Автоматика и телемеханика, № 5, 2022

О.В. ХАМИСОВ, д-р физ.-мат. наук (khamisov@isem.irk.ru),

С.П. ПОДКОВАЛЬНИКОВ, д-р. техн. наук (spodkovalnikov@isem.irk.ru)

(Институт систем энергетики им. Л.А. Мелентьева СО РАН, Иркутск)

ДВОЙСТВЕННЫЕ ОЦЕНКИ В МОДЕЛИ РАЗВИТИЯ

ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ¹

Статья посвящена двойственному анализу модели ОРИРЭС (оптими-

зация развития и режимов электроэнергетической системы). Для этого

строится двойственная модель, позволяющая провести более глубокий

анализ развития генерирующих мощностей и сети, чем прямая модель.

При этом используется существенно более широкий набор двойственных

переменных и соотношений.

Ключевые слова: развитие и функционирование электроэнергетической

системы, линейное программирование, двойственная задача, анализ двой-

ственных соотношений, узловые цены.

DOI: 10.31857/S000523102205004X, EDN: ABKGLX

1. Введение

В ИСЭМ СО РАН разработана оптимизационная линейная статическая

математическая модель развития установленных генерирующих и передаю-

щих мощностей и режимов их работы в рамках электроэнергетических си-

стем (ЭЭС) и/или их объединения ОРИРЭС [1, 2]. Данная модель представ-

ляет разреженную, структурированную задачу линейного программирования

большой размерности и активно используется в исследовании развития Еди-

ной энергосистемы России и ее роли в составе потенциального Азиатского

энергообъединения [1, 3]. Полученные в результате оптимизации решения

позволяют оценить эффективные параметры как всего энергообъединения

в целом, так и его российской части, а также соединяющих их электрических

связей.

При решении задач развития, хотя и не столь активно, как при реше-

нии задач функционирования ЭЭС [4-7] используются двойственные оценки.

В частности, в модели развития ЭЭС EMMA (electricity market model) [8]

формируются долгосрочные двойственные оценки, являющиеся индикатора-

ми узловых цен на электроэнергию.

¹ Исследования выполнены в рамках проектов государственного задания № FWEU-

2021-01 (регистрационный номер AAAA-A21-121012190027-4) и № FWEU-2021-06 (реги-

страционный номер AAAA-A21-121012090034-3).

Применение долгосрочных двойственных оценок может иметь перспекти-

вы в задачах обоснования решений по развитию ЭЭС в дополнение к тради-

ционным результатам, получаемым на прямой модели развития ЭЭС. Двой-

ственные оценки являются очень чувствительными динамичными индикато-

рами, характеризующими ценность генерирующих и передающих ресурсов

электроэнергетической системы и в итоге эффективность различных меро-

приятий по развитию ЭЭС.

Долгосрочные двойственные оценки (ДО) могут использоваться в различ-

ных задачах развития электроэнергетики таких, как оценка эффективности

объединения ЭЭС, в том числе для участвующих сторон; выбор эффектив-

ных мероприятий по развитию ЭЭС, включая вводы новых генерирующих

мощностей и развитие электрических сетей; оценка эффективности развития

распределенной генерации и использования активных потребителей; оценка

сегментированности электроэнергетических рынков и выявление сегментов

с потенциалом рыночной власти; прогнозирование узловых цен на электро-

энергию и мощность; экономическая оценка гидроэнергетических ресурсов

и др.

В ИСЭМ была разработана двойственная модель ОРИРЭС, в которой

определяются долгосрочные двойственные оценки.

2. Модель ОРИРЭС

В математическом описании модели ОРИРЭС используются следующие

обозначения.

Множества:

J — множество узлов;

J^S

⊂ J — множество узлов, в которых находятся ГЭС с ограничениями

ГЭС

на сезонную выработку;

J^Y

⊂ J — множество узлов, в которых находятся ГЭС с ограничениями

ГЭС

на годовую выработку;

I — множество типов мощностей;

S — множество сезонов;

S^♯ ⊂ S — множество сезонов с максимальной нагрузкой;

T — множество учитываемых часов;

T♯s ⊂ T — множество часов с максимальной в сезон s ∈ S^♯.

Константы:

c_ji — издержки на генерацию мощности типа i ∈ I в узле j ∈ J ($/МВт·ч);

γ_ji — капвложения в развитие мощности типа i ∈ I в узле j ∈ J ($/МВт);

κ_ji — постоянные издержки мощности типа i ∈ I в узле j ∈ J ($/МВт);

ρ_jj′ — капвложения в развитие линии j - j^′, j ∈ J, j^′ ∈ J ($/МВт);

b_jj′

— постоянные издержки линии j - j^′, j ∈ J, j^′ ∈ J ($/МВт);

τws — количество рабочих дней в сезоне s ∈ S;

τhs — количество выходных дней в сезоне s ∈ S;

a_jj′

— элементы матрицы смежности, задающие наличие или отсутствие

связи j - j^′, j ∈ J, j^′ ∈ J:

{

1, если есть связь между узламиj и j^′,

a_jj′ =

в противном случае;

δ_jj′

— потери на линии j - j^′, j ∈ J, j^′ ∈ J (число из интервала (0,1));

dwjst — нагрузка в узле j ∈ J в сезон s ∈ S в час t ∈ T в рабочие дни (МВт);

dhjst — нагрузка в узле j ∈ J в сезон s ∈ S в час t ∈ T в выходные дни

(МВт);

r_jst — максимальная нагрузка с учетом резервирования в узле j ∈ J в час

t∈

T♯s в сезон s ∈ S^♯ (МВт);

αwjis — коэффициент минимально допустимой мощности типа i ∈ I в сезон

s ∈ S в узле j ∈ J в рабочие дни (число из интервала (0,1));

αhjis — коэффициент минимально допустимой мощности типа i ∈ I в сезон

s ∈ S в узле j ∈ J в выходные дни (число из интервала (0,1));

