Автоматика и телемеханика, № 2, 2023

Линейные системы

(Нижегородский государственный архитектурно-строительный

университет)

О ДВОЙСТВЕННОСТИ ПО ЛАГРАНЖУ СТОХАСТИЧЕСКИХ

И ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ МИНИМАКСНЫХ

ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ И ФИЛЬТРАЦИИ¹

Показано, что нормы линейного оператора в детерминированном и сто-

хастическом случаях являются оптимальными значениями двойственных

по Лагранжу задач. Для линейных нестационарных систем на конечном

горизонте принцип двойственности приводит к стохастическим интерпре-

тациям обобщенных H₂- и H_∞-норм системы. Рассмотрены стохастиче-

ские минимаксные задачи фильтрации и управления при неизвестных

ковариационных матрицах случайных факторов. Получены уравнения

обобщенных H_∞-субоптимальных регуляторов, фильтров и идентифика-

торов, обеспечивающих компромисс между дисперсией ошибки на конце

интервала наблюдений и суммой дисперсий ошибок на всем интервале.

Ключевые слова: стохастическое минимаксное управление, фильтр Кал-

мана, двойственность по Лагранжу, обобщенное H_∞-оптимальное управ-

ление и фильтрация, обобщенное H₂-оптимальное управление, линейные

матричные неравенства.

DOI: 10.31857/S0005231023020022, EDN: OMHKZN

1. Введение

Как известно, существуют две основные концепции в теории управления

при наличии неопределенности: стохастическая, когда неопределенные фак-

торы типа начальных условий, возмущений и помех предполагаются случай-

ными и при этом они наделяются некоторыми вероятностными характери-

стиками такими, например, как математическое ожидание и ковариация, и

детерминистская, когда неопределенные факторы предполагаются детерми-

нированными и принимающими значения в некоторых множествах. В пер-

вом случае цель состоит в оптимизации функционала качества системы в

вероятностном смысле при условии, что вероятностные характеристики или

их границы заданы, а во втором в минимизации максимального значения

¹ Работа выполнена при финансовой поддержке Научно-образовательного математиче-

ского центра “Математика технологий будущего” (соглашение № 075-02-2021-1394).

функционала на множестве значений неопределенных факторов, удовлетво-

ряющих заданным ограничениям. В рамках обеих концепций разработаны

эффективные методы решения разнообразных задач линейно-квадратичного

оценивания, фильтрации и управления, в том числе задачи с критерием ви-

да H_∞-нормы для детерминированных и стохастических систем (см., напри-

мер, [1-5]). Вместе с тем обе концепции имеют свои недостатки: в стохастиче-

ской парадигме сложно определить вероятностные характеристики неопреде-

ленных факторов, а в детерминистской трудно найти адекватные ограни-

чения для значений неопределенных факторов. Для преодоления этих недо-

статков, а также для расширения круга решаемых задач и интерпретации

результатов, получаемых в одной парадигме, в терминах другой крайне важ-

но выявить взаимосвязь между этими парадигмами.

Надо отметить, что к этой теме обращались неоднократно: связь между ре-

куррентным методом наименьших квадратов и фильтром Калмана является

классическим тому примером [6]. Кроме того, в [7] показано, что стационар-

ный фильтр Калмана является оптимальным не только при случайных по-

мехах типа белого шума, но он также обеспечивает минимум максимального

по времени значения евклидовой нормы ошибки при детерминированных по-

мехах с ограниченной энергией. В широко известной статье [8] J.C. Willems

привел чисто детерминистскую интерпретацию результатов, полученных в

линейно-квадратичной оптимальной стохастической фильтрации и управле-

нии (см. также [9]). А именно, он доказал, что если среди всех детерминиро-

ванных возмущений, при которых может реализоваться наблюдаемый сигнал,

выбрать то, которое имеет наименьшую норму, и подставить это возмущение

в уравнения системы, то в результате получатся уравнения, совпадающие

с уравнениями оптимального фильтра или регулятора при случайных, нор-

мально распределенных возмущениях.

В данной статье показано, что задача максимизации квадрата евклидовой

нормы выхода линейного оператора (преобразования), который отображает

детерминированные векторы, удовлетворяющие эллипсоидальному ограниче-

нию, и задача максимизации дисперсии выхода этого оператора, отображаю-

щего случайные векторы, удовлетворяющие усредненному эллипсоидально-

му ограничению, являются двойственными по Лагранжу. Для операторов,

порождаемых линейными динамическими системами, это приводит к двой-

ственности стохастических и детерминированных минимаксных задач оцени-

вания и управления с критериями вида обобщенных H₂- и H_∞-норм. Приме-

нение принципа двойственности позволяет сформулировать и решить новые

задачи оптимального и робастного управления и фильтрации в стохастиче-

ской постановке при неизвестных ковариационных матрицах случайных фак-

торов. В работе получены уравнения обобщенных H_∞-субоптимальных регу-

ляторов, фильтров и идентификаторов, обеспечивающих компромисс между

дисперсией ошибки на конце интервала наблюдений и суммой дисперсий оши-

бок на всем интервале.

2. О двойственности по Лагранжу стохастической

и детерминистской парадигм

Пусть два вектора ξ ∈ Rnξ и η ∈ Rnη , которые будем называть входом и

выходом, связаны линейной зависимостью

(2.1)

η = Ψξ,

в которой Ψ детерминированная (n_η × n_ξ)-матрица. Введем обозначения

∑

|a|^2R = a^TR^-1a,

∥b∥^2G[t

|b(i)|^2G(i),

0,t]

i=t₀

где R = R^T > 0 и G(t) = G^T > 0 весовые матрицы. Определим обобщенную

норму оператора Ψ с весовой матрицей K = K^T > 0 как

|η|

ξ^TΨ^TΨξ

(2.2)

∥Ψ∥^2K = sup

= sup

= λ_max(ΨKΨ^T

ξ=0 |ξ|^K

ξ=0 ξ^TK^-1ξ

Эта индуцированная обобщенная норма оператора Ψ, которую будем также

называть уровнем гашения детерминированных возмущений, равна макси-

мальному значению евклидовой нормы выхода η при всех входах ξ, принад-

{

}

лежащих эллипсоиду E_ξ(K) =

ξ:ξ^TK^-1ξ≤1

, и может быть найдена как

решение следующей оптимизационной задачи.

