Автоматика и телемеханика, № 9, 2022

Нелинейные системы

(Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)

СТАБИЛИЗАЦИЯ КОЛЕБАНИЙ УПРАВЛЯЕМОЙ

ОБРАТИМОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Рассматриваются обратимые механические системы, обладающие свой-

ством пространственно-временной симметрии и выделяющиеся линейным

преобразованием фазового пространства. Предполагается, что система

допускает невырожденное симметричное периодическое движение. Ре-

шается задача стабилизации колебания управляемой обратимой механи-

ческой системы. Находятся управления, строится притягивающий цикл.

Приводится пример.

Ключевые слова: обратимая механическая система, симметричное перио-

дическое движение, семейство, управление, притягивающий цикл, есте-

ственная стабилизация.

DOI: 10.31857/S0005231022090057, EDN: AIPBRB

1. Введение

Для гамильтоновой системы на плоскости Л.С. Понтрягин доказал [1] тео-

рему, обеспечивающую существование предельного цикла: в систему вводятся

малые автономные негамильтоновые слагаемые. Этот результат в [2] интер-

претируется как естественное решение задачи стабилизации колебания путем

использования малого гладкого автономного управления. Особенность поста-

новки задачи стабилизации заключается в том, что стабилизируется не коле-

бание исходной системы, а близкое ему колебание управляемой системы, что,

однако, достаточно для приложений.

В подходе к решению задачи стабилизации выбранного колебания динами-

ческой системы путем конструирования асимптотически орбитально устойчи-

вого цикла меняются свойства модели. Идея естественной коррекции модели,

уже с выбранным явно управлением, ранее была (см. [2]) реализована в урав-

нении Ван дер Поля

x + x = µ(1 - x²)x,

в котором управлением µ(1 - x²) x корректируется линейный осциллятор, что

приводит к притягивающему циклу управляемой системы.

Подход Понтрягина в [2] разрабатывался для отдельной системы общего

вида, множества динамических систем, а также динамической модели, со-

держащей слабо связанные подсистемы (МССП). При этом для МССП уста-

навливается принципиальная возможность решения задачи стабилизации ко-

лебания выбором надлежащих связей между подсистемами. В этом подходе

корректируются связи между подсистемами. В результате получается есте-

ственное решение задачи стабилизации без применения иных управлений.

В [2] построено управление для стабилизации колебаний консервативной си-

стемы с одной степенью свободы: для линейного осциллятора таким образом

получается уравнение Ван Дер Поля.

В осцилляторе Ван дер Поля управление дается нелинейной силой дис-

сипацией, действующей в каждой текущей точке траектории: управление

реализуется в контуре с триодом в мягком режиме его функционирования

[3, с. 63]. В [4, 5] показано, что сила носит универсальный характер, достав-

ляя универсальное управление для стабилизации колебания механической си-

стемы.

Постановки задачи управления колебаниями отличаются целями. Задачи

решаются разными методами (см., например, [6-10]). Как правило, применя-

ются управления, зависящие явно от времени. В подходе Понтрягина стаби-

лизация достигается путем конструирования притягивающего цикла орби-

тально асимптотического устойчивого изолированного периодического реше-

ния управляемой автономной системы. Автономное управление действует с

малым коэффициентом усиления сигнала генератора. Найденным в [4] управ-

лением достигается, к примеру, устойчивый колебательный режим маятника

с желаемой энергией. В данной статье результаты [4] обобщаются на обрати-

мую механическую систему.

Обратимые системы обладают фундаментальным свойством простран-

ственно-временной симметрии (см. [11]). В частности, они описываются обык-

новенными дифференциальными уравнениями. Обратимые механические си-

стемы выделяются симметрией фазового пространства относительно линей-

ного преобразования. К ним относятся основные модели аналитической меха-

ники: уравнения Лагранжа второго рода с позиционными силами, уравнения

Воронца для неголомонной системы, уравнения в квазикоординатах, задача

трех тел, задача о вращении тяжелого твердого тела с одной неподвижной

точкой и др. В общем случае система не консервативна.

2. Обратимая механическая система

Обратимая механическая система записывается в виде

u = U(u,v),

v = V (u,v),

(1)

U (u, -v) = -U(u, v), V (u, -v) = V (u, v),

u ∈ R^l, v ∈ Rⁿ, l ≥ n.

В моделях аналитической механики за u обычно принимается вектор обоб-

щенных координат (квазикоординат), а за v вектор обобщенных скоростей

(квазискоростей). Исследуется гладкая система (1).

