Автоматика и телемеханика, № 5, 2022

(Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)

СЦЕНАРНЫЙ АНАЛИЗ УЯЗВИМОСТИ

ПРИ УПРАВЛЕНИИ СЛОЖНЫМИ СИСТЕМАМИ

Представлены результаты разработки методологии сценарного анализа

уязвимости сложной системы. Рассмотрена иерархия понятий, характери-

зующих уязвимость сложной системы. Предложена система формальных

моделей, которая представляет собой общую модель уязвимости. Выде-

лены различные типы уязвимости, которые могут привести к наруше-

нию целевого функционирования элементов системы и/или повреждению

структуры системных отношений. Для имитационной модели представ-

лено математическое исследование, которое дает возможность провести

сценарный анализ обнаружения уязвимости изучаемой сложной системы.

Ключевые слова: управление безопасностью, сценарная система, модель

уязвимости, сложная система, базисный сценарий.

DOI: 10.31857/S0005231022050099, EDN: ABWIDJ

1. Введение

К существенным отличительным чертам сложной системы (CC) как объ-

екта управления можно отнести большое число ее элементов и не всегда оче-

видные связи между ними; зачастую большое количество различных иссле-

дуемых аспектов и связанных с ними показателей и параметров; наличие

неопределенности; подвижность структуры, обусловленную высокой степе-

нью вариативности элементов и их взаимосвязей; проблемы мониторинга и

управления; принципиальную сложность построения точных математических

моделей. Важнейшей особенностью систем рассматриваемого класса является

также то, что их ключевым элементом является человек, одновременно вы-

ступающий и как субъект, и как объект управления. Характерным примером

систем данного класса является социально-экономическая система в масшта-

бах государства, административно-территориального образования, отрасли

и т.д.

Исследователи выделяют ряд задач управления безопасностью, решаемых

в зависимости от внутренней ситуации и влияния внешней среды на состоя-

ние и развитие СС [1]. Наиболее общие задачи на этапе принятия решений —

задачи мониторинга, прямого управления и поиск решения обратной зада-

чи управления. В настоящей статье СС рассматривается в качестве объекта

управления, при этом используется его модельное описание как формальной

системы [2-4].

133

Специфические задачи решаются на этапе исполнения решений, являю-

щихся по сути управленческими воздействиями. Цель разработки предлагае-

мой методологии — синтез сценариев поведения СС как объекта управле-

ния, приводящих к достижению поставленной цели или желаемого резуль-

тата. Поиск эффективного управления осуществляют на основе методологий

системного и управленческого анализа; наиболее современными подходами

являются сценарные модели и методы.

Сценарное исследование представляет собой современный метод изучения

процессов функционирования и прогнозирование развития СС. При этом

в качестве основного инструмента исследования выступают формализован-

ные процедуры формирования и анализа сценарного множества в различных

стратах СС, а целью исследования является синтез сценария с заданными

свойствами [2-5].

Технология проведения сценарного исследования содержит три основные

стадии: формирование сценарной системы, сценарный анализ сгенерирован-

ного с ее помощью спектра сценариев, сценарный синтез, т.е. выбор сценария

по заданным критериям [4].

Сценарная система представляет собой комплекс взаимосвязанных ком-

понентов. Сценарная система позволяет от экспертных перейти к формали-

зованным описаниям важнейших элементов модели исследования СС: пред-

метной области с определением экспертно-значимых событий, динамической

модели преобразования состояний, модели учета неопределенности, правил

выбора сценарных элементов. Центральным элементом сценарной системы

является модель совместного поведения объекта исследования и внешней

среды [4]. Каждая подобная модель отвечает за формализованное представ-

ление факторов, отражающих динамику развития и изменение состояния

реального объекта. Основным инструментом являются методы формально-

го конструирования сценария и операций над его составными частями. По-

добные инструменты являются развитием классических схем исследования

операций.

В качестве инструмента научного исследования и практического исполь-

зования сценарная методология включает в себя следующие основные состав-

ляющие: сценарная система, система сценарного анализа и система сценарно-

го синтеза. Результат применения указанного инструментария - спектр сце-

нариев функционирования и развития изучаемого объекта, представленного

в виде формальной СС.

Построение сценарной системы представляет собой ряд формализованных

процедур: выделение системных элементов (СЭ) сценарной системы, в том

числе активных; формирование метанабора описания СЭ; определение сце-

нарных шкал и характеристик элементов сценария.

Система сценарного анализа реализует: определение цели и желательных

с точки зрения заданных критериев характеристик сценариев достижения

цели; формализацию и стратификацию предметной области; формирование

134

экспертно-значимых разбиений предметной области; определение различно-

го рода неопределенностей, определение их влияния, стратегий построения

сценариев, а также критериев их оценки; реализацию формальных действий

со сценариями; интерпретацию результатов проведенного анализа на языке

предметной области.

