Автоматика и телемеханика, № 1, 2023

Нелинейные системы

К.А. ЛАСТОЧКИН (lastconst@yandex.ru)

(Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)

ОСЛАБЛЕНИЕ УСЛОВИЯ РЕАЛИЗУЕМОСТИ ПРОЦЕДУРЫ

ДИНАМИЧЕСКОГО РАСШИРЕНИЯ И СМЕШИВАНИЯ¹

Предлагается обобщение процедуры динамического расширения и сме-

шивания, которое в отличие от базовой процедуры, во-первых, гарантиру-

ет убывание ошибки идентификации неизвестных параметров при выпол-

нении условия частичного конечного возбуждения регрессора, а во-вто-

рых, при частичном неисчезающем возбуждении регрессора с рангом не

менее единицы обеспечивает экспоненциальную сходимость к нулю ошиб-

ки слежения за регрессионной функцией.

Ключевые слова: идентификация, линейная регрессия, конечное возбуж-

дение, частичное возбуждение, параметрическая ошибка, сходимость,

ограниченность, монотонность, сингулярное разложение.

DOI: 10.31857/S0005231023010026, EDN: LUAPNM

1. Введение

За последние годы в отечественной и зарубежной литературе по адаптив-

ному управлению и теории идентификации было опубликовано более сотни

работ (см. библиографию цитируемой литературы и обзор [1]), посвященных

улучшению идентификации неизвестных постоянных параметров линейных

регрессионных уравнений как с точки зрения показателей качества переход-

ных процессов, так и с точки зрения условий, необходимых для сходимости

оценок к истинным значениям. Значительная часть из этих работ основа-

на на использовании процедуры динамического расширения и смешивания

регрессора (Dynamic Regression Extension and Mixing DREM) [2] и ее ана-

логов (интегральной модификации I-DREM [3], процедур генерации нового

скалярного возбужденного регрессора G+D и D+G [4, 5], скалярных конту-

ров оценки со сходимостью за конечное время [6] и пр.).

Базовая процедура DREM [2] состоит из этапов расширения и смешивания

регрессора. На первом этапе исходная линейная по параметрам регрессия,

как правило с векторным регрессором, с помощью устойчивых динамиче-

ских операторов и специальных схем расширения [1, 7, 8] преобразуется к

¹ Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Совета по грантам Прези-

дента РФ (проект МД.1787.2022.4).

расширенной регрессии с матричным квадратным регрессором. На втором

этапе полученное уравнение путем домножения на союзную матрицу расши-

ренного регрессора преобразуется к набору скалярных уравнений с общим

скалярным регрессором.

В отличие от хорошо известного стандартного градиентного идентифика-

тора [9] процедура DREM [2], во-первых, позволяет ввести набор скалярных

законов оценки, в которых существует возможность за счет регулирования

скалярных коэффициентов усиления повышать быстродействие и точность

идентификации каждого оцениваемого параметра в отдельности, а во-вто-

рых, ослабляет требование постоянного возбуждения регрессора и гаранти-

рует асимптотическую сходимость оценок к истинным значениям, если ска-

лярный регрессор неинтегрируем с квадратом. Модифицированные аналоги

DREM [3-6], в свою очередь, ослабляют данное условие и обеспечивают экс-

поненциальную или финитную сходимость параметрической ошибки к нулю

при условии конечного или начального возбуждения регрессора.

Однако, как было аналитически доказано и экспериментально продемон-

стрировано в [7, 8], условие конечного возбуждения регрессора для DREM

подобных процедур [2-6] необходимо для получения невырожденного ска-

лярного регрессора, а поэтому является не только условием сходимости, но и

условием реализуемости. При невыполнении этого требования в схемах [2-6]

невозможно убывание ошибки оценки неизвестных параметров, также как и

ошибки слежения настраиваемой моделью за регрессионной функцией. В то

же время классический градиентный идентификатор [9] даже при невыпол-

нении условия конечного возбуждения обеспечивает убывание ошибки иден-

тификации неизвестных параметров и асимптотическую сходимость ошибки

слежения, что в сравнении с этим подходом существенно снижает область

применимости DREM подобных процедур [2-6].

Вообще говоря, условие конечного возбуждения регрессора является до-

статочно слабым требованием [10] и не выполняется в двух основных ситуа-

циях: 1) хотя бы один элемент регрессора тождественно равен нулю; 2) су-

ществует линейная зависимость между составляющими регрессора [5].

В [10] доказано, что вектор состояний стационарного объекта в форме Фро-

бениуса возбужден конечно на начальном интервале времени, если задаю-

щее воздействие недифференцируемо хотя бы в одной точке из интервала,

что выполняется, например, если задающее воздействие описывается функ-

цией Хевисайда. Однако практический опыт показывает существование для

каждой конкретной задачи идентификации и каждой конкретной парамет-

ризации собственных требований, необходимых для конечного возбуждения

регрессора. В настоящее время не предложено обобщенных общепринятых

формализованных критериев, позволяющих априорно верифицировать ко-

нечное возбуждение регрессора в произвольной параметризации. Поэтому в

задачах идентификации и адаптивного управления необходимо использовать

процедуры и алгоритмы идентификации, способные гарантировать убывание

ошибки оценки неизвестных параметров и сходимость ошибки слежения при

отсутствии конечного возбуждения регрессора, что, в частности, мотивиру-

ет разработку модифицированной процедуры динамического расширения и

смешивания с ослабленным условием реализуемости.

Таким ослабленным требованием может выступать, например, частичное

конечное возбуждение регрессора, которое в отличие от условия конечного

возбуждения выполняется, пока хотя бы один из элементов регрессора от-

личен от нуля, даже при линейной зависимости между всеми элементами

регрессора [11].

На сегодняшний день в известной авторам литературе предложено два

основных подхода [12-14], ослабляющих условие реализуемости базовой про-

цедуры DREM до требования частичного конечного возбуждения.

В [12] предложено использовать закон идентификации с переключени-

ем, в котором при выполнении условия конечного возбуждения используется

I-DREM закон идентификации, а при выполнении условия частичного конеч-

ного возбуждения стандартный градиентный закон. Во втором случае этот

подход обеспечивает качество идентификации неизвестных параметров, со-

ответствующее стандартному градиентному идентификатору, что и является

его основным недостатком. В [13, 14] на основе модифицированного процесса

Грамма-Шмидта предложен и развит алгоритм удаления линейно зависи-

мых строк и столбцов из матрицы расширенного регрессора, позволяющий

при известной аналитической зависимости неизвестных параметров привести

задачу идентификации неизвестных параметров к задаче численного реше-

ния систем алгебраических уравнений. Однако вызывает определенные со-

мнения возможность решения данных уравнений для независимых неизвест-

ных параметров и, следовательно, расширения на общий случай результата,

полученного в [13, 14].

Таким образом, проблема ослабления условия реализуемости базовой про-

цедуры динамического расширения и смешивания является актуальной и на

сегодняшний день не имеет эффективных решений. Поэтому в этой работе

предлагается ослабить условие реализуемости процедуры DREM, дополнив

ее новым этапом регуляризации расширенного регрессора.

Целью этапа регуляризации является, во-первых, проверка условий, необ-

ходимых и достаточных для генерации скалярного невырожденного регрес-

сора, а во-вторых, виртуальное изменение матрицы расширенного регрессора

при их невыполнении. Говоря более детально, на этапе регуляризации пред-

лагается выполнить собственное разложение расширенного регрессора, полу-

ченного фильтрацией Крейссельмейера [1], что в силу его симметричности и

положительной полуопределенности позволяет:

верифицировать выполнение условия конечного возбуждения расши-

ренного регрессора по его собственным числам;

подменить, следуя методу гребневой регрессии [15, 16], нулевые соб-

ственные числа регрессора на произвольные постоянные.

Смешивание модифицированного расширенного регрессора, полученного

после регуляризации, при выполнении условия частичного конечного возбуж-

дения позволяет получить новую регрессию с невырожденным на интерва-

ле частичного конечного возбуждения скалярным регрессором, что без ис-

пользования регуляризации было невозможно. В работе показано, что закон

идентификации, построенный по такой регрессии, при выполнении условия

конечного возбуждения совпадает с DREM законом идентификации и, до-

полнительно, при выполнении необходимого условия частичного конечного

возбуждения и ряда достаточных условий обеспечивает убывание ошибок

идентификации и слежения.

Основным результатом работы является процедура динамического расши-

рения, регуляризации и смешивания регрессора, ослабляющая условие реа-

лизуемости базовой процедуры динамического расширения и смешивания.

Основные определения

Введем основные определения из [3, 9-11, 17], которые будут аксиомати-

чески использованы при постановке задачи и формулировании основного ре-

зультата.

О п р е д е л е н и е 1. Регрессор ϕ(t) ∈ Rⁿ возбуждается постоянно

(ϕ(t) ∈ PE), если для любого t ≥ t₀ ≥ 0 существуют T > 0 и α > 0 такие,

что верно неравенство





∫



(1.1)

λ_min

ϕ (τ) ϕ^T (τ) dτ

≥ α,





где α > 0 степень возбуждения, λ_min {.} оператор, возвращающий ми-

нимальное собственное число матрицы.

О п р е д е л е н и е

Регрессор ϕ(t) ∈ Rⁿ возбуждается конечно

(ϕ(t) ∈ FE) на интервале [t^+r; t_e] ⊂ [t₀; ∞), если существуют t_e > t^+r ≥ t₀ ≥ 0

и α > 0 такие, что верно неравенство





∫



(1.2)

λ_min

ϕ (τ) ϕ^T (τ) dτ

≥ α.





Определение 3. Регрессор ϕ(t) ∈ Rⁿ возбуждается постоянно и ча-

стично (ϕ(t) ∈ s-PE) c постоянным рангом 0 < r < n, если для любого

t > t₀ ≥ 0 существуют T > 0 и 0 < α ≤ α такие, что ∀i ∈ {1,...,r} верно

неравенство





∫



(1.3)

α≤λ_i

ϕ (τ) ϕ^T (τ) dτ

≤ α,





где 0 < α ≤ α степень частичного возбуждения.

Определение 4. Регрессор ϕ(t) ∈ Rⁿ возбуждается конечно и ча-

стично (ϕ(t) ∈ s-FE) c постоянным рангом

0 < r < n на интервале

[t^+r; t_e] ⊂ [t₀; ∞), если существуют t_e > t^+r ≥ 0 и 0 < α ≤ α такие, что

∀i ∈ {1,... ,r} верно неравенство





∫



(1.4)

α≤λ_i

ϕ (τ) ϕ^T (τ) dτ

≤ α.





Соотношения между введенными пространствами возбуждения регрессо-

ра задаются следующим образом:

{

}

ϕ(t) ∈ FE

ϕ(t) ∈ PE ⇒

⇒ ϕ(t) ∈ s-FE.

ϕ(t) ∈ s-PE

Требования (1.1) и (1.2) накладывают ограничения на все собственные

числа матрицы Грамма, а требования (1.3) и (1.4) только на часть из них.

Поэтому условие ϕ(t) ∈ s-FE является наиболее слабым и в предельном слу-

чае выполняется с r = 1, если хотя бы один элемент ϕ(t) отличен от нуля на

интервале [t^+r; t_e] ⊂ [t₀; ∞).

Важную роль в современной теории идентификации выполняет филь-

трация Крейссельмейера, позволяющая преобразовать векторный регрессор

ϕ(t) ∈ Rⁿ в матричный ϕ(t) ∈ R^n×n с сохранением возбуждения регрессора:

(1.5)

∀t ≥ t₀

ϕ(t) = -lϕ(t) + ϕ(t)ϕ^T(t), ϕ (t₀) = 0_n×n,

где l > 0 параметр фильтра Крейссельмейера.

