой C_y прираще-

ние ΔE_y = 0; притяжение точки (y, y) к кривой C_y сопровождается предель-

ным переходом ΔE_y → 0.

Таким образом, в случае χ > 0, k = 1 к циклу притягиваются траектории

из области, где δ > 0, δ = (h_x - h^∗x)(h - h^∗).

При k = -1 из (13) получается, что скорости изменения энергии осцил-

лятора и консервативной системы имеют разные знаки. Значит, для прира-

щения ΔE_y в области Ω_y справедливо неравенство ΔE_y < 0, а вне Ω_y по-

лучается ΔE_y > 0. В области Ω_x энергия линейного осциллятора h_x < h^∗x, и

в области Ω_y энергия консервативной системы h < h^∗. Поэтому притяжение

к циклу возможно с точкой (x, x) ∈ Ω_x ((x, x) ∈ Ω_x) только с уменьшением

(увеличением) энергии E_y, т.е. ΔE_y < 0 (ΔE_y > 0) и (y, y) ∈ Ω_y ((y, y) ∈ Ω_y).

Это происходит из областей, где δ < 0.

Аналогичный анализ справедлив для семейства Σ, на котором период T (h)

убывает (χ < 0). В результате на основе проведенного исследования строится

система стабилизации цикла, обеспечивающая притяжение траекторий свя-

занной системы из области Π_x

⊗ Σ.

Таким образом, для связанной системы (3) справедлива теорема 2.

Теорема 2. Пусть при ε = 0 консервативная система в (3) допускает

многообразиеΣ, заполненное семейством невырожденных симметричных

периодических движений, содержащим колебание с периодом 2π/ω. Тогда

связанная система (3) имеет единственный притягивающий цикл C_x

⊗C_y.

На плоскости (y, y) область притяжения к C_y совпадает сΣ. При этом

управление в каждой области фазового пространства, где δ = 0, подчиня-

ется закону

(15)

sgn(χ)sgn(δ) = sgn(k),

где sgn(a)- знак числа a = 0.

Замечание 4. В условиях выполнения теоремы 2 все траектории свя-

занной системы (3) в четырехмерном пространстве притягиваются к циклу,

который состоит из цикла Ван дер Поля - кривой C_x на плоскости Π_x и

замкнутой кривой C_y на плоскости Π_y.

Замечание 5. Связанная автономная система (1) в каждой из четырех

инвариантных областей фазового пространства описывается своими уравне-

ниями, отличающимися знаком k. Общей границей этих областей является

цикл.

Замечание 6. Из теоремы 2 следует, что производная (9) отрицательна.

Поясним выводы теоремы 2 в случае k = 1 с использованием приближен-

ных формул для решений подсистем в (3). Решение уравнения Ван дер Поля

с начальной точкой на плоскости Π_x представляется на отрезке t ∈ [0, T^∗] в

виде x = A cos ω(t + β) + O(ε), а решение консервативной системы для любой

точки изΣ дается формулой y = ϕ(h, t + γ) + O(ε). Из этих формул получа-

ются все точки плоскости Π_x и многообразиеΣ. Положим γ = γ - β.

Рассматривается отображение G пространства Π_x

⊗Π_y на себя на отрезке

t ∈ [0,T^∗]. Оно оставляет неподвижным цикл C_x

⊗C_y системы (1), а энер-

гия E_y меняется по формуле (12). Приращение ΔE_y равно

∫T^∗

[

]

KA²

ΔE_y = εΔ + o(ε), Δ =

cos 2ωt

ϕ²(h,t + γ)dt,

и согласно (12) знак приращения ΔE_y на отображении G сохраняется. Ра-

венство Δ = 0 совпадает с амплитудным уравнением (6), оно выполняется на

кривой C_y. Для остальных точек Π_x

⊗ Σ по теореме 2 выполняется условие

Δ = 0; оно записывается в виде

∫

cos 2ωtϕ˙²(h, t + γ)dt

2-KA²

(16)

∫

KA²

ϕ²(h,t + γ)dt

Полученное неравенство (16) не зависит от амплитуды колебаний на се-

мействе Σ и предъявляется только к амплитуде колебаний линейного осцил-

лятора. Получается, что для каждой точки многообразияΣ (левая часть

неравенства), не принадлежащей O(ε)-окрестности кривой C_y, всегда найдет-

ся область амплитуд A осциллятора (правая часть неравенства) такая, что

траектория второго уравнения в (3) достигнет O(ε)-окрестности кривой C_y.

