Автоматика и телемеханика, № 8, 2022

Стохастические системы

Л.А. НЕЖЕЛЬСКАЯ, д-р физ.-мат. наук (ludne@mail.ru)

(Национальный исследовательский Томский

государственный университет)

АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ

ОДНОЛИНЕЙНОЙ СМО С ВХОДЯЩИМ

АСИНХРОННЫМ ПОТОКОМ СОБЫТИЙ

Рассматривается однолинейная система массового обслуживания с

входящим асинхронным дважды стохастическим потоком запросов

(ММРР-поток Markovian Modulated Poisson Process) с двумя состоя-

ниями. Приводятся явные аналитические формулы для стационарного

распределения вероятностей состояний системы, а также явные аналити-

ческие выражения для числовых характеристик системы: средней длины

очереди, среднего числа запросов в системе, вероятности простоя систе-

мы. Приводятся численные результаты, представленные в виде таблиц,

характеристик системы. Рассматривается частный случай входящего по-

тока запросов асинхронный альтернирующий поток с двумя состоя-

ниями (SPP-поток Switched Poisson Process).

Ключевые слова: асинхронный поток (ММРР-поток) запросов, одноли-

нейная система массового обслуживания (СМО), стационарное распреде-

ление вероятностей состояний системы, числовые характеристики.

DOI: 10.31857/S0005231022080049, EDN: AGTWDG

1. Введение

Системы и сети массового обслуживания (СМО и СеМО) широко при-

меняются в качестве математических моделей различных технических, фи-

зических, экономических и других систем. Случайные потоки событий, яв-

ляющиеся основными элементами СМО и СеМО, применяются в качестве

математических моделей различных реальных процессов, протекающих в та-

ких системах. В частности, случайные потоки событий служили и служат

математическими моделями информационных потоков запросов в телеком-

муникационных сетях.

Современными математическими моделями информационных потоков в

телекоммуникационных сетях являются коррелированные потоки. Система-

тизированное изложение СМО и СеМО с коррелированными потоками при-

ведено в монографии [1], в своем роде единственной в мировой литературе.

Здесь отметим, что в подавляющем большинстве работ по исследованию

СМО и СеМО до 80-х гг. прошлого века в качестве входящих потоков собы-

тий рассматривались стационарные пуассоновские потоки событий. Однако

в связи с интенсивным развитием вычислительной техники, спутниковых,

компьютерных, беспроводных и мобильных сетей связи модель простейше-

го потока перестала быть адекватной реальным информационным потокам

сообщений. Поэтому в это же время была предпринята успешная попытка

создания адекватных математических моделей информационных потоков в

телекоммуникационных системах и сетях так называемых дважды сто-

хастических потоков. Дважды стохастические потоки можно разделить на

два класса: первый класс составляют потоки, сопровождающий процесс (ин-

тенсивность) которых есть непрерывный случайный процесс [2, 3]; второй

потоки, сопровождающий процесс (интенсивность) которых есть кусочно-по-

стоянный случайный процесс с конечным (произвольным) числом состояний.

Первые результаты исследований потоков второго класса были опубликова-

ны практически одновременно в 1979 г. в [4-6]. В [4, 5] указанные потоки

получили название MC(Markov chain)-потоки, в [6] MVP(Markov versatile

processes)-потоки. В [7, 8] описанные выше потоки названы MAP(Markovian

Arrival Process)-потоками событий.

Зарубежными и отечественными авторами при описании подобных входя-

щих коррелированных потоков событий в СМО и СеМО используются тер-

мины: дважды стохастические потоки событий, MAP-потоки, MC-потоки и

др. В зависимости от того, каким образом происходит переход интенсивно-

сти из состояния в состояние, MC-потоки можно разделить на три типа: син-

хронные потоки (у которых состояние интенсивности меняется в случайные

моменты времени, являющиеся моментами наступления событий) [9]; асин-

хронные потоки (с интенсивностью, для которой переход из состояния в со-

стояние происходит в случайные моменты времени и не зависит от моментов

наступления событий) [10]; полусинхронные потоки (у которых одна часть

состояний интенсивности меняется в моменты наступления событий потока,

другая часть в произвольные моменты времени, не связанные с момен-

тами наступления событий потока) [11]. Аналитическое исследование СМО

и СеМО с коррелированными потоками достаточно затруднительный про-

цесс [1], тем более нахождение, скажем, характеристик СМО и СеМО в явном

виде представляет собой сложную задачу, порой неразрешимую.

В настоящей статье проводится аналитическое исследование однолиней-

ной СМО с входящим асинхронным потоком событий с двумя состояниями

[10, 12-14] (MMPP-поток с двумя состояниями [1]), являющимся частным

случаем MAP-потока, с бесконечным числом мест для ожидания и экспонен-

циальным обслуживанием.

Для стационарного режима функционирования СМО выводятся явные

аналитические выражения средней длины очереди, среднего числа сообще-

ний в системе и вероятности простоя системы.

Подчеркнем, что исследования, связанные с анализом СМО и СеМО с

входящими MMPP-потоками запросов либо их модификациями, проводят-

ся с 80-х гг. прошлого века до настоящего времени. Кроме [10, 12-14] от-

метим статьи [15, 16], где рассматриваются СеМО с собственно входящими

MMPP-потоками запросов. Начиная с 2010 г. по настоящее время рассматри-

ваются в основном СМО и СеМО с входящими MAP-потоками запросов [17]

либо с разновидностями MMPP-потоков [18]. Общим для работ [15-18] явля-

ется проводимый в них численный анализ СМО и СеМО.