Для системы (1) вводится неподвижное множество M = {u, v : v = 0}. Фа-

зовое пространство системы симметрично относительно множества M. По-

этому траектории, пересекающие M, будут симметричными относительно M.

Траектории, дважды пересекающие M, называются симметричными перио-

дическими движениями (СПД). На них u(t) = u(-t), v(t) = -v(-t).

Симметричное решение v = v(u⁰¹, . . . , u^0l, t) зависит только от начальной

точки u⁰ на неподвижном множестве M. Поэтому необходимые и достаточные

условия существования СПД периода T даются равенствами

(2)

v_s(u⁰¹,... ,u^0l

,τ) = 0, τ = 0,T/2; s = 1,...,n.

Условия (2) приводят к n равенствам, полученным при τ = T/2. Пусть

система (2) допускает решение

(3)

u⁰¹ = u^∗1,... ,u^0l = u^∗l, T = T^∗.

Тогда формируется матрица



,...,u^0l,T/2)



A(u⁰, T/2) = ||a_sj || =∂vs(u1

,



∂u^0j



в которой частные производные вычисляются для значений (3). В [12] вво-

дится понятие.

Определение 1. Случай rankA(u⁰,T/2) = n называется невырожден-

ным для симметричного периодического движения, а само СПД невырож-

денным.

Семейство СПД является k-параметрическим, k ≥ l - n + 1. Для семей-

ства невырожденных СПД: k = (l - n + 1). Невырожденное СПД продолжа-

ется по T в фазовом пространстве на глобальное семейство Σ невырожденных

СПД размерности k (см. [13]), причем продолжение происходит в направле-

ниях увеличения и уменьшения периода. Сам период T (ĥ) на Σ меняется

монотонно с параметромĥ (закон зависимости периода СПД от одного па-

раметра, см. [12]). Для системы (1), содержащей параметры, семейство Σ

продолжается по параметрам: Σ устойчиво относительно параметрических

возмущений системы [12, разд. 3, свойство 2]. Семейство Σ заполняет инва-

риантное многообразиеΣ.

Замечание 1. Для обратимой механической системы (1) с первыми

интегралами семейство невырожденных СПД может принадлежать инте-

гральным поверхностям, образуя при этом в системе семейство размерности

k > (l - n + 1) при l = n > 1 (см. [13]).

Отметим, что отклонения Δ_u, Δ_v от СПД описываются системой уравне-

ний, инвариантной относительно преобразования

(Δ_u, Δ_v, t) → (Δ_u, -Δ_v, -t).

3. Редукция системы на многообразиеΣ

На многообразииΣ семейство Σ описывается редуцированной обратимой

механической системой.

Лемма 1. На многообразии Σ семейство Σ описывается редуцированной

обратимой механической системой вида (1), в которой u ∈ R^k, k = l - n + 1,

а v ∈ R.

Доказательство. Из равенств (2), как следствие, при τ = T/2 получа-

ются линейные равенства

ξ_s ≡ a_s1(u⁰,τ)du⁰¹ + ... + a_sl(u⁰,τ)du^0l + b_s(u⁰,τ)dτ = 0,

b_s = ∂v_s(u⁰,τ)/∂t; s = 1,... ,n,

выполняющиеся наΣ. Для семейства Σ справедливо условие rank A = n, по-

этому линейным преобразованием η = P ξ, ξ = (ξ₁, . . . , ξ_n) с постоянной мат-

рицей P в векторной форме η выделяется форма η₁: формы η₂, . . . , η_n тожде-

ственно равны нулю. Преобразование справедливо для любой точки (q⁰, τ),

поэтому выделение происходит на всемΣ. В силу существования в (1) семей-

ства Σ размерности k наΣ оно описывается обратимой механической систе-

мой вида (1) с векторами u ∈ R^k и v ∈ R.

Следствие 1. В консервативной системе семейство Σ описывается

консервативной системой с одной степенью свободы.

В самом деле, в консервативной системе l = n, поэтому в редуцированной

системе l = n = 1; сами траектории остаются траекториями консервативной

системы. Результат установлен ранее.

Замечание 2. Для обратимой механической системы (1) с первыми ин-

тегралами редуцированная система выделяется на уровне постоянной инте-

грала.

Согласно лемме 1 редуцированная система описывается обратимой ме-

ханической системой вида (1), в которой u ∈ R^k, v ∈ R. Эта система до-

пускает k-параметрическое семейство T -периодических СПД по параметру

h = (h₁,...,h_k). Для невырожденного СПД период зависит только от одно-

го параметра [12]. Без ограничения общности принимается, что период T (ĥ)

является функцией переменнойĥ = h_k. Семейство невырожденных СПД ре-

дуцированной системы дается формулами

u₁ = ϕ₁(h,t),... ,u_k = ϕ_k(h,t), v = ψ(h,t),

(4)

ϕs(h, -t) = ϕs(h, t), ψ(h, t) = -ψ(h, t), s = 1, . . . , k.

