Автоматика и телемеханика, № 7, 2022

Управление в социально-экономических

системах

(yelena.skarzhinsky@gmail.com)

(Костромской государственный университет),

В.И. ЦУРИКОВ, д-р экон. наук, канд. физ.-мат. наук

(tsurikov@inbox.ru)

(Костромская государственная сельскохозяйственная академия)

КООРДИНАЦИЯ КОЛЛЕКТИВНЫХ ДЕЙСТВИЙ

С ПОМОЩЬЮ СТРАТЕГИИ ШТАКЕЛЬБЕРГА

Статья посвящена теоретическому исследованию координации дей-

ствий членов самоуправляемого коллектива с помощью стратегии Шта-

кельберга, направленной на повышение их индивидуальных выигрышей.

Предполагается, что коллектив создает совокупный доход, возрастающий

с ростом усилий, прилагаемых каждым агентом, и подчиняющийся зако-

ну убывающей отдачи. Существующее в условиях полной автономии всех

агентов единственное равновесие по Нэшу является неэффективным по

Парето. Показано, что для перехода к Парето-предпочтительному исходу

достаточно образования в коллективе малой группы (коалиции), члены

которой доверяют друг другу и не склонны к оппортунистическому по-

ведению. Следуя коалиционной стратегии, направленной на достижение

максимума коалиционного выигрыша, члены коалиции увеличивают раз-

меры своих усилий, что приводит к росту совокупного дохода. Найдены

условия, при которых коалиция может использовать стратегию лидера по

Штакельбергу. Показано, что равновесный по Штакельбергу исход доми-

нирует по Парето над равновесными исходами Нэша как в бескоалицион-

ной игре, так и в коалиционной.

Ключевые слова: коллективные действия, координация, равновесие по

Нэшу, равновесие по Штакельбергу, эффективность по Парето, коалиция.

DOI: 10.31857/S0005231022070066, EDN: AEMECW

1. Введение

В статье исследуется деятельность самоуправляемого коллектива, создаю-

щего общий доход в результате приложения его членами индивидуальных

усилий. Цель каждого агента состоит в максимизации собственного индиви-

дуального выигрыша.

Главный источник проблем коллективных действий коренится в эгоисти-

ческих устремлениях агентов, которые в условиях действия закона убываю-

100

щей отдачи приводят к несовпадению индивидуальных оптимумов с коллек-

тивным. Следствием независимого выбора агентами объемов прилагаемых

ими усилий является равновесие Нэша, которое достигается в неэффектив-

ном по Парето исходе, что наглядно иллюстрируется моделью, известной под

названием ¾Дилемма заключенных¿ [1, 2]. Те же факторы создают пробле-

му морального риска, описанную в модели Бенгта Хольмстрёма [3], а так-

же в моделях неполного контракта Гроссмана-Харта-Мура [4, 5] и Тироля-

Фуруботна-Рихтера [6, т. 1, с. 50-54; 7, с. 293-301]. Отметим, что в моделях

неполного контракта рассматривается, как правило, взаимодействие только

двух агентов, и поэтому многие проблемы коллективных действий в них про-

сто не отражаются.

Предполагаем, что в коллективе как в большой группе агентов может

сформироваться малая группа коалиция, способная координировать уси-

лия ее участников. Цель статьи заключается в исследовании возможности

образования коалиции, использующей стратегию лидера по Штакельбергу,

для повышения эффективности коллективной деятельности.

Напомним, что первоначально модели Курно [8] и Штакельберга [9] были

разработаны для описания дуополии, но впоследствии они получили распро-

странение на произвольное количество фирм [10, 11] и на многопродуктовые

рынки [12]. Как известно, модель Штакельберга основана на отказе от сим-

метрии, положенной в основу модели Курно. В модели Штакельберга пред-

полагается, что одна из конкурирующих фирм играет роль лидера (leader),

который делает первый шаг, а другая роль последователя (follower). По-

следователь выбирает свою стратегию с учетом известной ему стратегии ли-

дера, считая ее заданной. Предварительно лидер инкорпорирует известную

ему кривую реагирования конкурента в свою функцию прибыли, в результате

чего его прибыль становится функцией только им выбираемой стратегии, и

ему остается только найти ту стратегию, при которой его прибыль достигает

максимума.

Следует отметить работы [13, 14], в которых анализируются возможно-

сти достижения олигополией равновесия по Штакельбергу в случаях, ко-

гда агенты не располагают достоверной информацией относительно разме-

ров предельных издержек конкурентов или их выбора. В модели олигополии

М.И. Гераськина [15] исследуется зависимость выигрышей агентов в равно-

весии Штакельберга от вида функций издержек. В работах Ю.Б. Гермейера

[16], М.А. Горелова [17], М.В. Губко и Д.А. Новикова [18] стратегия Штакель-

берга анализируется в рамках моделей иерархической системы типа Центр-

агент. Система представляется двумя игроками, один из которых играет роль

Центра, ограничивающего своим первым ходом множество возможных дей-

ствий второго (пассивного) игрока. Задача решается, как правило, в общем

виде, и в качестве одного из возможных вариантов анализируется стратегия

Штакельберга. При этом выигрыш пассивного агента явно зависит только от

его собственного выбора.

101

При распространении разработанной для олигополистического рынка мо-

дели Штакельберга на коллективные действия следует учитывать принципи-

альное различие между коллективом, целью деятельности которого является

производство общего блага, и олигополией. В частности, для коллективных

действий характерны отношения сотрудничества, а для олигополии отно-

шения конкуренции. Соответственно, каждый член коллектива заинтересо-

ван в высокой активности своих партнеров, в то время как любой фирме в

условиях олигополии, напротив, выгодна низкая активность конкурентов.