Система сценарного синтеза реализует: определение концепции формиро-

вания сценария; выбор сценарных характеристик; определение сценарных ин-

струментов синтеза; применение формальных операций над сценариями; син-

тез оптимальных характеристик сценария в смежных сценарных простран-

ствах; интерпретацию сформированного сценария.

Подсистема сценарного исчисления представляет собой операционную сре-

ду, посредством которой может быть определен и выполнен ряд формаль-

ных функциональных преобразований. Трансформации могут подвергнуть-

ся отдельные элементы сценариев, сценарий в целом, элементы сценарной

системы. В рамках сценарного исчисления рассматриваются вопросы пол-

ноты, непротиворечивости, математические характеристики системы сценар-

ных операций.

В статье представлены исходные теоретические результаты сценарного ис-

следования уязвимости СС, развитие которых предполагается в дальнейших

публикациях.

2. Концептуальная модель уязвимости сложной системы

Уязвимость сложной системы следует рассматривать с учетом как ее внут-

ренних характеристик, так и характеристик внешней среды. По сути, необ-

ходимо исследовать степень открытости объекта управления, рассматрива-

емого как СС, комплексному спектру воздействий и структуре его взаимо-

связей с внешней средой. С этой точки зрения в модель объекта управле-

ния целесообразно включать факторы внешней среды и соответствующие им

взаимосвязи. Особую актуальность такой подход приобретает при стратеги-

ческом управлении, одним из основных направлений которого является про-

цесс установления таких долгосрочных устойчивых связей объекта управле-

ния и внешней среды, которые делают возможным реализацию поставленных

целей. Стратегическое управление может как способствовать созданию уяз-

вимостей, так и оказывать на них компенсирующее влияние или даже купи-

ровать при помощи направленных воздействий. Другой стороной стратегиче-

ского управления является создание возможностей для реализации целей. В

статье предлагается рассматривать стратегическое управление как процесс,

повышающий управляемость сложной системы и снижающий ее уязвимость.

В качестве одного из основных инструментов стратегического управления

должны использоваться методы изменения структуры взаимосвязей объекта

управления.

Разработка методов исследования уязвимости требует пояснения иерархии

понятий, определяющих ее сущность: опасность, безопасность, угроза.

135

Под опасностью обычно понимают возможность возникновения обстоя-

тельств, при которых материя, поле, энергия, информация или их сочета-

ние могут таким образом повлиять на СС, что влечет за собой ухудшение

или даже невозможность ее функционирования и развития [1]. При этом без-

опасность существования СС можно определить как динамическое состоя-

ние исследуемой системы, при котором могут быть предотвращены опасные

состояния. Под угрозой понимается потенциально возможное событие, дей-

ствие (воздействие), процесс или явление, которые могут привести к нане-

сению ущерба чьим-либо интересам. Таким образом, при реализации угрозы

система переходит в опасное состояние.

Весь спектр возможных сценариев поведения СС описывается динамиче-

скими изменениями выделенных факторов и определяется структурой си-

стемы. При этом подмножество нежелательных сценариев определяет уяз-

вимость системы. Следовательно, при анализе уязвимости необходимо выде-

лить множество возможных сценариев. Для этого на начальном этапе необ-

ходимо построить, а затем исследовать модель сложной системы.

Концептуальная модель сценарного исследования уязвимости СС содер-

жит следующие основные компоненты:

— формальная модель сложной системы [4];

— модель безопасности функционирования и развития СС;

— модели угроз;

— общая модель уязвимости СС.

В основу формального аксиоматического определения модели СС как объ-

екта организационного управления положено понятие системного элемента

[4], которое содержит:

— подмножество элементов исходной системы, сгруппированных по кри-

териям, зависящим от целей исследования системы (субстрат систем-

ного элемента);

— набор отношений (внутренняя структура системного элемента);

— набор свойств, приписываемых отношениям (внутренний концепт си-

стемного элемента).

Для каждого системного элемента α ∈Â определим: S_α = (B_α, r_α, p_α),

B_α ⊆ A_s, r_α ⊆ R_s, p_α ⊆ P_s, где A_s - субстрат системы; R_s - структура систе-

мы; P_s - внутренний концепт системы. Внутреннее состояние внешней среды

системы обозначим χ = (B_E , r_E , p_E), при этом B_E ⊆ A_E, r_E ⊆ R_E, p_E ⊆ P_E,

где A_E - субстрат внешней среды системы, R_E - структура внешней среды

системы, P_E - внутренний концепт внешней среды системы.

Пусть Y(S) - множество внутренних состояний системы, тогда ν ∈ Y(S) -

внутреннее состояние системы ν = ∪α∈ˆASα. Обозначим E(ν) - внешняя сре-

да, а X(S) - множество состояний внешней среды системы, так что каждое

состояние χ ∈ X(S). Тогда каждое расширенное состояние системы z опреде-

ляется как совокупность внутреннего состояния системы и состояния внеш-

ней среды z = (χ, ν). При этом расширенный субстрат системы определяется

136

как A_SE = A_S × A_E . Это дает возможность исследовать уязвимость сложной

системы на единой модели, которая включает расширенную структуру систе-

мы R_SE = R_S × R_E , а также расширенный концепт системы P_SE = P_S × P_E.

