Автоматика и телемеханика, № 8, 2022

Управление в социально-экономических

системах

(Самарский национальный исследовательский университет

им. академика С.П. Королева)

АНАЛИЗ РАВНОВЕСИЙ В НЕЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ

ОЛИГОПОЛИИ

Рассматривается теоретико-игровая проблема выбора оптимальных

стратегий агентов рынка олигополии при линейной функции спроса и

нелинейных функциях издержек агентов. Выведена вычислительная фор-

мула оптимального действия агента в виде дробной иррациональной

функции, показано, что экстремумы этой функции соответствуют непо-

движным точкам. Для нахождения неподвижной точки выведено ирра-

циональное уравнение и получены приближенные формулы его решения.

Доказаны необходимые условия существования и единственности или

множественности равновесий в зависимости от параметров типа агентов.

Ключевые слова: олигополия, агрегативная игра, дробная иррациональ-

ная функция, неподвижная точка, множественность равновесий.

DOI: 10.31857/S0005231022080086, EDN: AHSHBT

1. Введение

Решение игры агентов на рынке олигополии находится в виде равновесия

Курно-Нэша [1, 2]. С позиций вычисления равновесия особенно сложными

являются постановки проблем с нелинейными функциями издержек аген-

тов, в которых равновесия исследовались путем численных экспериментов.

В частности, в таких случаях появляется неустойчивость равновесия вслед-

ствие роста числа агентов [3], при варьировании параметров агентов равно-

весие дестабилизируется через фазу двойной бифуркации [4], доказано, что

локальная устойчивая область точки равновесия по Нэшу может сжиматься

до нуля при определенных параметрах типа агентов [5, 6]. В случае линей-

ной функции спроса и квадратичных функций затрат, отражающих убываю-

щую отдачу от масштаба, подтверждено, что хаотическая динамика зависит

от адаптационного поведения агентов, и показаны прерывистый переход к

хаосу и кризис слияния аттракторов [7]. Даже в модели Курно с линейными

функциями издержек при условии адаптации стратегий на базе фрактальных

производных установлена хаотичная динамика равновесий [8].

140

Поэтому аналитическое исследование проблемы единственности аттракто-

ров в игре олигополии является актуальной проблемой. Пути такого анализа

были намечены в виде аналитического решения системы нелинейных урав-

нений равновесия [9].

В данной статье ставится задача аналитического подтверждения множе-

ственности равновесия Курно-Нэша в нелинейной постановке игры агентов

рынка олигополии, относящейся к агрегативным играм. Вопрос количества

равновесий актуален как теоретический базис нахождения равновесия в та-

ких играх. Проблематика решения агрегативных игр отражена в обширном

корпусе исследований, проведенных российскими учеными, из которых отме-

тим наиболее свежие. Равновесия в агрегативных играх анализировались на

основе наилучших ответов игроков при информационной рефлексии о зна-

чениях экзогенного параметра функции полезности [10]. Исследовалась иг-

ра олигополии Штакельберга при рефлексии агентов о параметрах функций

издержек окружения [11]. Оценивалась эффективность лидерства по Шта-

кельбергу по сравнению с представлением агента о рынке как о совершенной

конкуренции [12]. В линейной модели олигополии исследовался динамиче-

ский процесс формирования равновесия Курно [13] и Штакельберга [14] и

доказаны условия сходимости процесса к аттрактору.

2. Методология

Рассмотрим следующую нелинейную модель рынка олигополии. Пусть

агенты выбирают действия исходя из максимума своих функций полезности

(прибыли)

(1)

Π_i (Q,Q_i) = P (Q)Q_i - C_i (Q_i) , Q_i

≥ 0, i ∈ N = {1, . . . , n}

при линейной функции цены спроса на товар от суммарного объема предло-

жения всех агентов рынка

∑

(2)

P (Q) = a - bQ, a > b > 0, Q = Q_i,

i∈N

и нелинейных (степенных) функциях издержек агентов

(3)

< a, i ∈ N,

C_i(Q_i) = C_Fi +B_iQβii, CFi > 0, Bi > 0, βi ∈ (0,2), C′Q

где Q_i, Π_i

действие (объем выпуска) и функция полезности (прибыль)

i-го агента; N

множество агентов рынка; n количество агентов, т.е. ко-

личество элементов множества N; P , Q равновесная цена и суммарный объ-

ем рынка; C_Fi, B_i, β_i коэффициенты функций издержек агентов, C_Fi ин-

терпретируется как постоянные издержки; a, b - коэффициенты обратной

функции спроса. Степенная функция издержек (3) в диапазоне коэффици-

ентов β_i ∈ (0, 2) обобщает три типа агентов: агент с постоянной отдачей от

расширения масштаба описывается линейной функцией издержек (β_i = 1),

141

агент с положительным эффектом расширения масштаба вогнутой функ-

цией издержек при 0 < β_i < 1, агент с отрицательным эффектом выпуклой

функцией при 1 < β_i < 2.

Модели выбора оптимальных (символ ¾*¿) действий агентов с учетом

условий (1)-(3) запишем в виде

{

}

(4)

Q^∗i = arg maxΠi(Q,Qi) = arg max

(a - bQ)Q_i - C_Fi - B_iQβi

i∈N.

