Автоматика и телемеханика, № 4, 2022

Оптимизация, системный анализ

и исследование операций

(Военно-воздушная академия им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина,

Воронеж)

СРЕДНИЕ НЕЧЕТКИХ ЧИСЕЛ И ИХ

ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА

Установлены экстремальные свойства средних характеристик систем

нечетких чисел относительно некоторых метрик на множестве нечетких

чисел. Рассмотрены экстремальные свойства средних для систем дискрет-

ных нечетких множеств.

Ключевые слова: нечеткие числа, средние значения, экстремальные свой-

ства.

DOI: 10.31857/S0005231022040092, EDN: AAZTDZ

1. Введение

На протяжении последних нескольких десятков лет теория нечетких мно-

жеств активно применяется при решении задач нечеткого моделирования и

управления (см., например, [1-3]), когда исходные данные являются нена-

дежными или слабо формализованными.

Одним из базовых разделов теории нечетких множеств является теория

нечетких чисел. Отметим, что для многих реальных систем входные и вы-

ходные величины в условиях неполной информации могут быть выражены с

помощью нечетких чисел.

Известно, какую важную роль играют вещественные средние величины в

задаче агрегирования информации, анализе данных, отражая наличие трен-

дов. Такую же важную роль играют средние “нечетких” данных.

Как известно ([4, гл. 1, § 5]), для совокупности n вещественных чисел

∑

x₁,x₂,... ,x_n их среднее x =1n

x_k является решением экстремальной зада-

k=1

∑

чи (x_i - x)² → min (x ∈ R). А медиана Me обладает таким экстремальным

i=0

свойством

∑

|x_i - Me| ≤

|x_i - x_j | (j = 1, . . . , n).

i=1

155

В настоящей статье экстремальные свойства числовых средних распро-

страняются на системы непрерывных нечетких чисел и дискретных нечетких

множеств. В разделе 2 рассмотрены экстремальные свойства систем непре-

рывных нечетких чисел. В этом случае в качестве средних выступают непре-

рывные нечеткие числа. В разделе 3 рассмотрены экстремальные свойства

средних для систем дискретных нечетких множеств и дискретных нечетких

чисел. В этом случае в качестве средних значений выступают соответствен-

но дискретные нечеткие множества и дискретные нечеткие числа. В данной

статье экстремальные свойства рассматриваются относительно следующих

метрик на классе нечетких чисел (и классе нечетких дискретных множеств):

расстояния Евклида, расстояния Хэмминга, расстояния относительно уров-

ней в интервальном представлении нечетких чисел. Приведенные в статье

результаты представляются новыми.

Нечетким множеством A, заданным на универсальном пространстве X,

называют (см. [1, 5]) совокупность упорядоченных пар (μ_A(x), x), где функ-

ция принадлежности μ_A(x) : X → [0, 1] определяет степень принадлежности

∀x ∈ X множеству A. Множество Supp (A) = {x|μ(x) > 0, x ∈ X} называют

носителем нечеткого множества.

Нечетким числом A называют нечеткое подмножество универсального

множества действительных чисел. Нечеткое число называют непрерывным,

если оно, дополнительно, удовлетворяет следующим предположениям:

1) носитель нечеткого числа — замкнутое ограниченное (компактное) мно-

жество действительных чисел: Supp (A) ⊂ R;

2) функция принадлежности нечеткого числа μ_A(x) — выпукла;

3) функция принадлежности нечеткого числа μ_A(x) — нормальна, а имен-

но: sup μ_A(x) = 1;

4) функция принадлежности нечеткого числа μ_A(x) — полунепрерывна

сверху.

Совокупность непрерывных нечетких чисел будем обозначать J.

Под дискретным нечетким множеством в данной статье будем понимать

нечеткое множество, носитель которого состоит из конечного набора элемен-

тов дискретного универсума, а под дискретным нечетким числом — нечет-

кое число, носитель которого состоит из конечного набора вещественных

чисел.

2. Экстремальные свойства систем

непрерывных нечетких чисел

Рассмотрим экстремальные свойства систем нечетких чисел относительно

их функций принадлежностей.