В таком случае исследованию подвергается множество расширенных состоя-

ний системы Z, так что z ∈ Z, а также совместные характеристики СС и внеш-

ней среды ζ_AE.

2.1. Модель безопасности функционирования и развития СС

Модель безопасности СС содержит условия безопасности, классификацию

ситуаций опасности, а также возможности обеспечения безопасности функ-

ционирования и развития.

Множество Z расширенных состояний системы представим в виде

(1)

Z=Z^(nav) ∪Z^(sec),

где Z^(nav) - множество недопустимых состояний. Тогда множество Z^(sec) яв-

ляется множеством безопасности системы S.

Пусть задано расширенное состояние z системы S, а также прогноз ζ ∈ Ξ

возможных ее переходов в следующее состояние θ = (z, ζ, u) при применяе-

мом управлении u ∈ U. Рассмотрим характеристику возможных состояний

системы при применении управления u ∈ U.

Штатная ситуация — ситуация, которая находится в заданных пределах

целевого режима функционирования и развития (ЦРФ)

(2)

θ = (z,ζ,u) ∈ Z^(sec)

∀ζ ∈ Ξ.

Ситуация ожидаемой опасности — ситуация, при которой лицо, прини-

мающее решение (ЛПР), прогнозирует возможный выход за пределы безопас-

ности СС (т.е. выход системы из безопасного состояния)

(3)

∃ζ ∈ Ξ, что θ = (z,ζ,u) ∈ Z^(nav)

при применяемом управлении u ∈ U.

Кризисная ситуация — ситуация выхода системы за пределы безопасно-

сти, причем для обеспечения безопасного функционирования СС существуют

несколько вариантов управленческих воздействий

(4)

θ = (z,ζ,u) ∈ Z^(sec) при u ∈ U^(sec)

⊆ U.

Критическая ситуация — ситуация выхода системы за пределы безопас-

ности, причем для обеспечения безопасного функционирования системы су-

ществует единственный вариант управления

(

)

θ = z,ζ,u^(sec)

∈ Z^(sec) при u^(sec) ∈ U,

(5)

θ = (z,ζ,u) ∈ Z^(nav) при u = u^(sec) ∈ U.

137

Неконтролируемая ситуация — ситуация, которая возникает при обнару-

жении выхода значений ряда параметров СС за допустимые, с точки зре-

ния обеспечения безопасности, пределы. При этом невозможно найти такие

управленческие решения, которые позволят избежать выхода СС в целом из

безопасного состояния и проявления связанных с ним негативных послед-

ствий (кризисов, чрезвычайных и критических ситуаций, аварий, катастроф

и т.д., а также ущербов различного типа недопустимого масштаба).

(6)

θ = (z,ζ,u) ∈ Z^(nav)

при

∀u ∈ U.

Чрезвычайная ситуация (ЧС) — неблагоприятное сочетание факторов и

обстоятельств, нарушающих условия безопасности, т.е. выполняется соотно-

шение (6).

2.2. Модели угроз

Рассмотрим системный элемент S_α α ∈Â. Для этого системного элемента

определим угрозу ζ ∈ Γ(α) ⊆ Ξ как фактор или действие, активизация кото-

рого гипотетически может привести к реализации нежелательных ситуаций

с точки зрения исследователя или ЛПР. Если рассматривается СС в качестве

формальной системы, то угрозой является совокупность влияний факторов

системы и внешней среды, которые способны привести к существенному ухуд-

шению состояния параметров этой системы.

Модель “Угроза-возмущение”.

Моделируется вызванное угрозами распространение возмущений по струк-

туре СС, отражаемое изменением значений отдельных ее параметров. В этой

модели множество возможных несанкционированных изменений расширен-

ного состояния z ∈ Z системы S можно рассматривать в качестве множества

возможных угроз ζ ∈ Γ(α) ⊆ Ξ. При этом для системных элементов исследу-

ется возможность выхода за пределы безопасности.

Модель “Угроза-ЧС”.

В качестве угрозы в модели “Угроза-ЧС” определим возможность возник-

новения нежелательных ситуаций Zζ(nav) ⊆ Z^(nav), т.е. возможность существо-

вания последовательности состояний (ситуаций) W (z₀, z_N , N), при которой

zN ∈ Z^(nav) - области нежелательных ситуаций. Целью обнаружения угроз

является идентификация нежелательных возмущений, которые генерируют

множество недопустимых событий Zζ(nav) ⊆ Z^(nav). Таким образом, решается

обратная задача управления.