Q_i≥0

Равновесие Нэша в системе (4) представляет собой вектор оптимальных

действий агентов при выбранных действиях окружения и определяется пу-

тем решения системы уравнений реакций следующего типа (при некотором

известном векторе предположительных вариаций):

∂Πi (Q_i,ρ_ij)

(5)

= 0, i, j ∈ N,

∂Q_i

где ρ_ij = Q^′

предположительная вариация в уравнении реакции i-го аген-

jQ_i

та, т.е. предполагаемое изменение выпуска j-го агента в ответ на единичный

прирост выпуска i-го агента. Решение уравнений (5) было получено [9] в виде

следующего выражения, зависящего от параметров x_i:

[

]

[

]

∏

∑

∏

∑

∏

α_i

(δ_j - 1) +

(δ_γ - 1)

α_j

(δ_γ - 1)

j=1\i

j=1\i γ=1\j,i

j=1\i

γ=1\i,j

y_i

∏

∑

∏

(6a)

(δ_j - 1) +

(δ_γ - 1)

j=1

j=1 γ=1\j

i∈N

с учетом обозначений

β_i-1

Q_i

â - Biβi (2 - β_i)x

y_i =

∈ (0, 1) , α_i =

Q_max

(6б)

B_iβ_i (β_i - 1)

δ_i = 2 +

xβi-2i + S_i, Q_max =a,

â = Q_maxa,

b = Q^2maxb,

B_i = QβimaxBi, i ∈ N,

причем параметры x_i удовлетворяют следующим условиям:

y_i - x_i < ε_i, x_i < y_i, Ω_i = x_i + ζ_i (y_i - x_i),

(6в)

ζ_i,x_i ∈ (0,1) , ε_i ∈ (0,Ω_i) , i ∈ N,

где y_i ∈ (0, 1) нормированное значение действия агента, S_i сумма предпо-

ложительных вариаций i-го агента. В формулах (6б) переменные x_i представ-

ляют собой параметры линеаризации [9] системы уравнений оптимальных ре-

акций агентов (5) на основе разложения степенных функций в ряды Тейлора,

142

поэтому в соответствии с (6в) имеют ту же размерность, что и равновесные

действия y_i, и должны быть им равны с точностью до малых положительных

чисел ε_i.

Поставим задачу анализа влияния параметров функций издержек агентов

(т.е. параметров типа) на функцию равновесного действия агента (6а).

3. Результаты

Поскольку формула вычисления оптимального действия агента (6а) зави-

сит от неизвестных априори параметров x_i, а также в силу сложной зависи-

мости этого действия от других параметров игры исследуем эти особенности

в виде следующих результатов, доказательство которых приведено в Прило-

жении.

Представленные ниже утверждения касаются i-го агента, поэтому для

упрощения записи опустим в (6а) и далее индекс i.

Утверждение 1. Функция (6а) для i-го агента является дробной ир-

рациональной функцией вида

a₀ + a₁x

(7a)

b₀ + b₁x^θ-1

где коэффициенты вычисляются по формулам

1-λ

θ = β - 1 ∈ (-1,1), a₀ =

a₁ = θ² - 1 < 0,

(7б)

1+S+τ

{> 0, θ ∈ (0, 1) ,

b₀ =

b₁ = θ (θ + 1)

< 0, θ ∈ (-1, 0) ,

и коэффициенты a₀, b₀ зависят от переменных х, относящихся к другим

агентам; в этих формулах

∑

α_j

ω_j

j=i

B=B

λ=

τ =

ω = δ - 1,

∑

bQmax

ω_j

j=i

причем

∑

(7в)

λ=τ

α_j ,

− 1.

ω_j

j=i

Утверждение 2. Функция y(x)

i) имеет разрыв второго рода в точке



b0

θ-1

(8a)

x_∞ =



b₁

143

в случае θ ∈ (0, 1) при b₀ < 0 и в случае θ ∈ (-1, 0) при b₀ > 0, а в иных слу-

чаях непрерывна;

ii) имеет ноль при a₀ > 0 в точке



a0



(8б)

x⁺ =

^θ ;



a₁

iii) в интервале x ∈ (0, 1) имеет следующие свойства в случаях:

1) θ ∈ (0, 1), a₀ > 0, b₀ > 0: непрерывная, неотрицательная в интервале

x ∈ (0,x⁺), вогнутая и при условии u(1) < 0 унимодальная;

2) θ ∈ (0, 1), a₀ < 0, b₀ > 0: непрерывная, отрицательная;

3) θ ∈ (0, 1), a₀ > 0, b₀ < 0: при x_∞ ∈ (0, 1) аналогичны случаю

1; при

x_∞ ∈ (0,1) неотрицательная в интервалах x ∈ (0,x⁺) ∩ (0,x_∞) и x ∈

∈ (x⁺, 1) ∩ (x_∞, 1), при условиях u(1) > 0, u(x_∞) < 0 вогнутая в интервале

x ∈ (0,x_∞), выпуклая в интервале x ∈ (x_∞,1), унимодальная в каждом их

этих интервалов;

4) θ ∈ (0, 1), a₀ < 0, b₀ < 0: при x_∞ ∈ (0, 1) отрицательная в интервале

x ∈ (0,1); при x_∞ ∈ (0,1) отрицательная в интервале x ∈ (0,x_∞), неотри-

цательная в интервале x ∈ (x_∞, 1), в последнем унимодальная и выпуклая

при условии u(1) > 0;

5) θ ∈ (-1, 0), a₀ > 0, b₀ > 0: при x_∞ ∈ (0, 1) в интервале x ∈ (0, x⁺)

неотрицательная, вогнутая и унимодальная при условии u(1) > 0; при

x_∞ ∈ (0,1) ∧ x⁺ ∈ (0,1) неотрицательная в интервале x ∈ (0,x_∞), возрас-

тающая, экстремумов нет; при x_∞ ∈ (0, 1) ∧ x⁺ ∈ (0, 1) неотрицательная в

интервале x ∈ (0,x⁺) ∪ (x_∞,1), вогнутая в интервале x ∈ (0,x_∞) и выпук-

лая в интервале x ∈ (x_∞, 1), унимодальная в каждом интервале при усло-

виях u(x_∞) > 0, u(1) < 0;

6) θ ∈ (-1, 0), a₀ < 0, b₀ < 0: в интервале x ∈ (0, 1) непрерывная, неотри-

цательная, вогнутая и при условии u(1) > 0 унимодальная;

