Автоматика и телемеханика, № 2, 2023

Нелинейные системы

(Бакинский государственный университет;

Институт систем управления НАН Азербайджана, Баку)

НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ПЕРВОГО

И ВТОРОГО ПОРЯДКОВ В ОДНОЙ ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ,

ОПИСЫВАЕМОЙ НЕЛИНЕЙНЫМИ РАЗНОСТНЫМИ

УРАВНЕНИЯМИ ДРОБНОГО ПОРЯДКА

Рассматривается задача оптимального управления объектом, описы-

ваемая системой нелинейных разностных уравнений дробного порядка.

Такие задачи представляют собой дискретный аналог задач оптимального

управления, описываемых обыкновенными дифференциальными уравне-

ниями дробного порядка. При предположении открытости области управ-

ления с помощью модифицированного варианта метода приращения вы-

числены первая и вторая вариации функционала качества. Установле-

ны соответственно необходимое условие оптимальности первого порядка

(аналог уравнения Эйлера) и общее необходимое условие оптимальности

второго порядка. С использованием представлений решения линеаризо-

ванных разностных уравнений дробного порядка из общего условия оп-

тимальности второго порядка получены необходимые условия оптималь-

ности, выраженные через параметры исходной задачи. С помощью вы-

бора допустимой вариации управления специальным образом сформу-

лировано поточечное необходимое условие оптимальности классических

экстремалей.

Ключевые слова: допустимое управление, оптимальное управление, от-

крытое множество, разностное уравнение дробного порядка, дробный опе-

ратор, дробная сумма, аналог уравнения Эйлера.

DOI: 10.31857/S0005231023020034, EDN: OMMDXO

1. Введение

Дробное исчисление играет важную роль во многих областях науки и тех-

ники. Известно, что (см., например, [1]) дробное интегро-дифференциальное

исчисление берет свое начало с обсуждения в переписке между Г. Лопиталем

и Г. Лейбницем о смысле производной порядка¹² . Но идея использования

дробной разности появилась относительно недавно (см., например, [2-5]).

Дробное исчисление также находит применение в задачах оптимального

управления, описываемых разностными уравнениями дробного порядка [6-8].

Исходя из теоретических и практических приложений разработка каче-

ственной теории задач оптимального управления, описываемых различными

разностными уравнениями дробного порядка, также является актуальной.

Отметим, что теория необходимых условий оптимальности для задач оп-

тимального управления, описываемых разными разностными уравнениями

дробного порядка, очень мало разработана.

С учетом вышесказанного в предлагаемой работе изучается одна зада-

ча оптимального управления, описываемая системой разностных уравнений

дробного порядка [2, 3]. При предположении открытости области управления

установлен аналог уравнения Эйлера [9, 10] и выведены необходимые условия

оптимальности второго порядка.

2. Предварительные сведения и вспомогательные утверждения

Приведем некоторые понятия и определения, которые в дальнейшем будут

использованы.

Следующие определения, являясь стандартными [3-6], служат основой

для определения разностей дробного порядка.

Пусть N множество натуральных чисел вместе с нулем. Для a ∈ Z

введем следующие обозначения: N^+a = {a, a + 1, a + 2, . . . , }, σ (t) = t + 1,

ρ (t) = t - 1.

Определение 1. Дробная сумма порядка α определяется следующим

образом:

∑

(j+α-1)

(n-j+α-1)

Δ^-αu(n) =

u(n - j) =

u(j) ,

n-j

j=0

а дробный оператор порядка α определяется следующим образом:

∑

(j+α-1)

Δ^αu(n) =

Δu(n - j) =

j=0

(

)

∑

(n-j-α-1)

n-α-1

u (j) -

u (0) .

n-j

n-1

j=1

)

Здесь биномиальный коэффициент

определяется по формуле



Γ (a + 1)



(

)

, n > 0,



Γ (a - n + 1) Γ (n + 1)

n = 0,



 0,

n < 0.

Пусть для любого x, y ∈ R, x^(y) =^{Γ(x+1)Γ(x+1-y)} , где Γ гамма-функция, для

которой выполняется тождество

Γ (x + 1) = xΓ (x).

Заметим, что дробную сумму и дробный оператор порядка α можно опре-

делить еще и следующим образом.

