Автоматика и телемеханика, № 12, 2023
Нелинейные системы
© 2023 г. В.Н. ТХАЙ, д-р физ.-мат. наук (tkhai@ipu.ru)
(Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)
ПРИТЯГИВАЮЩИЙ ЦИКЛ В СВЯЗАННОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ
СИСТЕМЕ С ФАЗОВЫМИ СДВИГАМИ
В КОЛЕБАНИЯХ ПОДСИСТЕМ
Рассматривается множество обратимых механических систем с колеба-
ниями одного периода и индивидуальными фазовыми сдвигами в них.
Решается задача агрегирования связанной системы с притягивающим
циклом. Развивается подход с выбором ведущей (управляющей) систе-
мы, которая через односторонную связь-управление действует на осталь-
ные (ведомые) системы: в агрегированной системе непосредственные свя-
зи между ведомыми системами отсутствуют. Применяются универсаль-
ные связи-управления. Особое внимание уделяется консервативным си-
стемам. Даются возможные сценарии функционирования агрегированной
системы.
Ключевые слова: обратимая механическая система, симметричные перио-
дические движения, связи-управления, ведущая система, ведомая систе-
ма, притягивающий цикл, стабилизация.
DOI: 10.31857/S0005231023120103, EDN: NEQFMD
1. Предварительные замечания
Модели, содержащие связанные подсистемы, изучаются в различных обла-
стях знаний. В механике такой (классической) моделью стали симпатические
маятники А. Зоммерфельда. Другие примеры даются, например, в [1-5].
Агрегирование заключается в конструировании на основе данного мно-
жества систем связанной системы, которая как одно целое будет обладать
нужным динамическим свойством. Это свойство в задаче стабилизации коле-
бания достигается, в частности, в притягивающем цикле системы. Само аг-
регирование происходит путем нахождения подходящих связей-управлений
между системами.
Задача агрегирования в [6] решалась для набора консервативных систем.
Доказывалось, что [6, лемма 1] цикл в системе существует только в случае,
когда все механические системы, за исключением, быть может, одной системы
с вырожденным семейством колебаний, содержат невырожденные семейства
колебаний. При этом агрегирование проводилось для систем, содержащих
невырожденные семейства колебаний, которые в несвязанной системе, как в
целом, также образуют невырожденное семейство. Рассматривался случай,
120
когда колебания в системах были синхронизированными по фазе. Применя-
лось универсальное управление из [7].
В то же время интерес представляют режимы колебаний, в которых фазы
в колебаниях систем равноудалены друг от друга, например, или соседние си-
стемы колеблются в противофазе. Поэтому в общей ситуации встает задача
нахождения связей-управлений, посредством которых реализуется притяги-
вающий цикл связанной механической системы с фазовыми сдвигами в ко-
лебаниях входящих в него систем. Интересно также агрегировать связанную
систему, содержащую одну или несколько механических систем с вырожден-
ными семействами колебаний. Таким образом, возникает общая постановка
задачи агрегирования связанной системы с притягивающим циклом на мно-
жестве механических систем, допускающих колебания.
Заметим, что подходы к агрегированию автономной системы общего вида с
притягивающим циклом предложены в [8], а способы агрегирования сложной
системы методом Ляпунова приводятся в [9].
2. Постановка задачи
Рассматривается множество Ξ из n гладких обратимых механических си-
стем с одной степенью свободы
(1)
qs + fs(qs,qs) = 0, fs(qs,-qs) = fs(qs,
˙qs), s = 1,... ,n.
Фазовый портрет s-й системы симметричен относительно неподвижного мно-
жества Ms = {qs,
qs :
qs = 0}, где qs - обобщенная координата. Предполагает-
ся, что каждая из систем множества Ξ допускает одночастотное колебание.
