Автоматика и телемеханика, № 3, 2023

Робастное, адаптивное и сетевое

управление

К.А. ЛАСТОЧКИН (lastconst@yandex.ru)

(Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)

АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ С ГАРАНТИЕЙ

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ.

ЧАСТЬ II. ОБЪЕКТЫ С КУСОЧНО-ПОСТОЯННЫМИ

ПАРАМЕТРАМИ¹

Предлагается адаптивная система управления по вектору состояний

классом линейных систем с кусочно-постоянными неизвестными парамет-

рами. Решение 1) гарантирует глобальную экспоненциальную устойчи-

вость замкнутой системы при конечном возбуждении регрессора после

каждого изменения параметров; 2) не требует знания матрицы коэффи-

циентов усиления и моментов времени изменения параметров системы.

Полученные теоретические результаты подтверждены математическим

моделированием.

Ключевые слова: адаптивное управление, системы с переключением, пе-

ременные параметры, параметрическая ошибка, конечное возбуждение,

идентификация, экспоненциальная устойчивость.

DOI: 10.31857/S0005231023030042, EDN: ZYTLKX

1. Введение

Классические алгоритмы адаптивного беспоискового управления с эталон-

ной моделью при постоянных неизвестных параметрах объекта обеспечивают

асимптотическую сходимость регулируемых координат к координатам эта-

лонной модели [1-3]. Однако в приложениях реальные физические системы

часто описываются моделями с переменными или кусочно-постоянными неиз-

вестными параметрами. В этих условиях стандартные решения доставляют

целевую асимптотическую устойчивость только при удовлетворении функции

изменения неизвестных параметров специальным требованиям [1, 2, 4]. Ско-

рость изменения переменных параметров должна быть существенно меньше

скорости протекания переходных процессов в системе (требование квазиста-

ционарности). Интервал времени между изменениями кусочно-постоянных

параметров должен быть достаточно большим (требование регулярности).

¹ Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Совета по грантам Прези-

дента РФ (проект МД.1787.2022.4).

Подробно проблемы применения классических адаптивных систем с эталон-

ной моделью для объектов с переменными или кусочно-постоянными неиз-

вестными параметрами обсуждались и экспериментально демонстрировались

в [1, c. 552-554, c. 732-734; 2, c. 337-345].

Современные комбинированные модификации [5-7] классических алгорит-

мов адаптивного беспоискового управления направлены на ослабление хоро-

шо известного требования неисчезающего возбуждения регрессора, выпол-

нение которого при использовании классических алгоритмов необходимо и

достаточно для экспоненциальной устойчивости ошибки слежения [8]. Ком-

бинированные алгоритмы, в своем большинстве, используют инерционные

схемы обработки измеряемых с объекта сигналов, позволяющие свести за-

дачу адаптивного управления к задаче идентификации неизвестных пара-

метров линейного регрессионного уравнения. Ослабление условия неисчезаю-

щего возбуждения достигается за счет сохранения ранее измеренных сигна-

лов с помощью специальных интеллектуальных алгоритмов или различных

фильтров с памятью, благодаря чему даже после окончания периода возбуж-

дения обеспечивается настройка параметров закона управления [9]. Общим

ограничением рассматриваемых модифицированных алгоритмов адаптации

является требование постоянства неизвестных параметров объекта управле-

ния, необходимое для предотвращения смешивания информации о различ-

ных неизвестных параметрах [10]. Детально ограничения комбинированных

адаптивных систем управления с эталонной моделью для объектов с перемен-

ными или кусочно-постоянными неизвестными параметрами обсуждалась и

экспериментально демонстрировалась в [6, рис. 7, рис. 8; 7, рис. 2; 10, рис. 4].

Таким образом, на сегодняшний день важными и актуальными остаются

задачи развития методов адаптивного беспоискового управления объектами с

переменными или кусочно-постоянными неизвестными параметрами. Не пре-

тендуя на полноту обзора, остановимся на рассмотрении основных методов

решения задач адаптивного управления классом систем с кусочно-постоян-

ными неизвестными параметрами.