Задача D.

(2.3)

γ^2d(Ψ) = max |η|² : η = Ψξ, ξ^TK^-1

ξ ≤ 1.

Если ξ = ξ_s случайный вектор с нулевым математическим ожиданием и

ковариационной матрицей Eξ_sξ^Ts = K_ξ, то ковариационная матрица выхода

равна K_η = ΨK_ξΨ^T, а математическое ожидание квадрата евклидовой нормы

выхода равно следу этой матрицы, т.е. E|η|² = tr (ΨK_ξΨ^T). При неизвестной

ковариационной матрице вектора ξ определим уровень гашения случайных

возмущений оператора Ψ как квадратный корень из максимального значения

отношения дисперсии выхода к математическому ожиданию квадратичной

формы с матрицей K^-1 входа при всех ненулевых ковариационных матрицах

входа K_ξ [10], т.е.

E|η|

tr ΨK_ξΨ^T

γ^2s(Ψ) = sup

= sup

K_ξ≥0 E|ξ|^K

K_ξ≥0 tr K^-1Kξ

Эта величина, представляющая собой индуцированную норму операто-

ра Ψ, когда ξ и η случайные векторы с нормами |ξ|_s = (Eξ^TK^-1ξ)^1/2 и

|η|_s = (E|η|²)^1/2, может быть найдена как решение следующей оптимизаци-

онной задачи.

Задача S.

(2.4)

γ^2s(Ψ) = max

tr ΨK_ξΨ^T : η = Ψξ, tr K^-1K_ξ

≤ 1.

K_ξ≥0

Теорема 2.1. Задачи S и D являются двойственными, и уровни гаше-

ния случайных и детерминированных возмущений с весовой матрицей K

оператора Ψ совпадают со спектральным радиусом ковариационной мат-

рицы выхода при ковариационной матрице входа, равной весовой матрице,

т.е.

γ^2s(Ψ) = γ^2d(Ψ) = λ_max(ΨKΨ^T).

Доказательство теоремы 2.1. Запишем функцию Лагранжа для за-

дачи S и выразим оптимальное значение двойственной ей функции как

[

]

[

]

min

max

tr ΨK_ξΨ^T + λ(1 - tr K^-1K_ξ)

= min

max

λ+trK_ξ(Ψ^TΨ-λK^-1) .

λ≥0

K_ξ≥0

λ≥0

K_ξ≥0

Для того, чтобы эта величина была конечной, должно выполняться неравен-

ство Ψ^TΨ - λK^-1 ≤ 0 и тогда максимум достигается при K_ξ = 0. При этом

оптимальное значение двойственной задачи совпадает с (2.2). Так как функ-

ция является выпуклой и имеется внутренняя точка, удовлетворяющая огра-

ничению, то оптимальные значения прямой и двойственной задач совпада-

ют [11]. Теорема доказана.

К этому стоит добавить, что образ оператора Ψ или, другими словами,

множество достижимости вектора η в (2.1) при всех детерминированных век-

торах ξ, принадлежащих эллипсоиду E_ξ(K), может характеризоваться в тер-

минах ковариационной матрицы случайного вектора ξ, как сформулировано

в следующей теореме.

Теорема 2.2. Множество достижимости вектора η в (2.1), когда де-

терминированный вход ξ принимает значения в эллипсоиде E_ξ(K) и матри-

ца K_η = ΨKΨ^T невырожденная, является эллипсоид E_η(K_η) с матрицей K_η,

совпадающей с ковариационной матрицей случайного вектора η, когда кова-

риационная матрица случайного вектора ξ равна K.

Доказательство теоремы 2.2. Найдем опорную функцию множе-

ства достижимости η в (2.1)

̺(x) = sup x^Tη,

ξ∈E_ξ(K)

которая в случае вектора x единичной длины является верхней гранью про-

екций x на это множество. Для полученной задачи на условный экстремум

запишем функцию Лагранжа

L(ξ, λ) = x^TΨξ + λ(1 - ξ^TK^-1ξ).

Приравнивая нулю градиент этой функции по ξ, найдем ξ = (2λ)^-1KΨ^Tx

и, подставляя это соотношение в ограничение, получим 2λ = (x^TΨKΨ^Tx)^1/2.

Окончательно имеем ̺(x) = (x^TΨKΨ^Tx)^1/2, что согласно [12] отвечает опор-

ной функции эллипсоида E_η(ΨKΨ^T). Теорема доказана.

Приведенные выше результаты остаются в силе, если случайный вектор ξ

имеет ненулевое математическое ожидание Eξ = ξ_∗. В этом случае уровень

гашения случайных возмущений определяется как

E|η - Ψξ_∗|

tr ΨK_ξΨ^T

γ^2s(Ψ) = sup

= sup

K_ξ≥0 E|ξ - ξ∗|^K

K_ξ≥0 tr K^-1Kξ

где K_ξ = E(ξ - ξ_∗)(ξ - ξ_∗)^T, а уровень гашения детерминированных возму-

щений определяется как

|η - Ψξ_∗|

(ξ - ξ_∗)^TΨ^TΨ(ξ - ξ_∗)

γ^2d(Ψ) = sup

= sup

= λ_max(ΨKΨ^T).

|ξ - ξ_∗|²

ξ=ξ∗

ξ=ξ∗ (ξ-ξ∗)TK^-1(ξ-ξ∗⁾

Множеством достижимости вектора η в этом случае будет эллипсоид с цен-

тром в точке η_∗ = Ψξ_∗ и матрицей K_η = ΨKΨ^T.

Далее применим эти результаты к линейным операторам, которые порож-

даются линейными динамическими системами.

