Автоматика и телемеханика, № 7, 2022

Робастное, адаптивное и сетевое

управление

(Дальневосточный федеральный университет, Владивосток)

АНАЛИТИЧЕСКОЕ КОНСТРУИРОВАНИЕ РЕГУЛЯТОРА

С АМПЛИТУДНЫМ ОГРАНИЧЕНИЕМ

Рассматривается стационарная задача оптимального управления ново-

го линейно-квадратичного типа на полуоси времени с амплитудным огра-

ничением на управление. С помощью достаточных условий оптимально-

сти находится оптимальное позиционное управление с разрывом на под-

пространстве фазового пространства. Исследуется движение доопреде-

ленной системы по подпространству в скользящем режиме. Показана экс-

поненциальная устойчивость замкнутой системы. Приведены примеры.

Ключевые слова: оптимальное управление, задача линейно-квадратич-

ного типа, оптимальный синтез, скользящий режим, экспоненциальная

устойчивость.

DOI: 10.31857/S0005231022070030, EDN: ADTRWW

1. Введение

Задача аналитического построения регулятора с момента появления пер-

вых публикаций [1, 2] стала предметом многочисленных исследований бла-

годаря широкому применению в технических приложениях. Обзор опубли-

кованных работ служит предметом отдельного серьезного исследования и не

входит в цели настоящей статьи. Отметим лишь, что аналитическое и числен-

ное решение задачи при дополнительных ограничениях на управление зна-

чительно усложняется (см., например, [3-7]). Причины усложнения состоят

в нелинейности и разрывности управлений типа обратной связи и трудно-

сти описания скользящих режимов на различных пересечениях поверхностей

разрыва управлений.

Исследованию одной из таких задач посвящена настоящая статья. Рас-

сматривается задача оптимального управления линейно-квадратичного типа

на полуоси времени с ограниченной евклидовой нормой управления. Новым

элементом в постановке задачи служит целевой функционал, который наряду

с традиционным квадратичным отклонением траектории от начала коорди-

нат учитывает еe отклонение от подпространства R разрыва оптимального

управления. Это подпространство естественно появляется при аналитическом

решении задачи с помощью достаточных условий оптимальности [8]. Анализ

показывает, что подпространство R состоит из двух взаимно дополняющих

друг друга множеств. Первое из них прошивается траекториями замкнутой

системы без односторонних касаний. Второе множество заполняется траекто-

риями скольжения, ведущими в начало координат. В целом замкнутая систе-

ма с дополнительными уравнениями скольжения экспоненциально устойчива.

В теории систем с переменной структурой разрывные позиционные управ-

ления специально вводятся в систему для создания устойчивых и мало чув-

ствительных к возмущениям скользящих движений [9]. Вопросы оптималь-

ности управлений при этом обычно не рассматриваются или отодвигаются

на второй план. В данном случае новизна предлагаемого подхода состоит в

том, что требования существования и устойчивости скользящих движений

формулируются на уровне постановки задачи и непосредственно закладыва-

ются в еe условия. При минимизации функционала из множества возможных

позиционных управлений выделяется единственное оптимальное управление

с нужными свойствами. Тем самым исключается произвол в выборе управ-

ления.

Остановимся еще на одном моменте, связанном с постановкой задачи. Вы-

бор в качестве области управления U шара не случаен и обусловлен тем, что

оптимальное управление в этом случае определено и непрерывно на всем фа-

зовом пространстве, исключая подпространство R. Это значительно упроща-

ет описание и анализ скользящих движений. Технически шар U легко заме-

нить эллипсоидом, чтобы учесть разномасштабные координаты управления.

Вместе с тем обобщение результатов на области управления с негладкими

границами, например многогранники, нетривиально из-за сложности описа-

ния скользящих режимов на различных пересечениях плоскостей разрыва

управления.

2. Постановка задачи

Объектом нашего внимания будет задача оптимального управления

∫∞

(



)



J =

x(t)^′Cx(t) + 2B′Lx(t)

dt → min,

(1)

x = Ax + Bu, x(0) = x₀, x(∞) = 0,

∥u∥ ≤ 1, t ≥ 0.