Пусть a произвольное действительное число и b = k + a, здесь k ∈ N,

k ≥ 2; T = {a,a + 1,...,b}, T^k = {a,a + 1,...,b - 1}, а T множество функ-

ций, определенных на T .

Определение 2. Пусть для f ∈ T левая и правая дробные суммы

порядка α > 0 определяются соответственно следующим образом:

∑

aΔt-α

f (t) =

(t - σ(s))^(α-1)f(s),

Γ (α)

s=a

∑

-α

tΔ

f (t) =

(s - σ(t))^(α-1)f(s).

Γ (α)

s=t+α

Определение 3. Пусть 0 < α ≤ 1 и µ = 1 - α, тогда для функции

f ∈ T левые и правые дробные операторы порядка α определяются следую-

щим образом:

(

)

-µ

aΔ^tf(t) = Δ aΔ

f (t)

(

)

-µ

tΔ^bf(t) = -Δ tΔ

f (t)

Приведем некоторые известные свойства дробной суммы и дробной разно-

сти:

1. Δ^αΔ^βf(t) = Δ^α+βf(t);

2. Δ^-αΔ^αf(t) = f(t) - f(0);

3. Δ^αΔ^-αf(t) = f(t);

4. Δ^αf(0) = 0 и Δ^αf (1) - f(0) = Δf (1) .

Имеет место (см., например, [6])

Теорема 1 (о дробном суммировании по частям). Пусть f и g неот-

рицательные функции с действительными значениями, определенными на

T^k и T соответственно. Если 0 < α ≤ 1 и µ = 1 - α, то

∑

f (t)_aΔ^αtg(t) = f(b - 1)g(b) - f(a)g(a) +

tΔ^bf(t)g^σ(t) +

t=a





∑

g(a) (t + µ - α)^(µ-1)f(t) -

(t + µ - σ(α))^(µ-1)f(t).

Γ (µ + 1)

t=a

t=σ(a)

Рассмотрим систему линейных неоднородных разностных уравнений дроб-

ного порядка

(1)

Δ^α

y(t + 1) = A(t)y(t) + g(t)

с начальными условиями

(2)

y(t) = y₀.

Здесь y = (y₁, . . . , y_n)^′

n-мерный вектор-столбец, g = (g₁, . . . , g_n)^′

за-

данный n-мерный вектор, y₀ = (y10 , . . . , yn0 )^′ заданный постоянный вектор





a₁₁(t) a₁₂(t) ... a_1n(t)





 a21(t) a22(t) . . . a2n(t)



столбец, t₀, t₁ заданные числа, A(t) =





за-





a_n1(t) a_n2(t) ... a_nn(t)

данная n × n-дискретная матричная функция.

Задача (1)-(2) является дискретным аналогом задачи Коши для системы

линейных неоднородных дифференциальных уравнений дробного порядка.

Имеет место

Теорема 2 [2]. Решение y(t) системы линейных неоднородных разност-

ных уравнений дробного порядка (1)-(2) допускает представление

∏

∑

y(t) = y₀

[1 + R_α (t - 1, j) A(j)] +

R_α (t - 1,j) f(j) ×

j=t₀

∏

[1 + R_α (t - 1, k) A(k)] .

k=j+1

Здесь

)

(t-j+α-1

R_α (t,j) =

t-j

3. Постановка задачи оптимального управления

Рассмотрим задачу о минимуме терминального функционала

(3)

S(u) = ϕ (x (t₁

))

при следующих ограничениях

(4)

u(t) ∈ U ⊂ R^r, t ∈ T = {t₀, t₀ + 1, . . . , t₁

− 1} ,

(5)

Δ^α

x(t + 1) = f (t,x(t),u(t)) , t ∈ T,

(6)

x(t₀) = x₀.

Здесь x(t) n-мерный вектор фазовых переменных, u(t) r-мерный дис-

кретный вектор управляющих воздействий, U заданное непустое ограни-

ченное и открытое множество, числа t₀, t₁ и постоянный вектор x₀ заданы,

f (t, x, u)

заданная n-мерная вектор-функция, непрерывная по совокупно-

сти переменных вместе с частными производными по (x, u) до второго по-

рядка включительно, ϕ (x) заданная дважды непрерывно дифференцируе-

мая скалярная функция, а Δ^αx(t), 0 < α ≤ 1 дробный оператор порядка α

[11, 12].

Управляющую функцию назовем допустимым управлением, если она удо-

влетворяет ограничению (4).

