Автоматика и телемеханика, № 3, 2022

Интеллектуальные системы управления,

анализ данных

(Военный учебно-научный центр военно-воздушных сил

¾Военно-Воздушная Академия им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина,

Воронеж¿)

СРЕДНИЕ НЕЧЕТКИХ ЧИСЕЛ В ЗАДАЧЕ

ОЦЕНИВАНИЯ НЕЧЕТКОЙ ИНФОРМАЦИИ

На основе средних систем нечетких чисел введен и изучен класс усред-

няющих функционалов для реализации задачи оценивания нечеткой ин-

формации. Показано, что они обладают рядом специальных свойств

идемпотентности, монотонности, непрерывности и др., характерных для

скалярных агрегирующих функций.

Ключевые слова: нечеткие числа, усредняющие функционалы, оценива-

ние нечеткой информации, агрегирование нечеткой информации.

DOI: 10.31857/S0005231022030096

1. Введение

Методы нечеткой математики представляют собой один из подходов к опи-

санию понятия неопределенностей, возникающих в различных задачах мате-

матического моделирования (см., напр., [1-3]).

При агрегировании нечеткой информации широко используются так на-

зываемые t-нормы и t-конормы [3, гл. 3]. Другой широко распространенный

подход состоит в привлечении взвешенного среднего, в более общей ситуации

нечеткого интеграла Шоке [2, гл. 4; 4]. Отметим, что оба эти подхода связаны

с построением результирующей (агрегирующей) функции принадлежности

по заданным агрегируемым функциям принадлежности.

С другой стороны, в задачах агрегирования ¾четкой¿ информации важ-

ную роль играют функции агрегирования или агрегаторы [5-7], которые век-

торной оценке объекта

X= (x₁,... ,x_n), где x₁,... ,xn - вещественные па-

раметры, ставят в соответствие скалярную величину A(X) = A(x₁, . . . , x_n),

характеризующую объект в целом (обобщенную оценку). Они обладают

рядом специальных свойств: идемпотентности, непрерывности, монотонно-

сти, симметричности и др. При этом идемпотентность понимается как

A (x, . . . , x) = x. Свойство монотонности означает, что A

X)≤A

Y ) для лю-

бых векторов

X≤

Y , где последнее неравенство понимается покоординатно

(x_i ≤ y_i, i = 1, . . . , n). Свойство симметричности состоит в том, что произ-

вольная перестановка компонентов вектора

X не меняет значение A

X ).

132

Важный класс функций агрегирования составляют разнообразные сред-

ние, в частности среднее арифметическое, среднее показательное, среднее

геометрическое, среднее гармоническое [8, гл. 1].

В данной работе под оцениванием (агрегированием) нечеткой информации

будем понимать обобщенную скалярную оценку совокупности нечетких па-

раметров (нечеткой информации), характеризующих объект исследования.

Фактически речь идет о свертке критериев в многокритериальной задаче,

когда в качестве оценок критериев выступают нечеткие числа.

Целью настоящей работы является модификация метода агрегирующих

функций (в частности средних) на нечеткие числа и обоснование адекватно-

сти такого подхода.

Для этого рассматриваются средние систем нечетких чисел и на их ос-

нове вводятся и изучаются усредняющие функционалы, решающие задачу

оценивания (агрегирования) нечеткой информации.

Вводятся нелинейные средние систем нечетких чисел и изучаются свя-

занные с ними нелинейные усредняющие функционалы оценивания нечеткой

информации.

Будем рассматривать интервальное представление нечетких чисел [1].

А именно, каждому нечеткому числу z с функцией принадлежности µ_z(x)

поставим в соответствие интервал α-уровня, который определяется соотно-

шением

Z_α = {x|µ_z (x) ≥ α} , (α ∈ (0,1]) , Z₀ = cl {x| µ_z (x) > 0} ,

где символ cl означает замыкание множества.

Будем считать, что все α-уровни нечеткого числа есть замкнутые и ограни-

ченные интервалы вещественной оси. Множество таких нечетких чисел обо-

значим J.

Обозначим левую границу α-интервала через z^-(α), а правую z⁺(α).

Иногда z^-(α) и z⁺(α) называют соответственно левым и правым индексами

нечеткого числа.

Равенства между нечеткими числами и арифметические операции над ни-

ми ниже понимаются в смысле интервального подхода.