βwjis — коэффициент максимальной готовности мощности типа i ∈ I в сезон

s ∈ S в узле j ∈ J в рабочие дни (число из интервала (0,1));

βhjis — коэффициент максимальной готовности мощности типа i ∈ I в сезон

s ∈ S в узле j ∈ J в выходные дни (число из интервала (0,1));

z0ji — существующая мощность типа i ∈ I в узле j ∈ J (МВт);

z_ji — максимально возможная мощность типа i ∈ I в узле j ∈ J (МВт);

v0jj′ — существующая пропускная способность связи j - j′, j ∈ J, j′ ∈ J

(МВт);

v_jj′ — максимально возможная пропускная способность связи j - j^′, j ∈ J,

j^′ ∈ J (МВт);

H^S

— максимальное количество часов использования ГЭС с сезонным

jГЭСs

регулированием в узле j ∈ J в сезоне s ∈ S;

H^Y

— максимальное количество часов использования гидроэлектро-

jГЭС

станций (ГЭС) с годовым регулированием в узле j ∈ J;

GГАЭСjs — коэффициент максимальной готовности гидроаккумулирующих

электростанций (ГАЭС) в узле j ∈ J в сезоне s ∈ S;

q_j — КПД цикла “заряд-разряд” ГАЭС в узле j ∈ J;

HГАЭСj — суточное число использования мощности ГАЭС в узле j ∈ J; f

— коэффициент возврата капитала.

Переменные:

xwjist — генерация мощности типа i ∈ I в узле j ∈ J в сезон s ∈ S в час

t ∈ T в рабочие дни (МВт);

xhjist — генерация мощности типа i ∈ I в узле j ∈ J в сезон s ∈ S в час

t ∈ T в выходные дни (МВт);

z_ji — мощность типа i ∈ I в узле j ∈ J (МВт);

v_jj′ — пропускная способность связи j - j^′, j ∈ J, j^′ ∈ J (МВт);

yjj′st

— резервный переток по связи j - j^′, j ∈ J, j^′ ∈ J в пиковый час

t∈

T♯s пикового сезона s ∈ S^♯ (МВт);

ywjj′st—перетокпосвязиj-j′,j∈J,j′ ∈Jвчасt∈Tвсезонs∈Sв

рабочие дни (МВт);

— переток по связи j - j^′, j ∈ J, j^′ ∈ J в час t ∈ T в сезон s ∈ S в

yhjj′st

выходные дни (МВт);

uwjst — зарядная мощность ГАЭС в узле j ∈ J в час t ∈ T в сезон s ∈ S в

рабочие дни (МВт);

uhjst — зарядная мощность ГАЭС в узле j ∈ J в час t ∈ T в сезон s ∈ S в

выходные дни (МВт). Все переменные модели неотрицательны.

Целевая функция:

∑∑∑∑

(2.1)

TC =

τwsc_jixwjist +

τhsc_jixhjist +

j∈J i∈I s∈S t∈T

∑∑

(

)

∑∑

(2.2)

γ_ji

z_ji - z0ji

κ_jiz_ji +

j∈J i∈I

∑

(

)

1^∑

(2.3)

ρ_jj′

v_jj′ - v0jj′

b_jj′v_jj′ →

min

(x^w,x^h,z,u^w,u^h,v,y,y^w,y^h)

j∈J j^′∈J

Составляющими целевой функции являются: суммарные (годовые) издерж-

ки на генерацию (2.1), издержки на ввод новых мощностей и постоянные

издержки на их содержание (2.2), издержки на расширение пропускных спо-

собностей связей и соответствующие постоянные издержки (2.3).

Далее приводится система ограничений модели ОРИРЭС с указанием со-

ответствующих двойственных переменных.

Ограничения на мощности в пиковые часы:

∑

(

)

∑

z_ji +

a_jj′

1-δ_jj′

yj′jst -

a_jj′ y_jj′_st ≥ r_jst,

(2.4)

i∈I

j^′∈J

j ∈ J, t ∈ T^♯s, s ∈ S^♯,

двойственные переменные ν_jst. Установленных мощностей во всей энергоси-

стеме с учетом баланса перетоков должно хватить на покрытие максимальной

нагрузки в каждом узле с учетом нормативного резерва (например, в случае

аварии). Фактически, ограничения (2.4) — это требования, предъявляемые к

установленной суммарной мощности.

Балансовые ограничения в рабочие дни:

∑

(

)

∑

xwjist +

a_jj′

1-δ_jj′

ywj′jst -

a_jj′ywjj′_st = dwjst + uwjst,

i∈I

j^′∈J

j ∈ J, s ∈ S, t ∈ T,

двойственные переменные λwjst.

Балансовые ограничения в выходные дни:

∑

(

)

∑

xhjist +

a_jj′

1-δ_jj′

a_jj′yhjj′_st = dhjst + uhjst,

yhj′jst -

i∈I

j^′∈J

j ∈ J, s ∈ S, t ∈ T,

двойственные переменные λhjst.

Ограничения на генерацию с учетом коэффициентов готовности и мини-

мально допустимой мощности в рабочие и выходные дни:

αwjisz_ji ≤ xwjist ≤ βwjisz_ji, αhjisz_ji ≤ xhjist ≤ βhjisz_ji,

(2.5)

j ∈ J, i ∈ I, s ∈ S, t ∈ T,

двойственные переменные μ^w

, μwjist, μ^h

, μhjist.

jist

Ограничения на развитие мощностей:

(2.6)

z0ji ≤ z_ji ≤ z_ji

, j ∈ J, i ∈ I,

двойственные переменные σ_ij, σ_ij .

Ограничения на резервные перетоки:

yjj′st ≤ vjj′ , j ∈ J, j^′ ∈ J, t ∈

s ∈ S^♯, двойственные переменные η_jj′_st.

Ограничения на перетоки в рабочие и выходные дни:

ywjj′_st ≤ v_jj′, yhjj′_st ≤ v_jj′, j ∈ J, j^′ ∈ J, s ∈ S, t ∈ T,

двойственные переменные ηwjj′st^.