В работе Д.А. Новикова [19] рассматривается класс задач о минимизации

издержек коллектива, выполняющего работы в заданном объеме, при различ-

ных предположениях относительно иерархии представлений агентов о типах

друг друга, объемах выполняемых работ, наличия или отсутствия управляю-

щего центра и др. Задача данной статьи наряду с определенным сходством

с задачами этого класса имеет и существенные отличия. В частности, здесь

ищется не то оптимальное распределение объемов работ между членами кол-

лектива, при котором минимизируются суммарные издержки, а стимулы для

каждого агента повысить уровень своих усилий (а значит, и издержек) отно-

сительно объемов усилий, отвечающих равновесному по Нэшу исходу.

В рассматриваемой модели предполагается отсутствие какой-либо асим-

метрии в распределении информации, причем функции совокупного дохода и

индивидуальных выигрышей, как и состав коалиции и стремление ее членов к

максимуму коалиционного выигрыша, а каждого некооперированного агента

к максимуму своего индивидуального выигрыша, являются общим знанием.

Технология влияния одних агентов на выбор других вполне конкретна, ли-

шена всяких элементов директивного (административного) управления и ос-

новывается исключительно на свойстве комплементарности усилий и общем

знании агентов. Выигрыш любого агента явным образом зависит от выбора

каждого члена коллектива.

В ранее вышедших работах авторов данной статьи показано, что в слу-

чае образования в коллективе коалиции, которая реализует стратегию, на-

правленную на максимизацию коалиционного выигрыша, достигается исход,

доминирующий по Парето неэффективное равновесие Нэша, достигаемое в

бескоалиционной игре [20, 21]. Если функция дохода обеспечивает комплемен-

тарность усилий членов коллектива, т.е. свойство предельного дохода по уси-

лиям агента увеличиваться с ростом усилий, прилагаемых другим агентом,

то данный положительный эффект образуется не только за счет повышения

равновесных значений усилий членов коалиции, но и благодаря увеличению

усилий остальных агентов, не входящих в коалицию.

Указанная возможность, порождаемая положительной зависимостью

между усилиями членов коллектива, уже подвергалась теоретическому ис-

следованию. Например, в модели команды, состоящей из двух агентов, кото-

рую предложили S. Huck и P. Rey-Biel [22], полезность последователя растет

по мере сокращения разрыва между осуществляемыми им и лидером объема-

ми усилий. В работе Жерве и Гольдштейна [23] улучшение по Парето свя-

102

зывается с неадекватной оценкой одним из агентов собственных усилий, т.е.

фактически с нерациональным поведением. В этих работах равновесие по

Штакельбергу не достигается. В полной мере стратегия Штакельберга реа-

лизуется в модели коллектива, которую предложил J. Kim [24]. В его работе,

в отличие от модели данной статьи, лидера фактически назначает принци-

пал, который условиями контракта способен оказывать влияние на стимулы

агента.

Важно подчеркнуть, что члены коалиции могут оказывать стимулирую-

щее воздействие на размеры усилий некооперированных агентов только раз-

мерами своих собственных усилий и только тогда, когда некооперированные

агенты выбирают размеры своих усилий на основе достоверной информации

о значениях усилий членов коалиции [25]. В последовательной двухпериодной

игре некооперированные агенты осуществляют свои усилия только после чле-

нов коалиции, и поэтому получают эту информацию непосредственно, наблю-

дая усилия членов коалиции. Следует заметить, что описание коллективных

действий в рамках последовательной игры не всегда может быть адекватным.

Например, если деятельность коллектива связана с технологическим процес-

сом, требующим одновременного приложения усилий со стороны всех членов

коллектива.

В случае одновременной игры некооперированные агенты могут получить

информацию об усилиях, которые приложат члены коалиции, только на ос-

нове сообщения от самой коалиции или определенных предварительных дей-

ствий коалиции, не оставляющих места для сомнений в ее намерениях. Общее

знание относительно размеров усилий, которые члены коалиции осуществят

в одновременной игре, является необходимым и достаточным для рациональ-

ных агентов условием успешной координации усилий [26]. При его выполне-

нии коалиция может оптимизировать значения усилий своих членов, опреде-

ляя их методом обратной индукции, т.е. применяя стратегию Штакельберга, с

доведением до начала игры этой информации до некооперированных агентов.

Однако для достижения в одновременной игре того же исхода, который

отвечает в двухпериодной игре равновесию по Штакельбергу, простой декла-

рации коалиции о своих намерениях может оказаться недостаточно. Дело в

том, что в одновременной игре, как будет показано дальше, коалиционный

выигрыш достигает свой максимум при более низком значении усилий членов

коалиции, чем в двухпериодной игре при одном и том же уровне усилий неко-

оперированных агентов. Поэтому если хотя бы один из некооперированных

агентов усомнится в намерении членов коалиции осуществить свои усилия в

обещанном размере, то он осуществит свои усилия в размере, недостаточном

для достижения равновесия по Штакельбергу. В результате не будет достиг-

нут максимум не только коалиционного выигрыша, но и тех некоопериро-

ванных агентов, которые поверят обещаниям коалиции и осуществят свои

усилия в объемах, отвечающих равновесию по Штакельбергу. Так как этим

знанием обладает каждый член коллектива, то тот исход, который отвечает

103

в двухпериодной игре равновесию по Штакельбергу, в одновременной игре

может оказаться недостижимым.

Избежать такого рода неопределенности коалиция может путем внесения

залога или заключения соответствующего контракта, или же инвестирования

в соответствующий специфический ресурс, лучшее альтернативное исполь-

зование которого менее выгодно, чем осуществление усилий в обещанных

объемах. В одновременной игре именно в этом действии фактически и со-

стоит первый шаг коалиции, который необходим для надежного достижения

исхода, совпадающего с равновесием по Штакельбергу в двухпериодной иг-

ре. Этот первый шаг в виде выполнения одного из перечисленных действий

равносилен непосредственному наблюдению усилий членов коалиции.