3. Максимальное уклонение и обобщенная H₂-норма

Определим линейный оператор Ψ₂(t), который отображает вход

ξ(t) = col (x₀, v(t₀), . . . , v(t - 1)) в выход η = z(t) линейной динамической

системы, описываемой уравнениями

x(t + 1) = A(t)x(t) + B(t)v(t), x(t₀) = x₀,

(3.1)

z(t) = C(t)x(t), t ∈ [t₀, t_f ].

Так как решение этой системы представимо в виде

∑

(3.2)

z(t) = C(t)Φ(t, t₀)x(t₀) +

F (t, i + 1)B(i)v(i),

i=t₀

где F (t, i) = C(t)Φ(t, i + 1)B(i), i = t₀, . . . , t - 1 матричная импульсная пе-

реходная функция системы, Φ(t, t₀) переходная матрица системы, удовле-

творяющая уравнению

(3.3)

Φ(t + 1, t₀) = A(t)Φ(t, t₀), t ≥ t₀, Φ(t₀, t₀

)=I,

то

(3.4)

Ψ₂(t) = (C(t)Φ(t,t₀) F(t,t₀

) ... C(t)B(t - 1)).

При выборе весовой матрицы блочно-диагонального вида

K(t) = diag (R, G(t₀), . . . , G(t - 1)),

где R = R^T > 0 и G(i) = G^T(i) > 0, i = 0, . . . , t - 1, обобщенная норма этого

оператора

|Ψ₂(t)ξ(t)|

|z(t)|²

∥Ψ₂(t)∥^2K(t) = sup

sup

ξ(t)=0

|ξ(t)|²

K(t)

x₀, v(τ),τ∈[t₀,t-1] |x0|^R + ∥v∥G[t0,t]

представляет собой так называемое максимальное уклонение выхода систе-

мы в момент времени t при произвольных детерминированных начальном

состоянии и возмущении, удовлетворяющих ограничению

(3.5)

|ξ(t)|^2K(t) = |x₀|^2R + ∥v∥^2G[t

≤ 1,

0,t]

которое будем называть эллипсоидальным. Кроме того, напомним, что обоб-

щенная H₂-норма системы (3.1) на конечном горизонте [t₀, t_f ] c весовыми

матрицами R и G(t) определяется как

max |z(τ)|

τ ∈[t₀,t]

∥H∥^2g2 =

sup

x₀, v(t),t∈[t₀,t_f -1] |x0|^R + ∥v∥^G

[t₀,t]

т.е. как максимальное по времени из максимальных уклонений выхода

[13, 14].

Определим уровень гашения случайных возмущений в системе (3.1) в мо-

мент времени t как уровень гашения случайных возмущений оператора Ψ₂(t),

т.е.

E|z(t)|

γ^2s(Ψ₂(t)) = sup

(

K_ξ(t)≥0 E

|x₀|^2R + ∥v∥²

G [t₀,t]

где случайные начальное состояние и возмущения не являются независимы-

ми, а в общем случае представляют собой цветной шум.

Согласно теореме 2.1 уровни гашения случайных и детерминированных

возмущений равны λ_max[K_z(t)], где K_z(t) ковариационная матрица выхода

системы, когда ее вход ξ(t) = col (x₀, v(t₀), . . . , v(t - 1)) имеет ковариацион-

ную матрицу K(t) = diag (R, G(t₀), . . . , G(t - 1)), т.е. когда ее начальное со-

стояние и возмущения независимы и имеют ковариационные матрицы R и

G(t) соответственно. Из уравнений системы получим K_z(t) = C(t)P (t)C^T(t),

где P (t) решение уравнения

(3.6)

P (t + 1) = A(t)P (t)A^T(t) + B(t)G(t)B^T

(t)

с начальным условием P (t₀) = R. Таким образом, верно следующее утверж-

дение.

Теорема 3.1. В системе (3.1) уровень гашения случайных возмущений

совпадает с максимальным уклонением выхода, т.е.

E|z(t)|

sup

(

) =

K_ξ(t)≥0 E

|x₀|^2R + ∥v∥²

G [t₀,t]

(3.7)

|z(t)|

sup

= λ_max[C(t)P(t)C^T(t)],

x₀, v(τ),τ∈[t₀,t-1] |x0|^R

+ ∥v∥²

G [t₀,t]

где P (t) решение уравнения (3.6).

Следствие 3.1. Обобщенная H₂-норма системы (3.1) характеризуется

как

E|z(t)|

∥H∥^2g2 = max sup

(

) = max λ_max[C(t)P(t)C^T(t)].

t∈[t₀,t_f ]

t∈[t₀,t_f ]Kξ(t)≥0 E

|x₀|^2R + ∥v∥2G[t0,t]

Замечание 1. Из (3.6), (3.7) следует, что уровень гашения случайных

возмущений в момент времени t может быть найден как решение следующей

задачи полуопределенного программирования:

min λ : Y (i + 1) - A(i)Y (i)A^T(i) - B(i)G(i)B^T(i) ≥ 0, i = t₀, . . . , t - 1,

(3.8)

Y (t₀) = R, C(t)Y (t)C^T(t) ≤ λI.

а обобщенная H₂-норма как минимальное λ > 0, при котором разреши-

мы неравенства (3.8) при t = t_f и неравенства C(i)Y (i)C^T(i) ≤ λI для i =

=t₀,... ,t_f .

4. Обобщенная H_∞-норма

Определим линейный оператор Ψ_∞, для которого в силу системы

x(t + 1) = A(t)x(t) + B(t)v(t), x(t₀) = x₀,

(4.1)

z(t) = C(t)x(t) + D(t)v(t), t ∈ [t₀, t_f ]

выполняется η = Ψ_∞ξ, где

η = col(z(t₀),...,z(t_f - 1),S^1/2x(t_f)), ξ = col(x(t₀),v(t₀),...,v(t_f - 1)),

S=S^T ≥0

заданная матрица. Учитывая (3.2) и (3.3), найдем





C(t₀)

D(t₀)







C(t₀ + 1)Φ(t₀ + 1, t₀)

F (t₀ + 1, t₀)







Ψ_∞ =







.





