Автоматика и телемеханика, № 2, 2022

Нелинейные системы

Л.С. ИБРАГИМОВА, канд. физ.-мат. наук (lilibr@mail.ru),

А.С. БЕЛОВА (89177662488@mail.ru)

(Башкирский государственный университет, Уфа)

ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ О ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ РЕЗОНАНСЕ

В СИСТЕМАХ ЛУРЬЕ СО СЛАБООСЦИЛЛИРУЮЩИМИ

КОЭФФИЦИЕНТАМИ¹

Предлагаются основанные на методах теории возмущений признаки

устойчивости по Ляпунову систем Лурье со слабоосциллирующими па-

раметрами. Основное внимание уделяется получению формул первого

приближения для возмущений кратных дефинитных и индефинитных

мультипликаторов линейных гамильтоновых систем и их приложениям

в задаче исследования устойчивости. Предлагаемые формулы приводят

к новым признакам устойчивости по Ляпунову систем Лурье в критиче-

ских случаях. Рассматриваются приложения в задаче о параметрическом

резонансе в основных резонансах. Полученные результаты сформулиро-

ваны в терминах исходных уравнений и доведены до расчетных формул

и алгоритмов. Эффективность предлагаемых формул иллюстрируется на

примере задачи о параметрическом резонансе в системе связанных осцил-

ляторов.

Ключевые слова: гамильтонова система, система Лурье, устойчивость,

малый параметр, параметрический резонанс.

DOI: 10.31857/S0005231022020076

1. Введение

Рассматривается зависящая от малого параметра ε динамическая система,

описываемая неавтономным уравнением

(

)

(d²

(1)

,t,ε x = M

,t,ε

f (x);

dt²

здесь L и M - операторные многочлены:

L(p, t, ε) = p^l + (a₁ + εϕ₁(t))p^l-1 + (a₂ + εϕ₂(t))p^l-2 + . . . + (a_l + εϕ_l(t)),

M (p, t, ε) = (b₀ + εψ₀(t))p^m + (b₁ + εψ₁(t))p^m-1 + . . . +

+ (b_m + εψ_m(t)), (l > m);

¹ Исследование третьего автора выполнено в рамках государственного задания Мини-

стерства науки и высшего образования Российской Федерации (код научной темы FZWU-

2020-0027).

107

функции ϕ₁(t), . . . , ϕ_l(t), ψ₀(t), . . . , ψ_m(t) предполагаются непрерывными и

T -периодическими по t, а коэффициенты a_j и b_j являются константами. Нели-

нейность f(x) представима в виде

f (x) = k₀x + δ(x), где |δ(x)| = O(x²) при x → 0,

а k₀ - некоторая константа. Все входящие в уравнение (1) функции и коэф-

фициенты предполагаются вещественными.

При ε = 0 уравнение (1) является автономным:

(d² )

(2)

L₀

x=M₀

f (x);

dt²

здесь L₀(p), M₀(p) - взаимно простые вещественные многочлены:

L₀(p) = p^l + a₁p^l-1 + ... + a_l,

M₀(p) = b₀p^m + b₁p^m-1 + ... + b_m.

Уравнение (2) описывает (см., например, [1, 2]) одноконтурную систему

управления, состоящую из линейного звена с дробно-рациональной переда-

точной функцией W (p) = M₀(p²)/L₀(p²) и нелинейной обратной связью f(x).

Уравнение (1) можно рассматривать как одноконтурную систему управле-

ния со слабоосциллирующими параметрами. Отметим также, что системы

вида (2) часто называют системами Лурье.

Уравнения (1) и (2) имеют точку равновесия x = 0. Соответствующие ли-

неаризованные уравнения имеют вид

(

)

(d²

(3)

,t,ε x = k₀M

,t,ε

dt²

(d² )

(4)

L₀

x=k₀M₀

dt²

Отметим, что уравнения (1)-(4) содержат производные только четного по-

рядка. Эти уравнения могут быть различными способами приведены к га-

мильтоновым формам (см., например, [1, 3]).

В настоящей статье изучается задача об устойчивости по Ляпунову реше-

ния x = 0 уравнения (1) при малых ε в ситуациях параметрического резонан-

са для линеаризованного уравнения (3). Более развернутая постановка будет

приведена ниже. Здесь же отметим, что задаче исследования устойчивости

гамильтоновых систем с периодическим возмущением и, в частности, зада-

че о параметрическом резонансе посвящено множество работ. Большинство

исследований основаны на методах нормализации гамильтоновых систем и

на соответствующих преобразованиях гамильтонианов. В этом направлении

получен ряд важных результатов (см., например, [4-8]).

