Автоматика и телемеханика, № 2, 2023

Нелинейные системы

(Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)

МАТРИЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА В ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ:

НОВЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ НА ОСНОВЕ ТЕОРЕМЫ

О СВЕРТЫВАНИИ¹

С использованием теоремы Пятницкого о свертывании круговой кри-

терий абсолютной устойчивости для систем Лурье с несколькими нели-

нейностями получен без S-процедуры. Для связных систем с переклю-

чениями между тремя линейными подсистемами получен новый крите-

рий существования квадратичной функции Ляпунова. На основе теоремы

о свертывании доказано две теоремы, позволяющие существенно умень-

шать размерность связных систем линейных матричных неравенств. Рас-

смотрены вопросы улучшения кругового критерия для систем Лурье с

двумя нелинейностями.

Ключевые слова: системы с переключениями, системы Лурье, устойчи-

вость, функции Ляпунова, матричные неравенства, круговой критерий.

DOI: 10.31857/S000523102302006X, EDN: ONHTGO

1. Введение

Теория устойчивости систем с переключениями [1] и теория абсолютной

устойчивости [2] являются основными инструментами для изучения устойчи-

вости систем с неопределенностью [3]. Важным результатом в этой области

является круговой критерий достаточное условие существования квадра-

тичной функции Ляпунова (КФЛ) в случае системы Лурье с несколькими

нелинейностями [2, 4, 5]². К достаточности приводит использование специ-

ального приема S-процедуры [6], который в этом случае приводит только

к достаточным условиям. Первоначально полученная Пятницким теорема по-

явилась (с указанием авторства) в [7], а затем и в [8] как средство, позволяю-

щее устранить этот недостаток S-процедуры. Существование КФЛ в случае

нескольких нелинейностей определяется разрешимостью системы линейных

¹ Работа выполнена при поддержке Программы фундаментальных научных исследова-

ний по приоритетным направлениям, определяемым Президиумом Российской академии

наук, № 7 “ Новые разработки в перспективных направлениях энергетики, механики и ро-

бототехники”.

² В [4] термин “круговой критерий” не используется, в [5] круговой критерий приводится

как для задачи устойчивости, так и для задачи неустойчивости.

103

матричных неравенств [8]. В теореме Пятницкого показывается, как полу-

чить одно матричное неравенство (МН), эквивалентное системе из двух МН.

Основанная на этой теореме операция перехода от системы из двух МН к

одному ей эквивалентному в [8] названа свертыванием. С помощью опера-

ции свертывания необходимые и достаточные условия существования КФЛ

получены в случае двух [7] и нескольких [8] нелинейностей. Теорему Пятниц-

кого не следует рассматривать как альтернативу S-процедуры, но области

применения этих приемов тесно коррелируют. Здесь в разделе 2 показано,

как круговой критерий в случае нескольких нелинейностей можно получить

с помощью операции свертывания и без использования S-процедуры.

В разделе 3 для линейных систем с переключениями между тремя под-

системами получен новый частотный критерий существования КФЛ, более

простой по сравнению с аналогичным критерием из [9].

В разделе 4 показывается, как с помощью теоремы Пятницкого можно

существенно уменьшать количество МН в связных [8, 9] системах линейных

МН (ЛМН), которые определяют существование КФЛ для линейных систем

с переключениями с произвольным количеством подсистем.

Вопросы улучшения кругового критерия для систем Лурье с двумя нели-

нейностями рассматриваются в разделе 5. Там же приводится численный при-

мер такого улучшения для системы шестого порядка.

Целью работы является как демонстрация возможностей теоремы Пят-

ницкого при получении нового доказательства классического результата, так

и получение на ее основе новых более эффективных условий существования

КФЛ для широкого класса систем Лурье и систем с переключениями.

2. Теорема о свертывании и круговой критерий для систем

с несколькими нелинейностями

Здесь теорему Пятницкого, на которой основана операция свертывания,

будем называть теоремой о свертывании и использовать в следующей фор-

мулировке [8, 9].

Теорема 1. Для выполнения системы двух матричных неравенств

(2.1)

I₁ < 0, I₂ < 0, (I₂ - I₁ = Q = pq^⊤ + qp^⊤, p,q ∈ Rⁿ

необходимо и достаточно, чтобы существовало такое число ε> 0, при ко-

тором выполнено одно неравенство

(2.2)

I₁ + Q⁺(ε) = I₂ + Q^-(ε) < 0, Q^±(ε) =

u^±(u^±)^⊤, u^±(ε) = p ±

ε²

Очевидно, из выполнения неравенства (2.2) при некотором произвольном

ε > 0 следует выполнение системы (2.1).

Операция свертывания, основанная на теореме 1, в [8] названа свертыва-

нием ранга два, или r₂-свертыванием. В оригинале [7] теорема Пятницкого

приводится в более общей формулировке для произвольной матрицы Q.

104

Система Лурье с несколькими нелинейностями имеет вид

∑

(2.3)

x = Ax + b_jϕ_j(t,σ_j), σ_j = 〈c_j,x〉, A ∈ R^n×n, b_j,c_j ∈ Rⁿ,

j=1

где нелинейности ϕ_j (t, σ_j ) удовлетворяют условиям существования абсолют-

но непрерывного решения x(t), j = 1, m (〈·, ·〉

скалярное произведение

в Rⁿ). Абсолютная устойчивость системы (2.3) в классе N_ϕ нелинейностей

ϕ = ∥ϕ_j∥^mj=1, удовлетворяющих секторным ограничениям

(2.4)

0≤ϕ_jσ_j ≤σ^2j

, j = 1,m,

означает, что эта система асимптотически устойчива в целом при любых та-

ких нелинейностях.

Коротко, в удобной для настоящего изложения форме напомним рассуж-

дения, основанные на S-процедуре и приводящие к круговому критерию в

случае системы (2.3) с произвольным конечным m [4, 5]. S-процедура это

специальный прием, позволяющий перейти от неравенства на квадратичную

форму, которое должно выполняться не во всем пространстве, а только в

некоторой области, выделяемой квадратичными ограничениями, к неравен-

ству на квадратичную форму, которое должно выполняться во всем про-

странстве, т.е. к МН. S-процедура имеет различные формулировки. В фор-

мулировке, которая здесь используется, S-процедура устанавливает соотно-

шение между следующими условиями:

(2.5)

x^⊤G₀x < 0 при x^⊤G₁x ≥ 0,... ,x^⊤G_m

x ≥ 0, x = 0,

∑

(2.6)

существуют τ_j > 0 (j = 1, m): x^⊤G₀x + τ_j x^⊤G_j x < 0, x ∈ Rⁿ, x = 0,

j=1

где G_j ∈ R^n×n, G^⊤j = G_j , j = 0, m. Очевидно, из выполнения (2.6) следует вы-

полнение (2.5). В случае m = 1 доказывается [10, с. 135] неущербность S-про-

цедуры, что означает, что в этом случае условие (2.6) является не только

достаточным, но и необходимым для выполнения условия (2.5).

