Автоматика и телемеханика, № 3, 2022

Нелинейные системы

(Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)

АГРЕГИРОВАНИЕ АВТОНОМНОЙ СИСТЕМЫ

С ПРИТЯГИВАЮЩИМ ЦИКЛОМ¹

Рассматривается множество автономных систем, в каждой из которых

реализуется невырожденный для периодического решения случай. Реша-

ется задача агрегирования этих систем в модель, содержащую связан-

ные подсистемы, с целью построения системы с притягивающим цик-

лом. Предлагаются способы агрегирования, находятся слабые связи-

управления, строятся скорректированные системы.

Ключевые слова: агрегирование, подсистемы, периодическое решение,

невырожденный случай, слабая связь-управление, скорректированная

система, цикл, притяжение.

DOI: 10.31857/S0005231022030047

1. Введение

В публикации [1] введена модель, содержащая связанные подсистемы

(МССП) и описываемая системой обыкновенных дифференциальных уравне-

ний, в которой подсистемы системы автономных ОДУ. Наличие связи меж-

ду подсистемами определяется параметром связи ε, при нулевом значении

которого модель распадается на независимые подсистемы. Таких параметров

в МССП может быть один или несколько. Параметры отражают иерархич-

ность подсистем в МССП. Размерность каждой подсистемы в МССП в об-

щем случае индивидуальная, сама подсистема может быть линейной или

нелинейной и описывать различные процессы: механические, электрические,

биофизические и т.д. Система МССП моделирует систему, в которой одно-

временно происходят различные связанные между собой процессы. В случае

связей, не зависящих явно от времени, получается автономная МССП. Од-

ноуровневая МССП называется связанной (coupled) системой.

МССП относится к сложной системе. Основным методом изучения слож-

ных систем стала декомпозиция (см. [2-9]). При декомпозиции свойства слож-

ной системы исследуются на основе свойств подсистем с учетом связей между

ними. Из-за своей структуры МССП допускает естественную декомпозицию

¹ Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фунда-

ментальных исследований (проект № 19-01-00146).

на подсистемы. Агрегирование сложной системы заключается в объедине-

нии подсистем в единое целое, обладающее требуемым динамическим свой-

ством. Способы агрегирования сложной системы методом Ляпунова приво-

дятся в [10].

Колебания автономной МССП изучались в ряде публикаций (см., напри-

мер, [11-14]). При этом в [13] для решения задачи стабилизации колебания

МССП предложено выбирать связи, обеспечивающие одновременно суще-

ствование, устойчивость и саму стабилизацию. Тогда связь действует как

управление, а задача стабилизации колебания решается естественным обра-

зом, т.е. без привлечения других управлений. Анализ уравнения Ван дер По-

ля с позиции МССП приводит в [15, 16] к нахождению универсальных слабых

связей-управлений, реализующих идею [13], и построению управляемой ме-

ханической системы с малым коэффициентом ε усиления регулятора. Такая

управляемая система называется ε-скорректированной системой. В резуль-

тате коррекции система обладает орбитально асимптотически устойчивым

циклом, близким к выделенному колебанию самой системы. С построением

ε-скорректированных систем для подсистем, допускающих семейства невы-

рожденных периодических решений, находится путь к агрегированию меха-

нических систем в связанную систему.

По альтернативе в [11] в невырожденном для периодических решений слу-

чае в автономной системе реализуется семейство периодических решений или

цикл. В механической системе цикл рождается в ε-скорректированной си-

стеме (см. [15, 16]) из семейства периодических решений. Поэтому подсисте-

ма с семейством периодических решений располагается на нижнем уровне

иерархии МССП. Сама скорректированная система принадлежит следующе-

му уровню иерархии, на котором могут находиться и другие подсистемы с

циклами. Более того, этот уровень может содержать подсистемы с семейства-

ми периодических решений так же, как и нижний уровень может иметь под-

системы с циклами. На последующих уровнях иерархии МССП могут быть

подсистемы с семействами периодических решений, подсистемы с циклами,

скорректированные системы. Такой сложной представляется структура агре-

гированной автономной системы, содержащей связанные подсистемы. С дру-

гой стороны, выясняется, что агрегирование связанных систем с семействами

периодических решений и агрегирование связанных систем с циклами ста-

новятся основными этапами при агрегировании любой автономной МССП,

допускающей цикл.