Выпишем из [8, 11] свойства матричного регрессора ϕ(t) ∈ R^n×n в зависи-

мости от выполнения условий (1.1)-(1.4) для ϕ(t) ∈ Rⁿ.

Следствие 1. ϕ(t) ∈ PE ⇔ ∀t ≥ kT λ_min(t) > µ.

Следствие 2. ϕ(t) ∈ FE ⇔ ∀t ∈ [t_δ;t_δ + δ] ⊂ [t+r ;t_e] λ_min(t) > µ.

Следствие 3. ϕ(t) ∈ s-PE ⇔ ∀t ≥ kT ∀i ∈ {1,...,r} λ_i(t) > µ.

Следствие 4. ϕ(t) ∈ s-FE ⇔ ∀t ∈ [t_δ;t_δ + δ] ⊂ [t+r ;t_e]

∀i ∈ {1,... ,r}λ_i(t) > µ.

Здесь k ≥ 1

положительное целое число, µ > 0

оценка снизу на

собственное число, λ_i(t)

i-е собственное число регрессора ϕ(t), λ_min(t) =

= min

λ_i(t)

минимальное отличное от нуля собственное число регрессо-

1≤i≤n-r

ра ϕ(t), r = n - r ранговый дефицит.

Доказательство cледствий 1 и 2 приводится соответственно в [8, 11], а до-

казательство следствий 3 и 4 может быть получено аналогично.

На основании определения собственного разложения положительно полу-

определенной постоянной матрицы из [17] введем определение собственного

разложения динамического регрессора ϕ(t) ∈ R^n×n.

Определение 5. Собственное разложение регрессора ϕ(t) ∈ R^n×n пере-

менного ранга r(t) ≤ n задается следующим произведением:

[

]

V^T1(t)

[

]

V^T(t)ϕ(t)V (t) =

ϕ(t)

V₁(t) V₂(t)

V^T2(t)

[

]

(1.6)

Λ₁(t)

0r(t)×r(t)

= Λ(t) =

0r(t)×r(t)

0r(t)

{

}

Λ₁(t) ∈ R^r(t)×r(t) = diag

λ₁(t),λ₂(t),... ,λ_r(t)(t)

где V₁(t) ∈ R^n×r(t)

переменный ортонормальный базис для собственно-

го пространства ϕ(t), V₂(t) ∈ R^n×r(t)

переменный ортонормальный ба-

зис для нуль пространства ϕ(t), λ₁(t) ≥ λ₂(t) ≥ . . . ≥ λ_r(t)(t) >0

ненуле-

вые собственные числа ϕ(t), 0_r(t) ∈ R^r(t)×r(t) нулевая матрица, 0_r(t)×r(t) ∈

∈R^r(t)×r(t),0_r(t)×r(t) ∈R^r(t)×r(t)

нулевые матрицы соответствующих раз-

мерностей.

2. Постановка задачи

Рассмотрим классическую задачу идентификации постоянных параметров

линейного регрессионного уравнения:

(2.1)

∀t ≥ t₀

z(t) = ϕ^T

(t)θ,

где ϕ(t) ∈ Rⁿ, z(t) ∈ R измеримые регрессор и функция, θ ∈ Rⁿ неиз-

(

)

вестные постоянные

θ≡ 0 , ограниченные (∥θ∥ ≤ θ_max) параметры.

Будем предполагать выполнение для ϕ(t) следующего допущения.

Допущение 1. Регрессор ϕ(t) ограничен: ∥ϕ(t)∥ ≤ ϕ_max.

Требование допущения 1 для общего случая возможно выполнить, домно-

жив (2.1) на n_s =

1+ϕ^T(t)ϕ(t)

Необходимо построить закон формирования оценокθ(t) ∈ Rⁿ, обеспечива-

ющий при ϕ(t) ∈ s-FE выполнение неравенств:



(

)



θ

(t_e)≤β

θ

t^+r

, β ∈ (0;1),

(2.2)



(

)

z

|z(t_e)| ≤ β

t^+r

,

где z(t) = ϕ^T(t)θ - z(t) ошибка слежения,θ(t) =θ(t) - θ параметриче-

ская ошибка.

Неравенства (2.2) означают убывание соответственноθ(t) и z(t) на ин-

тервале [t^+r; t_e]. Требование ϕ(t) ∈ s-FE при этом является условием реали-

зуемости целевого закона, а под реализуемостью понимается возможность

уменьшения априорных рассогласований z(t^+r) иθ(t^+r).

2.1. Градиентный закон идентификации

Классическим решением, гарантирующим достижение цели (2.2), является

градиентный закон идентификации:

(

)

(2.3)

θ(t) = -Γϕ(t) ϕ^T(t)θ(t) - z(t) , Γ=ΓT

> 0,

который реализуем при ϕ(t) ∈ s-FE и в целом обеспечивает следующие свой-

ства:







lim

θ(t) = 0(exp),

a₁) ϕ(t) ∈ PE ⇔



im |z(t)| = 0 (exp) ;

t→∞

a₂) lim |z(t)| = 0;

t→∞



a₃) λ_min (Γ) = λ_max (Γ) ⇒

θ

(t_a)≤

θ

(t_b)∀ta ≥ tb;

{ 



θ

(t_e)≤β

θ

(t^+r), β ∈ (0; 1)

a₄) ϕ(t) ∈ s-FE ⇒

|z(t_e)| ≤ β |z(t+r )|;

a₅) при ϕ(t) ∈ PE существует оптимальное значение Γ, обеспечивающее

максимизацию скорости экспоненциальной сходимости параметриче-

ской ошибкиθ(t) к нулю. Изменение элемента Γ оказывает влияние

на качество переходных процессов по всемθi(t).

Закон (2.3), несмотря на реализуемость при ϕ(t) ∈ s-FE (a₄), обеспечивает

экспоненциальную сходимостьθ(t) и z(t) к нулю при выполнении ограничи-

тельного условия неисчезающего возбуждения регрессора (a₁), гарантирует

монотонность только нормы параметрической ошибки (a₃), а элементы варьи-

руемого параметра Γ оказывают влияние на качество переходных процессов

по всем ошибкам (a₅).

Для преодоления недостатков закона (2.3) в [2] была предложена проце-

дура DREM, согласно которой сначала выполняется специальная обработка

регрессии (2.1), состоящая из расширения и смешивания регрессора, а уже

после, по новой регрессии, вводится закон оценки неизвестных параметров.

Рассмотрим процедуру синтеза и свойства такого закона подробнее.

2.2. Динамическое расширение и смешивание регрессора

На этапе расширения выполняется преобразование исходного векторного

регрессора ϕ(t) ∈ Rⁿ в матричный ϕ(t) ∈ R^n×n, например, c помощью филь-

тра (1.5):

ϕ(t) = -lϕ(t) + ϕ(t)ϕ^T(t), ϕ (t₀) = 0_n×n,

(2.4)

y(t) = -ly(t) + ϕ(t)z(t), y (t₀) = 0_n,

где y(t) ∈ Rⁿ расширенная регрессионная функция.

После фильтрации (2.4) имеем расширенное регрессионное уравнение:

(2.5)

y(t) = ϕ(t)θ,

по регрессору которого согласно следствиям 1-4 возможно верифицировать

выполнение условий (1.1)-(1.4).

На этапе смешивания согласно [2] осуществляется преобразование матрич-

ного регрессора ϕ(t) ∈ R^n×n в скалярный ω(t) ∈ R путем умножения (2.5)

на союзную матрицу adj {ϕ(t)} и использования свойства adj {ϕ(t)} ϕ(t) =

= det{ϕ(t)} I_n×n:

Y (t) = ω(t)θ,

(2.6)

Y (t): = adj {ϕ(t)} y(t), ω(t): = det {ϕ(t)} ,

где Y (t) ∈ Rⁿ.

На основании полученных n скалярных уравнений (2.6) согласно [2] вво-

дится закон идентификации в форме

(

)

θ_i(t)

θ_i(t) = -γ_iω(t) ω(t)θi(t) - ω(t)θ_i(t) =

(2.7)

= -γ_iω²(t)θi(t), γ_i > 0,

который реализуем при ϕ(t) ∈ FE и в целом обеспечивает следующие свой-

ства:



ω(t) ∈ L₂ ⇔ lim θ(t) = 0;

t→∞

b₁)



ω(t) ∈ PE ⇔ lim

θ(t) = 0(exp);

t→∞









b₂) lim

θ(t) = 0 ⇒ lim

z(t)-ϕ^T(t)θ(t)

= 0 (certainty equialence);

t→∞

}

|z(t)|



b₃)

θ

i (ta)≤

θ

i (tb)∀ta ≥ tb;









θ

(t_e)≤β

θ

(t^+r), β ∈ (0;1)

b₄) ϕ(t) ∈ FE ⇒

 |z(t_e)| ≤ β |z(t+r )|;

b₅) при ϕ(t) ∈ PE скорость экспоненциальной сходимости параметриче-

ской ошибкиθi(t) может быть увеличена путем увеличения γ_i, а из-

менение коэффициента γ_i оказывает влияние на качество переходно-

го процесса поθi(t).

Как следует из сравнения свойств a₁-a₅ и b₁-b₅, ослабленное требова-

ние для асимптотической сходимости параметрической ошибки (b₁), моно-

тонность переходных процессов по каждой в отдельности ошибкеθi(t) (b₃),

а также возможность влияния c помощью γ_i на качество оценок по конкрет-

нойθi(t) (b₅) определяют преимущества закона (2.7) над градиентным (2.3).

Однако в то же время закон (2.7) не обеспечивает сходимость к нулю ошиб-

ки z(t) без параметрической сходимости (b₂) и обладает более строгим усло-

вием реализуемости (b₄).

Поэтому основной целью работы является построение закона идентифи-

кации, который сочетает положительные свойства (2.3) и (2.7), а значит, при

ϕ(t) ∈ FE обладает свойствами b₁-b₅ закона (2.7), при ϕ(t) ∈ s-FE свой-

ством a₄ закона (2.3) и в отличие от (2.7) обеспечивает сходимость ошибки

слежения z(t) без параметрической сходимости (a₂).

3. Основной результат

3.1. Динамическая регуляризация расширенного регрессора

Следуя определению 5, регрессионное уравнение (2.5) может быть приве-

дено к виду

[

]

[

]

V^T(t)

(3.1)

y(t) = ϕ(t)θ =

V₁(t) V₂(t)

Λ(t)

θ = V (t)Λ(t)V ^T

(t)θ.

V^T2(t)

Заметим, что при rank {ϕ(t)} = r(t) < n матрица Λ(t) содержи r(t) 0



нулей на главной диагонали, и поэтому ω(t) = det {ϕ(t)} ≡ 0 ⇒

θ

(t_e)=



θ

(t^+r). Следовательно, чтобы сделать определитель регрессора ϕ(t) невы-

рожденным при переходе к регрессии со скалярным регрессором (2.6), необхо-

димо виртуально подменить нули главной диагонали матрицы Λ(t) числами,

отличными от нуля [15, 16]. Для этого введем в рассмотрение величину Ξ(t),

дополняющую Λ(t) до полного ранга:

Ξ(t) = Λ(t) - Λ(t),

{

}

если diag

λ₁(t),λ₂(t),... ,λ_n(t)

= εI_n×n,

Λ(t):=^n×n,

{

}

(3.2)

diag

λ₁(t),λ₂(t),... ,λ_n(t)

, иначе,

{λ_i(t), если λ_i(t) ≥ ε,

λ_i(t): =

i = 1,n,

ε, если λ_i(t) < ε,

где Λ(t) новая матрица собственных чисел, ε > 0 коэффициент, опреде-

ляющий значение виртуальных собственных чисел, ε ≥ 0 - параметр, опреде-

ляющий амплитуду собственных чисел ϕ(t), считающихся эквивалентно рав-

ными нулю при наличии погрешностей вычислений и внешних возмущений.

