Автоматика и телемеханика, № 2, 2023
Нелинейные системы
© 2023 г. В.Р. БАРСЕГЯН, д-р физ.-мат. наук (barseghyan@sci.am)
(Ереванский государственный университет;
Институт механики НАН Армении, Ереван)
ГРАНИЧНОЕ УПРАВЛЕНИЕ НЕКОТОРОЙ
РАСПРЕДЕЛЕННОЙ НЕОДНОРОДНОЙ КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ
СИСТЕМОЙ С ЗАДАННЫМИ СОСТОЯНИЯМИ
В ПРОМЕЖУТОЧНЫЕ МОМЕНТЫ ВРЕМЕНИ
В предлагаемой статье изучена задача граничного управления распре-
деленной неоднородной колебательной системой, описываемой одномер-
ным волновым уравнением с кусочно-постоянными характеристиками.
Принято, что время прохождения волны через каждый однородный уча-
сток одинаково. Управление осуществляется смещением на двух концах.
Предложен конструктивный подход построения управляющего воздей-
ствия, переводящего колебания за заданный промежуток времени из на-
чального состояния через многоточечные промежуточные состояния в ко-
нечное состояние. Схема построения заключается в следующем: исходная
задача сводится к задаче управления распределенными воздействиями
с нулевыми граничными условиями. Далее используется метод разделе-
ния переменных и методы теории управления конечномерных систем с
многоточечными промежуточными условиями. Полученные результаты
иллюстрируются на конкретном примере.
Ключевые слова: управление колебаниями, граничное управление, неод-
нородный колебательный процесс, волновое уравнение, кусочно-постоян-
ные характеристики, разделение переменных.
DOI: 10.31857/S0005231023020046, EDN: OMXOQO
1. Введение
Задачам граничного управления и оптимального управления распределен-
ными колебательными системами посвящены многие исследования, в частно-
сти, [1-15]. Для распределенной однородной колебательной системы, описы-
ваемой однородным волновым уравнением, с многоточечными промежуточ-
ными условиями задачи граничного управления рассмотрены в исследова-
ниях [2-6]. В них решения задач построены на основе методов Фурье и тео-
рии управления конечномерных систем с многоточечными промежуточными
условиями.
К исследованию решений задач управления разнородных распределенных
составных систем посвящены, в частности, [7-15]. Одной из первых работ
в этой области является [8], где решена поставленная А.Г. Бутковским зада-
ча управления распределенной колебательной системой, состоящей из двух
66
кусочно-однородных сред. Построение решения задачи основано на методе
распространяющих волн. В [9, 10] и других исследованиях этого же автора
и его учеников изучены подобные задачи граничного управления неоднород-
ными колебательными процессами. При исследовании этих задач граничного
управления использован метод Даламбера и выведены формулы типа Далам-
бера. К краевым задачам для уравнения, описывающего процесс продольных
колебаний стержня с кусочно-постоянными характеристиками (состоящих из
не менее двух участков) со свободным либо закрепленным правым концом,
посвящены, в частности, [13-19]. В них исследования проведены в классе
обобщенного решения. В [20] рассмотрена механическая система, состоящая
из двух кусков струны равной длины, соединенных между собой пружиной.
С помощью формулы Даламбера исследована задача граничного управления
колебаниями сложносочлененной системы с особенностями.
Необходимость моделирования и управления распределенных колебатель-
ных процессов составных систем с кусочно-постоянными (неоднородными)
характеристиками возникает во многих теоретических и прикладных обла-
стях науки и техники. Однако научное направление по управлению неодно-
родными упругими колебаниями пока еще недостаточно исследовано и нахо-
дится на стадии становления.
В настоящей статье рассмотрена задача граничного управления некото-
рой распределенной неоднородной колебательной системой с заданными со-
стояниями в промежуточные моменты времени. Распределенная неоднород-
ная колебательная система, описываемая однородным волновым уравнением,
в частности, описывает не только поперечные колебания неоднородной стру-
ны, но и продольные колебания неоднородного стержня. Колебательный про-
цесс характеризуется разными упругими свойствами и плотностями участков.
Их длины таковы, что время прохождения волны по каждой из частей оди-
наково.
Условия, определяющие контактные взаимодействия материалов разно-
родных тел, имеют важные значения. При математическом моделировании
учет этих условий сопряжения, соединения (склейки) двух участков с раз-
ными физическими характеристиками материалов, должен соответствовать
условиям непрерывного истечения возбуждаемых волновых процессов.