 C(tf^-1)Φ(tf^-1,t0⁾

F (t_f - 1, t₀)

D(t_f - 1)



S^1/2Φ(t_f,t₀)

S^1/2Φ(t_f,t₀ + 1)B(t₀) · S1/2B(tf - 1)

При выборе весовой матрицы K = diag (R, G(t₀), . . . , G(t_f - 1)) обобщенная

норма этого оператора совпадает с ее обобщенной H_∞-нормой, т.е.

|Ψ_∞ξ|

∥z∥2[t0,t_f ]^+x(tf)TSx(tf⁾

∥Ψ_∞∥^2K = sup

sup

= ∥H∥^2g∞,

|ξ|²

|x(t₀)|^2R + ∥v∥²

ξ=0

x(t₀), v(τ),τ∈[t₀,t_f -1]

G [t₀,t_f ]

где S = S^T ≥ 0 заданная весовая матрица. Таким образом, уровень гаше-

ния детерминированных возмущений системы (4.1) находится как решение

следующей задачи.

Задача D_∞. В предположении, что начальное и внешнее возмущения

в системе (4.1) образуют последовательность детерминированных векторов

ξ = col(x(t₀),v(t₀),...,v(t_f - 1)) найти

tf∑-1

γ^2d(Ψ_∞) =

max

|z(t)|² + x^T(t_f )Sx(t_f ) : |x₀|^2R +

x₀, v(τ),τ∈[t₀,t_f -1]

t=t₀

(4.2)

tf∑-1

|v(t)|^2G(t) ≤ 1.

t=t₀

В свою очередь определим уровень гашения случайных возмущений

[

]

+ x^T(t_f)Sx(t_f)

E ∥z∥2[t0,t_f

]

(4.3)

γ^2s(Ψ_∞) = sup

[

]

K_ξ≥0

E |x(t₀)|^2R + ∥v∥²

G[t₀,t_f ]

где K_ξ ковариационная матрица вектора ξ = col (x(t₀), v(t₀), . . . , v(t_f - 1)).

Согласно теореме 2.1 уровни гашения случайных и детерминированных воз-

мущений равны между собой, т.е. γ^2s(Ψ_∞) = ∥H∥^2g∞.

Покажем, что уровень гашения случайных возмущений может быть най-

ден как решение задачи полуопределенного программирования, в которой

переменными являются определенные ковариационные матрицы. Обозначая

)_T

( x(t))( x(t)

(4.4)

= W(t), M = (I

0), H = (0 I)

v(t)

и опуская аргумент t там, где это не вызывает сомнений, из (4.1) получим,

что матрицы W (t) удовлетворяют следующим уравнениям

(4.5)

MW(t + 1)M^T = (A B)W(t)(A B)^T, t = t₀,...,t_f

− 1.

Выразим математические ожидания в (4.3) в терминах матриц W (t) и сфор-

мулируем следующую задачу.

Задача S_∞.

tf∑-1

γ^2s(Ψ_∞) =

max

tr (C D)W (t)(C D)^T + tr SMW (t_f )M^T :

W (t)≥0, t∈[t₀,t_f ]

t=t₀

(4.6)

tf∑-1

tr R^-1MW (t₀)M^T +

tr G^-1HW (t)H^T ≤ 1,

t=t₀

где матрицы W (t) удовлетворяют уравнениям (4.5).

Имеет место следующее утверждение, доказательство которого приведено

в Приложении.

Теорема 4.1. Задачи S_∞ и D_∞ являются двойственными по Лагранжу

и их оптимальные значения совпадают с обобщенной H_∞-нормой системы

(4.1), т.е.

tf∑-1

tr (C D)W (t)(C D)^T + tr SMW (t_f )M^T

∥H∥^2g∞

= supt=t0

t∑

W (t)≥0 t∈[t₀,t_f ]

tr R^-1MW (t₀)M^T +

tr G^-1HW (t)H^T

t=t₀

которая вычисляется как

∥H∥^2g∞ = min λ :

λ≥0,X(t)



 A^TX(t + 1)A - X(t)

∗





 B^TX(t + 1)A B^TX(t + 1)B - G^-1

∗

 ≤ 0,

(4.7)

-λI

(

)

X(t_f)

∗

X(t₀) = R^-1,

≥ 0, t = t₀, . . . , t_f - 1.

S^1/2

λI

Теперь перейдем к задачам фильтрации и управления.

5. Фильтрация

5.1. Обобщенная H₂-оптимальная фильтрация

Рассмотрим задачу фильтрации для линейного дискретного объекта, за-

данного разностными уравнениями:

x(t + 1) = A(t)x(t) + B(t)v(t), x(0) = x₀,

(5.1)

y(t) = C(t)x(t) + D(t)v(t),

z(t) = C_z(t)x(t), t = t₀, . . . , t_f ,

в которых x(t) ∈ Rnx состояние объекта, y(t) ∈ Rny измеряемый выход,

z(t) ∈ Rnz целевой выход, x₀ и v(t) ∈ Rnv начальное состояние и внешнее

возмущение, A(t), B(t), C(t), D(t) заданные матричные функции соответ-

ствующих размерностей. Для оценивания неизмеряемого состояния объекта

по измерениям выхода определим фильтр, описываемый уравнением

x_f(t + 1) = A(t)x_f (t) + Θ(t)[y(t) - C(t)x_f(t)], x_f(0) = 0,

(5.2)

z_f (t) = C_z(t)x_f (t),

в котором x_f (t) ∈ Rnx состояние фильтра, z_f (t) ∈ Rnz оценка целевого

выхода, Θ(t) матрица параметров фильтра. Обозначая ошибки оценки со-

стояния e(t) = x(t) - x_f (t) и оценки выхода e_z(t) = z(t) - z_f (t), из (5.1) и (5.2)

получим уравнения ошибок фильтрации

e(t + 1) = A_c(t)e(t) + B_c(t)v(t), e(0) = x₀,

(5.3)

e_z(t) = C_z(t)e(t),

где A_c(t) = A(t) - Θ(t)C(t), B_c(t) = B(t) - Θ(t)D(t). Допустим, что ковариа-

ционная матрица K_ξ(t) случайного вектора начального состояния и возму-

щений ξ(t) = col (x₀, v(t₀), . . . , v(t - 1)) неизвестна. Найдем параметры Θ_∗(t)

фильтра (5.2), при которых уровень гашения случайных возмущений с весо-

выми матрицами R > 0 и G(i) > 0, i = 1, . . . , t - 1, т.е.

