Автоматика и телемеханика, № 5, 2022
© 2022 г. А.В. АХМЕТЗЯНОВ, канд. техн. наук (awa@ipu.ru),
А.В. САМОХИН, д-р техн. наук (samohinalexey@gmail.com)
(Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)
НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНОВЫЕ УПРАВЛЯЮЩИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ
ДЛЯ УВЕЛИЧЕНИЯ НЕФТЕОТДАЧИ ПРИРОДНЫХ ЗАЛЕЖЕЙ1
В процессе разработки месторождений нефти применяются волновые
периодические возмущения для увеличения дебита скважин и повыше-
ния конечной нефтеотдачи пластов. В неоднородной среде, при наличии
диссипации и/или дисперсии, гармонические колебания, создаваемые в
забоях скважин, превращаются в пилообразные волны с периодически-
ми ударными фронтами. В статье описаны и исследованы одномерные и
двумерные нелинейные математические модели таких процессов.
Ключевые слова: волновые воздействия, уравнения Кортвега-де Фриза-
Бюргерса, цилиндрические волны, сферические волны, пилообразные
волны, развитие паттернов.
DOI: 10.31857/S0005231022050051, EDN: ABKKSK
1. Введение
Пилообразные волны — периодические затухающие волны возмущения,
профиль которых содержит слабые разрывы. В вязкой среде без дисперсии
любое периодическое возмущение на больших расстояниях превращается в
“пилу” с треугольными зубцами. Каждый период содержит слабый разрыв и
почти прямолинейный участок профиля. При дальнейшем распространении
изменяются лишь пиковые значения амплитуды возмущений. Профили пило-
образных волн довольно устойчивы и мало изменяются при парном взаимо-
действии и при слабом воздействии дополнительных факторов — дифракции,
дисперсии, низкочастотной модуляции и т.п. [1]. Такая устойчивость связа-
на с сильным проявлением нелинейных свойств насыщенной углеводородами
пористой среды.
Пилообразные волны аналогичны ударным волнам, но распространяются
в средах с вязкостью. Стандартные ударные волны представляет собой при-
мер сильного разрыва гидродинамических параметров, когда функции, их
описывающие, претерпевают конечные разрывы. Слабый разрыв — это ко-
гда сами параметры непрерывны, а разрывы претерпевают те или иные про-
странственные производные (пилообразные волны являются слабо разрыв-
ными). Поверхности слабого разрыва распространяются относительно среды
со скоростью, равной скорости звука, см. обзор [1].
1 Работа выполнена при частичной поддержке Российского научного фонда (проект
21-71-20034).
61
Исследования и приложения теории нелинейных пилообразных волн свя-
заны сейчас с распространением волн в неоднородных средах, см. обзор [2].
Соответствующие задачи можно условно разделить на две группы: задачи,
связанные с проблемой формирования интенсивных воздействий (ударов), и
обратные задачи нелинейного неразрушающего контроля и диагностики (вос-
становление параметров источника, рассеивателей или трассы распростране-
ния сигнала).
В настоящей статье описаны и частично исследованы пространственно од-
номерные и двумерные нелинейные математические модели таких процессов.
Использование этих нелинейных свойств в управлении нефтедобычей при-
ведет к увеличению доли извлекаемых запасов месторождений, поскольку
создаваемые опускным источником колебаний внешние гармонические воз-
мущения, преобразованные в диссипативной среде в пилообразные ударные
волны, вызывают кавитацию в жидкой среде, и вторичные ударные волны,
которые преодолевают капиллярные силы, удерживающие остаточные запа-
сы нефти на поверхностях поровых каналов и трещин.
Скорость затухания сигнала, переносимая слабыми разрывами, зависят
от свойств среды и параметров сигнала; они поддаются разрабатываемым
эффективным численным оценкам, которые в настоящее время разрабаты-
ваются авторами статьи и будут предметом последующих публикаций.
