Автоматика и телемеханика, № 12, 2023

И.А. ГАЛЯЕВ (ivan.galyaev@yandex.ru)

(Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)

СТРУКТУРНЫЕ СПЕКТРАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

НЕПРЕРЫВНЫХ УРАВНЕНИЙ ЛЯПУНОВА¹

Для линейных многосвязных непрерывных стационарных устойчивых

систем с простым спектром, в том числе в канонической диагональной

форме, а также приведенных к каноническим формам управляемости и

наблюдаемости, разработан метод и получены аналитические формулы

спектральных разложений грамианов в форме различных матриц Сяо.

Разработан метод и алгоритм вычисления обобщенных матриц Сяо в ви-

де произведения Адамара для многосвязных непрерывных линейных си-

стем со многими входами и многими выходами. Это позволяет вычислять

элементы соответствующих грамианов управляемости и наблюдаемости

в виде произведений соответствующих элементов матриц мультипликато-

ров и матрицы, являющейся суммой всевозможных произведений матриц

числителя матричной передаточной функции системы. Новые результаты

получены в виде спектральных и сингулярных разложений обратных гра-

мианов управляемости и наблюдаемости. Это позволяет получить инва-

риантные разложения энергетических функционалов и сформулировать

новые критерии устойчивости линейных систем с учетом нелинейных эф-

фектов взаимодействия мод.

Ключевые слова: спектральные разложения грамианов, сингулярные чис-

ла, обратная матрица грамиана, устойчивость с учетом взаимодействия

мод, матрицы Сяо, уравнение Ляпунова.

DOI: 10.31857/S0005231023120036, EDN: NFFFED

1. Введение

Мониторинг состояния объектов управления и управление демпфирова-

нием опасных колебаний являются важными направлениями исследований

в различных областях промышленности (энергетика, машиностроение, авиа-

ция и космонавтика, робототехника). Новые технологии моделирования тре-

буют развития инструментов аппроксимации математических моделей слож-

ных систем различной природы [1-3]. Важную роль играют методы вычисле-

ний матричных уравнений Ляпунова и Сильвестра и исследование структур-

ных свойств решений этих уравнений [4-11]. Фундаментальными свойствами

линейных динамических систем, связанных с решениями этих уравнений, яв-

ляются управляемость, наблюдаемость и устойчивость. Важные результаты

¹ Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского научного фонда

(проект № 19-19-00673).

были получены в области вычисления грамианов для систем, модели кото-

рых представлены в канонических формах управляемости и наблюдаемости.

В [12] были впервые предложены методы вычисления грамианов, основанные

на использовании матриц периодической структуры, для линейных систем,

заданных уравнениями в формах управляемости и наблюдаемости. В [13, 14]

новый подход был развит в направлении использования свойств импульсной

переходной функции и матриц грамианов в виде клетчатой структуры из

нулей и единиц (the zero-plaid structure of the controllability gramian). В [15]

подход был развит для вычисления спектральных разложений более общего

класса линейных стационарных (LTI) систем со многими входами и многи-

ми выходами (MIMO). В [16] с использованием данного подхода разработан

метод оптимального выбора мест размещения датчиков и исполнительных

устройств на графе распределенной системы управления. В работе показа-

но, что для диагонализованной системы грамиан управляемости может быть

представлен в виде произведения Адамара двух положительно полуопреде-

ленных матриц. В [17] решена задача оптимизации пропускной способности

городской транспортной сети на основе минимизации следа матрицы гра-

миана управляемости с учетом ограничений. Различные задачи, связанные

с применением грамианов управляемости, наблюдаемости и кросс-грамианов

для вычисления системных инвариантов и энергетических индексов устойчи-

вости, можно найти в [18, 19].

Целью настоящей работы являются развитие структурных методов реше-

ния матричных уравнений Ляпунова и получение спектральных и сингуляр-

ных разложений грамианов управляемости и наблюдаемости, основанных на

приведении уравнений состояния линейной стационарной системы к следую-

щим каноническим формам: диагональной, управляемости и наблюдаемости.

2. Постановка задачи

Рассмотрим устойчивую непрерывную MIMO LTI динамическую систему

вида

(2.1)

x(t) = Ax(t) + Bu(t), x(0) = 0, y(t) = Cx(t),

где x(t) ∈ Rⁿ, u(t) ∈ R^m, y(t) ∈ R^m. Будем рассматривать вещественные мат-

рицы соответствующих размеров A, B, C. Примем, что система (2.1) полно-

стью управляема и наблюдаема, все собственные числа матрицы А различны.

В этом случае реализация (2.1) минимальна и существует единственная пе-

редаточная функция W (s) в виде

∑

W (s) = M_isⁱN-1 (s) ,

i=1

где N(s) - характеристический полином матрицы А, M_i - матрица вида

∑

M_i = A_iB.

i=0

Выше через A_i обозначена «i»-я матрица Фаддеева в разложении резольвен-

ты матрицы А в ряд Фаддеева-Леверье [6, 7]. В соответствии с [20] запишем

общую формулу вычисления грамиана управляемости по парному спектру

системы (2.1)

∑∑

[

]

[

]

(2.2)

P^c = -

Res (Is - A)-1,sj BB∗Res (Is - A∗)-1,sρ

j + sρ

j=1 ρ=1

Рассмотрим непрерывную динамическую MISO (с многими входами и од-

ним выходом) LTI систему вида

(2.3)

x (t) = Ax (t) + b_γu_γ

(t) , x (0) = 0,

y (t) = cx (t) ,

где x ∈ Rⁿ, y ∈ R¹, u_γ (t) ∈ R^m, γ = 1, . . . m, b_γ - столбец матрицы B.

Рассмотрим преобразование уравнения (2.1) системы общего вида к урав-

нениям состояний в канонических формах: диагональной, управляемости и

наблюдаемости.