Мотивация рассмотрения задач управления системами с переключением

параметров прежде всего связана с популярной в приложениях техникой ли-

неаризации нелинейных моделей физических систем в окрестностях рабочих

точек [11, c. 13; 12]. Классическая модель с переключениями, полученная

с помощью упомянутой техники, состоит из непрерывной части, включаю-

щей дифференциальное уравнение известного порядка, и дискретной части,

которая определяет логику изменения параметров уравнения. Логика пере-

ключений описывает переход траекторий объекта в полиэдральный регион

фазового пространства, связанный с новой рабочей точкой. Число регионов

разбиения фазового пространства соответствует числу линейных моделей с

неизвестными параметрами, которыми с достаточной точностью может быть

аппроксимирована исходная нелинейная модель. Поскольку обычно парамет-

ры каждой модели неизвестны или известны усредненно, построение законов

управления для систем с переключением параметров должно осуществляться

с привлечением методов адаптивного управления.

Отправной точкой для создания процедур синтеза алгоритмов адаптивно-

го беспоискового управления объектами с переключением параметров стали

пионерские работы Тао [12-15], в которых была предложена унифицирован-

ная адаптивная система управления для объектов с переключениями и про-

демонстрированы ее преимущества относительно классических алгоритмов

адаптивного управления системами с постоянными параметрами. Логика пе-

реключений считается известной и вводится столько настраиваемых законов

управления, сколько отдельных регионов выделено в фазовом пространстве

исходной нелинейной системы. Переключения между законами управления

осуществляются синхронно с переключениями параметров в модели объек-

та управления. Параметры каждого закона управления настраиваются соб-

ственным законом адаптации и только при его применении. Эталонная мо-

дель, задающая желаемое качество управления, может быть задана системой

с постоянными параметрами, а может являться системой с переключениями.

Более того, с целью повышения качества управления, переключения в эта-

лонной модели могут осуществляться асинхронно с переключениями в объ-

екте управления. Асимптотическая устойчивость результирующей гибридной

стратегии адаптивного управления и ограниченность всех сигналов могут

доказываться как с помощью метода общей функции Ляпунова (common

Lyapunov function в зарубежной литературе [16]), так и с помощью метода

составной функции Ляпунова (multiple Lyapunov function в зарубежной ли-

тературе [16]). Первый подход применяется, если для всех матриц состояния

эталонной модели удается найти общее решение уравнения Ляпунова, вто-

рой подход используется в противоположной ситуации. Важно отметить, что

в случае использовании составной функции Ляпунова, для асимптотической

устойчивости оказывается необходимо выполнение условия неисчезающего

возбуждения регрессора, а при использовании общей функции Ляпунова это

требование необходимо только для обеспечения экспоненциальной скорости

сходимости. Недостатком результатов [12-15] является обеспечение экспонен-

циальной скорости сходимости ошибки слежения только при удовлетворении

условия неисчезающего возбуждения регрессора, что при его невыполнении

и частых переключениях параметров объекта приводит к неудовлетворитель-

ному качеству отслеживания траекторий эталонной модели.

Преодолеть недостатки решений [12-15] удалось благодаря применению

комбинированных законов адаптации, ослабляющих условия неисчезающего

возбуждения регрессора. В [17-21] на основе алгоритма конкурентного обу-

чения [5] предложены законы адаптации, гарантирующие экспоненциальную

устойчивость замкнутой системы с переключениями при выполнении усло-

вия конечного возбуждения регрессора после каждого переключения. Пред-

ложенные законы позволяют настраивать параметры неактивных законов

управления, если в период их использования удалось составить информаци-

онную матрицу полного ранга. Благодаря данному приему удается доказать

глобальную экспоненциальную устойчивость ошибки слежения и сходимость

всех параметрических ошибок. Недостатком работ [17-21] является использо-

вание нетривиальных оффлайн процедур мониторинга и обработки измери-

мых с объекта сигналов с целью составления полноранговой информационной

матрицы после каждого переключения параметров объекта.

Рассмотренные решения [12-15, 17-21] исходят из предположения о том,

что логика переключения параметров системы известна и связана с посеще-

нием траекториями объекта определенных областей фазового пространства.