Прибавив к (3.1) выражение ±V (t)Ξ(t)V^T(t)θ, имеем:

y(t) = ϕ(t)θ = V (t)Λ(t)V^T(t)θ ± V (t)Ξ(t)V^T(t)θ =

(3.3)

= V (t)Λ(t)V ^T(t)θ - V (t)Ξ(t)V ^T(t)θ = Φ(t)θ - V (t)Ξ(t)V ^T(t)θ,

где Φ(t) ∈ R^n×n новый регрессор с собственными числами Λ(t).

Умножив уравнение (3.3) на матрицу adj {Φ(t)} и воспользовавшись свой-

ствами

adj {Φ(t)} = det {Φ(t)} Φ^-1(t), Φ^-1(t) = V (t)Λ^-1(t)V^T(t),

adj {Φ(t)} Φ(t) = det {Φ(t)} I_n,

имеем:

Υ(t) = ω(t)θ - ω(t)V (t)Λ^-1(t)Ξ(t)V^T(t)θ = ω(t)Θ(t),

Υ(t): = adj {Φ(t)} y(t), ω(t): = det {Φ(t)} ,

(3.4)

Θ(t): = θ - V (t)Λ^-1(t)Ξ(t)V^T(t)θ = θ - V₂(t)V^T2(t)θ,

}

d(t)

где Θ(t) ∈ Rⁿ вектор новых неизвестных параметров, d(t) ∈ Rⁿ возму-

щение, вызывающее различие между Θ(t) и θ.

Свойства нового регрессора ω(t) ∈ R опишем в следующем утверждении.

Утверждение 1. Пусть матрица Λ(t) формируется алгоритмом (3.2)

при ε = 0, тогда верны импликации:

1) ϕ(t) ∈ PE ⇔ ∀t ≥ kT ω(t) ≥ λ^nmin(t) > µⁿ > 0.

[

]

2) ϕ(t) ∈ FE ⇔ ∀t ∈ [t_δ; t_δ + δ] ⊂

t^+r;t_e

ω(t) ≥ λ^nmin(t) > µⁿ > 0.

3) ϕ(t) ∈ s-PE ⇔ ∀t ≥ kT ω(t) ≥ min {λ^nmin(t), εⁿ} > 0.

[

]

4) ϕ(t) ∈ s-FE ⇔ ∀t ∈ [t_δ; t_δ + δ] ⊂

t^+r;t_e

ω(t) ≥ min {λ^nmin(t), εⁿ} > 0.

Доказательство утверждения 1 приведено в Приложении.

На основе регрессии (3.4), учитывая доказанные в утверждении 1 свой-

ства, в соответствии с [18] введем закон идентификации с нормализацией

возбуждения регрессора:

(

)

θ(t) = -γ(t)ω(t) ω(t)θ(t) - Υ(t)

(

)

= -γ(t)ω²(t)

θ(t) - θ - γ(t)ω2(t)d(t) =

(

)

(

)

= -γ(t)ω²(t)

θ(t) - Θ(t)

t^+r

=θ₀,

(3.5)

}

Θ(t)





γ₁, если ω(t) ≤ min {λ^nmin(t),εⁿ} ,

γ(t): =

γ₀



иначе,

ω²(t)

где γ₀ > 0, γ₁ > 0 варьируемые параметры закона идентификации,Θ(t) ∈

∈ Rⁿ ошибка идентификации вектора Θ(t).

В силу алгоритма формирования матрицы дополнения Ξ(t) для закона

(3.5) оказывается справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Пусть выполнено допущение 1 и ε = 0, тогда:

1) если ϕ(t) ∈ FE/ϕ(t) ∈ PE, то (3.5) обладает свойствами b₁-b₅;

2) если ϕ(t) ∈ s-FE и выполнены следующие достаточные условия



2.1)

θ

(t^+r) = β1θmax, β1 > 1,

2.2) произведение γ₀δ такое, что

¹ + e-0,5γ0δ ∈ (0;1),

β₁

то целевые неравенства (2.2) выполняются, а закон (3.5) реализуем;



3) ω(t) ∈ L₂ ⇒ lim

θ(t)≤θmax;

t→∞



4) ϕ(t) ∈ s-PE ⇒ li lim

θ(t) ≤ θmax (exp).

t→∞

Скорость экспоненциальной сходимости при этом может быть непо-

средственно отрегулирована выбором параметра γ₀.

Доказательство теоремы 1 приведено в Приложении.

Как следует из результатов теоремы 1, к сожалению, при произвольных

значенияхθ(t^+r) закон (3.5) оказывается нереализуемым с точки зрения (2.2),

поскольку при движении в области с границей θ_max норма ошибкиθ(t) мо-



жет принимать значения больше, чем

θ

(t^+r), что является недостатком за-

кона (3.5) относительно стандартного градиентного (2.3). Поэтому необходи-

мым условием реализуемости (3.5) является частичное конечное возбужде-

ние регрессора ϕ(t) ∈ s-FE, а достаточными выполнение предпосылок 2.1)

и 2.2). Здесь же необходимо отметить, что выборθ(t^+r) = 0_n гарантирует

невозрастание ошибкиθ(t) на [t^+r; t_e], что позволяет говорить о квазиреализуе-

мости закона (3.5) с точки зрения (2.2) при выполнении только необходимого

условия ϕ(t) ∈ s-FE.

Таким образом, в соответствии с предложенной процедурой динамической

регуляризации регрессора (3.1)-(3.4), с одной стороны, при ϕ(t) ∈ FE допол-

нение Λ(t) до полного ранга не осуществляется и закон (3.5) вырождается

в (2.7), а с другой стороны, при ϕ(t) ∈ s-FE выполняется дополнение Λ(t) до

полного ранга и (3.5) в отличие от (2.7) при выполнении достаточных условий

является реализуемым с точки зрения (2.2).

Глобальную устойчивость ошибок z(t) и

Θ(t) при использовании зако-

на (3.5) исследуем, выдвигая различные предположения относительно ран-

га r(t) и базиса нуль пространства V₂(t). В подразделе 3.2 предположим их

постоянство, а в разделе 3.3 кусочно-постоянный характер изменения.

3.2. Постоянный ранг и базис нуль пространства

Введем допущение о постоянстве ранга и нуль базиса регрессора ϕ(t) ∈

∈R^n×n.

Допущение 2. Для ϕ(t) ∈ R^n×n постоянного ранга r(t) ≡ r < n, r(t)≡

≡ r > 0 существует разложение (1.6) с постоянной матрицей V₂(t) ≡ V₂.

При выполнении допущения 2 возмущение d(t) ≡ d и неизвестные пара-

метры Θ(t) ≡ Θ также не зависят от времени.

Свойства ошибок z(t) иΘ(t) при использовании закона (3.5) и выполнении

допущения 2 с учетом результатов утверждения 1 изучим в теореме 2. В ее

первой части опишем безусловные свойства, во второй свойства, гаран-

тируемые при выполнении условия реализуемости, а в третьей и четвертой

части сформулируем условия асимптотической и экспоненциальной устойчи-

вости.

Теорема 2. При выполнении допущений 1 и 2 верны утверждения:



∀t ≥ t₀

Θ

i (ta)≤

Θ

i (tb) ∀ta ≥ tb.

{ 



Θ (t_e)≤β

Θ

(t^+r);

II. ϕ(t) ∈ s-FE ⇒

|z(t_e)| ≤ β |z(t+r )|.





 lim

Θ(t) = 0;

III. ω(t) ∈ L₂ ⇒

t→∞

 lim |z(t)| = 0.

t→∞





 lim

Θ(t) = 0(exp);

t→∞

IV. ϕ(t) ∈ s-PE ⇒

 lim |z(t)| = 0 (exp) .

t→∞

Скорость экспоненциальной сходимости при этом может быть непо-

средственно отрегулирована выбором параметра γ₀.

Доказательство теоремы 2 приведено в Приложении.

Замечание 1. Условие асимптотической устойчивости ω(t) ∈ L₂ строго

слабее условия экспоненциальной устойчивости ϕ(t) ∈ s-PE, так как, напри-

мер, существует регрессор ω(t) = ε^n-1λ₁(t), λ₁(t) =

такой что ω(t) ∈ L₂

√1+t^,

и ϕ(t) ∈ s-PE, поскольку ∄µ > 0 ∀t ≥ t₀ λ₁(t) > µ, что противоречит след-

ствию 3. Поэтому при выполнении допущения 2 минимальным требовани-

ем для сходимости ошибокΘ(t) и z(t) к нулю, аθ(t) к области θ_max при

использовании закона (3.5) является неинтегрируемость с квадратом произ-

ведения r собственных чисел ϕ(t).

3.3. Кусочно-постоянный ранг и базис нуль пространства

Требования допущения 2 ограничительны, а в приложениях как ранг, так

и нуль базис регрессора обычно дискретно изменяются. Поэтому проведем

анализ свойств закона (3.5) в предположении кусочно-постоянного характера

изменения ранга и нуль базиса регрессора ϕ(t).

Допущение 3. Ранг регрессора ϕ(t) является кусочно-постоянной функ-

цией и существует разложение (1.6) с кусочно-постоянной матрицей V₂(t):

∑

(3.6)

∀t ≥ t₀ r(t) =

Δjr h(t - tjr ), V₂(t) =

ΔjV h(t - tjV

jr=1

j_V =1

где tjr

момент времени изменения ранга, Δjr величина изменения ран-

га в момент времени tjr , tjV

момент времени изменения базиса V₂(t),

ΔjV ∈ R^n×r(t) величина изменения V₂(t), h(t - tjr ), h(t - tjV ) функции

единичного скачка.

При выполнении (3.6) возмущение d(t) и неизвестные параметры Θ(t) яв-

ляются кусочно-постоянными функциями:

∑

d(t) =

Δ_jh(t - t_j),

d(t) =

Δ_jδ (t - t_j),

j=1

(3.7)

∑

Θ(t) = θ - Δ_j h (t - t_j ),

j=1

где t_j ∈ {tjr , tjV |j_r ∈ N, j_V ∈ N} моменты времени изменения d(t), δ(t-t_j )

функция единичного импульса, ∥Δ_j∥ ≤ Δ_max ограниченная величина из-

менения возмущения.

С учетом результатов утверждения 1 сформулируем свойства, гарантируе-

мые законом (3.5) при выполнении допущений 1 и 3.

Теорема 3. Пусть выполнены допущения 1, 3 и ϕ(t) ∈ s-PE с рангом

r(t) ≥ 1, тогда:

{ 



Θ(t)

 ≤ a(t_j) e-γ0(t-kT)

Θ

(kT ),

(3.8)

∀t ≥ kT

|z(t)| ≤ a (t_j) e-γ0(t-kT) |z(kT )| ,

где {a (t₀) , a (t₁) , . . . , a (t_j) , . . .}

числовая последовательность.

Более того, если ∃a_max ∀t_j ≥ t₀ a (t_j) ≤ a_max, тоΘ(t) и z(t) экспоненци-

ально устойчивы:



 lim |z(t)| = 0 (exp) ,

t→∞



 lim

Θ(t) = 0 (exp).

t→∞

Доказательство теоремы 3 и определение величины a (t_j) приведены в

Приложении.