В статье решается задача агрегирования автономной МССП, обладающей

притягивающим циклом.

2. Скорректированная автономная система

Согласно разделу 1 на нижнем уровне иерархии автономной МССП распо-

лагаются подсистемы, допускающие семейства периодических решений (од-

ночастотных колебаний). Рассматривается семейство невырожденных коле-

баний, на котором согласно [11] период монотонно (см. [17]) зависит от одного

параметра, обозначенного здесь через h. Такими являются, в частности, ко-

лебания лагранжевой системы, подверженной действию позиционных сил

потенциальных и неконсервативно позиционнных.

Для механических систем задача нахождения универсальных связей-

управлений и построение скорректированных (управляемых) систем, допус-

кающих орбитально асимптотически устойчивый цикл, решалась в [15, 16].

Далее дается построение скорректированной системы для системы общего

вида.

Рассматривается гладкое автономное уравнение

(1)

Ż = Z(z), z ∈ Rⁿ,

общее решение которого обозначается через z(z⁰¹, . . . , z⁰ⁿ, t), где z⁰ - начальная

точка (при t = 0). Для (1) необходимые и достаточные условия существования

T -периодического решения даются равенством

(2)

f ≡ z(z⁰¹,...,z⁰ⁿ,T) - z⁰

= 0.

В предположении, что (2) имеет решение z⁰ = z^∗, T = T^∗, вычисляется

ранг Ra_∗ функциональной матрицы для функции f в точке z^∗ при T = T^∗.

Используются определения из [11].

Определение 1. Cлучай Ra_∗ = n - 1 называется невырожденным для

периодического решения случаем.

Определение 2. Изолированное периодическое решение автономного

уравнения называется циклом.

В данной статье анализируется невырожденный случай для периодиче-

ского решения. В нем система (1) допускает цикл или семейство Σ периоди-

ческих решений с монотонным по скалярному параметру h периодом T (h)

(см. [11, 17]). Решения из Σ заполняют двумерное инвариантное многообра-

зиеΣ. Без ограничения общности сначала рассматривается система

(3)

x = X(x,y),

y = Y (x,y),

заданная наΣ. Семейство Σ описывается формулами: x = x(h, t), y = y(h, t).

Тогда уравнения в вариациях для решения из Σ имеют периодическое ре-

шение x(h, t), y(h, t). Второе решение этих уравнений находится дифферен-

цированием по h и в невырожденном случае не будет периодическим. При

этом соответствующие нулевые характеристические показатели (ХП) обра-

зуют жорданову клетку.

На плоскости (x, y) для фиксированного h решение из семейства Σ пред-

ставляется замкнутой кривой, а все решения семейством по h замкнутых

кривых. Значит, семейство Σ удобно представлять в полярной системе коор-

динат (r, θ), выбирая за r параметр семейства h. Тогда скорость изменения

угла θ будет зависеть от h. При этом при необходимости используется перенос

начала координат.

В новых переменных уравнения (3) записываются в виде

θ=ω(r).

r = 0,

Управляемая система

θ=ω(r∗_+ρ);ρ=r-r∗

(4)

ρ = -ερ,

ε = const,

строится в окрестности решения, на котором r = r^∗. При малом ε > 0 решение

ρ = 0 первого уравнения становится устойчивым, а управляемая система в

переменных (r, θ) допускает орбитально асимптотически устойчивый цикл.

Вывод сохраняется для многомерной системы, в которой многообразиеΣ

обладает свойством притяжения, что обеспечивается соответствующими от-

рицательными ХП. В граничном случае, когда часть этих ХП принадлежит

мнимой оси, притяжение кΣ обеспечивается по каждой переменной малым

управлением, как происходит в первом уравнении системы (4).