7) θ ∈ (-1, 0), a₀ > 0, b₀ < 0: в интервале x ∈ (0, x⁺) непрерывная, неот-

рицательная, вогнутая и при условии u(1) > 0 унимодальная;

8) θ ∈ (-1, 0), a₀ < 0, b₀ > 0: в интервале x ∈ (0, x_∞) непрерывная, неот-

рицательная, возрастающая, экстремумов нет, а в интервале x ∈ (x_∞,1)

отрицательная,

iiii) условие u(x_∞) > 0 равносильно следующему условию:



a₀

b0

(8в)

>



^θ-1 ,



a₁

b₁

где

u = a₀ - b₀x - (b₁ - a₁)x^θ, u(1) = a₀ - b₀ - (b₁ - a₁),



b0



u (x_∞) = a₀ + a₁ 

^θ-1 .



b₁

144

Следовательно, для существования экстремума функции y(x) в непре-

рывном случае необходимо, чтобы функция u (·) удовлетворяла следующим

условиям: значения u (0) и u (1) имели противоположные знаки, а при нали-

чии разрыва второго рода функции y(x), чтобы u (x_∞) и u (1) имели разные

знаки.

В дальнейшем обозначим случаи, описанные в утверждении 2(iii), индек-

сом t = 1, . . . , 8. Поскольку условия (6в) соответствуют неподвижной точке

функции (7а), то исследуем этот аспект.

Утверждение 3. Если b₀ + b₁x^θ-1 = 0, то функция y(x) в интервале

x ∈ (0,1) имеет неподвижную точку y = x, она совпадает со стационарной

точкой и вычисляется из уравнения

(9а)

f (x) = k₁x + k₂x^θ

= 1,

где коэффициенты вычисляются по следующим формулам:

b₀

b₁ - a₁

(9б)

k₁ =

k₂ =

a₀

Поэтому наличие неотрицательного экстремума (или экстремумов) функ-

ции y(x) является основанием существования и единственности (или мно-

жественности) неотрицательного равновесия в игре с функциями полезно-

сти (4).

Обозначим решение уравнения (9а) символом y^∗ = x^∗ и будем называть

его точкой равновесия; число равновесий обозначим как n_E. Иррациональ-

ное уравнение (9а) не имеет аналитического решения, поэтому предложим

следующее приближенное решение, которое обозначим через y^t, где верхний

индекс соответствует случаям, описанным в утверждении 2, t = 1, . . . , 8.

Утверждение 4. Уравнение (9а) в интервале x ∈ (0,1) в случаях t =



= 1, . . . , 8 соответственно имеет с погрешностью

1 - k₁ y - k₂ y^θ следую-

щие приближенные решения:



(

)_2θ



(yθ=0)1-2θ

ytθ=0,5

θ ∈ (0;0,5), k₂ < 1, k₁ + k₂ > 1,

(10а)

y¹ =

(

)_2-2θ



 y^tθ=0,5

(y_θ=1)^2θ-1 , θ ∈ (0,5;1) , k₁ + k₂ > 1,

при k₁,k₂ > 0,

(10б)

y² не существует при k₁ < 0, k₂

< 0,



y11, если x∞ ∈ (0,1) , k1 + k2 > 1,



(10в)

y³ =

y¹¹, если x_∞ ∈ (0,1) , k₁ + k₂ < 1, f (x_∞) > 1,



(

√

)



k₂ ∈

|k₁|, 2 |k₁|

∧ k₂ - |k₁| < 1,

при k₁ < 0, k₂ > 0,

145

{

не существует, если x_∞ ∈ (0,1) ,

(10г)

y⁴ =

y¹, если x_∞ ∈ (0,1) и k₁ + k₂ > 1, |k₂| < 2k₁,

при k₁ > 0, k₂ < 0,





(y_θ=0)^1-2θ (y_θ=-0,5)^-2θ ,

θ ∈(0;-0,5), k2 <1, k₁+k2 <1,



(

)_1-2θ

(10д1)

y^5.1 =

(y_θ=-0,5)^2+2θ

ytθ=-1

, θ ∈(-0,5;-1),





k₁k₂ <

∧ k₁+k2 <1, k²²k1 >

если x_∞ ∈ (0, 1) при k₁, k₂ > 0,

(10д2)

y^5.2 не существует, если x_∞ ∈ (0,1) ∧ x⁺ ∈ (0,1) при k₁,k₂

> 0,

(10д3)

y^5.3 = y^5.1, k₁k₂ <

, k₁ +k₂ >1∧k₁ >

, f (x_∞) < 1,

если x_∞ ∈ (0, 1) ∧ x⁺ ∈ (0, 1) при k₁, k₂ > 0,

(10е)

y⁶ = y^5.1, k₁ + k₂ > 1 при k₁ > 0,k₂

< 0,

(10ж)

y⁷ = y^5.1, k₁ + k₂ < 1, a₀ < 1 ∧ a₀ + |b₀| > 1 при k₁ < 0,k₂

> 0,

(10з)

y⁸ не существует при k₁ < 0, k₂

< 0,

где ε^tmax > 0 максимальная погрешность в t-м случае,

k₂

√1 - 4k₁k₂ + k₂

ε^1max = ε^3max = ε^4max =

(k₁ + k₂ - 1), ε^5max =

k₁

1-a₀

1-k₂

ε^6max = k₁ - k₂ - 1, ε^7max =

y^1θ=0 =

a₀

k₁

(

√

)₂

-k₂ +

k²² + 4k₁

y^1θ=0,5 =

y^1θ=1 =

2k₁

k₁ + k₂

(

√

)₂

(

√

)₂

-k₂ ±

k²² + 4k₁

-k₂ +

k²² + 4k₁

y^3θ=0,5 =

y^4θ=0,5 =

2k₁

(√

√

)₂

√

k₂

y^5θ=-0,5

-q +

D + ³ -q -

2k₁

27k²²k₁ - 4

y^5.1θ=-1 =

√1 - 4k₁k₂ ,

108k³¹

2k₁

1±

y^5.3θ=-1 =

√1 - 4k₁k₂ ,

2k₁

a₀ - 1

y^6θ=-1 =

y^7θ=-1 =

k₁

a₀k₁

146

Формулы приближенного вычисления (10) актуальны в указанных диа-

пазонах значений k₁, k₂, а если в реальных задачах эти диапазоны не со-

блюдаются, то необходимо вычислять y^∗ путем непосредственного решения

уравнения (9а) численными методами. Поскольку параметры a₀, b₀ зависят

от переменных y, относящихся к другим агентам, то формулы (10) приводят

к системе N уравнений с N неизвестными y_i, i ∈ N.