Цель данной статьи состоит в разработке аналитического подхода построе-
ния функции граничного управления одномерными колебательными неод-
нородными процессами, переводящими колебания за заданный промежуток
времени из начального состояния через многоточечные промежуточные со-
стояния в конечное состояние.
2. Постановка задачи
Рассматриваются колебания распределенной кусочно-однородной среды,
расположенной вдоль отрезка -l1 ≤ x ≤ l и состоящей из двух участков: уча-
сток -l1 ≤ x ≤ 0 и участка 0 ≤ x ≤ l. Скорость прохождения по участкам
67
√
ki
волны обозначим ai =
, где ρi = const плотность, ki = const модуль
ρi
Юнга, i = 1, 2. Следуя [9], предполагается, что длины l1 и l участков выбра-
ны так, что время прохождения волны по участку -l1 ≤ x ≤ 0 совпадает со
временем прохождения волны по участку 0 ≤ x ≤ l, т.е.
l1
l
(2.1)
=
a1
a2
Отметим, что описанным колебательным неоднородным процессом могут
быть продольные колебания кусочно-однородного стержня (ρ плотность,
k модуль упругости) или поперечные колебания кусочно-однородной стру-
ны (ρ плотность, k натяжение струны).
Пусть состояние (продольные колебания) стержня (или поперечные коле-
бания струны), представлено функцией Q(x, t), -l1 ≤ x ≤ l, 0 ≤ t ≤ T . От-
клонение от состояния равновесия описывается уравнением
∂2Q(x,t)
a2
,
-l1 ≤ x ≤ 0,
0≤t≤T
∂2Q(x, t)
1
∂x2
(2.2)
=
∂t2
2
Q(x, t)
a2 ∂
,
0≤x≤l,
0≤t≤T
2
∂x2
с граничными условиями
(2.3)
Q(-l1
,t) = µ(t), Q(l,t) = ν(t),
0≤t≤T,
и с условиями сопряжения в точке x = 0 соединения участков
Q(0 - 0, t) = Q(0 + 0, t)
∂Q(x,t)
∂Q(x,t)
(2.4)
a21ρ1
=a22ρ2
∂x x=0-0
∂x x=0+0
Пусть заданы начальные (при t = t0 = 0) и конечные (при t = T ) условия
∂Q(x,t)
(2.5)
Q(x, 0) = ϕ0(x),
= ψ0(x),
-l1
≤x≤l,
∂t
t=0
∂Q
(2.6)
Q(x, T ) = ϕT (x),
= ψT(x),
-l1
≤x≤l.
∂t
t=T
Пусть также в некоторые промежуточные моменты времени tk (k = 1,
...,m)
0=t0 <t1 <...<tm <tm+1 =T
заданы значения функции состояния в виде
(2.7)
Q(x, ti) = ϕi(x),
-l1
≤ x ≤ l, i = 1,...,m.
68
В формуле (2.3) функции µ(t) и ν(t) управляющие воздействия (гра-
ничные управления).
Предполагается, что функция Q(x, t)∈ C2(ΩT ), где ΩT = {(x, t): x ∈[-l1, l],
t∈[0,T]}, а функции ϕi(x)∈C2[-l1,l], i = 0,1,...,m,m + 1, ψ0(x), ψT(x)∈
∈C1[-l1,l].
Предполагается также, что все функции такие, что выполняются следую-
щие условия согласования.
µ(0) = ϕ0(-l1),
µ(0) = ψ0(-l1), ν(0) = ϕ0(l),
ν(0) = ψ0(l),
(2.8)
µ(ti) = ϕi(-l1), ν(ti) = ϕi(l), i = 1, . . . , m,
µ(T ) = ϕT (-l1),
µ(T ) = ψT (-l1), ν(T ) = ϕT (l),
ν(T ) = ψT (l).
Задача граничного управления. Требуется найти управления µ(t) и ν(t)
(0 ≤ t ≤ T ), переводящие колебания системы (2.2) из заданного начального
состояния (2.5) через промежуточные состояния (2.7) в конечное состояние
(при t = T ) (2.6).
Отметим, что условия сопряжения в точке стыка x = 0 (2.4) выполня-
ются и для функции ϕ0(x), ϕT (x), ϕi(x), i = 1, . . . , m.