2.3. Общая модель уязвимости СС

Пусть имеются:

— множество системных элементов S_α α ∈Â системы S в текущий момент

времени t;

— множество реализуемых по отношению к компоненте S_α α ∈Â угроз

ζ ∈Γ(α);

138

— целевой режим функционирования C_α компоненты S_α;

— область безопасности функционирования и развития Z^(sec);

— меры удаленности ρ_α (z(t), C_α) текущего состояния z_α(t) от ЦРФ C_α;

— допустимая граница удаленности ε_α;

— мера удаленности ρ_S (Z^(sec), ρ_α) от области безопасности Z^(sec);

— величина ущерба W (ρ_α (z(t), C_α)) при удаленности текущего состояния

zα(t) от ЦРФ Cα.

Определение 1. Системный элемент S_α ∈ S назовем уязвимым, если

для его режима функционирования возможен выход из области безопасно-

сти Z^(sec) реализации существующей угрозы ζ ∈ Γ(α)

(

)

(7)

ρ_S Z^(sec)

,ρ_α

>ε_α.

Определение 2. Коэффициентом уязвимости Cαz)(ζ,Δ) системного

элемента S_α назовем величину ущерба D (ρ_α (z (t) , C_α)), который может

возникнуть в случае осуществления угрозы ζ ∈ Γ(α) на временном отрез-

ке Δ.

Следовательно, появляется возможность вычисления следующих величин

[6]:

— минимального коэффициента уязвимости для множества угроз Γ(α)

C(z,min)α (ζ,Δ) = min

C(z)α(ζ,Δ);

ζ∈Γ(α)

— максимального коэффициента уязвимости для множества угроз Γ(α)

C(z,max)α (ζ,Δ) = max

C(z)α(ζ,Δ);

ζ∈Γ(α)

— минимального коэффициента уязвимости для компонентов СС

C(z,min) (ζ,Δ) = min C(z,min)α(ζ,Δ);

α∈^Â

— максимального коэффициента уязвимости для компонентов СС

C(z,max) (ζ,Δ) = max C(z,max)α(ζ,Δ).

α∈^Â

3. Исследование уязвимости методами сценарного анализа

для графовой модели

Описание динамики поведения формальной системы проведем на основе

аппарата операторных графов, в частности знаковых, взвешенных и функ-

циональных графов [4].

139

3.1. Описание модели

Формальную систему (модель объекта управления и внешней среды) S

представим в виде орграфа G(Z, A). Для каждой вершины подобной модели

можно определить параметр z_j . Определим в качестве расширенного состоя-

ния СС пару (z, A), в котором вектор-столбец z = {z_j , 1 ≤ j ≤ n =Ń} задает

значения исследуемых параметров; расширенная структура R_SE системы за-

дана матрицей смежности A: элемент a_ij (i, j ∈Ń) определяет свойства (факт

и характер) попарной взаимосвязи между элементами z_i и z_j .

Для сценарного исследования оперирующая сторона (субъект управле-

ния) располагает следующими средствами анализа на временном горизонте

Δ = [0,T], зафиксированными в квазиинформационной гипотезе (КИГ) [4]:

— измерять состояния системы (z(τ), A(τ)) в моменты времени τ ∈ Δ;

— на основе заданного критерия Q^(зн)(τ), τ ∈ Δ^(зн) ⊆ Δ, сформулирован-

ного в КИГ, выделять экспертно-значимые состояния (события) I^(зн) =

= (z^(зн)(τ), A^(зн)(τ))

фиксировать

их

избранную

вре-

менную

последовательность

виде

последовательности

экспертно-значимых событий (ЭЗС)

- сценария поведения

{(

)

}

системы

I^(зн)(τ) =

z(зн)(τ), A^(зн)(τ)

,τ ∈Δ^(зн)

частно-

сти,

при Δ^(зн) = Δ последовательность

I(τ) = {(z(τ), A(τ)) ,

τ = 0,1,...,T} представляет собой пошаговую последовательность

событий за период Δ (пошаговый детерминированный сценарий поведе-

ния системы) [4];

— в каждый момент времени τ ∈ Δ определять мгновенные изменения со-

стояния, в том числе:

— выделять мгновенные изменения δI(τ) ⊆ Eⁿ значений параметров v(τ)

в вершинах X орграфа G(X, E) (мгновенные импульсы) и группиро-

вать их в виде k-шагового процесса импульсных возмущений, начатого

в момент времени t: δIm(t, k) = (δI_j (τ), 1 ≤ j ≤ n; t ≤ τ ≤ t + k), при

этом процесс импульсных возмущений δIa(t) с началом в момент вре-

мени t будем называть автономным, если δIa(τ) = 0, τ > t;

— определять мгновенные изменения δA(τ) ⊆ E^n×n структуры A(τ), т.е.