Другие подходы исследования задачи о параметрическом резонансе ос-

нованы на классической теории возмущений линейных операторов. Следует

108

указать на то, что интерес представляют не непосредственное применение

методов общей теории (этот путь, как правило, чрезвычайно громоздок и по-

этому практически не применяется), а модификации методов, максимально

учитывающих специфику задачи, связанную с гамильтоновостью системы.

Указанный подход также получил свое развитие в работах многих авторов

(см., например, [9-11]).

Исследования продолжаются в различных направлениях. Здесь особо ак-

туальными представляются разработки общих подходов исследования задачи

о параметрическом резонансе в терминах исходных уравнений без необхо-

димости предварительного (часто трудоемкого и громоздкого) их преобра-

зования.

Необходимость исследования гамильтоновых систем возникает во многих

задачах теории автоматического регулирования и управления. Часто пара-

метры системы слабо осциллируют, что может привести к параметрическому

резонансу (см., например, [12-14]). Здесь важны простые признаки, позво-

ляющие провести анализ устойчивости системы. Именно к этому направле-

нию относится настоящая работа.

2. Задача о параметрическом резонансе

Рассмотрим сначала задачу об устойчивости по Ляпунову линейного урав-

нения (3) или, что равносильно, задачу об устойчивости по Ляпунову нулево-

го решения x = 0 этого уравнения. Наряду с этой задачей будем рассматри-

вать также задачу о сильной устойчивости линейного уравнения (4). Говорят

(см., например, [9, 11]), что линейное уравнение (4) является сильно (пара-

метрически) устойчивым, если оно и все его достаточно малые линейные

периодические гамильтоновы возмущения устойчивы по Ляпунову. Другими

словами, уравнение (4) является сильно (параметрически) устойчивым, ес-

ли оно и близкие к нему возмущенные уравнения (3) являются устойчивыми

по Ляпунову. Отметим также, что сильную устойчивость линейного уравне-

ния (4) можно (в естественной постановке) рассматривать как частный слу-

чай его структурной устойчивости (см., например, [15]).

Из общих свойств гамильтоновых систем (см., например, [7, 9, 11]) следует,

что если уравнение

(5)

L₀(p²) - k₀M₀(p²

)=0

имеет хотя бы один корень p = p₀ с ненулевой вещественной частью, то ли-

нейное уравнение (3) будет неустойчивым при всех малых |ε|. Неустойчивым

будет и нулевое решение x = 0 нелинейного уравнения (1).

Основной интерес представляет случай, когда все корни уравнения (5) яв-

ляются чисто мнимыми. Здесь имеет место следующий факт (см., напри-

мер, [7]):

Теорема 1. Пусть все корни уравнения (5) являются простыми и чи-

сто мнимыми вида p = iω_j, при этом ни для одной пары из них не выпол-

109

няется резонансное соотношение вида

ω_j - ω_h = 2πk/T, j = h, при целых k.

Тогда линейная система (3) будет устойчивой при всех малых |ε|.

В условиях теоремы 1 малые T -периодические возмущения коэффициен-

тов автономного линейного уравнения (4) не влекут изменения характера его

устойчивости: оно остается устойчивым. Другими словами, уравнение (4) яв-

ляется сильно устойчивым.

В настоящей статье будет изучаться вопрос об устойчивости линейного

уравнения (3) и решения x = 0 уравнения (1) в ситуациях, когда условия

теоремы 1 не выполняются. А именно, будут рассматриваться следующие

случаи:

P₁. Уравнение (5) имеет кратный (кратности 2) корень p = iω₀, где ω₀ ≥ 0 и

ω₀ = πk/T при натуральных k.

P₂. Уравнение

(5) имеет два простых корня p₁ = iω₁ и p₂ = iω₂, где

ω₁,ω₂ > 0, ω₁, ω₂ = πk/T при натуральных k, при этом

(6)

ω₁ - ω₂ = 2πk₀/T

при некотором натуральном k₀.

P₃. Уравнение (5) имеет простой корень p = iω₀ такой, что

(7)

ω₀ = πk₀/T

при некотором натуральном k₀.

Будем предполагать, что остальные (отличные от ±iω₀ в случаях P₁ и P₃

и от ±iω₁ и ±iω₂ в случае P₂) корни уравнения (5) являются простыми и

чисто мнимыми вида p = iω, где ω = πk/T при целых k. При этом ни для

одной пары из них не выполняется резонансное соотношение типа того, что

указано в случае P₂.

Задачу исследования устойчивости линейной системы (3) в условиях типа

P₁-P₃ обычно называют (см., например, [8-10]) задачей о параметрическом

резонансе.