Пусть вещественные числа β_i ∈ R (i = 1, . . . , n) таковы, что β_i ≥ 0,

∑ β_i = 1. Выпуклой комбинацией нечетких чисел z_i i = 1,...,n, с функция-

i=1

ми принадлежности μ_i(x) называют нечеткое число z_co с функцией принад-

156

лежности

∑

(1)

μ_co(x) =

β_iμ_i

(x).

i=1

Как известно, расстояние Евклида между нечеткими числами A и B с

функциями принадлежности μ_A(x) и μ_B(x) определяется равенством

⎛

⎞1/2

∫

(2)

d_E(A,B) =^⎝ (μ_A(x) - μ_B(x))² dx⎠

-∞

Уточним, что интегрирование в формуле (2) фактически производится

по ограниченному множеству Supp (A ∪ B). Оказывается, что справедлива

теорема 1.

Теорема 1. Для заданных нечетких чисел z_i (i = 1,...,n) с функция-

ми принадлежности μ_i(x) их выпуклая комбинация z_co является решением

∑

экстремальной задачи β_id2E(z_i, w) → min ( w ∈ J), причем единственным.

i=1

Доказательство. Пусть w ∈ J, η(x) - функция принадлежности w, а

μ_co(x) - функция принадлежности z_co. Фиксируем i и рассмотрим выражение

(μ_i(x) - η(x))² = (μ_i(x) - μ_co(x) + μ_co(x) - η(x))² =

= (μ_i(x) - μ_co(x))² + (μ_co(x) - η(x))² + 2(μ_i(x) - μ_co(x))(μ_co(x) - η(x)).

Умножим обе части полученного равенства на β_i и просуммируем их по i от

единицы до n. Тогда при каждом x ∈ (-∞, +∞) имеем

∑

β_i(μ_i(x) - η(x))² =

β_i(μ_i(x) - μ_co(x))² +

i=1

(

)

∑

β_i (μ_co(x) - η(x))² + 2(μ_co(x) - η(x))

β_i(μ_i(x) - μ_co(x)).

i=1

При этом в последнем слагаемом

∑

β_i(μ_i(x) - μ_co(x)) =

β_iμ_i(x) - μ_co(x)

β_i = 0

i=1

∑

по определению (1) функции μ_co(x) и в силу равенства β_i = 1. Тогда, ин-

i=1

тегрируя полученный результат по x, имеем

∫

β_i

(μ_i(x) - η(x))dx =

i=1

-∞

∫

= β_i (μ_i(x) - μ_co(x))²dx + (μ_co(x) - η(x))²dx,

i=1

-∞

157

т.е.

∑

β_id2E(z_i, w) =

β_id2E(z_i, z_co) + d2E(z_co, w).

i=1

Отсюда следует утверждение теоремы 1. Теорема 1 доказана.

Рассмотрим совокупность возрастающих по включению n нечетких чисел

z₁,... , z_n с функциями принадлежности μ₁(x),... ,μ_n(x) соответственно, т.е.

выполнены включения Supp (z₁) ⊆ . . . ⊆ Supp (z_n) и справедливы неравенства

μ₁(x) < ... < μ_n(x) (∀x ∈ Supp (z₁)).

Срединное значение в этом ряду обозначим μ_сред(x), а соответствую-

щее ему нечеткое число z_сред назовем квазимедианой. В случае нечетного

n = 2m - 1 срединное значение совпадает с μ_m(x), а в случае четного n = 2m

в качестве срединного значения положим (μ_m(x) + μm+1(x))/2.

Как известно, расстояние Хэмминга между нечеткими числами A и B с

функциями принадлежности μ_A(x) и μ_B(x) определяется равенством

∫∞

(3)

d_H(A,B) =

|μ_A(x) - μ_B

(x)|dx.

−∞

Оказывается, что справедливо утверждение 1.

Утверждение 1. Для заданной системы возрастающих нечетких чи-

сел z₁, . . . , z_n с функциями принадлежности μ₁(x) < . . . < μ_n(x) квазимедиа-

∑

на z_сред обладает следующим экстремальным свойством

d_H(z_i, z_сред) ≤

i=1

∑

≤ d_H(z_i, z_j) (∀j = 1,...,n).

i=1

Действительно, поскольку при каждом x ∈ Supp (z₁) срединное значение

μ_сред(x) является медианой системы чисел μ₁(x),... ,μ_n(x), то

∑

|μ_i(x) - μ_сред(x)| ≤

|μ_i(x) - μ_j (x)| (j = 1, . . . , n).

i=1

Интегрируя обе части этого соотношения по x, в силу (3) получим утвержде-

ние 1.

Рассмотрим экстремальные свойства систем непрерывных нечетких чисел,

используя их интервальное представление.

Как известно, интервал α-уровня нечеткого числа z с функцией принад-

лежности μ_z(x) определяется соотношением Z_α = {x|μ_z(x) ≥ α} (α ∈ (0, 1]),

Z₀ = Supp (z).