С одной стороны, результаты теоремы 3 демонстрируют робастность за-

кона (3.5) к вариациям ранга и нуль базиса регрессора ϕ(t) в смысле экспо-

ненциального восстановления положения равновесия ошибокΘ(t) и z(t), а с

другой стороны, описывают необходимые и достаточные требования для их

экспоненциальной сходимости к нулю. Такими требованиями являются ча-

стичное постоянное возбуждение регрессора с рангом не менее единицы и

удовлетворение для всех t_j ≥ t₀ неравенства a (t_j) ≤ a_max.

Однако в теореме 3 отсутствует конструктивное описание требований

к a(t_j ) или Δ_j, при выполнении которых для всех t_j ≥ t₀ гарантируется

a(t_j) ≤ a_max и, следовательно, экспоненциальная устойчивость ошибокΘ(t)

и z(t) при кусочно-постоянном ранге или нуль базисе.

В следующем следствии приведем два дополнительных условия, при вы-

полнении которых для всех t_j ≥ t₀ доставляется выполнение неравенства

a(t_j) ≤ a_max.

Следствие 5. Пусть выполнены предпосылки теоремы 3 и дополни-

тельно выполнено одно из условий:

1) j ≤ j_max < ∞;

2) Δ_max ≤ c (t_j) e-γ0(tj -kT),

∀j ∈ N c(t_j) ≥ c(t_j+1) > 0.

Тогда существует a_max, такой что ∀t_j ≥ t₀ a (t_j) ≤ a_max.

Доказательство следствия 5 приведено в Приложении.

В соответствии с результатами следствия 5 условие a (t_j ) ≤ a_max выполня-

ется, если норма величины изменения параметров Δ_max ограничена сверху

убывающей последовательностью, или при конечном числе j изменений ба-

зиса/ранга регрессора.

3.4. Условия частичной идентифицируемости

В задачах идентификации основной целью выступает обеспечение сходи-

мости параметрической ошибкиθ(t). Поэтому дополнительно к результатам

разделов 3.2 и 3.3 определим условия, при выполнении которых элементы

вектора новых неизвестных параметров Θ(t) частично или полностью совпа-

дают с элементами вектора θ.

Исследование свойств параметров Θ(t) оформим в виде утверждения.

Утверждение 2. Пусть матрица Λ(t) формируется алгоритмом (3.2)

при ε = 0, тогда:

1) ϕ(t) ∈ FE/ϕ(t) ∈ PE ⇒ Θ(t) = θ;

2) если выполнено допущение 2 и условия

ϕ(t) ∈ s-FE/ϕ(t) ∈ s-PE, n > 2,

∑

w_iϕ_i(t) +

w_jϕ_j(t) = 0_n, w_i = 0, w_j = 0,

i=1

j=n-p+1

то ∃M ⊂ {1,... ,n} ,

|M| = p,

∀i ∈ M, Θ_i = θ_i.

Доказательство утверждения 2 приведено в Приложении².

Таким образом, в соответствии с утверждением 2 условиями частичной

идентифицируемости параметров θ является выполнение допущения 2, ча-

стичное возбуждение регрессора ϕ(t) и линейная независимость p столбцов

² В части 2) без потери общности предполагается, что первые n-p столбцов регрессора

ϕ(t) = [ϕ1(t) . . . ϕi(t) . . . ϕn(t)] линейно зависимы (к такому виду в случае r(t) > 0 всегда

можно перейти с помощью перестановки столбцов).

регрессора ϕ(t) при ограниченной снизу n > 2 размерности задачи иденти-

фикации. Из объединения результатов теоремы 1 и утверждения 2 имеем

следствие, описывающее условия сходимости по части параметрических оши-

бокθi(t).

Следствие 6. Пусть выполняются допущения 1-2 и условия:

∑

w_iϕ_i(t) +

w_jϕ_j(t) = 0_n, w_i = 0, w_j = 0, n > 2.

i=1

j=n-p+1

Тогда:







θ

i (te)≤β

θ

i (t^r),

a) ϕ(t) ∈ s-FE ⇔ ∀i ∈ M







θ

i (ta)≤

θ

i (tb) ∀ta ≥ tb;







lim

θ

i(t) = 0,

b) ω(t) ∈ L₂ ⇔ ∀i ∈ M

→∞







θ

i (ta)

≤

θ

i (tb)

 ∀ta ≥ tb;







lim

θ

i(t) = 0 (exp),

c) ϕ(t) ∈ s-PE ⇔ ∀i ∈ M

→∞







θ

i (ta)

≤

θ

i (tb) ∀ta ≥ tb.

Следствие 6 получено объединением непротиворечивых предпосылок и ре-

зультатов теоремы 1 и утверждения 2.

Замечание 2. Необходимо отметить существование регрессоров ϕ(t), не

удовлетворяющих требованиям утверждения 2, но при этом обеспечивающих

существование нулевых элементов в векторе d и позволяющих идентифици-

ровать часть исходных неизвестных параметров θ. Для таких регрессоров

равенство элементов d нулю вызвано не наличием в произведении V^T2V₂ нуле-

вых строк/столбцов (см. доказательство утверждения 2), а равенством нулю

в целом элементов произведения V T2 V₂θ (в силу ортогональности V₂ и θ).

[

]

[

]

-1

Например, если ϕ(t) =

, θ=ϑ

-1 1

, ϑ = 0, то требования

-1

из утверждения 2 не выполняются, но d = 0_n, Θ = θ.

Замечание 3. С практической точки зрения важно не только доказать,

что при выполнении ряда условий в векторе параметров Θ некоторые элемен-

ты совпадают с элементами θ, но и указывать их позиции в процессе иденти-

фикации. Для этой цели при выполнении условий 2-й части утверждения 2

в соответствии с доказательством, в качестве указателя могут быть исполь-

зованы индексы нулевых строк базиса V₂.

Замечание 4. При выполнении допущения

результаты

2-й части

утверждения 2 верны локально на интервалах постоянства ранга и базиса

нуль пространства регрессора. Следовательно, при варьировании ранга r(t)

на различных интервалах [t_j-1; t_j] и [t_j; t_j+1] возможна частичная иденти-

фицируемость различного числа p элементов вектора θ, а при варьировании

базиса нуль пространства регрессора на различных интервалах [t_j-1; t_j ] и

[t_j; t_j+1] возможна идентифицируемость различных элементов вектора θ.

4. Математическое моделирование

В среде Matlab/Simulink сравним DREM закон идентификации c регуля-

ризацией (3.5) с классическим градиентным законом (2.3) и DREM законом

идентификации без регуляризации (2.7). Моделирование будем проводить,

используя численное интегрирование методом Эйлера c постоянным шагом

дискретизации τ_s = 10^-4 секунды.

В разделе 4.1 представлены результаты моделирования при выполнении

допущения 2, в разделе 4.2 при выполнении допущения 3.

4.1. Постоянный ранг и постоянный нуль базис

Регрессионное уравнение (2.1) зададим следующим образом:





[

(4.1.1)

z(t) = ϕ^T(t)θ =

-2e^-t cos(t) e^-t cos(t) e^-t

]-8

.

Параметры фильтра (2.4), алгоритма виртуальной замены собственных

чисел (3.2) и законов идентификации (3.5), (2.3) установим следующим обра-

зом:

(4.1.2)

l = 100, ε = 0,4, ε = 10^-10, γ₀ = 5, γ₁ = 1, Γ = 5I₃.

Для обеспечения одинаковой скорости сходимости законов (3.5) и (2.7)

коэффициент усиления γ закона (2.7) будем формировать аналогично (3.5),

следуя методу нормализации возбуждения регрессора [18]:



γ1, если ω(t) ≤ min{λnmin(t), εn},

(4.1.3)

γ(t) =

γ₀



иначе.

ω²(t)

Прежде всего убедимся в выполнении условий реализуемости зако-

нов (2.3), (2.7) и (3.5). На рис. 1 представлены значения возмущения d и ранга

регрессора ϕ(t) в течение эксперимента.

Как следует из определения регрессора ϕ(t), рис. 1,а, условия реализуемо-

сти (ϕ(t) ∈ s-FE) законов (2.3) и (3.5) выполняются для всех t ≥ 0, а условие

реализуемости (ϕ(t) ∈ FE) закона (2.7) не выполняется, поэтому ограничим-

ся результатами моделирования алгоритмов (3.5) и (2.3). Из рис. 1,а,б сов-

местно следует выполнение допущения 2, а значит, поскольку (ϕ(t) ∈ s-FE),

rank{j(t)}

-1

-2

d₁

-3

d₂

-4

d₃

-5

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

t, c

Рис. 1. Значение ранга регрессора ϕ(t) (а), величина возмущения d (б ).

|q_i(t)|

|q1(

t)|

|q1(

t)|

|q2(

t)|

|q2(

t)|

|q3(

t)|

|q3(

t)|

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

t, c

Рис. 2. Переходные процессы по ошибкам

θi(t) законов (3.5) (а) и (2.3) (б ).

закон (3.5) в данном эксперименте гарантирует убывание ошибокΘ(t), z(t).

Более того, поскольку допущение 2 выполнено, d₃ = 0 и r = 2, то дополни-

тельно также законом (3.5) гарантируется убывание ошибкиθ3(t).

[

]_T

Сначала установим θ₀ =

, что по теореме 1 соответствует ква-

зиреализуемости закона (3.5) (гарантируется убывание |z(t)| и невозраста-



ние

θ(t) на интервале времени [0; 1]).

На рис. 2 изображены переходные процессы по ошибкам

θi(t) зако-

нов (3.5) (а) и (2.3) (б ).

Полученные переходные процессы демонстрируют преимущества (3.5)

над (2.7) и классическим градиентным (2.3) законом идентификации. В част-

ности, в отличие от (2.7) закон (3.5) позволил уменьшить априорные значе-

ния ошибокθi(t), а в отличие от (2.3) обеспечил апериодический характер

переходных процессов и монотонную экспоненциальную сходимость к нулю

ошибкиθ3(t). Монотонность поθ1(t) можно объяснить выполнением в экспе-

рименте условия θ₁ ≤ Θ₁,θ1 (t₀) > Θ₁, что является частной благоприятной

ситуацией.

На рис. 3,а изображено сравнение ошибок z(t) законов (3.5) и (2.3), а на

рис. 3,б приведены переходные процессы по ошибкеΘi(t) при применении

закона (3.5).

Рис. 3. Переходные процессы (а) по ошибкам z(t) законов (3.5) и (2.3)

и (б ) по ошибке

Θ_i(t) закона (3.5).



Рис. 4. Переходные процессы по

θ(t) при различных начальных условиях.

Рисунок 3,а подтверждает убывание z(t) на интервале времени [0; 1] при

применении закона (3.5), рис. 3,б демонстрирует монотонность ошибкиΘi(t)

∀i ∈ 1,n, что было аналитически показано в теореме 2.



На рис. 4 приведены графики по

θ(t), полученные в результате приме-

нения законов (3.5) и (2.3) при различных начальных условиях (для всех

начальных условий закон (3.5) оставался либо реализуемым, либо квазиреа-

лизуемым).

Переходные процессы, представленные на рис. 4, подтверждают доказан-

ную в теореме 1 равномерную по начальным условиям экспоненциальную

сходимость ошибкиθ(t) в область размером θ_max.