Предполагается, что при каждом заданном допустимом управлении дис-

кретный аналог задачи Коши, т.е. задача (5)-(6), имеет единственное реше-

ние.

Допустимое управление u(t), доставляющее минимум функционалу (3)

при ограничениях (4)-(6), называется оптимальным управлением, а пара

(u(t), x(t))

оптимальным процессом.

4. Формула приращения критерия качества

Пусть (u(t), x(t))

фиксированный, а (u(t) = u(t) + Δu(t), x(t) = x(t) +

+Δx(t)) произвольные допустимые процессы.

Введем следующие обозначения:

H(t, x, u, ψ) = ψ^′(t)f(t, x, u),

H_x [t] ≡ H_x(t,x(t),u(t),ψ(t)),

H_xx [t] ≡ H_xx(t,x(t),u(t),ψ(t)),

H_u [t] ≡ H_u(t,x(t),u(t),ψ(t)),

f_x [t] ≡ f_x(t,x(t),u(t)),

f_u [t] ≡ f_u(t,x(t),u(t)).

Здесь ψ(t) пока неизвестный n-мерный вектор-столбец, а H (t, x, u, ψ)

функция Гамильтона-Понтрягина для рассматриваемой задачи оптимально-

го управления (3)-(6).

Тогда по схеме, аналогичной схеме из [11, 12], получаем

ΔS(u) = ϕ(x(t₁) + Δx(t₁)) - ϕ(x(t₁))+

∑

+ ψ′ (t₁ - 1)Δx(t₁) +

tΔαρ(t₁)ψ (t - 1) Δx(t) -

t=t₀

∑

[

]

(7)

H (t, x(t), u(t), ψ(t)) - H (t, x(t), u(t), ψ(t))

t=t₀

С помощью полученного разложения (7) будет доказано необходимое усло-

вие оптимальности первого порядка.

При сделанных предположениях, используя формулу Тейлора, формулу

приращения (7) функционала S (u), соответствующую допустимым управле-

ниям u(t) и u(t), можно представить в виде

ΔS(u) = ϕ_x (x(t₁))Δx(t₁) +

Δx^′ (t₁)ϕ_xx (x(t₁))Δx(t₁)+

∑

+ ψ^′(t₁ - 1)Δx(t₁) +

ψ^′(t - 1)Δx(t) -

t=t₀

∑

[

]

− tΔαρ(t₁)ψ^′(t - 1)Δx(t) -

H^′x [t] Δx(t) + H^′u [t]Δu(t)

t=t₀

∑

[

Δx^′(t)H_xx [t] Δx(t) + Δx^′(t)H_xu [t]Δu(t) +

t=t₀

]

+ 2Δu^′(t)H_ux [t] Δx(t) + Δu^′(t)H_uu [t] Δu(t)

(

∑

(8)

+o₁

∥Δx (t₁)∥2

- o₂[∥Δx(t)∥ + ∥Δu(t)∥]².

t=t₀

Здесь ∥α∥

норма вектора α = (α₁, . . . , α_n), определяемая формулой

∑_n

∥α∥ =

|α_i|, а o (α)

величина более высокого порядка α, т.е. o (α) → 0

i=1

при α → 0.

Теперь предположим, что ψ(t) является решением следующей системы ли-

нейных разностных уравнений дробного порядка:

{

tΔαρ(t₁)ψ^′(t - 1) = Hx [t], t = t1 - 1,t1 - 2,... ,t0,

(9)

ψ(t₁ - 1) = -ϕ_x(x(t₁)).

Систему (9) назовем сопряженной системой в рассматриваемой задаче

(3)-(6). При выполнении соотношений (9) формула приращения (8) примет

следующий вид:

∑

ΔS(u) =

Δx^′(t₁)ϕ_xx(x(t₁))Δx(t₁) -

H^′u [t]Δu(t) -

t=t₀

∑

[

Δx^′(t)H_xx [t] Δx(t) + Δx^′(t)H_xu [t]Δu(t) +

t=t₀

]

+ 2Δu^′(t)H_ux [t] Δx(t) + Δu^′(t)H_uu [t] Δu(t)

(

∑

(10)

+o₁

∥Δx (t₁)∥2

- o₂[∥Δx(t)∥ + ∥Δu(t)∥]².

t=t₀

Поскольку по предложению множество U открытое, то специальное при-

ращение допустимого управления u(t) можно определить по формуле

(11)

Δu_ε

(t) = εδu(t).