Поэтому система уравнений в вариациях обладает системой из k периодиче-

ских решений

∂ϕ_s(h,t)

∂ψ(h,t)

δu^(j)s(h,t) =

, δv^(j)(h,t) =

j = 1,...,k - 1,

∂h_j

(5)

δu^(k)s(h,t) = u_s(h,t), δv^(k)(h,t) = v(h,t).

4. Условия существования цикла наΣ

НаΣ рассматривается управляемая обратимая механическая система

(6)

u_s = U_s(u,v)

Fs,

v = V (u,v) +G,

s = 1,...,k.

Предполагается, что при

F ≡ 0,

G ≡ 0 система (6) допускает k-семейство

невырожденных СПД (4). Система (6) исследуется в окрестности реше-

ния (4), отвечающего значению параметра h = h^∗. Ставится задача нахож-

дения гладких управлений

(7)

F = εF, F = (F₁,...,F_k),

= εG

с малым коэффициентом ε усиления регулятора таких, чтобы система (6)

допускала притягивающий цикл, близкий к СПД с h = h^∗: T^∗ = T (h^∗).

В ε-окрестности СПД с h = h^∗ записывается линейная неоднородная си-

стема уравнений, полученная из (6):

∑

δu_s =

a^-sj(h^∗,t)δu_j + a^+s(h^∗,t)δv + F_s,

j=1

(8)

∑

δv=

b^+j(h^∗,t)δu_j + b^-(h^∗,t)δv + G, s = 1,... ,k.

j=1

В (8) через (·)⁺(t) и (·)^-(t) обозначаются четные и нечетные T^∗-периоди-

ческие функции. Система в вариациях для СПД будет однородной частью

системы (8). Вследствие инвариантности системы (1) относительно преоб-

разования (u, v, t) → (u, -v, -t) и симметричности СПД эта система будет

инвариантной относительно преобразования (δu, δv, t) → (δu, -δv, -t).

Для краткости записи далее используются матричные и векторные обо-

значения

a^- = ||a^-sj||, a⁺ = (a⁺¹,... ,a^+k)^T , b⁺ = (b⁺¹,... ,b^+k), f₊ = ||f^+sj||.

В них верхний или нижний символы + и (-) означают четную (нечетную)

функцию переменной t: матрица f₊ вводится ниже. Применяется преобразо-

вание

δu = f₊(h^∗,t)ξ, f₊(h^∗,t) = 0,

+(h^∗, t) = a^-(h^∗, t),

в котором в силу нечетности функций в матрице a^-(h^∗, t) матрица f₊(h^∗, t)

находится с точностью до постоянной матрицы f_c. Тем самым невырожден-

ность матрицы f₊(h^∗, t) при любом t гарантируется выбором f_c. В результате

получается

= a+ (h^∗,t)f^-1+(h^∗,t)δv + f^-1+(h^∗,t)F,

δv = b+ (h^∗,t)f+ (h^∗,t)ξ + b- (h^∗,t)δv + G.

Вторым преобразованием

δv = g₊(h^∗,t)η, g₊(h^∗,t) = 0,

ġ₊(h^∗,t) = b^-(h^∗,t),

в котором g₊(h^∗, t) выбирается так же, как ранее f₊(h^∗, t), уравнения (8)

приводятся к виду

ξ = a⁺(h^∗,t)f^-1+(h^∗,t)g₊(h^∗,t)η + f^-1+(h^∗,t)F, ξ ∈ R^k,

(9)

η = b⁺(t)f₊(h^∗,t)g^-1+(h^∗,t)ξ + g^-1+(h^∗,t)G, η ∈ R.

Система

Ż = -b⁺(t)f₊(h^∗,t)g^-1+(h^∗,t)w, z ∈ R,

(10)

w = -a⁺(t)f^-1+(h^∗,t)g₊(h^∗,t)z, w ∈ R^k,

сопряженная к однородной части системы (9), не меняет вида при пре-

образовании (z, w, t) → (±z, ∓w, -t). Поэтому ее T^∗-периодические решения

(z^(j)(h^∗, t), w^(j)(h^∗, t)) общим числом k обладают свойством четности и нечет-

ности:

z^(j)(h^∗,-t) = ±z^(j)(h^∗,t), w^(j)(h^∗,-t) = ∓w^(j)(h^∗,t).