Ограничения на развитие связей: v0jj′ ≤ v_jj′ ≤ v_jj′ , j ∈ J, j^′ ∈ J, двойствен-

ные переменные ω_jj′ , ω_jj′ .

Ограничения на сезонную выработку ГЭС (для узлов из J^S

ГЭС

∑

τws

x^w

+τ^h

x^h

≤H^S

zj(ГЭС),

j(ГЭС)st

jГЭСs

t∈T

j ∈J^S

, s ∈ S,

ГЭС

двойственные переменные ξ_js.

Ограничения на годовую выработку ГЭС (для узлов из J^Y

ГЭС

∑∑

τwsx^w

τhsx^h

≤H^Y

zj(ГЭС),

j(ГЭС)st

jГЭС

s∈S t∈T

j ∈J^Y

ГЭС

двойственные переменные ξ^Yj .

Ограничения на величину заряда ГАЭС в рабочие и выходные дни:

uwjst ≤ GГАЭСjszj(ГАЭС), uhjst ≤ GГАЭСjszj(ГАЭС),

j ∈ J, s ∈ S, t ∈ T,

двойственные переменные θwjst, θhjst.

Ограничения на суточную выработку ГАЭС в рабочие и выходные дни в

зависимости от накопленного заряда:

∑

x^w

-q_j

uwjst ≤ 0,

x^h

-q_j

uhjst ≤ 0,

j(ГАЭС)st

t∈T

j ∈ J, s ∈ S,

двойственные переменные ψwjs, ψhjs.

Ограничения на суточную мощность ГАЭС в рабочие и выходные дни в

зависимости от числа часов использования ГАЭС:

∑

xwj(ГАЭС)st ≤ HГАЭСjzj(ГАЭС),

xhj(ГАЭС)st ≤ HГАЭСjzj(ГАЭС),

t∈T

j ∈ J, s ∈ S,

двойственные переменные ϕwjs, ϕhjs.

Технические условия эквивалентности пропускных способностей связей в

обоих направлениях: v_jj′ = v_j′_j, j ∈ J, j^′ ∈ J, двойственные переменные π_jj′ .

Модели, подобные ОРИРЭС, исследовались и в других работах [9-13]. Мо-

дель ОРИРЭС обладает следующими преимуществами:

• более детально моделируются режимы ГЭС с ограничениями на годовую

и сезонную выработку;

• моделируются режимы ГАЭС;

• более детально учитываются графики нагрузки.

3. Двойственная модель

Вывод двойственной постановки основан на методике, использованной

в [14]. Сначала стандартным образом записывается функция Лагранжа, в

которой все слагаемые сгруппированы относительно двойственных перемен-

ных. Затем функция Лагранжа переписывается так, чтобы все слагаемые

были сгруппированы относительно прямых переменных. Для записи двой-

ственной задачи необходимо минимизировать функцию Лагранжа по пря-

мым переменным. При этом ограничения на прямые переменные либо отсут-

ствуют, либо являются ограничениями на знак прямой переменной. В пер-

вом случае получаем ограничения-равенства, а во втором случае — ограни-

чения-неравенства двойственной задачи. К первой группе переменных от-

носятся переменные xwjist, xhjist, поскольку в силу двусторонних ограниче-

ний (2.5) неотрицательность этих переменных учитывается автоматически и

в задаче минимизации функции Лагранжа по этим переменным ограничения

на знак отсутствуют. То же самое можно сказать о переменных z_ij и v_jj′ .

Для остальных переменных ограничения на знак должны явно учитываться.

Часть выражения функции Лагранжа, не содержащая прямых переменных,

есть максимизируемая целевая функция двойственной задачи. В итоге полу-

чаем следующую постановку двойственной задачи.

Целевая функция

∑∑

∑

(3.1)

TR = -f

γ_jiz0ji -

ρ_jj′v0jj

′

j∈J i∈I

j∈J j^′∈J

∑

∑∑

∑∑∑

(3.2)

r_jstν_jst +

dwjstλwjst +

dhjstλhjst +

j∈J s∈S t∈T

j∈J s∈S^♯ t∈T^s

∑∑

∑

(3.3)

z0jiσ_ji -

z_jiσ_ji +

v0jj′ω_jj′ -

v_jj′ω_jj′.

j∈J i∈I

j∈J j^′∈J

Ограничения, соответствующие переменным z_ij , без ГЭС и ГАЭС (т.е.

i = ГЭС и i = ГАЭС):

)

∑

(∑

∑

(∑

(3.4) fγ_ji + κ_ji -

ν_jst +

α^w

μ^w

- β^w

μ^w

jis

jist

jis

jist

s∈S^♯ t∈T^s

s∈S

t∈T

s∈S

t∈T

)

∑

(∑

∑

(∑

(3.5)

+ α^h

- β^h

μ^h

-σ_ji +σ_ji

= 0,

jis

jist

jis

jist

s∈S

t∈T

s∈S

t∈T

j ∈ J,i ∈ I \ {ГЭС,ГАЭС}.

