Автоматика и телемеханика, № 2, 2023

Нелинейные системы

(Институт радиотехнических систем и управления

Южного федерального университета, Таганрог)

СИНТЕЗ НЕЛИНЕЙНЫХ СЕЛЕКТИВНО-ИНВАРИАНТНЫХ

СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ НА ОСНОВЕ

КВАЗИЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ¹

Разработан оригинальный аналитический метод синтеза селективно-ин-

вариантных систем управления нелинейными объектами с дифференци-

руемыми нелинейностями. Задача синтеза решается с применением ме-

тода синтеза нелинейных систем управления на основе квазилинейной

модели нелинейных объектов и принципа внутренних моделей внешних

воздействий с учетом требований к относительному порядку устройства

управления и быстродействию синтезируемой системы. Параметры нели-

нейного устройства управления определяются решением системы линей-

ных алгебраических уравнений. Предложенный метод может применять-

ся для синтеза систем управления нелинейными объектами различного

назначения, работающими в условиях регулярных внешних воздействий

известной формы.

Ключевые слова: нелинейный объект, дифференцируемая нелинейность,

квазилинейная модель, селективно-инвариантная система, воздействие,

спектр, спектральная модель, устойчивость, грубость.

DOI: 10.31857/S0005231023020058, EDN: ONBOCY

1. Введение

На практике часто встречаются объекты управления, подверженные влия-

нию регулярных внешних воздействий известной формы. К таким объектам

относятся электромеханические системы, электро- и пневмоприводы, мобиль-

ные роботы, беспилотные летательные аппараты, зерноуборочные комбайны

и многие другие объекты [1-6]. Системы управления этими объектами обычно

должны обеспечить полное парирование влияния этих воздействий в устано-

вившемся режиме. Как известно, наиболее эффективным способом решения

этой задачи является обеспечение инвариантности систем автоматического

управления (САУ) к внешним воздействиям. Однако условия обеспечения

абсолютной инвариантности чаще всего недостижимы, поэтому применяется

¹ Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект

№ 22-29-00533).

селективная инвариантность, для обеспечения которой в систему вводятся

модели внешних воздействий, что обуславливает существенное увеличение

порядка и сложности устройства управления.

Традиционно синтез селективно-инвариантных САУ осуществляется на

основе линейных моделей объектов управления (ОУ) [1, 2, 7-12] и принци-

па внутренних моделей внешних воздействий. В некоторых работах внешние

воздействия рассматриваемого типа называются ¾конечномерными¿ воздей-

ствиями [12, 13], однако задача синтеза систем управления решается также

на основе принципа внутренних моделей.

Повышенные требования к качеству САУ приводят к необходимости ис-

пользования нелинейных моделей ОУ [13-19]. При использовании известных

методов синтеза нелинейных САУ, таких как преобразование модели ОУ к ка-

нонической форме Бруновского, линеаризация обратными связями по состоя-

нию, метод бэкстеппинга, пассификации и др., обычно предполагается, что

нелинейности объекта являются дифференцируемыми, а их переменные со-

стояния измеряемыми. Однако применение указанных методов синтеза нели-

нейных САУ осложнено необходимостью приведения нелинейных моделей ОУ

к специальным формам, что требует поиска подходящих нелинейных преоб-

разований.

В работах В.О. Никифорова, А.А. Бобцова и др. (см. [13]) рассматрива-

ются нелинейные системы, подверженные влиянию конечномерных внешних

возмущений. Задача парирования их влияния на систему также решается на

основе принципа внутренних моделей с применением метода функций Ляпу-

нова, но при условии, что для невозмущенного объекта известны: а) стабили-

зирующее управление и б) функция Ляпунова, которая позволяет доказать

устойчивость положения равновесия замкнутой невозмущенной системы.

В предлагаемом подходе к синтезу нелинейных селективно-инвариантных

систем управления нелинейными объектами учитываются и задающее, и воз-

мущающее внешние воздействия. Для решения задачи здесь используется

метод синтеза нелинейных систем управления на основе квазилинейных мо-

делей (КЛМ) нелинейных объектов, предложенный в [20, 21]. Преимущество

этого метода по сравнению с указанными выше методами синтеза нелиней-

ных систем [14-19] заключается в том, что для построения КЛМ требует-

ся лишь дифференцируемость нелинейностей объекта по всем их аргумен-

там, а параметры нелинейного устройства управления определяются реше-

нием разрешающей системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Условия разрешимости рассматриваемой задачи синтеза нелинейных се-

лективно-инвариантных САУ определяются свойством полноты (управляе-

мости и наблюдаемости) канала ¾управление-выход¿ КЛМ нелинейного

объекта и соотношением спектров внешних воздействий и нулей передачи

последней.

Очень часто функциональные матрицы управляемости или наблюдаемо-

сти КЛМ объекта управления оказываются неособыми лишь в ограниченной

окрестности его положения равновесия. В этом случае положение равнове-

сия синтезированной нелинейной системы является асимптотически устой-

чивым в большом [22, 23]. Если же условия полноты выполняются во всем

пространстве состояний ОУ и обратные связи выбраны так, что функцио-

нальная матрица разрешающей СЛАУ является неособой также во всем про-

странстве состояний ОУ, то положение равновесия замкнутой системы может

быть асимптотически устойчивым в целом. Последнее может быть установле-

но на основе теоремы, доказанной в [20]. Матрицы и векторы квазилинейных

моделей являются функциями переменных состояния [20-23], но, как ока-

залось, это не является препятствием для аналитического решения задачи

синтеза нелинейных селективно-инвариантных систем управления.

2. Постановка задачи

Система управления называется селективно-инвариантной, если в ее со-

ставе имеется модель внешнего воздействия (ВВ), а отклонение системы,

вызванное этим воздействием, равно нулю в установившемся режиме [9-11].

Такая модель называется экзогенной [8, с. 168] или внутренней [10, 22]. Ма-

тематические модели ВВ это однородные дифференциальные уравнения

(ДУ). Они могут быть представлены или операторами этих уравнений, или

соответствующими ДУ в форме Коши (в переменных состояния) [7-13]. Неко-

торые особенности и примеры моделей воздействий приведены в Приложе-

нии. Если в устойчивой системе есть модель воздействия, то, как только воз-

действие начинает влиять на систему, модель генерирует сигнал, полностью

парирующий его влияние в установившемся режиме. При этом соответст-

вующие начальные условия этой модели устанавливаются автоматически в

течение переходного процесса, возникающего в момент приложения этого ВВ

к системе.