Различные формулировки S-процедуры, историю появления этого приема

и самого термина, разъяснение терминов “ущербна” и “неущербна” и другие

подробности можно найти в [2, 3, 6, 10].

Секторные ограничения (2.4) эквивалентны квадратичным ограничениям:

(2.7)

Fj (x, ϕj ) = ϕj (〈cj , x〉 - ϕj) ≥ 0, j = 1,m.

На производную v(x) функции Ляпунова v(x) = x^⊤Lx (L ∈ R^n×n, L^⊤ = L)

в силу системы (2.3) имеем неравенство

∑

(2.8)

x^⊤(A^⊤L + LA)x + 2 ϕ_j〈Lb_j

,x〉 < 0, (x,ϕ) = 0,

j=1

105

которое должно выполняться при всех (x, ϕ), удовлетворяющих (2.7). В со-

ответствии с приемом S-процедуры составим квадратичную форму

∑

(2.9)

x^⊤(A^⊤L + LA)x + 2 ϕ_j〈Lb_j,x〉 + τ_jϕ_j (〈c_j,x〉 - ϕ_j) < 0,

j=1

где τ_j > 0 неопределенные параметры, j = 1, m.

Неравенство (2.8) в матричной форме имеет вид

(Ax + Bϕ)^⊤Lx + x^⊤L(Ax + Bϕ) < 0, (x, ϕ) = 0,

(

)

где B =

b₁

b₂

... b_m

, а функция ограничений F(x,ϕ,T ) представима в

виде

∑

(x)⊤(

CT/2)(x)

F (x, ϕ, T ) =

τ_jϕ_j (〈c_j,x〉 - ϕ_j) =

ϕ T C^⊤/2

-Γ ϕ

j=1

где

{

}

(

)

C =

c₁

c₂

... c_m

, Γ = T = diag τ₁,...,τ_m

Во вновь принятых обозначениях отрицательная определенность фор-

мы (2.9) эквивалентна матричному неравенству

(

)

A^⊤L + AL LB + CT /2

(2.10)

< 0.

B^⊤L + T C^⊤/2

-Γ

Условия разрешимости МН (2.10) следуют из частотной теоремы (KYP лем-

ма) [6, 10]. Наиболее удобная для настоящего изложения версия частотной

теоремы приведена в следствии 1 на с. 54 в [10]. Там утверждается, что при

гурвицевой A и Γ > 0 разрешимость неравенства (2.10) эквивалентна выпол-

нению частотного неравенства

(2.11)

Γ + Re W(iω) > 0, W(iω) = TC^⊤(A - iωE_n)^-1

B, ω ∈ [-∞,∞],

где Re W = (W + W^∗)/2, W^∗ = W^⊤ эрмитово сопряженная к W , E_n

единичная (n × n)-матрица. Таким образом, круговой критерий для систе-

мы (2.3) с несколькими нелинейностями состоит в проверке частотного усло-

вия (2.11), которое является достаточным условием существования КФЛ для

таких систем.

В [9] показывается, как с помощью теоремы 1 получить достаточные усло-

вия существования КФЛ для системы (2.3), так чтобы эти условия совпадали

с круговым критерием абсолютной устойчивости систем управления с двумя

нелинейностями. Здесь получим аналогичный результат для систем управле-

ния с произвольным конечным числом нелинейностей.

106

Хорошо известно и специально отмечено в [11], что абсолютная устойчи-

вость системы Лурье (2.3) в классе нелинейностей N_ϕ эквивалентна устой-

чивости системы с переключениями между линейными системами x = A_sx с

матрицами A_s следующего вида [8]:

∑

(2.12)

A_s = A + h_sjb_jc^⊤j, h_s = ∥h_sj∥^mj=1, s = 1,N, (N = 2^m

j=1

где h_sj независимо принимают одно из двух значений: 0 или 1. Будем счи-

тать, что h₁ = (0, . . . , 0), т.е. A₁ = A. Наличие КФЛ v(x) = x^⊤Lx для системы

Лурье (2.3) определяется [8] разрешимостью системы ЛМН:

(2.13)

I_s = A^⊤sL + LA_s

< 0, s = 1, N .

Из представления (2.12) следует

∑

(

)

∑

I_s = A^⊤L + LA + hsj Lbjc⊤j + cjb⊤j L

= A^⊤L + LA + h_sjQ_j,

j=1

где

(2.14)

Q_j = p_jq^⊤j + q_jp^⊤j, p_j ≜ Lb_j, q_j ≜ c_j

, j = 1,m.

Для матриц Q_j используем представление в виде разности Q_j = Q^+j - Q^-j,

как это делается в теореме 1. Тогда МН

ε^2j

(2.15)

Q_j ≤ Q^+j(ε_j) =

u^+j(ε_j)u^+j(ε_j)^⊤, u^+j(ε_j) ≜ p_j +

q_j

, j = 1,m,

ε²

выполняются при любых ε_j > 0. Рассмотрим следующее МН:

∑

(2.16)

I_cir ≜ A^⊤L + LA + Q^+j(ε_j

) < 0.

j=1

Так как h_sj = 0 или h_sj = 1, то

(2.17)

I_s ≤ I_cir

, s = 1,N.

Из (2.17) следует, что выполнение МН (2.16) гарантирует выполнение систе-

мы (2.13). Подставляя в Q^+j(ε_j ) выражения для p_j и q_j из (2.14) и переобо-

значая в (2.15) дополнительные переменные

(2.18)

τ_j ≜ 2/ε^2j,

из леммы Шура получим, что МН (2.16) эквивалентно МН (2.10). Таким

образом, круговой критерий получен без использования S-процедуры.

Собственно, необходимость из теоремы 1 нужна только при m = 1, чтобы

показать, что в этом случае система (2.13) и МН I_cir < 0 эквивалентны.

МН (2.10) так же, как эквивалентное ему МН (2.16), далее будем называть

МН кругового критерия (МНКК).

107

3. Устойчивость систем с переключениями между тремя

линейными стационарными подсистемами

Выше было отмечено, что задача абсолютной устойчивости системы Лу-

рье (2.3) является частным случаем задачи об устойчивости при произволь-

ных переключениях линейной системы с переключениями

(3.1)

x = A(t)x, A(t) ∈ A = {A₁,...,A_N

где A_s ∈ R^n×n и A(t) : R₊ -→ A кусочно-постоянное отображение. В слу-

чае m = 1 системе (2.3) соответствует система (3.1) с переключениями между

двумя подсистемами. Вопрос о существовании КФЛ для таких систем опре-

деляется разрешимостью системы из двух МН вида (2.13), эквивалентное

такой системе результирующее МН (РМН) является ЛМН и частотное усло-

вие его разрешимости (круговой критерий) является в этом случае необходи-

мым и достаточным условием существования КФЛ. Следующий естествен-

ный шаг получить аналогичный результат для системы (3.1) при N = 3.