E|e_z (t)|

(5.4)

J_s(Θ^t-1) = sup_t

(

K_ξ(t)≥0 E

|x₀|^2R + ∥v∥²

G [t₀,t]

где Θ^ji обозначает набор Θ(i), . . . , Θ(j), будет минимальным.

Согласно теореме 3.1 такой фильтр обеспечивает минимум максимальному

уклонению ошибки при детерминированных факторах, т.е.

|e_z (t)|

J_d(Θ^t-1) =

sup

x₀, v(τ),τ∈[t₀,t-1] |x0|^R + ∥v∥^G

[t₀,t]

и совпадает с фильтром, который минимизирует спектральный радиус ко-

вариационной матрицы выхода e_z(t) уравнения (5.3) при условии, что на-

чальное состояние и возмущения образуют последовательность случайных

независимых векторов с ковариационными матрицами R и G(t). Это зна-

чит, что его параметры находятся из условия min_Θ λ_max(K_z (Θ)), где K_z(Θ) =

= C_z(t)P(t)CTz (t) и P(t) удовлетворяет уравнению

P (t + 1) = [A(t) - Θ(t)C(t)]P (t)[A(t) - Θ(t)C(t)]^T +

+ [B(t) - Θ(t)D(t)]G(t)[B(t) - Θ(t)D(t)]^T

с начальным условием P (t₀) = R. Ради упрощения формул предположим, что

возмущения в объекте и в измерении выхода между собой независимы и что

матрицы D(t) полного ранга, т.е.

(

)

(

)_T

)

B(t)

( G_B(t)

(5.5)

G(t)

(t) > 0.

D(t)

GD(t)

Выделяя в правой части последнего уравнения полный квадрат по Θ(t), най-

дем

[

]_-1

(5.6)

Θ_∗(t) = A(t)P₂(t)C^T(t)

C(t)P₂(t)C^T(t) + G_D(t)

где матрица P₂(t) удовлетворяет уравнению

P₂(t + 1) = A(t)P₂(t)A^T(t) -

[

]_-1

- A(t)P₂(t)C^T(t)

C(t)P₂(t)C^T + G_D(t)

C(t)P₂(t)A^T(t) + G_B(t)

или, применяя известную формулу обращения матриц, (см., например,

[15, c. 254]), уравнению

[

]_-1

(5.7)

P₂(t + 1) = A(t)

P^-12(t) + C^T(t)G^-1D(t)C(t)

A^T(t) + G_B

(t)

с начальным условием P₂(t₀) = R.

Заметим, что найденный фильтр совпадает с фильтром Калмана [2] для

оценки состояния системы (5.1) при случайных независимых начальном со-

стоянии и возмущении с ковариационными матрицами, равными весовым

матрицам R и G(t). Другими словами, фильтр Калмана, построенный для

системы со случайными независимыми начальным состоянием и возмуще-

ниями с заданными ковариационными матрицами R и G(t), в дополнении

к тому, что обеспечивает минимум максимальному уклонению ошибки при

детерминированных факторах, удовлетворяющих ограничению

(5.8)

|x₀|^2R + ∥v∥^2G[t

≤ 1,

0,t]

также доставляет минимум уровню гашения случайных возмущений (5.4) при

соответствующих весовых матрицах R и G(t). Кроме того, согласно теоре-

ме 2.2 множество достижимости ошибки e_z(t) при условии (5.8) составляет

эллипсоид E_z[C_z(t)P₂(t)C^Tz(t)] и, следовательно, неизвестный вектор z(t) на-

ходится в таком же эллипсоиде с центром в z_f (t).

Параметры Θ_g2(t) обобщенного H₂-оптимального фильтра, при котором

минимизируется максимальная из дисперсий ошибок оценок на всем интер-

вале, т.е.

E|e_z (t)|

J_g2(Θtf -1t

) = max sup

(

t∈[t₀,t_f ]Kξ(t)≥0 E

|x₀|^2R + ∥v∥²

G [t₀,t]

находятся стандартным образом с помощью линейных матричных нера-

венств (3.8) (см., например, [15]), в которых нужно A заменить на A - Θ(t)C,

B на B - Θ(t)D и обозначить X(t + 1)Θ(t) = Z(t). Тогда параметры филь-

тра вычисляются как Θ_g2(t) = X^-1∗(t + 1)Z_∗(t), где звездочками обозначены

решения этих неравенств.

5.2. Обобщенная H_∞-оптимальная фильтрация

Рассмотрим теперь обобщенную H_∞-оптимальную фильтрацию в стоха-

стической постановке, когда ковариационная матрица K_ξ вектора начального

состояния и возмущений ξ = col (x(t₀), v(t₀), . . . , v(t_f - 1)) в (5.1) неизвестна

и требуется найти параметры фильтра (5.2), при которых на траекториях

системы (5.3) минимизируется функционал

[

]

+ e^Tx(t_f)Se_x(t_f)

E ∥e_z ∥2[t0,t_f

]

J_g∞(Θtf -1) = sup_t

[

]

K_ξ≥0

E |x(t₀)|^2R + ∥v∥²

G[t₀,t_f 1]

Теорема 5.1. Обобщенная H_∞-норма системы (5.3), описывающей ди-

намику ошибки оценки состояния (5.1), меньше λ, т.е. J_g∞ < λ, если

фильтр (5.2) имеет параметры

[

(5.9) Θ_∞(t) = A(t)

P^-1∞(t) + C^T(t)G^-1D(t)C(t) -

]_-1

- λ^-1CTz (t)C_z(t)

C^T(t)G^-1D(t),

где

[

(5.10) P_∞(t + 1) = A(t)

P^-1∞(t) + C^T(t)G^-1D(t)C(t) -

]_-1

- λ^-1CTz (t)C_z(t)

A^T(t) + G_B(t),

P_∞(t₀) = R, и для всех t выполнено C_z(t)P_∞(t)C^Tz(t) < λI и S^1/2P_∞(t_f)S^1/2 <

< λI.