Оно будет симметричным относительно множества Ms и представляет собой
симметричное периодическое движение (СПД). СПД описывается формулой
qs = ϕs(hs,t + γs), s = 1,... ,n,
в которой от параметра hs зависит период Ts(hs), а параметром γs задается
сдвиг начальной точки по времени: при γs = 0 начальная точка принадле-
жит неподвижному множеству Ms. В этом случае СПД описывается четной
функцией по t. СПД всегда образуют семейства. В консервативной системе
функция fs не зависит от скорости
qs.
Далее используется определение из [6].
Определение 1. Семейство СПД по параметру h называется невы-
рожденным, если на нем производная от периода T(h) по переменной h от-
лична от нуля. СПД невырожденного семейства называется невырожден-
ным.
Период T (h) на семействе невырожденных СПД может возрастать или
убывать. К примеру, период колебаний математического маятника монотонно
увеличивается вместе с энергией маятника, и колебания — невырожденные.
121
Решения уравнения x + x3 = 0 принадлежат к семейству СПД с убывающим
периодом.
Колебания линейного осциллятора — изохронные и образуют вырожден-
ное семейство СПД. В нелинейной системе вырожденное СПД, как правило,
находится на границе семейства невырожденных СПД. В консервативной си-
стеме за параметр h обычно выбирается постоянная интеграла энергии.
В общей постановке задачи рассматривается множество Ξ обратимых ме-
ханических систем, содержащих невырожденные (и/или вырожденные) се-
мейства СПД с возрастающими (и/или убывающими) на семействе периода-
ми. При этом в случае одновременного наличия в Ξ системы с возрастающим
(dT1/dh1 > 0) периодом и системы с убывающим (dT2/dh2 < 0) периодом кри-
вые периодов пересекаются в одной точке, где T1(h∗1) = T2(h∗2) = T∗. Фазы
колебаний в общем случае различны. При наличии в Ξ еще системы с вырож-
денным семейством период на нем также будет равняться T∗. Набор из трех
уравнений в Ξ приводит в связанной системе к двум произвольным фазам
колебаний в системах. В случае произвольного числа n уравнений в Ξ прини-
мается, что γs = γ1 + δs, s = 2, . . . , n. Поэтому ставится задача агрегирования
связанной системы с притягивающим циклом при всех возможных векторах
δ = (δ2,...,δn).
Далее исследуется автономная связанная механическая система
(2)
qs + fs(qs,qs) = εσsus(q,
˙q), s = 1, . . . , n,
где связь-управление
(3)
u(q,
q) = (u1(q,q), . . . , un(q,q))
действует с малым коэффициентом усиления ε: переключатели σs равны +1
или (-1). Предполагается, что при ε = 0 система (2), рассматриваемая как
одно целое, допускает T∗-периодическое СПД. Ставится задача нахождения
связи-управления (3), гарантирующей существование в системе (2) притяги-
вающего цикла с периодом T∗.
Поставленная задача содержит, в качестве частных, случаи: 1) все входя-
щие в множество Ξ обратимые механические системы допускает семейство
невырожденных СПД с возрастающим (убывающим) периодом, 2) характер
монотонности периода в системах различный, 3) множество механических
систем содержит невырожденные и вырожденные семейства СПД.
В [6] случай 1) исследовался для консервативных систем при дополнитель-
ном предложении, что множество несвязанных систем, как целое, допускает
невырожденное семейство СПД.
3. Универсальные связи-управления при δ = 0
Для вектора δ = 0 находятся универсальные связи-управления, которые
гарантируют существование и орбитальную асимптотическую устойчивость
122
цикла системы (2). Такие связи-управления можно рассматривать как обоб-
щение связей из [7].
Предлагаются универсальные связи-управления
,
u1 = [1 - K1(h1)q21]q1
(4)
uj = [1 - Kj(hj,δj)q21]
˙qj, j = 2,... ,n.
Функция K1(h1) и функции Kj (hj , δj ) вычисляются далее.