Как отмечалось выше, уравнения (1)-(4) различными способами приводи-

мы к гамильтоновой форме. В частности, линейное уравнение (3) приводимо

к виду

(8)

u^′ = J[A₀ + εS(t)]u, u ∈ R^2l,

в котором A₀ - вещественная постоянная симметрическая матрица, S(t) - ве-

[

]

щественная, симметрическая и T -периодическая по t матрица; J =

;

-I

здесь I

- единичная (l × l) матрица.

Рассмотрим задачу о параметрическом резонансе для линейной систе-

мы (3) в случаях P₁-P₃.

110

2.1. Случай P₁

В этом случае матрица JA₀ имеет пару кратных (кратности 2) собствен-

ных значений λ = ±iω₀. Эти собственные значения могут быть неполупро-

стыми или полупростыми. Ограничимся рассмотрением ситуации, когда соб-

ственные значения λ = ±iω₀ матрицы JA₀ являются неполупростыми. В этой

ситуации найдется пара линейно независимых векторов e, g ∈ C^2l таких, что

выполняются равенства

(9)

JA₀e = iω₀e, JA₀g = iω₀

g + e.

Векторы e и g определяются неоднозначно. В настоящей работе предлага-

ется нормировать эти векторы специальным образом. В основе предлагаемой

нормировки лежат формулы первого приближения (по степеням малого па-

раметра ε) для мультипликаторов системы (8). Такие формулы (в существен-

но более общей постановке) были получены ранее авторами настоящей ста-

тьи (см. [16]); более детально о них говорится ниже в Приложении. Построе-

ние указанных формул базируется на специальной нормировке собственных и

присоединенных векторов матрицы невозмущенной системы. Конечно, пред-

лагаемые нормировки векторов, вообще говоря, не обеспечивают единствен-

ность выбора этих векторов. Однако полученные в данной работе основные

результаты не зависят от выбора векторов в рамках данной нормировки.

Нужную нормировку векторов e и g из равенств (9) обеспечивает справед-

ливость следующего утверждения.

Лемма 1. Имеют место соотношения (e,Je) = 0, (e,Jg) = 0, при этом

число (e, Jg) является вещественным. Вектор g можно выбрать из условия

выполнения равенства

(10)

(g, Jg) = 0.

Ниже равенство (10) будем считать выполненным. Определим число ν и

постоянную матрицу S₀:

∫T

(11)

ν =

S₀ =

S(t) dt;

(e, Jg)

здесь S(t) - матрица, участвующая в системе (8). Отметим, что число (S₀e, e)

является вещественным.

Теорема 2. Пусть εν(S₀e,e) > 0 (εν(S₀e,e) < 0). Тогда при соответ-

ствующих малых |ε| уравнение (3) устойчиво (неустойчиво).

Пусть, например, ν > 0, а матрица S₁(t) такова, что (S₀e, e) > 0. Тогда при

ε > 0 уравнение (3) устойчиво, а при ε < 0 оно неустойчиво.

Доказательства теоремы 2 и других основных утверждений статьи приво-

дятся в Приложении.

111

2.2. Случай P₂

В этом случае матрица JA₀ имеет две пары простых собственных значений

λ = ±iω₁ и λ = ±iω₂ и, следовательно, найдется пара линейно независимых

векторов e, g ∈ C^2l таких, что выполняются равенства

(12)

JA₀e = iω₁e,

JA₀g = iω₂

Существенную роль в дальнейших построениях играет

Лемма 2. Векторы e,g можно нормировать в соответствии с одной и

только одной парой равенств:

(13)

(iJe, e) = (iJg, g) = 1

или

(14)

(iJe, e) = (iJg, g) = -1;

или только

(15)

(iJe, e) = 1, (iJg, g) = -1.

Первые два случая, т.е. когда имеет место нормировка (13) или (14), при-

водят (см., например, [9, 11]) к дефинитному мультипликатору µ₀ = eTω1i =

= eTω2i линейной “невозмущенной” системы

(16)

u^′ = JA₀u, u ∈ R^2l.

Случай, когда имеет место нормировка (15), приводит к индефинитному

мультипликатору µ₀. Обсудим в краткой форме соответствующие понятия.

Обозначим через V (ε) матрицу монодромии “возмущенной” системы (8).

Тогда V₀ = eJA0T - матрица монодромии “невозмущенной” системы

(16).

В рассматриваемом случае матрица V₀ имеет полупростое собственное значе-

ние µ₀ кратности 2. При этом в силу того, что ω₁, ω₂ = πk/T при натураль-

ных k, имеем µ₀ = ±1. Согласно теории возмущений линейных операторов

при малых |ε| матрица V (ε) имеет пару собственных значений µ₁(ε) и µ₂(ε)

таких, что функции µ₁(ε) и µ₂(ε) являются непрерывно дифференцируемы-

ми, причем µ₁(0) = µ₂(0) = µ₀.