4. Комментарии к результатам

Графическая интерпретация условий экстремума функции y(x) и соот-

ветствующих экстремумам неподвижных точек представлена на рис. 1-5.

На этих рисунках функция u(x) характеризует либо знак y^′ при θ ∈ (0, 1),

либо противоположный знак при θ ∈ (-1, 0), функция f(x) (с учетом

f = 1 -^u ) показывает значение неподвижной точки при f(x) = 1, а функция_a

v(x) = b₀ + b₁x^θ-1 есть знаменатель y(x) и характеризует разрыв. Подобные

разрывы были отмечены также для корней динамических уравнений Эйле-

ра [15]. Иллюстрация оценки погрешности приближенного решения приведе-

на на рис. 6.

От параметров типа агентов зависит не только значения их равновесных

действий, но и существование, а также единственность (или множествен-

ность) равновесия. Обобщение этих свойств приведено в табл. 1.

v¹

x⁺

u¹

u⁶

v⁶

Рис. 1. Случай 1: θ ∈ (0, 1), a₀ > 0, b₀ > 0, u¹ = sgn y^′; случай 6: θ ∈ (-1, 0),

a₀ < 0, b₀ < 0, u⁶ = -sgny^′.

147

f = k₁x + k₂x^0,5

f = k₁x + k₂

f = (k₁ + k₂)x

~_min = ~_{q = 0}

~_max = ~_{q = 1}

Рис. 6. Оценка погрешности приближенного решения в случае 1.

b₀ < 0, если S < 0, |S| > 1 + τ, т.е. только при β ∈ (0,1) (поскольку S ∈ (-1,0]

и τ > 0 при β ∈ (1,2)); b₀ > 0 в случае S > -(1 + τ), что возможно как при

β ∈ (0,1), так и при β ∈ (1,2). Следовательно, случаи 3 и 4, в которых b₀ < 0

и β ∈ (1,2), не реализуются (выделены в табл. 1 курсивом).

Таблица 1. Свойства равновесий при различных параметрах типа агентов

1-λ

1 + S + τ Вариант случая n_E Условия равновесия

∈ (1, 2)

a₀ - b₀ - β < 0

3.1

|b₀| < |b₁|

a₀ - b₀ - β < 0

3.2

|b₀| > |b₁|

a₀ - b₀ - β > 0, u_∞ < 0

4.1

|b₀| < |b₁|

4.2

|b₀| > |b₁|

a₀ - b₀ - β > 0

5.1

∈ (0, 1)

|b₀| < |b₁|

a₀ - b₀ - β > 0

5.2

|b₀| > |b₁|, |a₀| < |a₁|

5.3

|b₀| > |b₁|, |a₀| > |a₁|

a₀ - b₀ - β < 0, u_∞ > 0

a₀ - b₀ - β > 0

150

Локализация точки разрыва x_∞ и точки нуля x⁺ функции y(x) приводит к

градации случаев: x_∞ ∈ (0, 1), если |b₀| < |b₁|; x⁺ ∈ (0, 1), если |a₀| > |a₁| при

β ∈ (1,2), а при β ∈ (0,1) наоборот.

Существование единственного равновесия зависит от знака параметра

u(1) = a₀ - b₀ - β. Существование двух равновесий (случаи 3.2 и 5.3) зави-

сит от противоположности знаков параметров u(1), u(x_∞); в табл. 1 запишем

последнее условие на базе (8в) и обозначим как u_∞ = u(x_∞). Равновесие не

существует, если функция y(x) отрицательная в интервале (0, 1), т.е. в слу-

чаях 2 и 4.1, или не имеет экстремумов (случаи 5.2 и 8).

5. Заключение

Исследована игровая проблема выбора оптимальных стратегий агентов

рынка олигополии при линейной функции спроса и нелинейных функциях из-

держек агентов. Найдена зависимость оптимального действия агента от пара-

метров типа, т.е. коэффициентов функций издержек агента и его окружения,

а также их предположений о стратегиях конкурентов, в виде дробной ирра-

циональной функции, неподвижная точка которой определяет равновесие в

игре. Для этой функции доказано нетривиальное свойство совпадения непо-

движной точки и стационарной точки, причем показано, что стационарная

точка является именно точкой экстремума. Анализ числа и свойств экстре-

мумов исследуемой функции при различных сочетаниях ее коэффициентов

позволил установить количество равновесий в различных игровых ситуациях,

а анализ иррационального уравнения неподвижной точки привел к прибли-

женным формулам расчета равновесий.