В предложенной схеме (3) выбором частоты ω стабилизируются колеба-

ния связанной системы, отвечающей СПД консервативной системы с перио-

дом T (h^∗) = 2π/ω. При этом амплитуда порождающих колебаний в уравне-

√

нии Ван дер Поля равняется A = 2/

K. Поэтому в схеме (3) за счет выбора

параметра K можно стабилизировать колебания консервативной системы с

большими амплитудами: амплитуда цикла Ван дер Поля может быть малой.

С другой стороны, схему управления с малым K можно применять для ста-

билизации микроколебаний. Так, электрический контур Ван дер Поля стано-

вится основным управляющим звеном в системе управления колебаниями.

5. Консервативная система произвольного порядка

В случае системы с одной степенью свободы управление дается линейной

по скорости функцией, обеспечивающей диссипацию в каждой текущей точ-

ке цикла. Такой же подход применяется для системы с n > 1. В связанной

системе (1) управление выбирается с функцией

∑

(17)

u_s = r_sj

q_j,

s = 1,...,n,

j=1

где R = ||r_sj || - постоянная матрица. Тогда изменение полной механической

энергии E_q = T + Π консервативной системы происходит по закону

∑

dE_q

(18)

= kε(1 - Kx²)R(q,q),

r_sj

q_sqj,

s=1,j=1

в котором функция x удовлетворяет уравнению Ван дер Поля. В случае n = 1

получается формула (12).

Обратимся к задаче существования цикла связанной системы. Период

на цикле T^∗ = 2π/ω, а необходимые условия даются системой амплитудных

уравнений, включающей уравнение для осциллятора Ван дер Поля и урав-

нение

∫T^∗

∑

I(h, ν) ≡

(1 - Kx²)

r_sjϕ˙_j(h,t + ν)ψ_s(h,t + ν)dt = 0,

(19)

s=1,j=1

ψ_s = -ϕ˙_s.

В формуле (19) учитывается симметричность матрицы уравнений в ва-

риациях для СПД консервативной системы, что дает возможность явного

вычисления решения {ψ_s(h, t + γ)} сопряженной системы.

Выводы по существованию корня амплитудного уравнения и его просто-

ты, сделанные для случая n = 1, остаются справедливыми в случае n > 1.

В самом деле, они основаны только на симметричности фазового портрета

механической системы и рассмотрении невырожденного семейства симмет-

ричных периодических движений.

Таким образом, цикл в связанной системе (1), (17) существует.

Функция E_q(h, t) на выбранном колебании семейства Σ зависит от двух

переменных. Вычислим приращение ΔE_q(h) на периоде T^∗. Тогда с точно-

стью до первых по ε слагаемых уравнение ΔE_q(h) = 0 совпадает с амплитуд-

ным уравнением. Поэтому ΔE_q(h^∗) = 0, где h^∗ - значение энергии, отвечаю-

щей циклу. Приращение ΔE_q(h) содержит матрицу R. Вследствие этого при

надлежащем выборе R получаются наименьшее или наибольшее приращения

энергии на периоде.

Теорема 3. В связанной системе (1) с функцией (17), включающей ос-

циллятор Ван дер Поля и консервативную механическую систему, которая

допускает семейство невырожденных симметричных периодических дви-

жений, осциллятор Ван дер Поля навязывает всей системе режим цикла.

При этом наименьший или наибольший приросты энергии h консервативной

системы на отрезке T^∗ обеспечиваются надлежащим выбором матрицы R.

Из теоремы 3 следует, в частности, возможность за счет выбора управ-

ления (17) c надлежащей матрицей R достигнуть значения энергии h^∗ по

закону (15) c наименьшим или наибольшим приростами энергии на периоде.

В случае n = 1 закон (15) обеспечивает именно такое притяжение к циклу.

Оказывается, что в случае n > 1 вопрос притяжения связан не только с вы-

бором R.

Далее выясняется, какие необходимые условия налагаются на семейство Σ,

чтобы траектории связанной системы (1) притягивались к циклу.