3. Сведение задачи к задаче с нулевыми граничными условиями
Для решения поставленной задачи перейдем к новой переменной [21]
{ a2
x,
-l1 ≤ x ≤ 0,
(3.1)
ξ = a1
x,
0≤x≤l,
что приводит к растяжению или сжатию отрезка -l1 ≤ x ≤ 0 относительно
точки x = 0. При этом с учетом (2.1) будем иметь, что отрезок -l1 ≤ x ≤ 0
переходит к отрезку -l ≤ ξ ≤ 0. Для функции Q(ξ, t) получим на отрезках
одинаковой длины одинаковое уравнение
∂2Q(ξ,t)
a2
,
-l ≤ ξ ≤ 0,
0≤t≤T
2
∂2Q(ξ, t)
∂ξ2
=
∂t2
∂2Q(ξ,t)
a2
,
0≤ξ≤l,
0≤t≤T
2
∂ξ2
или
∂2Q(ξ,t)
∂2Q(ξ,t)
(3.2)
=a2
,
-l ≤ ξ ≤ l,
0≤t≤T
2
∂t2
∂ξ2
с соответствующими граничными условиями
(3.3)
Q(-l, t) = µ(t), Q(l, t) = ν(t),
0≤t≤T,
69
с начальными условиями
∂Q(ξ,t)
(3.4)
Q(ξ, 0) = ϕ0(ξ),
=ψ0
(ξ),
-l ≤ x ≤ l,
∂t
t=0
промежуточными условиями
(3.5)
Q(ξ, ti) = ϕi
(ξ),
-l ≤ ξ ≤ l, i = 1,... ,m,
с конечными условиями
∂Q(ξ,t)
(3.6)
Q(ξ, T ) = ϕT (ξ),
=ψT
(ξ),
-l ≤ ξ ≤ l,
∂t
t=T
и с условиями сопряжения в точке ξ = 0 соединения участков
∂Q(ξ,t)
∂Q(ξ,t)
(3.7)
Q(0 - 0, t) = Q(0 + 0, t), a1ρ1
|ξ=0-0 = a2ρ2
|ξ=0+0 .
∂ξ
∂ξ
Отметим, что для удобства после замены переменной (3.1) все функции
оставлены в исходных обозначениях.
Так как граничные условия (3.3) неоднородны, решение уравнения (3.2)
построим в виде суммы
(3.8)
Q(ξ, t) = V (ξ, t) + W (ξ, t),
где V (ξ, t) функция с граничными условиями
(3.9)
V (-l, t) = V (l, t) = 0,
требующая определения, а функция W (ξ, t) решение уравнения (3.2) с усло-
виями
(3.10)
W (-l, t) = µ(t), W (l, t) = ν(t).
и и меет вид
1
(3.11)
W (ξ, t) =
[(l - ξ)µ(t) + (l + ξ)ν(t)] .
2l
Подстановка (3.8) в (3.2) с учетом (3.11), приводит к следующему уравне-
нию для определения функции V (ξ, t)
∂2V (ξ,t)
∂2V (ξ,t)
(3.12)
=a2
2
+ F(ξ,t),
-l ≤ ξ ≤ l,
0≤t≤T,
∂t2
∂ξ2
где
1
(3.13)
F (ξ, t) =
[(ξ - l)µ(t) - (ξ + l)ν(t)] .
2l
70
Функция V (ξ, t) удовлетворяет соответствующему (3.7) условию сопряже-
ния в точке ξ = 0 соединения участков. Отметим, что согласно (3.1) будем
иметь
ϕ0(-l1) = ϕ0(-l), ϕi(-l1) = ϕi(-l), ϕT (-l1) = ϕT (-l),
(3.14)
ψ0(-l1) = ψ0(-l), ψT (-l1) = ψT
(-l).
В силу начальных, промежуточных и конечных условий, соответственно
(3.4)-(3.6), функция V (ξ, t) должна удовлетворять следующим начальным
1
V (ξ, 0) = ϕ0(ξ) -
[(l - ξ)µ(0) + (l + ξ)ν(0)] ,
2l
∂V (ξ,t)
1
(3.15)
= ψ0(ξ) -
[(l - ξ) µ(0) + (l + ξ) ν(0)] ,
∂t
2l
t=0
промежуточным условиям
1
(3.16)
V (ξ, ti) = ϕi(ξ) -
[(l - ξ)µ(ti) + (l + ξ)ν(ti
)] ,
i = 1,...,m,
2l
и конечным условиям
1
V (ξ, T ) = ϕT (ξ) -
[(l - ξ)µ(T ) + (l + ξ)ν(T )] ,
2l
∂V (ξ,t)
1
(3.17)
= ψT(ξ) -
[(l - ξ) µ(T ) + (l + ξ) ν(T )] .