Ограничения, соответствующие переменным zj(ГЭС) для ГЭС сезонного ре-

гулирования:

∑

fγj(ГЭС) +κj(ГЭС) -

ν_jst +

s∈S^♯ t∈

)

∑

(∑

∑

(∑

+ α^w

- β^w

μ^w

j(ГЭС)s

j(ГЭС)st

j(ГЭС)s

j(ГЭС)st

s∈S

t∈T

s∈S

t∈T

)

∑

(∑

∑

(∑

+ α^h

- β^h

μ^h

j(ГЭС)s

j(ГЭС)st

j(ГЭС)s

j(ГЭС)st

s∈S

t∈T

s∈S

t∈T

∑

+σj(ГЭС) -σj(ГЭС) -

H^S

ξ_js = 0, j ∈ J^S

jГЭСs

ГЭС

s∈S

Ограничения, соответствующие переменным zj(ГЭС) для ГЭС годового регу-

лирования:

∑

fγj(ГЭС) +κj(ГЭС) -

ν_jst +

s∈S^♯ t∈

)

∑

(∑

∑

(∑

+ α^w

- β^w

μ^w

j(ГЭС)s

j(ГЭС)st

j(ГЭС)s

j(ГЭС)st

s∈S

t∈T

s∈S

t∈T

)

∑

(∑

∑

(∑

+ α^h

- β^h

μ^h

j(ГЭС)s

j(ГЭС)st

j(ГЭС)s

j(ГЭС)st

s∈S

t∈T

s∈S

t∈T

+σj(ГЭС) -σj(ГЭС) -H^Y

ξ^Yj = 0, j ∈ J^Y

jГЭС

ГЭС

Ограничения, соответствующие переменным zj(ГАЭС):

∑

fγj(ГАЭС) +κj(ГАЭС) -

ν_jst +

s∈S^♯ t∈

)

∑

(∑

∑

(∑

+ α^w

- β^w

μ^w

j(ГАЭС)s

j(ГАЭС)st

j(ГАЭС)s

j(ГАЭС)st

s∈S

t∈T

s∈S

t∈T

)

∑

(∑

∑

(∑

+ α^h

- β^h

μ^h

j(ГАЭС)s

j(ГАЭС)st

j(ГАЭС)s

j(ГАЭС)st

s∈S

t∈T

s∈S

t∈T

)

∑

(∑

∑

(∑

+σj(ГЭС) -σj(ГАЭС) -

GГАЭС

θwjst

- G^ГАЭС

θ^h

jst

s∈S

t∈T

s∈S

t∈T

)

(∑

-HГАЭСj

ϕw

-H^ГАЭС

ϕh

= 0, j ∈ JYГАЭС.

s∈S

Ограничения, соответствующие переменным xwjist и xhjist без ГЭС и ГАЭС (т.е.

i = ГЭС и i = ГАЭС):

(3.6)

τwsc_ji - λwjst - μ^w

+ μwjist = 0, τhs c_ji - λhjst - μ^h

+μhjist

= 0,

jist

j ∈ J, i ∈ I \ {ГЭС,ГАЭС}, s ∈ S, t ∈ T.

Ограничения, соответствующие переменным x^w

и x^h

для ГЭС с

j(ГЭС)st

сезонным регулированием:

(3.7)

τwscj(ГЭС) -λwjst -μ^w

+μ^w

+τws ξjs = 0, j ∈ J^S

, s∈S, t∈T,

j(ГЭС)st

ГЭС

τhscj(ГЭС) -λhjst -μ^h

+μ^h

+τhsξ_js = 0, j ∈ J^S

, s∈S, t∈T.

j(ГЭС)st

ГЭС

Ограничения, соответствующие переменным x^w

и x

для ГЭС с

j(ГЭС)st

годовым регулированием:

(3.8)

τwscj(ГЭС) -λwjst -μ^w

+μ^w

+τwsξ^Yj = 0, j ∈ J^Y

, s∈S, t∈T,

j(ГЭС)st

ГЭС

τhscj(ГЭС) -λhjst -μ^h

+μ^h

+τhsξ^Yj = 0, j ∈ J^Y

, s∈S, t∈T.

j(ГЭС)st

ГЭС

Ограничения, соответствующие переменным xwj(ГАЭС)st и xhj(ГАЭС)st:

τwscj(ГАЭС) -λwjst -μ^w

+μwj(ГАЭС)st+ψwjs+ϕwjs = 0, j ∈J, s∈ S, t∈ T,

j(ГАЭС)st

τhscj(ГАЭС) -λhjst -μ^h

+μhj(ГАЭС)st+ψhjs+ϕhjs =0, j ∈ J, s ∈ S, t∈ T.

j(ГАЭС)st

Ограничения, соответствующие переменным v_jj′ :

∑

∑∑

(3.9)

fρ_jj′ +

b_jj′ -

ηjj′st -

ηwjj′_st -

s∈S t∈T

s∈S^♯ t∈T^s

∑∑

(3.10)

ηhjj′_st + ω_jj′ - ω_jj′ + π_jj′ - π_j′_j = 0, j ∈ J, j^′

∈ J.

s∈S t∈T

Ограничения, соответствующие переменным y_jj′_st:

(

)

a_jj′

ν_jst - (1 - δ_jj′)ν_j′_st

+ η_jj′_st ≥ 0, j ∈ J, j^′ ∈ J, s ∈ S^♯, t ∈ T^♯s.

Ограничения, соответствующие переменным ywjj′stиyjj′st^:

(

)

(

)

a_jj′

λwjst - (1 - δ_jj′)λwj′_st

+ ηwjj′_st ≥ 0, a_jj′ λhjst - (1 - δ_jj′)λ^h

+ ηhjj′_st ≥ 0,

j^′st

j ∈ J, j^′ ∈ J, s ∈ S, t ∈ T.

Ограничения, соответствующие переменным uwjst и uhjst:

λwjst + θwjst - q_jψwjs ≥ 0, λhjst + θhjst - q_jψhjs ≥ 0, j ∈ J, s ∈ S, t ∈ T.

Все двойственные переменные неотрицательны, за исключением λwjst, λhjst

иπ_jj′.