элементов матрицы смежности орграфа G(X, E) (мгновенные изме-

нения структуры) и группировать их в виде k-шагового процесса

структурных возмущений, начатого в момент времени t: δΦ(t, k) =

= (δA(τ), t ≤ τ ≤ t + k); процесс структурных возмущений δAa(t), для

которого δAa(τ) = 0, τ > t, назовем автономным с началом в момент

времени t;

— регистрировать k-шаговый процесс комплексных возмущений, начатый

в момент времени t: δK(t, k) = (δIm(t, k), δΦ(t, k));

— определять структуры неопределенности, в том числе:

— на множествах δI(τ) ⊆ ΩδI(τ) в виде квазиинформационной гипотезы

возможных мгновенных импульсов в моменты времени t ≥ τ;

140

— на множествах δA(τ) ∈ ΩδA(τ) в виде квазиинформационной гипотезы

возможных структурных изменений в моменты времени t ≥ τ;

— на множествах δK(τ) ∈ ΩδK(τ) в виде квазиинформационной гипотезы

возможных совместных изменений в моменты времени t ≥ τ.

Импульсные возмущения моделируют спонтанные возмущения или управ-

ленческие воздействия, вносимые в вершинах орграфа G(Z, A).

Структурные возмущения моделируют спонтанные изменения или управ-

ления элементов матрицы смежности, реализованные на дугах в момент вре-

мени τ.

Комплексные возмущения моделируют совместную реализацию обоих про-

цессов.

Критерии выделения ЭЗС и структуры неопределенности позволяют опре-

делять условия формирования сценария, в том числе выбора эффективных

сценариев в прикладных моделях системной динамики. Основные сценарные

характеристики, которые определяют системные параметры устойчивости,

стойкости и живучести, предложены в [3, 4, 7].

В зависимости от способа преобразования состояний, указанного в динами-

ческой модели системы, их изменение можно представить в каждый момент

времени τ ∈ Δ в виде:

— накопленных изменений значений параметров I(τ) = z(τ) - z(τ - 1), t ≤

≤ τ ≤ t + k, и фиксировать их в виде k-шагового импульсного процесса

изменений (ИПИ) Im(t, k) = (I(τ), t ≤ τ ≤ t + k);

— накопленных структурных изменений aA(τ) = A(τ) - A(τ - 1), t ≤ τ ≤

≤ t + k, и фиксировать их в виде k-шагового процесса структурных из-

менений (СПИ) Φ(t, k) = (aA(τ), t ≤ τ ≤ t + k);

— накопленных комплексных изменений K(τ) и фиксировать их в виде ком-

плексного процесса изменений (КПИ) K(t, k) = (Im(t, k), Φ(t, k)) [6].

Динамическую модель распространения возмущений и преобразования со-

стояний определим следующими соотношениями при τ = 1, 2, . . . :

(8)

z(τ) = z(τ - 1) + I(τ),

(9)

A(τ) = A(τ - 1) + δA(τ),

причем накопленный импульс определяется выражением

(10)

I(τ) = A(τ - 1)I(τ - 1) + δI(τ).

Здесь I(τ) = (z(τ), A(τ)) - текущее состояние системы в момент времени τ;

— z(0) = z⁽⁰⁾ - начальные значения параметров,

— z(t) - текущее расширенное состояние системы в момент времени t;

— A(τ) - матрица смежности в момент времени τ;

— I(τ) - импульс, накопленный к моменту времени τ,

— Im(0) = δIm(0) - начальный импульс;

— δI(τ) - мгновенный импульс в момент времени τ = 0,1,2

Преобразование состояний системы происходит по следующему алгоритму

в момент времени τ = 1, 2, . . . :

141

— на вход алгоритма подаются состояние I(τ - 1) и накопленный импульс

I(τ - 1);

— вносится текущий мгновенный импульс δI(τ);

— вычисляется текущий накопленный импульс по правилу (10);

— по правилу (8) вычисляются текущие значения параметров z(τ);

— вносится структурное аддитивное изменение (возмущение) δA(τ), и мат-

рица смежности преобразуется по правилу (9);

— проверяется условие завершенности горизонта сценария t = T : в случае

t < T проводится очередной шаг; в случае t = T процесс завершается.

Пусть задан комплексный процесс возмущений. Тогда в соответствии

с указанным алгоритмом преобразования состояний системы (8)-(10) мо-

жет быть получена последовательность состояний I (δK (t, k)), I (δK (τ, k)) =

= {(z (τ) , A (τ)) при t ≤ τ ≤ t + k}, которую назовем k-шаговым детермини-

рованным сценарием развития системы (8)-(10), соответствующим комплекс-

ному процессу возмущений δK(t, k).

3.2. Математическое исследование процессов на взвешенном орграфе

Рассмотрим математические свойства системы (8)-(10) при постоянной

матрице смежности.

Сформулируем свойства преобразования состояний системы (8)-(10) при

реализации импульсного процесса возмущений δIm(t, k).

1. Для любого импульсного процесса изменений Im(t, T ) справедливо ра-

∑_t

венство I(t) = z(t) - z(t - 1) =

A^t-τ δI(0) = f(A,t) для всех t = 1,2,... ,T,

τ=0

z(τ) = z(τ - 1) + I(τ), где δIm(t, k) = (δI(τ), t ≤ τ ≤ t + k) - импульсный про-

цесс возмущений.

2. Пусть задан δIa(t₀) - автономный импульсный процесс возмущений

(АИПВ).