Если все собственные числа s_r матрицы А различны, то линейную систему

можно привести к диагональному виду с помощью невырожденного преоб-

разования координат

x_d = Tx,

x_d = A_dx_d + B_du, y_d = C_dx_d,

A_d = TAT-1, B_d = TB, C_d = CT-1, Q_d = TBB^TT^T,

или

⎡

⎤

⎡

⎤

ν∗1

s₁

⎢

⎥

[

]⎢

⎥

ν∗2

s₂

⎢

⎥

⎢

⎥

u₁

u₂

... u_n

⎢

⎥

= TΛT-1,

⎦

⎣

⎦

... s_n

ν^∗

где матрица T составлена из правых собственных векторов u_i, а матрица

T-1 - из левых собственных векторов ν^∗i, соответствующих собственному чис-

лу s_i. Грамиан диагонализованной линейной части является решением урав-

нения Ляпунова, которое определится из формулы [15]

∑∑

[

]

[

]

P^cd = -

Res (Is - A_d)-1,sj BdB∗dRes (Is - Ad)-1,sρ

j + sρ

j=1 ρ=1

Грамиан управляемости P^cd связан с грамианом P^c соотношением вида

P^c = TP^cdT^T.

Из (2.2) следует следующее сепарабельное спектральное разложение грамиа-

на управляемости системы, преобразованной в диагональную каноническую

форму [21]

∑∑

-b_jρ

P^cd =

1_jρ, b_jρ = [B_dB^∗d]_jρ,

s_j + s_ρ

j=1 ρ=1

где введено обозначение

⎡

⎤

⎦_.

1_jρ =^⎣ 0 1jρ

Рассмотрим далее канал “γ“ MISO LTI системы в канонической форме управ-

ляемости [1, 21]

∑

x(t) =

R^Fcγx_cγ(t).

γ=1

(2.4)

x_c (t) = A^Fc x_cγ (t) + b^Fγ u_γ (t) , x_c

(0) = 0,

y^Fc (t) = c^Fγ x_c (t), γ = 0,1... ,m.

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

[

]_T

⎥

A^Fc =^⎢

, b^Fγ =

⎢

⎥

⎣

⎦

−a₀

-a₁

-a₂

-an-1

[

]

[

]

-a₀

-a₁

-an-2

-an-1

, c^Fγ =

ξ₀

ξ₁

... ξn-2

ξn-1

Если использовать невырожденное преобразование переменных с матри-

цей R^Fc , можно рассматривать MISO LTI систему в канонической форме

управляемости. Вектор B_γ для MISO системы имеет вид

[

]_T

B_γ =

... b_γ ...

Справедливы следующие соотношения [14]:

(

)-1

(

R^Fcγ

AR^Fcγ = A^Fc ,

R^Fcγ

)-1B_γ = b^Fγ , CR^Fcγ = c^Fγ ,

∑

P^c = R^cFγ P^cFγ (R^cFγ )^T .

γ=1

В отношении систем (2.1) и (2.3) будем предполагать выполненными раз-

личные структурные условия устойчивости, управляемости, наблюдаемости

и свойств спектра матрицы динамики. В [15] было получено следующее спек-

тральное разложение грамиана управляемости:

∑

s^jk(-s_k)^η

P^cFγ =

1j+1η+1.

(s_k) N (-s_k)

k=1 η=0 j=0

Рассмотрим далее канал “γ” SIMO (с одним входом и многими выходами) LTI

линейной системы в канонической форме наблюдаемости [15]. В этом случае

справедливы формулы

∑

x_o(t) =

R^Foγx_oγ(t),

γ=1

x_oγ (t) = A^Fc x_oγ (t) + b^Foγu_γ (t) , x_o (0) = 0,

y^Foγ (t) = c^Foγx_oγ (t), γ = 0,1... m.

⎡

⎤

-a₀

⎢

-a-1

⎥

⎢

⎥

[

]_T

⎥

A^Fo =^⎢

, b^Foγ =

ξ₀

ξ₁

... ξn-2

ξn-1

⎢

⎥

⎣₀

⎦

-an-2

-an-1

[

]

c^Foγ =

В соответствии с принципом дуальности получим выражения [14]

∑

s^jk(-s_k)^η

P^Foγ =

1j+1η+1,

N (s_k) N (-s_k)

k=1 η=0 j=0

∑

P^o = R^FoγP^oFγ (R^Foγ)^T .

γ=1

Определение 1. Назовем матрицей Сяо (Zero plaid structure) матрицу

вида [12, 13]

⎡

⎤

y₁

-y₂

y₃

⎢

y₂

-y₃

⎥

⎢

⎥

Y =

⎢

−y₂

y₃

⎥_.

⎢

⎥

⎣

-y₃

⎦

y₃

y_n

Элементы матрицы вычисляются по формулам

⎧

⎪

0, если j + η = 2k + 1, k= 1, . . . , n;

⎪

⎨

y_n =

2Yn,1

y_jη =

∑m-1

⎪

(-1)ⁱYn-l,i+1yn-l+i

⎪

i=1

y_n-l =

⎪

⎩

Yn-l,1

если j + η = 2k, k = 1,... ,n, l = 1,n - 1,

где Yi,j - элемент таблицы Рауса для системы, находящийся на пересече-

нии i строки и j столбца.

3. Основные результаты

3.1. Тождества для одного класса устойчивых полиномов,

корни которых различны над полем комплексных чисел

Рассмотрим спектральное разложение грамиана управляемости по просто-

му и парному спектру (2.2).

∑

s^jk(-s_k)^η

≡

N (s_k) N (-s_k)

k=1 j=0 η=0

(3.1)

∑

∑ -1

s^jks^ρ

≡

, s_k + s_ρ = 0.

s_k + s_ρ

(s_k)

N (s_ρ)

k=1 ρ=1 j=0 η=0

Введем обозначения

∑

s^jk(-s_k)^η

ω (n,s_k,j,η) =

N (s_k) N (-s_k)

k=1

∑

∑ -1

s^jks^ρ

ω (n,s_k,s_ρ,j,η) =

s_k + s_ρ

N (s_k)

N (s_ρ)

k=1 ρ=1

С учетом введенных обозначений тождество (3.1) примет вид

ω (n,s_k,j,η) ≡ ω (n,s_k,s_ρ,j,η) для ∀s_k,s_ρ ∈ C^-, s_k + s_ρ = 0.

Доказательство следует из разложения дробно-рациональной функции

s^jk(-s_k)^η

по корням характеристического уравнения N (-s_k) = 0.