Рассматривая задачу синтеза нелинейных селективно-инвариантных си-

стем управления, для определенности будем предполагать, что ОУ в своем

составе не имеет внутренних моделей ВВ или их отдельных составляющих.

Предположим также, что нелинейности ОУ являются дифференцируемыми,

а переменные состояния измеряемыми, что позволяет применить метод син-

теза нелинейных систем управления на основе КЛМ [20-22].

Пусть КЛМ нелинейного ОУ в отклонениях от некоторого установивше-

гося режима имеет вид

(1)

x = A(x)x + b(x)u + b_f(x)f, y = c^T

(x)x,

где x ⊂ Rⁿ вектор состояния ОУ; u, y и f скалярные управление, управ-

ляемая переменная и внешнее неизмеряемое возмущение; A(x) и b(x), b_f (x),

c(x) известные функциональные n × n-матрица и n-векторы. В [22, 24] при-

веден метод построения квазилинейных моделей типа (1) нелинейных объек-

тов, заданных уравнениями x = ϕ(x, u), y = ψ(x), если ϕ(0, 0) = 0, ψ(0) = 0 и

∂ϕ(x, u)/∂u = ϕ^′u(x), т.е. при условиях, что ϕ(x, u) и ψ(x) дифференцируемые

по всем аргументам функции; x = 0 положение равновесия объекта (1);

частная производная по u от вектор-функции ϕ(x, u) не зависит от u. Здесь

нулевой n-вектор.

Далее рассматриваются полные объекты, т.е. объекты, КЛМ (1) которых

удовлетворяет условиям управляемости и наблюдаемости:



[

]



(2)

det

b(x) A(x)b(x) . . . A^n-1(x)b(x)

≥ε_y

> 0,



[

]



det

c(x) A^T(x)c(x) . . . (A^T(x))^n-1c(x)

 ≥ ε_н > 0, ∀x ⊂ Ω_УН ∈ Rⁿ,

где ε_y, ε_н некоторые постоянные; Ω_УН некоторая окрестность точки x = 0

[22].

В синтезируемой селективно-инвариантной системе применяется нелиней-

ное устройство управления (НУУ), предложенное в [20, 21]. В данном случае

его уравнения имеют вид:

∑

(3)

Ż = R(x)z + q(x)g - l(x)y -

l_i(x)x_i, u = k^T

(x)z,

i=1

где z ⊂ R^r вектор состояния НУУ, g скалярное задающее воздействие;

R(x) и q(x), l(x), l_i(x), i = 1, . . . , q функциональные r × r-матрица и r-век-

торы; q число переменных состояния x_i ∈ x, используемых в НУУ (3) и

перенумерованных в порядке возрастания x₁, . . . x_q, q ≤ n. Значение r, пе-

ременные x_i и число q определяются при формировании матрицы G_y (22)

разрешающей СЛАУ (см. ниже). Уравнения (3) отличаются от приведенных

в [20] только тем, что здесь учитываются связи по задающему воздействию

и управляемой переменной, а обратные связи могут вводиться не по всем

переменным состояния.

Имея в виду синтез нелинейных селективно-инвариантных систем управ-

ления (1)-(3), будем предполагать, что известны спектральные модели в ви-

де K_p-изображений задающего воздействия g = g(t) и возмущения f = f(t),

т.е. известны операторы-полиномы G(p) и F (p) степеней ν_g = deg G(p) и

ν_f = deg F(p), где p оператор d/dt, такие, что G(p)g(t) ≡ 0 и F(p)f(t) ≡ 0.

Пусть полином Φ(p) = НОК{G(p)F (p)}, где НОК наименьшее общее крат-

ное [10, 11]. Операторное уравнение ¾вход-выход¿ замкнутой системы (1), (3)

относительно отклонения ε = g - y можно записать следующим образом:

H(p, x)ε = H_εg(p, x)g - H_f (p, x)f,

(4)

H_εg(p,x) = H(p,x) - H_g(p,x),

где H(p, x), H_g(p, x), H_f (p, x) некоторые полиномы от p, коэффициенты ко-

торых являются функциями переменных состояния x_i, i = 1, n [20, 22]. Вы-

вод этих полиномов на основе уравнений (1) и (3) дан в Приложении. На

основе уравнения (4) условия селективной инвариантности системы (1), (3)

по отношению к воздействиям g = g(t) и f = f(t) имеют вид:

H_εg(p,x) =Hεg(p,x)G(p),

(5)

H_f(p,x) =Hf(p,x)F(p),

∀x⊂Ω_УН ∈Rⁿ,

где

H_εg(p,x),

H_f(p,x)

полиномы того же типа, что и в (4), но более низ-

ких степеней. При этом задача синтеза имеет решение при выполнении усло-

вий (2) и

(6)

НОД{B(p, x), Φ(p)} = const,

НОД{H(p, x), Φ(p)} = const,

∀x⊂Ω_УН ∈Rⁿ.

Условия (2) и первое условие (6) являются необходимыми условиями раз-

решимости рассматриваемой задачи синтеза, так как они включают характе-

ристики заданных ОУ и ВВ. Физический смысл первого условия (6) заклю-

чается в непересекаемости спектров воздействий g(t) и f(t) с нулями пере-

дачи объекта по каналу u → y, что позволяет воспроизвести на выходе си-

стемы задающее воздействие и парировать влияние возмущения [10]. Второе

условие (6) это условие непересекаемости спектров воздействий g(t) и f(t)

с корнями характеристического полинома замкнутой системы. Это условие

является конструктивным и всегда может быть выполнено, если выполнены

указанные выше необходимые условия разрешимости.

Таким образом, для решения задачи синтеза необходимо выбрать пара-

метры функциональных матриц и векторов в (3) так, чтобы выполнялись

условия селективной инвариантности (5), условия устойчивости, заданной

длительности переходных процессов и условия физической реализуемости с

учетом µ_нуу относительного порядка НУУ [22, 25].

3. Решение задачи

Исключив из уравнений (1), (3) управление u и записав полученные урав-

нения в векторно-матричной форме, получим КЛМ замкнутой системы в пе-

ременных состояния:

(7)

w = H(x)w + h(x)g + h_f(x)f, y = [c^T(x)

]w,

где w = [x^T z^T]^T ∈ R^ℓ, ℓ = n + r, 0 нулевой r-вектор,

[

]

A(x) b(x)k^T(x)

H(x) =

-Π(x) R(x)

(8)

[

]

[

]

b_f (x)

h(x) =

h_f (x) =

q(x)

где Π(x) = l(x)c^T(x) +

∑ l_i(x)e_i; e_i

i-я строка единичной матрицы E, со-

i=1

ответствующей размерности.