4. Анализ двойственной модели

Поскольку все переменные в прямой задаче имеют двусторонние ограниче-

ния, допустимое множество прямой задачи ограничено. Будем предполагать,

что это множество не пусто. Тогда прямая и двойственная задачи имеют ре-

шения P^∗ и D^∗, где P^∗ — набор оптимальных значений прямых переменных,

{

}

, uh,∗

^′st

, yh,∗jj′st^,u

jst

D^∗ — набор оптимальных значений двойственных переменных,

⎧

⎫

⎨

ν^∗jst, λw,∗jst, λh,∗jst, μw,∗, μw,∗jist, μh,∗

, μh,∗jist,

⎬

jist

η∗jj′st^,η

j^′st

, ηh,∗jj′st,σji,σji^,

D^∗

⁼⎩_ω∗

⎭

, ω∗jj′, ξ^∗js, ξ^Y,∗j, θw,∗jst, θh,∗jst, ψw,∗js, ψh,∗js, ϕw,∗js, ϕh,∗js, π^∗

jj^′

Обозначим: TC^∗ = TC(P^∗) — оптимальное значение прямой задачи (см. (2.1)-

(2.3)), TR^∗ = TR(D^∗) (см. (3.1)-(3.3)) — оптимальное значение двойственной

задачи. Из равенства TC^∗ = TR^∗ после перегруппировки слагаемых получаем

следующее:

∑∑∑

(4.1)

r_jstν^∗jst

dwjstλw,∗jst

dhjstλh,∗jst

j∈J s∈S t∈T

j∈J s∈S^♯ t∈

()

P^w

P^h

Preserv

∑∑∑∑

(4.2)

τwsc_jixw,∗jist

τhsc_jixh,∗jist

j∈J i∈I s∈S t∈T

()

C^w

generation

C^h

generation

∑∑

(

)

∑∑

(4.3)

γ_ji

z^∗ji - z⁰

κ_jiz^∗ji

j∈J i∈I

()

capacity

C^capacity

C_f

expansion

ixed

∑

(

)

1^∑

(4.4)

ρ_jj′

v^∗jj′ - v⁰

jj^′

b_jj′v^∗jj′

j∈J j^′∈J

()

C^network

expansion

f ixed

∑∑

∑

(4.5)

γ_jiz0ji

ρ_jj′v0jj′

j∈J i∈I

j∈J j^′∈J

()

Crepayity

C^networkrepay

∑∑

∑

(4.6)

z_jiσ^∗ji

z0jiσ^∗ji

v_jj′ω^∗jj′

v0jj′ω^∗jj′

j∈J i∈I

j∈J j^′∈J

()

capacity

R^capacity

R^network

L^network

stimulation

inef f iciency

stimulation

inef f iciency

Традиционно величина λw,∗jst — это так называемая «узловая цена» в ра-

бочие дни, т.е. цена, по которой электроэнергия покупается потребителями в

рабочие дни в узле j в сезон s в час t, аналогичная интерпретация применима

и к λh,∗jst — «узловым ценам» в выходные дни. Величина ν^∗jst — стоимость ре-

зервной мощности. В итоге сумма трех слагаемых в (4.1) представляет собой

суммарную плату потребителей за электроэнергию.

Содержательный смысл отдельных выражений в (4.1)-(4.6) следующий:

• P_reserv — плата потребителей за резерв электроэнергии;

• P^w — плата потребителей за электроэнергию в рабочие дни;

• P^h — плата потребителей за электроэнергию в выходные дни;

• C^wgeneration — издержки производителей на генерацию в рабочие дни;

• C^hgeneration — издержки производителей на генерацию в выходные дни;

• C^{capacityexpansion} — издержки производителей на развитие установленных мощ-

ностей;

• C^{capacityfixed} — издержки производителей постоянные (на поддержание уста-

новленных мощностей);

• C^{networkexpansion} — издержки на развитие сети;

• C^networkfixed — издержки сети постоянные (на поддержание сети);

•

repay

— издержки имеющихся до развития мощностей (возврат началь-

ных мощностных издержек);

• C^networkrepay — издержки имеющейся до развития сети (возврат начальных

сетевых издержек);

• R^{capacitystimulation} — бонус (поощрение) эффективных мощностей;

• L^{capacityinefficiency} — убытки неэффективных мощностей;

• R^{networkstimulation} — бонус (поощрение) эффективных участков сети;

• L^{networkinefficiency} — убытки неэффективных участков сети.

Равенства (4.1)-(4.6) можно пояснить следующим образом: суммарная пла-

та, взимаемая с потребителей в виде трех указанных в (4.1) составляющих,

расходуется на

• покрытие издержек на годовую генерацию (4.2);

• покрытие суммарных издержек на мощность (4.3);

• покрытие суммарных сетевых издержек (4.4);

• восстановление издержек на ввод ранее существовавших мощностей и

участков сети (4.5);

• суммарную прибыль (убыток) мощностей и сети (4.6).

Остановимся на результатах анализа основных двойственных соотноше-

ний.

Двойственные переменные λwjst и λhjst. Из (3.6) получаем

λwjst

μw

μwjist

jist

(4.7)

=c_ji -

, j ∈ J, i ∈ I \ {ГЭС,ГАЭС}, s ∈ S, t ∈ T.

τws

Следовательно, λwjst имеет размерность “плата за МВт·ч за весь сезон” s. Кро-

ме того, как видно из (4.7), узловая цена одна и та же для всех типов мощно-

стей i, находящихся в данном узле (λwjst не зависит от i). Предположим, что

для некоторой мощности i =ˆi в сезон s, час t в узле j оптимальное значение

прямой переменной xw,∗

удовлетворяет строгому двустороннему неравенству

jist

(4.8)

α^w

z^∗

<xw,∗

<β^h

z^∗

jis

jist

jis

т.е. генерация xw,∗

не достигает своего минимального или максимального

jist

значения. В этом случае из условий дополняющей нежесткости

(

)

(

)

(4.9)

μw,∗

αwjisz^∗ji - xw,∗

= 0, μw,∗

xw,∗jist - βwjisz^∗

= 0,

jist

которые выполняются для любого i и (4.8), следует

(4.10)

μw,∗

= 0, μw,∗

= 0.

jist

Тогда для оптимального значения λw,∗jst из (4.7) и (4.10) имеем

λw,∗jst

(4.11)

= cjˆi.