Число равновесий зависит от типа эффекта расширения масштаба, т.е. вы-

пуклости или вогнутости функции издержек агента. Для агента с отрицатель-

ным эффектом расширения масштаба (т.е. выпуклой функцией издержек)

возможно только два случая существование единственного равновесия или

несуществование равновесия. Для агента с положительным эффектом расши-

рения масштаба (т.е. вогнутой функцией издержек) может существовать одно

равновесное действие, два равновесия или не существовать равновесия.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Доказательство утверждения 1. Введем следующие обозначе-

ния:

∏

∑

∏

ω = δ - 1, D = ω_j +

ω_γ, Δ = ω_j,

j=1

j=1 γ=j

j=i

∏

∑

∏

∑

∏

D-Δ

ψ= ω_j +

ω_γ =

ϕ=

α_j

ω_γ.

j=i

j=1 γ=j

j=i

γ=i,j

151

В этом случае формулу (6а) можно записать следующим образом:

αψ - ϕ

α - ϕ/ψ

α-λ

(Π.1)

ωψ + Δ

ω + Δ/ψ

ω+τ

где λ = ϕ/ψ, τ = Δ/ψ. Поскольку, например, при n = 4,

α₁

α₁ω₂ω₃ + α₂ω₁ω₃ + α₃ω₂ω₁

+ α²ω₂ + ω33

λ₄ =

= ω¹

ω₁ω₂ω₃ + ω₁ω₂ + ω₂ω₃ + ω₁ω₃

1+^1ω

+^1ω

+¹

ω₃

ω₁ω₂ω₃

τ₄ =

ω₁ω₂ω₃ + ω₁ω₂ + ω₂ω₃ + ω₁ω₃

1+^1ω

+^1ω

+¹

ω₃

то эти параметры можно представить в следующем виде:

ω_j

λ=^j=i

τ =

∑

ω_j

j=i

т.е.

∑

λ=τ

α_j ,

- 1.

ω_j

j=i

Отсюда следует, что в формуле (П.1) параметры λ и τ не зависят от пере-

менной x данного агента, а зависят от x_j , j = i. Подставим формулы (7б) в

(П.1):

â - Bβ (2 - β) x^β-1 -bλ

a - Bβ (2 - β) x^β-1 - λ

(Π.2)

b+Bβ (β - 1) x^β-2 +bS +bτ

1 + Bβ (β - 1) x^β-2 + S + τ ,

где

= 1,

bQ_max

bQmax

Обозначим:

1-λ

1+S+τ

θ = β - 1, a₀ =

a₁ = 1 - θ², b₀ =

b₁ = θ (θ + 1) .

Тогда (П.2) можно записать в виде (7а).

Доказательство утверждения 2. В формуле производной функ-

ции (7а)

(

)

(

)

a₁θx^θ-1

b₀ + b₁x^θ-1

- b1 (θ - 1)x^θ-2

a₀ + a₁x

y^′ =

(b₀ + b₁x^θ-1)²

(Π.3)

(

)(

)

x^θ-2θ

1-θ²

a₀ - b₀x - (b₁ - a₁)x

(b₀ + b₁x^θ-1)²

152

обозначим u = a₀ - b₀x - (b₁ - a₁) x^θ, v = b₀ + b₁x^θ-1, т.е. параметр u харак-

теризует знак производной:

{

sgn u, если θ ∈ (0, 1) ,

sgn y^′ =

-sgn u, если θ ∈ (-1,0) .

Тогда вторая производная равна:

(

)

x^θ-3θ

1-θ

[

]

y^′′ =

u(-θv + 2b₀ (θ - 1)) - xv²

v³

Разрыв второго рода функция y(x), а также ее производные имеют только

в точке x_∞ при v = 0, если b₀ и b₁ противоположны по знаку, т.е. при (8а), в

остальных точках интервала x ∈ (0, 1) функция и производные непрерывны.

Рассмотрим различные случаи сочетаний параметров θ, a₀, b₀, с учетом

знаков a₁, b₁ согласно (7б). Отметим, что lim y = 0 как в случае θ ∈ (0, 1),

x→0

так и в случае θ ∈ (-1, 0), когда при обозначении σ = |θ| имеем lim y =

x→0

a₀x^σ+1+a₁x

= lima0+a1x^-σ

= lim

= 0. Кроме того, заметим, что u(0) = a₀

b₀+b₁x^-(σ+1)

b₀x^σ+1+b₁

x→0

при θ ∈ (0, 1), и lim

u = lim(a0 - b0x - (b1 - a1)x-σ) = -∞ при θ ∈ (-1, 0),

x→0

так как b₁ - a₁ = θ + 1 > 0.

Случай 1: θ ∈ (0, 1), a₀ > 0, b₀ > 0. Функция (7а) непрерывная, неотри-

цательная в интервале x ∈ (0, x⁺). Функция вогнута, поскольку v > 0 и

{< 0, если u > 0,

u(-θv + 2b₀(θ - 1)) < xv², и в этом случае y^′′

Поскольку

< 0, если u < 0.

u(0) = a₀ > 0, то lim y^′ > 0, y^′(1) < 0 при условии u(1) < 0, значит, в этом

x→0

случае функция (7а) унимодальная.

Случай 2: θ ∈ (0, 1), a₀ < 0, b₀ > 0, при этом y < 0 в интервале x ∈ (0, 1).

Случай 3: θ ∈ (0, 1), a₀ > 0, b₀ < 0. Функция (7а) имеет разрыв, есть два

варианта:

3.1) x_∞ ∈ (0, 1), т.е. b₁ > |b₀|, тогда свойства аналогичны случаю 1;

3.2) x_∞ ∈ (0, 1), т.е. b₁ < |b₀|, тогда y > 0 в интервалах x ∈ (0, x⁺) ∩ (0, x_∞)

и x ∈ (x⁺,1) ∩ (x_∞,1); в этом случае функция v знакопеременная,

{> 0, если x < x_∞,

поскольку u(0) = a₀ > 0, то при условиях u(1) > 0,

< 0, если x > x_∞;

u(x_∞) < 0 (когда x⁺ < x_∞) функция u унимодальная и знакопеременная;



 θ



 θ



заметим, что u(x_∞) = a₀ - b₀

^θ-1 - (b₁ - a₁)

^θ-1 = a₀ + a₁

b0θ-1 ; по-

b0b₁

b₁

этому при a₀ > 0, b₀ < 0 и при a₀ > 0, b₀ > 0, т.е. в случаях 3 и 5, u(x_∞) <



 θ



^θ-1 ; причем функция (7а) вогнута в интервале x ∈ (0,x_∞),

< 0 ⇔ -a0a₁ <

b0b₁

{< 0, если u > 0,

поскольку y^′′

и, соответственно, выпукла в интервале x ∈

< 0, если u < 0,

∈ (x_∞, 1).