2. Средние нечетких чисел. Регулярная дефазификация

Как известно [9], среднее значение нечеткого числа z, используя интер-

вальное представление, можно определить следующим способом:

∫

(

)

(1)

m(z) =

z^- (α) + z⁺ (α)

dα.

Отметим, что среднее (1) является аддитивным и однородным (квазили-

нейным). Это следует из определения интервальных действий над нечеткими

133

числами. Однако линейным его назвать нельзя, поскольку множество нечет-

ких чисел не обладает структурой линейного пространства.

Пример 1. Рассмотрим нечеткое треугольное число z, характеризуемое

тройкой (a, b, c) при a < b < c, определяющей функцию принадлежности



x-a



, если x ∈ [a, b] ;





b-a

x-c

µ_z (x) =

, если x ∈ [b, c] ;



b-c

 0 в противном случае.

Как известно, в этом случае нижняя и соответственно верхняя границы

α-интервала имеют вид соответственно

z^- (α) = (b - a)α + a, z⁺ (α) = - (c - b) α + c.

Тогда среднее (1) для нечеткого треугольного числа подсчитывается по

формуле m (A) =¹⁴ (a + 2b + c) .

Предлагается определить нелинейное среднее нечеткого числа посред-

ством заданной непрерывной строго монотонной функции ϕ : R → R по фор-

муле





∫

(

)

(

))

(2)

m_ϕ (z) = ϕ^-1 1

z^- (α)

+ϕ

z⁺ (α)

dα .

Например, случай ϕ (x) = x^p (p > 1) соответствует среднему степенному,

ϕ(x) = lg(x) - среднему геометрическому, ϕ(x) = x^-1 - среднему гармониче-

скому.

Отметим, что выражение, являющееся аргументом функции ϕ^-1 в опре-

делении (2), фактически является средним нечеткого числа ϕ(z) (см. приве-

денную ниже лемму 2).

Пример 2. Для нечеткого треугольного числа z= (a,b,c) в случае сте-

пенной функции ϕ_p (x) = x^p (p = -1) функционал (2) подсчитывается по

формуле

(

)

(

)

(

)

m_p (a,b,c) =

b^p+1 - a^p+1

c^p+1 - b^p+1

^p .

2(p + 1)

b-a

c-b

В случае ϕ_H (x) = x^-1 - по формуле

(

)_-1

m_H (a,b,c) = 2

b-a

c-b

Ниже будем писать z ≺

w для нечетких чисел z и

w, если [10, гл. 5] одно-

временно

(3)

z^- (α) ≤ w^- (α) , z⁺ (α) ≤ w⁺

(α) (∀ α ∈ (0, 1]) .

134

Отметим, что (3) вводит отношение частичной упорядоченности на мно-

жестве нечетких чисел.

Обозначим через z четкое число, которое при дефазификации ставится в

соответствие нечеткому числу z. Дефазификацию называют регулярной при

выполнении следующих условий:

1) если z ≺

w, то z ≤ w (монотонность);

2) если z - четкая величина (число), то z = z (согласованность);

3) если z ≺

w, то z + v ≤ w + v для любого нечеткого числа v.

Согласно определению среднее (1) есть регулярная дефазификация. А так-

же справедливо

Утверждение 1. Пусть функция ϕ в определении нелинейного средне-

го (2) непрерывна и строго монотонна. Тогда (2) представляет собой регу-

лярную дефазификацию z.

Средние (1) и (2) обладают определенными экстремальными свойствами.

Они отмечены в работе [11].

3. Нечеткие средние систем нечетких чисел. Усредняющие линейные

функционалы в задаче оценивания нечеткой информации

Пусть заданы вещественные числа β_i ∈ R (i = 1, . . . , n) такие, что β_i ≥ 0,

∑_n

β_i = 1. Рассмотрим взвешенное нечеткое среднее нечетких чисел

i=1

z₁,... , z_n [12, гл. 7; 13]

∑

(4)

zср =

β_iz_i.

i=1

Обозначим через z^-i (α) и z⁺ⁱ (α) соответственно левые и правые индексы

нечетких чисел z_i, фигурирующих в (4). Имеет место

Лемма 1. Левый индекс нечеткого среднего z_ср, определяемого формулой

∑_n

(4), равен z^-ср (α) =

β_iz^-i(α), а правый индекс z^+ср (α) =

β_iz⁺ⁱ(α).

i=1

Эта лемма вытекает из определения интервальной арифметики нечетких

чисел.