Процессу δIa(t₀) соответствуют:

— k-шаговый процесс изменений Ia(t₀,k) Ia(t₀ + τ) = A^τ δIa(t₀) для всех τ =

= 1, 2, . . . , k,

— пошаговый сценарий R(δIa (t₀)) с ЭЗС z(t)

[

]

∑

Δz(t₀,τ) = z(t₀ + τ) - z(t₀)=

Aⁱ δIa(t₀),

i=1

при этом выполнено: (E - A)Δz(t₀, τ) = (E - Aτ+1)δIa(t₀), τ = 1, 2, . . . , k.

3. Пусть существует матрица (E - A)-1. Тогда для автономного импульс-

ного процесса возмущений Ia(t₀) выполнено

(

)

Δz(t₀,τ) = (E - A)-1

E-Aτ+1

δIa(t₀) , τ = 1,2,...

Доказательство получаем методом математической индукции.

Накопленный импульс и текущее состояние могут быть получены с ис-

пользованием приведенных выше выражений. Таким образом, можно перей-

ти от разностных соотношений (8)-(10) к векторному уравнению изменения

142

состояний, что позволяет рассматривать величины δI(τ) как внешние возму-

щения или управления. Поскольку в КИГ предполагается детерминирован-

ность преобразования состояний, то, налагая условия следования ЭЗС z(t) в

виде ограничений на функцию изменения импульсов f(A, t) или иные условия

осуществления импульсных процессов, можно получать различные сценарии

функционирования СС, отражающие различные ситуации и внешние усло-

вия.

3.3. Представление импульсных процессов в жордановом базисе

Рассмотрим матрицу A как линейный оператор, действующий в евклидо-

вом пространстве Eⁿ. Выберем базис B в Eⁿ, в котором матрица A представ-

ляется квазидиагональной верхней жордановой формой J_A:

{

}

J_A = J(ξ)A,ξ = 1,s ,

J(ξ)A = λ_ξEp(ξ) + Hp(ξ),

где λ = {λ_ξ } - вектор собственных значений матрицы A, p(ξ) - размерности

соответствующих корневых подпространств L^ξ, Ep(ξ) - единичные матрицы

размерности p(ξ), Hp(ξ) - матрица размерности p(ξ) с единичными наддиа-

гональными элементами, остальные ее элементы равны нулю [8]. Базис B

можно выбрать как объединение базисов B_ξ корневых подпространств. То-

гда выполнено соотношение

∑

⋃

(11)

n_k = n, Eⁿ = Lnk , B = B_k.

k=1

Пусть задано жорданово разложение матрицы смежности A = Q_AJ_AQ_A-1 ,

где система векторов q(ξ,p)A[ξ = 1, s; p = 1, p (ξ)] является жордановым базисом

(столбцы матрицы Q_A и строки матрицы Q_A-1 ). Здесь J_A - жорданова форма

матрицы A, ξ - номер жордановой клетки, p - высота корневого вектора

матрицы A, p(ξ) - размерность ξ-й жордановой клетки, s - их количество,

т.е.

∑

(A - λ_ξE)^pq(ξ,p)A = C^kpλ^kξA^p-kq(ξ,p)A = 0, p = 1, p(ξ) для каждого ξ = 1, s.

k=0

Положим

z(A)(t) = Q-1Az(t), I(A)(t) = Q-1AI(t), δI(A)(t) = Q-1AδI(t), t = t₀, t₀ + 1, . . . ,

т.е. введенные величины представляют собой текущее и исходное состояния,

а также текущий накопленный и начальный импульсы, записанные в жорда-

новом базисе матрицы A.

Рассчитаем суммарную матрицу JΣA и вариацию изменений при различ-

ных вариантах жордановых клеток размерности p(ξ):

143

Случай 1. δ_ξ = 1, λ_ξ - действительное число.

Поскольку det (E - J_ξd) = (1 - λ_ξ)p(ξ) = 0, то JΣA = (E - J_A)-1 (E - Jt+1A)

при J_A = J_ξd. По индукции можно показать, что

[

]

(E - J_ξd)-1

= (-1)k-i+1 (λ_ξ - 1)i-k-1, i, k = 1, 2, . . . , p(ξ)

[

]

j-k

-Jt+1

= -C_t

λt+1+j-kξ, j,k = 1,2,... ,p(ξ),

ξd

следовательно,

[

]

p(ξ)

∑

- (E - J_ξd)-1 Jt+1

(-1)^k-iCj-kt+1λt+1+j-kξ (λ_ξ - 1)i-k-1 = f_ij (t, λ_ξ),

ξd

k=1

i, j = 1, 2, . . . , p(ξ).

В частности, при p (ξ) = 1 получим f₁₁ (t, 0) = λt+1ξ(λ_ξ - 1)-1, а при λ_ξ = 0

f_ij (t,0) = 0, i,j = 1,2,... ,p(ξ).