В настоящей работе рассматривается общий случай несепарабельной

функции дохода и линейной функции издержек. Будет показано, что поло-

жительная зависимость оптимальной стратегии каждого автономного агента

от вкладов членов коалиции создает предпосылки для использования коали-

цией стратегии лидера по Штакельбергу. Для успешного осуществления этой

стратегии члены коалиции должны быть уверены в том, что все остальные

агенты следуют стратегии последователей, т.е. определяют свои оптимальные

усилия как функции усилий членов коалиции. Результатом является равнове-

сие Штакельберга, достигаемое в исходе, который доминирует не только над

неэффективным равновесием Нэша в бескоалиционной игре, но и над равно-

весным исходом в игре, в которой коалиция выступает единым игроком, но

не использует стратегию Штакельберга, а следует стратегии Курно.

2. Базовая модель

Обозначим через n число индивидов, составляющих коллектив, в котором

путем осуществления индивидуальных усилий, где σ₁, . . . , σ_n их денежные

эквиваленты, создается совокупный доход D = D(σ₁, . . . , σ_n). Считаем, что

при всех σ_i ∈ (0, ∞), где i = 1, . . . , n, выполняются следующие условия.

1. Величина дохода возрастает с ростом прилагаемых усилий:

∂D

(1)

> 0.

∂σ_i

2. Для того чтобы функции выигрышей имели единственный максимум,

функция дохода строго выпукла вверх. Из этого условия следует, что функ-

ция дохода удовлетворяет закону убывающей отдачи:

∂²D

(2)

< 0.

∂σ²

3. Чтобы решение не уходило в нуль или бесконечность, выполняются усло-

вия:

∂D

(3)

lim

= ∞, lim

= 0.

σ_i→0∂σ_i

σ_i→∞∂σ_i

104

4. Усилия каждого агента оказывают положительное влияние на величину

предельного дохода по усилиям любого другого члена коллектива:

∂²D

(4)

при i = k.

∂σ_i∂σ_k

Будем считать, что функции дохода и выигрышей являются общим зна-

нием для всех членов коллектива, а размеры приложенных усилий являются

наблюдаемыми для них после их полного осуществления. На этапе ex ante

в коллективе устанавливается правило распределения будущего ожидаемо-

го совокупного дохода D, согласно которому агенту i принадлежит относи-

∑_n

тельная доля α_i: 0 < α_i < 1,

α_i = 1. В неструктурированном коллективе

i=1

каждый индивид автономно выбирает объем прилагаемых им усилий, пресле-

дуя цель максимизации своего выигрыша

(5)

U_k = α_kD(σ_k,σ_-k) - σ_k

k = 1,...,n,

где σ_-k значения усилий всех членов коллектива за исключением индиви-

да k.

В [27] доказано, что в бескоалиционной игре, где выигрыши агентов за-

даются формулами (5), для любого набора α_k существует и притом един-

ственное равновесие Нэша N, определяемое из условий максимума первого

порядка для функций U_k, т.е. системой уравнений

∂D

(6)

α_k

= 1, k = 1, . . . , n.

∂σ_k

Используем следующие обозначения: σ^Nk с k = 1, . . . , n решение систе-

мы (6); D^N величина совокупного дохода; U^N суммарный выигрыш всех

членов коллектива, U^Nk индивидуальный выигрыш агента k. В [27] пока-

зано, что этот равновесный исход не является эффективным по Парето, так

как справа от него, т.е. при σ_i > σ^Ni (если доинвестирование осуществляют

не менее двух агентов), находятся Парето-предпочтительные состояния.

Каждому агенту выгодно, чтобы все остальные члены коллектива уве-

личили прилагаемые ими усилия сверх равновесного уровня, определяемого

системой (6), но при этом ему самому невыгодно (в силу закона убываю-

щей отдачи) подобное повышение объема собственных усилий. Поэтому ра-

циональный агент увеличит свои усилия только в случае, когда он уверен,

что хотя бы один из его партнеров поступит так же. Иными словами, для

достижения любого Парето-предпочтительного исхода необходима координа-

ция усилий хотя бы двух членов коллектива. Следовательно, при условии

автономности всех членов коллектива переход от равновесия Нэша к любому

доминирующему над ним исходу противоречит принципу индивидуальной ра-

циональности. Таким образом, неструктурированный коллектив, состоящий

из автономных эгоистических агентов, обречен находиться в ловушке неэф-

фективного равновесия Нэша¹.

Этот вывод полностью совпадает с выводом, полученным в работе Хольмстрема [3],

в модели ¾дилемма заключенных¿, в моделях неполного контракта [4-7].

105

Важной характеристикой коллективных действий является существование

исхода, соответствующего общественному оптимуму. Здесь, как и в экономи-

ческой теории контрактов, общественный оптимум определяется как исход, в

котором максимальное значение достигается совокупным выигрышем всего

коллектива, равным разности общего дохода и суммы издержек всех членов

коллектива:

∑

(7)

U = U_i =D- σ_i.

i=1

Условия максимума первого порядка для функции U имеют вид системы

уравнений

∂D

(8)

= 1, i = 1, . . . , n.

∂σ_i

Используем следующие обозначения: σ^Pk с k = 1, . . . , n решение системы (8);

D^P величина соответствующего совокупного дохода; U^P величина сум-

марного выигрыша всех членов коллектива; U^Pk величина индивидуального

выигрыша агента k.