[

Теперь установим θ₀ =

-10 14]T, что не обеспечивает выполнение до-



статочных условий реализуемости из теоремы 1, поскольку

θ(t^+r) ≈ 4,9,

а θ_max = ∥θ∥ ≈ 15. На рис. 5 представлены полученные при таком выборе



начальных условий переходные процессы по

θ(t) при применении зако-

нов (3.5) и (2.3).



Временные диаграммы по

θ(t), представленные на рис. 5, соответству-



ют выводам, сделанным в теореме 1. Действительно, при

θ(t^+r)< θmax (3.5)



θ(t)

нереализуем, норма ошибки

 может принимать значения больше, чем



Рис. 5. Переходные процессы по

θ(t) при применении законов (3.5) и (2.3).



θ(t^+r), а выполнение одновременно всех целевых условий (2.2) не гаранти-

руется.

Таким образом, проведенные численные эксперименты полностью под-

твердили описанные в рамках теорем 1-2, утверждения 2 и следствия 6 свой-

ства закона (3.5) при ϕ(t) ∈ s-FE и выполнении допущения 2.

4.2. Кусочно-постоянный ранг и нуль базис

4.2.1. Эксперимент первый

Регрессионное уравнение (2.1) зададим следующим образом:





[

]-8

,

z(t) = ϕ^T(t)θ =

ϕ₁(t) ϕ₂(t) ϕ₃(t)



2sin(t),

0 ≤ t ≤ 5,

ϕ₁(t) = 9sin(t); ϕ₂(t) =

5 < t ≤ 15,

(4.2.1)



2sin(t), t > 15;



sin(t),

0 ≤ t ≤ 10,

ϕ₃(t) =

sin(50t),

10 < t ≤ 15,



sin(t), t > 15.

Параметры фильтра (2.4), алгоритма виртуальной замены собственных

чисел (3.2) и законов (2.3), (3.5) выберем в соответствии с выражением:

(4.2.2)

l = 100, ε = 0,4, ε = 10^-10, γ₀ = 5, γ₁ = 1, Γ = I₃.

Для обеспечения одинакового значения скорости сходимости для (3.5)

и (2.7) коэффициент усиления γ закона (2.7) будем формировать аналогич-

но (3.5), следуя методу нормализации возбуждения регрессора [18]:



 γ1, если ω(t) ≤ min {λmin(t), εⁿ} ,

(4.2.3)

γ(t) =

γ₀



иначе.

ω²(t)

rank{j}

d₁

d₂

-5

-10

t, c

Рис. 6. Значение ранга регрессора ϕ(t) (а), величина возмущения d(t) (б ).

Прежде всего убедимся в выполнении условий реализуемости зако-

нов (2.3), (2.7) и (3.5). На рис. 6 представлены значения возмущения d(t)

и ранга регрессора ϕ(t) в течение эксперимента.

Как следует из рис. 6,а и cледствий 2 и 4, необходимое условие реализуе-

мости закона (3.5) выполняется для всех t ≥ 0, а условие реализуемости (2.7)

выполняется только на отрезке t ∈ [10; 15,34]. Согласно рис. 6 число переклю-

чений параметров в эксперименте конечно j ≤ j_max < ∞ и r(t) ≥ 1, а тогда

согласно результатам теоремы 3 и следствия 5 для (3.5) выполняются все

необходимые и достаточные условия экспоненциальной сходимости к нулю

ошибок z(t) иΘ(t). Более того, так как ∀t ∈ [5; 10] d₂(t) = 0, то на интерва-

ле [5; 10] также выполнены описанные в утверждении 2 условия частичной

идентифицируемости.

Верифицировав выполнение условий реализуемости и сходимости, промо-

делируем алгоритмы (3.5), (2.7) и (2.3) при различных начальных условиях.

[

]_T

Сначала установим θ₀ =

, что по теореме 1 обеспечивает выпол-

нение достаточных условий реализуемости закона (3.5):



(

)

β₁ =

θ

t^+r

∥θ∥^-1 ≈18

= 1,2

+e-γ0δ =

+ e^-5·5 ≈ 0,833 ∈ (0;1).

β₁

1,2

На рис. 7 изображены переходные процессы по ошибкам

θi(t) для

(3.5)

(а), (2.7)

(б ) и (2.3) (в).

Полученные переходные процессы подтверждают теоретические выводы,

сделанные в замечании 4. Действительно, при выполнении на [5; 10] условий

второй части утверждения 2 закон (3.5), в отличие от (2.7) и (2.3), обеспечи-

вает монотонность по одному элементу вектораθ(t). Сравнивая качество пе-

реходных процессов, можно убедиться в преимуществах закона (3.5) над (2.7)

и (2.3). По сравнению с (2.3) закон (3.5) на протяжении эксперимента обес-

печивает апериодический характер измененияθi(t) ∀i ∈ 1, n. В сравнении

с (2.7) закон (3.5) реализуем для всех t ≥ 0, а не только на отрезке [10; 15,34],

и обеспечивает на [5; 10] убывание до нуля одного элемента вектора θ(t).

Рис. 9. Изменение нормы ошибки

Θ(t).

||q(t)||

1- (

2.3)

2 - (2.7

)

3- (

3.5)

q_max

t, c



Рис. 10. Переходные процессы по

θ(t)

для (3.5), (2.7) и (2.3).

||q(t)||

1- (

2.3)

2 - (2.7

)

3- (

3.5)

q_max

t, c



Рис. 11. Переходные процессы по

θ(t)

для (3.5), (2.7) и (2.3).

На рис. 8 приведены переходные процессы по

z(t) при использова-

нии (3.5) (а), (2.7) (б ) и (2.3) (в).

Переходные процессы, представленные на рис. 8, подтверждают доказан-

ную в теореме 3 экспоненциальную восстанавливаемость положения равно-

весия ошибки слежения z(t) при ϕ(t) ∈ s-PE и выполнении допущения 3.

На рис. 9 приведена временная диаграмма по нормеΘ(t).

Из рис. 9 следует экспоненциальная восстанавливаемость положения рав-

новесия параметрической ошибкиΘ(t) при ϕ(t) ∈ s-PE и выполнении допу-

щения 3, что соответствует выводам, сделанным в теореме 3.

Так как число переключений ранга в эксперименте конечно j ≤ j_max < ∞,

то согласно результатам теоремы 3 и следствия 5 экспоненциальная восста-

навливаемость положений равновесия ошибок z(t) иΘ(t) эквивалентна экс-

поненциальной устойчивости.



θ(t)

На рис. 10 приведены траектории по

 при применении (3.5), (2.7)

и (2.3).



θ(t)

Переходный процесс по

 закона (3.5) подтверждает выводы, сделан-

ные в теореме 1 целевое условие (2.2) выполняется при ϕ(t) ∈ s-FE и выпол-

нении достаточных условий, аθ(t) действительно экспоненциально сходится в

множество с границей θ_max, что для (2.3) выполняется только для всех t ≥ 5,

а для (2.7) только при ϕ(t) ∈ FE.

[

Теперь установим θ₀ =

-10 14]T, что не обеспечивает выполнение до-



статочных условий реализуемости из теоремы 1, поскольку

θ(t^+r) ≈ 4,9,



≈15.Нарис.11представленыполученныепритакомвыборе

а θ_max =

θ



θ(t)

начальных условий переходные процессы по

 при применении зако-

нов (3.5), (2.7) и (2.3).

Результаты моделирования, представленные на рис. 11, соответствуют вы-



водам, полученным в теореме 1. Действительно, при

θ(t^+r)< θmax за-



θ(t+

кон (3.5) нереализуем (при

)=θmax квазиреализуем), а норма ошиб-



ки

θ(t) может принимать значения больше, чем

θ(t^+r).

4.2.2. Эксперимент второй

Регрессионное уравнение (2.1) зададим следующим образом:





[

z(t) = ϕ^T(t)θ =

ϕ₁(t) ϕ₂(t) ϕ₃(t)

]-8;



 -2e^-t cos(t), 0 ≤ t ≤ 1,

ϕ₁(t) =

e^-t,

1 < t ≤ 2,



e^-t cos(t),

t > 2;

(4.2.4)



 e-t cos(t),

0 ≤ t ≤ 1,

ϕ₂(t) =

-2e^-t cos(t), 1 < t ≤ 2,



e^-t + 0,1,

t > 2;



 e^-t,

0 ≤ t ≤ 1,

ϕ₃(t) =

e^-t cos(t),

1 < t ≤ 2,



−2e^-t cos(t), t > 2.

rank{j(t)}

d(t)

3,0

2,5

2,0

1,5

d₁(t)

1,0

d₂(t)

0,5

-5

d₃(t)

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

t, c

Рис. 12. Значение ранга регрессора ϕ(t) (а), величина возмущения d(t) (б ).

Параметры фильтра (2.4), алгоритма виртуальной замены собственных

чисел (3.3) и законов (2.3), (3.5) выберем в соответствии с выражением:

(4.2.5)

l = 100, ε = 0,4, ε = 10^-10, γ₀ = 5, γ₁ = 1, Γ = I₃.

Для обеспечения одинакового значения скорости сходимости для (3.5)

и (2.7) коэффициент усиления γ закона (2.7) будем формировать аналогич-

но (3.5), следуя методу нормализации возбуждения регрессора [18]:





γ₁,

если ω(t) ≤ min {λ^nmin(t), εⁿ} ,

(4.2.6)

γ(t) =

γ₀



иначе.

ω²(t)

Прежде всего убедимся в выполнении условий реализуемости зако-

нов (2.3), (2.7) и (3.5). На рис. 12 представлены значения ранга регрессора

ϕ(t) и возмущения d(t) в течение эксперимента.

Интервалы времени [1; 1,165] и [2; 2,14], на которых rank {ϕ(t)} = 3, су-

щественно меньше интервалов времени, на которых rank {ϕ(t)} = 2. Поэтому

в отличие от эксперимента в п. 4.2.1 в данном эксперименте ранг регрессо-

ра являлся постоянным почти всюду. Отличие ранга от двух на [1; 1,165] и

[2; 2,14] вызвано смешиванием фильтром (2.4) информации о регрессорах с

различными базисами. Именно благодаря эффекту смешивания в проводи-

мом эксперименте для (2.7) выполняется условие реализуемости на [1; 1,165]

и [2; 2,14].

В свою очередь, для закона (3.5) необходимое условие реализуемости вы-

полнено для всех t ≥ 0. Согласно рис. 12 число переключений параметров в

эксперименте конечно j ≤ j_max < ∞ и r ≥ 1, а тогда по допущению 3 и ре-

зультатам теоремы 3 и следствия 5 для (3.5) выполняются все необходимые

и достаточные условия экспоненциальной сходимости к нулю ошибок z(t)

и Θ(t). Более того, так как

∀t ∈ [0; 1] d₃(t) = 0, ∀t ∈ [1; 2] d₁(t) = 0, ∀t ∈ [2; 3] d₂(t) = 0,

|q_i(t)|

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

t, c

|q_i(t)|

4,0

3,5

3,0

2,5

2,0

1,5

1,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

t, c

Рис. 13. Переходные процессы по

θi(t) законов (3.5) (а), (2.7) (б )

и (2.3) (в).

то в течение эксперимента также выполнялись описанные в утверждении 2

условия частичной идентифицируемости.

Верифицировав выполнение условий реализуемости и сходимости, промо-

делируем алгоритмы (3.5), (2.7) и (2.3) при различных начальных условиях.

[

]_T

Сначала установим θ₀ =

-10 14

, что не обеспечивает выполнение



условий реализуемости из теоремы 1, поскольку

θ(t^+r) ≈ 4,9, а θmax =

= ∥θ∥ ≈ 15.