В Приложении показано, что из уравнений (7) с учетом (8) следует урав-

нение ¾вход-выход¿ замкнутой системы

(9)

H(p, x)y = H_g(p, x)g + H_f

(p, x)f,

где

∑

(10)

H(p, x) = A(p, x)R(p, x) + B(p, x)L(p, x) +

L_i(p,x)V_i

(p, x),

i=1

(11)

H_g

(p, x) = B(p, x)Q(p, x),

∑

(12)

H_f(p,x) = B_f(p,x)R(p,x) +

L_i(p,x

N_i

(p, x),

i=1

(

)

(13)

Ń_i(p,x) = B_f(p,x)V_i(p,x) - B(p,x)W_i(p,x) A^-1

(p, x).

В выражениях (9)-(13):

(14)

A(p,x) = det [pE - A(x)] ,

B (p,x) = c^T (x) adj [pE - A(x)] b(x) ,

B_f (p,x) = c^T (x) adj [pE - A(x)] b_f (x);

(15)

R (p,x) = det [pE - R (x)],

L(p,x) = k^T (x)adj [pE - R (x)]l (x) ,

Q(p,x) = k^T (x)adj [pE - R (x)]q (x) ;

(16)

V_i (p,x) = e_i

adj [pE - A (x)] b (x) ,

L_i (p,x) = k^T (x) adj [pE - R (x)]l_i (x),

W_i (p,x) = e_iadj [pE - A(x)]b_f (x), i = 1,q.

Отметим, что в (13) деление на полином A(p, x) происходит нацело. Перей-

дем к решению указанных выше задач по выбору параметров уравнения (3).

Обеспечение селективной инвариантности. В соответствии с определе-

нием система имеет это свойство, если она содержит внутренние модели

ВВ. По условиям задачи ОУ их не содержит, поэтому их необходимо вве-

сти в УУ. С этой целью его характеристический полином берется в ви-

де R(p, x) =R(p, x)Φ(p). Согласно (4) воздействие f(t) умножается на по-

лином (12), равный сумме двух слагаемых; причем в R(p, x) спектральная

модель F (p) имеется, поэтому полагаем L_i(p, x) =Li(p, x)Φ(p). При этом в

уравнении (4) возмущение f(t) будет умножено на F (p); тем самым бу-

дет выполнено второе условие (5) и парировано влияние f(t) на ошибку

системы, так как F (p)f(t) ≡ 0. Аналогично, задающее воздействие g(t) со-

гласно (4) умножается на полином H_εg(p, x) = H(p, x) - H_g(p, x), поэтому

при R(p, x) =R(p, x)Φ(p) и L_i(p, x) =Li(p, x)Φ(p) для выполнения первого

условия (5) необходимо, чтобы L(p, x) - Q(p, x) =Q(p, x)G(p). ЗдесьR(p, x),

Q(p, x) иLi(p, x) некоторые полиномы более низких степеней по сравнению

со степенями полиномов R(p, x), Q(p, x) и L_i(p, x), i = 1, q соответственно.

Обеспечение устойчивости. С этой целью в соответствии с методом син-

теза на основе КЛМ функциональный характеристический полином H(p, x)

степени ℓ = n + r заменяется в (10) гурвицевым полиномом H^∗(p) той же

степени, корни которого являются постоянными, вещественными и различ-

ными числами [20, 22, 23]. В результате с учетом выбранных выше полиномов

R(p, x) иLi(p, x) равенство (10) принимает вид:

∑

(17)

H^∗(p)

A(p, x)R(p, x) + B(p, x)L(p, x) +

V_i(p,x)Li

(p, x),

i=1

гд

A(p, x) = A(p, x)Φ(p)

V_i(p,x) = V_i(p,x)Φ(p) полиномы с известными ко-

эффициентами.

Корни p^∗i полинома H^∗(p) можно выбирать, используя, в частности, усло-

вия:



(18)

Re(p^∗j)≥(5÷7)/t∗,

p^∗j = -σ^∗j, σ^∗j > ε_σ

> 0,



σ^∗j - σ^∗ς

≥ Δ_σ > 0, j = ς, j,ς = 1,ℓ,

здесь t^∗p требуемая длительность переходных процессов [25]; ε_σ, Δ_σ неко-

торые числа.

Обеспечение разрешимости задачи синтеза. Выражение (17) фактически

является полиномиальным уравнением относительно неизвестных полиномов

R(p, x) = ρ₀(x) + ρ₁(x)p + . . . + ρ_r(x)p^r,

L(p, x) = λ₀(x) + λ₁(x)p + . . . + λ_l(x)p^l и

L_i(p,x) =λi,0(x) +λi,1(x)p + ... +λ ˜ (x)pli ._i,l

По [20, 22, 26] уравнение (17) решается путем перехода к эквивалентной ему

СЛАУ:

(19)

Gyd = h г,

где векторы d, h_г определяются выражениями

(20)

d = [λ₀λ1 ...λ_l

λ_1,0 λ_1,1 ...λ1,˜l

λ_q,0 λ_q,1 ...λq,˜l

ρ₀ ρ₁ ... ρ_r]^T,

(21)

h_г = [δ^∗0 δ^∗1 ... δ^∗ℓ]^T,

δ^∗j

коэффициенты гурвицевого полинома H^∗(p), а матрица имеет вид





β₀



v₁₀





β₁

β₀



v_1,1

v₁₀











β₁



v_1,1





···







β_m

... β₀



v1,ς1

v₁₀

···









···

(22) G_у =



β_m

... β₁



v1,ς1

... v_1,1





···

















v1,ς1



... β_m



l+1

столбцов

l₁ + 1

столбцов







α₀

v_q0



α₁

α₀



v_q1

v_q0











α₁



v_q1











... α₀



vq,ςq

v_q0











α_ñ

... α₁



vq,ςq

v_q1











α_ñ









vq,ςq







α_ñ

q +1

столбцов

r+1

столбцов

В выражениях

(19),

(20) G_y = G_y(x), d = d(x), а в

(22) β_j = β_j (x),

v_ij = v_ij(x) и α_j = α_j(x)

функциональные коэффициенты полиномов

B(p, x),

V_i(p,x) и

A(p, x) при p^j; для краткости записи аргумент x в (19),

(20) и (22) опущен.