Уравнения (5.9) и (5.10) определяют так называемые центральные обоб-

щенные H_∞-субоптимальные решения. Эти уравнения приведены в компакт-

ной форме и могут быть записаны в виде, не содержащем обратных мат-

риц P^-1∞(t), если применить формулу обращения матриц. Параметры обоб-

щенного H_∞-субоптимального фильтра, при котором J_g∞ < λ, в том числе и

с минимальным λ, могут быть также получены стандартным образом, решая

линейные матричные неравенства (4.7).

Заметим еще, сравнивая (5.10) и (5.7), что при λ → ∞ имеем P_∞(t) →

→ P₂(t). Переходя в (5.9) и (5.10) к пределу при λ → ∞ и применяя формулу

обращения матриц, нетрудно убедиться в том, что в пределе Θ_∞(t) совпадает

с Θ_∗(t), заданной в (5.6), а обобщенный H_∞-субоптимальный фильтр пере-

ходит в фильтр Калмана, построенный для системы (5.1), в которой незави-

симые начальное состояние и возмущения имеют ковариационные матрицы

R и G(t) соответственно. Задавая 0 < λ < ∞, можно добиться компромисса

между дисперсией ошибки оценки состояния в определенный момент времени

и суммой дисперсий ошибок оценок целевого выхода на всем предшествую-

щем интервале времени.

5.3. Оптимальное оценивание параметров линейной регрессии

В качестве приложения рассмотрим задачу оптимального оценивания

неизвестных параметров линейной регрессии

(5.11)

χ(t) = Φ(t)ζ₀ + v(t), t = t₀, . . . , t_f ,

где χ(t) вектор измерений, Φ(t) матрица регрессоров, ζ₀ вектор неиз-

вестных параметров, v(t) вектор помех измерений. Представим ее как за-

дачу построения оптимального наблюдателя состояния системы

(5.12)

ζ(t + 1) = ζ(t), ζ(t₀) = ζ₀

вида

ζ(t + 1) =ζ(t) + Θ(t)[χ(t) - Φ(t)ζ(t)],

ζ(t₀) = ζ_∗.

При этом ошибкаζ(i) = ζ₀ -ζ(i) удовлетворяет уравнению

ζ(i + 1) = [I - Θ(i)Φ(i)]ζ(i) - Θ(i)v(i),

ζ(t₀) = ζ₀ - ζ_∗, i = t₀, . . . , t - 1.

Нетрудно проверить, что при неизвестной ковариационной матрице вектора,

составленного из начальной ошибки ζ₀ - ζ_∗ и помех в измерениях на всем

интервале, матрица параметров оптимального фильтра (5.2), (5.6), обеспечи-

вающего для уравнения ошибки минимум уровня гашения случайных возму-

щений в момент времени t, равна Θ_∗(t) = P₂(t)Φ(t)[Φ(t)P₂(t)Φ^T(t) + G(t)]^-1.

Оптимальные оценки тогда определяются рекуррентными уравнениями

ζ(t + 1) =ζ(t) + P₂(t + 1)Φ^T(t)G^-1(t)[χ(t) - Φ(t)ζ(t)],

ζ(t₀) = ζ_∗,

(5.13)

P^-12(t + 1) = P^-12(t) + Φ^T(t)G^-1(t)Φ(t), P₂(t₀) = R.

Как хорошо известно, эти уравнения описывают рекуррентный алгоритм ме-

тода наименьших взвешенных квадратов, а также фильтр Калмана для оцен-

ки состояния системы (5.12) при ковариациях Eζ₀ζ^T0 = R и Ev(t)v^T(t) = G(t),

и оценка ζ(t) минимизирует критерий

∑(

)_T

(

)

J_t(ζ) = (ζ - ζ_∗)^TR^-1(ζ - ζ_∗) +

χ(i) - Φ(i)ζ

G-1(i)

χ(i) - Φ(i)ζ

i=0

Таким образом, метод наименьших взвешенных квадратов определяет оцен-

ку, которая минимизирует уровень гашения случайных возмущений при соот-

ветствующих весовых матрицах и которая согласно принципу двойственности

минимизирует максимальное уклонение ошибки при неизвестных детермини-

рованных параметрах и помехах, удовлетворяющих ограничению

(5.14)

|ζ₀ - ζ_∗|^2R + ∥v∥^2G[t

≤ 1, t ∈ [t₀, t_f

0,t]

И, наконец, построим обобщенный H_∞-субоптимальный фильтр для оцен-

ки неизвестных параметров в линейной регрессии (5.11), при котором сумма

квадратов ошибок на всем рассматриваемом интервале времени не превы-

шает с множителем λ взвешенную сумму квадратов начального отклонения

оценки и помех измерений. В соответствии с (5.9), (5.10) параметры этого

фильтра будут определяться как

[

]_-1

Θ_∞(t) =

P_∞(t) + Φ^T(t)G^-1(t)Φ(t) - λ^-1I

Φ^T(t)G^-1(t),

а сам фильтр при условии P_∞(t) < λI и S^1/2P_∞(t_f )S^1/2 < λI определяется

рекуррентными уравнениями

ζ(t + 1) =ζ(t) + P_∞(t + 1)Φ^T(t)G^-1(t)[χ(t) - Φ(t)ζ(t)],

ζ(t₀) = ζ_∗,

(5.15)

P^-1∞(t + 1) = P^-1∞(t) + Φ^T(t)G^-1(t)Φ(t) - λ^-1I, P_∞(t₀) = R.

При λ → ∞ уравнения обобщенного H_∞-оптимального фильтра перехо-

дят в рекуррентные уравнения метода наименьших взвешенных квадратов.

За счет выбора подходящего значения λ здесь также можно обеспечить ком-

промисс между дисперсией ошибки в конце интервала и суммой дисперсий

ошибок на всем интервале.