^N (s_k)

(-s_k)

Лемма 1. Рассмотрим полином γ (n,s_k,-s_k) над полем комплексных чи-

сел следующего вида:

∑∑

γ (n, s_k, -s_k) =

s^ik(-s_k)^μ, ∀k = 1,... ,n,

i=0 μ=0

где s_k - корни характеристического уравнения системы (2.1), а -s_k - корни

характеристического уравнения ее антиустойчивой сопряженной системы.

Предположим, что все собственные числа систем простые, не равные ну-

лю комплексные числа. Тогда полином γ (n, s_k, -s_k) содержит только все

четные степени чисел s_k и не содержит их нечетных степеней.

(

)

γ (n, s_k, -s_k) = γ

n, s0k,s2k,... ,s2mk

, n = 2m,

(

)

γ (n, s_k, -s_k) = γ

n, s1k,s3k,... ,s2m-1k

≡ 0, n = 2m - 1.

Доказательство. Легко убедиться, что результат леммы справедлив

для n = 1, 2, 3:

γ (1, s_k, -s_k) = 1,

γ (2,s_k,-s_k) = 1 - s2k,

γ (3,s_k,-s_k) = s4k - s2k + 1.

Применим метод математической индукции. Предположим, что результат

леммы справедлив для полинома γ (n, s_k, -s_k):

{

(

)

2m, s0k, . . . , s2mk

для четного n = 2m,

γ (n,s_k,-s_k) =

(

)

2m - 1, s0k, . . . , s2mk

для нечетного n = 2m - 1.

Покажем, что он справедлив и для полинома γ (n + 1, s_k, -s_k) . При увеличе-

нии n на единицу полином γ (n, s_k, -s_k) принимает вид

{

γ (2m + 1, s_k, -s_k) для четного n = 2m,

γ (n + 1, s_k, -s_k) =

γ (2m, s_k, -s_k) для нечетного n = 2m - 1.

Рассмотрим вначале случай четного n.

(

)

(

)

γ (n + 1, s_k, -s_k) = γ

2m, s0k, . . . , s2mk

+γ

2m, s0k, . . . , s2mk

s2m+1k -

(

)

−γ

2m, s0k, . . . , s2mk

s2m+1k + s2m+1k(-s_k)2m+1 =

(

)₂

=γ

2m, s0k, . . . , s2mk

-s2(2m+1)k.

Для случая нечетного n аналогичным образом получаем

(

)

γ (n + 1,s_k,-s_k) = γ

2m - 1, s0k, . . . , s2mk

(

)

+γ

2m - 1, s0k, . . . , s2m+1k

s2(2m+1)k -

(

)

−γ

2m - 1, s0k, . . . , s2m+1k

s2(m+1)k + s2(2m+1)k =

(

)

=γ

2m - 1, s0k, . . . , s2mk

+s2(2m+1)k,

где первые три слагаемых содержат четные степени s_k по предположению.

Следствие 1. Рассмотрим мультипликатор ω (n,s_k,j,η) в спектраль-

ном разложении грамиана управляемости по простому спектру (2.2). Спра-

ведливы тождества

(3.2)

ω (n, s_k

, j, η) ≡ 0, если j + η =

2m - 1,

∑

s^jk(-s_k)^η

(3.3)

ω (n, s_k, j, η) ≡

, если j + η = 2m.

(s_k)N (-s_k)

k=1

Доказательство. Выразим мультипликатор через полином γ(n,s_k,-s_k)

∑

s^jk(-s_k)^η

γ (n, s_k, -s_k, j, η)

ω (n,s_k,j,η ) ≡

N (s_k) N (-s_k)

N (s_k)N (-s_k)

k=1

и применим лемму.

Следствие 2. Рассмотрим мультипликатор ω (n,s_k,s_ρ,j,η) в спек-

тральном разложении грамиана управляемости по парному спектру (2.2).

Справедливы тождества

(3.4)

ω (n,s_k,s_ρ

, j, η) ≡ 0, если j + η =

2m - 1,

∑∑ -1

s^jks^ρ

(3.5)

ω (n, s_k, s_ρ, j, η) ≡

, если j + η = 2m.

s_k + s_ρ

(s_k)N

(s_ρ)

k=1 ρ=1

Доказательство. Выразим мультипликатор через полином γ (n,s_k,-s_k)

ω (n, s_k, j, η) ≡ ω (n, s_k, s_ρ, j, η) для ∀s_k, s_ρ ∈ C^-, s_k + s_ρ = 0

и применим лемму.

Следствия 1, 2 доказывают, что для всех непрерывных устойчивых MIMO

LTI систем с простым спектром, приведенных к каноническим формам управ-

ляемости и наблюдаемости, существуют спектральные разложения в форме

матриц Сяо. Для систем, представленных в канонических формах управляе-

мости и наблюдаемости, это позволяет вместо вычисления n² элементов мат-

рицы вычислять только n диагональных элементов по формулам (3.2)-(3.5).

Замечание. Следует с осторожностью использовать мультипликатор

ω (n, s_k, s_ρ, j, η) в спектральном разложении грамиана управляемости по пар-

ному спектру (2.2). Например, в случае MIMO LTI системы, приведенной

к диагональной канонической форме, спектральное разложение грамиана

управляемости имеет простой вид

∑∑

-b_jρ

(3.6)

P^cd =

1_jρ ,

b_jρ = [B_dB^∗d]_jρ.

s_j + s_ρ

j=1 ρ=1

С другой стороны, имеем

∑∑

∑

s^jk(-s_k)^ρ

(3.7)

P^cd =

ω(n, s_j, j, ρ)A_j B_dB^∗dA^∗ρ, ω (n, s_k, j, ρ) =

N (s_k) N (-s_k)

j=0 ρ=0

k=1

Заметим, что обе формулы (3.6), (3.7) дают одинаковый численный резуль-

тат, который соответствует различным спектральным разложениям. Приве-

дем пример.

Иллюстративный пример 1

Рассмотрим задачу управления двухзонной печью. Модель объекта управле-

ния - нагревательной печи можно описать уравнениями состояния вида

{

= Ax (t) + Bu (t) , x (0) = 0,

Σ₁:_dt

y (t) = Cx(t).