Согласно предположениям 1-4 на непрерывные нечеткие числа все ин-

тервалы α-уровня нечеткого числа z — замкнутые и ограниченные интерва-

лы вещественной оси. Обозначим левую границу α-интервала через z^-(α),

158

а правую — z⁺(α), таким образом, Z_α = [z^-(α), z⁺(α)]. Иногда z^-(α) и z⁺(α)

называют соответственно левым и правым индексами нечеткого числа.

Для нечетких чисел z₁ и z₂ с α-интервалами [z^-i(α), z+i(α)] (i = 1, 2) под

суммой понимается нечеткое число z₁ + z₂ с α-интервалами [z-1(α) + z-2(α),

z⁺¹(α) + z⁺²(α)]. А умножение на положительное число означает умножение

индексов на это число. Равенство между нечеткими числами понимается как

равенство всех соответствующих α-интервалов.

Предположения 1-4 обеспечивают следующие свойства индексов: функ-

ция z^-(α) (z⁺(α)) ограничена, не убывает (не возрастает), непрерывна слева

на (0, 1] и непрерывна справа в точке 0.

Для двух нечетких чисел z₁ и z₂ зададим расстояние r₂(z₁, z₂) между ними

формулой из [6]:

⎛

⎞1/2

∫

(4)

r₂(z₁, z₂) =^⎝ (z-1(α) - z-2(α))² + (z⁺¹(α) - z⁺²(α))²dα⎠

Здесь z^-i(α), z+i(α) — α-индексы нечетких чисел z_i (i = 1, 2).

Пусть заданы вещественные числа β_i ∈ R (i = 1, . . . , n) такие, что β_i ≥ 0,

∑ β_i = 1. Рассмотрим взвешенное нечеткое среднее нечетких чисел z₁,..., z_n:

i=1

∑

(5)

zср =

β_iz_i.

i=1

Среднее такого рода используется в статистике нечетких данных [7, 8].

Обозначим через z^-i(α) и z+i(α) левые и соответственно правые индексы

нечетких чисел z_i в формуле (5).

Лемма. Индексы взвешенного нечеткого среднего (5) определяются ра-

∑

венствами z-ср(α) =

β_iz^-i(α), z^+ср(α) =

β_iz+i(α).

i=1

Это следует из определения арифметических действий над нечеткими чис-

лами в интервальной форме. Оказывается, что взвешенное нечеткое сред-

нее (5) есть решение экстремальной задачи, связанной с метрикой (4), а имен-

но: справедлива теорема 2.

Теорема 2. Нечеткое среднее (5) является единственным решением

∑

следующей экстремальной задачи

β_ir²²(z_i, w) → min

(∀ w ∈ J).

i=1

Здесь метрика r₂ задается формулой (4), а J - совокупность всех непре-

рывных нечетких чисел, обладающих свойствами 1-4.

Доказательство. Фиксируем i и α ∈ (0,1]. Аргумент α в нижеследую-

щих формулах писать не будем, имея его в виду по умолчанию. Рассмотрим

159

равенство

(z^-i - w^-)² + (z+i - w⁺)² =

= (z^-i - z-ср)² + (z-ср - w^-)² + 2(z^-i - z-ср)(z-ср - w^-) +

+ (z+i - z^+ср)² + (z^+ср - w⁺)² + 2(z+i - z^+ср)(z^+ср - w⁺).

Умножим обе его части на β_i и просуммируем по i обе части полученного

соотношения. Тогда

∑

(

)

∑

(

)

β_i

(z^-i - w^-)² + (z+i - w⁺)²

= β_i

(z^-i - z-ср)² + (z+i - z^+ср)²

i=1

(

∑

(z-ср - w^-)² + (z^+ср - w⁺)²

β_i +

i=1

(

∑

(

)

(

∑

(

)

z-ср - w^-

β_i

z^-i - z-ср

z^+ср - w⁺

β_i

z+i - z^+ср

i=1

∑

Заметим, что согласно условию

β_i = 1

и в силу леммы

спра-

i=1

∑

ведливы равенства

β_i(z^-i-z-ср) =

β_iz^-i-z^-

ср

β_i = 0 и β_i(z+i- z^+ср) =

i=1

∑

β_iz+i - z⁺

ср

β_i = 0. Тогда

i=1

∑

(

)

β_i

(z^-i - w^-)² + (z+i - w⁺)²

i=1

∑

(

)

= β_i

(z^-i - z-ср)² + (z+i - z^+ср)²

+ (z-ср - w^-)² + (z^+ср - w⁺)².

i=1

Отсюда после интегрирования по α ∈ [0, 1] получим тождество

∑

β_ir²²(z, w) =

β_ir²²(z, z_ср) + r²²(z_ср, w),

i=1

из которого следует теорема 2. Теорема 2 доказана.