Принимается, что при ε = 0 система (2) допускает T∗-периодическое СПД,
которому в подсистемах соответствуют значения hs = h∗s, s = 1, . . . , n. Из
формул (4) следует, что уравнения в (2) становятся не равноправными: кон-
струируется управляемая связанная система, в которой система с номером
s = 1 становится ведущей, а остальные системы — ведомыми. Другая осо-
бенность управлений (4) заключается в том, что подсистемы с номерами
s = 2,...,n не оказывают непосредственного влияния друг на друга. С уче-
том этих замечаний к анализу предъявляются n - 1 независимых однотипных
подсистем
,
q1 + f1(q1,
q1) = εσ1[1 - K1(h∗1)q21]q1
(5)
qj + fj(qj ,
qj) = εσj[1 - Kj(h∗j,δj)q21]
˙qj, j = 2,... ,n.
Для подсистемы, выделенной в (5) номером j, решается задача о цикле при
ε = 0. Тогда, применяя полученный результат ко всем подсистемам с номера-
ми j = 2, . . . , n, приходим к решению задачи о цикле для связанной системы.
В системе (5) через K1(h∗1) и Kj (h∗j) обозначены числа. При этом h∗1 и h∗j
означают, что управления выбраны для СПД с периодом T∗, которому соот-
ветствуют значения h1 = h∗1 и hj = h∗j. С другой стороны, при решении задачи
управления в (5) для другой пары (h1, hj ), выбирается другая пара коэффи-
циентов (K1(h1), Kj (hj , δ)): в (6) применяется управление, в котором меняют-
ся коэффициенты K1 и Kj. Следовательно, в (6) конструируется адаптивная
система управления.
Таким образом, для адаптивной системы управления (6) необходимо найти
зависимости K1(h1) и Kj (hj , δ), во второй из которых содержится параметр δ,
которые обеспечивают существование притягивающего цикла.
Для подсистемы с номером j записывается система амплитудных уравне-
ний
∫T∗
I1(h1) ≡
[1 - K1(h∗1)ϕ21(h1, t)]ϕ˙1(h1, t)ψ1(h1, t)dt = 0,
0
(6)
∫T∗
Ij(h1,hj,δj) ≡
[1 - Kj(h∗j, δj )ϕ21(h1, t)]ϕ˙j (hj , t + δj )ψj (hj , t + δj )dt = 0,
0
для нахождения h1 = h∗1 и hj = h∗j, отвечающих необходимым условиям
существования цикла c периодом T∗ в управляемой системе (5). Через
123
(ψ1(h1, t), ψj (hj , t + δj )) в (6) обозначается решение сопряженного уравне-
ния для q1 = ϕ1(h1, t), qj = ϕj (hj , t + δj ). Вычисление этого решения дается
в Приложении.
В системе (6) первое из уравнений одно и то же для всех номеров j. Оно
анализируется независимо от второго уравнения.
Сначала рассматривается первое уравнение в (5). Необходимые условия
существания цикла должны выполняться для всех значений параметра h1 и
соотвествующих значений периода T1(h1). Поэтому справедливо тождество
∫
(7)
[1 - K1(h1)ϕ21(h1, t)]ϕ˙1(h1, t)ψ1(h1, t)dt,
0
откуда выводится формула
∫
ϕ1(h1,t)ψ1(h1,t)dt
0
K1(h1) =
∫
ϕ21(h1,t)ϕ˙1(h1,t)ψ1(h1,t)dt
0
В этом выражении знаменатель не равен нулю, что показывается в случае
консервативной системы в разделе 4. В общем случае обратимой механиче-
ской системы утверждение следует из приведенного в Приложении вычисле-
ния решения сопряженного решения.