В этом случае вопрос о существовании КФЛ определяется разрешимостью

системы из трех МН вида (2.13). Таким образом, задача настоящего раздела

состоит в получении РМН для системы из трех МН вида (2.13) в форме ЛМН

и частотного критерия разрешимости этого РМН.

Отметим сразу, что возможность реализации подобной программы для си-

стемы (2.3) при m = 2 или системы (3.1) при N = 4 пока не просматривается.

В случае N = 3 матрицы {A₁, A₂, A₃}, задающие связную [9] систему (3.1),

можно представить в виде

(3.2)

A₁ = A, A₂ = A + b₁c^⊤1, A₃ = A + b₂c^⊤2.

Соответствующая система неравенств (2.13) при N = 3 после переобозначе-

ний (2.14) при m = 2 примет вид

(3.3)

I₁ + p₁q^⊤1 + q₁p^⊤1 < 0, I₁ < 0, I₁ + p₂q^⊤2 + q₂p^⊤2

< 0.

Применяя теорему 1 сначала к двум первым, а затем к двум последним нера-

венствам из (3.3), получим, что система (3.3) разрешима тогда и только тогда,

когда существуют ε₁ > 0 и ε₂ > 0 такие, что разрешима система из двух МН

ε²¹

ε²²

(3.4)

I₁ = I₁ +

u⁺¹(ε₁)u⁺¹(ε₁)^⊤ < 0,

I₂ = I₁ +

u⁺²(ε₂)u⁺²(ε₂)^⊤

< 0.

В [9] получено РМН, эквивалентное системе (3.4), и приведено частотное

условие разрешимости этого МН. Однако РМН из [9] не является ЛМН от-

носительно входящих в него дополнительных параметров и, как следствие,

частотное условие его разрешимости весьма громоздко. Здесь предлагается

новый прием, который позволяет получить РМН для системы (3.4) в виде

ЛМН и существенно упростить частотное условие существования КФЛ для

108

системы (3.1) при N = 3. Ключевая идея этого приема состоит в том, что-

бы перейти от неравенств на (n × n)-матрицы в (3.4) к эквивалентным им

неравенствам на ((n + 1) × (n + 1))-матрицы, используя лемму Шура. В ре-

зультате получается следующая система МН, эквивалентная (3.4):









I₁

u⁺¹

I₁

u⁺²

(3.5)

I₁ < 0

I₁ =

<0,

I₂ < 0

I₂ =

< 0.

(u⁺¹)⊤ -2/ε21

(u⁺²)⊤ -2/ε2

Матрица разности имеет вид





0n×n u² - u¹

I₂ -

I₁ =

,

(•)^⊤

2/ε²¹ - 2/ε²

где во избежание путаницы используется обозначение 0_n×m это матрица

размера n × m, все элементы которой равны 0. Здесь и далее символы “ • ”

обозначают элементы под главной диагональю симметрической матрицы, ко-

торые совпадают с соответствующими элементами над главной диагональю.

Введем обозначения p ≜ u⁺² - u⁺¹ и γ ≜ 1/ε²¹ - 1/ε²², тогда легко видеть, что

)

(0_n×1)

I₂ -

I₁ = pq^⊤+ qp^⊤,

т.е. к системе (3.5) применима теорема 1, на основании которой получим, что

разрешимость системы (3.5) эквивалентна существованию такого ε₃ > 0, что

разрешимо одно МН

(

)(

)_⊤

≃

ε²³

(3.6)

I₁ +

< 0.

ε²³

ε²

По лемме Шура МН (3.6) эквивалентно следующему МН в расширенном про-

странcтве:









I₁

u⁺¹(ε₁)

≃

I₁

p+ (1/ε²³)q













(3.7)

=

•)^⊤

-2/ε²¹

γ + 1/ε²³

< 0.

(



(•)^⊤

-2/ε²

(•)^⊤ γ + 1/ε²³

-2/ε²

≅

Используя для τ_j (s = 1, 3) обозначения (2.18), для элементов матрицы

получим соотношения:

(

)

τ₁

τ₂

u⁺¹(τ₁) = p₁ +

q₁, u⁺²(τ₂) = p₂ +

q₂, γ =

τ₁ - τ₂

Полученный результат об эквивалентности связной системы (3.3) из трех

МН и МН (3.7) сформулируем в нейтральных терминах.

109

Теорема 2. Пусть в системе (3.3) неравенства являются ЛМН от-

носительно неизвестной переменной ν, т.е. I_s = I_s(ν), s = 1,3, и Q_j(ν) =

= p_j(ν)q^⊤j + q_jp⊤j (ν), где p_j = p_j(ν) зависит от ν линейно, а q_j от ν не зави-

сит, j = 1,2. Тогда система (3.3) эквивалентна одному МН





τ₂

τ₁

I₁(ν) p₁(ν) +

q₁

p₂(ν) - p₁(ν) +

q₂ -





≅









< 0,

•)^⊤

-τ₁

(τ₁ - τ₂ + τ₃)/2

(



(•)^⊤

•

-τ₃

которое является ЛМН относительно (ν, τ₁, τ₂, τ₃).

≅

Выразим

I в исходных терминах, используя (2.14) для p_j и q_j:





A^⊤L + LA Lb1 + (τ1/2)c1 L(b2 - b1) - (τ1/2)c1 + (τ2/2)c2

≅









(3.8)

(•)^⊤

-τ₁

(τ₁ - τ₂ + τ₃)/2

< 0.





(•)^⊤

•

-τ₃

Таким образом, МН (3.8) является ЛМН относительно неизвестных L и τ_j,

j = 1,3, и численно решается стандартными программными средствами.

Более того, МН (3.8) может быть представлено в виде (2.10) при

(

)

(

)

(

)

(τ1 -τ1

τ₁

(τ₂ - τ₁ - τ₃)

(3.9)

b₁

b₂ - b₁

, C=

c₁

c₂

, T =

, Γ=

τ₂

•

τ₃

В этом случае разрешимость МН (2.10) определяется из частотной теоре-

мы [10, с. 54](KYP лемма), что приводит к следующему критерию существо-

вания КФЛ для системы с переключениями (3.1) при N = 3.