Рассмотрим совокупность Jⁿ векторов с нечеткими компонентами (нечет-

ких векторов) вид

Z = (z₁,...,z_n), где z_i ∈ J (i = 1,...,n) нечеткие числа.

Их сумму и умножение на число будем понимать покоординатно. Неравенства

нечетких векторо

Z ≺W также будем понимать покоординатно в смысле

определения (3).

(̃Z)каксреднее(1)от

Введем в рассмотрение дл

Z ∈ Jⁿ функционал l_β

нечеткого числа z_ср, задаваемого формулой (4). Согласно лемме 1 он имеет

вид

∫

∑

(

)

(̃Z)=m(̃z

(5)

l_β

ср) =

β_i

z^-i (α) + z⁺ⁱ (α)

dα.

i=1

135

Утверждение 2. Усредняющий функционал (5) аддитивен и однороден,

т.е.

(

)

(̃Z+̃W)=l

(̃Z)+l

(̃W)иl

(̃Z)(∀̃Z,̃W∈Jn_;∀k∈R).

l_β

= kl_β

Справедливость утверждения 2 вытекает из представления

∑

(6)

l_β

(̃Z)=

β_im(z_i

i=1

а также аддитивности и однородности каждого выражения m (z_i).

Рассмотрим на множестве нечетких чисел метрику [14]

{



}



ρ(z,

w) = sup max

z⁺ (α) - w⁺ (α),

z^- (α) - w^- (α)

0<α≤1

где z^±(α) и w^±(α) - правые и левые индексы нечетких чисел z и

w соответ-

ственно.

Для нечетких векторо

Z,W∈Jⁿ скомпонентами z_i,

w_i ∈ J (i = 1,... ,n)

зададим метрику формулой ρ_n

(̃Z, ̃W) = ∑n

ρ(z_i,

w_i).

i=1

Теорема 1. Усредняющий функционал, определяемый совокупностью β_i

на множестве Jⁿ формулой (5), удовлетворяет следующим условиям регу-

лярности:

1) l_β (z, . . . , z) = m(z), где m(z) определено формулой (1) (идемпотент-

ность);

2) если Z

вектор с ¾четкими¿ вещественными компонентами, то

l_β (Z) = z_ср (согласованность);

(̃Z)≤l

(̃W)(монотонность);

3) есл

Z ≺W, то l_β

4) функционал l_β : Jⁿ → R - непрерывен (непрерывность);

(̃Z+ ̃V)≤l

(̃W+ ̃V)длялюбого ̃V∈Jn_{(эффектив-}

5) есл

Z ≺W, то l_β

ность).

Подчеркнем, что усредняющий функционал (5) служит для оценки нечет-

кой информации, заданной набором нечетких чисел z₁, . . . , z_n при фиксиро-

ванном наборе весов β_i.

Свойства 1)-5) включают в себя как аналоги свойств операторов агрега-

торов (см. введение), так и аналоги свойств регулярной операции дефазифи-

кации (см. п. 1).

Отметим экстремальное свойство функционала (5). Фиксируем нечет-

кий вектор

Z ∈ Jⁿ с компонентами z_i (i = 1,...,n) и набор чисел β_i ≥ 0

∑_n

(i = 1, . . . , n,

β_i = 1). Рассмотрим экстремальную задачу

i=1

∫

)

((

)₂

(

)₂

(7)

β_n(y) =

β_i

z^-i (α) - y

z⁺ⁱ

(α) - y

dα → min (∀y ∈ R) .

i=1

Здесь z^-i (α) и z⁺ⁱ (α) - соответственно левые и правые индексы нечетких

чисел z_i.

136

(̃Z)являетсярешениемэкстремальнойза-

Утверждение 3. Число l_β

дачи (7), причем единственным.

Действительно, производная δ^′n(y) имеет следующий вид:

∫

∑

(

)

δ^′

(y) = -2

β_i

z^-i (α) + z⁺ⁱ (α) - 2y

dα.

i=1

Приравнивая это выражение к нулю, согласно (5) получим y = l_β

(̃Z).При

этом вторая производная δ^′′n(y) = 4. Так что выполнены достаточные условия

минимума для функции δ_n(y).