Для обеспечения разрешимости системы (22) в уравнении (17) учитывают-

ся только те полином

V_i(p,x), при которых степень ℓ полинома H^∗(p) будет

минимальной, матрица G_y квадратной и det G_y = 0 [22, 26]. В [26] приве-

ден метод определения необходимых степеней полиномовR(p), L(p) иLi(p)

в линейном случае с учетом µ_нуу. Однако этот метод может применяться и в

случае квазилинейных моделей ОУ (1). Поэтому здесь он не рассматривается,

но будет проиллюстрирован ниже при решении численного примера.

Решение системы (22) определяет полиномы

R(p), L(p) и q полиномов

L_i(p,x), при которых характеристический полином матрицы H(x) (8) равен

полиному H^∗(p).

Реализация НУУ. С этой целью путем перехода в (3) к операторной форме

записывается соответствующее уравнение ¾вход-выход¿ НУУ:

∑

(23)

R(p, x)u = Q(p, x)g - L(p, x)y -

L_i(p,x)x_i.

i=1

Полиномы R(p, x) и L_i(p, x) находятся по формулам R(p, x) =R(p, x)Φ(p),

L_i(p,x) =Li(p,x)Φ(p), а полином L(p,x) определяется решением систе-

мы (22). Полином Q(p, x) степени κ = ν_g - 1, где ν_g = deg G(p), находится из

принятого выше выражения L(p, x) - Q(p, x) =Q(p, x)G(p) следующим обра-

зом. Если полином G(p) = pνg , то записывается полиномиальное уравнение

(24)

Q(p, x)G(p) + Q(p, x) = L(p, x),

где полиномыQ(p, x) и Q(p, x) его минимальное решение, которое нахо-

дится путем перехода к эквивалентной СЛАУ [11, 22]. Если же G(p) ≡ pνg , то

берется полином

(25)

Q(p, x) = λ₀(x) + λ₁(x)p + . . . + λνg-1(x)pνg -1.

Таким образом, все полиномы уравнения ¾вход-выход¿ НУУ определены.

Чтобы убедиться в физической реализуемости НУУ при принятом µ_нуу, до-

статочно перейти от уравнения (25) к эквивалентным ему уравнениям в пере-

менных состояния, например, воспользовавшись соотношениями, приведен-

ными в [22, стр. 346]. При этом для обеспечения параметрической грубости

свойства селективной инвариантности необходимо обеспечить формирование

спектральных моделей в явной форме. Подробнее этот момент показан ниже

на примере.

Матрица H(x) (8) системы (7) в общем случае является функциональ-

ной, корни ее характеристического полинома являются вещественными, от-

рицательными и различными в области x ⊂ Ω_УН ∈ Rⁿ, ∥x∥ < ∞. Если область

Ω_УН = Rⁿ, ∥x∥ < ∞, то для устойчивости положения равновесия системы (7)

в целом достаточно, чтобы существовал ℓ-вектор b₁(w) с дифференцируемы-

ми компонентами или константами, при котором выполняются условия:

(26)

|det U_c(w)| ≥ ε_c

> 0,

[

]

U_c(w) =

b₁(w) H(x)b₁(w) ... H^ℓ-1(x)b₁(w)

SpP₁(w)

(27)

Sup

≤ K < ∞,

∀ w⊂R^l

, ∥w∥ < ∞,

w (detP₁(w))^1/ℓ

где Sp(·) след матрицы (·); P₁(w) = (U_A(w)M_s) (U_A(w)M_s)^T; ε_c, K по-

ложительные числа;





δ₁

δ₂

··· δ_ℓ-1





δ₂









(28)

M_s =



,





δ_ℓ-1

0

δ_i

коэффициенты полинома H(p, x) = det (pE - H(x)) = p^ℓ +δ_ℓ-1p^ℓ-1 +. . .+

+δ₁p + δ₀ [20].

Условия на корни характеристического полинома H(p, x) функциональ-

ной матрицы H(x) являются конструктивными и выполняются выбором по-

линома H^∗(p). Если условия (2) и первое условие (6) выполняются в области

Ω_УН = Rⁿ, ∥x∥ < ∞, то положение равновесия системы будет асимптотиче-

ски устойчиво в целом при выполнении условий (26) и (27) [20]. Если же при

этом матрица H(x) (8) оказывается постоянной, то положение равновесия

x = 0 системы (7) будет асимптотически устойчивым в целом [22] независимо

от условий (26), (27). Если же область Ω_УН ∈ Rⁿ, ∥x∥ < ∞ является ограни-

ченной, то положение равновесия x = 0 системы (7) будет асимптотически

устойчивым в большом [22], также независимо от условий (26), (27).

Покажем эффективность разработанного метода синтеза нелинейных

селективно-инвариантных систем управления на численном примере.

4. Пример

Предположим, нелинейный объект управления описывается уравнениями:

(29)

x₁ = 2x₁ +3sin x₂ +1,5u+f,

x₂ = 4sin x₂ +2u+3f, y = 3x₁ -2,25x₂,

где x₁, x₂ и y измеряемые переменные состояния и выходная переменная;

возмущение f(t) = f₀ + f_m sin(0,5t + ϕ₀), t ≥ 0 не измеряется; задающее воз-

действие g(t) = g₀1(t) измеряется; f₀, f_m, ϕ₀, g₀ неизвестные ограниченные

постоянные. Синтезировать нелинейную селективно-инвариантную к g(t) и

f (t) систему так, чтобы время регулирования t_p ≤ t^∗p = 1,5 с; относительный

порядок искомого НУУ µ_нуу = 0 [22, 25].

Решение. Прежде всего, построим КЛМ объекта. С этой целью, следуя

[22], найдем производную d sin x₂/dx₂ = cos x₂ и проинтегрируем ее по вспо-

могательной переменной:

∫1



¹



a_c(x₂) =

cos(x₂θ)dθ = x^-12 sin(x₂θ)

= x^-12sinx₂ = ω(x₂).



