Автоматика и телемеханика, № 3, 2023

Нелинейные системы

(v.evstafieva@spbu.ru)

(Санкт-Петербургский государственный университет)

СИНТЕЗ УПРАВЛЕНИЯ ВОЗМУЩЕННОЙ СИСТЕМОЙ

С НЕОДНОЗНАЧНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ

Объектом изучения является n-мерная система обыкновенных диффе-

ренциальных уравнений с неоднозначной нелинейностью релейного типа

при непрерывном периодическом возмущении. Рассматриваются непре-

рывные, периодические решения системы, траектория которых в фазовом

пространстве состоит из двух кусков, соединяющихся в точках переклю-

чения, соответствующих переключению реле. Разработан алгоритм вы-

бора параметров нелинейности, при которых в системе существует един-

ственное асимптотически орбитально устойчивое периодическое решение

с заданными колебательными свойствами, в том числе с заданным перио-

дом и двумя точками переключения за период.

Ключевые слова: автоматические системы управления, канонические пре-

образования, синтез управления, релейная нелинейность, вынужденные

периодические колебания, точки переключения, устойчивые решения.

DOI: 10.31857/S0005231023030030, EDN: ZYPBFM

1. Введение

Теория релейных автоматических систем активно развивается на протяже-

нии нескольких десятилетий [1-25]. Несмотря на то, что накоплен значитель-

ный опыт и получены интересные научные результаты [14], все еще остают-

ся открытыми вопросы, связанные с существованием и свойствами решений

даже для дифференциальных уравнений 2-го порядка [13], которые требу-

ют теоретического анализа периодических и других колебательных решений

для полного понимания динамики систем с релейными характеристиками.

В системах с релейной обратной связью решения могут иметь достаточно

сложные режимы [14], например, скользящий режим и многократные быст-

рые или медленные переключения [5]. К многомерным системам затрудни-

тельно применять методы, разработанные для двухмерных систем, поэтому

при их исследовании используются методы декомпозиции [10, 15]. Системы

с разрывным управлением широко используются в практике автоматическо-

го регулирования. Методы припасовывания, неподвижных точек и точечных

отображений до сих пор используются активно для исследования кусочно-ин-

тегрируемых (в том числе релейных) систем [17, 19, 24]. В приложениях часто

требуется регулировать поведение автоматической системы с релейной об-

ратной связью и переводить различные типы ее движений в периодические

колебания, а также управлять периодом и характером возникающих коле-

бательных движений. Нелинейность гистерезисного (в том числе релейного)

типа часто используют в прикладных задачах [6, 10, 14].

2. Постановка задачи

В данной статье в качестве объекта управления рассматривается в ев-

клидовом пространстве n-мерная система обыкновенных дифференциальных

уравнений с разрывной нелинейностью и внешней возмущающей силой в пра-

вой части следующего вида:

(1)

= AY + Bu(σ) + Kf(t), σ = (C, Y ).

Здесь собственная матрица системы A и векторы B = (b₁, . . . , b_n)^∗, K =

= (k₁, . . . , k_n)^∗ являются вещественными и не зависят от времени t; символ ∗

означает транспонирование; Y — вектор состояний системы. В роли нели-

нейности рассматривается релейная характеристика u(σ) неидеального двух-

позиционного релейного элемента, которая имеет зону гистерезиса (неодно-

значности) с обходом на плоскости (σ, u) против хода часовой стрелки с по-

роговыми числами ℓ₁, ℓ₂ и выходными числами m₁, m₂ (ℓ₁, ℓ₂, m₁, m₂ —

вещественные числа). Полагаем для определенности, что ℓ₁ < ℓ₂ и m₁ < m₂.

Вектор C = (c₁, . . . , c_n)^∗ определяет обратную связь в системе, является ве-

щественным и постоянным. Рассматриваемую в статье релейную характери-

стику с гистерезисом широко используют в системах автоматического управ-

ления, к примеру, в моделях авторулевых. Внешнее возмущающее воздей-

ствие описывается функцией f(t) из класса непрерывных, T -периодических

функций.

Ввиду сложности исследования аналитическими методами систем с ре-

лейной обратной связью, особенно систем высокой размерности, все чаще

используют приближенные методы с компьютерной реализацией. В этой ста-

тье нелинейная многомерная система исследуется аналитическими методами.

Несмотря на громоздкость формул, полученные результаты дают возмож-

ность теоретического обоснования различных способов проектирования кон-

кретных систем управления. Предлагается подход к решению вопроса синте-

за управления, обеспечивающего существование периодических колебаний с

определенными свойствами в системах с релейной обратной связью. Приме-

няемый в статье подход подробно изложен в [7]. Суть подхода заключается

в следующем: при определенных соотношениях между параметрами систе-

мы, а именно, элементами матрицы A и векторов B, C, исходная система

n-го порядка неособым линейным преобразованием приводится к канониче-

ской системе специального вида, удобного для аналитического исследования

и анализа пространства параметров. Данный подход позволяет определить

в пространстве параметров системы (1) области, отвечающие периодическим

решениям с заданными свойствами.

Решение системы рассматриваем в классе непрерывных, T_B-периодичес-

ких функций с двумя точками переключения, лежащими на гиперплоскостях

вида σ(t) = ℓ_η (η = 1,2), и периодом, равным или кратным периоду функции

внешнего воздействия. Другими словами, период искомого решения систе-

мы задаем соотношением T_B = kT , связывающим период T функции f(t) и

некоторое натуральное число k. Гиперплоскости указанного вида далее бу-

дем называть гиперплоскостями переключения. Под точкой переключения

подразумеваем такое состояние системы, при котором σ достигает одно из

пороговых чисел, а нелинейная характеристика u(σ) при этом меняет значе-

ние выходного числа. В точках переключения происходит “сшивание” кусков

траектории изображающей точки решения в фазовом пространстве в силу

линейных систем следующего вида:

(2)

= AY + Bm_α

+ Kf(t), α = 1,2.

Исследования системы (1) проводились автором ранее [7-9, 15, 19-21].

В [7] получено необходимое условие существования периодического решения

системы (1) с рассматриваемыми свойствами для случая, когда собственные

числа матрицы системы являются простыми, вещественными, ненулевыми,

и по крайней мере одно из них положительное. Кроме того, получены фор-

мулы для определения точек переключения. В [8] установлено достаточное

условие существования искомых периодических решений, и доказана един-

ственность решения с фиксированным периодом для случая простых, ве-

щественных и ненулевых собственных чисел матрицы системы. На основе

результатов, полученных А.В. Покровским [3], сформулирована теорема су-

ществования единственного асимптотически устойчивого решения с перио-

дом, совпадающим с периодом функции внешнего возмущения. В [9] рас-

смотрена гурвицева матрица системы, получены условия существования и

единственности периодического решения, а также проведено исследование

решения на достижимость гиперплоскостей переключения и устойчивость.