Данный исход игры, который обозначим через P , будет Парето-оптималь-

ным² при осуществлении в коллективе распределения совокупного дохода,

отвечающего следующим условиям:

(9)

U^Pk ≥ U^Nk

где k = 1, . . . , n.

∑_n

Так как согласно условиям (1)-(2) U^P =

U^Pk >

U^Nk = U^N, то су-

k=1

ществует такое распределение дохода между членами коллектива, при кото-

ром общественно оптимальный исход будет Парето-оптимальным.

3. Стимулирующее воздействие коалиционной стратегии

Теперь покажем, что образование в коллективе коалиции и осуществле-

ние коалиционной стратегии, дает возможность для преодоления равновесия

Нэша. Предположим, что в коллективе образовалась коалиция, члены кото-

рой способны координировать значения своих усилий в целях достижения

максимума коалиционного выигрыша. Вопросы образования и устойчивости

коалиции представляют отдельную проблему, частично рассмотренную авто-

рами в [28], и поэтому здесь не затрагиваются. Здесь будем предполагать,

что координация между членами коалиции основана на отношениях дове-

рия, так как именно в этом случае минимальны трансакционные издержки

² Чтобы убедиться, что в исходе P суммарный выигрыш U выше, чем в исходе N, доста-

точно обратиться к градиенту функции U. В точке равновесия Нэша N каждая координата

gradU больше нуля, откуда следует, что функция U достигает более высоких значений при

уровнях усилий, превышающих равновесные.

106

координации. Кроме того, полагаем, что стремление коалиции к максимуму

коалиционного выигрыша является общим знанием.

Обозначим коалицию через C. Некооперированные агенты (не вошедшие

в коалицию) образуют множество NC. Используем следующие обозначения:

[σ_i] с i ∈ C

кортеж значений усилий членов коалиции; [σ_j] с j ∈ NC∑

кортеж значений усилий некооперированных агентов; α_C =_i∈C α_i отно-

сительная доля коалиции в общем доходе D. Выражение для коалиционного

выигрыша запишем в виде

∑

(10)

U_C = α_CD([σ_i],[σ_j]) -

σ_i

i∈C, j ∈NC.

i∈C

Значения усилий членов коалиции, при которых их совокупный выигрыш

достигает максимума, определяется системой уравнений

∂D

(11)

i∈C.

∂σ_i

α_C

Некооперированные агенты выбирают объемы своих усилий из условий мак-

симума собственных индивидуальных выигрышей, т.е. из уравнений, анало-

гичных (6):

∂D

(12)

j ∈NC.

∂σ_j

α_j

Игра, сложившаяся в результате образования коалиции C, отличается от

первоначальной бескоалиционной игры тем, что в ней наряду с автономны-

ми (некооперированными) игроками j ∈ NC участвует один агрегированный

игрок в лице коалиции C. Совокупность систем уравнений (11) и (12) име-

ет единственное решение и, соответственно, новая игра имеет единственный

равновесный исход, который обозначим чере

C. Значения усилий агентов в

этом исходе обозначим как

, i ∈ C, j ∈ NC, величину совокупного

дохода как

^C, значения выигрыша коалиции как

, агентов

как

UĈi и

Покажем, что исход

C доминирует по Парето над исходом N и в нем

справедливы следующие неравенства:

(13)

>σ^Ni, i∈C;

>σ^Nj

j∈NC;

∑

(14)

UĈj >U^Nj, j ∈NC;

>U^NC = U^Ni.

i∈C

Сравним совместное решение систем (11) и (12), определяющее исхо

C,с

решением системы (6), определяющим исход N. Можно считать, что система

(11)-(12) образована из системы (6) путем замены в правых частях уравнений∑

с i ∈ C величин α_i на превышающую их величину α_C =_i∈C α_i. Так как

107

решение системы (6) согласно (2) положительно зависит от значений α_k, то

эта замена приводит к более высоким значениям σ_i, отвечающим решению

систем (11)-(12)³.

Левые части уравнений (12) являются функциями усилий σ_j некоопери-

рованных агентов и усилий σ_i членов коалиции. При любых фиксированных

значениях σ_i система (12) имеет единственное решение относительно пере-

менных σ_j с j ∈ NC, определяющее значения этих величин в виде функций

переменных σ_i с i ∈ C. Обозначим эти решения как

(15)

σ_j = R_j([σ_i

]),

i∈C, j ∈NC.

Функции (15) представляют собой функции реагирования некооперированных

агентов на известные им значения усилий членов коалиции. В силу нера-

венств (4) левые части уравнений (12) являются возрастающими функциями

переменных σ_i с i ∈ C. Следовательно, решения этих уравнений, т.е. функ-

ции реагирования σ_j = R_j([σ_i]), также возрастают по всем переменным σ_i с

i∈C.

Из неравенств (13) согласно условию (1) следует, что

^C > D^N. Так как

каждая функция выигрыша (и U_j , и U_C ) имеет единственный максимум,

то их максимумы в исход

C превышают соответствующие максимумы, до-

стигаемые в исходе N, т.е. неравенства (14) справедливы. Можно полагать,

что отношения взаимного доверия, связывающие членов коалиции, способны

обеспечить бесконфликтное распределение между ними коалиционного вы-

игрыша в целях обеспечения условий индивидуальной рациональности для

всех членов коалиции, и поэтому неравенство

> U^NC совместимо с нера-

венствами

(16)

>U^Ni

i∈C.

Таким образом, реализация коалиционной стратегии приводит к исходу,

доминирующему по Парето над равновесием Нэша, достигаемому в бескоа-

лиционной игре.