На рис. 13 изображены переходные процессы по ошибкам

θi(t) для

(3.5)

(а), (2.7)

(б ) и (2.3) (в).

Полученные переходные процессы подтверждают теоретические выводы,

сделанные в замечании 4. Действительно, при выполнении условий второй

части утверждения 2, закон (3.5), в отличие от (2.7) и (2.3), на интервалах

времени, соответствующих d_i(t) = 0, обеспечивает монотонное убывание со-

ответствующей ошибкиθi(t):



θ

3 (1)≤β

θ

3 (0),

θ

1 (2)≤β

θ

1 (1),

θ

2 (3)≤β

θ

2 (2), β ∈ (0; 1).

Сравнивая качество переходных процессов, можно убедиться в преиму-

ществах закона (3.5) над (2.7) и (2.3). По сравнению с (2.3) закон (3.5) на

протяжении всего эксперимента обеспечивает апериодический характер из-

~(t)

-2

-4

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

t, c

~(t)

-2

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

t, c

Рис. 14. Переходные процессы по z(t) для (3.5) (а), (2.7)

(б ) и (2.3) (в).

||Q(t)||

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

t, c

Рис. 15. Изменение нормы ошибки

Θ(t).

мененияθi(t) ∀i ∈ 1, n. В сравнении с (2.7) закон (3.5) реализуем для всех

t ≥ 0, а не только на ограниченных интервалах [1; 1,165] и [2; 2,14].

На рис. 14 приведены переходные процессы по

z(t) при использова-

нии (3.5) (а), (2.7) (б ) и (2.3) (в).

Переходные процессы, представленные на рис. 14, подтверждают доказан-

ную в теореме 3 экспоненциальную восстанавливаемость положения равно-

весия ошибки слежения z(t) при ϕ(t) ∈ s-PE и выполнении допущения 3.

На рис. 15 приведена временная диаграмма по нормеΘ(t).

||q(t)||

1 - (2.3)

2 - (2.7)

3 - (3.5)

q_max

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

t, c



Рис. 16. Переходные процессы по

θ(t) для (3.5), (2.7) и (2.3).

||q(t)||

1 - (2.3)

2 - (2.7)

3 - (3.5)

q_max

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

t, c



Рис. 17. Переходные процессы по

θ(t) для (3.5), (2.7) и (2.3).

Из рис. 15 следует экспоненциальная восстанавливаемость положения рав-

новесия параметрической ошибкиΘ(t) при ϕ(t) ∈ s-PE и выполнении допу-

щения 3, что согласуется с выводами, сделанными в теореме 3.

Так как число переключений ранга в эксперименте конечно j ≤ j_max =

= 4 < ∞, то согласно результатам следствия 5 экспоненциальная восстанав-

ливаемость положений равновесия ошибок z(t) иΘ(t) эквивалентна экспо-

ненциальной устойчивости.



На рис. 16 приведены траектории по

θ(t) при применении (3.5), (2.7)

и (2.3).

Результаты моделирования, представленные на рис. 16, соответствуют вы-



водам, полученным в теореме 1. Действительно, при

θ(t^+r)< θmax за-



кон (3.5) нереализуем (при

θ(t^+r) = θmax квазиреализуем), а норма ошиб-



ки

θ(t) может принимать значения больше, чем

θ(t^+r).

[

Теперь установим θ₀ =

0]T, что по теореме 1 обеспечивает выполне-

ние достаточных условий реализуемости закона (3.5):



(

)

β₁ =

θ

t^+r

 ∥θ∥^-1 ≈18

= 1,2;

+e-γ0δ =

+ e^-5·1 ≈ 0,84 ∈ (0; 1).

β₁

1,2

На рис. 17 представлены полученные при таком выборе начальных усло-



θ(t)

вий переходные процессы по

 при применении законов (3.5), (2.7) и (2.3).



θ(t)

Переходный процесс по

 закона (3.5) подтверждает выводы, сделан-

ные в теореме 1 целевое условие (2.2) выполняется при ϕ(t) ∈ s-FE и выпол-

нении достаточных условий, аθ(t) действительно экспоненциально сходится в

множество с границей θ_max, что для (2.7) выполняется только при ϕ(t) ∈ FE.

Таким образом, проведенные численные эксперименты подтвердили все

теоретически сформулированные свойства предложенного закона (3.5). Ре-

зультаты раздела 3.1 справедливы в общем случае ϕ(t) ∈ s-FE, а результаты

разделов 3.2 и 3.3 соответственно при выполнении допущений 2 и 3.

5. Заключение

Для решения задачи идентификации неизвестных постоянных параметров

линейного регрессионного уравнения при частичном конечном возбуждении

регрессора предложена процедура динамического расширения, регуляриза-

ции и смешивания регрессора, обобщающая известную процедуру DREM и

расширяющая область ее применимости в прикладных задачах.

В отличие от стандартного градиентного закона идентификации (2.3)

предложенная процедура обеспечивает поэлементную монотонность ошибок

при выполнении допущения 2 и экспоненциальную сходимость ошибки сле-

жения за функцией (2.1) при частичном постоянном возбуждении регрессора

с рангом не менее единицы.

В отличие от DREM разработанная модифицированная процедура, во-пер-

вых, ослабляет требование конечного возбуждения регрессора, ранее необхо-

димое для реализуемости (2.7), и гарантирует убывание ошибки идентифика-

ции неизвестных параметров при выполнении более слабого условия частич-

ного конечного возбуждения, а во-вторых, обеспечивает экспоненциальную

сходимость ошибки слежения за регрессионной функцией (2.1) при частич-

ном неисчезающем возбуждении регрессора с рангом не менее единицы.

Дальнейшие исследования по развитию процедуры динамического расши-

рения, регуляризации и смешивания регрессора могут быть проведены в сле-

дующих направлениях:

синтез схем адаптивного управления с ослабленными требованиями к

возбуждению регрессора для экспоненциальной сходимости ошибки сле-

жения за эталонной моделью;

построение адаптивных наблюдателей состояний с ослабленными требо-

ваниями к возбуждению регрессора для экспоненциальной сходимости

к нулю ошибки слежения за координатами состояния объекта;

использование условий частичной идентифицируемости (см. утвержде-

ние 2 и рис. 13,а, рис. 7,а, рис. 2,а) для решения задач идентификации

полного вектора неизвестных параметров в условиях перепараметриза-

ции;

на основании утверждения 2 и результатов моделирования (рис. 13,а,

рис. 7,а, рис. 2,а), построение закона идентификации, не требующего

конечного или неисчезающего возбуждения регрессора для экспоненци-

альной сходимости ошибок идентификации полного вектора неизвест-

ных параметров.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Доказательство утверждения

Пользуясь следствиями 1-4,

запишем оценки снизу на регрессор ω(t):

ϕ(t) ∈ PE ⇔ ∀t ≥ kT

∏

ω(t) = det {Φ(t)} = λ_i(t) ≥ λ^nmin(t) > µⁿ > 0,

i=1

ϕ(t) ∈ FE ⇔ ∀t ∈ [t_δ; t_δ + δ] ⊂ [t^+r; t_e]

∏

ω(t) = λ_i(t) ≥ λ^nmin(t) > µⁿ > 0,

i=1

∏

ϕ(t) ∈ s-PE ⇔ ∀t ≥ kT ω(t) = ε^r λ_i(t) ≥ min {λ^nmin(t), εⁿ} > 0,

i=1

ϕ(t) ∈ s-FE ⇔ ∀t ∈ [t_δ; t_δ + δ] ⊂ [t^+r; t_e]

∏

ω(t) = ε^r λ_i(t) ≥ min {λ^nmin(t), εⁿ} > 0.

i=1

Откуда следует справедливость утверждения 1.

Доказательство теоремы

1. Так как по следствиям 1 и 2

при ϕ(t) ∈ FE/ϕ(t) ∈ PE верны импликации:

ϕ(t) ∈ PE ⇔ ∀t ≥ kT λ_min(t) > µ > 0,

(П.1)

[

]

ϕ(t) ∈ FE ⇔ ∀t ∈ [t_δ; t_δ + δ] ⊂

t^+r; t_e

λ_min(t) > µ > 0,

то при ϕ(t) ∈ FE/ϕ(t) ∈ PE в соответствии с (3.2) подмена нулевых собствен-

ных чисел Λ(t) не осуществляется Ξ(t) = 0_n×n, для матрицы регрессора Φ(t)

выполняется равенство Φ(t) = ϕ(t), для неизвестных параметров Θ выполня-

ется Θ = θ в силу Λ^-1(t)Ξ(t) = 0_n×n, а закон идентификации (3.5) в точности

до определения значения коэффициента усиления γ совпадает с (2.7), откуда

следует наличие свойств b₁-b₅ у (3.5) при ϕ(t) ∈ FE/ϕ(t) ∈ PE.

2. Введем в рассмотрение следующую функцию (аргументы времени опу-

щены для краткости):

[

]

(П.2)

∀t ∈

t^+r; t_e

L=θTθ

Дифференцируя (П.2) вдоль траекторий (3.5), имеем

(

))

L=-2θTγωωθ-ωθ+ωVΛ-1ΞV^Tθ

(П.3)

= -2θTγω² θ- 2θTγω²V Λ^-1ΞV ^Tθ.

С учетом утверждения 1 и определения коэффициента γ оценка сверху на

производную (П.3) для всех t ∈ [t_δ; t_δ + δ] ⊂ [t^+r; t_e] принимает вид

L≤-2θT^γ0

ω² θ- 2θT γ⁰

ω²V Λ^-1ΞV^Tθ ≤

ω²

(П.4)



≤ -2θTγ₀ θ- 2θTγ₀V Λ^-1ΞV ^Tθ ≤ -2γ₀θ2 + 2γ0

θθmax.

Здесь для получения оценки сверху вычислена спектральная норма мно-

жителя V Λ^-1ΞV^T, равная единице в силу ортогональности матриц V и V^T.

Положив a =

√2γ₀θ, b =√2γ₀θ_max и воспользовавшись неравенством -

−a² + ab ≤ -¹²a² +¹²b², из (П.4) имеем



L≤-γ0

(П.5)

θ

² +γ₀θ^2max.

Решив для всех t ∈ [t_δ; t_δ + δ] дифференциальное неравенство (П.5), полу-

чаем:



(П.6)

∀t ∈ [t_δ; t_δ + δ] L ≤ e-γ0(t-tδ)

θ

(t_δ)

² +θ^2max.



θ

Откуда, учитывая L =

² и справедливость для всех c, d неравенства

√

c² + d² ≤

c² +

d² имеем



(П.7)

θ

(t_δ + δ)≤e-0,5γ0δ

θ

(t_δ)

+θ_max.

В наиболее консервативном случае для всех t ∈ {[t^+r; t_δ] , [t_δ + δ; t_e]}



≥

≤

верно ω(t) ≡ 0, поэтому имеем неравенства

θ(t^+r)

θ(t_δ),

θ(t_e)



≤

θ(t_δ + δ), с учетом которых можем переписать (П.7) в виде



(

)



(П.8)

θ

(t_e)≤e-0,5γ0δ

θ

t^+r

+θ_max.

Подставим предпосылку 2.1) в оценку (П.8):

(



)

(

)



(П.9)

θ

(t_e)≤ e-0,5γ0δ +

θ

t^+r

.