∑

Следствие 1. Нечеткое среднее z_ср =1n

zi является единственным

i=1

∑

решением экстремальной задачи

r²²(z_i, w) → min

(∀ w ∈ J).

i=1

Этот результат является обобщением классического характеристического

экстремального свойства среднего арифметического [4, гл. I].

160

3. Средние систем дискретных нечетких множеств

и их экстремальные свойства

Далее рассмотрим дискретные аналоги предыдущих утверждений.

Пусть X - универсальное пространство. Рассмотрим совокупность дис-

кретных нечетких множеств

Z_k (k = 1,... ,n), характеризуемых парами

(μ_k(x_i), x_i), где x_i ∈ X (i = 1, . . . , N ) - конечный набор элементов универсаль-

ного пространства, а μ_k(x_i) - их степени принадлежности (значения функций

принадлежности μ_k(x)). Дискретное нечеткое множеств

Z_k иногда записы-

∑

вают в вид

Z_k = μ_k(x_i)/x_i.

i=1

Пусть заданы вещественные числа β_k ≥ 0 (k = 1, . . . , n), такие что

^∑ β_k = 1. Определим выпуклую комбинацию дискретных нечетких мно-

k=1

жест

Z₁,...

Z_n как дискретное нечеткое множество

∑

(6)

Z_co =

μ_co(x_i)/x_i, μ_co(x_i) =

β_kμ_k(x_i

) (i = 1, . . . , N).

i=1

k=1

Выпуклая комбинация дискретных нечетких множеств (взвешенное сред-

нее) используется для описания лингвистических переменных: существенно,

типично и т.п.

Как известно, расстояние Евклида между дискретными нечеткими мно-

жествам

Z₁

Z₂ задается формулой

(

)1/2

∑

(7)

d_E

Z₁

Z₂) =

(μ₁(x_i) - μ₂(x_i))2

(x_i

∈ X).

i=1

∑

Пусть β_k ≥ 0 - заданные числа (веса), такие что

β_k = 1. Для системы

k=1

нечетких дискретных множест

Z₁,...

Z_n рассмотрим экстремальную задачу

∑

(8)

β_kd2E

Z_k,W

) → min.

k=1

Здесь минимум берется по всем дискретным нечетким множествам вида

∑

W = η(x_i)/x_i с функциями принадлежности η(x), для которых опреде-

i=1

лены степени принадлежностей η(x_i) (i = 1, . . . , N).

Оказывается, что справедлива теорема 3.

Теорема 3. Для заданной системы дискретных нечетких множеств

Z₁,...

Z_n их выпуклая комбинаци

Z_co является решением экстремальной

задачи (8), причем единственным.

161

Доказательство. Пусть

∑

W = η(x_i)/x_i (x_i ∈ X, i = 1,...,N).

i=1

Рассмотрим равенство

∑

β_k (μ_k(x_i) - η(x_i))² =

i=1 k=1

∑∑

β_k (μ_k(x_i) - μ_co(x_i) + μ_co(x_i) - η(x_i))² =

i=1 k=1

∑∑

β_k (μ_k(x_i) - μ_co(x_i))² +

β_k (μ_co(x_i) - η(x_i))²

i=1 k=1

∑∑

β_k (μ_k(x_i) - μ_co(x_i)) (μ_co(x_i) - η(x_i)).

i=1 k=1

Здесь второе слагаемое в правой части равно

∑

(μ_co(x_i) - η(x_i))2

β_k = (μ_co(x_i) - η(x_i))²,

i=1

k=1

i=1

∑

так как

β_k = 1.

k=1

Покажем, что последнее слагаемое в правой части обращается в ноль. Дей-

ствительно, оно равно

∑

(μ_co(x_i) - η(x_i))

β_k(μ_k(x_i) - μ_co(x_i)),

i=1

k=1

при этом для каждого i справедливо равенство

∑

β_k(μ_k(x_i) - μ_co(x_i)) =

β_kμ_k(x_i) - μ_co(x_i)

β_k.

k=1

Последнее выражение равно нулю по определению (6) μ_co(x_i). Так что спра-

ведливо представление

∑

β_k (μ_k(x_i) - η(x_i))² =

i=1 k=1

∑∑

∑

β_k (μ_k(x_i) - μ_co(x_i))² +

(μ_co(x_i) - η(x_i))² .

i=1 k=1

i=1

162

Меняя здесь в двойных суммах порядок суммирования, согласно (7) полу-

чим

∑

β_kd2E

Z_k,W) =

β_kd2E

Z_k

Z_co) + d2E

Z_co,W),

k=1

что обеспечивает утверждение теоремы 3. Теорема 3 доказана.