Пусть через E^cq(t) обозначается энергия на цикле. В системе с n > 1 сте-

пенями свободы из равенства (18) не следует, что даже траектории, принад-

лежащие множеству E_q = E^cq(t), притягиваются к циклу. Более того, точки

этого множества с течением времени могут даже не приближаться кΣ. Это

становится понятным при рассмотрении сценария бифуркации ХП.

В случае n = 1 ХП для решений из Σ равняются нулю. Действие управле-

ния приводит в (3) к расщеплению жордановой клетки с перемещением ХП

в левую полуплоскость. В случае n > 1 указанная пара ХП для решений Σ

сохраняется, а остальные ХП образуют n - 1 пар, содержащих ХП противо-

положного знака (см. [8]). Если ХП в этих парах лежали вне мнимой оси,

то при действии в (1) ε-малого управления ХП по-прежнему остаются вне

мнимой оси. Поэтому необходимым условием для притяжения траекторий

системы (1) к циклу будет принадлежность ХП решений семейства Σ мни-

мой оси.

Лемма. В системе с n > 1 степенями свободы необходимым условием

для притяжения траекторий связанной системы (1) к циклу является при-

надлежность ХП семейства Σ мнимой оси.

Лемма используется далее при решении задачи стабилизации.

6. Выход на режим цикла

В Приложении приводится лемма П.1 о возможности описания СПД на Σ

с помощью редукцированной консервативной системы с одной степенью сво-

боды. Через Ω_q обозначается многообразиеΣ вместе с его ε-окрестностью.

В Ω_q вводятся независимые координаты: y = w₁ для описания СПД наΣ и

z = (w₂,...,w_n), обращающаяся в нуль наΣ. В связанной системе (1), (17)

переходом к переменной w = (y, z) редукцированная система наΣ получает

вид (3): она подробно изучена в разделах 3 и 4. В окрестностиΣ переменная

z = 0 и E_q = E_y + E_z, где E_y - энергия редукцированной системы: разность

E_z = E_q - E_y может быть положительной или отрицательной. Тогда из (18)

с учетом (14) и выборомR = y² + Ż² в преобразованной системе выводятся

равенства

(20)

k( y² + Ż²)dE_x = x²dE_q, k Ż²dE_x = x²dE_z.

Отображение G на отрезке t ∈ [0, T^∗] применяется к точкам Ω_q. Тогда со-

гласно (13) и первому равенству в (20) знаки приращений ΔE_q и ΔE_y совпада-

100

ют на G. Следовательно, как и в частном случае (13), справедливы предель-

ные переходы: ΔE_q → 0, ΔE_y → 0. Поэтому ΔE_z = (ΔE_q - ΔE_y) → 0. При

этом приращения ΔE_q и ΔE_z согласно (20) также имеют один и тот же знак.

Пусть выполнена лемма и ХП системы для z принадлежат мнимой оси.

Функция |E_z | рассматривается в окрестности точки, где z = 0, Ż = 0, и пред-

ставляет собой энергию системы для z. Поэтому в выколотой окрeстности

|E_z| > 0. Следовательно, из ΔE_z → 0 выводится: (z, Ż) → (0, 0).

Таким образом, каждая точка из окрестностиΣ приближаетсяΣ и одно-

временно притягивается к циклу.

Управление kε(1 - Kx²)w˙ в преобразованной консервативной системе да-

∑_n

ется знакоположительной формой

w^2s. Линейное преобразование в лем-

s=1

ме П.1 проводится с постоянной матрицей P , которое не меняет знака квад-

ратичной формы. Следовательно, в исходных переменных получается управ-

ление с знакоположительной квадратичной формой скоростейR(q,q).

Таким образом, формулируется теорема 4 об асимптотическом выходе свя-

занной системы на режим цикла.

Теорема 4. Пусть консервативная механическая система допускает

семейство невырожденных симметричных периодических движений Σ, ха-

рактеристические показатели которых принадлежат мнимой оси; в фазо-

вом пространстве движения Σ заполняют двумерное многообразиеΣ. Тогда

выход на режим цикла в связанной системе (1) с управлением (17), где квад-

ратичнаяR(q,

˙q) положительно определена, происходит из точекΣ и его

окрестности так, что траектория стремится кΣ и одновременно притя-

гивается к циклу. Используется закон управления (15).