Утверждение 3 является обобщением известного экстремального свойства

среднего арифметического n вещественных чисел [8, гл. 1]. Оно обеспечивает

определенную (взвешенную) равноудаленность результата оценивания (агре-

гирования) от исходных данных z₁, . . . , z_n.

Отметим, что в случае равенства всех весов β_i = 1/n (i = 1, . . . , n) соответ-

ствующий функционал (5) обладает свойством симметричности, т.е. любая

перестановка элементов вектор

Z не меняет значения функционала.

Замечание

1. Можно показать, что близкие результаты справед-

ливы, если вместо числовых весов β_i рассматривать весовые функции

∑n

β_i(α) (α ∈ [0,1]) со свойствами непрерывности и β_i (α) ≥ 0,

β_i(α) = 1,

i=1

∀α ∈ [0,1]. Функционал (5) в этом случае приобретает вид

∫

∑

(

)

β_i(α)

z^-i (α) + z⁺ⁱ (α)

dα.

i=1

Это обобщение случая взвешенного среднего нечеткого числа [15].

Пример 3. Рассмотрим задачу агрегирования нечетких суждений экс-

пертов. Пусть мнения n экспертов о некотором объекте заданы нечеткими

треугольными числами z_i = (a_i, b_i, c_i) (i = 1, . . . , n) и характеризуются функ-

циями принадлежностей µ_i(x). Один из общепринятых подходов к решению

данной задачи состоит [16] в использовании агрегирующей функции при-

∑_n

надлежности вида µ(x) =

β_iµ_i (x), где весовые коэффициенты β_i ≥ 0 и

∑_n

i=1

β_i = 1.

i=1

Другой известный подход [16] предполагает использовать нечеткое взве-

шенное среднее с функцией принадлежности

(

)

µ(x) = sup

minµi (xi)

x₁,x₂,...,xn

∑

β_ix_i=x

i=1

После этого производится дефазификация по методу центроидной дефази-_∫

∫_a

, где [a, b] - носитель нечеткого

µ(x)dx

числа z.

137

∑_n

Наш подход в рассматриваемом случае для величины z_ср =

β_iz_i дает

i=1

(∑_n

∑_n

нечеткое треугольное число, характеризуемое тройкой

β_ia_i,

β_ib_i,

i=1

∑_n

)

β_ic_i

. Дефазификация этого числа по формуле (5) с учетом (6) и при-

i=1

∑_n

(̃Z)= 1^∑n

мера 1 дает выражение l_β

β_ia_i +¹

β_ib_i +¹

β_ic_i.

i=1

Эпи подходы дополняют друг друга, также как дефазификация нечеткого

числа методом центроидной дефазификации и методом средних.

4. Нелинейные нечеткие средние и нелинейные усредняющие функционалы

в задаче оценивания нечеткой информации

Перейдем к рассмотрению нелинейных нечетких средних систем нечетких

чисел. Определим понятие функции от нечеткого числа, используя интер-

вальный подход.

Пусть задана непрерывная строго монотонная вещественная функция

ϕ:R→R.

Сформулируем в удобном здесь виде результат из [17].

Лемма 2. Если z - нечеткое число с левым и правым индексами z- (α)

и z+ (α) и ϕ : R → R непрерывная монотонно возрастающая функция, то

ϕ(z^- (α)) и ϕ(z⁺ (α)) - соответственно левый и правый индексы нечеткого

числа ϕ(z). Если ϕ(x) - непрерывная монотонно убывающая функция, то

ϕ(z⁺ (α)) и ϕ(z^- (α)) - левый и правый индексы ϕ(z) соответственно.

Пусть заданы нечеткие числа z₁, . . . , z_n, а также действительные числа

∑_n

β_i ∈ R (β_i ≥ 0,

β_i = 1). Рассмотрим нелинейные нечеткие средние обще-

i=1

го вида для заданной непрерывной строго монотонной функции ϕ : R → R:

(

)

∑

(8)

zϕ = ϕ^-1

β_iϕ(z_i)

i=1

Для системы вещественных чисел z₁, . . . , z_n формула (8) есть классическое

определение нелинейного ассоциативного среднего общего вида [8, гл. 1].