4. Стратегия Штакельберга

В модели олигополистического рынка Штакельберга предполагается, что

лидер осуществляет первый ход: он либо первым осуществляет свою страте-

гию (например, выпускает продукцию в определенном объеме), либо демон-

стративно производит безвозвратные инвестиции, убеждающие конкурентов

в том, что лидер выбрал определенную стратегию. Только при этом условии

конкуренты поверят в его выбор и будут учитывать его при выборе своих

оптимальных стратегий.

³ Строгое доказательство теоремы о возрастании всех переменных, образующих реше-

ние системы (6), при уменьшении значения хотя бы одного из параметров, представляющих

собой ее правые части, приводится в [25].

108

В модели данной статьи предполагается, что коалиция, как уже было

сказано выше, своим первым ходом убедила некооперированных агентов

в том, что члены коалиции произведут усилия в объемах [σ_i], i ∈ C. До

начала игры коалиция находит из уравнений (12) функции реагирования

σ_j = R_j([σ_i]). Совокупность этих функций определяет в пространстве значе-

ний σ_k (k = 1, . . . , n) поверхность реагирования, в каждой точке которой вы-

полняются условия максимума выигрышей некооперированных агентов (12).

На поверхности реагирования величина совокупного дохода является функ-

цией соответствующих усилий членов коалиции:

(17)

D ([σ_i],R_j([σ_i

])) , i ∈ C, j ∈ NC.

Таким образом, коалиция как лидер по Штакельбергу инкорпорирует

функции реагирования некооперированных агентов в свою функцию чистого

дохода, которая принимает следующий вид:

∑

(18)

U_C = α_CD ([σ_i],R_j([σ_i])) -

σ_i

i∈C

с условиями максимума в виде

(19)

α_CD^′

− 1 = 0, i ∈ C,

σ_i

где D′σi полная производная по σ_i от функции (18), взятая на поверхности

реагирования:

∑

∂D

∂D ∂R_j

(20)

D^′σ

i∈C.

∂σ_i

∂σ_j ∂σ_i

j∈NC

С учетом (12) выражения для производных (20) принимают вид

∑

∂D

1 ∂R_j

(21)

D^′σ

∂σ_i

α_j ∂σ_i

j∈NC

С учетом (21) уравнения (19) преобразуются к виду

∑

∂D

1 ∂R_j

(22)

i∈C.

∂σ_i

α_j ∂σ_i

α_C

j∈NC

Обозначим исход игры, соответствующий решению Штакельберга, ка

значения усилий членов коалиции в этом исходе как

с i∈C и

сj ∈NC,величину совокупного дохода как

^S, значения выигрышей ко-

алиции как

, агентов

как

. Сравним результаты исходо

В силу уравнений (12) исход

C так же, как исхо

S, соответствует точ-

ке на поверхности реагирования. Следовательно, и доход D, и предельные

109

доходы^∂D∂σ

являются функциями переменных σ_i, i ∈ C. Обозначим значение

∂D

предельного дохода^∂D∂σ

в точке [

] как

S), а в точке [

] как

^∂D

C).

∂σ_i

Тогда согласно уравнениям (11) уравнения (22) можно записать в виде

∑

1 ∂R_j

(23)

∂D

S) +

∂D(C

i∈C.

∂σ_i

α_j ∂σ_i

∂σ_i

j∈NC

Так как функции R_j([σ_i]) возрастают по всем переменным, то из (23) следуют

неравенства

∂D

(24)

S) <

∂D(C

i∈C,

∂σ_i

откуда согласно условиям (2) вытекают неравенства

(25)

Из (25) и возрастания R_j ([σ_i]) следуют неравенства

(26)

j ∈NC.

Таким образом, можно сформулировать 1-й вывод. При переходе от ис-

хода

C единственного равновесия Нэша в игре, в которой коалиция C и

некооперированные агенты максимизируют свои чистые доходы исходя из

симметричных ожиданий в отношении всех остальных игроков, к исход

достигаемому в случае, когда коалиция C применяет стратегию лидера по

Штакельбергу, возрастают значения усилий всех игроков как членов коа-

лиции, так и некооперированных агентов.

Сравним значения чистого дохода коалиции в исхода

C. Если коали-

ция применяет стратегию Штакельберга, то это означает, что она максими-

зирует свой выигрыш U_C на поверхности реагирования, заданной уравнения-

ми (15). Значит, уравнения (22) определяют точку максимума чистого дохода

коалиции на поверхности реагирования, соответствующую исход

S. Точка,

соответствующая исходу

C, также лежит на поверхности реагирования, но

ее координаты согласно неравенствам (25) и (26) не совпадают с координата-

ми максимума функции U_C на поверхности реагирования. Следовательно, в

силу единственности максимума справедливо неравенство

(27)

Так как согласно введенному ранее предположению члены коалиции спо-

собны произвести между собой пропорциональный дележ общего выигрыша

коалиции, то из (27) следуют неравенства

(28)

i∈C.

110

Сравним выигрыши некооперированных агентов в исхода

C. На по-

верхности реагирования функции чистого дохода некооперированных агентов

имеют вид:

(29)

U_j = α_jD ([σ_i],R_j([σ_i])) - R_j([σ_i

]),

i∈C, j ∈NC.

Обратимся к производной (U_j )′σi = α_j D′σi - (R_j )^′ , которая с учетом (21)_σ

принимает вид

∑

∂D

α_j ∂R_k

(30)

(U_j )^′

=α_j

i∈C, j ∈NC.

σ_i

∂σ_i

α_k ∂σ_i

k∈NC,

k=j

Все слагаемые в правой части (30) положительны для любого j ∈ NC, сле-

довательно, (U_j )^′

> 0.

σ_i

Таким образом, приходим ко 2-му выводу. Если коалиция C занимает по-

зицию лидера по Штакельбергу, а все некооперированные агенты занимают

позиции последователей, то выигрыши всех некооперированных агентов воз-

растают на поверхности реагирования по всем независимым переменным σ_i.