Заменив в (29) функцию sin x₂ ее КЛМ моделью a_c(x₂)x₂, получим КЛМ

объекта:

[

]

[

]

[

]

3ω(x₂)

1,5

(30)

f, y = [3

-2,25]x,

4ω(x₂)

где x = [x₁ x₂]^T. Сравнив системы (30) и (1), заключаем, что в данном случае

]

[

]

[

]

[2 3ω(x2)

1,5

[1]

(31) A(x) =

b(x) =

b_f(x) =

c(x) =

4ω(x₂)

-2,25

По (31) находятся определители матриц из условия (2) при n = 2:

]

[

]

[1,5 3 + 6ω(x2)

-2,25

det

= -6, det

= 13,5;

8ω(x₂)

т.е. условия (2) выполняются и КЛМ (30) является полной в области

Ω_УН = R², ∥x∥ < ∞.

В рассматриваемом случае K_p-изображения внешних воздействий имеют

вид: G(p) = p, F (p) = p(p² + 0,25), т.е. Φ(p) = p(p² + 0,25). По формулам (14)-

(16) находятся полиномы:

B(p, x) = 9, A(p, x) = (p - 2)(p - 4ω(x₂)),

B_f(p,x) = -3,75p + 15ω(x₂) + 13,5,

V₁(p,x) = 1,5p, V₂(p,x) = 2(p - 2),

W₁(p,x) = p + 5ω(x₂), W₂(p,x) = 3(p - 2).

Первое условие (6) выполняется.

В данном случае, следуя [26], устанавливаем, что для получения квадрат-

ной матрицы G_y при минимальном ℓ достаточно обратной связи лишь по

одной переменной состояния, т.е. q = 1, а x₁ = x₁. При этом полиномиальное

уравнение (17) принимает вид:

(32)

H^∗(p)

A(p, x)R(p, x) + B(p, x)L(p, x)

V₁(p,x)L1

(p, x),

где

[

](

)

A(p, x) =

p² - (4ω(x₂) + 2) p + 8ω(x₂)

p³ + 0,25p

(

)

V₁(p,x) = 1,5p

p³ + 0,25p

Из принятого выше вида полиномов R(p, x), L(p, x), Q(p, x), L_i(p, x) с уче-

том q = 1 и µ_нуу = min{r - l, r - κ, r -l1, 0} = 0 следуют равенства:

r = deg R(p,x) = r - 3, l = degL(p,x) = r,

l₁ = degL1(p,x) = r - 3, ℓ = deg H^∗(p) = 2 + r.

При этом в алгебраической системе (19), эквивалентной полиномиальному

уравнению (32), число уравнений есть N_y = ℓ + 1 = 2 + r + 1, а число неиз-

вестных коэффициентов N_к = r + 1 + l + 1 +l1 + 1 = 3r - 3. Тогда из усло-

вия N_к = N_y следует r = 3, и поэтому ℓ = 5, r = 0,l1 = 0, l = 3. При этом

R(p, x) = ρ₀(x),

L₁(p,x) =λ10(x),

L(p, x) = λ₀(x) + λ₁(x)p + λ₂(x)p² + λ₃(x)p³ и det G_y(x) = 0.

В данном случае t^∗p = 1,5 с, ℓ = 5, поэтому первое неравенство (18) прини-



мает вид

Re(p^∗j) ≥ 3,33 ÷ 4,67, j = 1,5. C учетом этого неравенства и осталь-

ных условий (18) полагаем: p^∗1 = -4, p^∗2 = -6, p^∗3 = -9, p^∗4 = -12, p^∗5 = -15,

что приводит к полиному

H^∗(p) = p⁵ + 46p⁴ + 807p³ + 6714p² + 26352p + 38880.

В результате подстановки полученных значений в выражения (19)-(22) с уче-

том приведенных выше полиномов B(p, x) = 9,

A(p, x) и

V₁(p,x) получаем

систему линейных алгебраических уравнений:









9

λ₀

38880

0

2ω

λ1



26352





















0,375

-ω - 0,5

λ₂

6714

(33)



















.

8ω + 0,25

λ₃

807











0

1,5

-4ω - 2

λ10



46



ρ₀

Решение системы (33) дает значения коэффициентов полиномов L(p, x),

L₁(p,x) иR(p,x), что позволяет записать:

L(p, x) = [(806,75 - 8ω(x₂))p³ + 6702,5p² + (26 352 - 2ω(x₂))p + 38 880]/9,

R(p, x) = p(p² + 0,25), L₁(p, x) = [48 + 4ω(x₂)](p³ + 0,25p)/1,5.

В данном случае G(p) ≡ p, т.е. ν_g = 1, поэтому из выражения (25) получаем

κ = 0 и Q(p,x) = 4320. Полученные данные приводят к уравнению ¾вход-вы-

ход¿ (23) искомого НУУ:

(

)

(

)

(34) p

p² + 0,25

u = 4320g -

λ₀ + λ₁p + λ₂p² + λ₃p³

(

)

- 2[48 + 4ω(x₂)]p

p² + 0,25

x₁/3.

С целью формирования в НУУ внутренних спектральных моделей ВВ в

явном виде, что необходимо для обеспечения параметрической грубости свой-

ства селективной инвариантности [22], уравнение (34) приводится к виду:

)

( 17280

17280p

p² + 0,25

)

( 806,75 - 8ω(x₂)

17280

148817,5p - 26 150,3125

9(p² + 0,25)

[48 + 4ω (x₂)] x₁.

Применив к этому выражению соотношения (П.2.6) и (П.2.7) из [22, с. 347],

придем к квазилинейной модели искомого НУУ:











0

17 280

z+ 

ε- 

g-1

26150,3125

(35)

Ż = 0

-0,25

17280

−148 817,5

(36)

u = z₁ + z₃ - {[806,75 - 8ω(x₂)]y + 6[48 + 4ω(x₂)]x₁

} /9.

Как видно, полученное НУУ содержит внутренние спектральные модели

как постоянных составляющих ВВ, так и гармонической составляющей с ча-

стотой ω = 0,5 рад/c.

монического возмущения f(t) = 1(t) + 2 sin(0,5t) при t ≥ 0 и нулевых на-

чальных условиях. Несмотря на наличие возмущения, отклонение системы

ε(t) = g(t) - y(t) в установившемся режиме равно нулю (рис. 3).

С целью более полного представления характера процессов в синтезиро-

ванной селективно-инвариантной системе, на рис. 4-6 приведены графики из-

менения переменных состояния, задающего воздействия, выходной величины

объекта и возмущения, а также управления в интервале времени от нуля

до 20 с.