Теорема 3. Пусть при N = 3 в системе (3.1) матрицы A_s опреде-

ляются соотношениями (3.2) и матрица A гурвицева. Если существу-

ет какой-либо набор чисел τ_j > 0, j = 1,3, такой что Γ > 0 и при любых

ω ∈ [-∞,∞] выполняется частотное неравенство (2.11), в котором матри-

ца Γ и элементы матрицы W (iω) определены в (3.9), тогда у системы (3.1)

существует КФЛ (система (2.13) разрешима, система (3.1) устойчива).

Если у системы (3.1) существует КФЛ (система (2.13) разрешима), то

такой набор чисел τ_j > 0, j = 1, 3, существует.

Понятно, что критерий теоремы 3 существенно проще и лучше, чем кри-

терий теоремы 2 из [9].

4. Альтернативный взгляд на круговой критерий.

Уменьшение размерности систем ЛМН

Круговой критерий получается как условие разрешимости МНКК (2.10),

которое является ЛМН относительно входящих в него неизвестных L и τ_j,

110

j = 1,m, и численно решается стандартными программными средствами. Та-

ким образом, вместо системы (2.13), имеющей общую размерность 2^mn, мож-

но рассматривать одно МНКК (2.10) размерности n + m с m дополнитель-

ными параметрами. При этом необходимо учитывать возможные потери в

области существования КФЛ, связанные с ущербностью S-процедуры.

Критерий теоремы 2 позволяет без потерь в области существования КФЛ

перейти от системы (2.13), которая в случае N = 3 имеет общую размер-

ность 3n, к одному МН (3.8) размерности n + 2, зависящему от трех допол-

нительных параметров.

Абсолютная устойчивость системы Лурье (2.3) в случае m = 2 эквивалент-

на [9] устойчивости при произвольных переключениях системы (3.1), в кото-

рой матрицы A_s определяются соотношениями

(4.1)

A₁ =A, A₂ =A + b₁c^⊤1, A₃ =A + b₂c^⊤2, A₄ =A + b₁c^⊤1+ b₂c^⊤2, b_s,c_s ∈ Rⁿ.

Теорему 2 можно применить к соответствующей системе ЛМН (2.13) при

N = 4. Для этого нужно теорему 2 применить сначала к трем неравенствам

из системы и затем полученное неравенство объединить в систему с остав-

шимся МН. В результате получим систему из двух МН, которая эквива-

лентна исходной, имеет общую размерность 2n + 2 и зависит от трех до-

полнительных параметров. Исходная система ЛМН (2.13) при N = 4 имеет

размерность 4n.

В следующей теореме, которая объединяет теорему 1 и лемму Шура, пред-

лагается еще один прием уменьшения размерности связных систем ЛМН.

Теорема 4. Пусть в системе (2.1) неравенства являются ЛМН отно-

сительно неизвестной переменной ν, т.е. I₁ = I₁(ν) и I₂ = I₂(ν), и Q до-

пускает представление Q(ν) = I₂(ν) - I₁(ν) = p(ν)q^⊤ + qp^⊤(ν), где p = p(ν)

зависит от ν линейно, а q от ν не зависит. Тогда система (2.1) эквива-

лентна одному МН



I₁(ν) p(ν) + (τ/2)q



<0,

(•)^⊤

-τ

которое является ЛМН относительно (ν, τ).

В результате использования теоремы 4 для системы ЛМН (2.13) при N = 4

получим систему из двух МН, которая эквивалентна исходной, имеет общую

размерность 2n + 2 и зависит от двух дополнительных параметров. По срав-

нению с использованием теоремы 2 выгода минимальна на один дополни-

тельный параметр меньше.

Сравним с прикладной точки зрения эффективность использования тео-

ремы 2 и теоремы 4 для уменьшения размерности систем ЛМН еще в двух

случаях системы (2.13): при N = 6 и при N = 8. В случае N = 8 пусть это бу-

дет система (2.13) для определения условий существования КФЛ для системы

111

Лурье (2.3) при m = 3, т.е. N = 2^m. Теорему 4 можно применить к четырем

парам МН в результате получим систему из четырех неравенств общей

размерности 4n + 4 с четырьмя дополнительными параметрами. С другой

стороны, можно применить теорему 2 к двум тройкам МН и теорему 4 к

оставшейся паре МН в результате получим систему из трех неравенств об-

щей размерности 3n + 5 с семью дополнительными параметрами. Исходная

система ЛМН (2.13) при N = 8 имеет размерность 8n.

В случае N = 6 рассмотрим систему с переключениями с некоторым за-

пасом связности, который позволит применить теорему 2 к двум тройкам из

этой системы, а теорему 4 к трем двойкам. Например, это может быть си-

стема с переключениями типа призма, в которой матрицы A_s определяются

соотношениями

A₁ = A,

A₂ =A + b₃c^⊤3,

A₃ = A + b₁c^⊤1, A₄ =A + b₁c^⊤1 + b₃c^⊤3,

A₅ = A + b₂c^⊤2, A₆ =A + b₂c^⊤2 + b₃c^⊤3, b_s,c_s ∈ Rⁿ.

Тогда двукратное применение теоремы 2 приведет к системе из двух нера-

венств общей размерности 2n + 4 с шестью дополнительными параметрами,

а трехкратное применение теоремы 4 к системе из трех неравенств общей

размерности 3n + 3 с тремя дополнительными параметрами. Исходная систе-

ма ЛМН (2.13) при N = 6 имеет размерность 6n.

В конце раздела покажем, как теорему 4 применить для уменьшения раз-

мерности системы (2.13) при решении вопроса о существовании КФЛ для

системы Лурье (2.3) с произвольным конечным m. Каждое применение тео-

ремы 4, с одной стороны, уменьшает количество МН в системе на единицу,

с другой стороны, увеличивает на единицу количество неизвестных. От си-

стемы (2.13) относительно n(n + 1)/2 неизвестных, имеющей в этом случае

общую размерность 2^mn, можно перейти к эквивалентной системе размерно-

сти 2^m-1(n + 1) относительно n(n + 1)/2 + 2^m-1 неизвестных.

Теорема 5. При N = 2^m система МН (2.13) эквивалентна системе МН





L + LA_s Lb_m + (τ_s/2)c_m

A^⊤s



<0,s=1,2m-1_,

(4.2)

(•)^⊤

-τ_s

с 2^m-1 дополнительными параметрами τ_s > 0.

Доказательство теоремы 5 приведено в Приложении.

5. Улучшение кругового критерия в случае двух нелинейностей

В разделе 4 было отмечено, что абсолютная устойчивость системы Лу-

рье (2.3) в случае m = 2 эквивалентна [9] устойчивости системы с переклю-

чениями (3.1), в которой матрицы A_s определяются соотношениями (4.1).