Однако на практике, во-первых, точки линеаризации, границы полиэдраль-

ных регионов и, следовательно, логика переключений могут быть неизвестны

или известны недостаточно точно, а во-вторых, скачкообразное изменение па-

раметров может вызываться не только движением фазовых траекторий, но

и другими явлениями событийной дискретной природы, в том числе про-

явлением неучтенных нелинейностей, действием внешних параметрических

возмущений, отказом или повреждением исполнительных органов. Поэтому

актуальной представляется задача синтеза адаптивных алгоритмов управле-

ния, выполняющих одновременно с настройкой параметров закона управле-

ния детектирование моментов времени переключения параметров объекта.

В [22, 23] предложены два различных алгоритма детектирования, позво-

ляющие с достаточной точностью при наличии внешних возмущений обна-

руживать моменты времени скачкообразного изменения параметров объек-

та (его дискретного состояния, в зарубежной литературе — switching state).

Идеологически алгоритмы детектирования основаны на косвенном сравне-

нии текущих параметров объекта с предыдущими, информация о которых

сохранена в специальный массив. Если косвенная информация о текущих па-

раметрах, в смысле выбранной метрики, достаточно отличается от косвенной

информации о предыдущих, значит произошло скачкообразное изменение па-

раметров объекта. После детектирования создается новый информационный

массив и заполняется косвенной информацией о текущих параметрах объ-

екта. Впоследствии в целях детектирования косвенное сравнение текущих

параметров объекта осуществляется с сохраненной в массивы информацией

о всех предыдущих состояниях объекта. Основным отличием решений [22, 23]

от [12-15, 17-21] является отсутствие необходимости априорного знания как

логики переключения параметров объекта, так и числа точек линеаризации

исходной нелинейной модели, а поэтому вводится столько настраиваемых за-

конов управления, сколько состояний объекта удалось выделить в процессе

детектирования. Вместе с тем решения [22, 23] используют концепцию кон-

курентного обучения, что так же, как и в [17-21] позволяет по сохраненным

данным настраивать параметры всех моделей одновременно. Недостатками

алгоритмов [22, 23] является оффлайн манипулирование с данными и возмож-

ность построения на их основе только непрямых законов адаптации с хоро-

шо известными сопутствующими трудностями [1-3, 21]. Более обстоятельный

обзор современных и классических методов идентификации и адаптивного

управления системами с переключениями параметров возможно отыскать в

монографии [11] и постановочных частях работ [12-15, 17-23].

В целом все рассмотренные алгоритмы адаптивного управления объекта-

ми с переключениями параметров обладают общими недостатками, основ-

ными из которых являются, во-первых, разрывное поведение сигнала управ-

ления при переключении на закон управления, предназначенный для кон-

кретного региона фазового пространства нелинейной системы, а во-вторых,

в использовании избыточного числа, в сущности, структурно одинаковых за-

конов адаптации параметров закона управления.

Оба недостатка связаны с использованием концепции управления систе-

мой с переключениями с помощью соответствующего закона управления с

переключением. В адаптивной постановке утверждается [12, 24], что, имея

несколько законов управления и адаптации, переключаясь между ними, уда-

ется улучшить быстродействие подстройки параметров управления и обес-

печить более высокое качество управления, чем при использовании общего

закона управления и адаптации. Более того, часто мотивация использования

нескольких законов адаптации связана с использованием эталонной модели

с переключениями в ситуации, если общая функция Ляпунова не существу-

ет [11]. Однако концепция управления с переключениями противоречит ос-

новному принципу адаптивного беспоискового управления, в соответствии

с которым для управления системой с параметрической неопределенностью

необходима непрерывная подстройка под текущие параметры объекта управ-

ления параметров одного закона управления [1-3]. Отказ от этого основопола-

гающего принципа и использование концепции управления с переключениями

вызваны недостатками классического закона адаптации, прежде всего, мед-

ленной скоростью сходимости и недостаточной способностью отслеживания

кусочно-постоянных неизвестных параметров.

Таким образом, обобщая вышесказанное, целью настоящей работы являет-

ся создание новой адаптивной системы управления объектами с кусочно-по-

стоянными неизвестными параметрами, в которой используются общий за-

кон управления и закон настройки его параметров для всех возможных пе-

реключений параметров объекта. В такой постановке логика переключений

параметров объекта управления считается неизвестной, а эталонная модель

выбирается общей для всех областей фазового пространства системы.