В [15] исследована система, матрица которой имеет нулевое собственное чис-

ло. Статьи [19-21] посвящены исследованию периодических и непериодиче-

ских колебательных решений с периодами, соизмеримыми с периодом функ-

ции внешнего возмущения, вида T_B = T/k. В [19, 20] рассмотрен вопрос су-

ществования гармонических колебаний специального типа для разных слу-

чаев, а именно, с положительным и кратным ненулевым собственным чис-

лом матрицы соответственно. В [20] матрица системы приводится к жорда-

новой форме. В статье [21] рассмотрена вещественная симметрическая мат-

рица с кратным ненулевым собственным числом, и исследованы непериодиче-

ские колебательные решения. Матрица системы приводится к диагональному

виду.

В данной статье дополнены и обобщены результаты исследования перио-

дических решений системы (1) с периодами, кратными периоду функции f(t),

когда матрица системы имеет простые ненулевые собственные числа, т.е. ре-

зультаты, полученные в [7-9]. В отличие от [7-9] в настоящей статье условия

достижимости гиперплоскостей переключения без касания и условия асимп-

тотически орбитальной устойчивости решения исходной системы сформули-

рованы в виде теорем, обобщающих случай ненулевых собственных чисел

матрицы (теорема 3 и теорема 4 соответственно). Основным результатом ис-

следования является алгоритм синтеза управления системы (1) для суще-

ствования единственного асимптотически орбитально устойчивого периоди-

ческого решения с заданным периодом и двумя точками переключения за

период.

3. Построение систем трансцендентных уравнений

Решение системы (1) рассматриваем в форме Коши

∫t

(3)

Y (t) = eA(t-t0)Y (t₀) + e-A(τ-t) (Bm_α

+ Kf(τ))dτ (α = 1,2),

t₀

где t₀ — начальный момент времени. Точки переключения Y¹, Y² периоди-

ческого решения системы обладают следующим свойством:

Y β = Y (t₀,m_α,t₀) = Y (t₀,m_α,t₀ + T_B), (C,Y ^β) = ℓ_η, ∀α, β, η = 1, 2.

Полагаем, что изображающая точка периодического решения системы (1) на-

чинает свое движение в точке Y¹ на гиперплоскости σ = ℓ₁ в момент времени

t₀ = 0 и достигает гиперплоскость σ = ℓ₂ в точке Y² в момент времени t = t₁

(момент первой встречи с σ = ℓ₂, см. определение 1 в [19]) в силу системы (2)

при условии, что m_α = m₁. Затем она возвращается на гиперплоскость σ = ℓ₁

в точку Y ¹ в момент времени t = T_B (момент первой встречи с σ = ℓ₁) в силу

системы (2) при условии, что m_α = m₂. Таким образом, согласно предпи-

санной последовательности движения изображающей точки решения систе-

мы (1) имеем Y (0) = Y (T_B ) = Y¹, Y (t₁) = Y².

Рассмотрим модель внешнего T -периодического возмущения вида

(4)

f (t) = f₀ + f₁ sin(ωt + ϕ₁) + f₂ sin(2ωt + ϕ₂

где f₀, f₁, f₂, ϕ₁, ϕ₂, ω — вещественные постоянные, T = 2π/ω, ω > 0.

Предположим, что система (1) имеет хотя бы одно периодическое решение

с периодом T_B, и изображающая точка этого решения движется по траекто-

рии в предписанной выше ей последовательности. Приведем систему транс-

цендентных уравнений в общем виде относительно двух моментов времени

переключения (при этом второй момент времени совпадает с периодом ис-

комого решения системы) и отвечающих им точек переключения в фазовом

пространстве [7]. Имеем

(

)

(

)

(5)

ℓ₁ =

C,Y¹

ℓ₂ =

C,Y²

где

∫t1

Y² = eAt1 Y¹ + eA(t1-τ)(Bm₁ + Kf(τ))dτ,

∫

Y¹ = eA(TB-t1)Y² + eA(TB-τ)(Bm₂ + Kf(τ))dτ.

t₁

Заметим, что полученную систему из четырех уравнений можно решать отно-

сительно t₁, T_B, Y¹, Y² численными методами, но цель данного исследования

состоит в том, чтобы решить точными методами. Поэтому для разрешимо-

сти системы (5) в аналитическом виде далее преобразуем исходную систему

к каноническому виду.

Условия обратимости. Будем считать элементы матрицы A и вектора B

параметрами. Пусть выполняются следующие условия на параметры систе-

мы (1): 1) матрица A имеет только простые собственные числа, 2) векторы

B,AB,A²B,... ,An-1B являются линейно независимыми.

Данные условия гарантируют обратимость преобразования исходной си-

стемы в канонический вид, позволяющий провести аналитическое исследо-

вание. Исходная и каноническая системы в процессе исследования являют-

ся взаимозаменяемыми. Ради простоты выкладок рассмотрим только веще-

ственные собственные числа.

Выпишем системы трансцендентных уравнений для различных случаев

ненулевых собственных чисел матрицы системы. Пусть матрица A имеет про-

стые, вещественные и ненулевые собственные числа λ_i (i = 1, n). Далее крат-

ко опишем рассмотренный в [7] общий подход к преобразованию исходной

системы и приведению системы трансцендентных уравнений (5) к упрощен-

ному виду, разделяющего моменты времени и точки переключения. В этом

случае систему (1) приводим неособым преобразованием Y = SX к канони-

ческому виду

(6)

= A₀X + B₀u(σ) + K₀

f (t), σ = (Γ, X),

где

⎛

⎞

⎛

⎞

λ₁

^⎛1

k¹⁰

^⎛γ₁

⎜

⎟

A₀ =

⎠,K0 = ⎝

⎠,Γ= ⎝_...⎠.

⎝ .

⎠, B0 =^⎝

kⁿ

γ_n

λ_n

Элементы γ_i (i = 1, n) вычисляются по формуле

∑

-1

(7)

γ_i =

c_hN_h(λ_i

D^′(λ_i)

h=1

где



∑

dD(p)



D^′(λ_i) =

D(p) = |A - pE| , N_h(p) = b_iD_ih(p).



p=λ_i

i=1

Здесь λ_i — корни характеристического уравнения D(p) = 0, E — единич-

ная матрица, D_ih(p) — алгебраическое дополнение элемента a_ih определи-

теля D(p), стоящего на пересечении i-й строки и h-го столбца, b_i — элементы

вектора B, c_h — элементы вектора обратной связи C, p — некоторый веще-

ственный параметр.

Матрица преобразования S имеет следующий вид:

⎛

⎞

N₁(λ₁)

N₁(λ_n)

···

⎜

D^′(λ₁)

D^′(λ_n)

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

(8)

S=-⎜

⎟.