2. Математическая модель системы. Постановка задачи

Рассматривается однолинейная СМО с ожиданием и длительностью обслу-

живания, распределенной по экспоненциальному закону F (τ) = 1-exp {-µτ},

τ ≥ 0, с параметром µ (µ ≥ 0). На вход обслуживающего прибора поступает

асинхронный поток событий (сообщений, запросов и т.д.), сопровождающий

процесс (интенсивность) λ(t) которого есть кусочно-постоянный случайный

процесс с двумя состояниями: λ(t) = λ₁ (первое состояние) либо λ(t) = λ₂

(второе состояние) (λ₁ > λ₂ > 0). Будем говорить, что имеет место j-е состоя-

ние процесса λ(t), если λ(t) = λ_j, j = 1, 2. Если имеет место j-е состояние

процесса λ(t), то в течение временного интервала, когда λ(t) = λ_j , имеет ме-

сто пуассоновский поток событий с параметром (интенсивностью) λ_j , j = 1, 2.

Длительность пребывания процесса λ(t) (потока) в j-м состоянии распреде-

лена по экспоненциальному закону с параметром α_j > 0, j = 1, 2. Таким об-

разом, переход из состояния в состояние процесса λ(t) осуществляется в про-

извольный момент времени, не связанный с моментом наступления события

пуассоновского потока с параметром λ_j , j = 1, 2 (свойство асинхронных пото-

ков). Описанное выше поведение входящего асинхронного потока определяет

его как MMPP-поток событий со скачкообразно изменяющейся интенсивно-

стью λ(t) [1].

Рассматривается стационарный режим функционирования СМО. В сде-

ланных предпосылках λ(t) сопровождающий стационарный кусочно-посто-

янный скрытый (принципиально ненаблюдаемый) транзитивный марковский

процесс с двумя состояниями λ₁ и λ₂.

Обозначим: τ_k = t_k+1 - t_k, k = 1, 2, . . . , значение длительности k-го ин-

тервала между соседними событиями потока (τ_k ≥ 0). Так как рассматрива-

ется стационарный режим, то плотность вероятности значений длительности

k-го интервала равна p(τ_k) = p(τ), τ ≥ 0, для любого k ≥ 1. В силу этого мо-

мент времени t_k без потери общности можно положить равным нулю или, что

то же самое, момент наступления события есть τ = 0. В [19] получено явное

выражение для плотности вероятности p(τ):

(1) p(τ) = γz₁e-z1τ + (1 - γ)z₂e-z2τ ,

(

)

λ²¹α₂ + λ²²α₁

τ ≥ 0, γ =

z₂ -

z₂ - z₁

λ₁α₂ + λ₂α₁

[

√

]

z_1,2 =

(λ₁ + α₁ + λ₂ + α₂) ∓

(λ₁ - λ₂ + α₁ - α₂)² + 4α₁α₂

В (1) z₁, z₂ корни характеристического уравнения z² - (λ₁ + λ₂ + α₁ +

+ α₂)z + (λ₁ + α₁)(λ₂ + α₂) - α₁α₂ = 0, при этом из вида z₁,z₂ следует, что

0 < z₁ < z₂, γ некоторый коэффициент.

Пусть (t_k, t_k+1), (t_k+1, t_k+2) два смежных интервала, значения длитель-

ностей которых есть τ_k = t_k+1 - t_k, τ_k+1 = t_k+2 - t_k+1 соответственно; их рас-

положение на временной оси в силу стационарности потока произвольно.

Тогда, полагая k = 1, будем рассматривать два соседних интервала (t₁, t₂),

(t₂, t₃) с соответствующими значениями длительностей τ₁ = t₂ - t₁, τ₂ =

= t₃ - t₂; τ₁ ≥ 0, τ₂ ≥ 0. При этом τ₁ = 0 соответствует моменту t₁ наступ-

ления события потока; τ₂ = 0 соответствует моменту t₂ наступления следую-

щего события потока. Соответствующая совместная плотность вероятности

при этом есть [19]

λ₁λ₂α₁α₂(λ₁ - λ₂)

(2) p(τ₁, τ₂) = p(τ₁)p(τ₂) +

(z₁e-z1τ¹ - z₂e-z2τ¹ ) ×

(z₂ - z₁)²(λ₁α₂ + λ₂α₁)²

× (z₁e-z1τ² - z₂e-z2τ² ), τ₁ ≥ 0, τ₂ ≥ 0,

где z₁, z₂, p(τ_k) определены в (1) для τ = τ_k, k = 1, 2.

Подчеркнем, что из (2) следует, что в общем случае асинхронный поток яв-

ляется коррелированным потоком. Только в частных случаях он становится

рекуррентным либо вырождается в простейший.

Частный случай 1: λ₂ = 0 асинхронный альтернирующий поток с двумя

состояниями [20] (SPP-поток [21]). Тогда p(τ) определяется формулой (1), где

α₁ + α₂

γ=1+

z₂ - z₁

[

√

]

z_1,2 =

(λ₁ + α₁ + α₂) ∓

(λ₁ + α₁ - α₂)² + 4α₁α2 ;

0<z₁ <z₂.

