Автоматика и телемеханика, № 8, 2022
Нелинейные системы
© 2022 г. Э.М. СОЛНЕЧНЫЙ, д-р физ.-мат. наук (solnechn@ipu.ru),
Л.А. ЧЕРЁМУШКИНА, канд. биол. наук (cheremushkina_l@mail.ru)
(Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)
ДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДНОМЕРНОЙ
СИСТЕМЫ ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ ПРИ
ДВИЖУЩЕМСЯ ИСТОЧНИКЕ НАГРЕВА
Для одномерной системы теплопередачи с движущимся источником
тепла вычисляются передаточные и импульсные переходные функции
температуры в системе по отношению к температурам внешней среды
на границах системы, а также реакция температуры на поток тепла от
движущегося источника нагрева. Размеры источника нагрева по сравне-
нию с размерами системы считаются в работе пренебрежимо малыми, что
делает естественным использование аппарата обобщенных функций.
Ключевые слова: система теплопередачи, движущийся источник потока
тепла, передаточная функция, импульсная переходная функция.
DOI: 10.31857/S0005231022080025, EDN: AGGMGI
1. Введение
Использование движущихся источников тепла для нагрева слитков ме-
талла перед прокаткой встречается в металлургии наиболее часто. Поэтому
математическое описание процессов нагрева технических объектов и методов
управления ими как распределенной системой является весьма актуальной
проблемой современности.
Естественным аппаратом для исследования динамики распределенных си-
стем является теория дифференциальных систем уравнений с частными про-
изводными. Наиболее фундаментальные результаты в этой области приведе-
ны, в частности, в [1, 2].
Одной из конкретных технических областей исследования распределен-
ных систем является исследование методов нагрева массивных тел с помощью
движущихся источников тепла. В этой области хорошо известны работы со-
трудников А.Г. Бутковского [3-6], разрабатывавших методы формирования
температурных полей, необходимых для работы технических объектов, с по-
мощью движущихся источников тепла.
Переходные процессы в распределенных системах исследуются, в частно-
сти, в [7].
29
В настоящей работе проводится исследование динамических свойств тем-
пературы в одномерной распределенной системе, подверженной влиянию тем-
ператур внешней среды на границах и тепловому воздействию, производимо-
му движущимся источником тепла. При этом размерами самого источника
тепла в сравнении с размерами нагреваемого объекта считается возможным
пренебречь, и поэтому используется известный аппарат δ-функций Дирака
[8, гл. VI, § 1, п. 83]. В настоящей работе получены выражения для переда-
точных функций и импульсных переходных функций системы по отношению
к температурам внешней среды на границах системы и ко внешнему потоку
тепла.
2. Уравнение передачи тепла в одномерной теплопередающей
среде с движущимся источником тепла
Закон сохранения тепловой энергии в одномерной теплопередающей среде
выражается уравнением [9, гл. II, § 6]
∂T
∂q
(2.1)
cρ
=-
+ Q(x,t),
∂t
∂x
где t - время, x ∈ [0, l] - пространственная координата, T - температура, Q -
внешний поток тепла (на единицу длины), q - тепловой поток в сечении x,
ρ - плотность вещества среды (на единицу длины), c - теплоемкость вещества
среды.
Согласно закону Фурье [9, гл. II, § 6] тепловой поток q определяется соот-
ношением
∂T
(2.2)
q = -λ
,
∂x
где λ - коэффициент теплопроводности среды (считаем его постоянной вели-
чиной).
Тогда из (2.1) и (2.2) следует дифференциальное уравнение процесса на-
грева:
∂T
∂2T
Q(x, t)
(2.3)
=a2
+
,
∂t
∂x2
cρ
где a2 = λ/cρ - коэффициент температуропроводности.
Считая источник тепла движущимся с постоянной скоростью v (на актив-
ном участке движения) и пренебрегая его размерами, вносимый им тепловой
поток Q(x, t) можем выразить с помощью δ-функции Дирака [8, гл. VI, § 1,
п. 83], записав уравнение (2.3) условно в виде
∂T
∂2T
δ(t - x/v)
(2.4)
=a2
+M
,
∂t
∂x2
cρ
30
где M - интенсивность источника тепла; она принимается постоянной вели-
чиной.
Граничные условия задаем в виде
(2.5)
T (0, t) = µ0(t), T (l, t) = µl
(t),
где µ0, µl - заданные функции времени.
3. Решение дифференциального уравнения процесса нагрева
(в изображениях по Лапласу)
Введем обозначение θ(x, p) для изображения по Лапласу функции T (x, ·):
∫∞
θ(x, p) = T (x, p) exp(-pt)dt.