153

Случай 4: θ ∈ (0, 1), a₀ < 0, b₀ < 0. Аналогично случаю 2 разрыв дает два

варианта:

4.1) x_∞ ∈ (0, 1), т.е. b₁ > |b₀|, тогда y < 0 в интервале x ∈ (0, 1);

4.2) x_∞ ∈ (0, 1), т.е. b₁ < |b₀|, тогда y > 0 в интервале x ∈ (x_∞, 1); так как

u(0) = a₀ < 0 и при этом если u(1) > 0, то при условии u(x_∞) < 0, которое

при a₀ < 0, b₀ < 0 выполняется для всеx x ∈ (0, 1), функция y унимодальная

и выпуклая в интервале x ∈ (x_∞, 1).

Случай 5: θ ∈ (-1, 0), a₀ > 0, b₀ > 0. Разрыв приводит к следующим вари-

антам:

5.1) x_∞ ∈ (0, 1) ∧ x⁺ ∈ (0, 1), тогда y > 0 в интервале x ∈ (0, 1) и, поскольку

u(0) < 0 при условии u(1) > 0, функция (7а) вогнутая и унимодальная;

5.1’) x_∞ ∈ (0, 1) ∧ x⁺ ∈ (0, 1), свойства функции (7а) аналогичны вариан-

ту 5.1, но y > 0 в интервале x ∈ (0, x⁺), поэтому эти варианты рассмотрим

как один;

5.2) x_∞ ∈ (0, 1) ∧ x⁺ ∈ (0, 1), тогда y > 0 в интервале x ∈ (0, x_∞), но

u(x) < 0 ∀x ∈ (0, 1), поэтому функция (7а) возрастающая, экстремумов нет;

5.3) x_∞ ∈ (0, 1) ∧ x⁺ ∈ (0, 1), тогда y > 0 в интервалах x ∈ (0, x⁺) ∪ (x_∞, 1),

и при условиях u(x_∞) > 0 и u(1) < 0 функция (7а) унимодальная; по-

скольку v < 0 ∀x ∈ (0, x_∞), v > 0 ∀x ∈ (x_∞, 1), -θv + 2b₀(θ - 1) = -θb₁x^θ-1+

+b₀θ - 2b₀ < 0, u(-θv + 2b₀(θ - 1)) - xv² > 0, то в интервале (0,x_∞) y^′′ =

{< 0, если u < 0,

т.е. функция y(x) вогнута, а в интервале (x_∞, 1) име-

< 0, если u > 0,

{> 0, если u < 0,

ет место y^′′ =

т.е. y(x) выпукла; отметим, что если

> 0, если u > 0,

обозначить σ = |θ|, то v = (b₀x^σ+1 + b₁)x^-(σ+1) и y =a0+a1x^-σ

b₀+b₁x^-(σ+1)

= a⁰v

vx^σ

поэтому lim

y = 0 (так как lim

v = -∞), lim

y = -∞, lim y = ∞,

x→0

x→x₀-0

x→x₀+0

lim vx^σ = -∞.

x→0

Случай 6: θ ∈ (-1, 0), a₀ < 0, b₀ < 0. Функция (7а) непрерывная, неотрица-

тельная в интервале x ∈ (0, 1). Функция (7а) вогнутая и при условии u(1) > 0

унимодальная.

Случай 7: θ ∈ (-1, 0), a₀ > 0, b₀ < 0. Функция (7а) непрерывная, неотрица-

тельная в интервале x ∈ (0, x⁺). Функция (7а) вогнута и при условии u(1) > 0

унимодальная.

Случай 8: θ ∈ (-1, 0), a₀ < 0, b₀ > 0. Если x_∞ ∈ (0, 1), то y > 0 в интервале

x ∈ (0,1), а если x_∞ ∈ (0,1), то y > 0 в интервале x ∈ (0,x_∞), функция (7а)

возрастающая, u(x) < 0 в интервале x ∈ (0, 1), экстремумов нет.

Доказательство утверждения 3. Функция y(x) непрерывна на

компактном выпуклом множестве x ∈ (0, 1) при условии b₀ + b₁x^θ-1 = 0, по-

этому по теореме Брауэра она имеет неподвижную точку. Найдем уравнение

неподвижной точки функции (7а): y =a0+a1x^θ

=x=xθ

, откуда следует

b₀+b₁x^θ-1

x^θ-1

154

a₀x^-1 - b₀ = (b₁ - a₁)x^θ-1, a₀ - b₀x- (b₁ - a₁)x^θ = 0, или k₁x+ k₂x^θ = 1. Если

обозначить f = k₁x + k₂x^θ, то^ua

= 1 - f, или f = 1 -^u ._a

С другой стороны, уравнение стационарной точки получим, приравняв

производную (П.3) к нулю: y^′ =xθ-2θ(1-θ2)(a0-b0x-(θ+1)xθ)

= 0, откуда также

(b₀+b₁x^θ-1)²

следует a₀ - b₀x - (b₁ - a₁)x^θ = 0.