112

В этом случае система МН (2.13) примет вид

(5.1)

I_s = A^⊤sL + LA_s

< 0, s = 1, 4,

где матрицы A_s определены в (4.1).

В [12] при m = 2 рассматривается задача существования КФЛ для систем

Лурье с дискретным временем. Там для улучшения критерия Цыпкина пред-

лагаются критерий A и критерий B. В [12] показано, что на одних примерах

критерий A дает более точный результат, чем критерий Цыпкина, на дру-

гих наоборот. Критерий B либо повторяет, либо улучшает оценку области

устойчивости по сравнению с критерием Цыпкина. В непрерывном случае

аналогом критерия Цыпкина является круговой критерий, поэтому интерес-

но, к каким результатам в непрерывном случае приведут подходы, использо-

ванные при получении критерия A и критерия B.

Чтобы перейти к предметному обсуждению, кратко повторим схему из [12]

получения РМН [8], эквивалентного исходной системе (5.1):

I₂

←→ I₁

←→ I₃

←→ I₄

↓ε₁

↓ε₃

↓ε₂

I₁

←→

I₃

←→

I₂

↓ε₄

↓ε₅

≈

I₁

←→

I₂

↓ε₆

≈

В этой схеме горизонтальные стрелки указывают на пары неравенств, к

которым применима теорема 1. Вертикальные стрелки указывают на МН,

полученные в результате применения этой теоремы, а ε_s появляющиеся

при этом новые параметры. Чтобы на схеме выражения для МН через u^±s

были одинаковы для непрерывного и дискретного случая, сохраним выра-

жения из (2.14) для p_j и q_j через Lb_j и c_j , но изменим выражения из (2.15)

для u^±s через p_j и q_j, т.е. теперь векторам u^±s будут соответствовать другие

величины, отличные от определенных в (2.15) и используемых в разделах 2

и 3. Приведем выражения для МН из схемы через p_s и q_s из (2.14) при m = 2.

Далее используем обозначение ε^±s = 1 ± 1/ε^2s.

Неравенства первого уровня:

ε²¹

(5.2)

I₁ = I₁ +

u⁺¹(u⁺¹)^⊤ = I₂ +

u^-1(u^-1)^⊤ < 0, u^±1 = p₁ ±

q₁,

ε²

ε²²

(5.3)

I₂ = I₃ +

u⁺²(u⁺²)^⊤ = I₄ +

u^-2(u^-2)^⊤ < 0, u^±2 = p₁ ±

q₁,

ε²

ε²³

(5.4)

I₃ = I₁ +

u⁺³(u⁺³)^⊤ = I₃ +

u^-3(u^-3)^⊤ < 0, u^±3 = p₂ ±

q₂,

ε²

гд

I₁ < 0= I₁ < 0, I₂ < 0,

I₂ < 0= I₃ < 0, I₄ < 0,

I₃ < 0= I₁ < 0, I₃ < 0.

113

Неравенства второго уровня:

≈

ε²⁴

ε₁ε^∓4

ε₃ε^±4

(5.5)

I₁

I₁+

u⁺⁴(u⁺⁴)^⊤

I₃ +

u^-4(u^-4)^⊤ <0, u^±4 =

u⁺¹ +

u⁺³,

≈

ε²⁵

ε₂ε^∓5

ε₃ε^±5

(5.6)

I₂

I₂ +

u⁺⁵(u⁺⁵)^⊤

I₃ +

u^-5(u^-5)^⊤ <0, u^±5 =

u⁺² +

u^-3,

≈

где

I₁ < 0=

I₁ < 0

I₃ < 0,

I₂ < 0=

I₂ < 0

I₃ < 0.

Результирующее матричное неравенство:

≈

ε²⁶

≈

ε²⁶

ε₄ε^∓6

ε₅ε^±6

(5.7)

I=I1 +

u⁺⁶(u⁺⁶)^⊤ =

I₂ +

u^-6(u^-6)^⊤ < 0, u^±6 =

u^-4 +

u^-5,

≈

где

I₁ < 0,

I₂ < 0.

При получении критерия A в [12] используется подход (подход A), ко-

торый, если перенести его на непрерывный случай, состоит в следую-

щем: в РМН (5.7) два из шести дополнительных параметров полагаются

равными 1, а именно ε₄ = ε₅ = 1. Из-за этого предположения неравенство

≈

I(ε₁, ε₂, ε₃, 1, 1, ε₆) ≜

I(1) < 0 является лишь достаточным условием для вы-

полнения всей системы (5.1). Далее сравниваются условия выполнимости

≈

этого МН

I(1) < 0 и условия кругового критерия. Покажем, как работает

подход A в непрерывном случае. Выражения для МН второго уровня че-

рез u^±s одинаковы для непрерывного и дискретного случая, поэтому кратко

повторим выкладки из [12]. Если в (5.5) и (5.6) положить ε₄ = ε₅ = 1 (в этом

случае ε⁺⁴ = ε⁺⁵ = 2, ε^-4 = ε^-5 = 0), то

u⁺⁴ = ε₃u⁺³, u^-4 = ε₁u⁺¹, u⁺⁵ = ε₃u^-3, u^-5 = ε₂u⁺²,

и для соответствующих МН второго уровня справедливы выражения

≈

ε²¹

ε²³

I₁₍₁₎

I₃ +

u⁺¹(u⁺¹)^⊤ = I₁ +

u⁺¹(u⁺¹)^⊤ +

u⁺³(u⁺³)^⊤ < 0,

(5.8)

≈

ε²²

ε²³

I₂₍₁₎

I₃ +

u⁺²(u⁺²)^⊤ = I₁ +

u⁺²(u⁺²)^⊤ +

u⁺³(u⁺³)^⊤ < 0.

Учитывая выражения из (5.2)-(5.4) для u^±s через p_j и q_j, получим,

что МНКК (2.16) при m = 2 имеет вид (для экономии места считаем, что

u^+s(u^+s)^⊤(ε) и u^+s(ε)u^+s(ε)^⊤ одно и то же)

ε²¹

ε²³

(5.9)

I_cir = I₁ +

u⁺¹(u⁺¹)^⊤(ε₁) +

u⁺³(u⁺³)^⊤(ε₃

) < 0.

Очевидно, из разрешимости любого из двух МН (5.8) следует разрешимость

МНКК (5.9).

114

С другой стороны, пусть (здесь и далее) МНКК (5.9) разрешимо при

ε₁ = ε_1cir и ε₃ = ε_2cir. Тогда первое из МН (5.8) разрешимо при ε₁ = ε_1cir

и ε₃ = ε_2cir, а второе при ε₂ = ε_1cir и ε₃ = ε_2cir. Следовательно, разреши-

≈

мо МН

I(ε_1cir, ε_1cir, ε_2cir, 1, 1, ε₆) < 0 с некоторым ε₆, которое определяется

при использовании теоремы 1 для системы (5.8) из двух МН. Полученный

результат сформулируем в виде теоремы.