Таким образом, получается принципиальное решение задачи построения

скорректированной системы, обладающей орбитально асимптотически устой-

чивым циклом.

Теорема 1. Пусть автономная система содержит многообразие Σ, за-

полненное семейством Σ невырожденных периодических решений, для ко-

торого ХП принадлежат левой полуплоскости или мнимой оси. Для такой

системы всегда строится скорректированная система, допускающая орби-

тально асимптотически устойчивый цикл.

3. Построение скорректированной системы

Согласно теореме 1, скорректированная система существует. В ней ор-

битальная асимптотическая устойчивость обеспечивается диссипацией, дей-

ствующей в каждой текущей точке траектории. В уравнении второго порядка

диссипация создается нелинейной силой, линейной по скорости: таким явля-

ется универсальное управление в [15, 16].

При переходе от уравнения второго порядка к системе двух уравнений (3),

в которой x = y, оказывается, что диссипация линейна по скорости x. При

этом одновременно происходит диссипация по координате y. Действующее

на систему управление находится из необходимых условий существования в

системе цикла. При этом универсальное управление из [15, 16] является про-

стейшим по виду и реализуется в мягком режиме функционирования триода.

Очевидно, управление не будет единственным.

В общем случае (3) строится скорректированная система

x = X(x,y),

(5)

y = Y (x,y) + εσ(1 - Kx²)X(x,y),

где постоянная σ равняется +1 или (-1), а поcтоянная K вычисляется далее.

При ε = 0 система (5) допускает семейство Σ. Поэтому для решения во-

проса о существовании и устойчивости цикла используется амплитудное (би-

фуркационное) уравнение

∫T^∗

(6)

I(h) ≡

(1 - Kx(h, t)²

)X(x(h, t), y(h, t))η(h, t)dt = 0,

где (ξ(h, t), η(h, t)) T -периодическое решение системы, сопряженной к урав-

нениям в вариациях для периодического решения автономной системы. С уче-

том возможности выбора времени t с точностью до постоянной полагается

η(h, 0) = 0. Само равенство (6) получается как необходимое условие суще-

ствования T^∗-периодического решения системы (5) в первом приближении по

ε: T^∗ = T (h^∗). Число K вычисляется из условия существования корня h = h^∗

уравнения (6). В результате получается

∫

X(h^∗, t)η(h^∗, t)dt

(7)

K =

∫

x²(h^∗,t)X(h^∗,t)η(h^∗,t)dt

где X(h, t) = X(x(h, t), y(h, t)).

Формула (7) справедлива для произвольного корня h = h^∗ амплитудного

уравнения (6). При учете этого факта вводится функция K(h^∗) или функ-

ция K(h) с переменной h.

Далее используется тождество

∫

(1 - Kx(h, t)²)X(x(h, t), y(h, t))η(h, t)dt ≡ 0,

дифференцированием которого по параметру h в точке h = h^∗ и учетом ра-

венства η(h, T ) = 0 вычисляется производная

∫

dI(h^∗)

dK(h^∗)

(8)

κ, κ = x²(h^∗, t)X(h^∗, t)η(h^∗

,t)dt.

Из формулы (8) выводится достаточное условие dI(h^∗)/dh = 0 существо-

вания цикла в точке h = h^∗. Условие выполняется, если χ = dK(h^∗)/dh = 0 и

интеграл в (8) отличен от нуля. В этой ситуации выбором соответствующе-

го знака постоянной σ, σdI(h^∗)/dh < 0, завершается построение орбитально

асимптотически устойчивого цикла.

Таким образом, справедлива теорема 2.

Теорема 2. Пусть система (3) допускает семейство Σ невырожден-

ных периодических решений. Тогда посредством управления с функцией

u = (1 - Kx²)X(x,y), действующего на правую часть уравнения по y в

системе

(3), для каждой точки h = h^∗, в которой χκ = 0, строится

ε-скорректированная система, обладающая орбитально асимптотически

устойчивым циклом.