Мультипликатор µ₀ системы (16) является дефинитным, если при ма-

лых

|ε| функции µ₁(ε) и µ₂(ε) остаются на единичной окружности:

|µ₁(ε)| = |µ₂(ε)| = 1. Если же существуют возмущения, при которых функ-

ции µ₁(ε) и µ₂(ε) покидают единичную окружность, то мультипликатор µ₀

является индефинитным.

Приведем два утверждения относительно свойств уравнения (4) в зависи-

мости от того, какая имеет место нормировка.

Теорема 3. Пусть имеет место нормировка (13) или (14). Тогда ли-

нейное уравнение (4) сильно устойчиво.

112

Фактически, как это следует из приведенного в Приложении доказатель-

ства этой теоремы, в ее условиях мультипликатор µ₀ системы (16) является

дефинитным.

Рассмотрим теперь случай, когда имеет место нормировка (15). Здесь в

зависимости от конкретного вида малых T -периодических возмущений ко-

эффициентов уравнения (4) оно может быть как устойчивым, так и неустой-

чивым.

Положим

(17)

Δ₁ = (d₁ + d₂)² - 4|d₃|²,

где

∫T

d₁ = (S₀e,e) , d₂ = (S₀g,g) , d₃ = e-2πik0t/T (S(t)g,e) dt;

здесь S₀ - матрица (11).

Теорема 4. Пусть имеет место нормировка

(15). Пусть Δ₁ > 0

(Δ₁ < 0). Тогда уравнение (3) является устойчивым (неустойчивым) при

всех малых ненулевых |ε|.

2.3. Случай P₃

В этом случае матрица JA₀ имеет пару простых собственных значений

λ = ±iω₀. Тогда существует ненулевой вектор e + ig ∈ C^2l (где e,g ∈ R^2l) та-

кой, что выполняется равенство

(18)

JA₀(e + ig) = iω₀

(e + ig).

Положим

(19)

Δ₂ = d² + d₁d₂,

где

∫T

{

}

cos(2ω₀t) (S(t)e, g) -

sin(2ω₀t) [(S(t)g, g) - (S(t)e, e)] dt,

∫T

{

}

d₁ =

cos²(ω₀t) (S(t)g, g) + sin²(ω₀t) (S(t)e, e) + sin(2ω₀t) (S(t)e, g)

dt,

d₂ = d₁ - {(S₀e,e) + (S₀g,g)} ;

здесь S₀ - матрица (11).

Теорема 5. Пусть Δ₂ < 0 (Δ₂ > 0). Тогда уравнение (3) будет устой-

чивым (неустойчивым) при всех малых |ε|.

Таким образом, в случае P₃ линейное уравнение (4) не обладает свойством

сильной устойчивости.

113

3. Исследование нелинейного уравнения

Перейдем теперь к вопросу об устойчивости нулевого решения x = 0 нели-

нейного гамильтонова уравнения (1) при малых |ε|. Здесь (как и в линейном

случае) следует различать резонансный и нерезонансный случаи.

Изучению соответствующих задач посвящена обширная литература. Здесь

одними из основных являются подходы, основанные на методах нормализа-

ции гамильтониана (см., например, [4-8]); эти подходы позволили решить ряд

задач, представляющих важный практический и теоретический интерес.

Следует отметить, что особая необходимость соответствующих исследова-

ний возникает тогда, когда все мультипликаторы µ линеаризованного урав-

нения равны единице по модулю: |µ| = 1. Проведенный выше анализ задачи о

параметрическом резонансе для линейного уравнения (3) показывает, что при

определенных условиях это уравнение при малых ненулевых ε имеет муль-

типликаторы µ(ε) такие, что |µ(ε)| = 1. А именно, такая ситуация возникает

в условиях теорем 2, 4 и 5 в той их части, где говорится о неустойчивости

соответствующего линейного уравнения. Поэтому из указанных утверждений

следует, что верна

Теорема 6. Пусть в условиях случая P₁ выполнено неравенство

εν(S₀e, e) < 0. Тогда при соответствующих малых ненулевых |ε| решение

x = 0 нелинейного уравнения (1) неустойчиво.

Пусть в условиях случая P₂ имеет место нормировка (15) и выполне-

но неравенство Δ₁ < 0. Тогда при всех малых ненулевых |ε| решение x = 0

нелинейного уравнения (1) неустойчиво.