Замечание 7. При выполнении условий теоремы 4 цикл орбитально

асимптотически устойчив в большом: каждая траектория из области Ω_q при-

тягивается к циклу.

Замечание 8. Заметим, что в силу неединственности выбора в лем-

ме П.1 матрицы P форма R находится не единственным образом.

Алгоритм асимптотического вывода связанной механической системы на

режим цикла с периодом T^∗ = T (h^∗) состоит из двух шагов: подбирается

частота ω = 2π/T^∗ осциллятора Ван дер Поля; выбирается закон управле-

ния (15).

7. Пример. Колебания спутника в плоскости круговой орбиты

Движение спутника в плоскости орбиты под действием гравитационных

сил описывается уравнением В.В. Белецкого [9]. Для круговой орбиты урав-

нение приобретает вид

dα

(21)

α + µsinαcosα = 0,

α=

где µ - инерциальный параметр (|µ| ≤ 3), α - угол между радиусом-вектором

центра масс и главной центральной осью инерции спутника в плоскости орби-

101

ты, v - истинная аномалия, выбранная в качестве независимой переменной.

Получается уравнение математического маятника

ÿ+ µsiny = 0, µ > 0, y = 2α,

или

ÿ+ |µ|siny = 0, µ < 0, y = 2α + π.

Колебания спутника образуют семейство от начального отклонения по уг-

лу y, на котором период T (h) возрастает. Следовательно, для реализации

асимптотически устойчивого режима колебания спутника с желаемым на-

чальным углом отклонения необходимо перейти к управляемой системе. Ис-

пользуется схема стабилизации колебаний:

x + ω²x = ε(1 - x²)x,

(22)

ÿ+ |µ|siny = kε(1 - x²)y,

где y = 2α при µ > 0 и y = 2α + π, если µ < 0. Тогда по теореме 1 колебания

спутника с периодом 2π/ω настраиваются на режим асимптотически орби-

тально устойчивого цикла связанной системы (22).

По теореме 2 областью притяжения цикла для колебания, входящего в

диапазон захвата осциллятором Ван дер Поля, будет вся область колеба-

ний спутника. Математически захват означает существование корня уравне-

ния (7). Обратимся к задаче нелокальной стабилизации колебания спутника,

близкого к его равновесию.

Уравнение движения спутника записывается в виде

∑

y^2s+1

y + ω2 siny = 0, siny = y - p(y), ω² = |µ|, p =

(-1)^s+1

(2s + 1)!

s=3

Оно не меняет вид при замене y на (-y). Поэтому согласно теории ляпу-

новских периодических движений (см. [7, гл. 7]) используется такая замена

времени

(1 + h₂c² + h₄c⁴ + . . .),

где постоянные h₂, h₄, . . . дают поправку к периоду линейных колебаний в

окрестности равновесия, c - начальное значение переменной y: c = y(0). Тогда

получается уравнение

d²y

(23)

+ ω²(y - p(y))(1 + h₂c² + h₄c⁴

+ ...).

dτ²

Решение уравнения (23) ищется в виде ряда

y = ccosτ + c³y₃(τ) + c⁵y₅(τ) + ...,

102

где x_j (τ) - периодические функции τ периода 2π, удовлетворяющие началь-

ным условиям

(24)

y₃(0) = y₃(0) = y₅(0) = y₅

(5) = . . . = 0.

При этом для y₃ получается уравнение

d²y₃

+ y₃ = -2h2 cosτ + p(cosτ),

dτ²

где функция p(cos τ) представляется рядом

(25)

p(cos τ) = a₁ cos τ + a₃ cos 3τ + a₅

cos 5τ + . . .

Условие периодичности функции y₃(τ) выполняется при h₂ = a₁/2. Само

решение, принимая во внимание условия (24), записывается в виде

(

)

a₃

a₅

a₃

a₅

y₃ =

+ ... cosτ -

cos 3τ -

cos 5τ + . . .