Из (2) получаем p(τ₁, τ₂) = p(τ₁)p(τ₂). Так как моменты наступления со-

бытий в потоке t₁, . . . , t_k порождают вложенную цепь Маркова {λ(t_k)}, то

нетрудно показать, что p(τ₁, . . . , τ_k) = p(τ₁) . . . p(τ_k), k ≥ 2. Таким образом,

асинхронный альтернирующий поток c двумя состояниями всегда является

рекуррентным.

Частный случай 2: λ₁ = λ₂ простейший поток с параметром λ₁. Из (1)

находим z₁ = λ₁, z₂ = λ₁ + α₁ + α₂, γ = 1; p(τ) = λ₁e-λ1τ , τ ≥ 0.

Частный случай 3: α₁ = 0 простейший поток с параметром λ₁. Из (1)

получаем z₁ = λ₂ + α₂, z₂ = λ₁, γ = 0; p(τ) = λ₁e-λ1τ , τ ≥ 0.

Частный случай 4: α₂ = 0 простейший поток с параметром λ₂. Из (1)

находим z₁ = λ₂, z₂ = λ₁ + α₁, γ = 1; p(τ) = λ₂e-λ2τ , τ ≥ 0.

Задача анализа рассматриваемой СМО заключается в нахождении явного

аналитического вида числовых характеристик системы: а) среднего числа

сообщений в очереди, б) среднего числа сообщений в системе, в) вероятности

простоя обслуживающего прибора.

(-1,1)

l₁

(0,1)

l₁

(1,1)

(i - 1,1)

l₁

(i, 1)

l₁

(i + 1,1)

a₁

a₂

l₂

a₁

a₂

l₂

a₁

a₂

a₁

a₂

l₂

a₁

a₂

l₂

a₁

a₂

(-1,2)

(0,2)

(1,2)

(i - 1,2)

(i, 2)

m (i + 1,2)

Рис. 1. Стохастический граф переходов процесса λ(t) из состояния в состояние.

Обозначим через i(t) число сообщений в очереди в произвольный момент

времени t (i(t) = 0, 1 . . .). Случайный процеcc i(t) не является марковским,

так как входящий асинхронный поток обладает поcледейcтвием. Для того

чтобы построить марковский процесс, необходимо учесть состояние входяще-

го потока.

Введем дополнительную переменную j(t) состояние входящего асин-

хронного потока (состояние сопровождающего процесса λ(t) в произвольный

момент времени t), j(t) = 1, 2. Если j(t) = 1, то λ(t) = λ₁; если j(t) = 2, то

λ(t) = λ₂. Тогда двумерный процесс (i(t), j(t)) становится марковским. Так

как рассматривается стационарный режим, то состояние системы будем обо-

значать как (i, j), i = 0, 1, . . . , j = 1, 2. Отметим, что возможны еще два со-

стояния: (-1, 1), (-1, 2), при которых в системе находится ноль сообщений

(длина очереди равна нулю и прибор не обслуживает прибор простаивает).

Сделанные предпосылки позволяют представить математическую модель

исследуемой СМО в виде связного стохастического графа [22], представлен-

ного на рис. 1.

Здесь вершинам графа соответствуют состояния СМО; каждой дуге гра-

фа поставлены в соответствие интенсивности переходов из состояния в со-

стояние (инфинитезимальные характеристики), причем петли в каждом со-

стоянии опущены; каждая вершина графа (каждое состояние) достижима и

возвратна.

3. Вывод числовых характеристик системы

Обозначим через P (i, 1), P (i, 2) стационарные (финальные) вероятности

состояний системы (i = -1, 0, . . .). Тогда для сечений стохастического графа

Fi1 = {(i- 1, 1; i, 1), (i, 1; i- 1, 1), (i, 1; i + 1, 1), (i + 1, 1; i, 1), (i, 1; i, 2), (i, 2; i, 1)},

Fi2 = {(i - 1, 2; i, 2), (i, 2; i - 1, 2)(i, 2; i + 1, 2), (i + 1, 2; i, 2), (i, 2; i, 1), (i, 1; i, 2)},

i = 0,1,..., имеет место бесконечная система разностных уравнений с посто-

янными коэффициентами:

(3)

µP(i + 1,1) - (λ₁ + α₁ + µ)P(i,1) + λ₁P(i - 1,1) + α₂

P (i, 2) = 0,

µP(i+1,2)-(λ₂ +α₂ +µ)P(i,2)+λ₂P(i-1,2)+α₁P(i,1) = 0, i = 0,1,

Решение системы

(3) будем искать в виде P (i, 1) = ξⁱ, P (i, 2) = Cξⁱ

(i = 0, 1, . . .). Тогда характеристическое уравнение для системы (3) примет

вид

{

(4) (ξ - 1) µ²ξ³ - µ(λ₁ + α₁ + λ₂ + α₂ + µ)ξ² +

}

+ [λ₁λ₂ + λ₁(α₂ + µ) + λ₂(α₁ + µ)] ξ - λ₁λ₂

= 0.

Сначала рассмотрим условия существования вероятностей P (i, 1), P (i, 2),

i = -1,0,... (условия существования стационарного режима функционирова-

ния рассматриваемой СМО). Математическое ожидание случайной величины

τ длительности интервала между соседними событиями в асинхронном по-

токе определится в виде

∫∞

M (τ ) = τp(τ) dτ ,

где плотность вероятности p(τ) задана в

(1). Подставляя в выраже-

ние для M(τ ) плотность p(τ), находим M(τ ) = (α₁ + α₂)/(λ₁α₂ + λ₂α₁).