Теорема 6. Разрешимость МНКК (2.16) при m = 2 эквивалентна раз-

решимости РМН (5.7) при ε₄ = ε₅ = 1.

Таким образом, в непрерывном случае использование подхода A приводит

к тем же условиям существования КФЛ, что и условия кругового критерия.

При получении критерия B в [12] используется подход (подход B), ко-

торый, если перенести его на непрерывный случай, состоит в следующем:

в РМН (5.7) положить ε₄ = ε₅ = ε, т.е. оставить пять дополнительных па-

раметров вместо шести. Далее сравнить аналитически условия выполнимо-

≈

сти МН

I(ε₁, ε₂, ε₃, ε, ε, ε₆) ≜I(ε) < 0 и МНКК (5.9).

Такое сравнение было проведено (детали опустим). В результате в рамках

сделанных огрубляющих предположений, которые делают возможным такое

сравнение, не удалось аналитически показать улучшения кругового критерия

при подходе B. Тем не менее возможность такого улучшения остается. Чтобы

это проверить, нужно сравнить области квадратичной устойчивости (ОКУ),

получаемые из разрешимости РМН (5.7) при ε₄ = ε₅ = ε и МНКК (5.9) на

численных примерах.

Заметим, что МН (5.5) и (5.6), и тем более РМН (5.7), не являются ЛМН

относительно входящих в них переменных. Поэтому перейдем от неравенств

второго уровня (5.5) и (5.6) к эквивалентным им неравенствам, которые явля-

ются ЛМН. По теореме 2, система из трех МН I_s < 0, s = 1, 3, из системы (5.1)

эквивалентна одному МН





τ₃

A^⊤L + LA Lb₁ + (τ₁/2)c₁ L(b₂ - b₁) -

c₁ +









(5.10)





< 0,

I1 =

(•)^⊤

-τ₁

(τ₁ - τ₃ + τ₄)/2





(•)^⊤

•

-τ₄

которое является ЛМН относительно неизвестных L и τ_j , j = 1, 3, 4, и экви-

валентно МН (5.5). Аналогично, система из трех МН I_s < 0, s = 2, 4, из (5.1)

эквивалентна одному МН





τ₂

τ₃

A^⊤3L + LA₃ Lb₁ +

c₁

L(b₂ - b₁) -

c₁ -









(5.11)





< 0,

I2 =

(•)^⊤

-τ₂

(τ₂ - τ₃ + τ₅)/2





(•)^⊤

•

-τ₅

115

которое является ЛМН относительно неизвестных L и τ_j , j = 2, 3, 5, и экви-

валентно МН (5.6). Если объединить эти два МН в систему

(5.12)

I1 < 0,

I2 < 0,

то разрешимость системы (5.12) эквивалентна разрешимости РМН (5.7).

Возникает естественный вопрос о соотношении параметров ε_j , от которых

зависит РМН (5.7), и τ_j, от которых зависит система (5.12). Параметры ε_j

появляются в РМН (5.7) в соответствии со схемой и формулами (5.2)-(5.7).

Параметры τ_j появляются в системе (5.12) в соответствии с теоремой 2. При

выводе теоремы 2 параметр ε₃ из (3.6) появляется в результате примене-

ния теоремы о свертывании к МН размерности n + 1 (аналога ε₃ в схеме

и в РМН (5.7) нет). Поэтому хотя между параметрами ε_j, j = 1,3, из схе-

мы и РМН (5.7) и параметрами τ_j, j = 1, 3, из (5.12) выполняется соответ-

ствие (2.18), но между параметрами τ₄ и τ₅ из (5.12) и параметрами ε₄ и ε₅ из

РМН (5.7) такого соответствия нет. Таким образом, из ε₄ = ε₅ = ε не следует

τ₄ = τ₅ = τ и наоборот. Поэтому разрешимость РМН (5.7) при ε₄ = ε₅ = ε не

эквивалентна разрешимости системы (5.12) при τ₄ = τ₅ = τ, хотя разреши-

мость РМН (5.7) эквивалентна разрешимости системы (5.12).

Возникает новая версия подхода B. В непрерывном случае будем счи-

тать аналогом критерия B из [12] условие разрешимости системы (5.12) при

τ₄ = τ₅ = τ назовем его критерием C. Сравним теперь условия критерия C

и условия кругового критерия. Для этого выясним, при каких τ₄ и τ₅ выпол-

нены МН системы (5.12) при условии выполнения МНКК.

Теорема 7. Пусть МНКК (5.9) разрешимо при ε₁ = ε_1cir и ε₃ = ε_2cir.

Тогда система (5.12) выполняется при

τ₁ = τ₂ = 2/ε^21cir, τ₃ = 2/ε^22cir, τ₄ = τ₅ = 2/ε^21cir + 2/ε^22cir.

Доказательство теоремы 7 приведено в Приложении.

Из теоремы 7 следует, что ОКУ по критерию C не хуже, чем по кругово-

му критерию. При этом использование критерия C не гарантирует улучше-

ния кругового критерия. Тем не менее такое улучшение удается показать на

численных примерах. Для полноты картины приведем один такой пример, в

котором ОКУ по критерию C шире, чем по круговому критерию.

Пример 1. Рассматривается система Лурье вида (2.3) при n = 6, в ко-

торой матрица A имеет форму Фробениуса и поэтому здесь задается только

последней строкой

A ∼ [-10,0

- 34,0

- 49,0

- 40,0

- 20,0

- 6,0 ],

spectr(A) = [-1,0

- 1,0

- 1,0 - i

- 1,0 + i

- 1,0 - 2i

- 1,0 + 2i ],

b^⊤1 = (0 0 0 k₁ 0 0), b^⊤2 = (0 0 0 0 k₂ 0),

c^⊤1 = (0 0 0 0 1 1), c^⊤2 = (0 0 0 0 1 1).

116

Таблица

Прогр.  Лучи

(1, 1)

(1, 2)

(1, 3)

(2, 1)

(3, 1)

0,45684

0,32608

0,25301

0,28482

0,20674

0,44831

0,31943

0,24813

0,28088

0,20453

0,45684

0,32608

0,25301

0,28482

0,20674

Для рассматриваемого примера находятся оценки ОКУ, вычисляемые с

помощью трех тестируемых алгоритмов. Алгоритм NS (обозначения алго-

ритмов далее будут использоваться в таблице) состоит в нахождении ОКУ

в соответствии с необходимыми и достаточными условиями существова-

ния КФЛ путем проверки системы (5.1). Алгоритм CC состоит в нахож-

дении оценки ОКУ с помощью кругового критерия, т.е. путем проверки

МНКК (2.10). Алгоритм C состоит в нахождении оценки ОКУ с помощью

критерия C, т.е. путем проверки системы (5.12) при τ₄ = τ₅ = τ.