Поэтому решение уравнения (23) имеет вид

(

)

a₃

(26)

y(τ) = c cos τ + c³

+ ... cosτ - c³

cos 3τ + O(c⁵

В уравнении (7) рассматривается решение периода 2π/ω, которое получа-

ется из (26) при τ = ωt. Значит, дифференцированием функции y(ωt) по t

находится знак произведения в (Π.4):

c₁ = cω², c₃ = -c³ω²a₃/24, c₁c₃ = -ω⁴c⁴a₃/24 < 0.

Коэффициенты разложения (25) находятся с использованием формулы

Эйлера для записи косинуса и формулы бинома Ньютона. Получается: a₃ > 0.

Значит, условие захвата для решений ляпуновского семейства выполнено.

Таким образом, задача нелокальной стабилизации близкого к равновесию

колебания спутника получает решение с помощью схемы (22).

8. Заключение

В предложенной системе управления колебаниями осциллятор Ван дер По-

ля генерирует одностороннюю связь-управление для консервативной механи-

ческой системы, которая содержит семейство невырожденных симметричных

периодических движений на многообразииΣ. В результате связанной систе-

ме навязывается режим асимптотически орбитально устойчивого цикла. При

этом для консервативной системы с одной степенью свободы область Ω_q при-

тяжения к циклу совпадает с многообразиемΣ. В системе с n > 1 степенями

свободы область Ω_q включаетΣ с его O(ε)-окрестностью. Выход на режим

цикла происходит из любой начальной точки q ∈ Ω.

Асимптотический выход связанной механической системы на режим цик-

ла с периодом T^∗ = T (h^∗) реализуется алгоритмом: подбирается частота

ω = 2π/T^∗ осциллятора Ван дер Поля; выбирается закон управления (15).

103

ПРИЛОЖЕНИЕ

1. Нахождение корней уравнения I(h^∗, ν) = 0. СПД описывается четной

функцией y(h^∗, t). Производная y(h^∗, t) на СПД представляется рядом

(Π.1)

y(h^∗, t) = c₁ sin ωt + c₂ sin 2ωt + c₃

sin 3ωt + . . .

Тогда

∑

(Π.2)

ϕ²(h^∗,t + ν) = b₀ + b₂ cos 2ω(t + ν) +

b_2m

cos 2mω(t + ν),

m=2

где

c²¹ + c²² + c²³ + c²⁴ + ...

c²¹

b₀ =

> 0, b₂ = -

+c₁c₃ + c₂c₄ + c₃c₅ + c₄c₆ + ...

Амплитудное уравнение (6) при β = 0 записывается в виде

∫

(Π.3)

I(h, ν) ≡

ρ(h, ν, t)dt = 0, ρ = (1 - 4 cos² ωt) y²

(h, t + ν),

в котором c учетом (Π.2)

∑

-ρ(h^∗, ν, t) = b₀(1 + 2 cos 2ωt) +

b_2m cos 2mω(t + ν) +

m=1

∑

+ cos 2ων

b_2m[cos 2ω(m + 1)t + cos 2ω(m - 1)t] -

m=1

∑

- sin 2ων

b_2m[sin 2ω(m + 1)t + sin 2ω(m - 1)t].

m=1

Поэтому

I(h, ν) ≡ -(b₀ + b₂ cos 2ων)

и уравнение (7) имеет изолированный корень, если |b₂| ≥ b₀. С учетом выра-

жений для b₀ и b₂ выписываются коэффициентные условия

a) c₁c₃ < 0,

2|c₁c₃| > (c₂ - c₄)² + (c₃ - c₅)² + . . . ,

(Π.4)

b) c₁c₃ = 0,

c₂ = c₄, c₃ = c₅, c₄ = c₆, ...

на ряд (Π.1), которые гарантируют существование корня.

Очевидно, условия (Π.4) выполняются при c₁ = 1, c₂ = c₃ = . . . = 0, в этом

случае y = sin ωt. Другой частный случай имеется в ляпуновском семействе

СПД. Здесь решение представляется рядом по начальному значению y(0).

104

Поэтому условия (Π.4) сводятся к одному неравенству c₁c₃ < 0. При продол-

жении ляпуновского семейства неравенства (Π.4) выполняются до некоторого

предельного y(0).

Заметим, что анализ условий (Π.4) входит составной частью в задачу по

выделению классов СПД, в которых возможен захват колебания для вывода

системы на режим притягивающего цикла.