В этом случае возмущение f(t) = -0,8 + 1,3 sin(0,5(t - 3) + 2),

3≤t

(рис. 5) возникает на 3 с позже задающего воздействия g(t) = 1(t), поэто-

му после окончания переходного процесса (0 ≤ t < 3), вызванного задающим

воздействием, и переменные состояния объекта (рис. 4), и выходная перемен-

ная y(t) (рис. 5), и управление u(t) (рис. 6) принимают постоянные значения,

что соответствует постоянному задающему воздействию.

При возникновении возмущения f(t) (t = 3 c) в системе начинается пере-

ходный процесс, особенно заметный на графиках рис. 4 и 6. После его окон-

чания выходной сигнал устройства управления по форме становится ана-

логичным внешнему возмущению, причем его постоянная и гармоническая

составляющие оказываются в противофазе с аналогичными составляющими

внешнего возмущения.

5. Заключение

Предложенный в работе метод синтеза нелинейных селективно-инвариант-

ных систем управления является аналитическим и позволяет синтезировать

системы управления с нулевыми ошибками как по задающим, так и по возму-

щающим внешним воздействиям известной формы. Решение задачи синтеза

получено на основе принципа внутренних моделей с применением оригиналь-

ного метода синтеза нелинейных систем управления. В этом методе исполь-

зуются квазилинейные модели, которые являются точным представлением

нелинейных дифференциальных уравнений в форме Коши с дифференцируе-

мыми правыми частями. Разработанный метод применим для синтеза нели-

нейных селективно-инвариантных систем управления объектами с дифферен-

цируемыми нелинейностями. Свойство селективной инвариантности замкну-

той системы является грубым ко всем ее параметрам, кроме спектро-задаю-

щих параметров внутренних моделей.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Математические модели ВВ это однородные дифференциальные урав-

нения (ДУ) некоторого порядка, возможно в совокупности с алгебраически-

ми [7-13, 27]. Например, моделью воздействия f(t) = f₀1(t) являются уравне-

ния x_f (t) = 0, x_f (0) = f₀, f(t) = x_f (t), где x_f (0) начальное условие. Моде-

лью гармонического воздействия f(t) = f_m sin(ω_f t + φ_f ) с частотой ω_f , про-

извольными амплитудой f_m и фазой φ_f являются уравнения x_f1 = -ω^2fx_f2,

x_f2 = x_f1, f = r₁x_f1 + r₂x_f2 с начальными условиями x_f10 и x_f20. Здесь

r₁, r₂

некоторые константы.

Для парирования влияния внешнего воздействия на ошибку системы до-

статочно наличия в ней лишь спектральной модели воздействия, которая од-

нозначно описывает его форму, путем учета только его спектра. В общем

случае спектральная модель ВВ g(t) может быть представлена либо урав-

нением в переменных состояния xg = Gxg, где G и xg

числовая матри-

ца и вектор, либо K_p-изображением, т.е. полиномом G(p) = det(pE - G), где

p = d/dt. Подчеркнем, что полином G(p) при p = D является K(D)-изобра-

жением по Кулебакину этого ВВ [7], т.е. представления спектральной модели

K_p-изображением или уравнениями в форме Коши являются эквивалентны-

ми [27].

Важным свойством K_p-изображения ВВ является равенство нулю при

всех t ≥ 0 произведения K_p-изображения на это воздействие как функцию

времени [7]. Например, если ВВ ϕ₁(t) = ϕ₀ exp(λ_ϕt), то его K_p-изображение

Φ₁(p) = p - λ_ϕ; тогда Φ₁(p)ϕ(t) = (p - λ_ϕ)ϕ₀ exp(λ_ϕt) = ϕ₀[(dexp(λ_ϕt)/dt)-

-λϕ exp(λ_ϕt)] ≡ 0 при ограниченном ϕ₀, так как dexp(λ_ϕt)/dt = λϕ exp(λ_ϕt).

Уравнение x_˜f

Fx_˜f, где матриц

F = diag{0 λ_˜f} это спектральная мо-

дель ВВ, равного

f (t)

f₀1(t)

f_e exp(λ_˜ft), 0 ≤ t < ∞, где

f₀ и

f_e

огра-

ниченные постоянные. K_p-изображением этого ВВ является полино

F (p) =

=p² -λ_˜fp.Нетрудноубедиться,что(p² -λ_˜fp

f (t) ≡ 0. Из приведенных при-

меров следует, что K_p-изображение суммы ВВ равно произведению K_p-изоб-

ражений каждого из них. Отметим также, что K_p-изображение ВВ f(t) легко

находится по таблице изображений по Лапласу [25, с. 29]: оно равно знаме-

нателю его изображения f(s) при s = p. Корни K_p-изображений или, что то

же самое, собственные числа матриц уравнений ВВ в форме Коши являются

спектро-задающими параметрами их моделей.

Вывод уравнения ¾вход-выход¿ замкнутой системы. ДУ (7) в оператор-

ной форме можно записать в виде [pE - H(x)]w = h(x)g + h_f (x)f. Отсю-

да w = [pE - H(x)]^-1{h(x)g + h_f (x)f}. Подставляя это выражение с учетом

равенства [pE - H(x)]^-1 = adj [pE - H(x)]/ det[pE - H(x)] во второе уравне-

ние (7), получим уравнение (9), где

(Π.1)

H(p, x) = det[pE - H(x)],

(Π.2)

H_g(p,x) = [c^T(x)

]adj [pE - H(x)]h(x),

(Π.3)

H_f(p,x) = [c^T(x)

0^T]adj [pE - H(x)]h_f

(x).

Здесь матрица pE - H(x) определяется выражением

[

]

[

]

pE - A(x) -b(x)k^T(x)

(Π.4)

pE - H(x) =

Π(x)

pE - R(x)

Покажем, что операторы уравнения (9) непосредственно связаны выра-

жениями (10)-(13) с операторами (14)-(16) уравнений ¾вход-выход¿ квази-

линейных моделей (1) и (3). Выражения (14)-(16) выводятся из указанных

уравнений (1) и (3) совершенно аналогично приведенному выше выводу урав-

нения (9). В общем случае уравнение выхода НУУ (3) может иметь вид

∑_q

u = k^T(x)z + λ_r(x)y +

λ_ir(x)x_i. При этом приведенные ниже выкладки

i=1

существенно усложнятся, но их смысл не изменится [22, c. 349-353]. Поэтому

для большей наглядности, далее предполагается, что λ_r(x) ≡ 0 иλir(x) ≡ 0,

i = 1,q.