Здесь ε

достаточно малое по абсолютной величине число, а δu(t)

произвольная r-мерная вектор-функция со значениями из R^r.

Через Δx_ε(t) обозначим специальное приращение допустимой траекто-

рии x(t), отвечающее специальному приращению управления u(t), опреде-

ляемое формулой (11).

В [12] доказана следующая оценка:

∏

∥Δx(t)∥ ≤ L₁

(1 + A_α(t, j) ∥Δu(j)∥), t ∈ T ∪ t₁, L₁ = const > 0.

j=t₀

Из этой оценки следует, что

(12)

∥Δx_ε(t)∥ ≤ L₂ε, t ∈ T ∪ t₁, L₂

= const > 0.

С учетом формул (11) и (12) доказывается, что по схеме, например, из

[9, 13] для специального приращения Δx_ε(t) траектории x(t) имеет место раз-

ложение

(13)

Δx_ε

(t) = εδx(t) + o (ε; t) ,

где δx(t)

n-мерная вектор-функция, являющаяся решением уравнения

(уравнение в вариациях)

(14)

Δ^αδx(t + 1) = f_x [t]δx(t) + f_u

[t]δu(t)

с начальным условием

(15)

δx(t₀

) = 0.

Принимая во внимания соотношения (11)-(15) из формулы приращения

(10), получим

ΔS_ε(u) = S(u + εδu) - S(u) =

∑

= - H′u [t]εδu(t) +

(εδx(t₁) + o(ε; t₁))^′ϕ_xx(x(t₁))(εδx(t₁) + o(ε; t₁)) -

t=t₀

∑

[

(εδx(t) + o(ε; t))^′H_xx [t] (εδx(t) + o(ε; t)) +

t=t₀

]

+ 2εδu(t)^′H_ux [t] (εδx(t) + o(ε; t)) + ε²δu(t)^′(t)H_uu [t] δu(t)

+ o(ε²) =

∑

ε²

= -ε H^′u [t] δu(t) +

δx^′(t₁)ϕ_xx(x(t₁))δx(t₁) -

t=t₀

∑

[

δx^′(t)H_xx [t]δx(t) + 2εδu^′(t)H_ux [t]δx(t) +

t=t₀

]

(16)

+ δu^′(t)H_uu [t]δu(t) + o(ε2

5. Необходимые условия оптимальности

Доказанное специальное разложение второго порядка (16) критерия ка-

чества позволяет получить необходимые условия оптимальности первого и

второго порядков.

Из классического вариационного исчисления известно (см., например,

[9, 10]), что если имеет место разложение

(

)

(17)

S(u + εδu) - S(u) = εA₁ +

A₂ + o

ε²

где A₁ и A₂ независимые от ε числа, то A₁ и A₂ называются соответственно

первой и второй вариациями функционала S (u) в точке u и обозначаются

следующим образом:

A₁ = δ¹S(u,δu),

A₂ = δ²S(u,δu).

По этому определению из разложения (17) вытекает, что первая и вторая

вариации функционала S (u) имеют соответственно следующий вид:

∑

(18)

δ¹S(u,δu) = -

H^′u

[t]δu(t),

t=t₀

δ²S(u,δu) = δx^′(t₁)ϕ_xx (x(t₁)) δx(t₁) -

∑

[

]

(19)

δx^′(t)H_xx [t]δx(t) + 2εδu^′(t)H_ux [t]δx(t) + δu^′(t)H_uu [t]δu(t) .

t=t₀

Из классического вариационного исчисления также известно, что если

функционал S(u) в точке u = u(t) получает свое минимальное значение, то

для любого δu(t) его первая вариация равна нулю:

(20)

δ¹

S(u, δu) = 0,

а вторая вариация неотрицательна:

(21)

δ²

S(u, δu) ≥ 0.

Отсюда следует, что (в силу (20), (21)) вдоль оптимального процесса

(u(t), x(t)) для любого δu(t) ∈ R^r, t ∈ T

∑

(22)

H^′u

[t] δu(t) = 0,

t=t₀

δx^′(t₁)ϕ_xx (x(t₁))δx(t₁) -

∑

[

]

(23)

δx^′(t)H_xx [t]δx(t) + 2δu(t)^′H_ux [t] δx^′(t) + δu^′(t)H_uu [t]δu(t)

≥ 0.

t=t₀

Как видно, тождество (22) и неравенство (23) есть неявные необходимые

условия оптимальности первого и второго порядков соответственно.