⎜

⎟

⎠

⎝Nn(λ₁)

N_n(λ_n)

D^′(λ₁)

D^′(λ_n)

Дополнительно в качестве параметров исходной (и, как следствие, кано-

нической) системы рассмотрим элементы вектора обратной связи. Выбираем

параметры вектора Γ таким образом, что все элементы, кроме одного, равны

нулю. Индекс при ненулевом элементе вектора Γ обозначим через s. Иными

словами, полагаем γ_s = 0 и γ_j = 0, где j = 1, . . . , s - 1, s + 1, . . . , n. В соответ-

(

)

ствии с (7) параметры c_h

h = 1,n

выбираем из следующей системы:

∑

(9)

c_hN_h (λ_j) = 0,

c_hN_h (λ_s

) = 0.

h=1

Предположение относительно параметров вектора обратной связи позволя-

ет расщепить систему n-го порядка на системы 1-го порядка, которые могут

быть последовательно проинтегрированы и до конца исследованы аналитиче-

скими методами, а также упростить систему трансцендентных уравнений (5).

Функция σ(t) определяется из системы дифференциальных уравнений

(10)

σ(t) = γ_sx_s,

x_s = λ_sx_s + u(σ) + k0s

f (t),

остальные переменные x_j (j = s) определяются из неоднородных линейных

уравнений 1-го порядка

(11)

x_j = λ_jx_j + u(σ) + k0j

f (t), j = 1, . . . , s - 1, s + 1, . . . , n.

Отметим, что в условиях указанного выбора параметров вектора обратной

связи, когда один параметр полагаем ненулевым (с индексом s), а все осталь-

ные параметры вектора нулевыми, обе гиперплоскости переключения в ко-

ординатах x_i (i = 1, n) ориентируются ортогонально оси x_s. С помощью (10)

можно найти время перехода изображающей точки решения от одной гипер-

плоскости переключения к другой как постоянную величину, не зависящую

от начального положения этой точки на исходной гиперплоскости переключе-

ния. Далее, если подставить найденное значение времени перехода в решения

уравнений (11), то зависящие от времени выражения становятся постоянны-

ми величинами. Таким образом, решение систем уравнений (10), (11) опре-

деляет точечное отображение одной гиперплоскости переключения в другую

гиперплоскость.

Решая систему уравнений (10) относительно функции σ(t) с началь-

ными и граничными условиями ℓ₁ = σ(ℓ₁, 0, m₁, 0), ℓ₂ = σ(ℓ₁, 0, m₁, t₁), ℓ₁ =

= σ(ℓ₂,t₁,m₂,T_B), получаем систему трансцендентных уравнений относи-

тельно моментов времени переключения t₁, T_B и формулы для нахождения

точек переключения X¹, X². Система трансцендентных уравнений при усло-

вии λ_s > 0 (случай рассмотрен в [7]) принимает вид

(

γ_s

γ_sk0sf₁

ℓ₂ = ℓ₁ +

(m₁ + k0sf₀) +

√

sin(ϕ₁ + δ₁) +

λ_s

λ2s + ω²

)

γ_sk0sf₂

√

sin(ϕ₂ + δ₂) eλst¹ -

γ_s (m₁ + k0sf₀) -

λ2s + 4ω²

λ_s

γ_sk0sf₁

γ_sk0sf₂

−

√

sin(ωt₁ + ϕ₁ + δ₁) -

√

sin(2ωt₁ + ϕ₂ + δ₂),

λ2s + ω²

λ2s + 4ω²

(

γ_s

γ_sk0sf₁

ℓ₁ = ℓ₂ +

(m₂ + k0sf₀) +

√

sin(ωt₁ + ϕ₁ + δ₁) +

λ_s

λ2s + ω²

)

γ_sk0sf₂

√

sin(2ωt₁ + ϕ₂ + δ₂) eλs(TB -t1) -

γ_s (m₂ + k0sf₀) -

λ2s + 4ω²

λ_s

γ_sk0sf₁

γ_sk0sf₂

(12)

−

√

sin(ωT_B + ϕ₁ + δ₁) -

√

sin(2ωT_B + ϕ₂ + δ₂

λ2s + ω²

λ2s + 4ω²

а при условии λ_s < 0 (случай рассмотрен в [9]) имеет вид

(

γ_s

γ_sk0sf₁

ℓ₂ = ℓ₁ +

(m₁ + k0sf₀) -

√

sin (ϕ₁ + δ₁) -

λ_s

λ2s + ω²

)

γ_sk0sf₂

√

sin (ϕ₂ + δ₂) eλst¹ -

γ_s (m₁ + k0sf₀) +

λ2s + 4ω²

λ_s

γ_sk0sf₁

γ_sk0sf₂

√

sin (ωt₁ + ϕ₁ + δ₁) +

√

sin (2ωt₁ + ϕ₂ + δ₂) ,

λ2s + ω²

λ2s + 4ω²

(

γ_s

γ_sk0sf₁ sin (ωt₁ + ϕ₁ + δ₁)

ℓ₁ =

ℓ₂ +

(m₂ + k0sf₀) -

√

λ_s

λ2s + ω²

)

γ_sk0sf₂ sin (2ωt₁ + ϕ₂ + δ₂)

√

eλs(TB-t1) -

γ_s (m₂ + k0sf₀) +

λ2s + 4ω²

λ_s

γ_sk0sf₁

γ_sk0sf₂

(13)

√

sin (ωT_B + ϕ₁ + δ₁) +√

sin (2ωT_B + ϕ₂ + δ₂

λ2s + ω²

λ2s + 4ω²

Здесь и далее δ₁ = arctg(ω/λ_s), δ₂ = arctg(2ω/λ_s).

(

Точки переключения X¹ =

x¹¹,... ,x1n

)^∗, X² =⁽x²¹, . . . , x2n)^∗ преобразо-

ванной системы (6) принадлежат гиперплоскостям переключения σ = ℓ_η

(η = 1, 2) и определяются по следующим формулам: x1s = ℓ₁/γ_s, x2s = ℓ₂/γ_s,

⎛

⎡

∫

t₁

∫

(

)-1

x1j =

1-eλjT^B

⎝eλj TB ⎣m1

e-λjτ

dτ + m₂

e-λjτ dτ +

t₁

∫

+k0jf₀

e-λjτ dτ + k⁰f1

e-λjτ sin(ωτ + ϕ₁)dτ +

⎤⎞

∫

+k0jf₂

e-λjτ sin(2ωτ + ϕ₂)dτ⎦⎠ ,

(14)

⎛

∫

(

)

[

x2j =

1-eλjT^B

−1 e^λjt1 ⎝ e^-λj(TB-τ) m₂ +

t₁

]

+ k0j (f₀ + f1 sin(ωt + ϕ₁) + f2 sin(2ωt + ϕ₂)) dτ +

⎞

∫t1

[

]

+ e-λjτ m₁ + k0j (f₀ + f1 sin(ωt + ϕ₁) + f2 sin(2ωt + ϕ₂)) dτ⎠,

j = 1,...,s - 1,s + 1,...,n.

4. Синтез управления. Условия разрешимости систем

трансцендентных уравнений

Рассмотрим вопрос выбора параметров ℓ₁, ℓ₂, m₁, m₂ и c_h (h = 1, n)

нелинейной характеристики u(σ) для существования устойчивых периоди-

ческих решений системы (1), (4) с заданными колебательными свойствами

при условии, что параметры матрицы A и вектора B обеспечивают обра-

тимость канонического преобразования, а все остальные коэффициенты си-

стемы (1), (4) фиксированы. Синтезируем управление для системы с перио-

дическим возмущением так, чтобы вынужденные колебания системы (1), (4)

имели период T_B, равный или кратный периоду T функции f(t), т.е. T_B = kT ,

где k ∈ N.