Основной результат работы, позволяющий достичь поставленную цель, ос-

нован на объединении предложенного в первой части работы подхода адап-

тивного управления с гарантией экспоненциальной устойчивости [25] с недав-

но разработанным законом идентификации неизвестных кусочно-постоянных

параметров линейного регрессионного уравнения [26]. Отличия предлагаемой

системы адаптивного управления объектами с кусочно-постоянными неиз-

вестными параметрами от рассмотренных в обзоре и других алгоритмов, ко-

торые интересующийся читатель может самостоятельно обнаружить в биб-

лиографии цитируемой литературы [11-15, 17-23], можно сформулировать

следующим образом:

1) для управления объектами с переключением параметров используется

закон управления без переключений коэффициентов;

2) настройка параметров закона управления осуществляется с помощью

одного нового прямого закона адаптации, способного отслеживать ку-

сочно-постоянные неизвестные идеальные параметры закона управле-

ния;

3) оффлайн процедуры обработки массивов измеряемой с объекта инфор-

мации не используются;

4) априорная информация о значениях/знаке матрицы коэффициентов

усиления объекта не требуется;

5) переключения параметров объекта могут быть вызваны как движением

траекторий объекта между полиэдральными регионами фазового про-

странства, так и различными неизвестными событиями дискретной при-

роды;

6) глобальная экспоненциальная устойчивость замкнутой системы и экс-

поненциальная сходимость настраиваемых параметров управления к ис-

тинным значениям достигаются при выполнении достаточно слабого

условия конечного возбуждения регрессора после каждого переключе-

ния параметров объекта.

Основные определения

При доказательстве теорем и утверждений будут использованы опреде-

ление конечного возбуждения регрессора и следствие из леммы Калмана-

Якубовича-Попова.

Определение 1. Регрессор ω(t) возбуждается конечно ω(t) ∈ FE на

интервале [t+r;t_e], если существуют t+r ≥ 0, t_e > t+r и α такие, что верно

неравенство:

∫

(1.1)

ω (τ)ω^T (τ)dτ ≥ αI_n×n,

где α > 0 — степень возбуждения, I_n×n — единичная матрица.

Следствие 1. Для любой матрицы D > 0 управляемой пары (A,B)

с гурвицевой матрицей A ∈ R^n×n и B ∈ R^n×m существуют матрицы

P = P^T > 0, Q ∈ R^n×m, K ∈ R^m×m и число μ > 0, такие что:

A^TP + PA = -QQ^T - μP, PB = QK,

(1.2)

K^TK = D + D^T.

2. Постановка задачи

Рассмотрим класс непрерывных линейных систем с дискретным измене-

нием параметров:

(

)

∀t ≥ t⁺⁰,

x(t) = ΘTκ(t)Φ(t) = Aκ(t)x(t) + Bκ(t)u(t), x

t⁺⁰

=x₀,

(2.1)

[

]_T

[

]

Φ(t) =

x^T(t) u^T(t)

ΘTκ(t) =

Aκ(t) Bκ(t)

где x(t) ∈ Rⁿ — координаты состояния с неизвестными начальными усло-

виями x₀, u(t) ∈ Rm — управляющие воздействия, Aκ(t) ∈ Rn×n — неиз-

вестная матрица состояний, Bκ(t) ∈ R^n×m — неизвестная матрица усилений,

κ(t) ∈ Ξ = {1, 2, . . . , N} — неизвестная дискретная функция, определяющая

моменты времени изменения параметров объекта, t⁺⁰ — известный началь-

ный момент времени, N — количество значений, которые могут принимать

(

)

параметры Θκ(t). Пара

Aκ(t),Bκ(t)

управляема, ∀t > t⁺⁰ вектор Φ(t) ∈ Rn+m

измерим, а матрица Θκ(t) ∈ R(n+m)×n неизвестна.

Для конкретности считается, что κ(t) и Θκ(t) непрерывны справа:

(2.2)

∀t ≥ t⁺⁰ κ(t) = lim

κ(τ), Θκ(t) = lim

Θκ(τ),

τ→t+i

τ→t⁺

где t^-i — момент времени, соответствующий значению функции слева от раз-

рыва, а t+i — момент времени, соответствующий значению функции справа

от разрыва.