Соответственно, из (25) следует

(31)

j ∈NC.

Неравенства (28) и (31) позволяют сделать 3-й вывод. Исхо

S равнове-

сие в игре, в которой коалиция C занимает позицию лидера по Штакельбергу,

а все некооперированные агенты занимают позиции последователей, домини-

рует по Парето над исходо

C равновесием Нэша в игре, в которой коали-

ция C и некооперированные агенты максимизируют свои выигрыши исходя

из симметричных ожиданий в отношении всех остальных игроков.

Теперь обратимся к рассмотрению причины, в силу которой коалиции

в одновременной игре необходимо послать предварительный информацион-

ный сигнал, способный полностью убедить некооперированных агентов в том,

что все члены коалиции осуществят свои усилия в объемах

, i ∈ C. Если

коллективу предстоит последовательная игра, в которой некооперированные

агенты прилагают свои усилия только после членов коалиции, то коалиция

находит объемы усилий своих членов в результате решения задачи на отыс-

кание условного максимума своей функции выигрыша (18) при условии (19).

Соответствующая система уравнений принимает вид (22) с решением: σ_i =

и σ_j =

, i ∈ C, j ∈ NC. И в этом случае никому из агентов невыгодно от-

клоняться в своем выборе от этого решения.

В одновременной игре коалиция выбирает уровень усилий своих членов ис-

ходя из предположения, что все некооперированные агенты непременно осу-

ществят свои усилия в объемах

. В этом случае она решает задачу отыска-

ния безусловного максимума и находит уровень усилий своих членов из урав-

нений (11) при σ_j =

, j ∈ NC. Из сравнения (22) и (11) видно, что значения

111

частных производных^∂D в уравнениях (22) ниже, чем в уравнениях (11). Это_∂σ

означает, что значения

, являющиеся решениями уравнений (22), превы-

шают значения σ_i, являющиеся решениями уравнений (11), хотя в решениях

обеих систем размеры усилий некооперированных агентов совпадают. Имен-

но поэтому в одновременной игре всем членам коалиции, если они уверены в

том, что все некооперированные агенты непременно осуществят свои усилия

в размере σ_j =

, выгодно осуществить свои усилия в объемах ниже, чем в

первом периоде последовательной игры. Соответственно, для достижения в

одновременной игре того же исхода, который достигается в последовательной

игре в результате стратегии Штакельберга, коалиция и вынуждена сделать

соответствующий первый шаг, убеждающий всех некооперированных аген-

тов, что ее члены осуществят усилия в объемах

5. Заключение

На основе представленных выше моделей приходим к следующим выво-

дам.

1. Если в коллективе образуется малая группа (коалиция), члены которой

стремятся к увеличению коалиционного выигрыша, то коллектив способен

выбраться из ловушки неэффективного равновесия Нэша, в которую попа-

дает неструктурированный коллектив. Следствием коалиционной стратегии

является повышение индивидуальных выигрышей всех членов коллектива от-

носительно их значений в равновесии Нэша, достигаемого в бескоалиционной

игре.

2. Если размеры предельных доходов некооперированных членов кол-

лектива возрастают с увеличением усилий членов коалиции, то коалицион-

ная стратегия оказывает стимулирующее воздействие на некооперированных

агентов, в результате которого объем прилагаемых ими усилий также увели-

чивается. Существование такой зависимости составляет необходимую пред-

посылку для реализации стратегии, разработанной Штакельбергом в модели

дуополии.

3. Инкорпорирование коалицией функций реагирования некооперирован-

ных агентов в свою функцию чистого дохода создает возможность для до-

стижения коллективом нового равновеси

S, доминирующего по Парето над

равновесие

C, достигаемым в той коалиционной игре, в которой коалиция

и некооперативные агенты независимо друг от друга максимизируют свои

выигрыши.

4. Достижение равновесного по Штакельбергу исход

S возможно толь-

ко при условии существования определенных взаимных ожиданий со сторо-

ны как членов коалиции, так и некооперированных агентов. Эти ожидания

должны исходить из общего знания о функциях выигрыша, наличии коали-

ции, ее составе и объемах усилий, которые обязуются осуществить ее члены.

5. При выполнении принятых в данной модели предположений иерархиче-

ская структура коллектива, в которой коалиция занимает положение лидера

112

по Штакельбергу, оказывается более эффективной, чем неиерархическая ко-

алиционная структура.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Рассмотрим демонстрационный пример полученных выше результатов.

Пусть функция совокупного дохода имеет вид

∏

(Π.1)

D=λ σ^ai,

i=1

где λ > 0, 0 < a < 1/n. Функция (П.1) удовлетворяет всем условиям (1)-(4).

Считаем, что все члены коллектива имеют равные доли в доходе: α_i = 1/n.

1. Сначала рассмотрим бескоалиционную игру, в которой каждый член

коллектива стремится к максимуму своего индивидуального выигрыша:

∏

(Π.2)

U_i = λ/n

σ^aj - σ_i → max,

i = 1,...,n.

σ_i>0

j=1

Так как функция дохода (П.1) удовлетворяет условиям постоянной эластич-

ности

σ_i ∂D

(Π.3)

= a,

D ∂σ_i

то условия максимума (8) индивидуального выигрыша (П.2) можно записать

в виде:

(Π.4)

σ_i =

i = 1,...,n.

Подставив выражения для усилий (П.4) в (П.1), получим уравнение отно-

сительно D, из которого найдем величину совокупного дохода в равновесии

Нэша:

(Π.5)

D^N = (λ(a/n)^an)^1/(1-an) .

Используя (П.5), (П.4) и (П.2), найдем значения усилий и выигрышей:

(Π.6)

σ^Ni = aD^N/n; U^Ni = D^N

(1 - a)/n; i = 1, . . . , n.