[

]

[

]

[

]

-0,5

0,5

, B=

, C =

-1

0,5

В данном случае можно вычислить выражения

N (s) = s² + 1,5s + 0,5,

(s) = 2s + 1,5,

[

]

s+1

(Is - A)-1 =

(s² + 1,5s + 0,5)-1,

s + 0,5

[

]

[

]

[

]

1,25

1,5

A₁ =

, A₀ =

, BB^T =

0,5

1,5

4,25

Грамиан управляемости, вычисленный по формуле (3.6), равен

[

]

[

]

[

]

[

]

1,25

P^c =

2,125

Выражение разложения грамиана управляемости имеет вид

∑

s^jk(-s_k)^ρ

P^c =

A_jBB^TATρ,

(s_k)N (-s_k)

j=0 ρ=0 k=1

∑

s^jk(-s_k)^ρ

-b_jρ

P^c =

1_jρ,

N (s_k) N (-s_k) sj + sρ

j=0 ρ=0 k=1

где A_j - матрица Фаддеева, построенная для матрицы A с помощью алго-

ритма Фаддеева-Леверье [6, 7]. Вычислим матрицы A_jBB^TATρ:

[

]

[

]

1,25

0,75

1,25

0,75

A₀BB^T AT0 =

, A₀BB^TA^T1 =

0,75

1,0625

1,5

2,125

[

]

[

]

1,25

1,5

1,25

1,5

A₁BB^TA^T0 =

, A₁BB^TA^T1 =

0,75

2, 125

1,25

4,25

Подставляя эти выражения в (3.7), получим спектральное разложение:

[

]

[

]

[

]

1,25

0,75

1,25

1,5

1,25

P^c =

0,75

1,0625

1,25

4,25

2,125

Матрицы бесконечных субграмианов являются симметричными и положи-

тельно определенными, и таковой является их сумма. Путем прямой подста-

новки проверяем, что вычисленный грамиан управляемости является реше-

нием уравнения Ляпунова. Сепарабельное спектральное разложение грамиа-

на управляемости, вычисленное по формуле (3.6), имеет вид

[

]

[

]

[

]

[

]

1,25

P^c =

2,125

Матрицы бесконечных субграмианов в этом разложении не являются симмет-

ричными и положительно определенными, хотя таковой является их сумма.

Пример показывает, что один и тот же грамиан может иметь несколько раз-

ных спектральных разложений.

3.2. Разложение грамианов в форме произведений Адамара [3]

Введем матрицы мультипликатора грамиана управляемости непрерывной

MIMO LTI системы в виде

Ω_с = [ωс,jη]_n×n

и ее грамиана наблюдаемости в виде

Ω_o = [ω_o,jη]_n×n,

где j - индекс строки, а η - индекс столбца матриц мультипликаторов.

Введем матрицы Ψ_с и Ψ_o в виде

∑∑

Ψ_с =

A_iBB^TATμ,

i=0 μ=0

∑∑

Ψ_o =

ATiC^TCA_μ.

i=0 μ=0

Введем поэлементное представление этих матриц в виде

ψс,jη = eTjΨ_с e_η,

ψ_o,jη = eTjΨ_o e_η.

Теорема 1 [15]. Рассмотрим устойчивую непрерывную динамическую

MIMO LTI систему с простым спектром

x(t) = Ax(t) + Bu (t) , x (0) = 0,

y (t) = Cx (t) ,

где x (t) ∈ Rⁿ, u (t) ∈ R^m, y(t) ∈ R^m.

Тогда субрамиан управляемости P^c является матрицей вида (2.2), и в

соответствии с [7] формулами (2.1), (2.2) определяется как

∑∑

(3.8)

P^c =

P^cj,η, P^cj,η = ω(n,s_k,s_ρ,j,η)A_jBB^TATη,

j=0 η=0

где

⎧

0, если индекс j + η нечетен,

⎨

ω (n,s_k,s_ρ,j,η) =

∑∑ -1

s^jks^ρ

⎩

,если индекс j + η четен.

s_ρ + s_k

N (s_k)

N (s_ρ)

k=1 ρ=1

Доказательство теоремы 1. Как известно, спектральное разложе-

ние грамиана управляемости в условиях теоремы 1 имеет вид [7, 20]

∑

-1

s^jks^ρ

P^c =

A_jBB^TATη.

s_ρ + s_k

N (s_k)

N (s_ρ)

j=0 η=0 k=1 ρ=1

Подставим вновь введенную скалярную функцию ω (n, s_k, s_ρ, j, η) в эту фор-

мулу и получим формулу (3.8).

Теорема 2 [13]. Рассмотрим непрерывную MIMO LTI систему ви-

да (2.1). Предположим, что система устойчива и все корни ее характери-

стического уравнения различны. Тогда ее грамианы управляемости и наблю-

даемости имеют вид обобщенных матриц Сяо следующего вида:

[

]

(3.9)

P^c = Ω_с ◦ Ψ_с =

p^cjηn×n

j, η = 1, . . . , n.

∑∑

Ψ_с = [ψ_c,jη]_n×n, j,η = 1,... ,n.

Ψ_с =

Ψ_с,iμ, Ψ_с,iμ = M_iM^∗μ,

i=0 μ=0

M_i = A_iB, Ω_с = [ω_c(n,j,η)]_n×n, j,η = 1,... ,n.

p^cjη = ω_c(n,j,η) × ψ_c,jη.

Доказательство теоремы 2. Воспользуемся спектральным разло-

жением грамиана управляемости (2.2). Введем представление грамианов в

форме произведений Адамара

(3.10)

P^c = Ω_с ◦ Ψ_с,

(3.11)

P^o = Ω_o ◦ Ψ_o.

Это представление позволяет выписать простые формулы для вычисления

элементов грамианов управляемости и наблюдаемости MIMO LTI систем P^c

и P^o в виде [13]

(3.12)

p^cjη = ω_c(n,j,η) × ψ_c,jη,

(3.13)

p^ojη = ω_c(n,j,η) × ψ_o,jη.