Вывод оператора H(p, x) (10). В соответствии с формулой (П.8), приве-

денной в [28, с. 223], из (П.4) следует выражение: H(p, x) = det[pE - H(x)] =

= de

Adet(D

A^-1 B). Отсюда с учетом обозначений (П.4) выводим равен-

ство:

{

}

H(p, x) = det [pE - A(x)] det pE - R(x) + Π(x) [pE - A(x)]^-1 b(x)k^T(x)

Так как [pE - A(x)]^-1 = adj [pE - A(x)]/ det[pE - A(x)], то с учетом (14), (16)

и обозначения Π(x) имеем

(Π.5) H(p, x) =

[

]

∑

= A(p, x) det pE - R(x) + ψ_l(p, x)l(x)k^T(x) +

ψ_i(p,x)l_i(x)k^T (x)

i=1

Здесь обозначено

(Π.6)

ψ_l(p,x) = B(p,x)/A(p,x), ψ_i(p,x) = V_i

(p, x)/A(p, x).

Применяя тождество (П.25) из [28, с. 233] ко второму множителю в (П.5) с

учетом (15), получим:



R(p,x) + ψ_l(p,x)k^T(x)adj [pE - R(x)]l(x) +





∑

H(p, x) = A(p, x)

.

+ ψ_i(p,x)k^T(x)adj [pE - R(x)]l_i(x)

i=1

Отсюда с учетом обозначений (П.6), (15) следует оператор (10).

Вывод оператора H_g(p, x) (11). С этой целью воспользуемся формулой

(П.12) из [28, с. 223], которая для блочной матрицы (П.4) позволяет запи-

сать равенство:

(Π.7) adj [pE - H(x)] =

[

]

det M ad

A+α^-1(adjA)B(adjM

C(ad

-(ad

A)B(adj M)

-(adj M

C(ad

α · adjM

где α = de

A=0, M =D

CA˜^-1 B. Подставив в (П.2) выражения (П.7)

и h(x) из (8), получим с учетом обозначений (14) следующее равенство:

H_g(p,x) = c^T(x)adj [pE - A(x)]b(x) · k^T(x)adj Mq(x) =

(Π.8)

= B(p,x)k^T(x)adj Mq(x).

Так как матрица M =D

A^-1 B, то с учетом обозначений (П.4) выводим

M = pE - R(x) +

{

}

∑

+ A^-1(p,x) l(x)c^T(x) +

l_i(x)e_iadj [pE - R(x)] b(x)k^T(x).

i=1

Раскрывая здесь фигурные скобки, с учетом обозначений (П.6) получаем

∑

(Π.9)

M = pE - R(x) + ψ_l(p,x)l(x)k^T(x) + ψ_i(p,x)l_i(x)k^T

(x).

i=1

Следовательно, произведение k^T(x) adj Mq(x) в равенстве (П.8) имеет вид

[

k^T(x)adj Mq(x)=k^T(x)adj pE - R(x) + ψ_l(p,x)l(x)k^T(x) +

]

∑

+ ψ_i(p,x)l_i(x)k^T(x) q(x).

i=1

Отсюда по формуле (П.27) из [28, с. 233] с учетом третьего обозначения (15)

имеем

(Π.10)

k^T(x)adjMq(x) = k^T

(x) adj [pE - R(x)]q(x) = Q(p, x).

Подставив это равенство в выражение (П.8), получим оператор (11).

Вывод оператора H_f (p, x) (12). Из выражения (П.3) с учетом (П.7) выво-

дим

{

}

(Π.11)

H_f(p,x) = c^T(x) (detM )ad

A+α^-1(ad

A)B(adj M

C ad

A b_f

(x).

Раскрывая здесь скобки и подставляя значениеB из (П.4), получим

(Π.12)

H_f(p,x) = c^T(x)ad

Ab_f(x) detM - α^-1c^T(x)adjA

b(x) Λ,

где обозначено

(Π.13)

Λ=k^T(x)(adjM

C(ad

A)b_f

(x).

С учетом равенст

A = pE - A(x) и (14) находим

(Π.14)

c^T(x)ad

Ab_f (x) = B_f (p, x), c^T(x)adjA

b(x) = B(p, x).

Применяя формулу (П.25) из [28, с. 233)] к (П.9) с учетом (15), (16) и (П.6),

имеем

(Π.15) det M =

{

}

∑

= det pE - R(x) + ψ_l(p,x)l(x)k^T(x) + ψ_i(p,x)l_i(x)k^T(x)

i=1

= det[pE - R(x)] + ψ_l(p,x)k^T(x)adj [pE - R(x)] l(x) +

∑

[

]

+ ψ_i(p,x)

k^T(x)adj [pE - R(x)]l_i(x)

i=1

∑

= R(p,x) + ψ_l(p,x)L(p,x) +

ψ_i(p,x)L_i(p,x).

i=1

Подставля

A из (П.4) в (П.13) и раскрывая скобки с учетом (П.9), полу-

чим:

[

]

Λ=

k^T(x)adjMl(x)

B_f(p,x) +

(Π.16)

∑[

]

k^T(x)adj Ml_i(x)

e_i adj [pE - A(x)] b_f (x).

i=1

В соответствии с третьим выражением

(16) e_i adj [pE - A(x)] b_f (x) =

= W_i(p,x); по аналогии с (П.10) и с учетом (15) находим k^T(x)adj Ml(x) =

= L(p,x), k^T(x)adj Ml_i(x) = L_i(p,x). Тогда из (П.16) следует равенство

∑

(Π.17)

Λ = L(p,x)B_f(p,x) +

L_i(p,x)W_i

(p, x).

i=1

Подставляя выражения (П.14), (П.15) и (П.17) в (П.12), будем иметь

H_f(p,x) = B_f (p,x)R(p,x) + ψ_l(p,x)L(p,x)B_f (p,x) +

∑

+ ψ_i(p,x)L_i(p,x)B_f(p,x) -

i=1

∑

- ψ_l(p,x)L(p,x)B_f(p,x) - ψ_l(p,x)

L_i(p,x)W_i(p,x).

i=1

Учитывая здесь (П.6), группируя суммы и вынося множитель A^-1(p, x) за

скобку, получим

H_f(p,x) = B_f (p,x)R(p,x) +

∑

+ L_i(p,x){V_i(p,x)B_f(p,x) - B(p,x)W_i(p,x)} A^-1(p,x).

i=1

Наконец, учитывая здесь обозначение (13), получим оператор (12).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Аполонский В.В., Копылова Л.Г., Тарарыкин С.В. Разработка и исследование

селективно-инвариантных электромеханических систем с адаптацией регулято-

ров к изменениям уровня скорости // Известия РАН. Теория и системы управ-

ления. 2020. № 5. С. 28-43.