В переменных ξ = w, η = -z уравнения (9) совпадают с уравнениями (10),

если F ≡ 0, G ≡ 0. Следовательно, сопряженная система (10) имеет k перио-

дических решений

∂ψ(h^∗,t)

∂ϕ(h^∗, t)

z^(j)(h^∗,t) = -g^-1+(h^∗,t)

w^(j)(h^∗,t) = f^-1+(h^∗,t)

∂h_j

j = 1,...,k - 1,

z^(k)(h^∗,t) = -g^-1+(h^∗,t)ψk(h^∗,t), w^(k)(h^∗,t) = f^-1+(h^∗,t)ϕ˙_k(h^∗,t).

Выражениями

(11)

x_j = ηz^(j)(h^∗,t) + ξw^(j)(h^∗

,t),

j = 1,...,k

даются первые интегралы уравнений в вариациях. Поэтому для неоднородной

системы (8) получается

(12)

x_j = g^-1+(h^∗,t)Gz^(j)(h^∗,t) + f^-1+(h^∗,t)Fw^(j)(h^∗

,t),

j = 1,...,k.

Из формул (11) видно, что при (ξ, η) → (ξ, -η) переменные x_j не меняют

знаки. Поэтому этими переменными, дополненными переменной y (формула

для y приводится в разд. 6), однородная часть системы (9) преобразовывается

к виду, сохраняющему обратимость системы.

Выполненные преобразования справедливы для произвольного значения

параметра h. С учетом этого обстоятельства записываются необходимые и

достаточные условия

∫T^∗

[

]

(13)

I_j(h) ≡

g^-1+(h,t)Gz^(j)(h,t) + f^-1+(h,t)Fw^(j)(h,t)

dt = 0, j = 1, . . . , k

существования изолированного T^∗-периодического решения в системе (9).

При этом управления F (u, v) и G(u, v) вычисляются на СПД, выделенного

параметром h.

Лемма 2. Необходимым условием существования цикла в управляемой

обратимой механической системе будут равенства (13).

Доказательство. В самом деле, равенствами (13) доставляются необ-

ходимые и достаточные условия существования T -периодического решения в

первом по ε приближении, что означает необходимые условия существования

такого решения в системе (6). Так как цикл есть изолированное периодиче-

ское решение автономной системы (6), то (13) необходимо выполняются для

цикла.

Система (13) состоит из k уравнений с k неизвестными h₁, . . . , h_k. Доста-

точное условие существования цикла дается теоремой 1.

Теорема 1. Достаточное условие существования в системе (6) цикла,

ε-близкого к СПД (4) с параметром h = h^∗, дается неравенством



∂Ij(h^∗)



(14)

det G = 0, G =

.

∂h_i

Если все собственные значения матрицы G принадлежат левой полуплос-

кости, то цикл притягивающий.

Доказательство. Для системы (6) в окрестности решения (4) с h = h^∗

строится отображение t : 0 → T на периоде T^∗. Далее применяется стандарт-

ная техника для гладкого отображения. Тогда условие (14) гарантирует суще-

ствование единственной неподвижной точки отображения. Для собственных

значений матрицы G, принадлежащих левой полуплоскости, цикл становится

притягивающим.

5. Случай l = n

Для обратимой механической системы с размерностями l = n число k = 1.

Такими будут уравнения Лагранжа второго рода для голономной механиче-

ской системы, подверженной действию позиционных сил, а также уравнения

100

в квазикоординатах. Редуцированная система описывается на плоскости си-

стемой (1), в которой l = n = 1. Она допускает однопараметрическое поĥ

семейство СПД

(15)

u = ϕ(ĥ,t), v = ψ(h

,t).

Семейству СПД отвечает семейство периодических решений уравнений в ва-

риациях, которая получается из системы

(16)

δu = a-(ĥ,t)δu + a+(ĥ,t)δv + F,

δv = b+(ĥ,t)δu + b-(h

,t)δv + G

при F ≡ 0, G ≡ 0. Эти уравнения служат для нахождения необходимых и

достаточных условий притягивающего цикла, которые даются первым при-

ближением уравнений движения, составленных в окрестности выделенного

СПД семейства (15).

Уравнениям в вариациях отвечает сопряженная система

Ż = -a^-(ĥ,t)z - b⁺(ĥ,t)w,

w = -a⁺(ĥ,t)z - b^-(ĥ,t)w.