Пусть в условиях случая P₃ выполнено неравенство Δ₂ > 0. Тогда при

всех малых ненулевых |ε| решение x = 0 нелинейного уравнения (1) неустой-

чиво.

Отметим, что приведенное утверждение фактически рассматривает толь-

ко случай, когда линейное уравнение (4) не обладает свойством сильной

устойчивости. При этом рассматриваются только такие возмущения, при ко-

торых линейное уравнение (3) является неустойчивым. В этом случае ма-

лые нелинейные добавки δ(x) не изменяют свойства неустойчивости решения

x = 0 уравнения (1).

Ситуации, когда линейное уравнение (4) является сильно устойчивым

или когда линейное уравнение (3) является устойчивым, уже требуют уче-

та свойств малых нелинейных добавок δ(x) в уравнении (1).

4. Пример: устойчивость системы двух связанных осцилляторов

В качестве примера рассмотрим зависящую от малого параметра ε си-

стему двух связанных осцилляторов, описываемых уравнениями (см., напри-

мер, [12, 17])

{

x^′′ + ax + by = f₁(x) + ε(x + y) (sin t + 1),

(20)

y^′′ + y + x = f₂(y) + ε(x + y) (cos t + 1).

114

Здесь a, b - некоторые постоянные коэффициенты, а нелинейности f₁(x)

и f₂(y) удовлетворяют соотношениям: |f₁(x)| = O(x²), |f₂(x)| = O(x²) при

x → 0. Система (20) имеет состояние равновесия x = y = 0. Рассмотрим во-

прос об устойчивости этого состояния при малых значениях ε в зависимости

от коэффициентов a и b .

Система (20) может быть сведена к уравнению вида (1) при l = 2:

(

)

h^′′′′ + (1 + a + εϕ(t)) h^′′ +

a - b + εψ(t) + O(ε²)

h = g(h),

в котором ϕ(t) = - sin t - cos t - 2, ψ(t) = (b - a)(cos t + 1), а нелинейность g(h)

удовлетворяет соотношению |g(h)| = O(h²) при h → 0.

Будем рассматривать также линеаризованное уравнение

(

)

h^′′′′ + (1 + a + εϕ(t)) h^′′ +

a - b + εψ(t) + O(ε²)

h = 0.

Это уравнение может быть приведено к гамильтоновой форме

(

)

(21)

u^′ = J

A₀ + εS(t) + O(ε²)

u∈R⁴;

здесь









-1











−1 a + 1





ϕ(t)



A₀ =



,

S(t) =





 0

a-b



 0

-ψ(t)



Необходимыми условиями устойчивости состояния равновесия x = y = 0

системы (20) являются неравенства:

a > -1,

0 ≤ a - b ≤ (a + 1)²/4.

В этом случае все собственные значения матрицы JA₀ являются чисто мни-

мыми: λ_1,2 = ±iω₁, λ_3,4 = ±iω₂; здесь

√

a+1+

(a - 1)²

+ 4b

a+1-

(a - 1)² + 4b

(22)

ω₁ =

ω₂ =

Указанные в разделе 2 условия P₁-P₃ здесь могут быть представлены в

виде:

P₁. a > -1, b = -(a - 1)²/4 , a + 1 = k²/2 при натуральных k;

P₂. a > -1, -(a - 1)²/4 < b < a, при этом числа (22) удовлетворяют усло-

вию (6);

P₃. a > -1, -(a - 1)²/4 < b < a, при этом одно из чисел (22) удовлетворяет

условию (7).

115

Рассмотрим сначала случай P₁. Здесь матрица JA₀ имеет пару неполу-

простых (кратности 2) собственных значений ±i√a + 1/√2. Далее, векторы

e, g ∈ C⁴, удовлетворяющие равенствам (9) и условиям леммы 1, здесь имеют

вид







√



3/2

i(a + 1)

-3(a + 1)/2





√

















i√a + 1



,

.

√









 i/

√a + 1







√

a + 1/2

2(a + 1)/2

Тогда число ν из (11) равно: ν =

. Поэтому получим ν(S₀e, e) =

(e,Jg)

4(a+1)

= π(a - 3)/4. Тогда из теорем 2 и 6 следует, что в случае P₁:

• при a > 3 и b = -(a - 1)²/4 состояние равновесия x = y = 0 системы (20)

будет линейно устойчивым (неустойчивым в нелинейной постановке) при

всех малых ненулевых ε > 0 (ε < 0);

• при -1 < a < 3 и b = -(a - 1)²/4 состояние равновесия x = y = 0 системы

(20) будет линейно устойчивым (неустойчивым в нелинейной постановке)

при всех малых ненулевых ε < 0 (ε > 0) .