Определим медиану системы дискретных нечетких множеств

Z_k

(k = 1, . . . , n). Для этого каждому i поставим в соответствие медиану Me_i

числовой совокупности {μ_k(x_i)} при k = 1, . . . , n. Нечеткое дискретное мно-

жество — нечеткую медиан

Z_Me системы дискретных нечетких чисе

Z_k —

определим как совокупность пар (Me_i, x_i). Близкое (но не аналогичное) опре-

деление используется, например, в [8, гл. 7].

Как известно, расстояние Хэмминга между нечеткими дискретными мно-

∑

жествам

Z₁ = μ₁(x_i)/x_i

Z₂ = μ₂(x_i)/x_i определяется формулой

i=1

∑

(9)

d_H

Z₁

Z₂) =

|μ₁(x_i) - μ₂(x_i

)|.

i=1

Оказывается, что справедлива теорема 4.

Теорема 4. Нечеткая медиана обладает следующим экстремальным

свойством:

∑

d_H

Z_k

Z_Me) ≤ d_H

Z_k

Z_j) (j = 1,... ,N).

k=1

Доказательство. По свойству числовой медианы Me_i при каждом i =

= 1, . . . , N имеем

∑

|μ_k(x_i) - Me_i| ≤

|μ_k(x_i) - μ_j(x_i)|

(∀j = 1, . . . , N).

k=1

Суммируя обе части этого неравенства по i = 1, . . . , N, а затем меняя порядок

суммирования, согласно (9) получим требуемый факт.

Отметим, что определение медианы из [8] таким свойством не обладает.

Далее будем рассматривать дискретные нечеткие числа, а именно: такие

нечеткие числа, носитель которых состоит из конечного набора веществен-

ных чисел. Для системы дискретных нечетких чисел z_k (k = 1, . . . , n), прини-

мающих вещественные значения x_i (i = 1, . . . , N) с функциями принадлеж-

ностей μ_k(x), аналогично предыдущему определяются выпуклая комбина-

ция z_co и медиана z_Me. Ясно, что для таких систем дискретных нечетких

чисел справедливы аналоги теорем 3 и 4.

163

Определим еще дискретное нечеткое среднее zср системы дискретных

нечетких чисел z₁, . . . , z_n формулой

∑

(10)

zср =

μ_ср(x_i)/x_i, μ_ср(x_i) =

μ_k(x_i

) (i = 1, . . . , N).

i=1

k=1

Такого рода среднее возникает при обработке экспертной информации

([8 гл. 7]).

Из теоремы 3 в случае β_k = 1/n (k = 1, . . . , n) вытекает следствие 2.

Следствие 2. Среднее (10) является решением экстремальной задачи

∑

d2E(z_k, w) → min .

k=1

Здесь минимум берется по всем дискретным нечетким числам вида

∑

w = η(x_i)/x_i с функциями принадлежности η(x), для которых опреде-

i=1

лены степени принадлежностей η(x_i) (i = 1, . . . , N).

∑

Под средним значением дискретного нечеткого числа z = μ(x_i)/x_i бу-

i=1

дем понимать вещественное число

∑

(11)

M(z) = x_iμ(x_i)

μ(x_i

i=1

Оказывается, что справедливо утверждение 2.

Утверждение 2. Среднее значение (11) дискретного нечеткого чис-

ла

z является единственным решением экстремальной задачи δ(y) =

∑

= (y - x_i)²μ(x_i) → min (∀y ∈ R).

i=1

∑

Действительно, производная функции δ(y) равна δ^′ (y) = 2 (y - x_i)μ(x_i).

i=1

Отсюда δ^′ (y) = 0, когда y = M(z). При этом вторая производная δ^′′ (y) =

∑

μ(x_i) > 0. Поэтому утверждение 2 следует из критерия экстремума

i=1

дифференцируемой функции δ(y).