Из тождества (7) с учетом нечетности функции
ϕ1(h1,t) и равенства
T1(h∗1) = T∗ вычисляется производная от функции I1(h1) в точке h1 = h∗1:
dI1(h∗1)
=χ1ν1,
dh1
∫
dK1(h∗1)
χ1 =
,
ν1 =
ϕ1(h∗1,t)2ϕ˙1(h∗1,t)ψ1(h∗1,t)dt.
dh1
0
Выполнение равенства I(h∗1) = 0 означает, что в первом уравнении систе-
мы (5) выполняется необходимое условие существования T∗-периодического
решения. Неравенство χ1ν1 = 0 гарантирует, что решение является циклом.
При надлежащем выборе знака σ1 цикл становится притягивающим (см. [7]).
Аналогично исследуется второе уравнение системы (6). Для него опреде-
ляется функция
∫
ϕj (hj , t + δj )ψj (hj , t + δj )dt
0
Kj(hj,δj) =
,
∫
ϕ21(h∗1,t)ϕ˙j(hj,t + δj)ψj(hj,t + δj)dt
0
124
и при hj = h∗j (h1 = h∗1) вычисляется производная
dIj(h∗1, h∗j, δj )
=χjνj,
dhj
∫
dKj (h∗j, δ
j
)
χj =
,
νj =
ϕ1(h∗1,t)2ϕ˙j(h∗j,t + δj)ψj(h∗j,t + δj)dt.
dhj
0
Условия χ1ν1 = 0, χj νj = 0 являются теперь достаточными для существо-
вания простого корня (h∗1, h∗j) системы амплитудных уравнений (6) при фик-
сированном j. Тогда простота корня гарантирует существование цикла в си-
стеме (5) с фиксированным номером j. Цикл будет притягивающим, если
переключатели выбираются из условий σ1χ1ν1 < 0, σj χjνj < 0.
Рассмотрим системы амплитудных уравнений
(6) для всех номеров
j = 2,...,n. Тогда при выполнении неравенств χsνs = 0, s = 1,...,n в связан-
ной системе (5) реализуется цикл. При дополнительном условии σsχsνs < 0,
s = 1,...,n цикл становится притягивающим.
Таким образом, справедлива теорема 1.
Теорема 1. Пусть множество обратимых механических систем с од-
ной степенью свободы допускает T∗-периодическое движение. Тогда связан-
ная механическая система (5), где j = 2, . . . , n, обладает единственным цик-
лом периода T∗, если χsνs = 0, s = 1, . . . , n. При дополнительных условиях
σsχsνs < 0, s = 1,... ,n цикл становится притягивающим.
Замечание 1. Цикл связанной системы (5) определяется с точностью до
одного произвольного сдвига на траектории. При этом порождающие цикл
колебания имеют сдвиги δ2, . . . , δn по фазе относительно фазы колебания в
первом уравнении системы (5).
Замечание 2. В системе (6) интеграл
∫T∗
κj =
ϕj (hj, τ + δj )ψj (hj, τ + δj )dτ
0
на периоде не зависит от δj . Поэтому при κj = 0 задается T∗-периодическая
по δj функция
κj
(8)
Kj(h∗j,δj) =
,
∫
ϕ21(h∗1,τ - δj)ϕ˙j(h∗j,τ)ψj(h∗j,τ)dτ
0
которая будет T∗-периодической по δj .
Замечание 3. В формуле (8) неравенство нулю знаменателя определяет
область значений сдвига фазы δj в j-й подсистеме системы (5).
125
Замечание 4. В теореме 1 конструируется кусочно-непрерывная систе-
ма (5). Существование цикла в силу независимости амплитудных уравне-
ний (6) от σj гарантируется в каждой гладкой без переключения системе.
Условия притяжения (χsνs = 0) должны выполняться в подсистеме на траек-
торях как с hs > h∗s, так и с hs < h∗s. Поэтому знаки σs для этих траекторий,
как правило, — разные. Пример закона управления переключателями дается,
например, в [10].