Здесь A, C, L ∈ R^n×n постоянные матрицы c уточненными далее свойства-

ми; B ∈ R^n×m постоянная матрица ранга m ≤ n; x, x₀ ∈ Rⁿ перемен-

ный и фиксированный фазовые векторы, x₀ = 0; x = dx/dt; u ∈ R^m вектор

управления со значениями в шаре U, заданном неравенством ∥u∥ ≤ 1. Во всех

операциях используются векторы-столбцы; штрих знак транспонирования;

∥u∥ = (u^′u)^1/2 евклидова норма вектора u. Равенство x(∞) = 0 понимается

в предельном смысле: x(t) → 0 при t → ∞.

Примем дополнительные предположения: матрица L удовлетворяет мат-

ричному алгебраическому уравнению Ляпунова

(2)

A^′

L + LA + C = 0;

все собственные значения матрицы A имеют отрицательные действительные

части; матрица C симметричная и положительно определенная. Последние

два условия необходимы и достаточны [10] для существования, единственно-

сти, симметричности и положительной определенности матрицы L.

Непрерывную кусочно-гладкую траекторию x(t), t ≥ 0, и кусочно-непре-

рывное управление u(t), t ≥ 0, назовем процессом, если пара x(t), u(t) отвеча-

ет условиям (1), исключая, возможно, первое требование, и соответствующее

значение функционала J конечно. Задача состоит в отыскании среди всех

процессов оптимального процесса с наименьшим значением целевого функ-

ционала.

Отметим, что квадратичная форма x^′Lx является функцией Ляпунова

экспоненциально устойчивой однородной системы дифференциальных урав-

нений x = Ax.

3. Синтез оптимальной системы

Для решения задачи воспользуемся достаточными условиями оптимально-

сти [8]. С использованием формулы Лейбница-Ньютона представим целевой

функционал на произвольном фиксированном процессе x(t), u(t) в виде

∞

∫∞

∫

_t=∞

(



)

(

)_•



J =

x(t)^′Cx(t) + 2B′Lx(t)

dt +

x(t)^′Lx(t)

dt - x(t)^′Lx(t)

t=0

Выполним во втором интеграле дифференцирование по t. Учитывая краевые

условия (1), равенство (2) и соотношения

L^′ = L, x^′LAx = (x^′LAx)^′ = x^′A^′Lx, x ∈ Rⁿ,

получим

∫∞

∫

∞

(



)



x(t)^′Cx(t) + 2B′Lx(t)

dt +

2x(t)^′L (Ax(t) + Bu(t)) dt + x^′0Lx₀ =

∫∞

∫

∞

(

)

(



)

= x^′0Lx₀ + x(t)^′

A^′L + LA + C

x(t)dt + 2

B^′Lx(t)+x(t)′LBu(t)

dt =

∫∞

)

(



+(B′_Lx(t))′_u(t)dt.

= x^′0Lx₀ + 2

B′Lx(t)

Найдем нижнюю оценку целевого функционала. Имеем

∫∞

)

(



J = x^′0Lx₀ + 2

B^′Lx(t) + (B′Lx(t))′u(t) dt ≥

∫∞

)

(



≥ x^′0Lx₀ + 2 min

min

B^′Lx + (B′Lx)′u dt.

x∈Rⁿ∥u∥≤1

В силу известного неравенства Коши-Буняковского минимизируемая по u

функция под знаком интеграла на шаре ∥u∥ ≤ 1 неотрицательна и равна нулю

при

B^′Lx

(3)

u(x) = -

B^′

Lx = 0.

∥B^′Lx∥

В результате нижняя оценка функционала примет вид

∫∞

)

(



(4)

J = x^′0Lx₀ + 2

B^′Lx(t) + (B′Lx(t))′u(t) dt ≥ x′0Lx0.

Как видно, позиционное управление (3) определено и непрерывно на всем фа-

зовом пространстве, за исключением точек x подпространства R, заданного

уравнением B^′Lx = 0.

Прежде чем установить точность нижней оценки (4), введем в рассмотре-

ние замкнутую управлением (3) систему уравнений

(5)

x = Ax + Bu(x)

и выясним поведение ее траекторий в малой окрестности подпространства R.