Для нахождения ОКУ рассматривается луч, выходящий из точки 0. Да-

лее выбирается и фиксируется произвольный вектор α = (α₁, α₂) (естествен-

но, α_s ≥ 0), направленный вдоль этого луча, и решается задача определения

наибольшего числа k, такого что при (k₁, k₂) = kα выполняется условие со-

ответствующего критерия. Сравнение алгоритмов из указанного набора про-

водилось по пяти различным направлениям α_i, i = 1, 5.

В приведенной таблице в верхней строке указываются лучи α_i, i = 1, 5,

вдоль которых оценивается ОКУ, а в левом столбце приведены обозначения

используемых для этого алгоритмов.

В соответствии с проведенными вычислениями приходим к выводу, что

для рассматриваемого примера ОКУ по критерию C не только превосходит

ОКУ по круговому критерию, но и совпадает (с точностью до погрешности

вычислений) с точной ОКУ для всех рассмотренных направлений α_i.

Система (5.12) имеет общий порядок 2n + 4 и в случае τ₄ = τ₅ = τ зависит

от пяти дополнительных параметров. В то же время система

I1 < 0, I4 < 0,

или система I₁ < 0,

I2 < 0, имеют (каждая) общий порядок 2n + 2 и зависят

от трех дополнительных параметров. При этом каждая из этих систем эк-

вивалентна исходной (5.1) без потерь в области разрешимости. Кроме этого,

применяя к системе (5.1) теорему 5, получим систему из двух ЛМН, экви-

валентную исходной, имеющую общий порядок 2n + 2 и зависящую от двух

дополнительных параметров. Таким образом, проверка условия критерия C

вызывает исключительно теоретический интерес. С прикладной точки зре-

ния, чтобы численно проверить разрешимость системы (5.1), лучше всего

решать систему из двух ЛМН, полученную из теоремы 5.

Замечание 1. Во всех приведенных в статье условиях существования

КФЛ, которые состоят в проверке ЛМН, зависящих от дополнительных па-

раметров, в силу линейности можно без потерь в области разрешимости по-

ложить один дополнительный параметр равным 1, уменьшая тем самым на

117

единицу количество дополнительных параметров. К этим условиям относятся

МНКК (2.10), ЛМН (3.8), системы ЛМН (4.2) и (5.12).

6. Заключение

Во-первых, круговой критерий для системы Лурье с несколькими нели-

нейностями получен без S-процедуры. Во-вторых, для связной системы с пе-

реключениями между тремя линейными подсистемами получен критерий су-

ществования КФЛ как в форме условий разрешимости одного ЛМН, так и в

форме частотного условия. В-третьих, доказаны две теоремы, позволяющие

существенно уменьшить размерность связной системы ЛМН. Использование

этих теорем демонстрируется для случая системы Лурье при m = 2, m = 3 и

произвольном конечном m, а также для систем с переключениями при N = 6.

В-четвертых, проведено сравнение различных подходов для улучшения кру-

гового критерия для системы Лурье при m = 2.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Доказательство теоремы 5. Пусть при N = 2^m в системе (2.13) МН

занумерованы таким образом, что первые 2^m-1 МН I_s < 0, s = 1, 2^m-1, совпа-

дают с неравенствами системы (2.13) при N = 2^m-1, а следующие 2^m-1 МН

I_s < 0, s = 2^m-1 + 1,2^m, занумерованы следующим образом:

(

)

I_s+2m-1 = I_s + Lb_mc^⊤m + c_mb^⊤mL

< 0, s = 1, 2^m-1.

Тогда к парам МН

(Π.1)

I_s < 0, I_s+2m-1 < 0, s = 1,2^m-1,

применима теорема 1. В результате получим, что система МН (2.13) эквива-

лентна системе МН

(

)(

)_⊤

ε^2s

(Π.2)

I_s +

Lb_m +

c_m Lb_m +

c_m

< 0, s = 1, 2^m-1,

ε^2s

с 2^m-1 дополнительным параметрами ε_s > 0. Если в (Π.2) взять ε_s = ε_m > 0,

s = 1,2^m-1, то получим еще одно доказательство, теперь по индукции, пере-

хода от системы (2.13) к МНКК (2.16). Если к каждой паре (Π.1) применить

теорему 4, то получим, что система МН (2.13) эквивалентна системе МН (4.2)

с 2^m-1 дополнительным параметрами τ_s ≜ 2/ε^2s.

Теорема 5 доказана.

Доказательство теоремы 7. Покажем, что из выполнения

МНКК (5.9) следует существование τ₄, при котором выполнено МН (5.10).

Как и в [12], чтобы определить условия, при которых из отрицательной

определенности одной матрицы I_a(ν) < 0, зависящей от условного пара-

метра ν, следует отрицательная определенность другой матрицы I_b(ν) < 0,

118

будем исходить из очевидного достаточного требования: если I_a(ν) < 0 и

I_b(ν) ≤ I_a(ν), то I_b(ν) < 0.

Для удобства вернемся к обозначениям, используемым при получении тео-

ремы 2, и преобразуем МН (5.10)(лемма А4 [13, c. 253])





I₁

u⁺¹ u⁺³ - u









⊤

I1 u+3 - u+1

u⁺¹









+1





I1 =

•)^⊤ -τ₁

δ₁

I₁ =

(

<

(•)^⊤

-τ₄

δ₁

(•)^⊤

•

-τ₄









u⁺¹(u⁺¹)^⊤ δ₁u⁺¹

I₁

u⁺³ - u





=

+







=

τ₁

(•)^⊤

-τ₄

(•)^⊤

δ²





δ₁ - τ

I₁ +

u⁺¹(u⁺¹)^⊤

u⁺¹ + u



τ₁







=

< 0,





δ²¹

(•)^⊤

−τ₄

τ₁

где для краткости введено обозначение δ₁ ≜ (τ₁ - τ₃ + τ₄)/2 и опущены ар-

гументы у векторов u^±j = u^±j(τ_j ). Введем еще упрощающие обозначения

δ₁ - τ₁

τ₁

α₁ ≜

иβ₁ ≜

, тогда по лемме Шура получим

τ₁

τ₁τ₄ - δ²

(Π.3)

I₁ < 0=I1 = I₁ +1 u⁺¹(u⁺¹)^⊤ + β₁ (α₁u⁺¹ + u⁺³)(α₁u⁺¹ + u⁺³)^⊤

< 0.