∂t
2l
t=T
С учетом условий (2.8) и (3.14), условия (3.15)-(3.17) запишутся следую-
щим образом, соответственно:
1
V (ξ, 0) = ϕ0(ξ) -
[(l - ξ)ϕ0(-l) + (l + ξ)ϕ0(l)] ,
2l
∂V (ξ,t)
1
(3.18)
= ψ0(ξ) -
[(l - ξ)ψ0(-l) + (l + ξ)ψ0
(l)] ,
∂t
2l
t=0
1
(3.19)
V (ξ, ti) = ϕi(ξ) -
[(l - ξ)ϕi(-l) + (l + ξ)ϕi
(l)] ,
i = 1,...,m,
2l
1
V (ξ, T ) = ϕT (ξ) -
[(l - ξ)ϕT (-l) + (l + ξ)ϕT (l)] ,
2l
∂V (ξ,t)
1
(3.20)
= ψT(ξ) -
[(l - ξ)ψT (-l) + (l + ξ)ψT
(l)] .
∂t
2l
t=T
Таким образом, решение задачи сведено к задаче управления колебани-
ем, описываемым уравнением (3.12) с однородными граничными условиями
(3.9), которая формулируется следующим образом: требуется найти такие
граничные управления µ(t) и ν(t), 0 ≤ t ≤ T , под воздействием которых ко-
лебание, описываемое уравнением (3.12) с граничными условиями (3.9), пе-
реходит из заданного начального состояния (3.18) через промежуточные со-
стояния (3.19) в конечное состояние (3.20).
71
4. Решение задачи
Решение уравнения (3.12), с учетом граничных условий (3.9) и условия
согласованности, ищем в виде
l
∫
∑
πkξ
1
πkξ
(4.1)
V (ξ, t) =
Vk(t)sin
,
Vk(t) =
V (ξ, t) sin
dξ.
l
l
l
k=1
-l
Функции F (ξ, t), ϕi(ξ) (i = 0, 1, . . . , m + 1), ψ0(ξ) и ψT (ξ) представим в виде{
}
рядов Фурье, в базисе sinπkξ
(k = 1, 2, . . .), и, подставив их значения вместе
l
с V (ξ,t) в уравнения (3.12), (3.13) и в условия (3.18)-(3.20), получим
)2
(a2πk
(4.2)
Vk(t) + λ2kVk(t) = Fk(t), λ2k =
,
k = 1,2,...,
l
[
(
)
]
a2
(4.3)
Fk(t) =
ν(t)
2(-1)k - 1
- µ(t) ,
λkl
[
(
)]
Vk(0) = ϕ(0)k -a2
ϕ0(-l) -ϕ0(l)
2(-1)k - 1
,
λkl
[
(
)]
(4.4)
Vk(0) = ψ(0)k -a2
ψ0(-l) - ψ0(l)
2(-1)k - 1
,
λkl
[
(
)]
(4.5)
Vk(ti) = ϕ(i)k -a2
ϕi(-l) -ϕi(l) 2(-1)k - 1
,
λkl
[
(
)]
Vk(T) = ϕ(T)k -a2
ϕT (-l) -ϕT (l) 2(-1)k - 1
,
λkl
[
(
)]
(4.6)
Vk(T) = ψ(T)k -a2
ψT (-l) - ψT (l)
2(-1)k - 1
λkl
Здесь коэффициенты Фурье функции F (ξ, t), ϕi(ξ) (i = 0, 1, . . . , m, m + 1),
ψ0(ξ) и ψT (ξ) обозначены через Fk(t), ϕ(i)k (i = 0,1,... ,m,m + 1), ψ(0)k и ψ(T)k
соответственно.
Общее решение уравнения (4.2) с условиями (4.4) и его производная имеют
вид
t
∫
1
1
Vk(t) = Vk(0)cos λkt +
Vk(0)sin λkt +
Fk(τ) sin λk(t - τ)dτ,
λk
λk
0
∫t
(4.7)
Vk(t) = -λkVk(0)sin λkt +Vk(0)cos λkt + Fk(τ)cos λk
(t - τ)dτ.