Рассмотрим теперь случай P₂. Пусть для определенности числа (22) удо-

влетворяют условию P₂ при k₀ = 1, т.е. ω₁ - ω₂ = 1. Тогда случай P₂ имеет

место при выполнении соотношений

√

a > -1, b =

a(4 - a) , a + 1 ±

2a + 1 =

при натуральных k.

Для того чтобы воспользоваться схемой, изложенной в разделе 2.2, построим

собственные векторы e и g матрицы JA₀, удовлетворяющие равенствам (12):









-iω₁ω

-iω²¹ω₂











-iω₁





-iω₂





,







-1





-1



ω²

Тогда (iJe, e) > 0, (iJg, g) < 0. Это означает, что мультипликатор µ₀ =

= e2πω1i = e2πω2i линейной системы (21) (при ε = 0) является индефинитным.

Далее нормируем эти векторы так, чтобы выполнялись равенства (15), т.е.

вместо e и g определим векторы e₁ = αe и g₁ = βg, в которых коэффициенты

α и β подбираются соответствующим образом. Подсчет показывает, что тогда

число (17) равно Δ₁ = π²(1 - 6a)/4(2a + 1)².

Тогда из теорем 5 и 6 следует, что в случае P₂:

• при -1 < a < 1/6 и b = a(4 - a)/4 состояние равновесия x = y = 0 системы

(20) будет линейно устойчивым при всех малых |ε|;

• при a > 1/6 и b = a(4 - a)/4 состояние равновесия x = y = 0 системы (20)

будет неустойчивым в нелинейной постановке при всех малых |ε|.

116

Рассмотрим, наконец, случай P₃. Пусть, для определенности, условию (7)

удовлетворяет число iω₁ при k₀ = 1, т.е. ω₁ = 1/2. Тогда случай P₃ имеет

место при выполнении соотношений a > -1 и b = 3(4a - 1)/16. Определим

ненулевой вектор e + ig ∈ C⁴, удовлетворяющий равенству (18):









(4a + 3)/8















1/2





,













−1/4

Подсчет показывает, что тогда число (19) равно Δ₂ = -π²(48a² + 1224a +

+ 4475)/16 384. Это число при a > -1 является отрицательным. Отсюда и из

теоремы 5 следует, что в случае P₃ состояние равновесия x = y = 0 системы

(20) будет линейно устойчивым при всех малых |ε|.

5. Заключение

В статье предложены новые признаки устойчивости по Ляпунову систем

Лурье со слабоосциллирующими параметрами в критических случаях. Ос-

новное внимание уделено изучению задачи о параметрическом резонансе в

основных резонансах. Полученные результаты базируются на предложенных

авторами новых формулах первого приближения для возмущений кратных

дефинитных и индефинитных мультипликаторов линейных гамильтоновых

систем. Основные результаты доведены до расчетных формул и алгоритмов.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Вспомогательные построения

Отметим, что теоремы 2-5, относящиеся к уравнениям (1) и (3), неслож-

но переформулировать для соответствующих равносильных уравнений в га-

мильтоновых формах. Поэтому и доказательства этих утверждений мож-

но провести для уравнений в гамильтоновых формах. Далее, исследование

характера устойчивости решений можно свести к исследованию поведения

мультипликаторов соответствующих линеаризованных уравнений при малых

значениях |ε|. При этом используются спектральные свойства неавтономных

линейных гамильтоновых систем (см., например, [7, 9-11]).

Приведем сначала некоторые вспомогательные утверждения, полученные

ранее авторами настоящей статьи (см. [16]).

Пусть A(ε) - вещественная квадратная (2l × 2l) матрица, гладко завися-

щая от параметра ε. Пусть сначала матрица A₀ = A(0) имеет полупростое

собственное значение λ₀ (вещественное или комплексное) кратности 2. Тогда

при малых |ε| матрица A(ε) имеет два собственных значения λ⁽¹⁾(ε) и λ⁽²⁾(ε)

таких, что λ⁽¹⁾(0) = λ⁽²⁾(0) = λ₀. Указанные функции непрерывно дифферен-

цируемы и представимы в виде

(Π.1)

λ⁽¹⁾(ε) = λ₀ + ελ⁽¹⁾¹ + O(ε^3/2), λ⁽²⁾(ε) = λ₀ + ελ⁽²⁾¹ + O(ε^3/2

117

В рассматриваемом случае найдутся две пары линейно независимых векторов

e, g ∈ C^2l и e^∗, g^∗ ∈ C^2l такие, что:

A₀e = λ₀e, A₀g = λ₀g, A^∗0e^∗ = λ₀e^∗, A^∗0g^∗ = λ₀g^∗.