0
Теорема 1. Изображение по Лапласу уравнения (2.4) имеет вид
(
)
∂2θ
M
x
(3.1)
a2
(x, p) - pθ(x, p) = -
exp
-p
,
∂x2
cρ
v
и решение его при преобразованных по Лапласу граничных условиях (2.5)
имеет вид
(
)
(
)
sinh
(l - x)
√p/a
sinh
x√p/a
(3.2) θ(x, p) = θ(0, p)
(
+ θ(l,p)
(
sinh
l√p/a)
sinh
l√p/a)+
2
( (
M v
x)
+
exp
-p
-
cρ p(v2 - a2p)
v
(
)
√
(
))
sinh
(l - x)√p/a
sinh(x
p/a)
pl
-
(
-
-
sinh
l√p/a)
sinh(l√p/a)exp
v
Доказательство теоремы 1 см. в Приложении 1.
4. Реакции температуры в системе на входные воздействия
Теорема 2. Реакция температуры T(x,·) на граничное воздействие µα
(α = 0, l) определяется сверткой [8, гл. VI, § 1, п. 81] функций µα и импульс-
ной переходной функции [1, гл. 2, § 8] wα(x,·) по каналу µα → T(x,·):
∫t
(4.1)
(µα ∗ wα(x, ·)) (t) = µα(τ)wα
(x, t - τ)dτ.
0
31
Функция wα вычисляется как сумма ряда
∑
(4.2)
wα(x,t) = s (t)
bαn(x)exp(pn
t),
n=1
где
(
)
)2
(α
ξα(x)
bαn(x) = 2(-1)n+1
πn sin
πn
,
l
l
{
0 при t < 0,
ξ0(x) = l - x, ξl (x) = x, s(t) =
1 при t ≥ 0.
Доказательство теоремы 2 см. в Приложении 2.
Теорема 3. Реакция TM (x,·) температуры T (x,·) в системе на тепло-
вое воздействие движущегося источника нагрева вычисляется следующим
образом:
∑
M
(4.3)
TM (x,t) =
Rj
(x, t),
cρ
j=1
где
(
)2 (
x)(
((v
x)))
R1(x,t) = s t -
1 - exp
t-
,
v
a
v
(
)
)2 )
∑
((v
R2(x,t) = s(t) r20(x) + r2v(x)exp
t
+ r2n(x)exp(pnt)
,
a
n=1
(
)
2
l-x
sinh
(l - x)v/a
r20 (x) = -
,
r2v(x) =
,
l
sinh(lv/a2)
2 (lv)2 sin (πn(l - x)/l)
r2n(x) = (-1)n+1
;
πn a4(πn)2 + (lv)2
(
)(
(
))
)2
l
((v
l
R3(x,t) = s t -
r30(x) + r3v(x)exp
t-
+
v
a
v
(
(
)))
∑
l
+ r3n(x)exp pn t -
;
v
n=1
x
sinh(xv/a2)
2 (lv)2 sin (πnx/l)
r30 (x) = -
,
r3v(x) =
,
r3n(x) = (-1)n+1
l
sinh(lv/a2)
πn a4(πn)2 + (lv)2
Доказательство теоремы 3 см. в Приложении 3.
32
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Так как преобразование δ-функции по Лапласу, сдвинутой вправо наxv ,
имеет вид [8, гл. VI, § 1, п. 83]
∞
∫
(
(
x)
x)
(Π.1.1)
δ t-
exp(-pt)dt = exp
-p
,
v
v
0
преобразование по Лапласу уравнения (2.4) имеет вид
(
)
∂2θ
M
x
(Π.1.2)
a2
(x, p) - pθ(x, p) = -
exp
-p
∂x2
cρ
v
Как легко проверить, фундаментальную систему решений однородного
уравнения, соответствующего уравнению (П.1.2), могут составить гиперболи-
ческие функции cosh(x√p/a) и sinh(x√p/a). Общее решение этого однород-
(x
ного уравнения можно представить в виде A(p) cosh
√p)+B(p)sinh(xa√p),
a
где A и B - произвольные функции от p. Частное же решение уравнения
(П.1.2) ищем в виде
(
M
x)
(Π.1.3)
ϕ(x, p) = C(p)
exp
-p
,
cρ
v
где функция C определяется из условия удовлетворения функции ϕ(x, p)
(p)2
(
)
∂2
уравнению (П.1.2). Так как
ϕ(x, p) = C(p)M
exp
-pxv
, подстановка
∂x2
cρ v
функции ϕ в (П.1.2) приводит к равенству