Замечание 1. Теорема 2 также формулируется с использованием управ-

ления (1 - Ky²)Y (x, y), действующего на правую часть уравнения по x в си-

стеме (3).

Замечание 2. Теорема 2 доставляет конструктивный способ построения

скорректированной системы, обладающей орбитально асимптотически устой-

чивым циклом.

Замечание 3. В случае механической системы, подверженной действию

позиционных сил, универсальное управление найдено в [15].

Замечание 4. Теорема 2 распространяется на многомерную систему с

притягивающим многообразиемΣ.

Пример 1. Для консервативной системы с одной степенью свободы в (3)

выполняются равенства

X(x, y) = y, Y (x, y) = F (x).

Поэтому скорректированное уравнение (5) записывается в виде

x = F(x) + εσ(1 - Kx²)x.

Функция η(h, t) ≡ x(h, t) (см. [13]), и амплитудное уравнение (6) приобретает

вид

∫T^∗

I(h) ≡

[1 - Kx²(h, t)] x²(h, t)dt = 0.

Достаточное условие существования орбитально асимптотически устойчивого

цикла в скорректированной консервативной системе с одной степенью свобо-

ды дается неравенством σχ < 0.

Для математического маятника F (x) = - sin x, а функция K(h) соглас-

но [18] монотонно убывает. Поэтому χ < 0, и условие существования орби-

тально асимптотически устойчивого цикла выполняется с константой σ = 1.

4. Агрегирование подсистем, допускающих циклы

Рассматривается гладкая слабо связанная система

(9)

Ż^s = Z^s(z^s) + εu^s(z¹,... ,z^m), z^s ∈ Rms

, s = 1,...,m.

Предполагается, что при ε = 0 каждая из подсистем допускает орбитально

асимптотически устойчивый цикл z^s = z^s(t + γ_s) с периодом T : γ_s времен-

ной сдвиг на траектории. Задача заключается в нахождении таких функ-

ций u^s, чтобы связанная система (9) при малых ε > 0 также обладала орби-

тально асимптотически устойчивым циклом.

Согласно [12] записываются амплитудные уравнения

∫T

∑

(10)

g^s(γ) ≡

u^sk(z¹(t + γ₁),... ,z^m(t + γ_m))ψ^sk

dt = 0, s = 1, . . . , m,

k=1

доставляющие необходимое и достаточное условие существования в (9) в

первом приближении по ε решения периода T ; функция z^s = z^s(t + γ_s), s =

= 1, . . . , m, вычисляется на цикле подсистемы. Функции {ψ^sk} образуют си-

стему T -периодических решений линейной сопряженной системы. Векторное

уравнение (10) содержит m неизвестных. В [12, теорема 1] доказывается, что

корню γ = γ^∗ уравнения (10), для которого ранг функциональной матрицы

отображения γ → g(γ), g = (g¹, . . . , g^m), равен m - 1, отвечает цикл связан-

ной системы. При этом функции u^s связывают все подсистемы в одну ав-

тономную систему, в которой для цикла реализуется невырожденный для

периодического решения случай. В этой ситуации по теореме Андронова-

Витта [19] цикл будет орбитально асимптотически устойчивым, если ненуле-

вые ХП находятся в левой полуплоскости. С другой стороны, для устойчиво-

го цикла задача стабилизации цикла решается самим фактом существования

цикла. Следовательно, согласно результатам в [12, теорема 3] задача ста-

билизации цикла связанной системы решается надлежащими автономными

управлениями u^s.

Далее предполагается, что все ХП цикла в каждой подсистеме принадле-

жат левой полуплоскости. Для подсистем, обладающих семействами перио-

дических решений, это достигается построением скорректированных систем.