4. Консервативные системы
Для множества консервативных систем функции fs в (1) не зависят от
скоростей
˙qs, и каждая система при ε = 0 допускает интеграл энергии. Урав-
нения в вариациях для СПД содержат симметричную матрицу, поэтому для
рассматриваемой системы с одной степенью свободы выполнятся равенства
ψs(h∗s,τ + δs) = -ϕ˙s(h∗s,τ + δs), s = 1,... ,n (δ1 = 0).
В результате получается: νs > 0, κs < 0, s = 1, . . . , n.
Подынтегральная функция в (8) получается (T∗/2)-периодической по δ
и каждому значению Kj (h∗j, δ∗) отвечают две симметричные относительно
неподвижного множества точки. Этим точкам отвечает один цикл.
Таким образом, справедлива следующая теорема 2.
Теорема 2. Для множества консервативных систем с одной степенью
свободы, допускающей T∗-периодическое СПД, связанная система (5) обла-
дает единственным притягивающим циклом, если выполняются условия
σsχs < 0, s = 1,... ,n.
Пример 1. В связанной системе
)x2) x,
x + sinx = ε(1 - Kx(hx
(9)
ÿ+ y3/4 = σε(1 - Ky(hy,δ)x2)y
при ε = 0 первое уравнение описывает математический маятник. Период
Tx(hx) на семействе колебаний, начиная с 2π, монотонно растет с энергией
маятника hx, причем функция Kx(hx) монотонно убывает (см. [11]). Решения
второго уравнения образуют семейство колебаний с убывающим от постоян-
ной энергии hy периодом Ty(hy).
В самом деле, период Ty(hy) вычисляется по формуле
∫
dy
Ty(hy) = 2
√
,
h-y4
-y(0)
где y(0) - начальное значение переменой y. Тогда, переходя к переменной
z = y/hy/4, получим
∫
2
dz
a
Ty(hy) =
√
=
,
a = 4 ∗ 1.3...,
hy/41
1-z4
hy/4
явную зависимость периода от энергии системы.
126
Из проведенного анализа следует, что для любого h∗x, Tx(h∗x) > 2π, нахо-
дится такое h∗y, что в (9) выполняется равенство периодов Tx(h∗x) = Ty(h∗y) с
возрастающей функцией f: h∗y = f(h∗x). Следовательно, система (9) при ε = 0
допускает однопараметрическое по h∗x семейство СПД.
Функция Kx(hx) монотонно убывает. Поэтому при hx = h∗x первое уравне-
ние в (9) обладает притягивающим циклом. Выполнение еще одного условия
dKy(h∗y, δ)/dhy = 0 по теореме 2 приводит к притягивающему циклу связан-
ной системы (9).
Таким образом, для любого колебания математического маятника, отве-
чающего значению энергии h∗x, находится энергия h∗y второго уравнения в (9)
такая, что в связанной системе реализуется притягивающий цикл. При этом
фазы в колебаниях уравнений различаются на желаемое число δ.
5. Случай вырожденного семейста СПД
В [6, лемма 1] установлено, что в случае одинаковых фаз в колебаниях
подсистем цикл в связанной системе существует только в случае, когда все
механические системы, за исключением, быть может, одной системы с вырож-
денным семейством СПД, содержат невырожденные семейства СПД. Здесь
более подробно рассматривается случай, когда одно из семейств является вы-
рожденным. Допускается, что колебания в системах не синхронизированы по
фазам. В системе (5) полагается n = 2.
Анализируется система
x + x = ε(1 - Kx(hx)x2)x,
(10)
ÿ+ f(y) = εσ(1 - Ky(hy,δ)x2)y,
в которой при ε = 0 первое уравнение содержит вырожденное семейство коле-
баний, а во втором уравнении период колебаний монотонно зависит от энер-
гии hy. Решение несвязанной системы при этом описывается формулами
x = Ax cost и y = ϕ(hy,t + δ). На порождающем решении Ax = 2/√Kx, а зна-
чению постоянной h∗y во втором уравнении соответствует период колеба-
ний 2π. Находится связь между Ky(hy, δ) и Kx.