Для λ = 12 · 10³, n = 100, a = 1/120 получим:

(

( 0,01)5/6)⁶

D^N =

12 · 10³

= 12 · 10³;

(Π.7)

120

σ^Ni = 1,0; U^Ni = 119; i = 1,... ,100.

113

2. Обратимся к рассмотрению коалиционной игры. Пусть коалиция со-

стоит из первых m членов коллектива. Уравнение (10) для усилий члена

коалиции можно записать в виде

(Π.8)

σ_i =

D, i = 1,... ,m,

а уравнение (11) для усилий некооперированных агентов в виде

(Π.9)

σ_j =

j = m + 1,...,n.

Подставив выражения для усилий из (П.8) и (П.9) в функцию дохода D =

∏_m

∏_n

=λ

σ^a

σ^aj, получим уравнение относительно D:

i=1

j=m+1

D = λ(a/n)^anmam (D)^an,

из которого найдем выражение для значения совокупного дохода в равновес-

ном исход

(Π.10)

^C = (λ(a/n)^anm^am)1-an .

Используя (П.8), (П.9) и (П.10), получим выражения для размеров усилий:

1-a(n-m)

σ Ĉi = (λa/n)

^1-an m

1-an

i ∈ 1,...,m;

(Π.11)

= (λa/n)

^1-an m

^1-an , j = m + 1, . . . , n.

Используя (П.2), (П.10) и (П.11), получим выражения для значений индиви-

дуальных выигрышей:

(Π.12)

UĈi =D^Ĉ(1-am)/n; U^Ĉj =

(1 - a)/n.

Для n = 100, a = 1/120, m = 10 найдем отношения значений параметров в

исхода

C и N.

D^Ĉ

√

=m1-an =

10;

D^N

1-a(n-m)

√

(Π.13)

= m 1-an

= 10 ·

10;

σ^N

√

=m1-an =

10;

σ^N

√

^C (1 - am)

110

10 ·

≈ 2,9;

U^Ni

D^N(1 - a)

119

(Π.14)

√

10 ≈ 3,2;

i ∈ 1,...,m, j = m + 1,...,n.

U^Nj

D^N

114

Как видим, переход от равновесия N к равновеси

C приводит к возрас-

танию индивидуальных выигрышей всех членов коллектива.

3. Предположим, что коалиция C заняла позицию лидера по Штакельбер-

гу, а некооперированные агенты позиции последователей. Из (П.9) следует

aD = nσ_j с j ∈ NC. Подставив в (П.1) вытекающее отсюда выражение для D,

получим уравнение относительно σ_j, решив которое найдем значения усилий

некооперированных агентов как функции усилий членов коалиции, т.е. полу-

чим функции реагирования

∏ a

(Π.15)

σ_j = R_j([σ_i]) = (λa/n)^1-a(n-m)

j ∈NC.

σ^1-a(n-m)k

k=1

Частные производные от этих функций с учетом идентичности агентов мож-

но записать в виде

an-1

∂R_j

(Π.16)

j ∈NC, k,i∈C.

(λa/n)^1-a(n-m) σ^1-a(n-m)k

∂σ_i

1 - a(n - m)

Частные производные от функции дохода по переменным σ_i найдем из урав-

нений (П.3) и (П.1):

∂D

(Π.17)

= aλσ^am-1iσ^a(n-m)j

j ∈NC, i∈C.

∂σ_i

σ_i

Подставив в (П.17) выражения для σ_j из (П.15), с учетом идентичности аген-

тов получим

an-1

∂D

(Π.18)

i∈C.

= (λa/n)^1-a(n-m) nσ^1-a(n-m)i

∂σ_i

Выражения для производных из (П.16) и (П.18) подставим в уравнения (22).

В результате преобразования соответствующего уравнения получим

an-1

(Π.19)

i∈C.

· (λa/n)^1-a(n-m) · n · σ^1-a(n-m)i

α_C

1 - a(n - m)

Разрешив уравнение (П.19) относительно σ_i, найдем выражения для объемов

усилий членов коалиции в исход

(

) 1-a(n-m)

1-an

( λa)1-

(Π.20)

1 - a(n - m)

Используя (П.20) и (П.11), получим выражение для отношения размеров уси-

лий членов коалиции в исхода

(

)

1-a(n-m)

1-an

(Π.21)

i∈C.

1 - a(n - m)

115

Из уравнения (12), свойства (П.3) и вида функции (П.1) следует:

)_am (

)_a(n-m)

λa(

(Π.22)

j ∈NC.

Подставив в правую часть (П.22) выражение для

из (П.20), получим урав-

нение относительно

, решив которое найдем:

(

) am

( λa)1-

(Π.23)

^1-an .

1 - a(n - m)

Из (П.20) и (П.23) следует выражение для отношения усилий члена коалиции

и некооперированного агента:

(Π.24)

i∈C, j ∈NC.

1 - a(n - m)

Для случая, когда n = 100, a = 1/120, m = 10, из (П.21) и (П.24) следует:

1-a

=4^1,5 =8,

= 40. Так как U_j = ¹ⁿ D - σ_j = σj

-σ_j =σ_j

, то с

учетом (П.9) и (П.22) получим:

(

) am

( 120

^1-an =

= 2, j ∈ NC.

1 - a(n - m)

D^Ĉ

(

)

(_1-a

)

Так как

-σⁱ

, то с учетом

(

)

(П.12) и (П.9), получимUi

=¹⁶¹¹ ≈ 1,45.