β₁

Откуда следует, что выбор коэффициента γ₀ из условия

(

)

-2ln

β₁

(П.10)

0<e-0,5γ0δ +

<1⇔γ₀ >

β₁

позволяет обеспечить справедливость предпосылки 2.2) и, следовательно, по-

лучить оценку:

(

)



(

)

(П.11)

θ

(t_e)≤ e-0,5γ0δ +

θ

t^+r

,

β₁

}

0<β<1

что означает убывание ошибкиθ(t) на интервале [t^+r; t_e].

Подставив оценку (П.11) в оценку сверху на z(t_e), имеем:



(

)



(

)



z

(П.12)

|z(t_e)| ≤ ϕ_max

θ

(t_e)≤ϕmaxβ

θ

t^+r

=β

t^+r

,

что завершает доказательство части

и свидетельствует о реализуемо-

сти (3.5) при ϕ(t) ∈ s-FE и выполнении предпосылок 2.1) и 2.2).

3. Для доказательства части 3 вычислим производную ошибкиΘ(t):

(П.13)

Θ(t) = -γ(t)ω²

(t)Θ(t) -Θ(t).

Общее решение дифференциального уравнения (П.13) имеет вид:

∫t

(П.14)

Θ(t) = φ (t, t₀)Θ (t₀) - φ (t, τ)Θ

(τ)dτ,

t₀

где

∫t

γ(τ)ω²(τ)dτ

φ(t,s) = e s

Так как в силу

∈ L₂ и ω(t) ∈ L₂ при всех возможных ва-

√γ₁ ∈ L₂,

(t)

риантах переключений нелинейного оператора в (3.5) верно

√γω(t) ∈ L₂, то

функция φ (t, s) обладает следующими свойствами:

{0 < φ(t,s) ≤ 1,

(П.15)

√γω(t) ∈ L₂ ⇔

lim φ (t, s) = 0.

t→∞

С использованием первого свойства можем получить оценку сверху

на (П.14):

(П.16)

Θ(t) ≤ φ (t, t₀)Θ (t₀

) - Θ(t).

Используя в (П.16) определенияΘ(t) =θ(t) + d(t), Θ(t) = θ - d(t), имеем:

(П.17)

θ(t) ≤ φ (t, t₀)Θ (t₀

)-θ.



Откуда на основании второго свойства из (П.15) следует lim

θ(t)≤ θ

max,

t→∞

что завершает доказательство третьей части теоремы.

4. При выполнении условия ϕ(t) ∈ s-PE в соответствии с третьей частью

утверждения 1 для всех t ≥ kT верно ω(t) ≥ min {λ^nmin(t), εⁿ} > 0 и, следова-

тельно, функция φ (t, kT ) принимает вид:

(П.18)

φ (t, kT ) = e-γ0(t-kT).

Тогда, записав решение уравнения (П.13) для всех t ≥ kT , по аналогии

с (П.14)-(П.17) возможно получить следующую оценку:



(П.19)

θ(t)

≤e-γ0(t-kT)

Θ

(kT )+θmax.

Откуда следует экспоненциальная сходимость при ϕ(t) ∈ s-PE ошибкиθ(t)

к множеству с границей θ_max, что завершает доказательство теоремы.

Доказательство теоремы 2. I. Для доказательства первой части

теоремы 2 запишем (3.4) в поэлементном виде:

(П.20)

Υ_i(t) = ω(t)Θ_i

, ∀i ∈ {1,... ,n} .

С учетом (П.20) закон (3.5) для всех i ∈ {1,... ,n} можно записать сле-

дующим образом:

(

)

(П.21)

θ_i(t) =Θi(t) = -γ(t)ω(t) ω(t)θi(t) - ω(t)Θi

= -γ(t)ω²(t)Θi

(t).

}



{˜Θ

Так как γ(t)ω²(t) > 0, то sign

= const, а для Θi(t) верно

Θi (t_a)≤

i(t)



≤

Θi (t_b) ∀ta ≥ tb, что завершает доказательство первой части теоремы.

II. При ϕ(t) ∈ s-FE и выполнении допущения 2 в соответствии со след-

ствием 4 решение уравнения (П.13) на [t_δ; t_δ + δ] примет вид:

(П.22)

Θ(t)=φ(t,tδ) Θ (t_δ) = e-γ0(t-tδ) Θ (t_δ

В наиболее консервативном случае для всех t ∈ {[t^+r; t_δ] , [t_δ + δ; t_e]} вер-



≥

≤

но ω(t) ≡ 0, поэтому имеем неравенства

Θ(t^+r)

Θ(t_δ),

Θ(t_e)



,cучетомкоторыхможемполучитьоценкунаошибку Θ(t)

≤

Θ(tδ +δ)

в момент времени t_e:



(

)



(П.23)

Θ

(t_e)≤e-γ0δ

Θ

t^+r

.

Ввод в (П.23) обозначения β = e-γ0δ ∈ (0; 1) позволяет завершить доказа-

тельство убывания ошибкиΘ(t) на интервале [t^+r; t_e].

Для доказательства убывания ошибки z(t) учтем справедливость в силу

V^T1(t)V₂ = 0_r×r импликации

(

)

y(t) = ϕ(t)θ = V₁(t)Λ₁(t)V^T1(t)

θ-V₂V^T2θ

(

)

= ϕ(t)

θ-V₂V^T2θ

= ϕ(t)Θ =

∫t

∫

e^-l(t-τ)ϕ(τ)ϕ^T (τ)dτΘ =

e^-l(t-τ)ϕ (τ) z (τ)dτ =

(П.24)

∫t

∫

e^-l(t-τ)ϕ(τ)ϕ^T (τ) θdτ =

e^-l(t-τ)ϕ (τ) ϕ^T (τ) Θdτ

}

z(τ)

⇕

(

)

z(t) = ϕ^T(t)θ = ϕ^T(t)

θ-V₂V^T2θ

= ϕ^T(t)Θ.

Тогда оценка сверху на ошибку слежения с учетом (П.22) имеет вид:



(П.25)

∀t ∈ [t_δ; t_δ + δ] |z(t)| ≤ ϕmaxe-γ0(t-tδ)

Θ

(t_δ).

Откуда с учетом (П.23) непосредственно имеем:



(

)



(

)



(П.26)

|z(t_e)| ≤ ϕ_maxβ

Θ

t^+r

=β

z

t^+r

,

что завершает доказательство части II.

III. При выполнении допущения 2 для всех t ∈ [t₀; ∞) решение уравне-

ния (П.13) принимает вид:

(П.27)

Θ(t) = φ (t, t₀)Θ (t₀

откуда по второму свойству из (П.15) следует:

√



(П.28)

γ(t)ω(t) ∈ L₂ ⇔ lim

Θ(t) = 0,

t→∞

что выполняется для всех возможных вариантов переключений нелинейного

оператора (3.5) в силу

∈ L₂ и ω(t) ∈ L₂.

√γ₁ ∈ L₂,

(t)

Применив импликацию (П.28) в оценке сверху на выражение (П.24), по-

лучим:

√

(



)



(П.29)

γ(t)ω(t) ∈ L₂ ⇔ lim

|z(t)| ≤ lim

Θ(t)

= 0.

ϕmax

t→∞

Таким образом, все пункты третьей части теоремы 2 справедливы.

IV. При ϕ(t) ∈ s-PE ∀t ≥ kT верно (П.18), откуда на основании (П.22)

получаем оценку:



(П.30)

∀t ≥ kT

Θ(t)

≤e-γ0(t-kT)

Θ

(kT),

что подтверждает экспоненциальную сходимость для всех t ≥ kT ошиб-

киΘ(t) к нулю.

Имея оценку (П.30) и учитывая ограниченность ∥ϕ(t)∥ ≤ ϕ_max, аналогич-

но (П.25), пользуясь выражением (П.24), можно убедиться в экспоненциаль-

ной сходимости для всех t ≥ kT ошибки z(t), что завершает доказательство

теоремы 2.

Доказательство теоремы 3. При ϕ(t) ∈ s-PE по доказанному в тре-

тьей части утверждения 1 для всех t ≥ kT верно ω(t) ≥ min {λ^nmin(t), εⁿ} > 0,

а значит, уравнение (П.13) может быть записано в виде

(П.31)

∀t ≥ kT˙Θ(t) = -γ₀ Θ(t) -Θ˙

(t).

ПроизводнаяΘ(t) в силу допущения 3 в соответствии с выражением (3.7)

имеет вид

∑

(П.32)

Θ(t) =

Δ_jδ (t - t_j

j=1

С учетом (П.32) решим дифференциальное уравнение (П.31):

∫t

∑

(П.33)

∀t ≥ kTΘ(t) = e-γ0(t-kT) Θ (kT) - e-γ0(t-τ)

Δ_jδ (τ - t_j

)dτ.

j=1

В соответствии с фильтрующим свойством функции единичного импульс-

ного воздействия для любой дифференцируемой функции f(t) имеем:

∫

f (τ) δ (τ - t_j) dτ = f (t_j ) h (τ - t_j)|^t

t₀

(П.34)

t₀

= f (t_j)h(t - t_j) - f (t_j)h(t₀ - t_j)

≡f (t_j)h(t - t_j).

}

С использованием (П.34) выражение (П.33) может быть приведено к виду:

∑

(П.35)

∀t ≥ kTΘ(t) = e-γ0(t-kT) Θ (kT) -

e-γ0(t-tj)Δ_jh(t - t_j).

j=1

Домножив (П.35) наΘT (kT ), получим:



∀t ≥ kTΘT (kT)Θ(t) = e-γ0(t-kT)Θ

(kT )

²-

(П.36)

∑

- e-γ0(t-tj)ΘT (kT)Δ_jh(t - t_j).

j=1



Вынос слагаемого e-γ0(t-kT)Θ

(kT )2 за скобки в правой части выраже-

ния (П.36) позволяет для всех t ≥ kT записать:





∑

Θ^T (kT)Θ(t) =1 -



₂

e-γ0(kT-tj)ΘT (kT)Δ_jh(t - t_j)



Θ

(kT )

 j=1

}

∈R

(П.37)

×e-γ0(t-kT) Θ^T (kT)Θ

(kT),





∑

Θ(t) =1 -



₂

e-γ0(kT-tj)ΘT (kT) Δ_jh(t - t_j)×



Θ

(kT )

 j=1

×e-γ0(t-kT) Θ (kT) ,



где

Θ

(kT ) = 0, поскольку для всех t ∈ [t0;kT) ω(t) ≡ 0 ⇒

θ(t) = 0 ⇒



⇒

Θ

(kT )≥

Θ

(t₀).

Выражение (П.37) позволяет получить первое выражение из (3.8) с точ-

ностью до обозначения:



∑



(П.38)

a (t_j ) =

1-



₂

e-γ0(kT-tj)ΘT (kT) Δ_jh(t - t_j)

.







Θ

(kT )

 j=1



Откуда следует экспоненциальная восстанавливаемость положения равно-

весия параметрической ошибкиΘ(t).

Оценка сверху на ошибку слежения |z(t)| с учетом выражения (П.24) имеет

вид



∀t ≥ kT |z(t)| ≤ a(t_j) ϕ_maxe-γ0(t-kT)

Θ

(kT)=

(П.39)

= a(t_j)e-γ0(t-kT) |z(kT)|.

Откуда следует экспоненциальная восстанавливаемость положения равно-

весия ошибки z(t).

Если, дополнительно, для a (t_j) существует оценка сверху a_max, то из (3.8)

мгновенно имеем:





(



)





lim

Θ(t) ≤ lim

a_maxe-γ0(t-kT)

Θ

(kT )

= 0,



t→∞



(



)

(П.40)





lim

|z(t)| ≤ lim

a_maxϕ_maxe-γ0(t-kT)

Θ

(kT )



t→∞

(

)



= lim

a_maxe-γ0(t-kT) |z(kT)|

= 0.

t→∞

Откуда следует экспоненциальная устойчивость ошибки слежения z(t) и

параметрической ошибкиΘ(t), что завершает доказательство теоремы 3.