6. Управление

Рассмотрим задачу управления для линейного дискретного объекта, за-

данного разностными уравнениями

x(t + 1) = A(t)x(t) + B_u(t)u(t) + B(t)v(t), x(0) = x₀,

(6.1)

z(t) = C_z(t)x(t) + D_z(t)u(t), t = t₀, . . . , t_f .

Допустим, что начальное состояние и внешние возмущения представляют

собой случайный вектор ξ(t) = col (x₀, v(t₀), . . . , v(t - 1)) с нулевым матема-

тическим ожиданием и неизвестной ковариационной матрицей K_ξ(t) и цель

управления вида u(t) = Θ(t)x(t) состоит в минимизации функционала

E|z(t)|

J_s(Θ^t-1) = sup_t

(

K_ξ(t)≥0 E

|x₀|^2R + ∥v∥²

G [t₀,t]

Согласно теореме 3.1 такое управление обеспечивает минимум максимально-

му уклонению выхода при детерминированных факторах, т.е.

|z(t)|

J_d(Θ^t-1) =

sup

x₀, v(τ),τ∈[t₀,t-1] |x0|^R + ∥v∥^G

[t₀,t]

и совпадает с управлением, которое минимизирует спектральный радиус ко-

вариационной матрицы выхода системы (6.1) в момент времени t при усло-

вии, что начальное состояние и возмущения образуют последовательность

случайных независимых векторов с ковариационными матрицами R и G(i),

i = t₀,...,t - 1. Параметры такого закона управления могут быть найде-

ны, решая задачу полуопределенного программирования при ограничениях,

определяемых линейными матричными неравенствами, получаемыми стан-

дартным образом из (3.8). Заметим, что задачи, в которых цель управления

формулировалась в терминах ковариационной матрицы выхода в стационар-

ном режиме на бесконечном горизонте, рассматривались в [16].

Пусть теперь начальное состояние и возмущения на всем интервале [t₀, t_f ]

образуют случайный вектор ξ = col (x₀, v(t₀), . . . , v(t_f - 1)) с нулевым мате-

матическим ожиданием и неизвестной ковариационной матрицей K_ξ. Цель

управления вида u(t) = Θ(t)x(t) состоит в минимизации суммарной “энергии”

выхода на всем интервале с учетом конечного состояния при условии ограни-

ченности суммарной “энергии” начального состояния и внешнего возмущения

на всем интервале. При этом “энергия” измеряется математическим ожида-

нием квадратичной формы соответствующего вектора с некоторой заданной

весовой матрицей. В соответствии с этим оптимизируемый функционал имеет

вид

[

]

+ x^T(t_f)Sx(t_f)

E ∥z∥2[t0,t_f

]

(6.2)

J_s(Θtf -1) = sup_t

[

]

K_ξ≥0

E |x₀|^2R + ∥v∥²

G[t₀,t_f ]

где S = S^T ≥ 0, R = R^T > 0 и G(t) = G^T(t) > 0 заданные весовые матрицы.

Заметим, что в классической задаче линейно-квадратического управления в

стохастической постановке предполагается, что последовательность векторов

начального состояния и возмущений образует последовательность независи-

мых случайных векторов с заданными ковариационными матрицами.

Согласно теореме 4.1 поставленная задача двойственна задаче управле-

ния объектом (6.1), в котором начальное состояние и внешние возмущения

образуют произвольную детерминированную последовательность векторов,

а функционал имеет вид обобщенной H_∞-нормы с соответствующими весо-

выми матрицами

+ x^T(t_f)Sx(t_f)

∥z∥2[t0,t_f ]

(6.3)

J_d(Θtf -1) =

sup

x₀,v(τ),τ∈[t₀,t_f -1]

|x₀|^2R + ∥v∥²

G[t₀,t_f ]

Параметры искомого закона управления находятся на основе решения зада-

чи полуопределенного программирования, получаемой стандартным образом

из (4.7).

7. Заключение

Установлен принцип двойственности для линейных операторов в детер-

минированном и стохастическом случаях. Этот результат оказывается по-

лезным, так как связывает между собой стохастическую и детерминистскую

парадигмы в задачах управления и фильтрации. В частности, если детерми-

нированные начальное состояние и возмущение в линейной нестационарной

системе на конечном горизонте удовлетворяют эллипсоидальному ограниче-

нию с заданными весовыми матрицами, то максимальное по времени из мак-

симальных уклонений выхода, т.е. обобщенная H₂-норма системы, и макси-

мальное значение интегрального квадратичного функционала, т.е. обобщен-

ная H_∞-норма системы, совпадают соответственно с максимальным по време-

ни из максимальных значений дисперсий выхода и с максимальным значени-

ем усредненного интегрального квадратичного функционала при случайных

начальном состоянии и возмущении с неизвестными ковариационными мат-

рицами, удовлетворяющими усредненному эллипсоидальному ограничению.

Обе эти нормы также характеризуются как спектральные нормы ковариа-

ционных матриц выходов линейных операторов при случайных независимых

начальном состоянии и возмущениях в системе, ковариационные матрицы ко-

торых совпадают с соответствующими весовыми матрицами эллипсоидально-

го ограничения.

В статье для линейных динамических систем сформулированы новые ми-

нимаксные задачи в стохастической постановке при неизвестных ковариаци-

онных матрицах случайных факторов и показано, что их решения совпада-

ют с решениями двойственных детерминированных минимаксных задач. Так,

минимаксное стохастическое управление при неизвестной совместной кова-

риационной матрице начального состояния и возмущений, имеющей огра-

ниченный след, совпадает с детерминированным обобщенным H_∞-оптималь-

ным управлением. Оптимальный фильтр, минимизирующий уровень гашения

случайных начального состояния и возмущений с неизвестной совместной ко-

вариационной матрицей, совпадает с оптимальным фильтром, минимизирую-

щим максимальное уклонение ошибки фильтрации при детерминированных

начальном состоянии и возмущениях, удовлетворяющих эллипсоидальному

ограничению с заданными весовыми матрицами. Этот фильтр оказывается

фильтром Калмана, построенным для данной системы при случайных неза-

висимых начальном состоянии и возмущениях, ковариационные матрицы ко-

торых равны соответствующим весовым матрицам эллипсоидального огра-

ничения.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Доказательство теоремы 4.1. Запишем функцию Лагранжа для