0
Следуя [2-6, 22], с учетом условий (4.5) и (4.6) из (4.7), получим, что функции
управления µ(t) и ν(t) для каждого k удовлетворяют следующим интеграль-
72
ным соотношениям:
∫
T
∫
T
µ(τ) sin λk (T - τ) dτ + Ek ν(τ) sin λk (T - τ) dτ = C1k(T ),
0
0
T
T
∫
∫
(4.8)
µ(τ) cos λk (T - τ) dτ + Ek ν(τ) cos λk (T - τ) dτ = C2k(T ),
0
0
∫
T
∫
T
(i)
µ(τ)h(i)
(τ)dτ + Ek ν(τ)h
(τ) dτ = C1k(ti), i = 1, . . . , m
k
k
0
0
где
]
1
[λkl˜
C1k(T) =
C1k + X1k + EkY1k
,
λ2
a2
k
C1k = λkVk(T) - λkVk(0)cos λkT -Vk(0)sin λkT,
]
1
[λkl˜
C2k(T) =
C2k + X2k + EkY2k
,
λ2
a2
k
C2k =Vk(T) + λkVk(0)sin λkT -Vk(0)cos λkT,
]
1
[λkl
C1k(ti) =
C1k(ti) + X(i)1k + EkY(i)1k ,
λ2
a2
k
C1k(ti) = λkVk(ti) - λkVk(0)cos λkti -Vk(0)sin λkti,
(4.9)
X1k = λkϕT (-l) - ψ0(-l)sin λkT - λkϕ0(-l)cos λkT, Ek = 1 - 2(-1)k,
X2k = ψT (-l) - ψ0(-l)cos λkT + λkϕ0(-l)sin λkT,
Y1k = λkϕT (l) - ψ0(l)sin λkT - λkϕ0(l)cos λkT,
Y2k = ψT (l) - ψ0(l)cos λkT + λkϕ0(l)sin λkT,
X(i)1k = λkϕi(-l) - ψ0(-l)sin λkti - λkϕ0(-l)cos λkti,
Y (i)1k = λkϕi(l) - ψ0(l)sinλkti - λkϕ0(l)cos λkti,
{ sin λk(ti - τ) при 0≤τ ≤ti
h(i)k(τ) =
0
при ti < τ ≤ T.
Обозначим
sin λk (T - τ) Ek sin λk
(T - τ)
cos λk (T - τ) Ek cos λk (T - τ)
Hk(τ) =
h(1)k (τ)
Ekh(1)k (τ)
,
h(m)k (τ)
Ekh(m)k (τ)
73
C1k(T)
C2k(T)
Ck(t1,... ,tm,T) =
C1k(t1)
,
C1k(tm-1)
(
)
µ(τ)
(4.10)
U (τ) =
ν(τ)
Равенство (4.8) примет вид
T
∫
(4.11)
Hk(τ)U(τ)dτ = Ck(t1,... ,tm
,T), k = 1,2,
0
Следовательно, для нахождения функции U (τ), τ ∈ [0, T ], получаются бес-
конечные интегральные соотношения (4.11).
На практике задача синтеза управления распределенной системой ре-
шается, используя методы теории управления конечномерными системами
[1, 22, 23]. Следовательно, для первых n гармоник, из (4.11) будем иметь
T
∫
(4.12)
Hn(τ)Un(τ)dτ = ηn,
0
где введены следующие обозначения блочных матриц
H1(τ)
C1(t1,... ,tm,T)
H2(τ)
C2(t1,... ,tm,T)
(4.13)
Hn(τ) =
,
ηn =
Hn(τ)
Cn(t1,... ,tm,T)
с размерностями Hn(τ) (n (m + 2) × 2), ηn (n (m + 2) × 1). Здесь и далее
обозначение в нижнем индексе буквы “n” будет означать
“для первых n
гармоник”.
Таким образом, из (4.12) следует, что первые n гармоники системы (4.2)
с условиями (4.3)-(4.6) вполне управляемы тогда и только тогда, когда для
любого вектора ηn (4.13) можно найти управление Un(t), t ∈ [0, T ], удовлетво-
ряющее условию (4.12).
Управляющее воздействие Un(t), удовлетворяющее интегральному соот-
ношению (4.12), представим в виде [22, 23]
(4.14)
Un(t) = HTn (t)S-1nηn + fn(t),
74
где HTn (t) транспонированная матрица, fn(t) вектор-функция и такая,
что
∫
T
∫
T
(4.15)
Hn(t)fn(t)dt = 0, Sn = Hn (t)HTn
(t)dt.
0
0
Здесь Sn известная матрица размерностью (n (m + 2) × n (m + 2)), для ко-
торой предполагается, что det Sn = 0.
Из формулы (4.14) следует, что существует множество управляющих
функций, решающих задачу граничного управления.
Учитывая обозначения функции h(i)k(τ) для промежутков времени [ti-1, ti],
i = 1,...,m + 1 функции управления µn(t) и νn(t) (при fn(t) = 0) представ-
ляются в виде:
µn1)(t),
0≤t≤t1
νn1)(t),
0≤t≤t1
µn2)(t),
t1 <t≤ t2
νn2)(t),
t1 <t≤ t2
(4.16) µn(t) =
νn(t) =
µnm)(t),
tm-1 < t≤ tm
νnm)(t), tm-1 < t≤ tm
µ(m+1)n(t), tm <t≤ T,
ν(m+1)n(t), tm < t≤T.