Обозначим через

s(x, u) = B^′L(Ax + Bu)

производную векторной функции s(x) = B^′Lx в силу системы дифференци-

альных уравнений (1). Определим в подпространстве R два множества S и P :

(

)

x∈S⇔

0 ∈ s(x,U), B^′Lx = 0

(

)

x∈P ⇔

0 ∈ s(x,U), B^′Lx = 0

Здесь символом s(x, U) обозначена область значений функции s(x, u) на ша-

ре U при фиксированном x. Согласно первому определению точка x при-

надлежит S в том и только в том случае, если B^′Lx = 0 и найдется вектор

v(x) ∈ U со свойством B^′L(Ax + Bv(x)) = 0. C учетом невырожденности мат-

рицы B^′LB представим включение x ∈ S в равносильной форме

(

(6)

v(x) = -

B^′LB

)^-1 B^′LAx, ∥v(x)∥ ≤ 1, B′

Lx = 0.

Отсюда следуют очевидные свойства множества S выпуклость, замкну-

тость и симметричность относительно начала координат. Эти свойства про-

веряются непосредственно. Например, чтобы убедиться в выпуклости S, до-

статочно показать, что из включений x, y ∈ S вытекает z = (1 - λ)x + λy ∈ S

при λ ∈ [0, 1]. Действительно, в силу выполнения соотношений (6) для x, y,

свойств нормы и условия λ ∈ [0, 1] имеем

(

v(z) = v((1 - λ)x + λy) = (1 - λ)v(x) + λv(y) = -

B^′LB

)^-1 B^′LAz,

∥v(z)∥ = ∥(1 - λ)v(x) + λv(y)∥ ≤ (1 - λ)∥v(x)∥ + λ∥v(y)∥ ≤ 1,

B^′Lz = B^′L((1 - λ)x + λy) = (1 - λ)B^′Lx + λB^′Ly = 0,

т.е. z ∈ S. Соответствующие управлению (6) траектории замкнутой системы

уравнений

(7)

x = Ax + Bv(x), B^′

Lx = 0,

исходящие из точек множества S, лежат в S. В связи с этим назовем S обла-

стью скольжения и (7) уравнениями скольжения.

Рассмотрим подробнее множество P . Пусть x произвольная фиксиро-

ванная точка P , в которой B^′Lx = 0 и 0 ∈ s(x, U). По определению множество

s(x, U) выпуклое, замкнутое и ограниченное. Применим к множествам s(x, U)

и 0 теорему об отделимости [11]. Согласно этой теореме найдется зависящий

от x ненулевой вектор c ∈ R^m, удовлетворяющий неравенству c^′ s(x, U) < 0,

или в подробной записи

(8)

c^′B^′

L(Ax + Bu) < 0, u ∈ U.

В геометрической трактовке неравенство (8) означает, что в точке x ∈ P

все векторы скорости x = Ax + Bu, u ∈ U, имеют отрицательные проекции

на вектор c^′B^′L = 0. В частности, если при малом ε > 0 непрерывное реше-

ние x(t), |t - τ| ≤ ε замкнутой системы (5) имеет в точке x(τ) = x односто-

ронние производные

x(τ ± 0) = Ax(τ) + Bu(x(τ ± 0)),

то проекции векторов x(τ ± 0) на вектор c^′B^′L тоже отрицательны. Тогда из

соображений непрерывности, условия x(τ) = x ∈ P и достаточной малости

ε > 0 следует, что

c^′B^′Lx(τ - ε) = c^′B^′L(x(τ - ε) - x(τ)) = -εc^′B^′L x(τ - 0) + o(ε) > 0,

c^′B^′Lx(τ + ε) = c^′B^′L(x(τ + ε) - x(τ)) = εc^′B^′L x(τ + 0) + o(ε) < 0,

где o(ε) малая порядка выше ε. Значит, траектория x(t) пересекает плос-

кость c^′B^′Lx = 0 в точке x(τ) без односторонних касаний. Так как плоскость

c^′B^′Lx = 0 содержит P и x ∈ P, то траектория x(t) одновременно пересекает

множество P в точке x(τ) = x. В силу произвольности x последний вывод

верен для любой точки P .