Доказательство следствия

В соответствии с первой частью

следствия 5 предположим, что число изменений Θ(t) конечно: j ≤ j_max < ∞.

Тогда можем получить следующую оценку сверху на функцию a (t_j):



a(t_j ) =

1-



₂

e-γ0(kT-tj)ΘT (kT)Δ_jh(t - t_j)

≤







Θ

(kT )

 j=1



(П.41)

≤1+



₂

e-γ0(kT-tj)ΘT (kT)Δ_jh(t - t_j)

≤







Θ

(kT)

 j=1



∑

≤1+



∥Δ_j∥e-γ0(kT-tj)h(t - t_j).



Θ

(kT )

 j=1

Поскольку при конечном j моменты времени t_j также конечны, то экспо-

ненциальный множитель в сумме (П.41) ограничен, и верно определение:

∑

(П.42)

a(t_j ) ≤ 1 +



∥Δ_j∥ e-γ0(kT-tj)h(t - t_j) = a_max,



Θ

(kT )

 j=1

что и требовалось доказать в первой части следствия.

Для доказательства второй части следствия с учетом оценки на ∥Δ_j∥ ана-

логично (П.42) получим оценку сверху на a(t_j ), но уже при неограниченном

числе переключений:



∞



a(t_j ) ≤ 1 +





₂

e-γ0(kT-tj)ΘT (kT)Δ_jh(t - t_j)

≤







Θ

(kT )

 j=1



(П.43)

∑

≤ 1 + c(t_j)h(t - t_j).

j=1

Ряд в (П.43) знакоположительный, и все его частичные суммы ограничены

∑

в силу монотонности 0 < c (t_j+1) ≤ c (t_j), а поэтому 1 + c (t_j ) h (t - t_j) ≤

j=1

≤ a_max, что завершает доказательство следствия 5.

Доказательство утверждения 2. Так как по следствиям 1 и 2

при ϕ(t) ∈ FE/ϕ(t) ∈ PE верны импликации:

ϕ(t) ∈ PE ⇔ ∀t ≥ kT λ_min(t) > µ > 0,

[

]

ϕ(t) ∈ FE ⇔ ∀t ∈ [t_δ; t_δ + δ] ⊂

t^+r; t_e

λ_min(t) > µ > 0,

то в соответствии с выражением (3.3) при ε = 0 имеем Ξ(t) = 0_n×n, а то-

гда Λ^-1(t)Ξ(t) = 0_n×n и, следовательно, ϕ(t) ∈ FE/ϕ(t) ∈ PE ⇒ d(t) = 0_n ⇒

⇒ Θ(t) = θ, что завершает доказательство п. (а) утверждения 2.

Необходимость условий ϕ(t) ∈ s-FE/ϕ(t) ∈ s-PE следует из того, что толь-

(

∑

ко при 0 < r < n условия части б) непротиворечивы

∃p > 0

w_iϕ_i(t) = 0_n,

)

i=1

w_i = 0 . Необходимость условия n > 2 также следует из противоречия, воз-

никающего при n = 2 в общем случае (ϕ₁(t) = 0_n):

w₁ϕ₁(t) + w₂ϕ₂(t) = 0_n w₁ = 0, w₂ = 0.

Теперь следует доказать для ∃M ⊂ {1, . . . , n}, |M| = p, ∀i ∈ M, Θ_i = θ_i

необходимость и достаточность выполнения условия:

∑

(П.44)

w_iϕ_i(t) +

w_jϕ_j(t) = 0_n, w_i = 0, w_j

= 0.

i=1

j=n-p+1

Необходимость. Для начала отметим, что согласно (3.5) элементы век-

тора новых неизвестных параметров Θ совпадают с элементами вектора

исходных параметров θ, если соответствующие элементы вектора d равны

нулю. Поэтому рассмотрим эту величину подробнее. При r > 0 произведе-

ние Λ^-1(t)Ξ(t) имеет структуру:

[

][

]

[

]

Λ^-1(t)

0r×r

(П.45)

Λ^-1(t)Ξ(t) =

0r×r ε^-1Ir

0r×r εIr

0r×r Ir

Тогда в силу обозначений (3.4) возможно переписать определение d:

(П.46)

d = V (t)Λ^-1(t)Ξ(t)V ^T(t)θ = V₂V T2 θ = [d1 ...di ...d_n]^T,

откуда следует, что d принимает p нулевых значений, если, в частности, чис-

ло нулевых строк и столбцов матрицы V₂V^T2 равно p, что, в свою очередь,

выполняется, когда матрица V₂ имеет p нулевых строк.

По определению сингулярного разложения положительно полуопределен-

ной симметричной матрицы [15, 16], матрица V₂ может быть найдена реше-

нием однородной системы линейных алгебраических уравнений:

∑

(П.47)

ϕ(t)V^k2 =

v^kiϕ_i(t) = 0_n

, ∀k ∈ {1, r} ,

i=1

где V^k2

k-й столбец матрицы V₂.

Для доказательства необходимости условия (П.44) покажем, что если w_j =

= 0, то вектор V k2 , ∀k ∈ {1, r} , не содержит нулевых элементов.

Выражение (П.47) может быть переписано в следующем эквивалентном

виде (с учетом ортонормальности V^k2, ∀k ∈ {1, r}):

∑

ϕ(t)V^k2 =

v^kiϕ_i(t) =

√

w_iϕ_i(t) =

i=1

∑w²

i=1





∑

√

 w_iϕ_i(t) +

w_jϕ_j(t) =

(П.48)

i=1

j=n-p+1

∑ w2

i=1

∑

= vki ϕ_i(t) +

v^kjϕ_j(t) = 0_n.

i=1

j=n-p+1

Поскольку при нахождении V^k2 выполняется поиск только нетривиальных

решений, то при невыполнении условия (П.44) множество решений задается

следующим образом:

w_i

w_j

v^ki =

√

= 0; v^kj =

√

= 0,

∑

w²

i=1

а тогда V^k2, ∀k ∈ {1, r}, не содержит нулевые элементы и, следовательно,

∄d_i = 0 ⇒ ∄M ⊂ {1,... ,n}, |M| = p, ∀i ∈ M, Θ_i = θ_i, что завершает доказа-

тельство необходимости условия (П.45).

Достаточность. Множество решений уравнения вида (П.47) по постанов-

ке утверждения при выполнении условия (П.44) задается следующим обра-

зом:

w_i

w_j

v^ki =

√

= 0; v^kj =

√

= 0,

∑

w²

i=1

а тогда вектор V k2 , ∀k ∈ {1, r}, содержит p нулевых элементов и, следователь-

но, ∃M ⊂ {1, . . . , n}, |M| = p, ∀i ∈ M, Θ_i = θ_i, что завершает доказательство

достаточности условия (П.44).

Таким образом, условие (П.44) является необходимым и достаточным для

идентифицируемости p неизвестных параметров θ, что завершает доказатель-

ство 2-й части утверждения 2.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Ortega R., Nikiforov V., Gerasimov D. On Modified Parameter Estimators for Iden-

tification and Adaptive Control. A Unified Framework and Some New Schemes //

Annual Reviews in Control. 2020. V. 50. P. 278-293.

Aranovskiy S., Bobtsov A., Ortega R., Pyrkin A. Performance Enhancement Of Pa-

rameter Estimators via Dynamic Regressor Extension and Mixing // IEEE Trans.

Automat. Control. 2016. V. 62, No. 7. P. 3546-3550.

Глущенко А.И., Петров В.А., Ласточкин К.А. I-DREM: ослабление условия

квадратичной интегрируемости // АиТ. 2021. № 7. С. 147-165.

Glushchenko A.I., Petrov V.A., Lastochkin K.A. I-DREM: Relaxing the Square In-

tegrability Condition // Autom. Remote Control. 2021. V. 82. No. 7. P. 1233-1247.

Korotina M., Romero J.G., Aranovskiy S., Bobtsov A., Ortega R. A New On-Line

Exponential Parameter Estimator without Persistent Excitation // Sys. Control Let-

ters. 2022. V. 159. P. 1-10.

Wang L., Ortega R., Bobtsov A., Romero J.G., Yi B. Identifiability implies robust,

globally exponentially convergent on-line parameter estimation: Application to model

reference adaptive control // arXiv preprint arXiv:2108.08436. 2021. P. 1-16.

Wang J., Efimov D., Aranovskiy S., Bobtsov A. Fixed-Time Estimation of Parame-

ters for Non-Persistent Excitation // European J. Control. 2020. V. 55. P. 24-32.

Yi B., Ortega R. Conditions for convergence of dynamic regressor extension and

mixing parameter estimators using LTI filters // IEEE Trans. Automat. Control.

2022. P. 1-6.

Aranovskiy S., Ushirobira R., Korotina M., Vedyakov A. On preserving-excitation

properties of Kreisselmeiers regressor extension scheme // IEEE Trans. Automat.

Control. 2022. P. 1-6.

Sastry S., Bodson M. Adaptive Control Stability, Convergence, and Robustness.

N.J.: Prentice Hall, 1989.

10.

Kreisselmeier G., Rietze-Augst G. Richness and Excitation on an Interval-with Ap-

plication to Continuous-Time Adaptive Control // IEEE Trans. Automat. Control.

1990. V. 35. No. 2. P. 165-171.

11.

Roy S.B., Bhasin S. Novel Model Reference Adaptive Control Architecture Using

Semi-Initial Excitation-Based Switched Parameter Estimator // Int. J. Adaptive

Control Signal Proc. 2019. V. 33. No. 12. P. 1759-1774.

12.

Glushchenko A., Lastochkin K. Robust Time-Varying Parameters Estimation Based

on I-DREM Procedure // IFAC-PapersOnLine. 2022. V. 55. No. 12. P. 91-96.

13.

Ovcharov A., Vedyakov A., Kazak S., Bespalov V., Pyrkin A., Bobtsov A. Flux Ob-

server for The Levitated Ball with Relaxed Excitation Conditions // Proc. European

Control Conf. 2021. P. 2334-2339.

14.

Ovcharov A., Vedyakov A., Kazak S., Pyrkin A. Overparameterized model parameter

recovering with finite-time convergence // Int. J. Adapt. Control. Signal Process.

2022. P. 1305-1325.

15. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляри-

зации // Доклады Академии наук. 1963. Т. 151. № 3. С. 501-504.

Tihonov A.N. Solution of incorrectly formulated problems and the regularization

method // Soviet Math. 1963. V. 4. P. 1035-1038.

16. Hansen P.C. The Truncated SVD as a Method For Regularization // BIT Num.

Math. 1987. V. 27. No. 4. С. 534-553.

17. Meyer C.D. Matrix Analysis and Applied Linear Algebra. Siam, 2000.

18. Глущенко А.И., Ласточкин К.А., Петров В.А. Нормализация возбуждения ре-

грессора в процедуре динамического расширения // АиТ. 2022. № 1. С. 22-39.

Glushchenko A.I., Lastochkin K.A., Petrov V.A. Normalization of Regressor Excita-

tion in the Dynamic Extension and Mixing Procedure // Autom. Remote Control.

2022. Vol. 83. No. 1. P. 17-31.

Статья представлена к публикации членом редколлегии А.А. Бобцовым.

Поступила в редакцию 13.12.2021

После доработки 17.06.2022

Принята к публикации 29.09.2022