Формула (8) для системы (10) записывается в виде
κ
Ky(h∗y,δ) = -
,
∫
A2x cos2 tϕ˙2(h∗y,t + δ)dt
0
(11)
∫T∗
κ=-
ϕ2(h∗y,t)dt, T∗ = 2π.
0
127
Преобразуем интеграл в знаменателе
∫
∫
1
1
(1 + cos 2t)ϕ˙2(h∗y, t + δ)dt =
ϕ2(h∗y,τ)dτ +
2
2
0
δ
⎛
⎞
∫
∫
1
+
⎝cos2δ
cos 2τϕ˙2(h∗y, τ)dτ + sin 2δ
sin 2τϕ˙2(h∗y, τ)dτ⎠ .
2
δ
δ
Здесь в скобке первый интеграл от 2π-периодической функции на периоде
не зависит от δ, второй интеграл берется от нечетной функции и обращается
в нуль. Получается линейная функция от cos 2ϕ; Ky(h∗y, δ) задается четной,
π-периодической функцией δ.
C учетом равенства Kx = 4/A2x формула (11) преобразуется к виду
∫
Kx
ϕ2(h∗y,t)dt
0
(12)
Ky(h∗y
,δ) =
∫
2
(1 + cos 2δ cos 2t)ϕ˙2(h∗y, t)dt
0
Производная от (12) будет нечетной π-периодической функцией δ. В интер-
вале δ ∈ (-π/2, π/2) эта производная обращается в нуль при δ = 0.
Для построения цикла связанной системы (10) применяется теорема 2.
Характеристика Ky(hy, δ) вычисляется для заданной функции ϕ(hy, t). Для
математического маятника функция Ky(hy, δ) при δ = 0 мотононно убывает
(см. [11]).
Пример 2. Система (10), в которой во втором уравнении функция
Ky(hy,δ) не зависит от δ и совпадает с Kx, применяется в мехатронной схе-
ме стабилизации колебаний [12]. В ней путем выбора амплитуды Ax в точке
δ = δ∗ настраивается режим выполнения равенства Ky(h∗y,δ) = Kx = 4/A2x.
В результате получается один из возможных сценариев рождения цикла,
описанный в [10]: само существование сценария доказывалось путем анали-
за второго уравнения в (10) с подcтановкой порождающего решения первого
уравнения. Сдвиг по времени δ∗ между колебаними осциллятора Ван дер По-
ля и механической системы находится в мехатронной схеме стабилизации по
формуле (12).
6. Случай двух вырожденных семейств
В системе (10) осцлллятор Ван дер Поля применяется в качестве гене-
ратора сигналов для механической системы, допускающей невырожденное
семейство колебаний. Сама система предназначена для стабилизации механи-
ческих колебаний. В разделе 5 показано, что при Ky = Kx сдвиг δ в решениях
уравнений системы (10) находится по формуле (12).
128
Интересно проанализировать, как в цикле связанной системы синхронизи-
руются амплитуда и фаза колебаний в ведущей и ведомой системах. Задача
рассматривается для равноправности систем в Ξ, на примере двух идентич-
ных линейных осцилляторов. Тогда к анализу предъявляется связанная си-
стема
)x2) x,
x + x = ε(1 - Kx(hx
(13)
ÿ+ y = εσ(1 - Ky(hy,δ)x2)y,
где первым уравнением описывается осциллятор Ван дер Поля, а второе урав-
нение становится ведомым для этого осциллятора.
При ε = 0 система (13) по каждой координате колеблется с частотой 1:
колебания - изохронные. Порождающие колебания описываются формулами
√
x = Ax cost, Ax = 2/
Kx, y = Ay cos(t + δ).
∫
При этом для второго уравнения в (13) вычисляется κ = - A2y sin2 tdt =
0
= -πA2y.