Пример . Оценка (по пятибалльной шкале) четырьмя экспертами уровня

привлекательности некоторого проекта представлена в таблице.

Здесь μ_k(x) - функции принадлежности дискретных нечетких чисел z_k

(k = 1, . . . , 4), характеризуемых парами (μ_k(x_i), x_i), где x_i = i (i = 1, . . . , 5).

В соответствии с (10) формула для нечеткого среднего имеет вид z_ср =

=0,64/1+¹⁴/2+1,24/3+0,64/4+0,64/5. Тогда его среднее значение (11) M(z_ср) =

164

Таблица

Очень

Низкий = 2 Средний = 3 Высокий = 4

низкий = 1

высокий = 5

μ₁

0,6

0,3

0,1

μ₂

0,7

0,2

0,1

μ₃

0,7

0,2

0,1

μ₄

0,2

0,3

0,5

= (1 · 0,15 + 2 · 0,25 + 3 · 0,3 + 4 · 0,15 + 5 · 0,15)/(0,15 + 0,25 + 0,3 + 0,15 +

+ 0,15) = 2,9.

В заданных условиях нечеткая медиана z_Me определяется по формуле

zMe = 0/1 + 0,15/2 + 0,2/3 + 0,15/4 + 0,05/5. При этом среднее значение (11)

от нечеткой медианы M(z_Me) = (2 · 0,15 + 3 · 0,2 + 4 · 0,15 + 5 · 0,05)/(0,15 +

+ 0,2 + 0,15 + 0,05) = 1,75/0,55 ≈ 3,18.

Поясним: чтобы посчитать медиану по каждому столбцу, автор статьи рас-

ставлял его элементы в возрастающем порядке. При этом в силу четного чис-

ла экспертов автор считал медиану как полусумму центральных членов.

Какой вывод сделать об уровне привлекательности проекта — по средним

значениям (2,9) или по медианам (3,18), — должно сделать лицо, принимаю-

щее решение (ЛПР).

4. Заключение

В настоящей статье устанавливаются экстремальные свойства (в смысле

минимизации некоторых расстояний) средних характеристик систем непре-

рывных нечетких чисел и систем дискретных нечетких множеств. В каче-

стве таких характеристик в данной статье рассматриваются нечеткие средние

двух видов: аналоги средних арифметических и медиан.

Подчеркнем, что экстремальные свойства являются важнейшими харак-

теристиками средних. Иногда сами средние определяются как решения неко-

торых экстремальных задач [4].

Несмотря на значительное число публикаций, посвященных средним

нечетких чисел и их систем (см., например, [7-12]), приведенные в настоя-

щей статье утверждения ранее не отмечались.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Пегат А. Нечеткое моделирование и управление. М.: Бином, 2015.

2. Аверкин А.Н. и др. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного

интеллекта. М.: Наука, 1986.

3. Дюбуа Д., Прад А. Теория возможностей. Приложение к представлению знаний

в информатике. М.: Радио и связь, 1990.

4. Джини К. Средние величины. М.: Статистика, 1970.

5. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. М.: Радио и связь, 1982.

165

6. Diamond P., Kloeden P. Metric Spaces of Fuzzy Sets // Fuzzy Sets and Systems.

1990. V. 35. Iss. 2. P. 241-249.

7. De la Rosa de Saa S., Gil M.A., Gonsalez-Rodrigues G., Lopez M.T., Lubiano M.A.

Fuzzy Rating Scale-based Questionnaires and Their Statistical Analysis // IEEE

Trans. Fuzzy Systems. 2015. V. 23. P. 111-126.

8. Nguyen H.T., Wu B. Fundamentals of statistics with fuzzy data. Berlin: Springer,

2006.

9. Dubois D., Prade H. The Mean Value of Fuzzy Number // Fuzzy Sets and Systems.

1987. V. 24. P. 279-300.

10. Fuller R., Majlender P. On Weighted Possibilistic Mean Value and Variance of Fuzzy

Numbers // Fuzzy Sets and Systems. 2003. V. 136. P. 363-374.

11. Calvo T., Mesiar R. Generalized Median // Fuzzy Sets and Systems. 2001. V. 124.

P. 59-61.

12. Calvo T., Mesiar R. Criteria Importances in Median-like Aggregation // IEEE Trans.

on Fuzzy Systems. 2001. V. 9. P. 662-666.

Статья представлена к публикации членом редколлегии Д.Е. Пальчуновым.

Поступила в редакцию 06.02.2021

После доработки 08.12.2021

Принята к публикации 30.12.2021

166