При этом решению уравнений в вариациях

δu =ϕ˙(ĥ,t), δv =

ψ(ĥ,t)

отвечает решение

z = -g-1+ (ĥ,t) ψ(ĥ,t), δw = f^-1+(ĥ,t) ϕ(ĥ,t)

сопряженной системы. Поэтому необходимые и достаточные условия суще-

ствования T -периодического решения в системе (16) сводятся к равенству

∫T

[

]

(17)

I(ĥ) ≡

-g^-1+(ĥ,t)Gψ(ĥ,t) + f^-1+(ĥ,t)Fϕ˙(ĥ,t)

dt = 0,

в котором согласно формулам перехода

∫

f₊(ĥ,t) = a^-(ĥ,t)dt, g₊(ĥ,t) = b^-(ĥ,t)dt.

В системе (16) одна из пар (F, G) управлений

(

)

(

)

σ(1 - Ku²

V,0

0, σ(1 - Ku²)Û , 0) ,

c функциямиÛ(u, v)

V (u, v) и постоянной K вполне решает задачу суще-

ствования притягивающего цикла; число σ равно +1 или (-1). Тем не менее,

следуя (5), в первой паре рассматривается конкретная функция

F =σ(1-Ku²

V = σ(1 - Ku²)u = σ(1 - Ku²)U(u,v).

101

Тогда получается амплитудное уравнение

∫

[

]

f^-1+(ĥ,t)

1 - Kϕ²(ĥ,t)

ϕ²(ĥ,t)dt = 0.

Отсюда выводится формула

∫

f^-1+(ĥ∗,t)ϕ˙²(ĥ∗,t)dt

K =

∫

f^-1+(ĥ∗,t)ϕ²(ĥ∗,t)ϕ˙²(ĥ∗,t)dt

для вычисления числа K(ĥ∗). При этом задается функция K(ĥ), а производ-

ная для функции I(ĥ) в точкеĥ∗ дается формулой

∫

dI(ĥ∗)

=σ

f^-1+(ĥ∗,t)ϕ²(ĥ∗,t)ϕ˙²(h^∗,t)dt.

В результате справедлива теорема 2.

Теорема 2. Для обратимой механической системы (1) с размерностя-

ми l = n в любой точкеĥ =ĥ∗ семейства СПД, в которой dK(ĥ∗)/dh = 0,

строится управляемая система с K = K(ĥ∗), допускающая притягивающий

цикл.

Замечание 3. Число σ выбирается противоположным по знаку произ-

водной dK(ĥ∗)/dh.

Замечание 4. Для обратимой механической системы с одной степенью

свободы результат впервые анонсирован в [2]: в [2] применялось управление,

в котором F = 0, G = σ(1 - Ku²)V (u, v).

Замечание 5. С учетом возможности приведения системы в вариациях

на многообразиииΣ к виду (9) теоремой 2 обосновывается использование

наΣ управляемой системы (6) в исходных переменных.

6. Выбор управления

В первой группе из k - 1 уравнений cистемы (13) функция z^(j) нечетная,

а функция w^(j) четная. В последнем уравнении z^(j) четная, а функция

w^(j) нечетная. На решении (4) функции F и G становятся T-периодически-

ми. Поэтому при k > 1 условия (13) не могут выполняться, если F ≡ 0. При

четной функции G первые слагаемые в интегралах I_j, j = 1, . . . , k - 1 равны

нулю. Поэтому F_j четные функции, для j = 1, . . . , k - 1. В интеграле I_k

функция G четная (или равна) нулю, а функция F_k будет нечетной (или

равной нулю).

102

Согласно проведенному анализу в системе амплитудных уравнений (13)

полагается G ≡ 0. Также используются функции

(

)

(

)

Fs = σs

1 - K_s||u||²

Û_s(u,v), F_k = σ_k

1 - K_k||u||²

V (u, v),

Û_s(u,v) =Ûs(u,-v),

V (u, v) =

V (u, -v),

(18)

∑

||u||² =

u²ⁱ, K_s = const, s = 1,... ,k.

i=1

Ими дается обобщение предложенного в [4] универсального управления для

обратимой механической системы: числа σ_s принимают значение +1 или (-1).

Лемма 3. Для СПД с параметром h = h^∗ набор чисел (K₁,...,K_k) су-

ществует.

Доказательство. Вводится обозначение: f^-1+(h,t) = ||c^+is(h,t)||. То-

гда для T^∗ = T (h^∗)-периодического решения условия (13) с функциями (18)

записываются в виде системы амплитудных уравнений

∑

[

]

I_j(h) ≡

σ_sc^+js(h,t)

1 - K_s||ϕ(h,t)||²

Û_s(h,t)w^(j)(h,t)dt +

s=1

(19)

∫T^∗

[

]

+ σ_kc^+jk(h,t)

1 - K_k||ϕ(h,t)||²

V (h, t)w^(k)(h, t)dt = 0, j = 1, . . . , k.