Далее используем тождества для одного класса устойчивых полиномов, кор-

ни которых различные над полем комплексных чисел (Лемма). Формулы

(3.10)-(3.13) выражают алгоритмы вычисления элементов обобщенных мат-

риц Сяо в форме произведений элементов матриц мультипликатора и эле-

ментов сумм всевозможных произведений матриц A_jBB^TATη, записанных в

форме произведений матриц Адамара

Ω_с ◦ Ψ_с.

Следствие 3. Рассмотрим важный частный случай непрерывных ли-

нейных SISO (с одним входом и одним выходом) систем, представленных

уравнениями состояния в канонических формах управляемости и наблюда-

емости. В этом случае грамианы управляемости и наблюдаемости опреде-

ляются формулами [15]

∑

s^jk(-s_k)^η

(3.14)

P^cF =

1j+1η+1,

(s_k) N (-s_k)

k=1 η=0 j=0

∑

s^jk(-s_k)^η

P^oF =

1j+1η+1.

(s_k)N (-s_k)

k=1 η=0 j=0

Представление грамианов в форме Адамара согласно (3.10)-(3.11) принима-

ет вид

∑∑

P^cF = Ω_сF ◦ Ψ_с, Ψ_с =

1j+1η+1,

η=0 j=0

∑∑

P^oF = Ω_oF ◦ Ψ_o, Ψ_o =

1j+1η+1.

η=0 j=0

Отсюда вытекают тождества

(3.15)

P^cF ≡ Ω_сF ,

(3.16)

P^oF ≡ Ω_oF .

Это означает, что грамиан управляемости в канонической форме управ-

ляемости совпадает с матрицей мультипликатора для этого грамиана,

что позволяет применить формулы (3.15), (3.16) для расчета всех элемен-

тов грамиана и устанавливает принадлежность грамиана к классу матриц

Сяо. Аналогичный результат справедлив для грамиана наблюдаемости в ка-

нонической форме наблюдаемости.

Матрицы мультипликаторов в разных канонических формах имеют вид

Ω_cF ≡ Ω_oF = [ω (n,s_k,s_ρ,j,η)]_n×n = [ω (n,s_k,j,η)]_n×n.

3.3. Спектральные и сингулярные разложения обратных

матриц грамианов

Общие формулы вычисления обратных матриц грамианов (далее обрат-

ных грамианов) для непрерывных MIMO LTI систем имеют вид [1]

[

]

(P^c)-1 =-1 (P^c)n-1 + γn-1(P^c)n-2 + · · · + γ₂P^c + γ₁I ;

γ₀

]

(P^o)-1 =-1[(Po)n-1 + γn-1(Po)n-2 + · · · + γ2Po + γ1I

γ₀

В случае непрерывных SISO LTI систем эти формулы в соответствии с (3.15),

(3.16) приобретают форму

]

[

]-1

-1^[

P^cF (ω(n,s_k,j,η))

(ΩсF )n-1 + γn-1(ΩсF )n-2 + · · · + γ₂ΩсF + γ₁I ;

γ₀

]

[

]-1

-1^[

P^oF (ω(n,s_k,j,η))

(Ω_oF )n-1 + γn-1(Ω_oF )n-2 + · · · + γ₂Ω_oF + γ₁I

γ₀

Наличие степеней матриц мультипликатора в правой части формул приво-

дит к появлению сложных дробно-рациональных функций собственных чи-

сел s_k, что ограничивает область применения формул спектральных разложе-

ний обратных грамианов системами малой и средней размерности. Вернемся

к устойчивым непрерывным MIMO LTI системам с простым спектром и за-

метим, что грамианы управляемости и наблюдаемости представляют собой

симметричные комплекснозначные матрицы. В этом случае существуют их

сингулярные разложения вида [1]

P^c = P^c∗ = V_cΛV^∗c,

P^o = P^o∗ = V_oΛV^∗o,

где матрица V_c образована правыми сингулярными векторами матрицы P^c,

матрица V^∗c образована левыми сингулярными векторами матрицы P^c, а мат-

рица Λ является диагональной матрицей вида

Λ = diag {|λ₁||λ₂|...|λ_n|}.

Определим матрицы S и U в виде

S = diag {sgnλ₁ sgnλ2 ...sgnλ_n }, U_c = V_cS,

^{ +1, если λ ≥ 0,

sgnλ =

-1, если λ < 0.

Тогда

P^c = U_cΛV^∗c,

P^o = U_oΛV^∗o,

где матрица U_c образована левыми сингулярными векторами матрицы P^c.

Поскольку Λ, U_c, V_c являются несингулярными матрицами, то

(3.17)

(P^c)-1 = (U_c)-1Λ-1(V^∗c)-1 = V^∗cΛ-1U_c.

Аналогичным образом получаем

(3.18)

(P^o)-1 = (U_o)-1Λ-1(V^∗o)-1 = V^∗oΛ-1U_o.

Поскольку матрица Λ диагональна, ее обратную матрицу можно представить

в виде

[

]

(3.19)

Λ-1 = |λ₁|-11₁₁ + |λ₂|-11₂₂ + ··· + |λ_n|-11nn

Подставив (3.19) в (3.17), (3.18), получим следующие сингулярные разложе-

ния обратных грамианов управляемости и наблюдаемости по их сингулярно-

му спектру:

[

]

(P^c)-1 = V^∗c |λ₁|-11₁₁ + |λ₂|-11₂₂ + · · · + |λ_n|-11nn Uc;

[

]

(P^o)-1 = V^∗o |λ₁|-11₁₁ + |λ₂|-11₂₂ + · · · + |λ_n|-11nn Uo.

Теорема 3. Рассмотрим непрерывную устойчивую и полностью управ-

ляемую динамическую MIMO LTI систему вида (2.1).

Сингулярные разложения ее обратного грамиана управляемости по соб-

ственным числам матрицы грамиана имеют следующий вид.

Для простого спектра матрицы грамиана

∑_n

∑n-1

P^cjσ^jλ

(3.20)

(P^c)-1 =λ=1j=0

˙N

σ_λ

c(σλ)

где P^c - матрица грамиана управляемости, P^cj - матрица Фаддеева в раз-

ложении резольвенты грамиана, σ_λ - собственное число матрицы грамиа-

на P^c.