Далее разделяем на два подслучая в зависимости от знака собственно-

го числа, соответствующего ненулевому элементу вектора обратной связи,

поскольку именно знак одного собственного числа влияет на вид системы

трансцендентных уравнений, которая подлежит изучению и решению ана-

литическими методами. В случае, если полагать ненулевыми два элемента

вектора обратной связи, следует рассматривать все комбинации знаков двух

соответствующих собственных чисел, и количество подслучаев увеличивается

до четырех.

Случай 1 (положительное собственное число). Обратимся к условиям

теоремы, которые гарантируют существование единственного решения t₁ ∈

∈ (0,kT) системы уравнений (12) для заданного натурального k.

Теорема 1

[7]. Пусть функция f(t) имеет вид (4). Пусть система (1)

имеет периодическое решение с периодом T_B = kT, где k ∈ N, T = 2π/ω,

ω > 0. Пусть собственные числа матрицы A являются простыми, веще-

ственными, ненулевыми, и по крайней мере одно из них положительное

(λ_s > 0), причем элемент γ_s преобразованного вектора обратной связи Γ от-

личен от нуля. Пусть, наконец, имеют место неравенства

(

)(

)

m₂ - m₁eλskT + λ_s

1-eλskT

ℓ₁/γ_s + k0sL

> 0,

(

)

ℓ₁

(15)

m₁ < -λ_s

+k0sL

<m₂,

γ_s

где

f₀

f₁ sin(ϕ₁ + δ₁)

f₂ sin(ϕ₂ + δ₂)

(16)

√

;

λ_s

λ2s + ω²

λ2s + 4ω²

δ₁ = arctg(ω/λ_s), δ₂ = arctg(2ω/λ_s);

(

)

ℓ₁ +

γ_s (m₁ + k0sf₀) (e^λs^kT H - 1) +

λ_s

(

))

γ_sk0sf₁

⁽ω

+√

sin(ϕ₁ + δ₁)eλskT H - sin

ln H + ϕ₁ + δ₁

λ2s + ω²

λ_s

(

))

γ_sk0sf₂

⁽ 2ω

(17)

+√

sin(ϕ₂ + δ₂)eλskT H - sin

ln H + ϕ₂ + δ₂

> 0,

λ2s + 4ω²

λ_s

где

m₂ - m₁

(18)

H =

;

λ_s(1 - eλskT )(ℓ₁/γ_s + k0sL) + m₂ - m₁eλskT

и равенство

(

)

γ_s (

)

ℓ₂ = ℓ₁eλskT H +

m₁ + k0sf₀

eλskT H - 1

λ_s

(

))

γ_sk0sf₁

⁽ω

√

sin(ϕ₁ + δ₁)eλskT H - sin

ln H + ϕ₁ + δ₁

λ2s + ω²

λ_s

(

))

γ_sk0sf₂

⁽ 2ω

(19)

√

sin(ϕ₂ + δ₂)eλskT H - sin

ln H + ϕ₂ + δ₂

λ2s + 4ω²

λ_s

Тогда система (12) при заданном натуральном k имеет единственное ре-

шение t₁ ∈ (0,kT), которое определяется по формуле

(20)

t₁ = kT +

ln H.

λ_s

Случай 2 (отрицательные собственные числа). Обратимся к условиям

разрешимости системы (13), сформулированные в виде теоремы в [9].

Теорема 2

[9]. Пусть функция f(t) имеет вид (4). Пусть система (1)

имеет периодическое решение с периодом T_B = kT, где k ∈ N, T = 2π/ω,

ω > 0. Пусть собственные числа матрицы A являются простыми, веще-

ственными и отрицательными. Пусть один из элементов преобразованного

вектора обратной связи отличен от нуля (например, γ_s = 0). Пусть, нако-

нец, имеют место следующие условия:

1) выполняется система неравенств (15), где

f₀

f₁ sin(ϕ₁ + δ₁)

f₂ sin(ϕ₂ + δ₂)

(21)

√

;

λ_s

λ2s + ω²

λ2s + 4ω²

2) справедливо неравенство

(

)

ℓ₁ +

γ_s (m₁ + k0sf₀) (e^λs^kT H - 1) -

λ_s

(

))

γ_sk0sf₁

⁽ω

√

sin(ϕ₁ + δ₁)eλskT H - sin

ln H + ϕ₁ + δ₁

λ2s + ω²

λ_s

(

))

γ_sk0sf₂

⁽ 2ω

(22)

√

sin(ϕ₂ + δ₂)eλskT H - sin

ln H + ϕ₂ + δ₂

> 0,

λ2s + 4ω²

λ_s

где H определяется по формуле (18);

3) выполняется равенство

(

)

γ_s (

)

ℓ₂ = ℓ₁eλskT H +

m₁ + k0sf₀

eλskT H - 1

λ_s

(

))

γ_sk0sf₁

⁽ω

√

sin(ϕ₁ + δ₁)eλskT H - sin

ln H + ϕ₁ + δ₁

λ2s + ω²

λ_s

(

))

γ_sk0sf₂

⁽ 2ω

(23)

√

sin(ϕ₂ + δ₂)eλskT H - sin

ln H + ϕ₂ + δ₂

λ2s + 4ω²

λ_s

Тогда система (13) при заданном натуральном k имеет единственное ре-

шение t₁ ∈ (0,kT), которое определяется по формуле (20).

Пусть найдено решение t₁ системы трансцендентных уравнений, парамет-

ры которой удовлетворяют условиям выше при заданном k ∈ N. Теорему о

существовании и единственности периодического решения рассматриваемого

класса для случая ненулевых собственных чисел матрицы системы, приве-

денной и доказанной в [8], дополним следующим условием: t₁ является наи-

меньшим решением первого уравнения трансцендентной системы и kT — наи-

меньшим решением второго уравнения системы при фиксированном t₁, по-

скольку t₁, kT — моменты времени переключения (моменты первой встречи

с гиперплоскостями).

5. Условия достижимости гиперплоскостей переключения

Качество переходных процессов связано с выполнением двух задач:

1) обеспечением требуемого режима, в том числе с заданным периодом;

2) предотвращением типичного для релейных систем скользящего режима.

Пусть изображающая точка искомого решения системы (1) движется в

предписанной ей последовательности. Будем рассматривать только такие со-

отношения между параметрами системы, для которых каноническое преоб-

разование остается неособым, т.е. выполняется условие обратимости. В силу

неособого преобразования результаты исследования канонической системы

переносятся на исходную систему. Рассмотрим условия достижимости изоб-

ражающей точкой решения канонической системы гиперплоскостей переклю-

чения, причем без касания во избежание режима скольжения.

Теорема 3. Пусть выполняются условия теоремы 1, причем собствен-

ные числа λ_j (j = s) являются отрицательными, или условия теоремы 2.