В связанной системе Ky = Ky(hy, δ). Поэтому по формуле (8) получается
4κ
4
Kx
Ky(hy,δ) = -
=
=
A2xA2yπ(2 - cos 2δ)
A2x(2 - cos 2δ)
2 - cos2δ
Отсюда следует, что в цикле связанной системы амплитуды колебаний в ве-
дущей и ведомой системах синхронизируются (Ky = Kx) только при δ = 0,
сихронизация фаз происходит также при δ = 0.
Из формулы Ky(hy, δ) = 2/(hy (2 - cos 2δ)) следует, что условия существо-
вания цикла в связанной системе (10) выполняются везде по δ. Для притяги-
вающего цикла выбирается закон управления σ = 1.
Заметим, что амплитуды колебаний в системах связанной системы (13)
близки к линейным колебаниям. Поэтому в цикле (рабочем режиме) рас-
сматриваемой конкретной связанной системы (13), независимо от сдвига δ,
колебания в системах будут казаться синхронизированными по δ.
7. Заключение
Предлагается подход к агрегированию связанной системы с притягиваю-
щим циклом на данном множестве n обратимых механических систем с коле-
баниями. Выбирается ведущая (управляющая) система, которая односторон-
ней связью-управлением действует на остальные (ведомые) системы: непо-
средственные связи между ведомыми системами отсутствуют. Сама связан-
ная система колеблется как n - 1 независимых подсистем, управляемых ве-
дущей системой. При этом в колебании каждой системы допускается инди-
видуальный сдвиг по фазе с фазой колебания в ведущей системе.
129
Для агрегироваванной системы возможны различные сценарии управле-
ния. При отсутствии сдвига фаз в подсистемах реализуется (см. [6]) сценарий
одновременного управления n - 1 механических систем. При задании закона
изменения сдвигов в n - 1 механических системах в управляемой связанной
системе реализуется конвеерный сценарий, когда, например, достижение мак-
симальной амплидуды колебания в ведомых системах разнесены по времени.
Для n = 2 реализуется распространенный сценарий ведущий-ведомый, опи-
санный, к примеру, в [12] для мехатронной схемы стабилизации колебаний.
Подход к агрегированию изложен на примере обратимых механических си-
стем на плоскости. Он остается справедливым для множества механических
систем произвольной размерности. Построенная связанная система представ-
ляет собой один уровень иерархии многоуровневой агрегированной системы
с притягивающим циклом (по вопросу см. [8]).
ПРИЛОЖЕНИЕ
Для вычисления сопряженного решения полезна лемма 1.
Рассматривается гладкая обратимая механическая система второго поряд-
ка
u = U(u,v),
v = V (u,v), U(u,-v) = -U(u,v), V (u,-v) = V (u,v).
Пусть система допускает СПД. Оно описывается фукциями
u = ϕ(t), v = θ(t), ϕ(-t) = ϕ(t), θ(-t) = -θ(t).
Уравнения в вариациях для СПД записываются в виде
x = a-(t)x + a+(t)y,
(Π.1)
y = b+(t)x + b-(t)y,
где a±(t), b±(t) обозначаются четные (+) и нечетные (-) периодические функ-
ции. Они имеют решение x = ϕ˙(t), y =θ(t).
Лемма 1. По данному СПД решение сопряженной к (Π.1) системы вы-
числяется по конструктивным формулам.
Доказательство. Выполняется преобразование
x = ξ+(t)x, y = η+(t)y
с четными периодическими функциями ξ+(t) и η+(t), средние которых от-
личны от нуля. Тогда получается
ξ+(t)x
ξ+(t)x = a-(t)ξ+(t)x + a+(t)η+(t)y,
η+(t
y + η+(t)y = b+(t)ξ+(t)x + b-(t)η+(t)y.
Функции ξ+(t) и η+(t) выбираются такими, чтобы выполнялись равенства
ξ+ = a-(t)ξ+,
η+ = b-(t)η+.
130
Тогда в преобразованной системе
(Π.2)
x=ã+(t)y,
y=b+
(t)x
отсутствуют нечетные функции t.