Тогда математическое ожидание числа событий во входящем коррели-

рованном асинхронном потоке в единицу времени определится в виде

λ = 1/M(τ) = λ₁π₁ + λ₂π₂, где π_j стационарная вероятность j-гo состоя-

ния потока, j = 1, 2; при этом π₁ = α₂/(α₁ + α₂), π₂ = α₁/(α₁ + α₂) [10].

Рассмотрим ситуацию, когда λ = µ. Подставляя µ = λ₁π₁ + λ₂π₂ в (4), на-

ходим характеристическое уравнение для рассматриваемой ситуации:

[

(5) (ξ - 1)² (λ₁π₁ + λ₂π₂)² ξ² -

]

- (λ₁ + α₁ + λ₂ + α₂) (λ₁π₁ + λ₂π₂) ξ + λ₁λ₂

= 0.

Характеристическое уравнение (5) имеет кратные корни. Тогда общее реше-

ние системы разностных уравнений (3), в которой µ = λ₁π₁ + λ₂π₂, выража-

ется в виде

P (i, 1) = D₁ξⁱ¹ + D₂iξⁱ² + D₃ξⁱ³ + D₄ξⁱ⁴,

(6)

P (i, 2) = B₁D₁ξⁱ¹ + B₂D₂iξⁱ² + B₃D₃ξⁱ³ + B₄D₄ξⁱ⁴, i = 0, 1,

В (6) P_s(i, 1) = D_sξ^is; P_s(i, 2) = B_sD_sξ^is

частные решения системы (3);

B_s,D_s некоторые константы, определяемые из граничных условий, s = 1,4;

ξ₁ = ξ₂ = 1,

√

(λ₁ + α₁ + λ₂ + α₂) ∓

(λ₁ + α₁ + λ₂ + α₂)² - 4λ₁λ₂

ξ_3,4 =

0<ξ₃ <1<ξ₄.

2(λ₁π₁ + λ₂π₂)

Поскольку P (i, 1), P (i, 2)

вероятности, то для них должно выпол-

∑

няться условие нормировки

P (i, 1) +

P (i, 2) = 1. Тогда необходи-

i=-1

мым условием ее выполнения является выполнение предельных соотноше-

ний: lim P (i, 1) = 0, lim P (i, 2) = 0 при i → ∞. В противном случае ряды

∑

P (i, 1),

P (i, 2) будут расходиться. С учетом сказанного общее ре-

i=-1

шение (6), где D₁ = D₂ = D₄ = 0, запишется в виде

(7)

P (i, 1) = D₃ξⁱ³, P (i, 2) = B₃D₃ξⁱ³

i = 0,1,

Определим константу B₃. Подставляя (7) в первое уравнение системы (3),

в котором µ = λ₁π₁ + λ₂π₂, получаем

(8)

B₃ = [λ₁ + α₁ + (λ₁π₁ + λ₂π₂) (1 - ξ₃) - (λ₁/ξ₃)] /α₂.

Подставляя в (8) явные выражения для π₁, π₂, ξ₃, находим

[

B₃ = -

(λ₁ - λ₂)² + (λ₁ + λ₂)(α₁ + α₂) +

2λ₂(α₁ + α₂)

√

]

+ (λ₁ - λ₂)

(λ₁ + α₁ + λ₂ + α₂)² - 4λ₁λ₂ .

Таким образом, B₃ < 0. Тогда из (7) следует, что D₃ < 0. Последнее, в свою

очередь, приводит к противоречию: P (i, 1) < 0, i ≥ 0; P (i, 2) > 0, i ≥ 0. Про-

тиворечие устраняется, если положить D₃ = 0 : P (i, 1) = P (i, 2) = 0, i ≥ 0.

Отсюда следует, что при λ = µ стационарное распределение P (i, 1), P (i, 2),

i ≥ 0, не существует и тем более не существует при λ > µ.

Перейдем к случаю λ < µ (λ = λ₁π₁ + λ₂π₂). Общее решение системы (3)

с учетом (4) выпишется в виде

P (i, 1) = A₁ξⁱ¹ + A₂ξⁱ² + A₃ξⁱ³ + A₄ξⁱ⁴,

(9)

P (i, 2) = C₁A₁ξⁱ¹ + C₂A₂ξⁱ² + C₃A₃ξⁱ³ + C₄A₄ξⁱ⁴, i = 0, 1, . . . ,

где P_s(i, 1) = A_sξ^is; P_s(i, 2) = C_sA_sξ^is частные решения cиcтемы (3); C_s, A_s

некоторые константы, определяемые из граничных условий, s = 1, 4; ξ₄ = 1;

ξ₁,ξ₂,ξ₃

корни кубического уравнения

(10) µ²ξ³ - µ(λ₁ + α₁ + λ₂ + α₂ + µ)ξ² +

+ [λ₁λ₂ + λ₁(α₂ + µ) + λ₂(α₁ + µ)] ξ - λ₁λ₂ = 0.