τ₁

При τ₁ = 2/ε^21cir и τ₃ = 2/ε^22cir разность между квадратичными формами, со-

ответствующими матрицам I_cir из (5.9) и

I₁ из (Π.3), представляет собой раз-

ность квадратов

(

)(

I₁- I_cir ≜ Δ₁ = β₁

α₁u⁺¹ + u⁺³

)^⊤ -1 u⁺³(u⁺³)^⊤.

τ₃

Неравенство Δ₁ ≤ 0 для разности квадратов будет выполняться, если стоя-

щие под этими квадратами линейные формы будут пропорциональны, т.е.

α₁u⁺¹ + u⁺³ = λ₁u⁺³,

что возможно только если α₁ = 0 или τ₄ = τ₁ + τ₃. В этом случае Δ₁ = 0.

Далее выясним, при каких τ₅ из выполнения МНКК (5.9) следует выпол-

нение МН (5.11). Для этого повторим с МН (5.11) манипуляции, проделанные

выше с МН (5.10). В результате получим

(

)(

)_⊤

(Π.4)

I2 < 0=I

2= I3 +

u⁺²(u⁺²)^⊤ + β₂

α₂u⁺² + u^-3

< 0,

τ₂

119

δ₂ - τ₂

τ₂

где δ₂ ≜ (τ₂ - τ₃ + τ₅)/2, α₂ ≜

и β₂ ≜

. Примем во вни-

τ₂

τ₂τ₅ - δ²

мание u⁺²(τ) = u⁺¹(τ) и воспользуемся соотношением I₁ +

u⁺³(u⁺³)^⊤(τ₃) =

τ₃

=I₃ +

u^-3(u^-3)^⊤(τ₃). Тогда при τ₂ = 2/ε^21cir и τ₃ = 2/ε^22cir разность меж-

τ₃

ду квадратичными формами, соответствующими матрицам I_cir из (5.9) и

I₂

из (Π.4), представляет собой разность квадратов

(

)(

I₂- I_cir ≜ Δ₂ = β₂

α₂u⁺² + u^-3

)^⊤ -1 u^-3(u^-3)^⊤.

τ₃

Неравенство Δ₂ ≤ 0 для разности квадратов будет выполняться, если стоя-

щие под этими квадратами линейные формы будут пропорциональны, т.е.

α₂u⁺² + u^-3 = λ₂u^-3,

что возможно только если α₂ = 0 или τ₅ = τ₂ + τ₃. В этом случае Δ₂ = 0.

Теорема 7 доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Liberzon D. Switching in Systems and Control. Boston: Birkhäuser, 2003.

Fradkov A. Early Ideas of the Absolute Stability Theory / 2020 European Con-

trol Conference (ECC). May 12-15. 2020. Saint Petersburg. Russia. P. 762-768.

https://doi.org/10.23919/ECC51009.2020.9143937

Поляк Б.Т., Хлебников М.В., Щербаков П.С. Линейные матричные неравенствав

системах управления с неопределенностью // АиТ. 2021. № 1. С. 3-54.

Polyak B.T., Khlebnikov M.V., Shcherbakov P.S. Linear Matrix Inequalities in Con-

trol Systems with Uncertainty // Autom. Remote Control. 2021. V. 82. No. 1.

P. 1-40.

Якубович В.А. Частотные условия абсолютной устойчивости систем управления

с несколькими нелинейными или линейными нестационарными блоками // АиТ.

1967. № 6. С. 5-30.

Yakubovich V.A. Frequency conditions for the absolute stability of control systems

with several nonlinear or linear nonstationary blocks // Autom. Remote Control.

1967. V. 28. No. 6. P. 1. P. 857-880.

Якубович В.А. Абсолютная неустойчивость нелинейных систем управления. II.

Системы с нестационарными нелинейностями. Круговой критерий // АиТ. 1971.

№ 6. С. 25-34.

Yakubovich V.A. Absolute Instability of Nonlinear Control Systems. II // Autom.

Remote Control. 1971. V. 32. No. 6. P. 1. P. 876-884.

Гусев С.В., Лихтарников А.Л. Очерк истории леммы Калмана-Попова-Яку-

бовича и S-процедуры // АиТ. 2006. № 10. С. 77-121.

Gusev S.V., Likhtarnikov A.L. Kalman-Popov-Yakubovich Lemma and the S-Pro-

cedure: A Historical Essay // Autom. Remote Control.

2006. V. 67. No. 11.

P. 1768-1810.

120

Скородинский В.И. Абсолютная устойчивость и абсолютная неустойчивость си-

стем управления с двумя нелинейными нестационарными элементами. I // АиТ.

1981. № 9. С. 21-29.

Skorodinskii V.I. Absolute Stability and Absolute Instability of Control Systems with

Two Nonlinear Nonstationary Elements. I // Autom. Remote Control. 1981. V. 42.

No. 9. P. 1. P. 1149-1157.

Каменецкий В.А. Абсолютная устойчивость и абсолютная неустойчивость си-

стем упpавления с несколькими нелинейными нестационаpными элементами //

АиТ. 1983. № 12. С. 20-30.

Kamenetskii V.A. Absolute Stability and Absolute Instability of Control Systems

with Several Nonlinear Nonstationary Elements // Autom. Remote Control. 1983.

V. 44. No. 12. P. 1543-1552.

Каменецкий В.А. Частотные условия устойчивости гибридных систем // АиТ.

2017. № 12. С. 3-25.

Kamenetskiy V.A. Frequency-Domain Stability Conditions for Hybrid Systems //

Autom. Remote Control. 2017. V. 78. No. 12. P. 2101-2119.

10.

Гелиг A.X., Леонов Г.A., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с

неединственным состоянием равновесия. М.: Наука, 1978.

11.

Каменецкий В.А. Системы с переключениями, системы Лурье, абсолютная

устойчивость, проблема Айзермана // АиТ. 2019. № 8. С. 9-28.

Kamenetskiy V.A. Switched Systems, Lur’e Systems, Absolute Stability, Aizerman

Problem // Autom. Remote Control. 2019. V. 80. No. 8. P. 1375-1389.

12.

Каменецкий В.А. Дискретные попарно связные системы с переключениями и

системы Лурье, критерий Цыпкина для систем с двумя нелинейностями // АиТ.

2022. № 9. С. 55-80.

Kamenetskiy V.A. Discrete-Time Pairwise Connected Switched Systems and Lur’e

Systems. Tsypkin’s Criterion for Systems with Two Nonlinearities // Autom. Remote

Control. 2022. V. 83. No. 9. P. 1371-1392.

13.

Баландин Д.В., Коган М.М. Синтез законов управления на основе линейных

матричных неравенств. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.

Статья представлена к публикации членом редколлегии П.В. Пакшиным.

Поступила в редакцию 14.07.2020

После доработки 07.11.2022

Принята к публикации 30.11.2022

121