Подставляя построенные выражения для функции µn(t) и νn(t) в (4.3),
а найденное для Fk(t) выражение в (4.7), получим функцию Vk (t), t ∈ [0, T ].
Далее, из формулы (4.1) будем иметь
∑
πk
(4.17)
Vn(ξ,t) =
Vk(t)sin
ξ,
l
k=1
а с помощью (3.7) и (3.10) функция колебания Qn(ξ,t), -l ≤ ξ ≤ l для первых
n гармоник запишется в виде
(4.18)
Qn(ξ,t) = Vn(ξ,t) + Wn(ξ, t),
где
1
(4.19)
Wn(ξ,t) =
[(l - ξ)µn(t) + (l + ξ)νn
(t)] .
2l
Учитывая обозначения (3.1), функция Qn(x, t) при -l1 ≤ x ≤ l представ-
ляется в виде:
[(
)
(
)
]
∑
πk
1
x
x
Vk(t)sin
x+
1-
µn(t) +
1+
νn(t) ,
l1
2
l1
l1
k=1
-l1 ≤ x ≤ 0,
0≤t≤T
(4.20) Qn(x, t) =
(
]
∑
πk
1[(
x)
x)
Vk(t)sin
x+
1-
µn(t) +
1+
νn(t) ,
l
2
l
l
k=1
0≤x≤l,
0≤t≤T.
Здесь функции управления µn(t) и νn(t) имеют вид (4.17).
75
5. Пример
Для иллюстрации вышеизложенного построения предположим, что в гра-
ничных условиях (2.3) правый конец закреплен: Q(l, t) = 0, 0 ≤ t ≤ T (т.е.
ν(t) = 0). Рассмотрим случай m = 1, т.е. когда в одном промежуточном мо-
менте времени t1 (0 < t1 < T ) задано состояние колебания:
Q(x, t1) = ϕ1(x),
-l1 ≤ x ≤ l.
В этом случае из формулы (4.3) следует Fk(t) = - a2λkl µ(t), а согласно фор-
мулам (4.8) будем иметь следующие интегральные соотношения:
∫
T
∫
T
µ(τ) sin λk (T - τ) dτ = C1k(T ),
µ(τ) cos λk (T - τ) dτ = C2k(T ),
0
0
T
∫
µ(τ)h(1)k(τ) dτ = C1k(t1), k = 1, 2, . . . ,
0
где
]
]
1
[λkl
1
[λkl
C1k(T) =
C1k + X1k
,
C2k(T) =
C2k + X2k
,
λ2
a2
λ2
a2
k
k
]
1
[λkl
C1k(t1) =
C1k(t1) + X(1)1k
λ2
a2
k
Постоянны
C1k
C2k
C1k(t1),X1k,X2k и X(1)1k определяются из формулы (4.9).
Следовательно,
sin λk(T - τ)
C1k(T)
Hk(τ) = cos λk(T - τ)
, Ck(t1,T) =
C2k(T)
, k = 1,2,
h(1)k(τ)
C1k(t1)
Для простоты изложения, согласно формуле (4.12) (или (4.14)), (4.13),
построим функцию граничного управления µn(t) при n = 1 (следовательно,
k = 1). Тогда, согласно (4.10), будем иметь H1(τ) =H1(τ), η1 = C1, а из (4.15),
элементы матрицы
s11 s12
s13
S1 = s21 s22 s23
.
s31
s32
s33
Элементы матрицы S1, согласно обозначениям (4.15), имеют следующий
вид:
T
1
1
T
1
s11 =
-
sin 2λ1T, s12 = s21 =
sin2 λ1T, s22 =
+
sin 2λ1T,
2
4λ1
2λ1
2
4λ1
76
t1
1
s13 = s31 =
cos λ1 (T - t1) -
sin λ1t1 cos λ1T,
2
2λ1
1
t1
t1
1
s23 = s32 =
sin λ1t1 sin λ1T -
sin λ1 (T - t1) , s33 =
-
sin 2λ1t1,
2λ1
2
2
4λ1
при этом Δ = det S1 = 0.