2. Одномерные модели
Для описания пилообразных волн необходимо правильно определить по-
ложение и форму ударного фронта, а также величины возмущений при пе-
реходе через фронт ударной волны. С этой целью используются уравнения
Бюргерса
ut = -2uux + ε2uxx
и Кортвега-де Фриза-Бюргерса
ut = -2uux + ε2uxx + λuxxx,
приводящие к принципиально верному описанию характерных эффектов
в пространственно одномерной ситуации. Различие между этими уравне-
ниями состоит в том, учитывается дисперсия среды или не учитывается
(ε, λ - коэффициенты, постоянные для однородных сред и связанные с вяз-
костью/диссипацией и дисперсией среды, u - приведенная величина возму-
щения). Начально-граничная задача выглядит так:
u (x, 0) = a, u (0, t) = a + b sin (kt) , u (L, t) = a, ux (L, t) = 0, L ≫ 0.
√
Волновая картина определяется отношением γ = ε2/
λ. На рис. 1 изобра-
жена трансформация синусоиды в пилу при небольшой диссипации. С уве-
личением расстояния x, пройденного волной, мелкие детали исходного вре-
менного профиля постепенно исчезают на удалении от источника порядка
нескольких характерных длин [3, 4]. На всех рисунках движение вправо.
62
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0
10
20
30
x
O A
B
C
0,2
Рис. 1. Типичный вид графика решения Кортвега-де Фриза-Бюргерса. Уча-
сток [0, A] - пилообразная волна, [A, B] - квазигармонические затухающие ко-
лебания, [B, C] - монотонная часть, в точке C передний (головной) ударный
фронт.
u
3,0
2,8
2,6
2,4
2,2
2,0
1,8
25
30
35
40
45
50
x
Рис. 2. Уравнение Кортвега-де Фриза-Бюргерса, трансформированный соли-
тон, γ = 0, 22.
На рис. 2 показана трансформация одинокого импульса, солитона для γ =
= 0; 22.
Для полупрямой x ∈ [0; ∞) и периодического возмущения в точке x = 0 ви-
да u (0, t) = u0 + b sin (ωt) асимптотика соответствующих решений уравнения
Бюргерса такова:
∑
a
sin (nθ)
u=
R
sh(n(1 + X)/(2R))
n=1
Здесь R — число Рейнольдса, θ = ω (t - x/u0).
63
Благодаря значительному набору симметрий уравнение имеет значитель-
ный запас автомодельных решений (в том числе типа бегущих ударных волн,
что следует из наличия галилеевой симметрии), а благодаря наличию линеа-
ризующего преобразования Коула-Хопфа известны многие точные решения.
По этой причине уравнение также использовалось для сравнения несколь-
ких численных алгоритмов. В последние несколько лет численное решение
системы многомерных уравнений Бюргерса привлекло большое внимание и
привело к различным методам конечных разностей, конечно-элементных и
граничных элементов.
2.1. Плоские, цилиндрические и сферические волны
Уравнение КдФ-Бюргерса для плоских волн имеет вид
(1)
ut = -2uux + ε2uxx + δuxxx.
Его цилиндрические и сферические аналоги [5-7]:
1
(2)
ut +
u = -2uux + ε2uxx + δuxxx
2t
и
1
(3)
ut +
u = -2uux + ε2uxx + δuxxx
t
соответственно [5].
Отметим, что плоские волны — решения уравнения Бюргерса (1) — ранее
подвергались детальному анализу, в то время как сферические и цилиндри-
ческие волны изучены пока недостаточно. В статье приводятся новые резуль-
таты, касающиеся этих решений.
Рассмотрим начально-краевую задачу:
(4)
u(x, 0) = f(x), u(a, t) = l(t), u(b, t) = L(t), ux
(b, t) = R(t), x ∈ [a, b].
В случае δ = 0 (т.е. для уравнения Бюргерса) получается
(5)
u(x, 0) = f(x), u(a, t) = l(t), u(b, t) = R(t), x ∈ [a, b].
Случай граничных условий u(a, t) = A sin(ωt), u(b, t) = 0 и связанная с ним
асимптотика представляют для авторов особый интерес. Для численного мо-
делирования будем использовать x ∈ [0, b] для достаточно больших b вме-
сто R+.