Векторы e, g, e^∗, g^∗ можно нормировать в соответствии с равенствами

(Π.2)

(e, e^∗) = (g, g^∗) = 1, (e, g^∗) = (g, e^∗

) = 0.

Теорема 7. Коэффициенты λ⁽¹⁾¹ и λ⁽²⁾¹ в формулах (Π.1) являются соб-

ственными значениями матрицы

[

]

(A1e, e∗) (A1g, e∗)

(A₁e, g^∗) (A₁g, g^∗)

где A₁ = A^′(0).

Пусть теперь матрица A₀ = A(0) имеет неполупростое собственное значе-

ние λ₀ (вещественное или комплексное) кратности 2. Тогда при малых |ε|

матрица A(ε) имеет два собственных значения λ⁽¹⁾(ε) и λ⁽²⁾(ε) таких, что

λ⁽¹⁾(0) = λ⁽²⁾(0) = λ₀. Указанные функции непрерывны и представимы в ви-

де разложения Пюизье:

(Π.3)

λ⁽¹⁾(ε) = λ₀ + ε^1/2λ⁽¹⁾¹ + O(ε), λ⁽²⁾(ε) = λ₀ + ε^1/2λ⁽²⁾¹

+ O(ε).

В рассматриваемом случае найдутся две пары линейно независимых векторов

e, g ∈ C^2l и e^∗, g^∗ ∈ C^2l такие, что

A₀e = λ₀e, A₀g = λ₀g + e, A^∗0e^∗ = λ₀e^∗, A^∗0g^∗ = λ₀g^∗ + e^∗.

Векторы e, g, e^∗, g^∗ можно нормировать в соответствии с равенствами

(Π.4)

(e, g^∗) = (g, e^∗) = 1, (e, e^∗) = (g, g^∗

) = 0.

Теорема 8. Коэффициенты λ⁽¹⁾¹ и λ⁽²⁾¹ в разложениях (Π.3) - это числа

√

λ⁽¹⁾¹ =

(A₁e, e^∗), λ⁽²⁾¹ = -λ⁽¹⁾¹;

здесь A₁ = A^′(0).

Отметим, что матрица монодромии V (ε) = X(T ) (X(t) - фундаментальная

матрица решений) системы (8) представима (см., например, [16]) в виде

(Π.5)

V (ε) = V₀ + εV₁ + V₂

(ε);

здесь V₀ = eJA0T ,

∫

(Π.6)

V₁ = V^′(0) = eJA0T e-JA0τ JS₁(τ)eJA0τ

dτ,

118

а V₂(ε) - непрерывно дифференцируемая матрица, удовлетворяющая усло-

вию ∥V₂(ε)∥ = O(|ε|²) при ε → 0.

Доказательство теоремы 2.

По векторам e и g из равенств (9) определим новые векторы:

e₁ = e,

g₁ =

e^∗1 = -aJe,

g^∗1 =

τJg,

Tµ₀

где τ - ненулевой коэффициент (вообще говоря, комплексный). Эти векторы

удовлетворяют равенствам:

V₀e₁ = µ₀e₁, V₀g₁ = µ₀g₁ + e₁, V^∗0e^∗1 = µ₀e^∗1, V^∗0g^∗1 = µ₀g^∗1 + e^∗1.

При этом векторы e₁, g₁, e^∗1, g^∗1 можно нормировать в соответствии с анало-

гами равенств (Π.4), положив τ = T µ₀/(e, Jg).

Для завершения доказательства теоремы 2 остается применить утвержде-

ние теоремы 8 к матрице (Π.5).

Доказательство теоремы 3.

Ограничимся приведением доказательства теоремы 3; теорема 4 доказы-

вается аналогично.

В силу теоремы 7 коэффициенты µ⁽¹⁾¹ и µ⁽²⁾¹ в разложениях (Π.3) - это

собственные значения матрицы

[

]

(V1e, e∗) (V1g, e∗)

(Π.7)

;

(V₁e, g^∗) (V₁g, g^∗)

здесь V₁ = V^′(0).

Пусть в условиях теоремы 3 для определенности имеет место нормировка

(13). Тогда в качестве векторов e^∗ и g^∗ в матрице (Π.7) будем использовать

векторы

(Π.8)

e^∗ = -iJe,

g^∗

= -iJg,

где e и g - векторы из (12). Векторы (Π.8) являются линейно независимыми

собственными векторами матрицы (JA₀)^∗, отвечающими собственному зна-

чению λ = -ω₀i, т.е. для них выполнены равенства

(JA₀)^∗e^∗ = -ω₀ie^∗, (JA₀)^∗g^∗ = -ω₀ig^∗.