Пусть система (1) неособым преобразованием приведена к каноническому

виду (6). Пусть имеют место следующие условия:

1) n - 1 элементов γ_j (j = s) вектора Γ равны нулю;

2) при γ_sλ_s > 0, m₁ < m₂, ℓ₁ < ℓ₂ выполняются неравенства -γ_sm₂/λ_s < ℓ₁

и -γ_sm₁/λ_s > ℓ₂;

3) λ_sℓ₁ + γ_sm₂ + γ_sk0sf(t_β) = 0 и λ_sℓ₂ + γ_sm₁ + γ_sk0sf(t_β) = 0 (β = 1, 2), где

t₁ — момент времени первого переключения, t₂ = 0;

4) множество Q описывается системой неравенств

⎧

[

]



⎨

X≤

B₀

K₀

max

|m_α| ·

^+M·

, j = 1,n,j = s,

min|λj |

α=1, 2

⎩

ℓ₁ ≤ x_sγ_s ≤ ℓ₂,

где векторы

B₀,

K₀ размерности (n - 1) отличаются от векторов ка-

нонической системы X, B₀, K₀ тем, что в них исключен s-й элемент, кон-

станта M определяется из неравенства |f(t)| ≤ |f₀| + |f₁| + |f₂| = M, спра-

ведливого для любого t, при этом f₀, f₁, f₂ являются постоянными коэффи-

циентами функции f(t).

Тогда в фазовом пространстве изображающая точка периодического реше-

ния канонической системы, начав свое движение в X₀ ∈ Q на одной из ги-

перплоскостей вида σ(t) = ℓ_η (η = 1,2), достигает вторую гиперплоскость

без касания в силу системы (6).

Доказательство теоремы 3 приведено в Приложении.

В реальных системах начальные условия задаются с определенной точно-

стью. Поэтому возникает вопрос, как малые изменения начальных условий

влияют на поведение решения при t → ∞.

Теорема 4. Пусть каноническая система (6) для λ_s = 0 имеет kT-пе-

риодическое решение рассматриваемого класса, и выполняются условия тео-

ремы 3. Тогда решение системы (6) является асимптотически устойчивым,

а в силу неособого преобразования решение исходной системы (1) является

асимптотически орбитально устойчивым.

Доказательство теоремы 4. В работе [9] после формулировки тео-

ремы 3.3 проведено исследование периодического решения на устойчивость,

в результате которого доказано существование асимптотически устойчивого

kT-периодического решения системы (6) и установлена асимптотически орби-

тальная устойчивость решения системы (1) для λ_j < 0, j = s, независимо от

знака λ_s. Условия следствия (к теореме 3.3) включены в условия теоремы 3

настоящей статьи. Таким образом, теорема 4 обобщает результаты, установ-

ленные в [9].

6. Алгоритм синтеза управления

В релейных системах при внешнем бигармоническом воздействии, имею-

щем период T , могут существовать вынужденные колебания с периодом,

кратным периоду внешнего воздействия, т.е. kT , где k ∈ N, k > 1. Такие ко-

лебания реализуются только в нелинейных системах и называются субгар-

моническими порядка k. Гармонические вынужденные колебания с перио-

дом T также могут существовать в системах рассматриваемого класса наряду

с субгармоническими колебаниями. Такое явление называют захватыванием

основной частоты и ее доли [1].

В данном исследовании разработан алгоритм, позволяющий в простран-

стве параметров системы (1) локализовать такие области, которые соответ-

ствуют kT -периодическим решениям с определенными свойствами, а также

выявить области, не отвечающие искомым решениям. Следует отметить, что

k задается из множества натуральных чисел в зависимости от того, какое

вынужденное колебание (гармоническое или субгармоническое) представляет

интерес для исследования. Алгоритм предназначен для выбора значений па-

(

)

раметров ℓ₁, ℓ₂, m₁, m₂, c_h

h = 1,n

релейной характеристики u (σ), при ко-

торых существует асимптотически орбитально устойчивое kT -периодическое

решение системы (1) с двумя точками переключения за период на гиперплос-

костях вида σ = ℓ_η (η = 1, 2). Заметим, что все остальные параметры систе-

мы (1) фиксированы и удовлетворяют условиям обратимости системы (1).

Ниже приведем алгоритм.

1. Рассчитываем период функции f(t) вида (4) по формуле T = 2π/ω. За-

даем любое k ∈ N, и тем самым задаем период искомого решения T_B = kT .

2. Строим характеристическое уравнение D(p) = |A - pE| = 0.

(

)

3. Находим собственные числа λ_i

i = 1,n

матрицы A, согласно предполо-

жениям они простые, ненулевые и вещественные. Применимость алгоритма

возможна в двух случаях: 1) одно собственное число является положитель-

ным, остальные — отрицательными, 2) все собственные числа являются от-

рицательными.

3.1. Если среди λ_i есть положительное число, то обозначим его λ_s. Если

все λ_i являются отрицательными, то положим λ_s = maxλi. Теперь λs > 0 или

λ_s < 0, остальные (n - 1) собственных чисел λ_j отрицательные.

3.1.1. Строим матрицу неособого преобразования S по формуле (8).

3.1.2. Находим обратную матрицу S-1.

3.1.3. Вычисляем вектор K₀ по формуле K₀ = S-1K, где K — веществен-

ный вектор, стоящий перед функцией f(t) в системе (1).

3.1.4. Положим γ_s = sgn(λ_s), при этом необходимое условие для достижи-

мости гиперплоскостей переключения выполняется.

∑

3.1.5. Положим

c_hN_h (λ_s) = -D^′(λ_s)γ_s, исходя из (7), (9). Тогда систе-

h=1

ма (9) принимает следующий вид:

∑

c_hN_h (λ_j) = 0,

c_hN_h (λ_s) = -D^′(λ_s)γ_s.

h=1

Решаем полученную неоднородную (поскольку D^′(λ_s)γ_s = 0) систему n ли-

(

)

нейных алгебраических уравнений. Находим ее решение c_h

h = 1,n

3.1.6. Рассчитываем значения δ₁ = arctg(ω/λ_s), δ₂ = arctg(2ω/λ_s).

3.1.7. Положим ℓ₁ = 10sgn(λ_s).

3.1.8. Если собственное число λ_s > 0, то переходим к шагу 3.1.9, если

λ_s < 0 - к шагу 3.2.9.

3.1.9. Рассчитываем значение L по формуле (16).

3.1.10. Обозначим через P выражение, стоящее во втором неравенстве си-

(

)

стемы (15), т.е. P = -λ_s

ℓ₁/γ_s + k0sL

. Вычисляем P . Далее задаем любое

вещественное значение m₁ такое, что m₁ < P согласно (15). Задаем любое

вещественное значение m₂ такое, что m₂ > P согласно (15) и m₂ > -λ_sℓ₁/γ_s

согласно условию 2) теоремы 3. Проверяем условие 3) теоремы 3 при t_β = 0,

а именно, λ_sℓ₁ + γ_sm₂ + γ_sk0sf(0) = 0: если выполняется, то переходим к ша-

гу 3.2.11, в противном случае нарушается условие достижимости гиперплос-

костей переключения без касания и переходим к шагу 8.