Для t ≫ 1 уравнения (2) и (3) стремятся к (1); то же происходит с их реше-
ниями. Напомним, что явный вид решений типа бегущей волны для плоского
64
КдФ-Бюргерса (1) выглядит так:
(
)
(
)
2
ε2(x-V t-s)
ε2(x-V t-s)
3ε4 th
3ε4 th
10δ
10δ
V
3ε4
(6)
utws(x,t) =
-
+
-
50δ
25δ
2
50δ
Потребуем, чтобы u|x=+∞ = 0; тогда бегущая волна должна иметь ско-
δ
Обратите внимание, что уравнения (1)-(3) можно записать в виде wt +
√
√
+n2tw = γwxx - 2wwx + wxxx заменой переменных t → t
δ, x → x
δ, u →
→-u2. Здесь γ
√
и n = 0,1/2,1 для плоских, цилиндрических и сфери-
δ
ческих волн соответственно.
В случае δ = 0 уравнение Бюргерса также имеет множество решений типа
бегущей волны, исчезающей в точке x → +∞. Они даются формулой
[
(
)]
V
V
(7)
uBtws(x,t) =
1 - th
(x - V t + s)
2
2ε2
Далее показано, что в случае вышеуказанного начально-граничного усло-
вия возмущение состояния равновесия (2), (3) в конечном итоге становится
очень похожим на форму этого скачка.
• Более высокая вязкость эффективно гасит колебания и может привести к
отсутствию пилообразных эффектов.
• Большие частоты начальных возмущений затухают намного быстрее.
• Возмущение большей амплитуды приводит к увеличению скорости и ам-
плитуды волны.
• После затухания начальных колебаний графики превращаются в монотон-
но падающие выпуклые линии, оканчивающиеся ударом.
• Цилиндрическое возмущение движется быстрее и медленнее затухает по
сравнению со сферическим.
2.2. Симметриии, инвариантные решения
Поскольку цилиндрические и сферические уравнения явно зависят от вре-
мени, их запас симметрии невелик.
Алгебры классических симметрий порождаются векторными полями:
∂
X =
,
∂x
∂
∂
∂
Y =x
+ 2t
-u
,
∂x
∂t
∂u
√
∂
1
∂
Z =
t
+
√
,
∂x
4
t ∂u
∂
1
∂
W = ln(t)
+
∂x
2t ∂u
65
Симметрии и инвариантные решения
Уравнения
Cимметрии Инвариантные решения
(
)
C
(x + 4C)
t
√
,
,x-1f
Cylindrical Burgers
X, Y, Z
4t
x2
(t)
для некоторых f
C
(x + 4C)
Cylindrical KdV-Burgers
X, Z
√
,
(t)
4t
(
)
C
x + 2C
t
,
, x-1f
для
Spherical Burgers
X, Y, W
t
2t ln(t)
x2
некоторых f
C
x + 2C
Spherical KdV-Burgers
X, W
,
t
2t ln(t)
Найти инвариантные решения для симметрий X, Z и W несложно. Ре-
зультаты собраны в таблице.
Для Y инвариантное решение должно иметь вид x-1f(t
), где f(ξ) — ре-
x2
шение нелинейного дифференциального уравнения
)
(
)
1
( 5
1
1
1
1
f′′ +
ff′ +
-
f′ +
f2 +
-
f = 0,
ε2ξ
2ξ
4ξ2ε2
2ξ2ε2
2ξ2
4ξ3ε2
решения которого пока не найдены.
2.3. Законы сохранения
Сначала перепишем уравнения (1)-(3) в подходящую форму законов со-
хранения:
[
(
)]
(8)
[tn · u]t =
tn ·
-u2 + ε2ux + δuxx
,
x
n = 0, 1/2, 1 для плоского, цилиндрического и сферического случаев соот-
ветственно.
Следовательно, для решений приведенных выше уравнений имеем:
∮
[
(
)
]
(9)
tn ·
u dx +
ε2ux - u2 + δuxx
dt
= 0.
∂D
Выражение (5) преобразовывается до
∫
∫
T
1
1
1
(
)
(10)
u(x, T ) dx =
tn
-ε2ux(0,t) + u2(0,t) - δuxx(0,t)
dt.