τws

Для другой мощности i такой, что

(4.12)

c_ji < cjˆi,

получаем

λw,∗jst

μw,∗

μw,∗jist

jist

=cjˆi >c_ji =

τws

или, после упрощения,

(4.13)

0>μw,∗

-μw,∗jist.

jist

При выполнении условия αwjis < βwjis, которое просто предполагается очевид-

ным, из условий дополняющей нежесткости (4.9) следует, что μw,∗

и μw,∗jist не

jist

могут быть одновременно отличными от нуля. Тогда в силу неотрицатель-

ности μw,∗, μw,∗jist и строго неравенства (4.13) получаем μw,∗

= 0 и μw,∗jist > 0.

jist

Снова из условия дополняющей нежесткости получаем

(4.14)

xw,∗jist = βwjisz^∗ji.

Мощность i, удовлетворяющая условию (4.12), более экономичная (издержки

на генерацию одного МВт меньше), чем мощностьˆi, и в силу равенства (4.14)

такая мощность используется максимально.

Если же предположить, что для мощности i (отличной отˆi) выполняется

строгое неравенство

(4.15)

c_ji > cjˆi,

то, проводя аналогичные рассуждения, получаем, что в этом случае анали-

зируемая мощность i менее экономична, чемˆi, и поэтому используется мини-

мальным образом:

(4.16)

xw,∗jist = αwjisz^∗ji.

Подведем некоторые итоги. Все типы мощностей в данном узле j распада-

ются на не более, чем три группы. Если для некоторых мощностей справед-

ливы неравенства (4.8), то все они имеют одинаковые предельные издерж-

ки c_ji, и в соответствии с этими издержками устанавливается узловая цена

по формуле (4.11). Такие мощности принято называть замыкающими. Если

в данном узле есть мощности с меньшими издержками, то они загружаются

полностью. Их издержки не обязаны быть равными, лишь бы выполнялось

условие (4.12). Если в узле есть мощности с большими, чем у замыкающих,

издержками (4.15), то эти мощности загружаются по минимуму, т.е. в соот-

ветствии с (4.16). Их вообще лучше было бы не загружать, но этому могут

препятствовать условия αwjis > 0 и z0ji > 0. Если для некоторых i коэффи-

циенты минимальной готовности αwjis = 0, то, как следует из (4.16), такие

мощности не загружаются.

Анализ двойственных переменных λhjst проводится аналогичным образом.

Двойственные переменные μw,∗

и μw,∗jist. Ранее уже было установлено, что

jist

для замыкающих мощностей значения этих переменных равны нулю. Для бо-

лее экономичных мощностей имеем (как это было определено выше) μw,∗jist > 0

и μw,∗jist = 0. Из (4.7) получаем

λw,∗jst

μw,∗jist

=c_ji +

τws

Экономичные мощности несут издержки на генерацию одного МВт·ч в объе-

w,∗

ме c_ji, а продают по узловым ценам, равным

^jst , т.е. за каждый МВт·ч

τws

μw,∗jist

получают доход

(имеют излишек производителя). Для неэкономичных

τws

мощностей, т.е. для тех мощностей i, для которых выполняются неравенства

(4.15), аналогичным образом получаем

λw,∗jst

μw,∗

(4.17)

=c_ji -

^jist .

τws

Эти мощности не покрывают издержки на генерацию за счет продажи. Как

w,∗

следует из (4.17), убыток с каждого МВт равен

^jist .

τws

Двойственные переменные ξ_js и ξ^Yj . Учитывая, что cj(ГЭС) = 0, из (3.7)

получаем

λwjst

μ^w

j(ГЭС)st

(4.18)

+ξ_js, j ∈ J^S

, s ∈ S, t ∈ T.

ГЭС

τws

Сравнивая (4.18) и (4.7), видим, что хотя издержки на генерацию непосред-

ственно ГЭС нулевые, роль издержек выполняют двойственные перемен-

ные ξ_js. Напомним, что эти двойственные переменные соответствуют ограни-

чениям на сезонное использование ГЭС водных ресурсов и оценивают именно

стоимость этих ресурсов в каждый сезон s. Другими словами, ξ_js можно рас-

сматривать как ренту за использование гидроэнергетических ресурсов ГЭС

сезонного регулирования.

Аналогичным образом из (3.8) получаем, что двойственные переменные

ξYj — рента за использование гидроэнергетических ресурсов ГЭС с годовым

регулированием.

Разделение расходов на строительство новой линии между двумя соседни-

ми узлами. Для линии j - j^′ проанализируем вклад каждого узла в расходы,

связанные с функционированием и развитием этой линии. Запишем равен-

ства (3.9)-(3.10), поменяв местами индексы j и j^′,

∑

∑∑

(4.19)

fρ_j′j +

b_j′j -

ηj′jst -

ηwj′jst -

s∈S^♯ t∈T^s

s∈S t∈T

∑∑

(4.20)

∈ J.

ηhj′jst + ωj^′j - ωj′j + πj^′j - πjj^′ = 0, j ∈ J, j^′

s∈S t∈T

Суммируя (3.9)-(3.10) и (4.19)-(4.20) и учитывая ρ_j′_j = ρ_jj′ b_j′_j = b_jj′ , полу-

чаем

∑

∑∑

fρ_j′j + bj′j =

ηjj′st +

ηwjj′_st +

ηhjj′_st +

s∈S t∈T

s∈S^♯ t∈T^s

∑

∑∑

ηj′jst +

ηwj′jst +

ηhj′jst +

s∈S^♯ t∈T^s

s∈S t∈T

+ω_jj′ - ω_jj′ + ω_j′_j - ω_j′_j.

Умножая последние равенства v_jj′ и учитывая v_jj′ = v_j′_j, получим

fρ_jj′v_jj′ + b_jj′v_jj′ =

∑

∑∑

(4.21)

ηjj′stvjj′ +

ηwjj′_stv_jj′ +

ηhjj′_stv_jj′ +

s∈S t∈T

s∈S^♯ t∈T^s

∑

∑∑

(4.22)

ηj′jstvj′j +

ηwj′jstvj^′j +

ηhj′jstvj^′j +

s∈S t∈T

s∈S^♯ t∈T^s

(4.23)

+ω_jj′v_jj′ - ω_jj′v_jj′ + ω_j′_jv_j′_j - ω_j′_jv_j′_j.