В силу равенств (13)-(15) векторы e, g, e^∗, g^∗ удовлетворяют условиям норми-

ровки (Π.2).

Подставляя матрицу (Π.6) в (Π.7) и учитывая равенства (Π.8), установим

справедливость теоремы 3.

Доказательство теоремы 5.

В силу теоремы 7 коэффициенты µ⁽¹⁾¹ и µ⁽²⁾¹ в разложениях (Π.3) - это

собственные значения матрицы (Π.7), в которой V₁ = V^′(0), векторы e и g

119

берутся из равенства (18). В качестве векторов e^∗ и g^∗ будем использовать

векторы

(Π.9)

e^∗ = νJg, g^∗

= νJe,

где ν =

(e,Jg)

Элементы матрицы (Π.7) могут быть вычислены с использованием фор-

мул (Π.6) и (Π.9). Проведя необходимые преобразования, установим справед-

ливость теоремы 5.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Леонов Г.А. Теория управления. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2006.

Воронов А.А. Введение в динамику сложных управляемых систем. М.: Наука,

1985.

Красносельский А.М., Рачинский Д.И. О гамильтоновости систем Лурье // АиТ.

2000. № 8. С. 25-29.

Krasnosel’skii A.M., Rachinskii D.I. On Hamiltonian Nature of Lurie Systems //

Autom. Remote Control. 2000. V. 61. No. 8. P. 1259-1262.

Брюно А.Д. О типах устойчивости в системах Гамильтона // Препринты ИПМ

им. М.В. Келдыша, 2020, 021, 24 с. https://doi.org/10.20948/prepr-2020-2.

Брюно А.Д. Нормальная форма системы Гамильтона с периодическим возму-

щением // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша, 2019, 057, 27 с.

https://doi.org/10.20948/prepr-2019-57.

Журавлев В.Ф., Петров Ф.Г., Шундерюк М.М. Избранные задачи гамильтоно-

вой механики. М.: Ленанд, 2015.

Маркеев А.П. Линейные гамильтоновы системы и некоторые задачи об устой-

чивости движения спутника относительно центра масс. М.- Ижевск: Ин-т ком-

пьют. исслед., 2009.

Якубович В.А., Старжинский В.М. Параметрический резонанс в линейных си-

стемах. М.: Наука, 1987.

Meyer K., Hall G., Offin D. Introduction to Hamiltonian Dynamical Systems and

the N-Body Problem. 2nd ed. / V. 60 of Applied Mathematical Sciences. New York:

Springer, 2009.

10.

Seyranian A.P., Mailybaev A.A. Multiparameter Stability Theory with Mechanical

Applications. New Jersey: World Scientific, 2003.

11.

Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения

с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука, 1972.

12.

Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. М.: Либроком, 2015.

13.

Lanchares V. On the stability of Hamiltonian dinamical systems / Monografias

Matematicas Garca de Galdeano., 2014. P. 155-166.

14.

Юмагулов М.Г., Ибрагимова Л.С., Музафаров С.М., Нуров И.Д. Бифуркация

Андронова-Хопфа со слабоосциллирующими параметрами // АиТ. 2008. № 1.

С. 39-44.

Yumagulov M.G., Ibragimova L.S., Muzafarov S.M., Nurov I.D. The Andronov-Hopf

Bifurcation with Weakly Oscillating Parameters // Autom. Remote Control. 2008.

V. 69. No. 1. P. 36-41.

120

15. Шильников Л.П., Шильников А.Л., Тураев Д.В., Чуа Л. Методы качественной

теории в нелинейной динамике. Часть 2. М.-Ижевск: НИЦ “Регулярная и хао-

тическая динамика”, Институт компьютерных исследований, 2009.

16. Юмагулов М.Г., Ибрагимова Л.С., Белова А.С. Методы исследования устойчи-

вости линейных периодических систем, зависящих от малого параметра // Ито-

ги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Тем. обзор. Т. 163. 2019. С. 113-126.

17. Поляк Б.Т., Квинто Я.И. Устойчивость и синхронизация осцилляторов: новые

функции Ляпунова // АиТ. 2017. № 7. С. 76-85.

Polyak B.T., Kvinto Ya.I. Stability and Synchronization of Oscillators: New Lya-

punov Functions // Autom. Remote Control. 2017. V. 78. No. 7. P. 1234-1242.

Статья представлена к публикации членом редколлегии А.И. Маликовым.

Поступила в редакцию 19.06.2021

После доработки 28.10.2021

Принята к публикации 20.11.2021

121