T
T
Tn
0
0
Правая часть (10) — это среднее значение.
Возьмем u(0, t) = M. Далее приводятся графики решений для M = 1.
66
Для получившейся волны сжатия ux(0, t) = 0 правая часть (10) равна
T
∫
1
M2
M2
(11)
tn dt =
T
Tn
n+1
0
Как видно на рис. 1, для периодического граничного условия после зату-
хания начальных колебаний графики становятся монотонными выпуклыми
линиями, которые начинаются приблизительно на высоте A/2 и заканчива-
ются при x = V · T и на высоте V . Эти монотонные линии очень похожи на
графики решений с постоянным условием на границе.
2.4. Центральная аппроксимация
Глядя на форму графика решения, можно ясно увидеть, что монотонная
часть и ее головной удар развиваются как гомотетическое преобразование ис-
ходной конфигурации. Итак, ищем решения вида u(x, t) = y(x/t). Подставляя
его в уравнения (1)-(3), получаем уравнение
′
x
ny
2yy
ε2y′′
δy′′′
(12)
-y′
+
=
+
+
t2
t
t
t2
t3
или
′′
ε2y
δy′′′
(13)
-ξy′ + ny = 2yy′ +
+
t
t2
для y = y(ξ) и n = 0, 1/2, 1.
При достаточно большом t можно опустить два последних слагаемых. От-
сюда следует, что подходящими решениями вышеуказанных обыкновенных
дифференциальных уравнений являются:
u1(x,t) = C1, C1 ∈ R, n = 0 для плоских волн,
2+
√C2ξ + 4
1
u2(x,t) = -
,
C2 ∈ R, n =
для цилиндрических и
C2
2
(
(
)
)
ξ
C3
u3(x,t) = exp LambertW
-
e-C23
+
,
C3 ∈ R, n = 1
2
2
для сферических.
Пусть V — скорость распространения сигнала в среде. Поскольку для пе-
редней ударной волны x = V t и u = V , имеем условие нахождения Ci. Это
y(V ) = V . Отсюда следует, что C1 = V , C2 = -3V , C3 = ln(V ) +12 . Для плос-
ких волн это соответствует решению бегущей волны классического уравнения
Бюргерса.
Для цилиндрических волн монотонная часть задается как
(
√
)
1
3x
u2 =
2V + V
4-
3
Vt
67
1,0
t = 100,00000
0,8
0,6
0,4
0,2
0
10
20
30
40
50
60
70 x
Рис. 3. Сплошная линия — решение (15), точки — его u2 приближение.
Для сферических волн
(
(
))
√
x
u3 = V
e exp LambertW
-
,
2V t√e
4V
√
(14)
u2|x=0 =
,
u3|x=0 = V
e ≈ 1,65V.
3
Эти формулы показывают, что скорость пропорциональна амплитуде в
начале колебаний и не зависит от частоты, которая вместе с амплитудой
определяет колеблющуюся часть решений; подробнее об этом далее.
Соответствующие графики идеально совпадают с графиками, полученны-
ми путем численного моделирования; например, см. сравнение с решением в
(t = 100) для проблемы
(15)
ut = 0,01uxx - 2uux
− u/t, u(0, t) = 1, u(75, t) = 0, u(x, 0) = 0
на графике рис. 3.
Однако монотонная гладкая часть периодического граничного решения
заканчивается скачком, который движется с постоянной скоростью и ампли-
тудой, подобно передней части бегущей волны Бюргерса на рис. 1.
Довольно естественная идея — усечь гомотетическое решение, умножив
его на (нормализованную) бегущую волну Бюргерса, (7). А именно положить:
• для цилиндрических волн
(
√
)
[
(
)]
1
V
1
3x
(16)
ũ2 =
1 - th
(x - V t)
·
2V + V
4-
;
2
ε2
3
Vt
68
0,6
М
0,4
0,2
0
2
4
6
8
10
x
0,2
0,4
0,6
0,8
Рис. 4. Сплошная линия — решение (18), точки — его ũ2 приближение, t = 20.