⌢
⌢
⌢
s
s12
s13
11
⌢
⌢
⌢
Обозначим S-11 =
s21
s22
s23
,
⌢
⌢
⌢
s31
s32
s33
где
[(
)
⌢
1
T
1
)(t1
1
s11
=
+
sin 2λ1T
-
sin 2λ1t1
-
Δ
2
4λ1
2
4λ1
(
)2]
1
t1
-
sin λ1t1 sin λ1T -
sin λ1 (T - t1)
,
2λ1
2
[(
)
⌢
⌢
1
t1
1
s12
=
s21 =
cos λ1 (T - t1) -
sin λ1t1 cos λ1T
×
Δ
2
2λ1
(
)
1
t1
×
sin λ1t1 sin λ1T -
sin λ1 (T - t1)
-
2λ1
2
(
)]
1
1
)(t1
1
-
-
cos2 λ1T
-
sin 2λ1t1
,
2λ1
2λ1
2
4λ1
[(
)(
)
⌢
⌢
1
1
1
1
t1
s13
=
s31 =
-
cos2 λ1T
sin λ1t1 sin λ1T -
sin λ1(T - t1)
-
Δ
2λ1
2λ1
2λ1
2
)(
)]
(t1
1
T
1
−
cos λ1 (T - t1) -
sin λ1t1 cos λ1T
+
sin 2λ1T
,
2
2λ1
2
4λ1
[(
)
⌢
1
T
1
)(t1
1
s22
=
-
sin 2λ1T
-
sin 2λ1t1
-
Δ
2
4λ1
2
4λ1
]
(
)2
t1
1
−
cos λ1 (T - t1) -
sin λ1t1 cos λ1T
,
2
2λ1
[(
)(
)
⌢
⌢
1
1
1
t1
1
s23
=
s32 =
-
cos2 λ1T
cos λ1(T - t1) -
sin λ1t1 cos λ1T
-
Δ
2λ1
2λ1
2
2λ1
)(
)]
(T
1
1
t1
-
-
sin 2λ1T
sin λ1t1 sin λ1T -
sin λ1 (T - t1)
,
2
4λ1
2λ1
2
]
[(
)
(
)2
⌢
1
T2
1
1
1
s33
=
-
sin2 λ1T cos2 λ1T
-
-
cos2 λ1T
Δ
4
4λ21
2λ1
2λ1
77
Из формулы (4.14) следует, что µ1(τ) = HT1 (τ)S-11η1 + f1(τ). Предполагая,
что f1(τ) = 0, согласно (4.16), получим
при τ ∈ [0, t1]
[
]
⌢
µ(1)1(τ) = sin λ1 (T - τ)
s13C11(t1) +
[
]
s23C11(t1) +
[
]
⌢
+ sin λ1 (t1 - τ)
s33C11(t1) ,
при τ ∈ (t1, T ]
[
]
⌢
µ(2)1(τ) = sin λ1 (T - τ)
s13C11(t1) +
[
]
s23C11(t1)
Отметим, что согласно формулам (4.17)-(4.19) будем иметь Q1(ξ, t) при
-l ≤ ξ ≤ l в виде
π
1
V1(t)sin
ξ+
(l - ξ)µ(1)1(t),
0≤τ ≤t1
l
2l
Q1(ξ,t) =
1
V1(t)sinπξ+
(l - ξ)µ(2)1(t), t1 < τ ≤ T.
l
2l
Учитывая обозначения (3.1) функция состояния Qn(x, t) при -l1 ≤ x ≤ l
представляется в виде:
при τ ∈ [0, t1]
(
)
π
1
x
V1(t)sin
x+
1-
µ(1)1(t),
-l1 ≤ x ≤ 0,
l1
2
l1
Q1(x,t) =
1(
x)
V1(t)sinπx+
1-
µ(1)1(t),
0≤x≤l,
l
2
l
при τ ∈ (t1, T ]
(
)
π
1
x
V1(t)sin
x+
1-
µ(2)1(t),
-l1 ≤ x ≤ 0,
l1
2
l1
Q1(x,t) =
1(
x)
V1(t)sinπx+
1-
µ(2)1(t),
0≤x≤l.
l
2
l
6. Заключение
В работе рассмотрена задача граничного управления одномерным волно-
вым уравнением, описывающим поперечные колебания кусочно-однородной
струны или продольные колебания кусочно-однородного стержня. Предло-
жен конструктивный подход построения функции граничного управления
78
одномерными неоднородными колебательными процессами. При этом явное
выражение функции граничного управления представлено через заданные
начальные, промежуточные и конечные функции состояния распределенной
системы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными парамет-
рами. М.: Наука, 1975.
2.
Barseghyan V.R. Control Problem of String Vibrations with Inseparable Multipoint
Conditions at Intermediate Points in Time // Mechanics of Solids. 2019. Vol. 54,
3.
Barsegyan V.R. The problem of optimal control of string vibrations // International
Applied Mechanics, 56(4), (2020), 471-48.
4.