В общем случае сигналом κ(t) кодируется последовательность переключе-

ний

{(

)

(

)

(

)



Σ= j₀,t⁺⁰

,...,

ji-1,t+i-1

j_i,t+i

,... 

}

(2.3)

j_i ∈ Ξ,j_i = ji+1,t+i ∈ ℑ,i ∈ N ,

{

}



ℑ= t⁺⁰,t⁺¹,...,t+i-1,t+i,...i∈N

[

)

которая определяет, что ∀t ∈

t+i; t+i+1

, κ(t) = j_i, Θκ(t) = Θji (на i-м интервале

времени параметр Θκ(t) принимает j-е значение из множества Ξ).

Функция κ(t) может однозначно определяться движением состояний x(t) и

управлений u(t) системы (2.1), а может изменять свои значения в зависимости

от различных неизвестных событий дискретной природы:

{



}

(2.4a)

κ(t) = j_i ⇔ Φ(t) ∈ Π_j =

Φ(t) ∈ Rn+mHjΦ(t)≤[j]0

или

[

)

(2.4b)

κ(t) = j_i ⇔ t ∈

t+i; t+i+1

где Π_j — j-й полиэдральный регион в пространстве Rn+m, H_j ∈R(n+m)×(n+m) -

матрица, задающая регион Π_j , ≤ [j] — операторы сравнения (< или ≤), га-

рантирующие удовлетворение условий ∪^Nj Π_j = Rm+n, Π_i ∩ Π_j = ∅ ∀j = i.

Для краткости и в то же время общности изложения, существующие на

[

)

(

[

)

интервале

t+i;t+i+1

параметры объекта (2.1) обозначим ϑ_i

∀t ∈

t+i;t⁺

)

i+1

ϑ_i = Θκ(t) = Θji

, что позволяет независимо от природы изменения парамет-

ров (2.4a) или (2.4b) записать (2.1) в виде:

⎧

[

)

⎨

A₀x(t) + B₀u(t), если t ∈

t⁺⁰; t⁺

∀t ≥ t⁺⁰, x(t) = ϑT(t)Φ(t) =

⎩

[

)

A_ix(t) + B_iu(t), если t ∈

t⁺;t+i+1

(2.5)

∑

(

)

∑

(

)

ϑ(t) = ϑ_i = ϑ₀ +

Λ_qh

t-t+q

^ϑ(t) =

Λ_qδ

t-t+q

q=1

где Λ_i = ϑ_i - ϑi-1 = Θji - Θji-1 — величина изменения ϑi в момент вре-

(

)

мени t+i, h

t-t+i

— функция единичного скачка в момент времени t+i,

(

)

t-t+i

— функция единичного импульса в момент времени t+i .

Требуемое качество управления в замкнутой управлением u(t) системе

(2.5) зададим эталонной моделью с постоянными параметрами:

(

)

(2.6)

∀t ≥ t⁺⁰,

x_ref (t) = A_ref x_ref (t) + B_ref r(t), x_ref

t⁺⁰

=x0ref,

где x_ref (t) ∈ Rⁿ — вектор координат состояния эталонной модели с началь-

ными условиями x0ref , r(t) ∈ R^m — сигнал задания, A_ref ∈ R^n×n — гурвицева

матрица состояний эталонной модели, B_ref ∈ R^n×m — матрица усилений эта-

лонной модели.

Для объекта (2.5) и эталонной модели (2.6) предполагается выполненным

необходимое и достаточное условие идеального отслеживания (ideal model fol-

lowing conditions или Erzberger’s matching conditions в западной литературе).

Допущение 1. Существуют матрицы Kxi ∈R^m×n и Kri ∈R^m×m такие,

что верно

(2.7)

A_i + B_iK^xi = A_ref , B_iK^ri = B_ref .