Тогда числа K_s находятся из условия совместности системы линейных урав-

нений (19) при h = h^∗.

Подынтегральные функции в (19) четные. При каждом значении t ранг

подынтегральной расширенной матрицы равен рангу подынтегральной ос-

новной матрицы. При разложении элементов матрицы четных функций,

в ряды Фурье, такое равенство сохраняется для матриц из средних значе-

ний функций на периоде. Следовательно, система линейных уравнений (19)

с неизвестными K₁, . . . , K_k имеет решение.

Замечание 6. С набором чисел (K₁,...,K_k) система амплитудных

уравнений (13) имеет корень h = h^∗.

Числа K_s находятся для значения параметра h = h^∗. При изменении h по-

лучаются функции K_s(h). Числами K_s(h^∗) гарантируется выполнение необхо-

димых условий существования цикла. По теореме 1 задача конструирования

притягивающего цикл в управляемой обратимой механической системе (6)

завершается выбором функцийÛs

Нахождение функций K_s(h) в общем виде представляет собой отдельную

задачу, сложность которой увеличивается с ростом размерности k > 1. По-

этому в качестве альтернативы предлагается подход, использующий управ-

ления (18), основанный на приведении уравнений в вариациях к системе с

103

постоянными коэффициентами. При этом само преобразование дается фор-

мулами (12), дополненными выражением для переменной y

(20)

y=ηψ

(h, t) + ξϕ˙(h, t).

В результате из (8) получается система

x_j = g^-1+ Gz^(j)(h,t) + f^-1+(h,t)Fw^(j)(h,t), j = 1,... ,k,

(21)

y = x_k + g^-1+ G ψ(h,t) + f^-1+(h,t)Fϕ˙(h,t).

Далее используются функции

(

)

Fj = -σ

1 - K||u||²

ξ^(j), j = 1,... ,k - 1;

(22)

(

)

Fk = -σ

1 - K||u||²

z^(j),

G ≡ 0.

Тогда из системы (21) выводятся уравнения

(

)

x_j = -εσf^-1+(h,t)

1 - K||u(h,t)||²

x_j, j = 1,... ,k,

(23)

y = x_k - εσf^-1+(h,t)(1 - K||u(h,t)||²)y.

Уравнения с номерами j = 1, . . . , k - 1 отделяются от подсистемы, включаю-

щей два последних уравнения. Согласно анализу в разделе 5 и теореме 2 по-

следняя подсистема допускает единственное T^∗-периодическое решение. Ре-

шение отвечает циклу, ε-близкому к СПД с h = h^∗. При надлежащем выборе

знака σ цикл будет орбитально асимптотически устойчивым.

В указанном решении x_k = 0, и нулевое решение уравнения по x_k асимп-

тотически устойчиво. В силу идентичности всех уравнений по переменным x_j

система (21) допускает единственное асимптотически устойчивое T^∗-перио-

дическое решение. На нем x_j = 0, j = 1, . . . , k. Переходом к системе (6) и

выбором K = K(h^∗) строится орбитально асимптотически устойчивый цикл

системы (6), близкий к СПД с параметром h = h^∗.

Теорема 3. Управление (22) гарантирует существование и орбитально

асимптотическую устойчивость цикла управляемой обратимой механиче-

ской системы (6).

Таким образом, теоремой 3 завершается решение задачи нахождения

управлений, гарантирующей существование притягивающего цикла, близко-

го к СПД, для редуцированной обратимой механической системы.

7. Стабилизация цикла

Решение задачи о притягивающем цикле в редуцированной системе в об-

щем случае, когда l ≥ n > 1 не приводит к стабилизации цикла в обратимой

механической системе (1). Для стабилизации необходимо обеспечить притя-

жение траекторий кΣ.

104

Согласно [14] невырожденному СПД семейства Σ отвечает k + 1 нуле-

вых характеристических показателей (ХП). При этом k - 1 ХП простые,

а два ХП образуют жорданову клетку. Оставшиеся ХП образуют пары ±κ.

При действии соответствующего ε-малого управления эти пары ХП становят-

ся ненулевыми. Поэтому необходимым условием стабилизации цикла управ-

ляемой обратимой механической системы будет принадлежность указанных

пар ±κ ХП мнимой оси.