Можно показать, что все корни уравнения (10) вещественные и положи-

тельные: 0 < ξ₁ < ξ₂ < 1 < ξ₃. Как отмечено выше, необходимо выполнение

предельных соотношений lim P (i, 1) = lim P (i, 2) = 0 при i → ∞, откуда сле-

дует, что A₃ = A₄ = 0. Тогда общее решение (9) примет вид

(11)

P (i, 1) = A₁ξⁱ¹ + A₂ξⁱ²; P (i, 2) = C₁A₁ξⁱ¹ + C₂A₂ξⁱ²

i = 0,1,

Подставляя частное решение P_s(i, 1) = A_sξ^is, P_s(i, 2) = C_sA_sξ^is, i = 0, 1, . . . ,

s = 1,2, в первое уравнение системы (3) сначала для s = 1, затем для s = 2,

находим константу C_s в виде

(12)

C_s = [λ₁ + α₁ + µ - µξ_s - (λ₁/ξ_s)] /α₂

s = 1,2.

Для определения констант A_i, i = 1, 2, и вероятностей P (-1, 1), P (-1, 2) нуж-

но привлечь граничные уравнения и условие нормировки.

Сечения стохастического графа

F-1,1 = {(-1, 1; 0, 1), (0, 1; -1, 1), (-1, 1; -1, 2), (-1, 2; -1, 1)},

F-1,2 = {(-1, 2; 0, 2), (0, 2; -1, 2), (-1, 2; -1, 1), (-1, 1; -1, 2)},

F = {(i,1;i,2),(i,2;i,1),i = -1,0,1,...} соответственно определяют гра-

ничные уравнения:

(13) (λ₁ + α₁)P (-1, 1) = µP (0, 1) + α₂P (-1, 2), (λ₂ + α₂)P (-1, 2) =

∑

= µP(0,2) + α₁P(-1,1),α₁P(-1,1) + α₁

P (i, 1) =

i=0

∑

= α₂P(-1,2) + α₂ P(i,2).

i=0

Присоединяя к (13) условие нормировки

∑

P (-1, 1) + P (-1, 2) +

[P (i, 1) + P (i, 2)] = 1,

i=0

с учетом (11) получаем систему уравнений для определения неизвестных A_i,

i = 1,2, P(-1,1), P(-1,2). Решая (13), находим

(14)

P (-1, 1) = (µ/a)(λ₂ + α₂ + α₂C₁)A₁ + (µ/a)(λ₂ + α₂ + α₂C₂)A₂,

P (-1, 2) = (µ/a)[α₁ + (λ₁ + α₁)C₁]A₁ + (µ/a)[α₁ + (λ₁ + α₁)C₂]A₂,

(1/ξ₂) - (µ/a)(λ₂ + α₂ + α₂C₂)

A₁ = λ₁

(α₁ + α₂)(b₁a₂ - a₁b₂)

(1/ξ₁) - (µ/a)(λ₂ + α₂ + α₂C₁)

A₂ = -λ₁

(α₁ + α₂)(b₁a₂ - a₁b₂)

a = λ₁λ₂ + λ₁α₂ + λ₂α₁; a₁ = (µ/a)(λ₂ + α₂ + α₂C₁) + 1/(1 - ξ₁);

a₂ = (µ/a)[α₁ + (λ₁ + α₁)C₁] + C₁/(1 - ξ₁);

b₁ = (µ/a)(λ₂ + α₂ + α₂C₂) + 1/(1 - ξ₂);

b₂ = (µ/a)[α₁ + (λ₁ + α₁)C₂] + C₂/(1 - ξ₂),

C₁,C₂ определены в (12); ξ₁,ξ₂ - корни кубического уравнения (10), лежащие

в интервале (0, 1).

Таблица 1. Зависимость вероятности простоя P (-1) от параметра λ₁

(λ₁ = 2, 3, . . . , 11) для α₁ = 0,1; 0,2; . . . ; 0,5

λ₁

α₁

0,1

0,875

0,833

0,792

0,750

0,708

0,667

0,625

0,583

0,542

0,500

0,2

0,889

0,861

0,833

0,806

0,778

0,750

0,722

0,694

0,667

0,639

0,3

0,896

0,875

0,854

0,833

0,812

0,792

0,771

0,750

0,729

0,708

0,4

0,900

0,883

0,867

0,850

0,833

0,817

0,800

0,783

0,767

0,750

0,5

0,903

0,889

0,875

0,861

0,847

0,833

0,819

0,806

0,792

0,778

Таблица 2. Зависимость средней длины очереди M(I) от параметра λ₁

(λ₁ = 2, 3, . . . , 11) для α₁ = 0,1; 0,2; . . . ; 0,5

λ₁

α₁

0,1

0,020

0,045

0,086

0,150

0,247

0,396

0,630

1,014

1,692

2,990

0,2

0,016

0,032

0,059

0,101

0,163

0,257

0,400

0,624

0,985

1,582

0,3

0,014

0,026

0,046

0,076

0,121

0,188

0,288

0,438

0,667

1,018

0,4

0,013

0,022

0,038

0,062

0,097

0,148

0,222

0,331

0,492

0,725

0,5

0,012

0,020

0,032

0,052

0,080

0,121

0,179

0,263

0,383

0,551

Таблица 3. Зависимость среднего числа сообщений в системе M(I + 1)

от параметра λ₁ (λ₁ = 2, 3, . . ., 11) для α₁ = 0,1; 0,2; . . .; 0,5

λ₁

α₁

0,1

0,145

0,212

0,294

0,400

0,539

0,729

1,005

1,431

2,151

3,490

0,2

0,127

0,171

0,226

0,295

0,385

0,507

0,678

0,929

1,318

1,943

0,3

0,118

0,151

0,192

0,243

0,309

0,397

0,517

0,688

0,938

1,309

0,4

0,113

0,139

0,171

0,212

0,263

0,331

0,422

0,548

0,725

0,975

0,5

0,109

0,131

0,157

0,191

0,233

0,288

0,360

0,458

0,591

0,773

Формулы (11),

(14) позволяют определить характеристики системы:

P (-1) вероятность простоя обслуживающего прибора; M(I) среднюю

длину очереди в системе; M(I + 1) среднее число сообщений в системе,

здесь I случайная величина: длина очереди в СМО.