С учетом допущения 1, уравнение в отклонениях между уравнением объ-

екта (2.5) и эталонной модели (2.6) имеет вид:

ė_ref (t) = A_ref e_ref (t) + B_iu(t) - (A_ref - A_i) x(t) - B_ref r(t) =

(2.8)

= Aref eref (t) + Bi [u(t) - Kxi x(t) - Kri r(t)] =

[

]

= Aref eref (t) + B_i

u(t) - θ^T(t)ω(t)

где

[

]_T

e_ref (t) = x(t) - x_ref (t), ω(t) =

x^T(t) r^T(t)

∈Rn+m,

[

]_T

θ_i=

K^xi K^ri

∈R(n+m)×m,

∑

(

)

∑

(

)

θ(t) = θ_i = θ₀ +

Δ^θqh

t-t+q

θ_i =

Δ^θqδ

t-t+q

, Δ^θi =θ_i -θi-1.

q=1

Поскольку параметры θ(t) и множества Ξ, Σ, ℑ неизвестны, введем непре-

рывный закон управления с настраиваемыми параметрами:

(2.9)

u(t) =θT

(t)ω(t),

где^θ(t) ∈ R(n+m)×m — оценка параметров θ(t).

Подставив (2.9) в (2.8), имеем:

[

]

ė_ref (t) = A_ref e_ref (t) + B_i

θ^T(t) - θ^T(t) ω(t) =

(2.10)

= Aref eref (t) + B_iθ^T(t)ω(t),

где^θ(t) =^θ(t) - θ(t) — ошибка оценки параметров θ(t).

Относительно параметров θ(t) и возбуждения регрессора Φ(t) принимают-

ся следующие допущения.

Допущение 2. Пусть ∃Δ_θ > 0, T_min > min

T_i > 0 такие, что ∀i ∈ N од-

∀i∈N

новременно:



1) t+i+1 - t+i ≥ T_min,

∥θ_i - θi-1∥ =

_Δθ

≤Δθ;

[

]

2) Φ(t) ∈ FE на

t+i; t+i + T_i

со степенью α_i;

]

3) Φ(t) ∈ FE на

^[t+;t+i +Ti

со степенью α_i,

[

)

где α_i > α_i > 0,

∈

t+i; t+i + T_i

Допущение 3. Существует и известен параметр l > 0 такой, что:

⎡

⎤

∫t

⎢

)⎥⎦

Φ(t) ∈ FE ⇒ ϕ(t) =

⎣

e-l(t-τ)Φ^T (τ)dτ e^-l(t-ti

∈ FE.

Тогда основная цель работы сводится к построению алгоритма формиро-

вания оценок^θ(t), гарантирующего выполнение целевого условия:

(2.11)

lim

∥ξ(t)∥ = 0 (exp) ,

t→∞

[

(

) ]_T

где ξ(t) = eTref (t) vec^T

^θ(t)

— обобщенная ошибка слежения.

Замечание 1. Допущение 1 является классическим в теории адаптив-

ного управления с эталонной моделью (заинтересованный читатель может

ознакомиться в [27, 28] с недавно предложенными новыми методами ослаб-

ления допущения 1 для линейных объектов управления с постоянными па-

раметрами).

Первая часть допущения 2 требует конечной частоты и амплитуды из-

менения неизвестных параметров, что является стандартными требова-

ниями соответственно в теории систем с переключениями [11, 16] и тео-

рии идентификации [1-3]. Вторая и третья часть допущения 2 описывают

необходимое и достаточное условие идентифицируемости истинных значе-

ний всех элементов i-й матрицы неизвестных параметров [29].

Допущение 3 соответствует условиям идентифицируемости вектора

параметров ϑ^T(t) =^[ A_i B_i x⁽t+i)] и требует отсутствия в алгебраиче-

ском спектре матрицы A числа -l. Если начальные условия системы x(t⁺⁰)

известны, то принятие допущения 3 не требуется. Подробнее необходи-

мость и ограничительность допущения 3 комментировались в разделе 3.4

работы [28].

3. Предварительные результаты

Рассмотрим решение задачи экспоненциального регулирования (2.11) при

известных κ(t) и Θκ(t).