Для кратного спектра матрицы грамиана

∑

∑ K_δρ

(3.21)

(P^c)-1 = -

(-σ_δ)mδ-j+1

δ=1 ρ=1

{

[

∑n-1

]}

ρ-1



(σ - σ_δ)mδ

σ^jP^cj

j=0



(3.22)

K_δρ =

∏_n



(ρ - 1)! dσρ-1

(σ - σ_δ)mδ



δ=1

s=s_δ

где P^c - матрица грамиана управляемости, P^cj - матрица Фаддеева в разло-

жении резольвенты грамиана, σ_δ - собственное число матрицы грамиана P^c

кратности m_δ, ρ - индекс кратности собственного числа σ_δ.

Доказательство теоремы 3. Рассмотрим разложение резольвенты

матрицы грамиана управляемости в виде отрезка ряда Фаддеева [6]

∑n-1

P^cjσ^j

(3.23)

(Iσ - P^c)-1 =j=0

N_c(σ)

Обозначим: N_c (σ) = sⁿ + ac,n-1σn-1 + . . . ac,1σ + ac,0, j = 1, . . . , n; N_c (σ) - ха-

рактеристический полином резольвенты матрицы грамиана, P^cj - матрица

Фаддеева в разложении резольвенты в ряд Фаддеева, j = 1, . . ., n.

Рассмотрим вначале случай, когда все сингулярные числа σ_λ грамиана

различны. В этом случае разложение (3.23) преобразуется к виду

∑_n

∑n-1

P^cjσ^jλ

(3.24)

(Iσ - P^c)-1 =λ=1j=0

σ-σ_λ

c(σλ)

Итеративный алгоритм вычисления матриц Фаддеева и коэффициентов ха-

рактеристического уравнения:

Первый шаг: ac,n-1 = 1, R_n = I,

Шаг «k»: a_c,n-k = -1k tr (P^cRn-k+1) , R_n-k = a_c,n-kI + P^cRn-k+1, k =

= 1, . . . , n;

В соответствии с алгоритмом Фаддеева-Леверье справедливы также сле-

дующие матричные равенства:

Pc0 = ac,1I + ac,2P^c + ··· + a_c,n(P^c)n-1,

Pc1 = ac,2I + ac,3P^c + ··· + a_c,n(P^c)n-2,

Pcn-2 = ac,n-1I + a_c,nP^c,

Pcn-1 = a_c,nI.

Выше представленную систему можно записать в виде

∑

P^cj =

ac,j+1(P^c)^j,

∀j : j = 0,1,... ,n - 1.

j=0

Положим в (3.24) σ = 0 и получим формулу (3.20):

∑_n

∑n-1

P^cjσ^jλ

(3.25)

(P^c)-1 =λ=1j=0

˙N

σ_λ

c(σλ)

Таким образом, (3.20)-(3.25) в случае простого спектра матрицы грамиа-

на определяют сингулярное разложение обратного грамиана управляемости.

Аналогичный подход можно применить для случая кратного спектра мат-

рицы грамиана. Предположим, что характеристическое уравнение матрицы

грамиана можно представить в виде

∏

∑

N_c (σ) = (σ - σ_i)mi ,

m_i = q, σ_i ∈ C⁺.

i=1

Для любой квадратной матрицы грамиана его резольвента имеет вид мат-

ричной функции (3.24). В соответствии с [22, 23] ее разложение на простые

дроби имеет вид

∑∑

K_δρ

(3.26)

(Iσ - P^c)-1 =

(σ - σ_δ)mδ-j+1

δ=1 ρ=1

{

[

∑n-1

]}

ρ-1



(σ - σ_δ)mδ

σ^jP^cj

j=0



K_δρ =

∏_n



(ρ - 1)! dσρ-1

(σ - σ_δ)mδ



δ=1

σ=σ_δ

Положим в (3.26) σ = 0 и получим формулы (3.21)-(3.22) сингулярного раз-

ложения обратного грамиана управляемости для случая кратного спектра

матрицы грамиана.

Иллюстративный пример 2

Рассмотрим задачу управления асинхронного двигателя. Модель объекта

управления можно описать уравнениями состояния вида

{

= Ax (t) + Bu (t) , x (0) = 0,

Σ₁:_dt

y (t) = Cx(t).

⎡

⎤

⎡

⎤

⎡

⎤

-4,67

-1,33

2,33

⎢-2,17

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

2,33

-3,83

5,17

-3

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

C =

⎣

1,5

-0,33

-1,5

0,17

⎦^,

⎣-7

⎦^,

⎣₀

⎦^.

2,17

-3,33

3,83

-6,17

-4

Приведем собственные значения матрицы динамики системы

λ_i = -4; -3; -2; -1.

Для построения сингулярного разложения обратного грамиана управляемо-

сти системы по сингулярным числам матрицы грамиана вычислим грамиан

управляемости по формуле (3.6)

⎡

⎤

2,5

0,56

⎢

11,2

13,2

5,1

⎥

⎢

⎥

P^c =

⎣2,5

⎦^.

13,2

16,6

6,9

0,56

5,1

6,9

Заметим, что формула (3.6) справедлива не только для устойчивых линейных

систем, но и для неустойчивых систем, в которых не нарушается условие

s_k + s_p = 0. Оно нарушается в случае s_k = 0 или s_k = +jω, sk+1 = -jω [21].

Тогда сингулярные числа этого грамиана примут вид

σ_i = 30,7; 2,5; 0,17; 0,0002.

Грамиан управляемости системы представлен симметричной матрицей, по-

этому существует его SVD-разложение [1]

⎡

⎤

⎡

⎤

-0,13

0,86

-0,48

-0,009

⎥

⎢

⎥

⎢ -0,6

0,28

0,67

0,35

2,5

P^c =

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣-0,73

-0,25

-0,58

⎦^×

⎣₀

0,17

⎦^×

−0,3

-0,32

-0,51

0,74

0,0002

⎡

⎤

-0,13

0,86

-0,48

-0,009

⎢ -0,6

0,28

0,67

0,35

⎥

⎢

⎥

⎣-0,73

-0,25

-0,58

⎦^.