(15)

P (-1) = (µ/a)[(λ₂ + α₁ + α₂)(A₁ + A₂) + (λ₁ + α₁ + α₂)(C₁A₁ + C₂A₂

)],

ξ₁

ξ₂

M (I) = A₁(1 + C₁)

+ A₂(1 + C₂)

(1 - ξ₁)²

(1 - ξ₂)²

A₁(1 + C₁)

A₂(1 + C₂)

M (I + 1) =

(1 - ξ₁)²

(1 - ξ₂)²

где C₁, C₂ определены в (12); a, A₁, A₂ в (14); ξ₁, ξ₂ корни кубического

уравнения (10), лежащие в интервале (0, 1).

P(-1)

1,0

a₁ = 0,1

a₁ = 0,2

0,8

0,6

a₁ = 0,3

a₁ = 0,4

a₁ = 0,5

0,4

l₁

Рис. 2. Зависимость вероятности простоя P (-1) от параметра λ₁.

M(I)

a₁ = 0,1

a₁ = 0,2

a₁ = 0,3

a₁ = 0,4

a₁ = 0,5

l₁

Рис. 3. Зависимость средней длины очереди M(I) от параметра λ₁.

M(I + 1)

3,5

2,8

a₁ = 0,1

a₁ = 0,2

a₁ = 0,3

a₁ = 0,4

a₁ = 0,5

2,1

1,4

0,7

l₁

Рис. 4. Зависимость среднего числа сообщений в системе M(I + 1) от пара-

метра λ₁.

Исходные данные для численных примеров, приведенные здесь и далее,

выбраны с тем расчетом, чтобы показать, насколько поведение характери-

стик (15) соответствует физическим представлениям о процессе обслужива-

ния в рассматриваемой СМО.

В табл. 1-3 приведены зависимости P (-1), M(I), M(I +1) от параметра λ₁

(λ₁ = 2, 3, . . . , 11) для α₁ = 0,1; 0,2; . . . ; 0,5 при фиксированных значениях па-

раметров λ₂ = 1, α₂ = 0,1, µ = 12, вычисленные по формулам (15).

Поведение указанных характеристик в зависимости от параметра λ₁ соот-

ветствует физическим представлениям о процессе обслуживания в рассмат-

риваемой однолинейной СМО с входящим коррелированным асинхронным

потоком сообщений (ММРР-поток).

На рис. 2-4 приведены графические зависимости характеристик (15), по-

строенные для числовых значений табл. 1-3 соответственно.

4. Частный случай. SPP-поток

Для рассматриваемого частного случая имеем λ₂ = 0. Тогда система (3)

примет вид

µP(i + 1,1) - (λ₁ + α₁ + µ)P(i,1) + λ₁P(i - 1,1) + α₂P(i,2) = 0,

(16)

µP(i + 1,2) - (α₂ + µ)P(i,2) + α₁P(i,1) = 0, i = 0,1,

Решение системы (16) будем по-прежнему искать в виде P (i, 1) = ξⁱ,

P (i, 2) = Gξⁱ (i = 0, 1, . . .). Тогда характеристическое уравнение для систе-

мы (16) примет вид

[

]

(17)

(ξ - 1)

µ²ξ² - µ(λ₁ + α₁ + α₂ + µ)ξ + λ₁(α₂ + µ)

= 0.

Рассматривается случай λ < µ, где λ = 1/M(τ ) = λ₁π₁, M(τ ) = (α₁ + α₂)/

/λ₁α₂, π₁ = α₂/(α₁ + α₂). Случай λ ≥ µ приводит (аналогично общему слу-

чаю λ₂ > 0) к ситуации, когда стационарное распределение P (i, 1), P (i, 2),

i = 0,1,..., не существует.

Обозначим через ξ₁, ξ₂, ξ₃ корни характеристического уравнения (17), где

ξ₃ = 1,

[

√

]

(18)

ξ_1,2 =

(λ₁ + α₁ + α₂ + µ) ∓

(-λ₁ + α₁ + α₂ + µ)² + 4λ₁α₁ ,

2µ

при этом 0 < ξ₁ < 1 = ξ₃ < ξ₂. Тогда общее решение системы (16) с уче-

том (17) выпишется в виде

P (i, 1) = R₁ξⁱ¹ + R₂ξⁱ² + R₃ξⁱ³,

(19)

P (i, 2) = G₁R₁ξⁱ¹ + G₂R₂ξⁱ² + G₃R₃ξⁱ³, i = 0, 1,

В общем решении (19), так как ξ₂ > 1, ξ₃ = 1, необходимо константы R₂, R₃

положить равными нулю. Тогда (19) примет вид

(20)

P (i, 1) = R₁ξⁱ¹, P (i, 2) = G₁R₁ξⁱ¹

i = 0,1,

Подставляя решение (20) во второе уравнение системы (16), находим кон-

станту G₁:

(21)

G₁ = α₁/[α₂ + µ(1 - ξ₁

)].

Для нахождения константы R₁ и вероятностей P (-1, 1), P (-1, 2) привле-

чем граничные уравнения (13), в которых λ₂ = 0, и условие нормировки.