Но в любом случае агрегирование подсистем, обладающих устойчивыми цик-

лами, проводится нахождением функций u^sk, гарантирующих перемещение

m - 1 нулевых ХП в отрицательную полуплоскость.

Для определения векторов u^s используется подход, идея которого лежит

в теории вынужденных колебаний. В этом подходе с учетом факта устойчи-

вости циклов в подсистемах вектор u¹ полагается нулевым, а остальные u^s

определяются по формулам

[

]

∑

(11)

u^s = σ_s

1 - K_s(z¹)²

v^s(z^s), (z¹)² =

(z^1j)²

s = 2,...,m,

j=1

где числa σ_s равны +1 или (-1), K_s - постоянные, а функция v^s зависит

только от вектора z^s. Получается, что подсистема с номером 1 действует на

все другие подсистемы, не испытывая действия других подсистем: связь -

односторонняя. Более того, на каждую из этих подсистем действует только

первая подсистема. В результате анализ системы (9) включает независимый

анализ m - 1 систем

Ż¹ = Z¹(z¹),

(12)

[

]

Ż^s = Z^s(z^s) + εσ_s

1 - K_s(z¹)²

v^s(z^s), s = 2,... ,m.

Постоянная K_s в системе (12) находится из условия выполнения равенства

∫

[

∑

g^s(γ) ≡ σ_s

1 - K_s(z¹(t + γ₁))²

v^sk (z^s(t + γ_s)) ψ^sk(t + γ_s)dt = 0,

(13)

k=1

s = 2,...,m.

Это уравнение вместе с тождеством g¹(γ₁) ≡ 0 служит системой амплитуд-

ных уравнений для (12). С учетом произвольности сдвига γ₁ при нахождении

корня уравнения (13) используется переменная интегрирования τ = t + γ₁.

Тогда получаются m - 1 независимых уравнений

∫

[

]

g^s(ν_s) ≡ σ_s

1 - K_s(z¹(τ))²

f_s(τ,ν_s)dτ = 0,

(14)

∑

f_s(τ,ν_s) =

v^sk (z^sk(τ + ν_s)) ψ^sk(τ + ν_s), s = 2,... ,m,

k=1

для нахождения временных сдвигов ν_s = γ_s - γ₁, s = 2, . . . , m. Эти уравнения

исследуются, когда средние значения не равны нулю:

∫

(15)

κ_s =

f_s(τ,ν_s

)dτ = 0.

Из (14) для корня ν_s = ν^∗s уравнения (13) c номером s определяется число

∫

f_s(τ,ν^∗s)dτ

(16)

K_s =

∫

(z¹(τ))²f_s(τ, ν^∗s)dτ

т.е. устанавливается существование корня ν_s = ν^∗s для рассматриваемого

уравнения в (14).

Таким образом, система амплитудных уравнений (10) имеет корень, для

которого сдвиг γ₁ произволен, а остальные сдвиги γ_s = γ₁ + ν^∗s, s = 2, . . . , m,

находятся как корни уравнений (14).

При рассмотрении равенства (16) как формулы для нахождения зависи-

мости K_s(ν_s) из (13) следует тождество

∫

[

]

(17)

1 - K_s(ν_s)(z¹(τ))²

f_s(τ,ν_s

)dτ ≡ 0.

Отсюда при ν_s = ν^∗s выводится равенство

∫T

∫

−dK_s(ν^∗s) (z¹(τ))²f_s(τ, ν^∗s)dτ + d

[1 - K_s(ν^∗s)(z¹(τ))²]f_s(τ, ν^∗s)dτ = 0.

Поэтому при ν_s = ν^∗s для всех номеров s = 2, . . . , m вычисляется производная

dg^s(ν^∗s)

dK_s(ν^∗s)

(18)

=σ_sχ_sκ_s, χ_s =

dν_s

В результате для невырожденного случая, когда все dK_s(ν^∗s)/dν_s = 0, ранг

функциональной матрицы отображения γ → g(γ) равняется m - 1. Следова-

тельно, достаточные условия агрегирования подсистем в МССП, обладающей

циклом, выполняются.