Согласно теореме 1 цикл редукцированной системы стабилизируется есте-

ственным образом самим фактом его существования. Вывод справедлив для

системы (8), в которой размерности l ≥ n. Применим к такой системе лем-

му 1. Тогда на (k + 1)-многообразии строится управляемая система (6). Пе-

ременные, описывающие динамику внеΣ, наΣ принимают нулевые значе-

ния. Значит, эти переменные описывают динамику в окрестности нулевого по

этим переменным равновесия. Предполагается, что пары ±κ ХП принадле-

жат мнимой оси. Тогда ε-диссипация будет обеспечивать притяжение к мно-

гообразиюΣ.

Таким образом, справедлива теорема 4.

Теорема 4. Пусть в обратимой механической системе (1) размерно-

сти l ≥ n, и система допускает семейство Σ невырожденных СПД, запол-

няющее многообразиеΣ. Тогда задача стабилизации цикла управляемой си-

стемы решается построением управляемой редуцированной системы наΣ

и обеспечением притяжения траекторий кΣ.

Замечание 7. Конструктивное решение задачи построения многообра-

зияΣ и соответствующей редуцированной системы представляет собой нере-

шенную в общей случае задачу.

8. Пример. Стабилизация колебаний физического маятника

Физический маятник допускает два семейства маятниковых колебаний.

Одно из них плоское известно с 1884 г. (см. [15]); собственно с этих дви-

жений тяжелое твердое тело с одной неподвижной точкой и центром масс,

принадлежащим главной плоскости эллипсоида инерции, называется физи-

ческим маятником. Другое семейство пространственное получается про-

должением второго ляпуновского семейства, существующего в окрестности

нижнего положения равновесия тела. Многообразие, на котором происходят

колебания второго семейства, пока не выделено.

Движение физического маятника описывается обратимой системой урав-

нений Эйлера-Пуассона

Ap = (B - C)qr + Pz₀γ₂,

γ₁ = γ₂r - γ₃q,

(24)

B˙q = (C - A)rp + P(x₀γ₃ - z₀γ₁),

γ₂ = γ₃p - γ₁r,

C r = (A - B)pq - Px₀γ₂,

γ₃ = γ₁q - γ₂p.

105

Здесь в обозначениях системы (1) вектор u = (γ₁, γ₂, γ₃), вектор v = (p, q, r),

l = n = 3, неподвижное множество M = (γ₁,γ₂,γ₃,p,q,r : p = 0,q = 0,r = 0),

а A, B, C, x₀, z₀ параметры.

Cистема (24) допускает (см. [15]) интегральное многообразие

Ψ = {p,q,r,γ₁,γ₂,γ₃ : p = 0,r = 0,γ₂ = 0},

которое заполнено движениями физического маятника. Они симметричны

относительно множества M и описываются тремя уравнениями

(25)

B˙q = P(x₀γ₃ - z₀γ₁),γ1 = -γ3q, γ3 = γ1

После замены γ₁ = ρ cos θ, γ₃ = ρ sin θ, учитывающей равенство модуля еди-

ничного вектора единице (см. [13]), для Ψ получается система третьего по-

рядка

ρ = 0,

(˙θ = -q),

√

(26)

Bθ+ Pρ x²⁰ + z²⁰ sin(θ - α) = 0, sin α = x₀/ x²⁰ + z²⁰.

При этом для каждого решения ρ = ρ₀(const) имеем колебания математиче-

ского маятника, которые объединяются при изменении ρ₀ в двумерные се-

мейства СПД (k = 2 > l - n + 1). Физическому содержанию задачи отвечает

значение ρ₀ = 1.

На трехмерном многообразии строится управляемая система

δρ = εσ(1 - Kθ2)δρ, δρ = ρ - 1,

(27)

√

Bθ+ Pρ x²⁰ + z²⁰ sin(θ - α) = εσ(1 - Kθ²

θ,

в которой число K = K(h^∗): h^∗

значение энергии для цикла. К систе-

ме (27) применяется теорема 3. Получается притягивающий цикл, для ко-

торого δρ = 0. Притяжение траекторий к трехмерному многообразию обеспе-

чивается принадлежностью ХП чисто мнимой оси и применением ε-линейной

диссипации. Теорема 4 здесь формально не применяется.

В другом подходе выделяется двумерное многообразие Ψ₂, на котором ди-

намика описывается вторым уравнением системы (26). К колебаниям маят-

ника (СПД) применяется теорема 2, и на Ψ₂ строится притягивающий цикл.

Далее учитывается пара простых нулевых ХП СПД, второй из которых от-

вечает интегралу кинетического момента. Применяется теорема 4. В резуль-

тате стабилизация цикла всей системы обеспечивается чисто мнимыми ХП

пары ±κ СПД.