Множество P назовем областью прошивания. Как видно из сказанного,

условие x ∈ P достаточно для того, чтобы проходящая через точку x траек-

тория замкнутой системы (5) прошивала подпространство R разрыва управ-

ления (3).

Итак, в зависимости от положения начальной точки x₀ непрерывная

траектория замкнутой системы (5) может пересекать область прошива-

ния P ⊂ R без односторонних касаний и частично лежать в области сколь-

жения S ⊂ R. Движение в скользящем режиме описывается уравнениями

скольжения (7).

Вернемся к проверке точности оценки (4). Обозначим через x(t) непрерыв-

ную траекторию, определенную на полуоси t ≥ 0 уравнениями замкнутой си-

стемы (5), (7) и начальным условием x(0) = x₀. Выделим на полуоси времени

множества T₁, T₂, T₃, полагая

t ∈ T₁ ⇔ x(t) ∈ R; t ∈ T₂ ⇔ x(t) ∈ S; t ∈ T₃ ⇔ x(t) ∈ P.

Если t ∈ T₁, то на основании (2), (3), (5) получим

(

)_•

x(t)^′Lx(t)

= 2x(t)^′L (Ax(t) + Bu(x(t))) =

(

)



= x(t)^′

A^′L + LA

x(t) - 2B′Lx(t)≤ -x(t)′Cx(t).

Если t ∈ T₂, то в силу (2), (6), (7) точно так же находим

(

)_•

x(t)^′Lx(t)

= 2x(t)^′L (Ax(t) + Bv(x(t))) =

(

)

(

= x(t)^′

A^′L + LA

x(t) + 2

B^′Lx(t))′ v(x(t)) = -x(t)′Cx(t).

Приведенные выкладки показывают, что неравенство

(

)_•

(9)

x(t)^′Lx(t)

≤ -x(t)^′

Cx(t)

имеет место во всех точках гладкости траектории x(t), t ≥ 0, за возможным

исключением моментов t ∈ T₃ и момента первого попадания траектории в

область S. Из неравенства (9) с учетом положительной определенности мат-

рицы L и теоремы Вейерштрасса получим

(x(t)^′Lx(t))^•

x(t)^′Cx(t)

x^′Cx

≤-

≤ - min

= -α < 0, t ≥ 0.

x(t)^′Lx(t)

∥x∥=1 x^′Lx

Отсюда путем интегрирования неравенства по t в пределах от нуля до t на-

ходим

ln x(t)^′Lx(t) - ln x^′0Lx₀ ≤ -αt.

Следовательно,

(10)

x(t)^′Lx(t) ≤ x^′0Lx₀e^-αt

t ≥ 0.

Оценка (10) свидетельствует об экспоненциальной устойчивости замкнутой

системы (5), (7) при любом x₀ ∈ Rⁿ и влечет выполнение предельного соот-

ношения x(∞) = 0.

На процессе x(t), u(t) с управлением



u(t) = -B^′Lx(t)/B′Lx(t)

, t∈T₁;

(

u(t) = -

B^′LB

)^-1 B^′LAx(t), t ∈ T₂,

нижняя оценка (4) целевого функционала достигается. Действительно, в этом

случае при t ∈ T₁ подынтегральная функция в неравенстве (4) равна нулю на

основании определения управления u(t) и при t ∈ T₂ ∪ T₃ вследствие вы-

полнения равенства B^′Lx(t) = 0. По построению множества T₁, T₂, T₃ не пе-

ресекаются, и их объединение совпадает с полуосью t ≥ 0, поэтому интеграл

в неравенстве (4) равен нулю. Значит, процесс x(t), u(t) оптимальный.

Подведем итоги. Если условия задачи (1) отвечают перечисленным в раз-

деле 2 предположениям, то при любом x₀ решение задачи существует. Оп-

тимальное позиционное управление (3) кусочно-непрерывное с разрывом на

подпространстве R. В дополняющих друг друга областях P, S подпростран-

ства R выполнены соответствующие достаточные условия прошивания и

скольжения. В области скольжения управление v(x) непрерывное и допу-

стимое по амплитудному ограничению (1). Уравнения скольжения (7) ли-

нейны и линейно зависимы. Замкнутая система (5), (7) экспоненциально

устойчива. Минимум целевого функционала равен x^′0Lx₀.