Если в (8) ϕ_p (x) = x^p (p > 1) (или 0 < p < 1), то получаем нечеткий аналог

взвешенной средней степенной, если ϕ_G (x) = log_a x (a > 1) - нечеткий ана-

лог взвешенной средней геометрической, если ϕ_H (x) =^1x - нечеткий аналог

взвешенной средней гармонической.

В частности, как и в классической статистике, для описания аддитивных

нечетких моделей можно использовать нечеткие средние арифметические,

для описания мультипликативных нечетких моделей - нечеткие средние гео-

метрические.

Отметим, что в случае определяющих функций ϕ_p и ϕ_G, учитывая их

области определения, следует рассматривать совокупности положительных

нечетких чисел z_i (i = 1, . . . , n) в том смысле, что z^-i (α) > 0 , ∀α ∈ [0, 1].

138

Нелинейному нечеткому среднему (8) предлагается поставить в соответ-

ствие функционал f_ϕ : Jⁿ → R по формуле





(

)

∫

∑

(

)

(

))

(9)

f_ϕ

= ϕ-1 1/2

β_i

ϕi

z^- (α)

+ϕ_i

z⁺ (α)

dα .

i=1

Справедлива

Теорема 2. Пусть ϕ : R → R - непрерывная и строго монотонная

функция. Тогда для функционала (9) выполнены следующие свойства регу-

лярности:

1) f_ϕ (z, . . . , z) = m_ϕ(z), где m_ϕ(z) определяется формулой (2) (идемпо-

тентность);

2) если Z - вектор с ¾четкими¿ компонентами, то f_ϕ (Z) = z_ϕ, где z_ϕ

определяется формулой, аналогичной (8) в вещественном случае (согласо-

ванность);

(

)

(

)

3) есл

Z ≺W, то f_ϕ

≤f_ϕ

W (монотонность);

4) функционал f_ϕ : Jⁿ → R - непрерывен (непрерывность);

(

)

(

)

5) есл

Z ≺W, то f_ϕ

≤f_ϕ

V для любы

V ∈ Jⁿ (эффек-

тивность).

Рассмотрим экстремальную задачу

∫

)

((

(

)

)₂

(

)

)₂

(10)

δ_ϕ(y) = β_i

z⁺ⁱ (α)

-y

z^-i

(α)

-y

dα → min ∀y ∈ R.

i=1

Утверждение 4. Для заданного нечеткого вектор

Z число ϕ(f_ϕ

Z))

является решением экстремальной задачи (10), причем единственным.

Доказательство аналогично утверждению 3 получается применением кри-

терия минимума для дифференцируемой функции δ_ϕ(y).

Отметим, что в случае равенства всех весовых коэффициентов β_i = 1/n

любая перестановка компонент вектор

Z не меняет значение соответствую-

щего функционала (9) (симметричность).

Замечание 2. Наряду с функционалом (9) предлагается рассматривать

функционал

( (

)

(

)

∫

(

)

∑

(

)

∑

(

)

(11)

f_ϕ

ϕ-1

β_iϕ_i

z^- (α)

+ϕ^-1

β_iϕ_i

z⁺ (α)

dα.

i=1

Можно показать, что он обладает свойствами, аналогичными функциона-

лу (9). Подчеркнем, что в (11) слагаемые, стоящие под знаком интеграла,

являются индексами нечеткого среднего (8).

139

Пример 4. Пусть мнение экспертов описывается нечеткими треугольны-

ми числами z_i = (a_i, b_i, c_i) при i = 1, . . . , n. Значение усредняющего функцио-

нала (9) для степенной функции ϕ (x) = x^p с учетом примера 2 выписывается

в виде:

при p = -1

(

)

∑

(

)

f_ϕ

β_i

b^p+1i - a^p+1

2(p + 1)

b_i - a_i

i=1

(

)))p

c^p+1i - b^p+1

;

c_i - b_i

при p = -1

(

))-1

(

)

∑

b_i

c_i

f_ϕ

β_i

b_i - a_i

a_i

c_i - b_i

b_i

i=1

5. Заключение

Результаты утверждений 1-4 и теорем 1, 2 настоящей статьи, как пред-

ставляется автору, ранее не отмечались. Они показывают естественность и

адекватность применения введенных в статье усредняющих функционалов

вида (5) и (9) в задаче оценивания нечеткой информации, определяемой на-

бором нечетких чисел z₁, . . . , z_n при заданных весах β_i.