Оба подхода приводят к притягивающему циклу, близкому к СПД мате-

матического маятника. Второй подход применялся ранее, функция для ма-

тематического маятника K(h) вычислялась.

106

9. Заключение

Обратимые механические системы обладают фундаментальным свойством

пространственно-временной симметрии и выделяются симметрией фазово-

го пространства относительно линейного преобразования. Этими системами

описываются основные модели аналитической механики: уравнения Лагран-

жа второго рода с позиционными силами, уравнения Воронца для неголо-

монной системы, уравнения в квазикоординатах, задача трех тел, задача о

вращении тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой и др.

Задача стабилизации одночастотного колебания управляемой обратимой

системы решается следующим образом. Выделяется интегральное многооб-

разиеΣ, заполненное семейством невырожденных СПД, НаΣ строится реду-

цированная управляемая обратимая механическая система. Наконец, обеспе-

чивается притяжение траекторий кΣ. Задача решается конструктивно.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Понтрягин Л.С. О динамических системах, близких к гамильтоновым // Журн.

эксперим. и теорет. физики. 1934. Т. 4. Вып. 9. С. 883-885.

Тхай В.Н. Стабилизация колебаний автономной системы // АиТ. 2016. № 6.

С. 38-46.

Tkhai V.N. Stabilizing the Oscillations of an Autonomous System // Autom. Remote

Control. 2016. V. 77. No. 6. P. 972-979.

Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. M.: Гостехиздат,

1956.

Тхай В.Н. Стабилизация колебания управляемой механической системы // АиТ.

2019. № 11. С. 83-92.

Tkhai V.N. Stabilizing the Oscillations of a Controlled Mechanical System // Au-

tomation and Remote Control. 2019. V. 80. No. 11. P. 1996-2004.

Тхай В.Н. Стабилизация колебания управляемой механической системы с N сте-

пенями свободы // АиТ. 2020. № 9 . С. 93-104.

Tkhai V.N. Stabilizing the Oscillations of an N Degree of Freedom Controlled Me-

chanical System // Autom. Remote Control. 2020. V. 81. No. 9. P. 1637-1646.

Fradkov A.L Swinging Control of Nonlinear Oscillations // Int. J. Control. 1996.

V. 64. Iss. 6. P. 1189-1202.

Shiriaev A., Perram J.W., Canudas-de-Wit C. Constructive Tool for Orbital Stabi-

lization of Underactuated Nonlinear Systems: Virtual Constraints Approach // IEEE

T. Automat. Contr. 2005. V. 50. No. 8. P. 1164-1176.

Boubaker O. The Inverted Pendulum Benchmark in Nonlinear Control Theory: a

Survey // Int. J. Adv. Robot. Syst. 2013. V. 10. No. 5. 233-242.

Kant K., Mukherjee R., Khalil H. Stabilization of Energy Level Sets of Underactu-

ated Mechanical Systems Exploiting Impulsive Braking // Nonlinear Dynam. 2021.

V. 106. P. 279-293.

10.

Guo Yu., Hou B., Xu Sh., Mei R., Wang Z., Huynh V. Th. Robust Stabilizing Con-

trol for Oscillatory Base Manipulators by Implicit Lyapunov Method // Nonlinear

Dynam. 2022. V. 108. P. 2245-2262.

107

11. Lamb J.S.W., Roberts J.A.G. Time-reversal Symmetry in Dynamical Systems: a Sur-

vey // Physica D. 1998. V. 112. No. 1-2. P. 1-39.

12. Тхай В.Н. О поведении периода симметричных периодических движений //

Прикл. матем. и механ. 2012. Т. 76. Вып. 4. С. 616-622.

13. Тхай В.Н. Колебания и равновесия в обратимой механической системе // Вест-

ник СПбГУ. Сер. 1. Матем. Механ. Астрон. 2021. Вып. 4. С. 709-715.

14. Тхай В.Н. Об устойчивости регулярных прецессий Гриоли // Прикл. матем. и

механ. 2000. Т. 64. Вып 5. С. 848-857.

15. Млодзиевский Б.К. О перманентных осях в движении тяжелого твердого тела

около неподвижной точки// Тр. отд. физ. наук о-ва любит. естеств., антропол.

и этнограф. 1894. Т. 7. Вып. 1. С. 46-48.

Статья представлена к публикации членом редколлегии А.М. Красносельским.

Поступила в редакцию 17.03.2022

После доработки 18.05.2022

Принята к публикации 10.06.2022

108