−0,3

-0,32

-0,51

0,74

В соответствии с алгоритмом Фаддеева-Леверье вычислим матрицы Фаддее-

ва и коэффициенты характеристического уравнения для обратного грамиана

⎡

⎤

⎡

⎤

-0,01

0,05

-0,07

0,08

21,8

-23,5

8,4

⎢0,05

-1,62

2,69

-3,4

⎥

⎢

−23,5

44,6

-29,5

-5,5

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

Pc0 =

Pc1 =

⎣-0,07

2,69

-4,5

5,6

⎦^,

⎣

8,4

-29,5

-25

⎦^,

0,08

-3,4

5,6

-7,2

-5,5

-25

65,7

⎡

⎤

⎡

⎤

-31

2,5

0,56

⎢

⎥

⎢

⎥

-22,1

13,2

5,1

Pc2 =

⎢

⎥

Pc3 =

⎢

⎥

⎣2,5

13,2

-16,7

6,9

⎦^,

⎣₀

⎦^,

0,56

5,1

6,9

-30,3

ac,0 = 0,0031, ac,1 = -13,3, ac,2 = 82,6,ac,3 = -33,3,ac,4 = 1.

Тогда обратный грамиан можно будет вычислить по формуле (3.20)

⎡

⎤

1,97

-14,8

22,3

-26,2

⎢-14,8

-517

-856

1083

⎥

⎢

⎥

(P^c)-1 =

⎣22,3

-856

1422

-1803

⎦^.

−26,2

1083

-1803

2290

3.4. Спектральные разложения энергетических функционалов

и новые критерии устойчивости

Рассмотрим в рамках сделанных выше предположений SISO LTI систему

вида (2.4), уравнения состояния которой приведены к канонической форме

управляемости, и вычислим энергетический функционал J, который пред-

ставляет собой значение квадрата Н₂-нормы передаточной функции системы

и дает оценку риска потери устойчивости [1, 19, 22]. Для этого используем

(3.12) и (3.14) и для определенности выберем спектральное разложение гра-

миана управляемости по простому спектру

(3.27)

J = trC^FΩ_c(C^F)^T =

⎛

⎞

∑

ξ₁

s2k

(-1)n-1ξn-1

s2nk

⎜

ξ₀

⎟

⎜

k=1

⎟

−

+···+

∑

⎠^.

(s_k)N (-s_k)

N (s_k) N (-s_k)

(s_k) N (-s_k)

k=1

Получили инвариантное спектральное разложение энергетического функцио-

нала по простому спектру матрицы динамики. Эта простая формула пока-

зывает преимущество применения спектральных разложений в канонической

форме перед разложением общего вида (3.23). Разложение не зависит от вы-

бора невырожденной матрицы линейных преобразований координат системы.

Два основных фактора влияют на значение риска потери устойчивости J:

1) значения диагональных членов матрицы Сяо Ω_c,

2) квадраты элементов приведенного вектора выхода.

Выражение (3.27) можно упростить за счет упрощения SISO LTI системы.

В [14] показано, что матрица Сяо является грамианом управляемости для

SISO LTI системы с передаточной функцией

y(s)

(3.28)

W (s) =

u(s)

sⁿ + an-1sn-1 + ··· + a₁s + a₀

Асимптотическая устойчивость SISO LTI систем вида (2.4) равносильна

асимптотической устойчивости этой системы. Более того, покажем, что

асимптотическая устойчивость МIМО LTI систем вида (2.1) равносильна ее

асимптотической устойчивости. Энергетический функционал J для системы

(3.28) согласно (3.27) равен

(

∑

s2k

k=1

J =

∑_n

∑

+...

N(sk)N(-s_k)

(s_k)N(-s_k)

k=1

(3.29)

)

∑_n

n-1

(-1)

s2n

k=1

...+

∑

^N (s_k)N(-s_k)

k=1

Теорема 4. Рассмотрим непрерывную полностью управляемую дина-

мическую MIMO LTI систему с простым спектром вида (2.1), а также

непрерывную динамическую SISO LTI систему с тем же спектром, урав-

нения состояния которой приведены к канонической форме управляемости

вида (2.4).

Тогда достаточным условием асимптотической устойчивости системы

(2.1) по Ляпунову является ограниченность энергетического функционала

(3.29) для SISO LTI системы с тем же спектром и передаточной функци-

ей (3.28)

(3.30)

J < + ∞,

(3.31)

для любого s_k принадлежащего C^-

, k = 1,...,n.

Доказательство теоремы 4. Напомним, что МIМО LTI система

(2.1) полностью управляема и наблюдаема, все собственные числа матрицы А

различны, реализация системы (2.1) минимальна и существует единственная

передаточная функция системы. При выполнении указанных условий ограни-

√

ченность функционала

J является необходимым и достаточным условием

асимптотической устойчивости системы (2.1) по Ляпунову [1, Теорема 5.14].

Таким образом, ограниченность функционала J является достаточным усло-

вием асимптотической устойчивости системы (3.27)

J < ∞.

Но функционал J есть след матрицы Сяо SISO LTI системы (2.4), уравнения

состояния которой приведены к канонической форме управляемости. Отсю-

да вытекает вывод о том, что ограниченность энергетического функционала

простой SISO LTI системы (3.28) в форме неравенства (3.30) гарантирует

асимптотическую устойчивость сложной МIМО LTI системы вида (2.1). Про-

верка условия (3.31) требует использования асимптотических моделей гра-

мианов [22].

Таким образом, получен новый критерий устойчивости сложной стацио-

нарной линейной динамической MIMO LTI системы в виде критерия огра-

ниченности следа матрицы Сяо Ω_c для простой SISO LTI системы (3.21),

уравнения которой приведены в каноническую форму управляемости. Новый

критерий не противоречит известному критерию принадлежности собствен-

ных чисел матрицы динамики линейной системы левой полуплоскости плос-

кости собственных чисел, но уточняет его с учетом нелинейных эффектов

взаимодействия мод (кратные собственные числа, близкие апериодические и

колебательные моды) [22].