Тихомирова И.А., Копылова Л.Г., Тарарыкин С.В. Адаптивное селективно-ин-

вариантное управление следящими электроприводами с упругими кинематиче-

скими передачами / Вестник ИГЭУ. 2021. Вып. 4. C. 57-64.

Обухова Е.Н. Применение метода интегральной адаптации для синтеза адап-

тивных законов управления пневмоприводом в условиях гармонического возму-

щения // Известия ЮФУ. Технические науки. 2020. № 4(214). С. 200-211.

Синицын А.С. Нелинейный синтез астатической системы управления гидравли-

ческой подвеской автомобиля. Сборник научных трудов IX Всероссийской на-

учной конференции ¾Системный анализ и прикладная синергетика¿ / Южный

федеральный университет. 2019. № 9. С. 155-165.

Пшихопов В.Х., Медведев М.Ю., Гуренко Б.В. Алгоритмы терминального

управления подвижными объектами мультикоптерного типа // Мехатроника,

автоматизация и управление. 2019. Т. 20. № 1. С. 44-51.

https://doi.org/10.17587/mau.20.44-51

Neydorf R.A. , Gaiduk A.R., Kudinov N.V., Dolgov V.V. Application of Quasilinear

and CGA Models for Design Significantly Nonlinear Control Systems // Journal

of Physics: Conference Series (JPC), E3S Web of Conferences, 2020, 224, 01015,

https://www.scopus.com/authid/detail.uri?authorId=7004121894

Кулебакин В.С. Операторное K(D)-изображение функций и его практическое

применение // Труды ВВИА им. Жуковского. 1958. Вып. 695.

Уонэм М. Линейные многомерные системы управления: Геометрический подход.

М.: Наука, 1980. 376 с.

Надеждин П.В. Получение фильтров Колмогорова-Винера на основе принципа

селективной инвариантности / Теория инвариантности, теория чувствительно-

сти и их применения. VI Всесоюзное совещание. (Тезисы докладов). М.: ИПУ,

1982. С. 37-38.

10.

Гайдук А.Р. Условия достижимости инвариантности систем управления энерге-

тическими объектами // АиТ. 2006. № 5. С. 93-101.

Gaiduk A.R. Invariance Attainability Conditions for Power Plant Control Systems //

Autom. Remote Control. 2006. V. 67. No. 5. P. 759-766.

100

11.

Гайдук А.Р. Синтез селективно инвариантных систем управления // Вестник

ИГЭУ. Иваново: Изд-во ИГЭУ. 2017. № 1. С. 46-55.

12.

Ушаков А.В. Модальные оценки качества процессов в линейных многомер-

ных системах при внешних конечномерных воздействиях // АиТ. 1992. № 11.

С. 72-82.

Ushakov A.V. Modal Estimation of Process Quality in Multidimensional Systems

with External Finite-Dimensional Excitation // Autom. Remote Control. 1993.

V. 53. No. 11. P. 1712-1721.

13.

Бобцов А.А., Никифоров В.О., Пыркин А.А., Слита О.В., Ушаков А.В. Методы

адаптивного и робастного управления нелинейными объектами в приборострое-

нии: учебное пособие для высших учебных заведений. СПб: НИУ ИТМО, 2013.

277 c. ISBN 978-5-7577-0428-9

14.

Isidori A. Lectures in Feedback Design for Multivariable Systems. Advanced Text-

book in Control and Signal Processing. London, Springer, 2016. 414 p.

15.

Krstić M., Kanellakopoulos I., Kokotović P.V. Nonlinear and Adaptive Control De-

sign. New York: Wiley, 1995. 564 p. ISBN 0-471-12732-9

16.

Yang Y., Zhang H.H., Voyles R.M. Rotary Inverted Pendulum System Tracking

and Stability Control Based on Input-output Feedback Linearization and PSO-opti-

mization Fractional Order PID Controller // Automatic Control, Mechatronics and

Industrial Engineering, London, Taylor & Francis Group. 2019, pp. 79-84.

ISBN 978-1-138-60427-813

17.

Gerasimov D.N., Liu L., Nikiforov V.O. Adaptive Backstepping Control with Fast

Parametric Convergence for a Class of Nonlinear Systems // 18^th European Control

Conference (ECC), 2019, pp. 3432-3437.

https://doi.org/10.23919/ECC.2019.8795898

18.

Furtat I.B., Tupichin E.A. Modified Backstepping Algorithm for Nonlinear Sys-

tems // Autom. Remote Control. 2016. V. 77. No. 9. P. 1567-1578.

19.

Madeira D. de S., Adamy J. Feedback Control of Nonlinear Systems Using Passivity

Indices // Proc. IEEE Conference on Control Applications, Sydney, Australia. 2015,

pp. 263-268.

20.

Gaiduk A.R. Analytic Synthesis of Controls for Nonlinear Objects in One Class //

Autom. Remote Control. 1993. V. 54. No. 2. P. 227-237.

21.

Gaiduk A.R. A Polynomial Design for Nonlinear Control Systems // Autom. Remote

Control. 2003. V. 64. No. 10. P. 1638-1642.

22.

Гайдук А.Р. Теория и методы аналитического синтеза систем автоматического

управления (полиномиальный подход). М.: Физматлит, 2012. 360 с.

23.

Gaiduk A.R., Stojković N.M. Analytical Design of Quasilinear Control Systems //

FACTA UNIVERSITATIS. Series: Automatic Control and Robotics. 2014. V. 13.

No. 2. P. 73-84.

24.

Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970. 240 с.

25.

Ким Д.П. Теория автоматического управления. Т. 1. Линейные системы. М.:

Физматлит, 2007. 312 с. 26.

26.

Гайдук А.Р. Выбор обратных связей в системе управления минимальной слож-

ности // АиТ. 1990. № 5. С. 29-37.

Gaiduk A.R. Feedback Selection in Control System of Minimum Complexity // Au-

tom. Remote Control. 1990. V. 51. No. 5. P. 593-600.

101