Но они позволяют получить конструктивно проверяемое необходимое

условие оптимальности первого и второго порядков. С этой целью, используя

произвольность δu(t), определим его следующим образом:

{ v, t = θ ∈ T,

(24)

δu(t) =

0, t = θ ∈ T,

где θ ∈ T, а v ∈ R^r произвольный вектор.

C учетом (24) из (22) получим

H^′u [θ]v = 0

для всех v ∈ R^r, t = θ ∈ T.

Из последнего соотношения в силу произвольности вектора v следует тож-

дество

(25)

H_u

[θ] = 0.

Таким образом, доказано следующее утверждение.

Теорема 3. Для оптимальности допустимого управления u(t) в рас-

сматриваемой задаче (3)-(6) необходимо, чтобы соотношение (25) выпол-

нялось для любого θ ∈ T .

Соотношение (25) является аналогом уравнения Эйлера для рассматри-

ваемой задачи оптимального управления. Как видно, уравнение Эйлера яв-

ляется конструктивно проверяемым необходимым условием оптимальности.

А неравенство (23) есть неявное необходимое условие оптимальности второго

порядка.

Допустимое управление u(t), являющееся решением уравнения Эйлера,

назовем классической экстремалью.

Как известно, δx(t) (вариация траектории) является решением задачи

(14)-(15). Следовательно, по теореме 2 δx(t) можно представить в следую-

щем виде:

∑

∏

(26)

δx(t) =

R_α (t - 1,j) f_u [j] δu(j)

[1 + R_α (t - 1, k) f_x

[k]] .

j=t₀

k=j+1

Используя формулу (26), займемся преобразованием отдельных слагаемых

в неравенстве (23).

Ясно, что

∑

δx^′ (t₁) ϕ_xx (x(t₁)) δx(t₁) =

R_α (t - 1,τ) f_u [τ]δu(τ)×

τ=t₀ s=t₀

∏

[

]

1 + Rα (t - 1,k)fx [k]

ϕxx (x (t1)) ×

k=τ+1

∏

[

]

(27)

×R_α (t - 1,s) f_u [s]δu(s)

1 + Rα (t - 1,k)fx [k]

k=s+1

∑

δx^′(t)H_xx [t]δx(t) =

t=t₀



∑

∏

[

]



R_α(t - 1,τ)f_u[τ]δu(τ)

1 + R_α(t - 1,τ)f_x[τ]

t=t₀

τ=t₀ s=t₀

k=max(τ+1,s+1)

]

[

]

(28)

× Hxx [t]

1 + Rα (t - 1,s)fx [s]

R_α (t - 1,s) f_u [s]δu(s)

∑

δu(t)^′H_ux [t] δx^′(t) =

t=t₀

[

]

∑

∏

(29) =

δu^′(t)H_ux[t]

R_α(t - 1,τ)

[1 + R_α(t - 1, k)f_x[k]]f_u[τ]δu(τ) .

t=t₀

τ=t₀

k=τ+1

Учитывая тождества (27)-(29) в неравенстве (23), получим

∑

∏

[

]

R_α (t - 1,τ) f_u [τ]δu(τ)

1 + Rα (t - 1,k)fx [k]

ϕxx (x (t1)) ×

τ=t₀ s=t₀

k=τ+1

∏

[

]

× Rα (t - 1,s)fu [s]δu(s)

1 + Rα (t - 1,k)fx [k]

k=s+1

[

∑

R_α (t - 1,τ) f_u [τ] δu(τ) ×

t=t₀

τ=t₀ s=t₀

∏

[

]

1 + Rα (t - 1,τ)fx [τ]

H_xx [t] ×

k=max(τ+1,s+1)

]

[

]

1 + Rα (t - 1,s)fx [s]

R_α (t - 1,s) f_u [s]δu(s)

[

]

∑

∏

[

]

δu^′(t)H_ux[t]

R_α(t-1,τ)

1+R_α(t-1,k)f_x[k]

f_u[τ]δu(τ)

t=t₀

τ=t₀

k=τ+1

∑

(30)

+ δu^′(t)H_uu

[t]δu(t) ≥ 0.