3.1.11. Рассчитываем значение H по формуле (18).

3.1.12. Проверяем условие (17): если выполняется, то переходим к шагу

3.1.13, в противном случае нарушается одно из условий теоремы 1 и перехо-

дим к шагу 8.

3.1.13. Находим значение параметра ℓ₂ по формуле (19), и если оно удо-

влетворяет условиям 2) и 3) теоремы 3 при t_β = 0, а именно, m₁ < -λ_sℓ₂/γ_s и

λ_sℓ₂ + γ_sm₁ + γ_sk0sf(0) = 0, то переходим к шагу 3.1.14, в противном случае —

к шагу 8.

3.1.14. Вычисляем значение t₁ по формуле (20); если t₁, kT являются наи-

меньшими решениями первого и второго уравнений трансцендентной систе-

мы соответственно, и условие 3) теоремы 3 при t_β = t₁ выполняется, то пере-

ходим к шагу 4, в противном случае - к шагу 8.

3.2.9. Рассчитываем значение L по формуле (21).

3.2.10. Обозначим через P выражение, стоящее во втором неравенстве си-

стемы (15). Вычисляем P . Далее задаем любое вещественное значение m₁

такое, что m₁ < P согласно (15). Задаем любое вещественное значение m₂

такое, что m₂ > P согласно (15) и m₂ > -λ_sℓ₁/γ_s согласно условию 2) теоре-

мы 3. Проверяем условие 3) теоремы 3 при t_β = 0, а именно, λ_sℓ₁ + γ_sm₂ +

+γ_sk0sf(0) = 0: если выполняется, то переходим к шагу 3.2.11, в противном

случае переходим к шагу 8.

3.2.11. Рассчитываем значение H по формуле (18).

3.2.12. Проверяем условие (22): если выполняется, то переходим к шагу

3.2.13, в противном случае нарушается одно из условий теоремы 2 и перехо-

дим к шагу 8.

3.2.13. Вычисляем значение ℓ₂ по формуле (23), и если оно удовлетворяет

условиям 2) и 3) теоремы 3 при t_β = 0, то переходим к шагу 3.2.14, в против-

ном случае — к шагу 8.

3.2.14. Вычисляем значение t₁ по формуле (20), и если условие 3) теоре-

мы 3 при t_β = t₁ выполняется, то переходим к шагу 4, в противном случае —

к шагу 8.

4. Находим координаты точек переключения X¹, X² канонической систе-

мы (6): x1s = ℓ₁/γ_s, x2s = ℓ₂/γ_s, остальные — по формулам (14), полученные

точки принадлежат траектории асимптотически устойчивого kT -периодиче-

ского решения системы (6).

5. Вычисляем точки переключения Y¹, Y² обратным преобразованием

Y β = SX^β (β = 1,2).

6. Строим по формуле (3) траекторию искомого асимптотически орбиталь-

но устойчивого периодического решения системы (1) с начальным значени-

ем Y¹ или по формуле X(t) = S-1Y (t) траекторию асимптотически устойчи-

вого периодического решения системы (6) с начальным значением X¹.

(

)

7. Завершаем алгоритм. Определены параметры c_h

h = 1,n

, ℓ₁, ℓ₂, m₁,

m₂, которые удовлетворяют условиям теоремы 1 из [8], теоремы 3 и тео-

ремы 4. Таким образом, при этих значениях параметров в рассматривае-

мой системе существует единственное асимптотически орбитально устойчи-

вое kT -периодическое решение с точками переключения Y¹, Y² за пери-

од, причем изображающая точка решения достигает гиперплоскостей вида

σ(t) = ℓ_η (η = 1, 2) в точках переключения без касания. Построена траекто-

рия решения.

8. Завершаем алгоритм. При нарушении хотя бы одного из условий тео-

ремы 1 или теоремы 2 не выполняются необходимые условия существова-

ния решения периода kT с двумя точками переключения за период, которые

принадлежат гиперплоскостям переключения вида σ(t) = ℓ_η (η = 1, 2). При

нарушении условий 2) и 3) теоремы 3 не выполняется условие достижимо-

сти гиперплоскостей переключения без касания (решение может перейти в

положение равновесия при его наличии или скользящий режим). Следова-

(

)

тельно, выбранные значения параметров c_h

h = 1,n

, ℓ₁, m₁, m₂ релейной

характеристики u(σ) не гарантируют, что в системе (1) существует орбиталь-

но устойчивое kT -периодическое решение с двумя точками переключения за

период, которые лежат на гиперплоскостях переключения. В этом случае сле-

дует выбрать другие значения параметров.

7. Пример реализации алгоритма

⎞

^⎛-12 -11 -37

^⎛1

^⎛ 12,5

Пусть n = 3, A =^⎝ 4,6

3,6

15,4⎠,B= ⎝0⎠,K= ⎝-4,5⎠.ВекторыB,

1,8

5,2

-2,5

AB, A²B являются линейно независимыми, т.к.



-12

26,8



0

4,6

-10,92=1,44=0.



^0

1,8

-3,96

Пусть внешнее воздействие описывает T -периодическая функция

f (t) = 1 + 2 sin(t + π/3) + 5 sin(2t).

1. Рассчитываем период T = 2π и задаем k = 2.

2. Выписываем характеристическое уравнение



-12 - p

-11

-37



D(p) =



4,6

3,6 - p

15,4

=0.



1,8

5,2 - p

3. Находим корни характеристического уравнения — собственные числа

матрицы A: λ₁ = -0,2, λ₂ = -1, λ₃ = -2.

3.1. Все собственные числа отрицательные. Положим λ_s = λ₁, т.к. λ₁ яв-

ляется наибольшим собственным числом.

⎞

^⎛-5 -1

⎠_.

3.1.1. Строим неособую матрицу преобразования S =^⎝ 2

-3

-1

⎞

^⎛1 1 4

⎠_.

3.1.2. Находим обратную матрицу S-1 = ⎝1

⎞

^⎛-2

3.1.3. Находим вектор K₀ =^⎝ 1

⎠.

0,5

3.1.4. Положим γ_s = -1, условие γ_sλ_s > 0 выполняется.

3.1.5. Вычисляем -D^′(λ_s)γ_s = -1,44. Из неоднородной системы линейных

алгебраических уравнений имеем следующие значения параметров вектора

обратной связи: c₁ = -1, c₂ = -1, c₃ = -4.

3.1.6. Рассчитываем δ₁ ≈ -1,373401, δ₂ ≈ -1,471128 (здесь и далее расчеты

проведены с точностью 10-6).

3.1.7. Положим ℓ₁ = -10.

3.1.8. Имеем λ_s < 0, переходим к шагу 3.2.9.

3.2.9. Рассчитываем L ≈ -1,896301.