задачи S_∞ и найдем двойственную ей функцию:

tf∑-1

min

max

tr (C(t) D(t))W (t)(C(t) D(t))^T + tr SMW (t_f )M^T -

λ≥0,X(t)

W (t)≥0

t=t₀





tf∑-1

− λtrR^-1MW(t₀)M^T + trG^-1(t)HW(t)H^T - 1 +

t=t₀

tf∑-1

[

]

tr (A(t) B(t))W (t)(A(t) B(t))^T - MW (t + 1)M^T X(t + 1) =

t=t₀





tf∑-1

[

= min

max

λ + trW(t) (C(t) D(t))^T(C(t) D(t)) +

λ≥0,X(t)

W (t)≥0



t=t₀

]

+ (A(t) B(t))^TX(t + 1)(A(t) B(t)) - M^TX(t)M - λH^TG^-1(t)H +





+ tr W (t_f )M^T[S - X(t_f )]M



где X(t₀) = λR^-1. Для того, чтобы двойственная функция была конечной,

должны выполняться следующие неравенства:

(C(t) D(t))^T(C(t) D(t)) + (A(t) B(t))^TX(t + 1)(A(t) B(t)) -

(Π.1)

- M^TX(t)M - λH^TG^-1(t)H ≤ 0, t = t₀,... ,t_f - 1, S - X(t_f) ≤ 0,

поскольку в противном случае W (t) может быть выбрана так, что соответ-

ствующее слагаемое становится неограниченным. Таким образом, неравен-

ства (Π.1) должны быть выполнены, но тогда минимум в минимаксной за-

даче достигается при W (t) = 0, t = t₀, . . . , t_f и мы приходим к двойственной

задаче: найти min λ при ограничениях (Π.1), которые с учетом введенных

обозначений и замены X(t) на λX(t) записываются в виде неравенств (4.7).

Так как функция является выпуклой и имеется внутренняя точка, удовлетво-

ряющая ограничениям, то значения прямой и двойственной задач совпадают.

Определим функцию V (t) = x^T(t)X(t)x(t), где X(t) удовлетворяет нера-

венствам (4.7). Приращение этой функции по траектории системы (4.1) удо-

влетворяет условиям

ΔV (t) + λ^-1|z(t)|² - v^T(t)G^-1v(t) ≤ 0,

(Π.2)

V (t₀) = x^T(t₀)R^-1x(t₀), V (t_f ) ≥ λ^-1x^T(t_f )Sx(t_f ).

Отсюда получим





tf∑-1

|z(t)|² + x^T(t_f )Sx(t_f ) ≤ λ + λx(t₀)R^-1x(t₀) +

v^T(t)G^-1(t)v(t) - 1,

t=t₀

т.е. минимальное значение λ, при котором разрешимы неравенства (4.7),

является оптимальным значением в задаче D_∞ и совпадает с обобщенной

H_∞-нормой системы (4.1).

Доказательство теоремы 5.1. Из теоремы 4.1 применительно к си-

стеме (5.3) следует, что если выполнены неравенства (4.7), в которых мат-

рица A заменена A - ΘC и B заменена B - ΘC, то обобщенная H_∞-норма

системы меньше λ. Применяя лемму Шура, преобразуем эти неравенства к

виду

Y (t + 1) - (A - ΘC)Y (t)(A - ΘC)^T - (B - ΘD)G(B - ΘD)^T -

- (A - ΘC)Y (t)CTz (λI - C_zY (t)CTz )^-1C_zY (t)(A - ΘC)^T ≥ 0

при условии, что C_zY (t)C^Tz < λI. Выделяя в левой части этого неравенства

полный квадрат по Θ и учитывая обозначения (5.5), в результате некоторых

манипуляций получим

[

]_-1

Y (t + 1) - A

Y^-1(t) + C^TG^-1DC - λ^-1C^TzC_z

A^T - G_B -

[

]

− (Θ - Θ_∞)

Y^-1(t) + C^TG^-1DC - λ^-1C^TzC_z

(Θ - Θ_∞)^T ≥ 0,

где Θ_∞ задана в (5.9) при P (t) = Y (t). Отсюда следует, что если параметры

фильтра определяются формулой (5.9), в которой матрица P (t) удовлетворя-

ет уравнению (5.10), то γ^2s < λ.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности.

М.: Наука, 1977.

Квакернаак Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир,

1977.

Kailath T., Sayed A.H., Hassibi B. Linear Estimation. New Jersey: Prentice Hall,

2000.

Hinrichsen D., Pritchard A.J. Stochastic H_∞ // SIAM J. Control Optim. 1998.

V. 36. No. 5. P. 1504-1538.

Petersen I.R., Ugrinovskii V.A., Savkin A.V. Robust Control Design Using H_∞-

Methods. London: Springer-Verlag, 2000.

Schweppe F.C. Recursive State Estimation: Unknown but Bounded Errors and Sys-

tem Inputs // IEEE Trans. Autom. Control. 1968. V. 13. No. 1. P. 22-28.

Wilson D. Extended Optimality Properties of the Linear Quadratic Regulator and

Stationary Kalman Filter // IEEE Trans. Autom. Control. 1990. V. 35. No. 5.

P. 583-585.

Willems J.C. Deterministic least squares filtering. Journal of Econometrics. 2004.

V. 118. P. 341-373.

Buchstaller D., Liu J., French M. The Deterministic Interpretation of the Kalman

Filter // Int. J. Control. 2021. V. 94. No. 11. P. 3226-3236.

10.

Коган М.М. Оптимальные оценивание и фильтрация при неизвестных ковариа-

циях случайных факторов// АиТ. 2014. № 11. С. 88-109.

11.

Boyd S., Vandenberghe L. Convex Optimization. Cambridge: University Press, 2004.

12.

Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем.

М.: Наука, 1988.

13.

Wilson D.A. Convolution and Hankel Operator Norms for Linear Systems // IEEE

Trans. Autom. Control. V. 34. No. 1. P. 94-97.