Интеграл в (15) не зависит от ν_s. Поэтому из (17) следует T -периодичность

функции K_s(ν_s). Эта функция, как следует из ее определения, не сводится

к постоянной. Следовательно, ее производная обращается в нуль только в

конечном числе точек.

Следующий шаг агрегирования заключается в выборе таких функций (11),

чтобы МССП обладала притягивающим циклом. По предположению все ХП

циклов в подсистемах лежат в отрицательной полуплоскости; они насле-

дуются циклом МССП. В невырожденном случае нулевые ХП подсистем с

номерами s = 2, . . . , m становятся ненулевыми. Поэтому выбором чисел σ_s

они перемещаются при необходимости в левую полуплоскость.

Таким образом, решается задача агрегирования МССП, содержащей под-

системы с циклами и обладающей притягивающим циклом.

Теорема 3. Пусть имеется множество из m систем, каждая с орби-

тально асимптотически устойчивым циклом, причем периоды циклов сов-

падают. Тогда задача агрeгирования автономной МССП, допускающей при-

тягивающий цикл, решается функциями (11), (15): числа σ_s обеспечивают

принадлежность ХП цикла левой полуплоскости. Цикл задается в подси-

стемах сдвигами ν^∗2,... ,ν^∗m по времени и существует для всех точек на

окружностях по параметрам ν_s за исключением конечного числа точек.

Замечание 5. В силу равноправности рассматриваемых подсистем вме-

сто первой подсистемы системы (9) в схеме агрегирования можно выбирать

любую из подсистем. При этом качественный результат агрегированная

МССП, обладающая притягивающим циклом сохраняется. Однако циклы

агрегированных МССП будут отличаться на величины порядка O(ε).

Замечание 6. В предложенной схеме агрегирования одна из подсистем

становится регулятором, который генерирует управляющий сигнал, а осталь-

ные подсистемы - объектами регулирования. Получается структура с регу-

лятором в центре и объектами на периферии. Колебания в объектах не син-

хронизируются по времени. Природная аналогия напрашивается.

Замечание 7. Теорема 3 гарантирует решение задачи агрегирования си-

стемы с притягивающим циклом, однако решение зависит от выбора функ-

ций v^s, поэтому оно не единственное.

5. Агрегирование многоуровневой МССП

Теоремами 2 и 3 дается конструктивный способ агрегирования автономной

МССП из подсистем, содержащих невырожденные периодические решения.

Если набор подсистем состоит только из подсистем с циклами, то они агре-

гируются в МССП по теореме 3. Получается одноуровневая МССП.

С другом случае, когда в наборе подсистем содержатся только семейства

периодических решений, согласно теореме 2 конструируются скорректиро-

ванные системы, обладающие орбитально асимптотически устойчивыми цик-

лами, которые агрегируются по теореме 3 в МССП. Получается двухуровне-

вая МССП.

Наконец, в случае набора подсистем, содержащих невырожденные перио-

дические решения разных типов, на первом уровне для подсистем с семей-

ствами периодических решений конструируются скорректированные систе-

мы, к которым на втором уровне добавляются подсистемы с циклами. В ре-

зультате все подсистемы агрегируются в двухуровневую МССП.

Таким представляется правило агрегирования автономной МССП, обла-

дающей притягивающим циклом. Однако в приложениях на каждом уровне

иерархии к МССП могут добавляться подсистемы с разными типами невы-

рожденных периодических решений. Тогда все подсистемы агрегируются в

многоуровневую МССП. В любом случае при этом используется теорема 2

о скорректированной системе, а на самом верхнем уровне теорема 3 об

агрегировании подсистем с циклами.

Заметим, что агрегирование в связанную механическую систему идентич-

ных консервативных систем на плоскости можно проводить построением об-

щей для всех подсистем одной скорректированной системы.