Таким образом, положив δIa_j (t₀) = α_j , j = 1, 2, . . . , p(ξ), получим

p(ξ)

}

∑{[

]

Δv_i (t₀,t,λ,α) =

(E - J_ξd)-1

+ f_ij (t,λ) α_j =

j=1

p(ξ)

∑

= Bi (λ,α) + f_ij(t,λ)α_j,

j=1

где

p(ξ)

∑[

]

∑

B_i (λ,α) =

(E - J_ξd)-1

α_j =

(-1)j-i+1(λ - 1)i-j-1 α_j .

j=1

В частности,

p(ξ)

∑

B_i (0,α) =

α_j.

j=1

Случай 2. λ_ξ = 1.

∑_t

Для поиска используем свойство биномиальных коэффициентов

C^kτ =

τ=0

= Ck+1t+1 . Получим

p(ξ)

[

]

p(ξ)

∑

Δv(A)i (t) =

[JΣA]_ij δI(A)(t₀)

= tα_i +

C^j-iα_j

j=1

j=i+1

144

Таблица

J_ξc =

α = μ_ξ cos(ϕ_ξ) β = μ_ξ sin(ϕ_ξ)

-β = -μ_ξ sin(ϕ_ξ) α = μ_ξ cos(ϕ_ξ)

или при t → ∞

(

)

Δv(A)i (t) = tα_i + C^k-iα_k

+ o t-(k-i+1) при k > i,

где k = max_j {α_j = 0}.

Случай 3. λ_ξ - комплексное число:

(12)

λ_ξ = μ_ξexp (iϕ_ξ) = μ_ξ(cos ϕ_ξ + isin ϕ_ξ

) для всех ξ = 1, s,

где i - мнимая единица, μ_ξ - модуль, а ϕ_ξ - аргумент комплексного числа λ_ξ.

Сопряженные комплексные собственные числа объединяют в обобщенную

жорданову клетку размерности 2 (см. таблицу), чтобы избежать перехода

в унитарное пространство. Жорданову форму с обобщенными жордановы-

ми клетками назовем расширенной жордановой формой J_A матрицы A. Для

такой клетки действительные собственные векторы строят из комплексно-

сопряженных x(1)ξ и x(2)ξ.

Вычисляя

[

]

[

]

D = det (E - J_ξc)-1 = (1 - μξ cos ϕξ)2 + μ2ξ sin2

ϕξ =

= (1 - μ_ξ)² + 2μ_ξ (1 - cos ϕ_ξ) , ξ = 1, s,

получим, что матрица вырождена в случае: μ_ξ = 1 и ϕ_ξ = 0, т.е. при действи-

тельном λ_ξ = 1. Иначе D > 0.

Вычисляя соотношение JΣ2c для матрицы J_ξc, получаем

{

}

(JΣξc)₁₁ = (JΣξc)₂₂ =

1 - μcosϕ_ξ - μt+1 cos[(t + 1)ϕ_ξ] + μt+2 cos(tϕ_ξ) /D

{

}

(JΣξc)₁₂ = - (JΣξc)₂₁ = μ sin ϕ_ξ - μt+1 sin [(t + 1) ϕ_ξ ] + μt+2 sin(tϕ_ξ ) /D.

Матрица JΣξc является кососимметрической. Получаем

p(ξ)

[

(

)]

∑

Δv(A)i (t) =

[JΣA]_ij δI(A)j (t₀) =

(E - J_ξc)-1 E-Jt+1

α_j,

ξc

j=1

{[

]

Δv(A)1 (t) =

1 - μcosϕ_ξ - μt+1 cos[(t + 1)ϕ_ξ] + μt+2 cos(tϕ_ξ)

α₁ +

}

[

]

μ sin ϕ_ξ - μt+1 sin [(t + 1) ϕ_ξ ] + μt+2 sin (tϕ_ξ)

α₂

/D,

{[

]

Δv(A)2 (t) =

1 - μcosϕ_ξ - μt+1 cos[(t + 1)ϕ_ξ] + μt+2 cos(tϕ_ξ)

α₂ -

}

[

]

μ sin ϕ_ξ - μt+1 sin [(t + 1) ϕ_ξ ] + μt+2 sin (tϕ_ξ)

α₁

/D.

145

Вектор α нормирован к 1. Следовательно, можно положить α₁ = cos ψ,

α₂ = sin ψ, считая ψ варьируемой величиной (управлением). Тогда можно

записать следующие функции от t и ψ:

{[

]

Δv(A)1 (t) =

1 - μcosϕ_ξ - μt+1 cos[(t + 1)ϕ_ξ] + μt+2 cos(tϕ_ξ)

cos ψ +

}

[

]

μ sin ϕ_ξ - μt+1 sin [(t + 1) ϕ_ξ ] + μt+2 sin (tϕ_ξ)

sin ψ /D,

{[

]

Δv(A)2 (ψ) =

1 - μcosϕ_ξ - μt+1 cos[(t + 1)ϕ_ξ] + μt+2 cos(tϕ_ξ)

sin ψ +

}

[

]

μ sin ϕ_ξ - μt+1 sin [(t + 1) ϕ_ξ ] + μt+2 sin (tϕ_ξ)

cos ψ /D.