t=t₀

Пусть M (τ, s) (n × n) матричная функция, определяемая формулой

∏

[

]

M (τ, s) = -R_α (t - 1, τ)

1 + Rα (t - 1,k)fx [k]

ϕxx (x (t1)) ×

k=τ+1

∏

[

]

(31)

× Rα (t - 1,τ)

1 + Rα (t - 1,k)fx [k]

k=s+1

∏

[

]

[

]

- R_α(t-1,τ)

1+R_α(t-1,τ)f_x[τ]

H_xx[t]

1+R_α(t-1,s)f_x[s]

k=max(τ+1,s+1)

С учетом формулы (31), неравенство (30) записывается в виде

∑

∏

[

]

δu^′(t)H_ux[t]

R_α(t - 1,τ)

1 + R_α(t - 1,k)f_x[k]

f_u[τ]δu(τ) +

t=t₀

τ=t₀

k=τ+1

∑

(32)

δu(τ)f^′u[τ]M(τ, s)f_u[s]δu(s) +

δu(t)^′H_uu[t]δu(t) ≤ 0.

τ=t₀ s=t₀

t=t₀

Теорема 4 (необходимое условие оптимальности второго порядка). Для

оптимальности классической экстремали в задаче (3)-(6) необходимо, что-

бы неравенство (32) выполнялось для всех δu(t) ∈ U, t ∈ T, где M(τ,s) опре-

деляется по формуле (31).

Доказанное необходимое условие оптимальности является довольно об-

щим. Из него, используя произвольность вариаций δu(t) управляющих функ-

ций u(t), можно получить ряд более легко проверяемых условий оптималь-

ности.

Непосредственным следствием теоремы 4 является

Следствие. Для оптимальности классической экстремали в рассмат-

риваемой задаче необходимо, чтобы неравенство

[

]

v^′

f^′u [θ]M (θ,θ)f_u [θ] + H_uu [θ]

v≤0

выполнялось для всех v ∈ R^r, θ ∈ T .

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного

порядка, и некоторые их приложения. Минск: “Наука и техника”, 1987.

Jagan Mohan J., Deekshitulu G.V.S.R. Fractional Order Difference Equations //

Hindawi Publish. Corporat. Int. J. Different. Equat. 2012. Article ID 780619, 11 p.

https://doi.org/10.1155/2012/780619

Christopher G., Piterson A.C. Discrete fractional calculus. Department of Mathe-

matic University of Nebraska-Lincoln Lincoln, NE, USA. 2015.

Feckan M., Wang J., Pospisil M. Fractional-order equations and inclusions. Ger-

many. Berlin. Deutsche Nationalbibliothek. V. 3. 2010. 384 p.

Chen F., Luo X., Zhou Y. Existence results for nonlinear fractional order difference

equation // Advanc. Differen. Equat. 2011. Article ID 713201. 12 p.

Nuno R.O. Bastos, Rui A.C. Ferreira, Delfim F.M. Torres. Necessary optimality

conditions for fractional difference problems of the calculus of variations// Discret.

Contin. Dynam. Syst. 2011. V. 29. No. 2. P. 417-437.

Bahaa G.M. Fractional optimal control problem for differential system with delay

argument // Advanc. Differen. Equat. 2017. No. 1. P. 1-19.

Bahaa G.M. Fractional optimal control problem for differential system with control

constraints // Filomat. 2016. V. 30. No. 8. P. 2177-2189.

Габасов Р., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления. М.: URSS, 2011.

10.

Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление.

М.: Наука, 1979.

11.

Алиева С.Т. Принцип максимума Понтрягина для нелинейных разностных урав-

нений дробного порядка // Вест. Том. ун-та. Управление, вычислительная тех-

ника. 2021. № 54. C. 4-11.

12.

Алиева С.Т., Мансимов К.Б. Аналог линеаризованного принципа максимума

для задачи оптимального управления нелинейными разностными уравнениями

дробного порядка // Вест. Перм. ун-та, Математика. Механика. Информатика.

2021. Вып. 1(52). C. 9-15.

13.

Мансимов К.Б. Дискретные системы. Баку: Изд-во БГУ, 2013.

Статья представлена к публикации членом редколлегии А.Г. Кушнером.

Поступила в редакцию 14.02.2022

После доработки 11.10.2022

Принята к публикации 26.10.2022