Доказательство утверждения 4. Рассмотрим случаи t = 1,...,8.

t = 1 (k₁,k₂ > 0): поскольку функция

(7а) унимодальная при усло-

вии u(1) < 0, то по утверждению

в интервале x ∈ (0, 1) существу-

ет одна стационарная точка, значит, x^∗ ∈ (0, 1) и равновесие единствен-

но, т.е. n_E = 1. Условие u(1) < 0 равносильно условию k₁ + k₂ > 1. По-

скольку y(x) вогнутая, то функция f(x) монотонно возрастающая (так

как f = 1 -^ua

и k₁ > 0, k₂ > 0), поэтому аппроксимируем (9а) следую-

щими частными случаями: i) k₁x + k₂ = 1 при θ = 0, решение x_θ=0 =1-k2 ;_k

для x ∈ (0, 1) необходимо, чтобы 0 < 1 - k₂ < k₁, т.е. k₂ < 1 ∧ k₁ + k₂ > 1;

(

√

)₂

-k₂+

k²²+4k₁

ii) k₁x + k₂x^0,5 = 1 при θ = 0,5 имеет корень x^1θ=0,5 =

, для

2k₁

x ∈ (0,1) необходимо, чтобы k₁ + k₂ > 1 (второй корень в этот интервал не

входит); iii) k₁x + k₂x = 1 при θ = 1, решение

x_θ=1 =

; для x ∈ (0, 1)

k₁+k₂

необходимо, чтобы k₁ + k₂ > 1. Если рассматривать приближенное реше-

{(x_θ=0)^1-2θ(x_θ=0,5)^2θ,

θ ∈ (0;0,5),

ние в виде

то при этом реше-

(x_θ=0,5)^2-2θ(x_θ=1)^2θ-1, θ ∈ (0,5;1),

нии lim

f = 1, lim

f = 1, lim f = 1, т.е. на границах отрезка [0,1] и при

θ→0

θ→0,5

θ→1

x = 0,5 уравнение (9а) решается точно. Во внутренних точках погреш-

ность этого решения

|x^∗ - x| ≤ x_max - x_min = x_θ=1 - x_θ=0 =k2(k1+k2-1)k

1(k1+k2)

при вышеуказанных условиях (см. рис. 6), поэтому погрешность равен-

ства (9а) ε = |f(|x^∗ - x|) - 1|, и наибольшая погрешность при θ = 1 равна

ε_max =k2k₁ (k1^+k2^-1)<1.

t = 2 (k₁ < 0,k₂ < 0): неотрицательное равновесие отсутствует, n_E = 0, по-

скольку y < 0.

t = 3 (k₁ < 0,k₂ > 0): при x_∞ ∈ (0,1) решение аналогично t = 1; при

x_∞ ∈ (0,1) существуют две точки равновесия x^∗1 ∈ (0,x_∞) и x^∗2 ∈ (x_∞,1), т.е.

n_E = 2. Условие u(1) > 0 равносильно условию k₁ + k₂ < 1, соответственно

u(x_∞) < 0 ⇔ f(x_∞) > 1. Как и в случае t = 1 рассмотрим частные случаи, но

(

√

)₂

-k₂±

k²²+4k₁

случай (ii) в виде k₁x + k₂x^0,5 = 1 имеет решение x^3θ=0,5 =

2k₁

√

действительные корни могут быть при k₂ > 2

|k₁|, поэтому для x ∈ (0,1)

√

необходимо, чтобы k₂ ∈ (2

|k₁|, 2 |k₁|) ∧ k₂ - |k₁| < 1, тогда решение получим

в виде, аналогичном t = 1, и погрешность вычисляется аналогично.

t = 4 (k₁ > 0,k₂ < 0): при x_∞ ∈ (0,1) неотрицательное равновесие от-

сутствует, n_E = 0; при x_∞ ∈ (0, 1), если выполняется условие u(1) > 0 ⇔

⇔ k₁ + k₂ > 1, то существует одно неотрицательное равновесие x^∗ ∈ (x_∞,1),

155

т.е. n_E = 1, поскольку при этих условиях f(x) > 0 и возрастающая, то реше-

(

√

)₂

-k₂+

k²²+4k₁

ние вычисляется аналогично t = 1, только корень x^4θ=0,5 =

2k₁

входит в интервал (0, 1) при |k₂| < 2k₁ и соответствует условию k₁ + k₂ > 1.

t = 5 (k₁ > 0,k₂ > 0): при x_∞ ∈ (0,1) точка равновесия либо x^∗ ∈ (0,1), ес-

ли x⁺ ∈ (0, 1), либо x ∈ (0, x⁺), если x⁺ ∈ (0, 1), и при условии u(1) > 0 ⇔

⇔ k₁ + k₂ < 1 равновесие единственно, т.е. n_E = 1, при этих условиях

f (x) > 0 и убывающая. Сделаем приближение аналогично t = 1, но случай (ii)

при θ = -0,5 в виде k₁x + k₂x^-0,5 = 1 приводит к уравнению k₁z³ - z +

+k₂ = 0 при z = x^0,5, которое имеет единственное действительное решение√√

√

z =³ -q +

D + ³ -q -

, D=27k2k¹-4

, при условии D > 0,

k₁

108k³

(√

√

)₂

√

т.е. k²²k₁ >

; поэтому x^5θ=-0,5

-q +

D +³ -q -

. Случай (iii)

при θ = -1 в виде k₁x + k₂x^-1 = 1 приводит к уравнению k₁x² - x + k₂ = 0,

√1-4k₁k₂

из корней которого x =^1±

при условии k₁k₂ <¹⁴ в интервал (0, 1)

2k₁

√1-4k₁k₂

входит x^5,1θ=-1 =^1-

, т.е. условия следующие: k₁k₂ >¹⁴ ∧ k₁ + k₂ < 1.

2k₁

Наибольшая погрешность равенства (9а) вследствие отклонения

x^5θ=-1 -

√1-4k₁k₂-k₂

√1-4k₁k₂+k₂

-x^5θ=0 =

при θ = 0 равна ε_max =

< 1.