Приведенные выводы и точная нижняя оценка (4) целевого функционала

дают ответ на вопрос, в каком случае пробный процесс y(t), u(t) ≡ 0, соот-

ветствующий задаче Коши y = Ay c начальными значениями y = x₀, t = 0

оптимален в задаче (1). Для этого процесса на основании оценки (4) имеем

∫∞



(11)

J = x^′0Lx₀ + 2

B^′Ly(t) dt ≥ x′0Lx0.

В силу неотрицательности и непрерывности подынтегральной функции

∥B^′Ly(t)∥ равенство в оценке (11) возможно в том и только в том случае,

если B^′Ly(t) ≡ 0, t ≥ 0. При нарушении данного условия, хотя бы в один мо-

мент t ≥ 0, пробный процесс удовлетворяет строгому неравенству (11), т.е.

не оптимален. Другими словами, по функционалу (1) пробный процесс опти-

мален в том и только в том случае, если его траектория полностью лежит в

области скольжения.

4. Примеры

В зависимости от матрицы B оптимальное управление (3) имеет разные

аналитические свойства. Если B квадратная невырожденная матрица, то

оптимальное управление непрерывно на всем фазовом пространстве, за ис-

ключением начала координат. Режим скольжения отсутствует.

Если матрица B состоит из единственного столбца b = 0, то оптимальное

управление



=-signb′_Lx

u(x) = -b^′Lx/b′Lx

релейное с разрывом на плоскости b^′Lx = 0. Области скольжения S и про-

шивания P заданы соответствующими условиями



(12)

b′LAx≤b′Lb, b′Lx = 0;

b′LAx>b′Lb, b′

Lx = 0.

Если векторы b^′L и b^′LA линейно независимы, то геометрически область

скольжения представляет собой замкнутую полосу на плоскости b^′Lx = 0, за-

ключенную между двумя параллельными плоскостями b^′LAx = ±b^′Lb. Урав-

нения скольжения имеют вид

x = Ax + bv(x), v(x) = -b^′LAx/b^′Lb, b^′Lx = 0.

Описания (12) областей скольжения и прошивания равносильны известным

достаточным условиями существования скользящих режимов и прошива-

ния [9] в терминах функции s(x) = b^′Lx и ее односторонних производных

в силу замкнутой системы x = Ax + bu(x).

Поясним сказанное иллюстративным примером, в котором

(

)

(

)

-1

( 2 0)

( 1 0)

C =

-2

-1

С использованием приведенных выше формул находим оптимальное релей-

ное управление u(x₁, x₂) = -sign(x₁ - x₂) с разрывом на прямой x₁ - x₂ = 0,

области скольжения x₁ - x₂ = 0, |x₂| ≤ 2, прошивания x₁ - x₂ = 0, |x₂| > 2, и

уравнения скольжения

x₁ = -x₁ + v(x₁,x₂),

x₂ = -2x₂ - v(x₁,x₂),

v(x₁, x₂) = (x₁ - 2x₂) /2, x₁ - x₂ = 0,

|x₂| ≤ 2.

Эти уравнения приводятся к удобному для интегрирования виду

(13)

x₁ = -3x₁/2,

x₂ = -3x₂/2, x₁ - x₂ = 0,

|x₂

|≤2

с помощью эквивалентных представлений v(x₁, x₁) = -x₁/2; v(x₂, x₂) =

= -x₂/2 управления v(x₁,x₂) в области скольжения. При постоянном управ-

лении u = -1 или u = +1 фазовая точка исходной системы дифференци-

альных уравнений с возрастанием времени движется к устойчивому фокусу

Φ_-1 = (-1,1/2) или Φ₊₁ = (1,-1/2) по соответствующей параболе

x₂ = 1/2 + c₁(x₁ + 1)² (u = -1); x₂ = -1/2 + c₂(x₁ - 1)² (u = +1).