В силу условия дополняющей нежесткости

ηjj′stvjj′ = ηjj′styjj′st, ηjj′stvjj^′ = ηjj′styjj′st,

ηhjj′_stv_jj′ = ηhjj′_styhjj′_st, s ∈ S, t ∈ T,

ηj′jstvj′j = ηj′jstyj′jst, η^j′jstvj^′j = η^j′jsty^j′jst,

ηhjj′_stv_j′_j = ηhj′_jstyhj′_jst, s ∈ S, t ∈ T,

из условий (4.21)-(4.23) имеем

fρ_jj′v_jj′ + b_jj′v_jj′ =

∑

∑∑

(4.24)

ηjj′styjj′st +

ηwjj′_stywjj′_st +

ηhjj′_styhjj′_st +

s∈S t∈T

s∈S^♯ t∈T^s

∑

∑∑

(4.25)

ηj′jstyj′jst +

ηwj′jsty^j′jst +

ηhj′jsty^j′jst +

s∈S t∈T

s∈S^♯ t∈T^s

(4.26)

+ω_jj′v_jj′ - ω_jj′v_jj′ + ω_j′_jv_j′_j - ω_j′_jv_j′_j.

Выражение fρ_jj′ v_jj′ + b_jj′ v_jj′ слева от знака равенства в (4.24) означает пол-

ные затраты в линию на участке j - j^′. Первое слагаемое fρ_jj′v_jj′ — рас-

ходы на ввод линии, второе слагаемое b_jj′ v_jj′ — постоянные расходы (из-

держки) с учетом установившейся пропускной способности v_jj′ . Справа от

знака равенства в (4.24) стоят суммарные выплаты узла j^′ в линию. Первое_∑

∑

слагаемое

ηjj′styjj′st — плата узла j^′

за годовой переток из узла j в

s∈S^♯ t∈T^s

∑

узел j^′ в пиковые сезоны и часы; второе слагаемое

∑ ηwjj′styjj′st — плата

s∈S t∈T

узла j^′ за годовой переток из узла j в узел j^′ в рабочие дни; третье слагае-_∑

мое

∑ ηhjj′styjj′st — плата узла j^′ за годовой переток из узла j в узел j^′ в

s∈S t∈T

выходные дни. Двойственные переменные η_jj′_st, ηwjj′st,ηjj′st^{—ценызамега-}

ватт перетока из j в j^′ в сезон s час t соответственно в “пиковые” периоды,

рабочие и выходные дни. Аналогично интерпретируются перетоки из узла j^′

в узел j в выражении (4.25). В итоге получаем, что суммарные выплаты уз-

ла j^′ (правая часть (4.24)) плюс суммарные выплаты узла j (три слагаемых

в (4.25)) идут на покрытие расходов на ввод линии плюс постоянные издерж-

ки (левая часть от знака равенства в (4.24)) плюс излишки (или доход) линии

(выражение (4.26), перенесенное влево от знака равенства).

Анализ эффективности мощностей. Умножим равенства (3.4)-(3.5) на z_ij

и, учитывая (4.9), получим

∑∑

∑

(4.27)

λwjstxwjist +

λhjstxhjist +

ν_jstz_ji =

s∈S t∈T

s∈S^♯ t∈

∑∑

(4.28)

τwsc_jixwjist +

τhsc_jixhjist +

s∈S t∈T

(4.29)

+fγ_ji(z_ji - z0ji) + κ_jiz_ji +

(4.30)

+fγ_jiz0ji +σ_jiz_ji -σ_jiz_ji.

Соотношения (4.27)-(4.30) выполняются для всех мощностей i в узлах j за

исключением ГЭС и ГАЭС. Двойственные переменные: σ_ji — оценка значи-

мости ограничений сверху в (2.6) на ввод мощности i в узле j (чем больше

эта величина, тем эффективнее ввод именно этой мощности); σ_ji — оценка

ограничений на мощность снизу в (2.6) (чем больше эта величина, тем неэф-

фективнее, убыточнее эта мощность).

Выражение (4.27) есть годовой доход, получаемый мощностью i в узле j:

первое слагаемое — доход от генерации в рабочие дни, второе слагаемое —

доход от генерации в выходные дни, третье слагаемое — доход от предостав-

ления услуги по резервированию. Выражение (4.28) — годовые топливные

издержки мощности i в узле j, первое слагаемое в (4.29) — затраты на раз-

витие мощности i в узле j в объеме z_ji, второе слагаемое в (4.29) — посто-

янные издержки на содержание мощности z_ji. Первое слагаемое в выраже-

нии (4.30) — затраты на введение данной мощности в объеме z0ji. На первый

взгляд это кажется странным, поскольку мощность эта уже существует и не

требуется повторных затрат на ее введение. Объяснение этому эффекту мож-

но дать следующее. Неравенство z0ji ≤ z_ji в (2.6) модель интерпретирует как

обязательное (т.е. не зависящее от эффективности) введение мощности z0ji.

Поэтому и возникают соответствующие обязательные затраты fγ_jiz0ji. Вто-

рое слагаемое в (4.30) — возможная прибыль. Третье слагаемое — возможный

убыток.

Перейдем к более детальному анализу (4.27)-(4.30). Необходимо только

помнить, что одновременно двойственные переменные σ_ji и σ_ji отличными

от нуля быть не могут.

1. Если σ_ji > 0, σ_ji = 0, то z_ji = z_ji, т.е. данная мощность вводится макси-

мально. Более того, желательно, чтобы она вводилась еще больше. Владе-

лец такой мощности получает “стимулирующую надбавку” в размере σ_ji за

единицу мощности. В итоге владелец компенсирует годовые топливные за-

траты, затраты на развитие мощности, постоянные затраты на поддержание

мощности и в дополнение имеет стимулирующую прибыль в размере σ_jiz_ji.