Таблица 4. Зависимость вероятности простоя P (-1) от параметра λ₁

(λ₁ = 2, 3, . . . , 11) для α₁ = 0,1; 0,2; . . . ; 0,5

λ₁

α₁

0,1

0,917

0,875

0,833

0,792

0,750

0,708

0,667

0,625

0,583

0,542

0,2

0,944

0,917

0,889

0,861

0,833

0,806

0,778

0,750

0,722

0,694

0,3

0,958

0,937

0,917

0,896

0,875

0,854

0,833

0,813

0,792

0,771

0,4

0,967

0,950

0,933

0,917

0,900

0,883

0,867

0,850

0,833

0,817

0,5

0,972

0,958

0,944

0,931

0,917

0,903

0,889

0,875

0,861

0,847

Таблица 5. Зависимость средней длины очереди M(I) от параметра λ₁

(λ₁ = 2, 3, . . . , 11) для α₁ = 0,1; 0,2; . . . ; 0,5

λ₁

α₁

0,1

0,016

0,041

0,082

0,145

0,242

0,390

0,623

1,005

1,678

2,961

0,2

0,011

0,027

0,054

0,095

0,157

0,250

0,392

0,613

0,969

1,556

0,3

0,008

0,020

0,040

0,070

0,114

0,180

0,279

0,427

0,652

0,995

0,4

0,006

0,016

0,031

0,054

0,089

0,139

0,213

0,320

0,477

0,705

0,5

0,005

0,013

0,025

0,044

0,072

0,112

0,170

0,252

0,368

0,532

Таблица 6. Зависимость среднего числа сообщений в системе M(I + 1)

от параметра λ₁ (λ₁ = 2, 3, . . ., 11) для α₁ = 0,1; 0,2; . . .; 0,5

λ₁

α₁

0,1

0,100

0,166

0,248

0,354

0,492

0,682

0,956

1,380

2,095

3,420

0,2

0,066

0,110

0,165

0,234

0,323

0,444

0,614

0,863

1,247

1,862

0,3

0,050

0,082

0,123

0,174

0,239

0,326

0,445

0,614

0,860

1,224

0,4

0,040

0,066

0,098

0,138

0,189

0,256

0,346

0,470

0,643

0,888

0,5

0,033

0,055

0,081

0,114

0,156

0,210

0,281

0,377

0,507

0,685

Тогда получаем

(22)

P (-1, 1) =

R₁(1 + G₁), P(-1,2) =

R₁[α₁ + (λ₁ + α₁)G₁

λ₁

λ₁α₂

R₁ = λ₁α₂(1 - ξ₁)/(α₁ + α₂)[λ₁ + µ(1 - ξ₁)(1 + G₁)],

где ξ₁ определена в (18), G₁ в (21).

Формулы (20), (22) позволяют определить характеристики системы, вве-

денные выше:

(23)

P (-1) =

[α₁ + α₂ + (λ₁ + α₁ + α₂)G₁]R₁,

λ₁α₂

ξ₁

R₁(1 + G₁)

M (I) = R₁(1 + G₁)

M (I + 1) =

(1 - ξ₁)²

где R₁ определена в (22), G₁ в (21), ξ₁ в (18).

P(-1)

1,0

a1 = 0,2

a₁ = 0,1

0,8

0,6

a₁ = 0,3

a₁ = 0,4

a₁ = 0,5

0,4

l₁

Рис. 5. Зависимость вероятности простоя P (-1) от параметра λ₁.

M(I)

a₁ = 0,1

a₁ = 0,2

a₁ = 0,3

a₁ = 0,4

a₁ = 0,5

l₁

Рис. 6. Зависимость средней длины очереди M(I) от параметра λ₁.

M(I + 1)

3,5

a₁ = 0,1

a₁ = 0,2

a₁ = 0,3

a₁ = 0,4

a₁ = 0,5

2,8

2,1

1,4

0,7

l₁

Рис. 7. Зависимость среднего числа сообщений в системе M(I + 1) от пара-

метра λ₁.

В табл. 4-6 приведены зависимости P (-1), M(I), M(I + 1) от парамет-

ра λ₁ (λ₁ = 2, 3, . . . , 11) для α₁ = 0,1; 0,2; . . . ; 0,5 при фиксированных значе-

ниях параметров α₂ = 0,1, µ = 12, вычисленные по формулам (23).

Поведение указанных величин в зависимости от параметра λ₁ соответ-

ствует физическим представлениям о процессе обслуживания в рассматри-

ваемой однолинейной СМО c входящим асинхронным альтернирующим по-

током (SPP-поток).

На рис. 5-7 приведены графические зависимости характеристик (23), по-

строенные для числовых значений табл. 4-6 соответственно.

5. Заключение

В настоящей статье изучена однолинейная СМО с входящим асинхронным

дважды стохастическим потоком событий (ММРР-поток) с двумя состоя-

ниями.

Немарковский процесс i(t) число запросов в очереди в момент време-

ни t путем введения дополнительной переменной j(t) состояние вхо-

дящего асинхронного потока в момент времени t сводится к двумерному

процессу (i(t), j(t)), являющемуся марковским процессом.

С использованием метода диаграмм интенсивностей переходов находит-

ся явное аналитическое стационарное распределение вероятностей состояний

процесса (i(t), j(t)) (t → ∞). Приводятся явные аналитические формулы для

числовых характеристик системы и построенные на основании этих формул

зависимости числовых характеристик от параметров СМО, представленные

в таблицах.