)2
(
(
(
M(p
x)
M
x)
M
x)
a2C(p)
exp
-p
- pC(p)
exp
-p
=-
exp
-p
,
cρ v
v
cρ
v
cρ
v
из которого определяется функция C:
2
1
v
(Π.1.4)
C(p) = -
=
a2(p/v)2 - p
p(v2 - a2p)
, и общее решение системы (3.1)
a2p)
имеет вид
(
)
)
x
x
(Π.1.5)
θ(x, p) = A(p) cosh
√p + B(p)sinh(
√p +Mexp(-px/v)
a
a
cρ p(v2 - a2p)
Функции A и B определяются с помощью граничных условий (2.5):
2
M v
(Π.1.6)
A(p) = θ(0, p) -
,
cρ p(v2 - a2p)
33
[
1
(l√p)
(Π.1.7)
B(p) =
+
sinh(l√p/a)θ(l,p)-θ(0,p)cosh
a
(
(
))]
2
M v
(l√p)
pl
+
cosh
- exp
-
cρ p(v2 - a2p)
a
v
Таким образом, решение уравнения (П.1.2), соответствующее граничным
условиям (2.5), имеет вид
[
x√p
l√p
x√p]
(Π.1.8)
θ(x, p) = θ(0, p) cosh
- coth
sinh
+
a
a
a
(
)
[
2
(
sinh
x√p/a
Mv
px)
+ θ(l,p)
(
) +
exp
-
-
sinh
l√p/a
cρp(v2 - a2p)
v
(
)
(
√
(
))]
x√p
sinh
x√p/a
l
p
pl
- cosh
+
(
- exp
-
a
sinh
l√p/a)cosh
a
v
В силу соотношения между гиперболическими функциями
sinh(l√p/a)cosh(x√p/a) - cosh(l√p/a)sinh(x√p/a) = sinh((l - x)√p/a)
[10, п.2.5.2.3.3] получаем выражение (3.2) для решения уравнения (3.1), при-
веденное в формулировке теоремы 1.
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Импульсная переходная функция оператора µα → T (x, ·) (α = 0, l) опреде-
ляется как оригинал передаточной функции (см. (3.2))
(
)
sinh
ξα (x)
√p/a
(Π.2.1)
Wα (x,p) =
(
,
где ξ0(x) = l - x, ξl
(x) = x.
sinh
l√p/a)
(
Функция sinh
l√p/a) имеет нули вида pn = -(aπn/l)2 (n ≥ 0).
Построим правильную [8, гл. V, § 1, п. 71] систему {Ln, n ≥ 0} контуров
в виде окружностей с центром в нуле комплексной плоскости C. Так как
Wα(x,0) = ξα(x)/l и значения функций Wα (x,·) на контурах Ln стремятся к
нулю при n → ∞, то, согласно теореме Коши [8, гл. V, § 1, п. 71], эти функ-
ции могут быть представлены суммами сходящихся рядов, составленных из
главных частей этих функций в полюсах pn (n ≥ 1):
∑
bαn(x)
(Π.2.2)
Wα(x,p) =
,
p-pn
n=1
где
a√ sinh(ξα (x)
√pn/a)
bαn(x) = resWα(x,·) = 2
pn
=
pn
l
cosh(l√pn/a)
(
)
)2
(a
ξα(x)
= 2(-1)n+1
πn sin
πn
l
l
34
Таким образом, импульсная переходная функция wα (x, ·) оператора
µα → T (x,·) может быть представлена в виде
∑
(Π.2.3)
wα(x,t) = s(t)
bαn(x)exp(pn
t), где s (t) - см. раздел 4.
n=1
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
Изображение по Лапласу реакции температуры T (x, ·) на воздействие
M
δ (t - x/v) может быть представлено согласно (3.2) в виде
cρ
2
∑
Mv
(Π.3.1)
θM (x,p) =
Fj
(x, p),
cρp (v2 - a2p)
j=1
где
(
)
(
x)
sinh
(l - x)
√p/a
F1(x,p) = exp
-p
,
F2(x,p) = -
(
,
v
sinh
l√p/a)
(
√
)
(
)
sinh
x
p/a
pl
F3(x,p) = -
(
-
sinh
l√p/a)exp
v
Используя выражения для Wα в (П.2.1), получаем, что функция F2(x, p)
может быть представлена в виде -W0(x, p), а функция F3(x, p) в виде
-Wl(x,p)exp(-pl/v).