• для сферических
[
(
)]
(
(
))
1
V
√
x
(17)
ũ3 =
1 - th
(x - V t)
·V
e exp LambertW
-
2
ε2
2V t√e
Эта конструкция дает приближение с поразительной точностью, см. рис. 4,
который соответствует цилиндрической задаче Бюргерса.
(18)
ε = 0,1, u(0,t) = sin10t, u(10,t) = 0, u(x,0) = 0.
Более того, очевидно, что графики ũ2, ũ3 аккуратно представляют меди-
анные линии приближенных решений на всем их диапазоне. Напомним, что
эти медианы можно вычислить независимо с помощью правой части (10).
Теперь оценим площадь трапеций под графиками ũ2, ũ3:
• для цилиндрического уравнения
(
)]
(
√
)]
∫ [[
V
1 - th
(x - V t)
1
3x
32
ε2
2V + V
4-
dx =
V2t;
2
3
Vt
27
0
• для сферического
∫V t
[[
(
)]
(
(
))]
V
1 - th
(x - V t)
√
-x
ε2
(19)
V
e exp LambertW
dx =
2
2V t√e
0
V2t · e
=
2
69
Следовательно, среднее значение левой части (10) можно оценить следую-
щим образом. Поскольку сигнал от x = 0 после затухания колебаний распро-
страняется вправо с постоянной скоростью V и с той же постоянной ампли-
тудой V на ударе и очень хорошо аппроксимируется подходящим гомотети-
ческим решением, получим
⎧
⎪
32
∫
∫
V2 цилиндр;
⎨
1
1
27
(20)
u(x, T ) dx =
u(x, T ) dx ≈
T
T
⎪
V2
·e
⎩
сфера.
0
0
2
Это среднее значение можно также оценить численно. В случае, показан-
ном на рис. 1, непосредственная численная оценка отличается от оценки (20)
на 1%. Таким образом, полученная центральная аппроксимация действитель-
но является надежной и эффективной.
3. Пространственно двумерные модели
Приведенные выше уравнения Бюргерса и Кортвега-де Фриза-Бюргерса
соответствуют простейшей модели с одной пространственной переменной.
Они позволяют оценить принципиальные эффекты, но для адекватного опи-
сания волн в плоских слоях, характерных для нефтегазовых месторождений,
следует использовать двумерные уравнения.
Когда вследствие сильной неоднородности параметров среды отсутствует
сферическая или цилиндрическая симметрия распространения волн, ситуа-
ция становится намного сложнее. Далее дано краткое описание двух возмож-
ных подходов.
3.1. Двумерное уравнение Бюргерса
Двумерное уравнение Бюргерса представляет собой особую форму несжи-
маемого уравнения Навье—Стокса, не включающее давления и уравнения
неразрывности. Оно является распространенным уравнением в частных про-
изводных гидродинамики и часто используется для различных физических
приложений, таких как моделирование газовой динамики и ударных волн,
исследование малых волн на воде, при рассмотрении модели химических ре-
акций — диффузии и т.д.
Двумерное уравнение Бюргерса — стандартное обобщение (1) — имеет вид
1
ut = -uux - vuy +
(uxx+uyy),
R
(21)
1
vt = -uvx - vvy +
(uxx+uyy).
R
Здесь неизвестные функции u, v являются компонентами вектора скорости
распространения волны и зависят от x, y, t; R — число Рейнольдса.
70
Начально-граничная задача на области D формулируется так:
u|∂D = f (x, y, t) |∂D, v|∂D = g (x, y, t) |∂D,
где f и g — известные функции. Конкретно, для задачи, моделирующей
опускной вибратор, область представляет собой кольцо, а границей является
пара концентрических окружностей; на меньшей окружности задается гармо-
ническое колебание, а на внешней окружности (как и внутри) — изначально
нулевые значения.
Эта модель ближе к реальным задачам, однако не учитывает вероятных
неоднородностей пластов, которые превращают постоянные коэффициенты
уравнений в функции пространственных переменных (или даже в динами-
чески изменяющиеся функции). Принципиальные эффекты, возникающие в
неоднородной среде, изучались в [3, 4].
3.2. Гидроакустические пучки. Самофокусировка.