Барсегян В.Р. Задача оптимального управления колебаниями струны с неразде-
ленными условиями на функции состояния в заданные промежуточные моменты
Barseghyan V.R. Optimal control of string vibrations with nonseparate state function
conditions at given intermediate instants // Autom. Remote Control. 2020. V. 81.
No. 2. P. 226-235.
5.
Barseghyan V., Solodusha S. Optimal Boundary Control of String Vibrations with
Given Shape of Deflection at a Certain Moment of Time. Mathematical Optimization
Theory and Operations Research. MOTOR 2021 // Lecture Notes in Computer
6.
Barseghyan V., Solodusha S. On One Problem in Optimal Boundary Control for
String Vibrations with a Given Velocity of Points at an Intermediate Moment of
Time // Conference Paper. Publisher: IEEE. 2021 International Russian Automation
Conference (RusAutoCon). P. 343-349.
7.
Barseghyan V.R. On the controllability and observability of linear dynamic systems
with variable structure // Proceedings of 2016 International Conference “Stability
and Oscillations of Nonlinear Control Systems” (Pyatnitskiy’s Conference), STAB
8.
Львова Н.Н. Оптимальное управление некоторой распределенной неоднородной
колебательной системой // АиТ. 1973. № 10. С. 22-32.
9.
Ильин В.А. Оптимизация граничного управления колебаниями стержня, со-
стоящего из двух разнородных участков // Доклады РАН. 2011. Т. 440. № 2.
С. 159-163.
10.
Ильин В.А. О приведении в произвольно заданное состояние колебаний перво-
начально покоящегося стержня, состоящего из двух разнородных участков //
Доклады РАН. 2010. Т. 435. № 6. С. 732-735.
11.
Егоров А.И., Знаменская Л.Н. Об управляемости упругих колебаний последо-
вательно соединенных объектов с распределенными параметрами // Тр. ИММ
УрОРАН. 2011. Т. 17. № 1. С. 85-92.
79
12.
Провоторов В.В. Построение граничных управлений в задаче о гашении коле-
баний системы струн // Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. 10.
2012. Вып. 1. С. 62-71.
13.
Amara J. Ben, Bouzidi H. Null boundary controllability of a one-dimensional heat
equation with an internal point mass and variable coefficients // Journal of Mathe-
matical Physics. 2018. V. 59. No. P. 1-22.
14.
Amara J. Ben, Beldi E. Boundary controllability of two vibrating strings connected
by a point mass with variable coefficients // SIAM J. Control Optim. 2019. V. 57.
15.
Mercier D., Régnier V. Boundary controllability of a chain of serially connected
Euler-Bernoulli beams with interior masses // Collectanea Mathematica. 2009. V. 60.
16.
Кулешов А.А. Смешанные задачи для уравнения продольных колебаний неод-
нородного стержня и уравнения поперечных колебаний неоднородной струны,
состоящих из двух участков разной плотности и упругости // Доклады РАН.
2012. Т. 442. № 5. С. 594-597.
17.
Рогожников А.М. Исследование смешанной задачи, описывающей процесс ко-
лебаний стержня, состоящего из нескольких участков, при условии совпадения
времени прохождения волны по каждому из этих участков // Доклады РАН.
2011. Т. 441. № 4. С. 449-451.
18.
Рогожников А.М. Исследование смешанной задачи, описывающей процесс ко-
лебаний стержня, состоящего из нескольких участков с произвольными длина-
ми // Доклады РАН. 2012. Т. 444. С. 488-491.
19.
Аниконов Д.С., Коновалова Д.С. Прямая и обратная задачи для волнового
уравнения с разрывными коэффициентами // Научно-технические ведомости
СПбГПУ. Физико-математические науки. 2018. Т. 11. № 2. С. 61-72.
20.
Зверева М.Б., Найдюк Ф.О., Залукаева Ж.О. Моделирование колебаний сингу-
лярной струны // Вестн. Воронеж. гос. ун-та. Сер.: Физика, математика. 2014.
№ 2. С. 111-119.
21.
Холодовский С.Е., Чухрий П.А. Задача о движении неограниченной кусочно-од-
нородной струны // Учeные записки Забайкальского государственного универ-
ситета. Сер. Физика, математика, техника, технология. 2018. Т. 13. № 4. С. 42-50.
22.
Барсегян В.Р. Управление составных динамических систем и систем с многото-
чечными промежуточными условиями. М.: Наука, 2016.
23.
Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975.
Статья представлена к публикации членом редколлегии А.Г. Кушнером.
Поступила в редакцию 08.03.2022
После доработки 15.09.2022
Принята к публикации 26.10.2022
80