Величина fγ_jiz0ji также может рассматриваться как прибыль-восстановление

затрат на ранее введенную мощность.

2. Если σ_ji = 0, σ_ji = 0, то компенсируются все затраты, без стимулирующей

прибыли, но с прибылью-восстановлением.

3. Если σ_ji = 0, σ_ji > 0, то z_ji = z0ji, т.е. ввод отсутствует. Более того, дан-

ная мощность неэффективна. За единицу мощности фирма несет убыток в

размере σ_ji. Годовой доход данной мощности идет на покрытие всех издер-

жек минус убыток в размере σ_jiz0ji в случае z0ji > 0. Именно в этом случае

сказывается то, что модель воспринимает левую часть неравенства (2.6) как

обязательный (в данном случае неэффективный, убыточный) ввод. Перепи-

шем (4.27)-(4.30) в следующем виде:

∑∑

λwjstxwjist +

λhjstxhjist =

s∈S t∈T

∑∑

τwsc_jixwjist +

τhsc_jixhjist + κ_jiz0ji + fγ_jiz0ji - σ_jiz0ji.

s∈S t∈T

Убыток мощность терпит только в том случае, если fγ_jiz0ji - σ_jiz0ji < 0. Если

данная разность равна нулю, то доход в точности компенсирует затраты, а

если эта разность положительна, то мощность даже получает прибыль.

Анализ эффективности сети производится аналогично анализу мощност-

ной эффективности.

5. Заключение

Главным результатом проведенного анализа является равенство (4.1)-

(4.6). На вход модели поступает спрос на электроэнергию в рабочие и вы-

ходные дни, и норматив на резерв. Полученные цены, с одной стороны, соот-

ветствуют минимуму суммарных затрат, с другой стороны, устанавливаются

так, что суммарная плата, взимаемая с потребителей за электроэнергию, поз-

воляет оптимальным образом ввести новые мощности и новые линии (или

увеличить пропускные способности существующих). Двойственный анализ

ясно показывает, как суммарная плата распределяется между издержками

на генерацию, издержками на мощность и сетевыми издержками. При этом

определяется, в каких узлах и какие мощности вводить и какие линии рас-

ширять, что играет центральную роль при анализе долгосрочного развития

ЭЭС. Кроме того, определяется рента за использование водных ресурсов и

выявляются неэффективные мощности, также как и неэффективные участки

сети (возможно, подлежащие демонтажу).

Вместе с тем следует отметить, что полученные результаты являются

предварительными и требуют дальнейшего уточнения, осмысления и при-

ложения к конкретным задачам развития электроэнергетических систем и

объектов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Беляев Л.С., Подковальников С.В., Савельев В.А., Чудинова Л.Ю. Эффектив-

ность межгосударственных электрических связей. Новосибирск: Наука, 2008.

2. Подковальников С.В., Савельев В.А., Хамисов О.В., Чудинова Л.Ю. Обосно-

вание эффективности межгосударственных энергообъединений с разделением

эффектов между участниками // АиТ. 2018. № 10. С. 26-38.

Podkoval’nikov S.V., Savel’ev V.A., Khamisov O.V. et al. Justification of

Effectiveness of International Power Interconnections with Separation of Effects

between Participants// Autom. Remote Control. 2018. V. 79. P. 1756-1766.

3. Подковальников С.В., Савельев В.А., Чудинова Л.Ю. Исследование систем-

ной энергоэкономической эффективности формирования межгосударственного

энергообъединения Северо-Восточной Азии // Известия РАН. Энергетика. 2015.

№ 5. С. 16-32.

4. Давидсон М.Р., Селезнев А.В. Математическая модель расчета ценовых инди-

каторов в задаче выбора состава генерирующего оборудования в условиях кон-

курентного рынка электроэнергии в России // Известия РАН. Теория и системы

управления. 2014. № 3. С. 61-70.

Васьковская Т.А. Вопросы формирования равновесных узловых цен оптового

рынка электроэнергии // Электрические станции. 2017. № 1. С. 25-32.

Chen L., Suzuki H., Wachi T., Shimura Y. Components of Nodal Prices for Electric

Power Systems // IEEE Transactions on Power Systems. 2002. V. 17. No. 1. P. 41-49.

Bjørndal E., Bjørndal M., Cai H. Nodal Pricing in a Coupled Electricity Market //

Bergen, Norway: Norwegian school of economics. 2014.

https://brage.bibsys.no/xmlui/bitstream/handle/11250/217640/1/DiscussionPaper.pdf

Hirth L. The European electricity market model EMMA. Model documentation.

Version 2017-07-12. https://neon-energie.de/emma-documentation.pdf

Bowen B.H., Sparrow F.N., Yu Z. Modelling electricity trade policy rof the twelve

nations of the Southen African Power Pool (SAPP) // Utilities Policy. 1999. V. 8.

No. 3. P. 183-197.

10.

Chang Y., Li Y. Power generation and cross-border grid planning for the integrated

ASEAN electricity market: a dynamic linear programming model // Energy Strategy

Reviews. 2013. V. 2. P. 153-160.

11.

Otsuki T., Isa A.B.M., Samuelson R.D. Electric power grid interconnection in

Northeasst Asia: a quantitative analysis of opprtunities and challenges // Energy

Policy. 2016. V. 89. P. 311-329.

12.

Schaber K., Steinke F., Hamcher Y. Transmission grid extensions for the integration of

variable renewable energies in Europe: who benefits where? // Policy Energy. 2012.

V. 43. P. 123-135.

13.

Watcharejyothin M., Shrestha R.M. Effects of cross-border power trade between Laos

and Thailand: energy security and environmental implications // Energy Policy.

2009. V. 37. P. 1782-1792.

14.

Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Издательство «Факториал Пресс», 2002.

Статья представлена к публикации членом редколлегии А.А. Галяевым.

Поступила в редакцию 10.07.2021

После доработки 23.12.2021

Принята к публикации 26.01.2022