2k₁

при x_∞ ∈ (0, 1) ∧ x⁺ ∈ (0, 1), поскольку y(x) экстремумов не имеет, то рав-

новесие отсутствует, т.е. n_E = 0;

при x_∞ ∈ (0, 1) ∧ x⁺ ∈ (0, 1), если выполняются условия u(1) < 0 ⇔ k₁ +

+k₂ > 1 и u(x_∞) > 0 ⇔ f(x_∞) < 1, функция y(x) имеет интервалы вогну-

тости и выпуклости и два экстремума, значит, существуют две точки рав-

новесия x^∗1 ∈ (0, x_∞) и x^∗2 ∈ (x_∞, 1), т.е. n_E = 2, решение вычисляется ана-

логично t = 5 для x_∞ ∈ (0, 1), но случай (iii) при θ = -1 имеет два корня

√1-4k₁k₂

x^5.3θ=-1 =^1±

при условии k₁k₂ <¹⁴ , и если k₁ + k₂ > 1 ∧ k₁ >¹² , то эти

2k₁

корни входят в интервал (0, 1).

t = 6 (k₁ > 0, k₂ < 0): при условии u(1) > 0 ⇔ k₁ + k₂ > 1 точка равнове-

сия x^∗ ∈ (0, 1) и равновесие единственно, т.е. n_E = 1; так как f(x) > 0 и

возрастающая, то решение вычисляется аналогично t = 5, т.е. x^6θ=0 =1-k2 ,_k

(√

√

)₂

√

x^6θ=-0,5

-q +

D + ³ -q -

, но случай (iii) при θ = -1 (так как

= 0) приводит к уравнению k₁x = 1, т.е. x^6θ=-1 =¹ . Поэто-_k

k₂ =b1-a1a₀ =

a₀

му вследствие отклонения x^6θ=0 - x^6θ=-1 = -k2 при θ = 0 погрешность равна_k

ε_max = k₁ - k₂ - 1 < 1.

t = 7 (k₁ < 0, k₂ > 0): при условии u(1) > 0 ⇔ k₁ + k₂ < 1 точка равнове-

сия x^∗ ∈ (0, x⁺) и равновесие единственно, т.е. n_E = 1; при этих услови-

ях f(x) > 0 и убывающая, решение вычисляется аналогично t = 5 (форму-

ла (10д)), но случай (iii) k₁x + k₂x^-1 = 1 при θ = -1 дает решение

¹ < 0,

k₁

однако при x → 0 имеем неопределенность слагаемого k₂x^θ = (0 · ∞), рас-

156

(θ+1)/a₀

1/a₀

крыв которую, получим: lim

k₂xθ = lim

= lim

=¹ ; по-_a

x^-θ

θ→-1

θ→-1-θx-θ-1

этому решение будет x^7θ=-1 =a0-1a

∈ (0, 1), если a₀ < 1 ∧ a₀ + |b₀| > 1. Вслед-

0k1

при θ = 0 погрешность равна ε_max =

k₁

=1-a0 < 1._a

t = 8 (k₁ < 0, k₂ < 0): поскольку y(x) экстремумов не имеет, то равновесие

отсутствует, т.е. n_E = 0.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Nash J. Non-cooperative Games // Ann. Math. 1951. No. 54. P. 286-295.

Cournot A.A. Researches into the Mathematical Principles of the Theory of Wealth.

London: Hafner, 1960. (Original 1838).

Puu T. On the stability of Cournot equilibrium when the number of competitors

increases // J. Econom. Behavior Organizat. 2007. No. 66. Р. 445-456.

Agiza H.N., Elsadany A.A. Chaotic dynamics in nonlinear duopoly game with het-

erogeneous players // Appl. Math. Comput. 2004. No. 149. Р. 843-860.

Sun Z., Ma J. Complexity of triopoly price game in chinese cold rolled steel market //

Nonlin. Dynamics. 2012. No. 67. Р. 2001-2008.

Bischi G.I., Chiarella C., Kopel M., Szidarovszky Z. Nonlinear oligopolies: stability

and Bifurcations. New York: Springer. 2009.

Dubiel-Teleszynski T. Nonlinear dynamics in a heterogeneous duopoly game with

adjusting players and diseconomies of scale // Nonlin. Sci. Numer. Simulat. 2011.

No. 16. Р. 296-308.

Al-Khedhairi A. Dynamical Study of Competition Cournot-like Duopoly Games In-

corporating Fractional Order Derivatives and Seasonal Influences // Int. J. Nonlin.

Sci. Numer. Simulat. 2020. No. 21(3-4). Р. 339-359.

Гераськин М.И. Приближенное вычисление равновесий в нелинейной модели

олигополии Штакельберга на основе линеаризации // АиТ. 2020. № 9. С. 120-

143.

Geraskin M.I. Approximate Calculation of Equilibria in the Nonlinear Stackelberg

Oligopoly Model: A Linearization Based Approach // Autom. Remote Control. 2020.

V. 81. No. 9. P. 1659-1678.

10.

Chkhartishvili A.G., Korepanov V.O. Adding Informational Beliefs to the Players

Strategic Thinking Model // IFAC-PapersOnLine. 2016. No. 49 (32). P. 19-23.

11.

Алгазин Г.И., Алгазина Д.Г. Коллективное поведение в модели Штакельберга

в условиях неполной информации // АиТ. 2017. № 9. С. 91-105.

Algazin G.I., Algazina D.G. Collective behavior in the Stackelberg model under

incomplete information // Autom. Remote Control. 2017. No. 78 (9). P. 1619-1630.

12.

Filatov A.Yu., Makolskaya Ya.S. The equilibrium and socially effective number

of firms in oligopoly: theory and empirics // VIII Moscow Int. Conf. Oper. Res.

(ORM2016). 2016. P. 207-208.

13.

Алгазин Г.И., Алгазина Д.Г. Рефлексивная динамика в условиях неопределен-

ности олигополии Курно // АиТ. 2020. № 2. С. 115-133.

Algazin G.I., Algazina D.G. Reflexive Dynamics in the Cournot Oligopoly under

Uncertainty // Autom. Remote Control. 2020. No. 81 (2). P. 287-301.

157