Подход, предлагаемый в данной статье, близок к подходу Смоляка [10,

гл. 4, 5], где рассмотрены аддитивные монотонные интегральные функциона-

лы общего вида в качестве критериев эффективности инвестиционных про-

ектов с нечеткими данными. Однако другие свойства, характерные для агре-

гаторов и приведенные в теоремах 1, 2 и утверждениях 1-4, в работе [10] не

отмечаются.

Усредняющие функционалы (5) и (9) могут быть, в частности, использо-

ваны для оценки эффективности инвестиционных проектов в условиях риска

и неопределенности (ср. [10, гл. 5; 18, гл. 11, 12]).

Наибольший интерес и перспективы развития представляет, на наш

взгляд, раздел 4. Кроме того, перспективные направления дальнейшего раз-

вития обозначены в замечаниях 1, 2. Примеры 3, 4 иллюстрируют возмож-

ности практического применения предложенных методик. Они могут быть

распространены, в частности, на случай трапецеидальных нечетких чисел.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Доказательство утверждения

Рассмотрим случай монотонного возрастания функции ϕ. Проверим свой-

ство 1). Если z ≺

w, то согласно (3) и в силу монотонного возрастания функ-

ции ϕ при каждом α ∈ (0, 1] имеем

(

)

(

)

(

)

(

)

z^- (α)

+ϕ

z⁺ (α)

≤ϕ

w^- (α)

+ϕ

w⁺ (α)

140

Поэтому

∫

(

)

(

))

(

)

(

))

z^- (α)

+ϕ

z⁺ (α)

dα ≤

w^- (α)

+ϕ

w⁺ (α)

dα.

Тогда свойство 1) следует из монотонного возрастания функции ϕ^-1.

Свойство 2) обусловлено тем, что четкая величина (число) трактуется как

нечеткая, имеющая одинаковые индексы, совпадающие с этим числом.

Свойство 3) следует из того, что если z ≺

w, то согласно определению

интервального сложения и в силу (3) z + v ≺

w + v для ∀v ∈ J. Остается вос-

пользоваться свойством 1).

Аналогично рассматривается случай, когда функция ϕ монотонно убы-

вает.

Доказательство теоремы 1.

Свойство 1) вытекает из представления (6).

Свойство 2) обусловлено тем, что для ¾четких¿ векторов Z левый и пра-

вый индексы его компонент z_i совпадают с z_i.

Покажем свойство 3). Заметим, что услови

Z≺W означает, что z_i≺

w_i

(i = 1, . . . , n) . Тогда для любого α ∈ (0, 1] имеем z^-i(α) ≤

w^-i(α) и z⁺ⁱ(α) ≤

≤

w⁺ⁱ(α). Поэтому для всех i = 1,... ,n можем записать

∫

(

)

(

)

z-i (α) + z⁺ⁱ(α)

dα ≤

w^-i (α) +

w⁺ⁱ(α)

dα.

Умножая обе части этого неравенства на β_i ≥ 0 и складывая полученные

выражения по i от 1 до n, получим l_β

Z) ≤ l_β(W).

Свойство 4) (непрерывность) вытекает из следующего. Пусть нечеткие

вектор

Z,W∈Jⁿ имеют компоненты z_i,

w_i ∈ J (i = 1,... ,n) соответствен-

но. Тогда согласно (5) и определениям метрик ρ и ρ_n имеем



∫

(



)



(̃Z)-l

(̃W)≤1

β_i

z^-i (α) - w^-i (α)+

z⁺ⁱ (α) - w⁺ⁱ (α)

dα ≤

l_β

i=1

∑

(̃Z,̃W).

≤ β_iρ(z_i,

w_i) ≤ ρ_n

i=1

Покажем свойство 5). По определению и на основании утверждения 2

(

)

l_β

=l_β

(̃Z)+l

(̃V).Тогдазаключениесвойства5)приобретаетвид

m(z_ср) + m(v_ср) ≤ m(wср) + m(vср). То есть m(zср) ≤ m(wср). А это следу-

ет из услови

Z ≺W по свойству 3).

Доказательство теоремы 2.

Рассмотрим случай монотонного возрастания функции ϕ.

141

Свойства 1), 2) вытекают из определения (9).