Постоянные c₁, c₂ определяются начальными значениями. Картина распо-

ложения оптимальных траекторий представлена на рисунке. Как видно из

рисунка, на заключительном этапе оптимальное движение к началу коорди-

нат происходит преимущественно в режиме скольжения.

Сравним по переходным периодам оптимальную траекторию x(t) =

= (ξe^-3t/2, ξe^-3t/2), t ≥ 0, системы (13), исходящую в момент t = 0 из произ-

вольной фиксированной точки x = (ξ, ξ), |ξ| ≤ 2, области скольжения с проб-

ной траекторией y(t) = (ξe^-t, ξe^-2t), t ≥ 0, описываемой при u = 0 исходными

дифференциальными уравнениями с теми же начальными значениями. Пере-

ходными периодами считаем моменты времени t₁, t₂ первого попадания этих

x₂

u = 1

Ф_-1

x₁

Ф₁

u = -1

Фазовый портрет оптимальной системы в примере. Жирной линией выделена

область скольжения, по которой происходит движение в начало координат.

Остальная часть прямой разрыва оптимального управления состоит из точек

прошивания.

траекторий на границу квадрата [-ε, ε] × [-ε, ε] при малом положительном

ε < |ξ|. Используя координатное представление траекторий x(t), y(t), после

очевидных вычислений находим

t₁ = (2/3)ln (|ξ| /ε) ; t₂ = ln (|ξ|/ε) .

Очевидно, переходный период t₁ оптимальной траектории составляет 2/3

переходного периода t₂ пробной траектории для любой начальной точки об-

ласти скольжения. Так как пробная траектория не лежит в области сколь-

жения, то в силу неравенства (11) она уступает оптимальной траектории еще

и по целевому функционалу. Таким образом, в примере оптимальная тра-

ектория на участке скольжения лучше пробной траектории по переходному

периоду и значению целевого функционала.

5. Заключение

В статье рассмотрена задача оптимального управления нового ли-

нейно-квадратичного типа на полуоси времени при ограничении на управ-

ление. С использованием матричного алгебраического уравнения Ляпунова

и достаточных условий оптимальности получены простые аналитические вы-

ражения для разрывного оптимального позиционного управления и допол-

нительных уравнений скольжения в подпространстве разрыва управления.

Установлена экспоненциальная устойчивость замкнутой системы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Летов А.М. Аналитическое конструирование регуляторов. I // АиT. 1960. № 4.

С. 436-441.

Калман Р. Об общей теории систем управления // Tp. 1 Межд. конгресса ИФАК.

М.: АН СССР, 1961. Т. 1. С. 521-547.

Летов А.М. Аналитическое конструирование регуляторов. Дальнейшее разви-

тие проблемы. V // АиТ. 1962. № 11. С. 1405-1413.

Фуллер А.Т. Оптимизация линейных систем регулирования по различным кри-

териям качества // Tp. 1 Межд. конгресса ИФАК. М.: АН СССР, 1961. Т. 1.

С. 584-605.

Габасов Р., Кириллова Ф.М., Павленок Н.С. Построение программного и пози-

ционного решений линейно-квадратичной задачи оптимального управления //

Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 2008. Т. 48. № 10. С. 1748-1779.

Срочко В.А. Итерационные методы решения задач оптимального управления.

М.: Физматлит, 2000.

Антипин А.С., Хорошилова Е.В. О краевой задаче терминального управления

с квадратичным критерием качества // Изв. Иркутского гос. ун-та. 2014. Т. 8.

С. 7-28.

Кротов В.Ф., Букреев В.З., Гурман В.И. Новые методы вариационного исчис-

ления в динамике полета. M.: Машиностроение, 1969.

Уткин В.И. Системы с переменной структурой: состояние, проблемы, перспек-

тивы // АиT. 1983. № 9. С. 5-25.

10.

Параев Ю.И. Уравнения Ляпунова и Риккати. Томск: Томский ун-т, 1989.

11.

Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983.

Статья представлена к публикации членом редколлегии Л.Б. Рапопортом.

Поступила в редакцию 21.10.2021

После доработки 15.02.2022

Принята к публикации 31.03.2022