Пример 2. Показывается, как на базе линейного осциллятора и матема-

тического маятника

x + ω²x = 0, ω = const,

ÿ+ siny = 0

агрегируется двухуровневая автономная система с притягивающим циклом.

Несмотря на вырожденность колебаний линейного осциллятора, скоррек-

тированная система уравнение Ван дер Поля допускает притягивающий

цикл. Для математического маятника при применении теоремы 2 учитывает-

ся, что для маятника число χ < 0, σ = 1 (пример 1). Малый коэффициент

усиления регулятора обозначается через ε₁. Формируется первый уровень

иерархии

(19)

x₁ + ωx₁ = ε₁(1 - K_xx²¹) x₁,

ÿ₁ + sin y₁ = ε₁(1 - K_yy²¹) y₁,

записанный в переменных x₁ и y₁ и состоящий из скорректированных систем.

На этом уровне каждая из подсистем допускает орбитально асимптотический

устойчивый цикл. Для маятника с периодом T = T (h), где h - постоянная

энергии, периоды цикла осциллятора Ван дер Поля и цикла управляемого

маятника совпадают при условии T (h) = 2π/ω. Циклы единого для подсистем

периода образуют семейство по сдвигу ν.

Подсистемы на первом уровне можно записать в виде системы

x₁ = X₁(x₁, x₁),

ÿ₁ = Y₁(y₁, y₁),

к которой применяется теорема 3. Полученная система записывается в пере-

менных x₂ и y₂: формируется второй уровень иерархии

x₂ = X₁(x₂, x₂),

(20)

[

(

)]

ÿ₂ = Y₁(y₂, y₂) + ε₂σ

1-K_xy

X²¹(x₂, x₂) + x²²

y₂.

В (20) постоянные σ и K_xy обеспечивают существование и притяжение цик-

лов, ε₂ - коэффициент усиления регулятора. В амплитудном уравнении

∫

[

(

)]

1-K_xy

X²¹(x_c(τ), x_c(τ)) + x^2c(τ)

y₁(τ + ν)ψ(τ + ν)dτ = 0

для цикла системы (20) функцией x_c(τ) описывается цикл Ван дер Поля, а

функцией y₁(τ + ν) цикл управляемого маятника в (19): (ϕ, ψ) периоди-

ческое решение сопряженной системы. При этом функция y₁ = y + O(ε₁), а

согласно вычислениям в [13] функция ψ = - y + O(ε₁). Поэтому интеграл

∫T

κ=-

[y²(τ + ν) + O(ε₁)]dτ

с учетом малости числа ε₁ отличен от нуля. Выполнением этого условия тео-

ремы 3 констатируется достижение второго уровня иерархии автономной

системы с притягивающим циклом.

Таким образом, агрегирование проводится последовательным применени-

ем теорем 2 и 3.

6. Заключение

Агрегирование автономной МССП из подсистем, содержащих невырож-

денные периодические решения, проводится с целью конструирования си-

стемы, обладающей притягивающим циклом. В агрегированной МССП осу-

ществляется естественная стабилизация колебания всей системы и происхо-

дит синхронизация колебаний подсистем по частоте. В данной статье предла-

гается агрегировать подсистемы на каждом этапе объединения в связанную

систему. При этом подсистемы с семействами периодических решений агре-

гируются путем конструирования скорректированных систем, обладающих

притягивающими циклами, и отдельно дается решение задачи агрегирования

подсистем с циклами. В результате получаются одноуровневые МССП, а так-

же многоуровневые МССП. Задача агрегирования в автономную МССП,

обладающую притягивающим циклом, всегда получает решение.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Тхай В.Н. Модель, содержащая связанные подсистемы // АиT. 2013. № 6.

С. 26-41.

Tkhai V.N. Model with Coupled Subsystems // Autom. Remote Control. 2013. V. 74.

No. 6. P. 919-931.

Матросов В.М. Метод векторных функций Ляпунова в анализе сложных систем

с распределенными параметрами // АиТ. 1973. № 1. С. 5-22.