1) Так как умножение функции F (p) на exp (-pτ) (τ ≥ 0) означает сдвиг
графика оригинала этой функции вправо на τ [8, гл. VI, § 1, п. 80], ориги-
(
)
1
1
= exp(-px/v)
-
, входящей в выражение
(v2-a2p)
p
p-(v/a)2
(П.3.1) для θM (x, p), имеет вид
(
)2 (
x)(
((v
x)))
(Π.3.2)
R1(x,t) = s t -
1 - exp
t-
v
a
v
2) Так как функция F2 (x, ·) имеет вид
-W0 (x,·), функция
F2(x,p)v2/p(v2 - a2p), также входящая в выражение (П.3.1) для θM (x,p),
√p/a)
представляется в виде f2(x, p) =(v/a)2 sinh((l-√
и потому может
p(p-(v/a)2 ) sinh(l
p/a)
быть представлена суммой ряда, составленного из главных частей функции
f2(x,·):
∑
r20(x)
r2v(x)
r2n(x)
(Π.3.3)
f2(x,p) =
+
+
,
p
p - (v/a)2
p-pn
n=1
где
(
)
2
l-x
sinh
(l - x)v/a
r20 (x) = resf2 (x,·) = -
,
r2v(x) = res
f2(x,·) =
,
0
l
(v/a)2
sinh(lv/a2)
2 (lv)2 sin (πn(l - x)/l)
r2n(x) = resf2(x,·) = (-1)n+1
pn
πn a4(πn)2 + (lv)2
35
(
)
Следовательно, оригинал функции F2(x, p)v2/p
v2 - a2p
может быть
представлен в виде суммы ряда
(
)
)2 )
∑
((v
(Π.3.4) R2(x, t) = s(t) r20(x) + r2v(x) exp
t
+ r2n(x)exp(pnt)
a
n=1
3) Функция F3(x, p) представляется в виде -Wl(x,p)exp(-pl/v), где
Wl(x,p)
см. (П.2.1). Поэтому функция F3(x, p)v2/p(v2 - a2p), также вхо-
дящая в выражение (П.3.1) для θM (x, p), может быть представлена в виде(
)
f3(x,p)exp
-pl
, где
v
2
(v/a)
sinh(x√p/a)
f3(x,p) =
p(p - (v/a)2) sinh(l√p/a).
Функция f3 (x, p) имеет вид, аналогичный виду функции f2, (отличие лишь
в числителе) и потому может быть представлена суммой ряда, аналогичного
ряду (П.3.3), чья сумма представляет функцию f2(x, p):
∑
r30(x)
r3v(x)
r3n(x)
(Π.3.5)
f3(x,p) =
+
+
,
p
p - (v/a)2
p-pn
n=1
где
(
)
2
x
sinh
xv/a
r30 (x) = resf3 (x,·) = -
,
r3v (x) = res
f3(x,·) =
,
0
l
(v/a)2
sinh(lv/a2)
2 (lv)2 sin (πnx/l)
r3n(x) = res
f3(x,·) = (-1)n+1
pn
πn a4(πn)2 + (lv)2
Следовательно, оригинал функции
(
) (
)
2
∑
v
r30(x)
r3v(x)
r3n(x)
pl
F3(x,p)
=
+
+
exp
-
p(v2 - a2p)
p
p - (v/a)2
p-pn
v
n=1
имеет вид
(
)(
(
))
)2
l
((v
l
(Π.3.6) R3(x, t) = s t -
r30(x) + r3v(x)exp
t-
+
v
a
v
( (
)))
∑
l
+
r3n(x)exp pn t -
v
n=1
4) Таким образом, реакция TM (x, ·) исследуемой системы вида (2.4) на
внешнее воздействие Mδ(t - x/v)/cρ может быть представлена в следующем
виде:
∑
M
(Π.3.7)
TM (x,t) =
Rj
(x, t),
cρ
j=1
где R1(x, t) см. (П.3.2), R2(x, t) см. (П.3.4), R3(x, t) см. (П.3.6).
36
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными парамет-
рами. М.: Наука, 1975.
2.
Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями
с частными производными. Перевод с французского. М.: Мир, 1972.
Lions J.L. Contrôle optimal des systèmes gouvernés par des equations aux derivées
partielles. Paris: Dunod Gauthier-Villars, 1968.
3.
Кубышкин В.А., Финягина В.И. Оптимизация температурных режимов элек-
тродов плазмотронов методами подвижного управления // Проблемы управле-
ния. 2009. № 5. С. 53-60.
4.
Финягина В.И. Метод подстановки в решении двумерной задачи нагрева тел
с помощью подвижных источников тепла // Проблемы управления. 2010. № 1.
С. 57-63.
5.
Финягина В.И. Расчет аппроксимирующих функций двумерных температурных
полей в задачах управления подвижными источниками воздействий // Пробле-
мы управления. 2010. № 4. С. 79-85.
6.
Финягина В.И. Многоцикловое подвижное управляющее воздействие в решении
двумерных задач нагрева тел // Проблемы управления. 2012. № 1. С. 47-54.
7.
Кадымов Я.Б. Переходные процессы в системах с распределенными параметра-
ми. М.: Наука, 1968.
8.
Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного перемен-
ного. М.: Лань, 2002.
9.
Арсенин В.Я. Математическая физика. Основные уравнения и специальные
функции. М.: Наука, 1966.
10.
Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и
учащихся втузов. Совместное издание Лейпциг: Тойбнер, М.: Наука, 1981.
Статья представлена к публикации членом редколлегии А.Г. Кушнером.
Поступила в редакцию 28.10.2021
После доработки 27.03.2022
Принята к публикации 28.04.2022
37