3.2.10. Вычисляем выражение, стоящее во втором неравенстве систе-

мы (15), P ≈ 2,7585203. Далее задаем любое вещественное значение m₁ такое,

что m₁ < P , положим m₁ = -9. Вычисляем -λ_sℓ₁/γ_s = 2 и задаем любое ве-

щественное значение m₂ такое, что m₂ > P и m₂ > 2, положим m₂ = 7,54. Про-

веряем условие 3) теоремы 3 при t_β = 0, а именно, λ_sℓ₁ + γ_sm₂ + γ_sk0sf(0) ≈

≈ - 0,07478 = 0. Переходим к шагу 3.2.11.

3.2.11. Рассчитываем H ≈ 2,884940.

3.2.12. Значения параметров ℓ₁, m₁, m₂ удовлетворяют неравенству (22),

согласно которому 43,570427 > 0. Переходим к шагу 3.2.13.

3.2.13. Находим ℓ₂ ≈ 46,050182. Проверяем условие достижимости без ка-

сания при t_β = 0: 5,254065 = 0 верно. Переходим к шагу 3.2.14.

3.2.14. Рассчитываем момент первого переключения t₁ ≈ 7,268850 (t₁, 2T

являются наименьшими решениями первого и второго уравнения систе-

мы (13) соответственно). Проверяем условие 3) теоремы 3 при t_β = t₁: первое

860

Решение с периодом 4π и точками переключения X¹, X².

неравенство 9,250182 = 0 и второе неравенство 14,579030 = 0 выполняются.

Переходим к шагу 4.

4. Находим точки переключения канонической системы X¹, X²:

⎛

⎞

^⎛-46,050182

⎟

X¹ ≈^⎝6,822206⎠, X2 ≈⎝

−4,946928

⎠.

3,640645

-2,983556

5. Находим точки переключения исходной системы Y¹, Y²:

⎞

^⎛-31,337690

^⎛ 214,312942

⎟

Y¹ ≈^⎝ 15,900271

⎠, Y² ≈^⎝

−88,096622⎠.

6,359355

-43,066625

6. Строим траекторию решения канонической системы. На рисунке пред-

ставлен график траектории 4π-периодического решения в фазовом простран-

стве (x₁, x₂, x₃) системы с начальной точкой X¹. Отмечены точки переклю-

чения на соответствующих гиперплоскостях переключения (выделены штри-

ховкой), которые ориентированы ортогонально оси x₁, поскольку γ₁ = 0, при-

чем -46,050182 ≤ x₁ ≤ 10.

7. Завершаем алгоритм со следующим выводом: при ℓ₁ = -10, ℓ₂ ≈

≈ 46,050182, m₁ = -9, m₂ = 7,54 и γ₁ = -1 в преобразованной системе или

c₁ = -1, c₂ = -1, c₃ = -4 в исходной системе существует единственное асимп-

тотически устойчивое или соответственно асимптотически орбитально устой-

чивое 4π-периодическое решение с двумя точками переключения за период.

8. Заключение

На основе результатов, полученных в [7-9] и данной статье, разработан

алгоритм выбора в пространстве параметров системы областей, соответст-

вующих искомому решению, а также поиска в фазовом пространстве точек

переключения этого решения. При описании алгоритма применены результа-

ты теорем, которые установлены строгими аналитическими выкладками с ис-

пользованием равносильных переходов и свойств логарифмической функции.

Полученная система условий на параметры представляется непротиворечи-

вой и имеющей решение в виде непустого множества. Для подтверждения

корректности и работоспособности алгоритма приведен пример, демонстри-

рующий расчет параметров нелинейной характеристики и вектора обратной

связи, при которых в системе существует асимптотически орбитально устой-

чивое 4π-периодическое решение (субгармоническое вынужденное колебание

2-го порядка) с двумя точками переключения за период. При реализации ал-

горитма на примере трехмерной системы использованы страндартные функ-

ции Matlab. В случае необходимости полной автоматизации процесса выбо-

ра параметров управления и построения траектории решения алгоритм мо-

жет служить основой (пошаговой инструкцией) для написания программного

кода.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Доказательство теоремы 3. Изображающая точка решения кано-

нической системы, начиная свое движение из точки на гиперплоскости, пе-

ремещается в предписанной ей последовательности между двумя гиперплос-

костями переключения вдоль оси координат x_s при условии 1) теоремы 3,

причем гиперплоскости в фазовом пространстве расположены ортогонально

оси x_s.

Каноническую систему вида (6) при условии 1) теоремы 3 представим в

виде двух следующих систем:

^{ σ(t) = γ_sx_s,

=A¯₀ X + B0m_α +K0f(t),

x_s = λ_sx_s + m_α + k0sf(t),

гд

A₀ — матрица, на диагонали которой расположены собственные числа λ_j

(j = s), остальные элементы нулевые,

X= (x₁,... ,xs-1,xs+1,... ,x_n)^∗,

B₀ =

= (b⁰¹, . . . , b0s-1, b0s+1, . . . , b0n)^∗,

K₀ = (k⁰¹,... ,k0s-1,k0s+1,... ,k0n)^∗, λ_j < 0, b0j = 1,

j = 1,...,s - 1,s + 1,...,n.

При условии, что вещественные собственные числа λ_j (j = s) являются

отрицательными, с помощью функций Ляпунова в фазовом пространстве

системы (6) можно выделить на гиперплоскостях переключения ограничен-

ное, замкнутое, выпуклое множество, которое отображается в себя в силу

решения канонической системы. Нулевое решение системы

=A¯₀ X явля-

ется асимптотически устойчивым, поэтому существует положительно опре-

деленная квадратичная форма V (^X) =X∗VX. Уравнение вида V (^X) = C_ν

(C_ν — постоянные, ν ∈ N), описывает цилиндрические поверхности в n-мер-

ном фазовом пространстве канонической системы.

Для пересечения области притяжения V (^X) ≤ min

C_ν с гиперплоскостями

переключения вида (Γ, X) = ℓ_η (η = 1, 2) необходимо потребовать выполнение

следующих условий:

(Π.1)

-(Γ, A-10B₀m₂) < ℓ₁,

-(Γ, A-10B₀m₁) > ℓ₂,

которые означают, что при отсутствии внешнего воздействия виртуальные

точки устойчивости X(α) = -A-10B₀m_α (α = 1, 2) канонической системы рас-

положены вне зоны неоднозначности u(σ).

Выбор элементов вектора Γ согласно условию 1) теоремы 3 приводит нера-

венства (Π.1) при λ_s = 0 к упрощенному виду

(Π.2)

-γ_sm₂/λ_s < ℓ₁,

-γ_sm₁/λ_s > ℓ₂.

Очевидно, что система неравенств (Π.2) имеет место, если γ_sλ_s > 0 при

m₁ < m₂ и ℓ₁ < ℓ₂. Заметим, что при λ_s > 0 имеем γ_s > 0, а при λ_s < 0 име-

ем γ_s < 0. Таким образом, условие 2) теоремы 3 необходимо потребовать для

того, чтобы область притяжения пересекала гиперплоскости переключения.