Уравнение Хохлова-Заболотской
Для описания распространения нелинейных волн в неоднородных от-
носительно тонких газо/нефтеносных слоях в 7-9 используется уравнение
Хохлова-Заболотской.
(
)
N
1
(22)
Ut(Ux - UUt) =
Uyy -
Uy
4
y
Здесь x — координата вдоль пучка, y — поперечная координата в слое и N ∈
∈ [15, 17] — отношение нелинейной и диффракционных длин.
Для (22) ранее получены решения стационарных волн в неодномерном слу-
чае, которые, сформировавшись на каком-то расстоянии от источника, далее
при распространении пучка не меняют своей характерной формы. В одномер-
ном случае такая асимптотическая универсальность была уже отмечена для
пилообразных плоских волн. Однако в отличие от слабо-разрывных пилооб-
разных волн, для уравнения (22) существуют гладкие решения в случае вза-
имной компенсации дифракционной расходимости и нелинейной рефракции.
Эти точные решения, описывающие характерные профили волны в пучке,
могут служить основой для практической реализации явления самофокуси-
ровки.
Самофокусировка проявляется в том, что пучок под ее воздействием об-
ладает малой пространственной расходимостью вдоль оси y, что позволяет
на значительных расстояниях сохранять высокую, близкую к изначальной
фокусировку энергии. Этот эффект важен для управляемого воздействия в
процессе нефтедобычи.
Начально-краевая задача для уравнения Хохлова-Заболоцкой соответ-
ствует физическому требованию
p|x=0 = F(r)G(t),
71
где p — давление на поверхности x = 0, излучающей волну, на которой за-
дается начальная амплитуда F колебаний, происходящих во времени по за-
кону G(t), т.е. для создания сфокусированного пучка исходный фронт пола-
гается плоским или слабо искривленным (сферическим). При этом краевое
условие ставится на границе при x = 0 для кругового в поперечном сечении
пучка и обычно имеет вид
(
)
r2
F (r) = -A exp
-
,
G(t) = sin(ωt),
a2
при этом U = p/A.
4. Возможности применения в нефтедобыче
В процессе традиционных способов добычи нефти (вытеснения нефти во-
дой, закачиваемой через нагнетательные скважины) часть углеводородов
удерживается в поровом пространстве пласта капиллярными силами и сила-
ми адгезии, поскольку в зависимости от типа смачиваемости породы нефть
может образовать тонкую пленку, удерживаемую на стенках пор. Кроме то-
го, в насыщенной пористой среде возможно образование мелкодисперсных
капель углеводородов, занимающих поровое пространство и блокирующих
фильтрационное течение.
Эти эффекты приводят к существенному снижению проницаемости кол-
лектора и величины конечной нефтеотдачи пластов природных залежей.
В настоящее время основным методом повышения нефтеотдачи пластов явля-
ется закачка вытесняющих реагентов (воды или водных растворов активных
примесей и других физико-химических воздействий) с применением гармо-
нических волновых технологий при значительных величинах сил адгезии,
капиллярных и других сил, возникающих в насыщенных пористых средах.
Внешние гармонические возмущения преобразуются в насыщенной флюида-
ми диссипативной пористой среде в пилообразные ударные волны. Они вызы-
вают в среде акустическую кавитацию и вторичные ударные волны, образую-
щиеся от схлопывающихся пузырьков. Вторичные ударные волны создают в
свою очередь благоприятные условия для преодоления сил адгезии, капил-
лярных и других сил, удерживающих остатки нефти на поверхностях пор и
трещин [10].
В результате применения волновых технологий в сочетании с физико-хи-
мическими и другими воздействиями может быть достигнуто увеличение ко-
нечной нефтеотдачи до 15% даже на уже истощенных месторождениях за
счет извлечения остаточных запасов нефти. Это эквивалентно открытию но-
вых крупных месторождений. При этом требуемые затраты на достижение
эквивалентного объема дополнительной добычи нефти будут минимальны,
поскольку на старых месторождениях основная инфраструктура уже суще-
ствует и не нужно бурить и осваивать скважины, сооружать нефтегазосбор-
ные сети, дороги и другие необходимые промышленные объекты.