Покажем свойство 3). Пуст

Z ≺W. Тогда при всех α ∈ (0,1] справедли-

вы неравенства z^-i(α) ≤

w^-i(α) и z⁺ⁱ(α) ≤

w⁺ⁱ(α) (i = 1,... ,n). Отсюда в силу

монотонного возрастания функции ϕ имеем

∫

(

)

(

))

(

)

(

))

z^-i (α)

+ϕ

z⁺ⁱ(α)

dα ≤

w^-i (α)

w⁺ⁱ(α)

dα.

Тогда поскольку β_i > 0, то

∫

(

)

(

))

β_i

z^-i (α)

+ϕ

z⁺ⁱ(α)

dα ≤

i=1

∫

∑

(

)

(

))

≤

β_i

w^-i (α)

+ϕ

w⁺ⁱ(α)

dα.

i=1

Так как функция ϕ^-1 монотонно возрастает вместе с ϕ, то это влечет

свойство 3).

Свойство 4) в силу непрерывности функции ϕ проверяется рассуждения-

ми, близкими к доказательству свойства непрерывности в теореме 1.

Поясним свойство 5). Оно обеспечивается тем, что есл

Z≺W, т

V ≺

≺W

V для любог

V ∈ Jⁿ. Затем применяется свойство 3).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Пегат А. Нечеткое моделирование и управление. М.: Бином, 2015.

2. Аверкин А.Н. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного ин-

теллекта. М.: Наука, 1986.

3. Дюбуа Д., Прад А. Теория возможностей. Приложения к представлению знаний

в информатике. М.: Радио и связь, 1990.

4. Bustince H., Mesiar R., Fernandez J., et all. d-Choquet integrals: Choquet integrals

based on dissimilarities // Fuzzy Sets and Systems. V. 414. 2021. P. 1-27.

5. Mesiar R., Kolesarova A., Calvo T., Komornakova M. A Review of Aggregation

Functions. Fuzzy Sets and Their Extensions: Representation, Aggregation and Mod-

els // Studies in Fuzziness and Soft Computing, Springer. 2008. V. 220. P. 121-144.

6. Леденева Т.М., Подвальный С.Л. Агрегирование информации в оценочных си-

стемах // Вестник ВГУ. Сер. Системный анализ и информационные технологии.

2016. № 4. С. 155-164.

7. Lopez de Hierro A.F.R., Roldin C., Bustince H., et all. Affine construction method-

ology of aggregation functions // Fuzzy Sets and Systems. V. 414. 2021. P. 146-164.

8. Джини К. Средние величины. М.: Статистика, 1970.

9. Dubois D., Prade H. The mean value of fuzzy number // Fuzzy Sets and Systems.

1987. V. 24. P. 279-300.

142

10. Смоляк С.А. Оценки эффективности инвестиционных проектов в условиях рис-

ка и неопределенности. М.: Наука, 2002.

11. Хацкевич В.Л. О средних значениях нечетких чисел и их систем // ¾Нечеткие

системы и мягкие вычисления¿, НСМВ. 2021. Т. 16. № 1. С. 5-20.

12. Nguyen H.T., Wu B. Fundamentals of statistics with fuzzy data. Berlin: Springer,

2006.

13. De la Rosa de Saa S., Lubiano M.A., Sinova B., Filzmoser P. Location-free robust

scale estimates for fuzzy data // IEEE Trans. on Fuzzy Systems. 2020. P. 1-14.

14. Kaleva O., Seikkala S. On fuzzy metric spaces // Fuzzy Sets and Systems.

1984.

Vol. 12. P. 215-229.

15. Fuller R., Majlender P. On weighted possibilistic mean value and variance of fuzzy

numbers // Fuzzy Sets and Systems. 2003. V. 136. P. 363-374.

16. Посадский А.И., Сивакова Т.В., Судаков В.А. Агрегирование нечетких сужде-

ний экспертов // Препринт ИПМ № 101. Москва. 2019. С. 1-12.

17. Nguyen H.T. A Note on the Extension Principle for Fuzzy Sets // J. Math. Anal.

Appl. 1978. V. 64. P. 369-380.

18. Виленский П.Л., Лившиц В.Н., Смоляк С.А. Оценка эффективности инвести-

ционных проектов: Теория и практика. М.: Поли Принт Сервис, 2015. 1300 с.

Статья представлена к публикации членом редколлегии О.П. Кузнецовым.

Поступила в редакцию 18.05.2021

После доработки 21.10.2021

Принята к публикации 20.11.2021

143