(1-am)

Таким образом, в результате перехода от исхода

C к равновесному по

Штакельбергу исход

S некооперированные агенты увеличивают свои усилия

в 2 раза, члены коалиции в 8 раз. Выигрыши некооперированных агентов

увеличиваются в 2 раза, а выигрыши членов коалиции возрастает на 45%.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Остром Э. Управляя общим: эволюция институтов коллективной деятельности.

М.: ИРИСЭН, 2011.

2. Капелюшников Р.И. Множественность институциональных миров: Нобелевская

премия по экономике-2009: Препринт WP3/2010/02 (Часть 1). М.: ГУ-ВШЭ,

2010.

3. Holmstrom B. Moral Hazard in Teams // The Bell J. Econom. 1982. V. 13. No. 2.

P. 324-340.

4. Grossman S., Hart O. The Cost and Benefits of Ownership: A Theory of Vertical

and Lateral Integration // J. Polit. Econom. 1986. V. 94. No. 4. P. 691-719.

116

Hart O.D., Moore J. Incomplete Contracts and Renegotiation // Econometrica. 1988.

V. 56. No. 4. P. 755-785.

Тироль Ж. Рынки и рыночная власть: теория организации промышленности.

В 2-х т, т. 1. СПб.: Экономическая школа, 2000.

Фуруботн Э.Г., Рихтер Р. Институты и экономическая теория: Достиже-

ния новой институциональной экономической теории. СПб.: Издательский Дом

СПбГУ, 2005.

Cournot A. Researches into the Mathematical Principles of the Theory of Wealth.

London: Hafner, 1960. (Original 1838.)

Stackelberg H. Marktform und Gleichgewicht.

1934. Wien; placeStateBerlin:

J. Springer.

10.

Anderson S., Engers M. Stacelberg Versus Cournot Oligopoly Equilibrium // Int.

J. Indust. Organizat. 1992. V. 10. No. 1. P. 127-135.

11.

Julien L. Stakcelberg Games. In Handbook of Game Theory and Industial Organi-

sation. 2018. V. 1. Chap. 10. P. 261-311.

12.

Nocke V., Shutz N. (2018). Multiproduct-Firm Oligopoly: An Aggregative Games

Approach // Econometrica. V. 86. No. 2. P. 523-557.

13.

Алгазин Г.И., Алгазина Д.Г. Процессы рефлексии и равновесие в модели оли-

гополии с лидером // АиТ. 2020. № 7. С. 113-128.

Algazin G.I., Algazina D.G. Reflexion Processes and Equilibrium in an Oligopoly

Model with a Leader // Autom. Remote Control. 2020. V. 81. No. 7. P. 1258-1270.

14.

Алгазин Г.И., Алгазина Д.Г. Коллективное поведение в модели Штакельберга

в условиях неполной информации // АиТ. 2017. № 7. С. 91-105.

Algazin G.I., Algazina D.G. Collective Behavior in the Stackelberg Model under

Incomplete Information // Autom. Remote Control. 2017. V. 78. No. 9. P. 1619-1630.

15.

Гераськин М.И. Приближенное вычисление равновесий в нелинейной модели

олигополии Штакельберга на основе линеаризации // АиТ. 2020. № 9. С. 120-143.

Geraskin M.I. Approximate Calculation of Equilibria in the Nonlinear Stackelberg

Oligopoly Model: a Linearization Based Approach // Autom. Remote Control. 2020.

V. 81. No. 9. P. 1659-1678.

16.

Гермейер Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами. М.: Наука, 1976.

17.

Горелов М.А. Модель управления ограничениями деятельности // Проблемы

управления. 2019. № 4. С. 43-49.

18.

Губко М.В., Новиков Д.А. Теория игр в управлении организационными систе-

мами. М.: Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, 2005.

19.

Новиков Д.А. Математические модели формирования и функционирования ко-

манд. М.: Издательство физико-математической литературы, 2008.

20.

Скаржинская Е.М., Цуриков В.И. Модель коллективных действий. Часть 1.

Равновесие, справедливость, эффективность // Экономика и математические

методы. 2017. № 2. С. 118-133.

21.

Скаржинская Е.М., Цуриков В.И. Модель коллективных действий. Часть 2.

Лидирующая коалиция // Экономика и математические методы. 2017. № 4.

С. 89-104.

22.

Huck S., Rey-Biel P. Endogenous Leadership in Teams // J. Institut. Theoret.

Econom. 2006. V. 162. No. 2. P. 253-261.

117

23. Gervais S., Goldstein I. The Positive Effects of Biased Self-Perceptions in Firms //

Review of Finance. 2007. V. 11. No. 3. P. 453-496.

24. Kim J. Endogenous Leadership in incentive Contracts // J. Econom. Behavior Or-

ganizat. 2012. V. 82. No. 1. P. 256-266.

25. Скаржинская Е.М., Цуриков В.И. О возможности последовательного прибли-

жения к равновесию в коалиционной игре при повторении коллективных дей-

ствий // Экономика и математические методы. 2020. № 4. С. 103-115.

26. Скаржинская Е.М., Цуриков В.И. Эндогенное формирование в команде лидер-

ства по Штакельбергу. Эффект образования коалиции // Журн. Новой эконо-

мической ассоциации. 2021. № 1 (49). С. 53-79.

27. Скаржинская Е.М., Цуриков В.И. Экономико-математический анализ эффек-

тивности принципа ¾От каждого - по способностям, каждому - по труду¿ //

Журн. экономической теории. 2017. № 2. С. 110-122.

28. Скаржинская Е.М., Цуриков В.И. Моделирование коллективных действий: зна-

чимость кооперативных соглашений // Российский журнал менеджмента. 2019.

№ 3. С. 337-366.

Статья представлена к публикации членом редколлегии М.В. Губко.

Поступила в редакцию 14.11.2021

После доработки 04.03.2022

Принята к публикации 31.03.2022

118