72
5. Актуальные проблемы, теоретические и вычислительные
Процесс распространения ударных пилообразных волн в жидкостях имеет
ряд особенностей: при высоких температурах, плотностях и больших гради-
ентах различных параметров происходят сильные межмолекулярные взаи-
модействия, возможны разрывы химических связей, фазовые превращения
и т.п. В частности, это касается воды, параметры которой имеют сложные
зависимости от температуры и давления. Создано много структурных моде-
лей воды, однако не существует единой теории, которая объяснила бы все
разнообразие физических свойств, образования и распространения ударных
волн в воде.
Для расчета параметров на фронте ударной пилообразной волны необхо-
димо пользоваться зависимостью между давлением и плотностью в ударном
фронте. В отличие от газов для конденсированных сред, включая жидкость,
получить уравнения состояния нелегко. Поэтому их определяют эксперимен-
тально и пользуются эмпирическими формулами, см. [1].
Отметим, что рисунки соответствуют процессам в однородной среде,
для которой получены аналитические оценки величин скачков в разрывах.
В стратифицированных средах, характерных для месторождений, модели
значительно усложняются, и, по-видимому, потребуется создание эффектив-
ной и скоростной компьютерной модели.
Проблема численного решения таких уравнений состоит в том, чтобы до-
стичь достаточной точности одновременно в разрывных областях (для удар-
ных волн) и на относительно гладких участках. Для этого необходимо устра-
нить дефекты классических схем, иногда приводящие к паразитным осцил-
ляциям вблизи разрывов (отметим, впрочем, что для моделей с дисперсией
похожие осцилляции имеют внутренние причины!), и нелинейным неустой-
чивостям на гладких участках, порождаемым значительными градиентами.
Для устранения перечисленных трудностей необходимо применять схемы,
для которых: порядок точности для гладкой части не ниже второго; при
этом расчет разрывов происходит без порождения фиктивных осцилляций
и без введения искусственной вязкости при отсутствии дисперсии. Так, об-
надеживающие результаты получены в публикации [8], где применялась ко-
нечно-разностная схема Кранка—Николсона для решения двумерных нели-
нейных уравнений Бюргерса и представлены расчеты двух численных при-
меров для иллюстрации эффективности метода.
6. Заключение
В данной статье, в отличие от [11], проведены исследования одномерных и
двумерных нелинейных математических моделей процессов распространения
волн в насыщенной флюидами диссипативной пористой среде. В частности,
найдены явные эффективные асимптотические формулы для цилиндриче-
ских и сферических волн в моделях Кортвега-де Фриза-Бюргерса. Основ-
ные результаты касаются скорости затухания сигнала, длины пилообразного
73
участка и энергии, переносимой слабыми разрывами. Эти параметры под-
даются разрабатываемым эффективным численным оценкам и зависят от
свойств насыщенной флюидами пористой среды резервуаров нефтяных ме-
сторождений.
Широкое применение волновых технологий в нефтяной промышленности
началось в 80-х гг. ХХ в. в Центре нелинейной волновой механики и тех-
нологий [12] Института машиноведения им. А.А. Благонравова РАН (под
руководством акад. РАН Р.Ф. Ганиева). В частности, проводились обработ-
ки пласта в призабойных зонах скважин волновыми генераторами, с целью
очистки призабойной зоны от кольматационных загрязнений пор. В процессе
очистки призабойных зон скважин наблюдалось увеличение дебитов не толь-
ко в скважине, подвергнутой обработке, но и в окружающих ее скважинах
наблюдались повышение содержания нефти и снижение обводненности. При
этом неоднократно наблюдалось увеличение дебитов не только в скважине,
которая подвергалась обработке, но и в окружающих ее скважинах. В этих
удаленных скважинах наблюдались также повышение содержания нефти и
снижение обводненности. Таким образом, была показана возможность охва-
та волновым воздействием систем, связанных гидродинамическим влиянием
скважин.