Matrosov V.M. The Method of Vector Lyapunov Functions in Analysis of Composite

Systems with Distributed Parameters (Survey) // Autom. Remote Control. 1973.

V. 34. No. 1. P. 1-15.

Метод векторных функций Ляпунова в теории устойчивости / Под ред.

А.А. Воронова, В.М. Матросова. М.: Наука, 1987.

Матросов В.М. Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических

свойств нелинейных систем. М.: Физматлит, 2001.

Меркин Д.Р. Гироскопические системы. М.: Наука, 1974.

Зубов В.И. Аналитическая динамика системы тел. Л.: Изд-во ЛГУ, 1983.

Пятницкий Е.С. Принцип декомпозиции в управлении механическими система-

ми // Докл. АН СССР. 1988. Т. 300. № 2. С. 300-303.

Шильяк Д. Децентрализованное управление сложными системами / Пер. с англ.

под ред. В.М. Матросова, С.В. Савастюка. М.: Мир, 1994.

Черноусько Ф.Л., Ананьевский И.М., Решмин С.А. Методы управления нели-

нейными механическими системами. М.: Физматлит, 2006.

10.

Александров А.Ю., Платонов А.В. Метод сравнения и устойчивость движений

нелинейных систем. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2012.

11.

Тхай В.Н. Колебания автономной модели, содержащей связанные подсисте-

мы // АиТ. 2015. № 1. С. 81-90.

Tkhai V.N. Oscillations in the Autonomous Model Containing Coupled Subsys-

tems // Autom. Remote Control. 2015. V. 76. No. 1. P. 64-71.

12.

Тхай В.Н. Колебания, устойчивость и стабилизация в модели, содержащей свя-

занные подсистемы с циклами // АиТ. 2015. № 7. С. 40-51.

Tkhai V.N. Oscillations, Stability and Stabilization in the Model Containing Coupled

Subsystems with Cycles // Autom. Remote Control. 2015. V. 76. No. 7. P. 1169-1178.

13.

Тхай В.Н. Стабилизация колебаний автономной системы // АиТ. 2016. № 6.

С. 38-46.

Tkhai V.N. Stabilizing the Oscillations of an Autonomous System // Autom. Remote

Control. 2016. V. 77. No. 6. P. 972-979.

14. Тхай В.Н. Модель, содержащая связанные подсистемы с различными типами

колебаний // АиТ. 2017. № 4. С. 21-36.

Tkhai V.N. Model Containing Coupled Subsystems with Oscillations of Different

Types // Autom. Remote Control. 2017. V. 78. No. 4. P. 595-607.

15. Тхай В.Н. Стабилизация колебания управляемой механической системы // АиТ.

2019. № 11. С. 83-92.

Tkhai V.N. Stabilizing the Oscillations of a Controlled Mechanical System // Autom.

Remote Control. 2019. V. 80. No. 11. P. 1996-2004.

16. Тхай В.Н. Стабилизация колебания управляемой механической системы с N

степенями свободы // АиТ. 2020. № 9 . С. 93-104.

Tkhai V.N. Stabilizing the Oscillations of an N Degree of Freedom Controlled Me-

chanical System // Autom. Remote Control. 2020. V. 81. No. 9. P. 1637-1646.

17. Тхай В.Н. Закон зависимости периода нелинейных колебаний от одного перио-

да // Прик. матем. и механ. 2011. Т. 75. Вып. 3. С. 430-434.

18. Tkhai V.N. Dissipation in the Vicinity of a Oscillation of the Mechanical System //

AIP Conf. Proc. 2018. V. 1959. No. 030022. P. 030022-1-030022-5.

19. Андронов А.А., Витт А.А. Об устойчивости по Ляпунову // Журн. эксп. и

теор. физики. 1933. Т. 3. Вып. 5. С. 373-374.

Статья представлена к публикации членом редколлегии А.М. Красносельским.

Поступила в редакцию 25.08.2020

После доработки 22.09.2021

Принята к публикации 20.11.2021