Пересечение множества, описанного неравенством V

X) ≤ min

C_ν, c ги-

перплоскостями переключения дает выпуклое компактное множество Q, ко-

торое задается в соответствии с условием 4) теоремы 3. Если начальные точ-

ки X₀ взяты из области, ограниченной поверхностью V (^X) = min

C_ν, то тра-

ектория изображающей точки решения в силу канонической системы оста-

нется в этой области фазового пространства. Отсюда следует утверждение,

что изображающая точка решения системы (6), начав свое движение в X₀ ∈ Q

на одной из гиперплоскостей вида σ(t) = ℓ_η (η = 1, 2), достигает за конечный

промежуток времени другую гиперплоскость.

Далее определим условия, при которых не возникнет режим скольжения.

Выпишем условие, при котором изображающая точка решения системы (6)

достигает гиперплоскости без касания в точках переключения X = X^β в со-

ответствующие моменты времени t_β (β = 1, 2), где t₁ — момент времени пер-

вого переключения, t₂ = kT — момент времени второго переключения. Су-

ществование и единственность t₁ при заданном k ∈ N гарантируют условия

теоремы 1 или условия теоремы 2 в зависимости от знака собственного значе-

ния λ_s. Итак, имеем неравенство (Γ,X) = 0. С учетом условия 1) теоремы 3

последнее неравенство для λ_s = 0 перепишется в виде условия 3) теоремы 3,

которое обеспечивает достижимость гиперплоскостей переключения без ка-

сания. Заметим, что функция f(t) является T -периодической: ее значение в

момент времени второго переключения kT совпадает со значением в нуле,

поэтому в условии 3) теоремы 3 для простоты используем t₂ = 0. Теорема 3

доказана полностью.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Цыпкин Я.З. Релейные автоматические системы. М.: Наука, 1974.

Красносельский М.А., Покровский А.В. Системы с гистерезисом. М.: Наука,

1983.

Покровский А.В. Существование и расчет устойчивых режимов в релейных си-

стемах // Автомат. и телемех. 1986. № 4. C. 16-23.

Visintin A. Differential models of hysteresis. Berlin: Springer, 1994.

Johansson K.H., Rantzer A., Astrom K.J. Fast switches in relay feedback systems //

Automatica. 1999. Vol. 35. No. 4. P. 539-552.

Mayergoyz I.D. Mathematical models of hysteresis and their applications. Amster-

dam: Elsevier, 2003.

Евстафьева В.В. О необходимых условиях существования периодических реше-

ний в динамической системе с разрывной нелинейностью и внешним периоди-

ческим воздействием // Уфимск. матем. журн. 2011. Т. 3. № 2. С. 20-27.

Yevstafyeva V.V. Existence of the unique kT -periodic solution for one class of non-

linear systems // J. Sib. Fed. Univ. Math. & Phys. 2013. Vol. 6. No. 1. P. 136-142.

Евстафьева В.В. Об условиях существования двухточечно-колебательного пе-

риодического решения в неавтономной релейной системе с гурвицевой матри-

цей // Автомат. и телемех. 2015. № 6. C. 42-56.

10.

Rachinskii D. Realization of arbitrary hysteresis by a low-dimensional gradient

flow // Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B. 2016. Vol. 21. No. 1. P. 227-243.

11.

Kamachkin A.M., Potapov D.K., Yevstafyeva V.V. Existence of periodic solutions to

automatic control system with relay nonlinearity and sinusoidal external influence //

Int. J. Robust Nonlinear Control. 2017. Vol. 27. No. 2. P. 204-211.

12.

Kamachkin A.M., Potapov D.K., Yevstafyeva V.V. Existence of subharmonic solu-

tions to a hysteresis system with sinusoidal external influence // Electron. J. Differ.

Equ. 2017. No. 140. P. 1-10.

13.

Kamachkin A.M., Potapov D.K., Yevstafyeva V.V. On uniqueness and properties

of periodic solution of second-order nonautonomous system with discontinuous non-

linearity // J. Dyn. Control Syst. 2017. Vol. 23. No. 4. P. 825-837.

14.

Leonov G.A., Shumafov M.M., Teshev V.A., Aleksandrov K.D. Differential equations

with hysteresis operators. Existence of solutions, stability, and oscillations // Differ.

Equ. 2017. Vol. 53. No. 13. P. 1764-1816.

15.

Евстафьева В.В. Периодические решения системы дифференциальных уравне-

ний с гистерезисной нелинейностью при наличии нулевого собственного числа //

Укр. матем. журн. 2018. Т. 70. № 8. С. 1085-1096.

16.

Медведский А.Л., Мелешенко П.А., Нестеров В.А., Решетова О.О., Семе-

нов М.Е., Соловьев А.М. Неустойчивые колебательные системы с гистерезисом:

задачи стабилизации и управления // Изв. РАН. Теория и системы управления.

2020. № 4. С. 58-82.

17.

Фурсов А.С., Тодоров Т.С., Крылов П.А., Митрев Р.П. О существовании колеба-

тельных режимов в одной нелинейной системе с гистерезисами // Дифференц.

уравнения. 2020. Т. 56. № 8. С. 1103-1121.

18.

Kamachkin A.M., Potapov D.K., Yevstafyeva V.V. Existence of periodic modes in

automatic control system with a three-position relay // Int. J. Control. 2020. Vol. 93.

No. 4. P. 763-770.

19. Евстафьева В.В. О существовании двухточечно-колебательных решений возму-

щенной релейной системы с гистерезисом // Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57.

№ 2. С. 169-178.

20. Евстафьева В.В. Существование T/k-периодических решений нелинейной неав-

тономной системы с кратным собственным числом матрицы // Матем. заметки.

2021. Т. 109. № 4. С. 529-543.

21. Євстаф’єва В.В. Iснування двоточково-коливних розв’язкiв релейної неавто-

номної системи з кратним власним числом дiйсної симетричної матрицi // Укр.

матем. журн. 2021. Т. 73. № 5. С. 640-650.

22. Фурсов А.С., Митрев Р.П., Крылов П.А., Тодоров Т.С. О существовании перио-

дического режима в одной нелинейной системе // Дифференц. уравнения. 2021.

Т. 57. № 8. С. 1104-1115.

23. Vasquez-Beltran M.A., Jayawardhana B., Peletier R. Recursive algorithm for the

control of output remnant of Preisach hysteresis operator // IEEE Control Syst.

Lett. 2021. Vol. 5. No. 3. P. 1061-1066.

24. Камачкин А.М., Потапов Д.К., Евстафьева В.В. Неподвижные точки отобра-

жения, порожденного системой обыкновенных дифференциальных уравнений с

релейным гистерезисом // Дифференц. уравнения. 2022. Т. 58. № 4. С. 456-469.

25. Kamachkin A.M., Potapov D.K., Yevstafyeva V.V. Continuous dependence on pa-

rameters and boundedness of solutions to a hysteresis system // Appl. Math. 2022.

Vol. 67. No. 1. P. 65-80.

Статья представлена к публикации членом редколлегии А.И. Маликовым.

Поступила в редакцию 02.12.2021

После доработки 20.07.2022

Принята к публикации 26.10.2022