Повышение нефтеотдачи было зафиксировано при обработке месторожде-
ний волнами, возбуждаемыми в процессе очистки призабойных зон скважин;
наблюдалось увеличение дебитов не только в скважине. Повышение нефте-
отдачи было зафиксировано и при обработке месторождений волнами, воз-
буждаемыми с применением гидроударов.
Приведенные результаты свидетельствуют, что волновые воздействия на
пласт способны создать в поровом пространстве силы, значительно превы-
шающие силы, существующие при стационарной фильтрации, что создает
предпосылки для вовлечения в фильтрационный процесс вытеснения удер-
живаемой в застойных пластах нефти и повышения конечной нефтеотдачи
пластов. В настоящее время исследование механизмов воздействия волн на
смеси флюидов (нефти, воды и др.), удерживаемых в поровом пространстве,
находится в начальной стадии. По существу, научные основы этого важного
направления еще не созданы. Более того, недостаточно изучены волноводные
свойства пластов, обусловленные их природными неоднородностями: верти-
кальной слоистостью и горизонтальной зональной неоднородностью, а также
наличием трещин и разломов.
В дальнейших исследованиях планируется применить теорию пилообраз-
ных ударных волн к следующим задачам/целям:
1) повышению конечной нефтеотдачи при разработке неоднородных (тре-
щиноватых и трещиновато-пористых) резервуаров месторождений уг-
леводородов с учетом условий взаимодействия между породой и филь-
трующимися флюидами;
2) сейсмическим исследованиям для выявления застойных зон, не охва-
ченных процессами фильтрации;
74
3) вытеснению остаточных запасов нефти и других углеводородов (не из-
влекаемых традиционными методами заводнения) с применением раз-
личных комбинаций физико-химических, тепловых и волновых управ-
ляющих воздействий.
Рисунки в статье созданы при помощи пакета PDETools программы Maple.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
Шарфарец Б.П. О динамике ударных волн в жидкости // Научное приборострое-
ние. 2016. T. 26. № 4. С. 43-55.
2.
Руденко О.В. Нелинейная пилообразные волны // УМН. 1995. T. 165. № 9.
С. 1011-1036.
3.
Samokhin A.V. Soliton Transmutations in KdV—Burgers Layered Media // J.
Geometry and Physics. 148. Elsevier Publ. 2020.
4.
Samokhin A.V. Nonlinear Waves in Layered Media: Solutions of the KdV—Burgers
Equation // J. Geometry and Physics. 2018. V. 130. P. 33-39.
5.
Blacktock D.T. On Plane, Cylindrical and Spherical Sound Waves of Finite
Amplitude in Lossless Fluids // Techn. Rep. AF. 1965. V. 49 (638). General
Dynamics. Rochester. N.Y.
6.
Church C.C., Crum L.A. Physical Processes for Single Bubble Sonoluminescence //
Proc. of 13 Int. Congress of Acoust. 1985. V. 4. Belgrade. P. 205.
7.
Musanov A.G., Rudenko O.V., Sapozhnikov O.A. Advances of Nonlinear Acoustics.
Singapore: World Scientific, 1993. P. 321.
8.
Srivastava V.K., Tamsir M, Bhardwaj U., Sanyasiraju Y.V.S.S. Crank-Nicolson
Scheme for Numerical Solutions of Two-dimensional Coupled Burgers’ Equations //
Int. J. of Scientific & Engineering Research. 2011. V. 2. No. 5. P. 1-7.
9.
Шарфарец Б.П. O волноводном распространении звуковых пучков в нелинейной
среде. Oбзор. // Научное приборостроение. 2016. T. 26. № 3. С. 95-107.
10.
Сиротюк М.Г. Акустическая кавитация. М.: Наука, 2008.
11.
Ганиев Р.Ф., Украинский Л.E. Нелинейная волновая механика и технология. М.:
R&C Dynamics, 2011.
12.
Ганиев Р.Ф., Украинский Л.Е. Резонансная макро- и микромеханика нефтяно-
го пласта. Интенсификация добычи нефти и повышение самоотдачи. Наука и
практика. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2014.
Статья представлена к публикации членом редколлегии А.А. Галяевым.
Поступила в редакцию 14.07.2021
После доработки 19.09.2021
Принята к публикации 26.01.2022
75