Рассмотрен также частный случай входящего потока запросов асин-

хронный альтернирующий поток с двумя состояниями (SPP-поток).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Вишневский В.М., Дудин А.Н., Клименок В.И. Стохастические системы с кор-

релированными потоками. Теория и применение в телекоммуникационных се-

тях. М.: Техносфера, 2018. 564 с.

2. Сох D.R. The analysis of non-Markovian stochastic processes by the inclusion of sup-

plementary variables // Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1955.

V. 51. No. 3. P. 433-441.

3. Kingman J.F.C. On doubly stochastic Poisson process // Proceedings of the Cam-

bridge Philosophical Society. 1964. V. 60. No. 4. P. 923-930.

4. Башарин Г.П., Кокотушкин В.А., Наумов В.А. О методе эквивалентных замен

расчета фрагментов сетей связи. Ч. 1 // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика.

1979. № 6. С. 92-99.

5. Башарин Г.П., Кокотушкин В.А., Наумов В.А. О методе эквивалентных замен

расчета фрагментов сетей связи. Ч. 2 // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика.

1980. № 1. С. 55-61.

6. Neuts M.F. A versatile Markovian point process // Journal of Applied Probability.

1979. V. 16. No. 4. P. 764-779.

7. Lucantoni D.M. New results on the single server queue with a bath Markovian ar-

rival process // Communications in Statistics Stochastic Models. 1991. V. 7. No. 1.

P. 1-46.

8. Lucantoni D.M., Neuts M.F. Some steady-state distributions for the MAP/SM/1

queue // Communications in Statistics Stochastic Models. 1994. V. 10. No. 3.

P. 575-598.

Горцев А.М., Нежельская Л.А. Оценивание параметров синхронного дважды

стохастического потока событий методом моментов // Вест. Томск. гос. ун-та.

2002. № S1-1. С. 24-29.

10.

Gortsev А.М., Nezhelskaya L.A. An asynchronous double stochastic flow with initi-

ation of superfluous events // Discrete Mathematics and Applications. 2011. V. 21.

No. 3. P. 283-290.

11.

Горцев А.М., Калягин А.А., Нежельская Л.А. Совместная плотность вероят-

ностей длительности интервалов обобщенного полусинхронного потока событий

при непродлевающемся мертвом времени // Вест. Томск. гос. ун-та. Управление,

вычислительная техника и информатика. 2014. № 2 (27). С. 19-29.

12.

Васильева Л.А., Горцев А.М. Оценивание параметров дважды стохастическо-

го потока событий в условиях его неполной наблюдаемости // АиТ. 2002. № 3.

С. 179-184.

Vasil’eva L.A., Gortsev A.M. Estimation of Parameters of a Double-Stochastic Flow

of Events under Conditions of Its Incomplete Observability // Autom. Remote Con-

trol. 2002. V. 63. No. 3. P. 511-515.

13.

Васильева Л.А., Горцев А.М. Оценивание длительности мертвого времени асин-

хронного дважды стохастического потока событий в условиях его неполной на-

блюдаемости // АиТ. 2003. № 12. С. 69-79.

Vasil’eva L.A., Gortsev A.M. Estimation of the Dead Time of an Asynchronous

Double Stochastic Flow of Events under Incomplete Observability // Autom. Remote

Control. 2003. V. 64. No. 12. P. 1890-1898.

14.

Горцев A.M., Леонова M.A., Нежельская Л.А. Сравнение МП- и ММ-оценок

длительности мертвого времени в обобщенном асинхронном потоке событий //

Вест. Том. гос. ун-та. Управление, вычислительная техника и информатика.

2013. № 4 (25). С. 32-42.

15.

Heindl A. Decomposition of general tandem queueing networks with MMPP input //

Performance Evaluation. 2001. V. 44. P. 5-23.

16.

Heindl A. Decomposition of general queue networks with MMPP inputs and cus-

tomer losses // Performance Evaluation. 2003. V. 51. P. 117-136.

17.

Бинь Сунь, Дудин С.А., Дудина О.С., Дудин А.Н. Модель обслуживания мо-

бильных пользователей в соте с адаптивной модуляцией, учитывающая влияние

случайной среды // АиТ. 2021. № 5. С. 86-105.

Bin Sun, Dudin S.A., Dudina O.S., Dudin A.N. A Customer Service Model in an

Adaptive-Modulation Mobile Communication Cell with Allowance for Random En-

vironment // Autom. Remote Control. 2021. V. 82. No. 5. P. 812-826.

18.

Алиева С.Г., Меликов А.З., Шахмалыев М.О. Численный анализ системы с ге-

терогенными серверами и мгновенной обратной связью // Изв. РАН. Теория и

системы управления. 2021. № 3. С. 98-110.

19.

Горцев A.M., Леонова M.A., Нежельская Л.А. Совместная плотность вероятно-

стей длительности интервалов обобщенного асинхронного потока событий при

непродлевающемся мертвом времени // Вест. Томск. гос. ун-та. Управление,

вычислительная техника и информатика. 2012. № 4 (21). С. 14-25.

20.

Gortsev А.М., Nissenbaum О.V. Estimation of the dead time period and parameters

of an asynchronous alternative flow of events with unextendable dead time period //

Russian Physics J. 2005. V. 48. No. 10. P. 1039-1054.