Аналогично преобразуется сопряженная система
x1 = ξ1+(t)x1, y1 = η1+(t)y1.
Получается
˜
˜
(Π.3)
x
1 = -b+(t)y1,
y
1 = -ã+(t)x1.
В переменных x1 = -y, y1 = x полученная система (Π.3) совпадает с (Π.2).
Значит, ее решение дается формулами x1 = -ξ+(t)-1 θ(t), y1 = η+(t)-1ϕ˙(t).
Поэтому решение сопряженной системы записывается в виде
x1 = -ξ1+(t)ξ+(t)-1 θ(t), y1 = η1+(t)η+(t)-1ϕ˙(t).
Лемма доказана.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
Морозов Н.Ф., Товстик П.Е. Поперечные колебания стержня, вызванные крат-
ковременным продольным ударом // ДАН. 2013. Т. 452. № 1. С. 37-41.
2.
Kovaleva A., Manevitch L.I. Autoresonance Versus Localization in Weakly Coupled
Oscillators // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2016. V. 320 (15 Apr. 2016). P. 1-8.
3.
Кузнецов А.П., Сатаев И.Р., Тюрюкина Л.В. Вынужденная синхронизация
двух связанных автоколебательных осцилляторов Ван дер Поля // Нелинейная
динамика. 2011. Т. 7. № 3. С. 411-425.
4.
Rompala K., Rand R., Howland H. Dynamics of Three Coupled Van der Pol Oscilla-
tors with Application to Circadian Rhythms // Communicat. Nonlin. Sci. Numeri-
cal Simulation. 2007. V. 12. No. 5. P. 794-803.
5.
Yakushevich L.V., Gapa S., Awrejcewicz J. Mechanical Analog of the DNA Base Pair
Oscillations // 10th Conf. on Dynamical Systems Theory and Applications. Lodz:
Left Grupa, 2009. P. 879-886.
6.
Барабанов И.Н., Тхай В.Н. Стабилизация цикла в связанной механической си-
стеме // АиТ. 2022. № 1. С. 67-76.
Barabanov I.N., Tkhai V.N. Stabilization of a Cycle in a Coupled Mechanical
System // Autom. Remote Control. 2022. V. 83. No. 1. P. 54-61.
7.
Тхай В.Н. Стабилизация колебания управляемой механической системы // АиТ.
2019. № 11. С. 83-92.
Tkhai V.N. Stabilizing the Oscillations of a Controlled Mechanical System // Autom.
Remote Control. 2019. V. 80. No. 11. P. 1996-2004.
8.
Тхай В.Н. Агрегирование автономной системы с притягивающим циклом //
АиТ. 2022. № 3. С. 41-53.
Tkhai V.N. Aggregation of an Autonomous System with an Attracting Cycle //
Autom. Remote Control. 2022. V. 83. No. 3. P. 332-342.
131
9. Александров А.Ю., Платонов А.В. Метод сравнения и устойчивость движений
нелинейных систем. СПб: Изд-во СПбГУ. 2012.
10. Тхай В.Н. Режим цикла в связанной консервативной системе // АиТ. 2022. № 2.
С. 90-106.
Tkhai V.N. Cycle Mode in a Coupled Conservative System // Autom. Remote
Control. 2022. V. 83. No. 2. P. 237-251.
11. Tkhai V.N. On stabilization of pendulum type oscillations of a rigid body // Proc.
2018 14th Int. Conf. on Stability and Oscillations of Nonlinear Control Systems
(Pyatnitskiy’s Conference) (STAB).
12. Тхай В.Н. Мехатронная схема стабилизации колебаний // Изв. РАН. Теория и
системы управления. 2022. № 1. С. 9-16.
Статья представлена к публикации членом редколлегии А.М. Красносельским.
Поступила в редакцию 24.04.2023
После доработки 19.09.2023
Принята к публикации 30.09.2023
132