Разработанная динамическая модель распространения возмущений и пре-

образования состояний СС на взвешенном орграфе является основой для ре-

шения задач синтеза альтернативных сценариев ее развития, приводящих к

достижению поставленной цели с учетом выявленных уязвимостей.

4. Заключение

В соответствии с результатами математического исследования подразде-

ла 3.2 представление (12) выделяет следующие типы базисных сценариев ди-

намической системы (8)-(10):

— сценарий роста значения (резонанса): μ_ξ > 1;

— сценарий уменьшения значения: μ_ξ < 1;

— сценарий колебания значения: ϕ_ξ = 0.

Следующий набор сценариев может быть получен при совмещении базис-

ных сценариев:

— сценарий возрастающего по амплитуде (резонансного) колебания (рас-

кручивающаяся спираль): μ_ξ > 1, ϕ_ξ = 0;

— сценарий затухающего по амплитуде колебания: μ_ξ < 1, ϕ_ξ = 0;

— сценарий с чередованием только максимального и минимального значе-

ния: λ_ξ = -1.

Действительно, разложение (11) задает разбиение расширенного фазового

пространства на элементарные экспертно-значимые разбиения [4], в каждом

из которых реализуется один из указанных типов сценариев развития систе-

мы (8)-(10), соответствующий собственному значению λ_ξ. Любой результи-

рующий сценарий развития с математической точки зрения является линей-

ной комбинацией базисных сценариев.

Полученные результаты позволяют в дальнейшем развивать исследования

по следующим направлениям: построение алгебры оперирования базисными

сценариями; разработка методов выявления окон уязвимости модели (8)-(10);

разработка методов выявления мест уязвимости модели (8)-(10); разработка

методов управления параметрической уязвимостью СС; разработка методов

146

управления структурной уязвимостью СС; возможности и особенности при-

менения предложенной методики сценарного исследования уязвимости для

систем рассматриваемого класса.

Полученные результаты показали принципиальную возможность создания

моделей и формальных методов сценарного анализа уязвимости сложных си-

стем, формирования, анализа характеристик сценариев с целью принятия

рациональных решений при управлении процессами их функционирования и

развития.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Заплатинский В.М. Терминология науки о безопасности / В.М. Заплатин-

ский [Электронный ресурс] // Zbornik prispevkov z medzinarodnej vedeckej

konferencie “Bezhecnostna veda a bezpecnostne vzdelanie” - Liptovsky Mikulas: AOS

v Liptovskom Mikulasi. 2006 (CD nosic).

Kononov D.A., Kosyachenko S.A., Kul’ba V.V. A Scenario Methodology as

Connectability from Strategy to Operation in Complex System

// SIC J.

December 30. 2001. V. 10. No. 4.

Кононов Д.А., Косяченко С.А., Кульба В.В. Модели и методы анализа сцена-

риев развития социально-экономических систем в АСУ ЧС // АиТ. 1999. № 9.

С. 122-136.

Kononov D.A., Kosyachenko S.A., Kul’ba V.V. Analysis of Scenarios of Development

of Socioeconomic Systems in Emergency Control Systems: Models and Methods //

Autom. Remote Control. 1999. V. 60. Part 2. No. 9. P. 1303-1320.

Модели и методы анализа и синтеза сценариев развития социально-экономиче-

ских систем / Под. ред Шульца В.Л., Кульбы В.В. Книги 1, 2. М.: Наука, 2012.

Кузнецов Н.А., Кульба В.В., Микрин Е.А. и др. Информационная безопасность

систем организационного управления. М.: Наука, 2006. Т. 1, 2.

Пономарев Н.О., Кононов Д.А., Швецов Д.А., Пономарев Р.О. Сценарное ис-

следование уязвимости сложных организационно-технических систем // Тр.

НИИСИ РАН. М.: НИИСИ РАН, 2014. Т. 4. № 2. С. 61-68.

Kul’ba V.V., Kofoed L.B., Kononov D.A., Zaikin O.A. Scenario Research of Complex

Manufacturing Systems Vulnerability // IFAC Conf. on Manufacturing Modelling,

Management and Control, Troyes. France. June 28-30. 2016. Preprints Volume.

Paper ID: 400-405.

Кононов Д.А., Косяченко С.А., Кульба В.В. Формирование и анализ сценариев

развития социально-экономических систем с использованием аппарата опера-

торных графов // АиТ. 2007. № 1. С. 121-136.

Kononov D.A., Kosyachenko S.A., Kul’ba V.V. Design and Аnalysis of Development

Scenarios of Social Economic Systems with the Application of the Operator Graph

Apparatus // Autom. Remote Control. 2007. V. 68. No. 1. P. 109-123.

Статья представлена к публикации членом редколлегии А.А. Галяевым.

Поступила в редакцию 03.09.2021

После доработки 05.11.2021

Принята к публикации 26.01.2022

147