4. Заключение

В данной статье, посвященной развитию спектральных методов реше-

ния уравнения Ляпунова, основные результаты получены с использованием

структурных методов в разрабатываемых новых методах и инструментах,

тесно связанных с фундаментальными свойствами линейных динамических

систем: управляемостью, наблюдаемостью и устойчивостью. Среди инстру-

ментов прежде всего следует назвать два: определение структуры матрицы

решения в виде матрицы Сяо и спектральные разложения решения в фор-

ме произведений Адамара. Разработан метод и алгоритм вычисления матриц

в виде произведения Адамара для многосвязных непрерывных линейных си-

стем со многими входами и многими выходами. Это позволяет вычислять эле-

менты соответствующих грамианов управляемости и наблюдаемости в виде

произведений соответствующих элементов матриц мультипликаторов и мат-

рицы, являющейся суммой всевозможных произведений матриц числителя

матричной передаточной функции системы. При использовании канониче-

ских форм управляемости или наблюдаемости разложение Адамара соответ-

ствующих грамианов сводится к матрице мультипликатора, след которого

равен энергетическому функционалу SISO LTI системы. Новые результаты

получены в виде спектральных и сингулярных разложений обратных гра-

мианов управляемости и наблюдаемости. Это позволяет получить инвари-

антные разложения энергетических функционалов и сформулировать новые

критерии устойчивости линейных систем с учетом нелинейных эффектов вза-

имодействия мод [20].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Antoulas A.C. Approximation of Large-Scale Dynamical Systems. SIAM.

Philadephia, 2005.

2. Поляк Б.Т., Хлебников М.В., Рапопорт Л.Б. Теория автоматического управле-

ния. Учеб. пособие. М.: ЛЕНАНД, 2019. 504 с.

3. Зубов Н.Е., Зыбин Е.Ю., Микрин Е.А., Мисриханов М.Ш., Рябченко В.Н. Об-

щие аналитические формы решения уравнений Сильвестра и Ляпунова для

непрерывных и дискретных динамических систем // Известия РАН. Теория и

системы управления. 2017. № 1. С. 3-20.

4. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966.

5. Икрамов Х.Д. Численное решение матричных уравнений. М.: Наука, 1984. 192 с.

6. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры.

Учебник-М: Изд-во Лань, 2009. 726 с.

7. Квакернаак Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир,

1977.

8. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами М.: Наука,

1976. 424 c.

9. Годунов С.К. Лекции по современным аспектам линейной алгебры. Новосибирск:

Научная книга, 2002. 216 с.

10. Проскурников А.В., Фрадков А.Л. Задачи и методы сетевого управления // АиТ.

2016. № 10. С. 3-39.

Proskurnikov A.V., Fradkov A.L. Problems and methods of network control //

Autom. Remote Control. 2016. V. 77. No. 10. P. 1711-1740.

https://doi.org/10.1134/S0005117916100015

11.

Жабко А.П., Харитонов В.Л. Методы линейной алгебры в задачах управления:

учебное пособие / СПбГУ СПб.: Изд-во СПб. универ-та, 1993. 318 с.

12.

Sreeram V., Agathoklis P. Solution of Lyapunov equation with system matrix in

companion form // IEE Proc. D. Control. Theory Appl. 1991. V. 138. No. 6.

P. 529-534. https://doi.org/10.1049/ip-d.1991.0074

13.

Xiao C., Feng Z., Shan X. On the Solution of the Continuous-Time Lyapunov Matrix

Equation in Two Canonical Forms // IEE Proc. 1992. V. 139. No. 3. P. 286-290.

https://doi.org/10.1049/ip-d.1992.0038

14.

Hauksdottir A., Sigurdsson S. The continuous closed form controllability Gramian

and its inverse // 2009 American Control Conference Hyatt Regency Riverfront, St.

Louis, MO, USA June 10-12, 2009. P. 5345-5351.

https://doi.org/978-1-4244-4524-0/09

15.

Yadykin I.B. Spectral Decompositions of Gramians of Continuous Stationary

Systems Given by Equations of State in Canonical Forms // Mathematics. 2022.

V. 10. No. 13. P. 2339. https://doi.org/10.3390/math10132339

16.

Dilip A.S.A. The controllability Gramian, the Hadamard product and the optimal

actuator // Leader Sensor Select. Problem Nature Phys. 2015. V. 11. P. 779-786.

https://doi.org/10.1109/LCSYS.2019.2919278

17.

Bianchin G., Pasqualetti F. Gramian-Based Optimization for the Analysis and

Control of Traffic Networks // IEEE Transactions on Intelligent Transportation

Systems. 2022. V. 21. No. 7. P. 3013-3024.

https://doi.org/10.1109/TITS.2019.2922900

18.

Himpe C. The Empirical Gramian Framework // Algorithms. 2018. V. 11. No. 91.

https://doi.org/10.3390/a11070091

19.

Benner P., Goyal P., Duff I.P. Gramians, Energy Functionals, and Balanced

Truncation for Linear Dynamical Systems With Quadratic Outputs // IEEE

Transact. Autom. Control. 2022. V. 67. No. 2. P. 886-893.

https://doi.org/10.1109/TAC.2021.3086319

20.

Ядыкин И.Б. О свойствах грамианов непрерывных систем управления // АиТ.

2010. № 6. С. 39-50. https://doi.org/10.1134/S0005117910060032

21.

Yadykin I.B., Galyaev A.A. On the methods for calculation of grammians and

their use in analysis of linear dynamic systems Automation and Remote Control //

Pleiades Publishing Ltd. V. 74. No. 2. P. 207-224.

22.

Ядыкин И.Б., Искаков А.Б. Энергетический подход к анализу устойчивости ли-

нейных стационарных динамических систем // АиТ. 2016. № 12. С. 37-58.

23.

Гарднер М.Ф., Бэрнс Дж. Л. Переходные процессы в линейных системах с со-

средоточенными параметрами. М.: Физматлит, 1961.

Gardner M.F., Barns J.L. Transients in linear systems studied by the Laplace

transformation / V. 1. Lumped-constant systems. New York, London. Wiley,

Chapman and Hall. 1942.

Статья представлена к публикации членом редколлегии А.И. Михальским.

Поступила в редакцию 31.05.2023

После доработки 10.09.2023

Принята к публикации 30.09.2023