2. Выделение наΣ консервативной системы с одной степенью свободы.

Лемма П.1. Семейство невырожденных СПД описывается консерва-

тивной системой с одной степенью свободы.

Доказательство. Из условий (2) при τ = T/2 следуют линейные ра-

венства

ξ_s ≡ b_s1(q⁰,τ)dq⁰¹ + ... + b_sn(q⁰,τ)dq⁰ⁿ + c_s(q⁰,τ)dτ = 0,

B=||b_sj(q⁰,τ)||, b_sj(q⁰,τ)=∂˙qs(q0,τ)/∂q0j,

C =||c_s(q⁰,τ)||, c_s =∂˙qs(q0,τ)/∂t = qs(q0,τ); s,j = 1,... ,n,

которые выполняются тождественно наΣ. Для семейства невырожденных

СПД выполняется условие det B = n, а вектор ускорения C = (c₁, . . . , c_n) на

СПД отличен от нулевого. Поэтому посредством линейного преобразования

η = Pξ, ξ = (ξ₁,...,ξ_n), с постоянной матрицей P = ||p_sj||, удовлетворяющий

условиям η₂ = 0, . . . , η_n = 0, в векторной форме η выделяется форма η₁. Пре-

образование справедливо для любой точки (q⁰, τ), поэтому выделение проис-

ходит на всемΣ. Тогда наΣ получается:

∑

η₁ ≡

bs(q⁰, τ)dq^s + ã1(q⁰, τ)dτ = 0,

ã₁ ≡ p_1jc_j(q⁰,τ),

(Π.5)

s=1

j=1

η_k(q⁰,τ) = 0, k = 2,... ,n.

Для семейства Σ невырожденных СПД найденное линейное преобразова-

ние означает существование координат w₁, . . . , w_n таких, что n - 1 из них

на Σ принимают нулевые значения: w₂ = 0, . . . , w_n = 0. Начальная точка q⁰

на Σ является функцией одного параметра, например начального значения w⁰¹

переменной w₁. Поэтому из первого равенства в (Π.5) получается, что

w₁ + ã₁(w₁) = 0,

и динамика наΣ описываeтся консервативной системой с одной степенью

свободы.

Лемма П.1 доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Тхай В.Н. Стабилизация колебаний автономной системы // АиТ. 2016. № 6.

С. 38-46.

Tkhai V.N. Stabilizing the Oscillations of an Autonomous System // Autom. Remote

Control. 2016. V. 77. No. 6. P. 972-979.

105

2. Rompala K., Rand R., Howland H. Dynamics of Three Coupled Van der Pol Oscilla-

tors with Application to Circadian Rhythms // Communicat. Nonlin. Sci. Numerical

Simulation. 2007. V. 12. No. 5. P. 794-803.

3. Кондрашов Р.Е., Морозов А.Д. К исследованию резонансов в системе двух урав-

нений Дюффинга-Ван дер Поля // Нелинейная динамика. 2010. Т. 6. № 2.

С. 241-254.

4. Lazarus L., Rand R.H. Dynamics of a System of Two Coupled Oscillators which

are Driven by a Third Oscillator // J. Appl. Nonlin. Dynam. 2014. V. 3. No. 3.

P. 271-282.

5. Shiriaev A., Perram J.W., Canudas-de-Wit C. Constructive Tool for Orbital Stabi-

lization of Underactuated Nonlinear Systems: Virtual Constraints Approach // IEEE

Trans. Automat. Contr. 2005. V. 50. No. 8. P. 1164-1176.

6. Тхай В.Н. О поведении периода симметричных периодических движений //

Прикл. матем. и механ. 2012. Т. 76. Вып. 4. C. 616-622.

7. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. M.: Гостехиздат,

1956.

8. Тхай В.Н. Об устойчивости регулярных прецессий Гриоли // Прикл. матем. и

механ. 2000. Т. 64. Вып. 5. С. 848-857.

9. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника Земли относительно центра

масс // Искусственные спутники Земли. 1958. № 1. C. 25-43. М.: Изд-во АН

СССР, 1958.

Статья представлена к публикации членом редколлегии А.М. Красносельским.

Поступила в редакцию 08.11.2020

После доработки 08.07.2021

Принята к публикации 29.08.2021

106