Выбор управления в форме u(t) =θT(t)ω(t),^θ(t) = θ(t), в силу гурвицево-

сти матрицы A_ref , для всех t ≥ t⁺⁰ гарантирует^θ(t) = 0 и экспоненциальную

устойчивость ошибки e_ref (t) [16]. Однако сигнал управления в этом случае

испытывает разрывы первого рода при изменении параметров объекта управ-

ления, что может быть неприемлемо в приложениях.

Альтернативный выбор управления заключается в использовании следую-

щего алгоритма фильтрации:

(

)

(

)

(3.1)

θ(t) = -γ₁

^θ(t) - θ(t)

= -γ₁ θ(t),

t⁺⁰

= θ₀,

где γ₁ > 0 — коэффициент усиления, регулирующий скорость сходимости^θ(t).

Для управления (2.9) с фильтрацией (3.1) оказывается верно следующее

утверждение.

Утверждение 1. При достаточно большом значении параметра

γ₁ > 0 и выполнении хотя бы одного из условий:

1) i ≤ i_max < ∞,



(

)

(

)



∀q ∈ N

Δ^θq≤cqφ

t+q,t⁺⁰

, c_q >cq+1, φ

t+q,t⁺⁰

=e-γ1(tq-t0),

управление (2.9) с (3.1) гарантирует ∀t ≥ t⁺⁰ lim_t→∞ ∥ξ(t)∥ = 0 (exp) .

Доказательство утверждения приведено в Приложении.

Условия экспоненциальной устойчивости из утверждения 1 эквивалентны

ограниченности суммы всех коррекций Δ^θq по норме:

∑



(

)

i ≤ i_max < ∞ ⇔ ∥θ(t)∥ ≤ ∥θ₀∥ +

Δ^θqh

t-t+q

< ∞,

q=1



(

)

∑

(

)

(

)



Δ^θq≤cqφ

t+q,t⁺⁰

⇔ ∥θ(t)∥ ≤ ∥θ₀∥ + c_qφ

t+q,t⁺⁰

t-t+q

< ∞,

q=1

что, в отличие от разрывов управления при выборе^θ(t) = θ(t), не является

ограничительным.

Таким образом, при известных параметрах θ(t) задача экспоненциального

регулирования (2.11) может быть разрешена с помощью непрерывного управ-

ления (2.9) с фильтрацией (3.1). Этот результат мотивирует для решения

задачи (2.11) в адаптивной постановке по доступным для измерения сигна-

лам Φ(t) косвенно реализовать фильтрацию (3.1).

4. Основной результат

Следуя методу адаптивного управления с гарантией экспоненциальной

устойчивости [25], для косвенной реализации (3.1) сначала получим регрес-

сионное уравнение, связывающее неизвестные параметры θ(t) с измеримыми

сигналами Φ(t).

Результат такой параметризации оформим в виде утверждения, в кото-

ром t+i будем считать оценкой t+i.

Утверждение 2. На основании состояний фильтра со сбросом

)

(4.1)

Φ(t) = -lΦ(t) + Φ(t), Φ

⁽t+

=0m+n,

процедур нормализации

z_n(t) = n_s(t)[x(t) - lx(t)], ϕ_n(t) = n_s(t)ϕ(t),

(4.2)

[

]

n_s(t) =

, x(t) =

I_n×n

0n×m

Φ(t),

1 + ϕ^T(t)ϕ(t)

расширения (σ > 0)

(4.3a)

Ż(t) = e^-σ(t-ti)ϕ_n(t)zTn(t), z⁽t+i) = 0(n+m+1)×n,

(4.3b)

ϕ(t) = e^-σ(t-ti)ϕ_n(t)ϕTn(t), ϕ⁽t+i) = 0(n+m+1)×(n+m+1),

смешивания

Y (t): = adj {ϕ(t)} z(t),

(4.4)

Δ(t): = det {ϕ(t)} ,

вырезания

[

]_T

z_A(t) = Y^T(t)L, L =

I_n×n

0n×(m+1)

∈R(n+m+1)×n,

(4.5)

[

]

z_B(t) = Y^T(t)en+m+1, en+m+1 =

0m×n Im×m 0m×1

^T∈R(n+m+1)×m,

подстановки

[

{

}

]

adj

z^T(t)zB (t)

zTB(t)(Δ(t)A_ref - z_A(t))

Y(t): =

{

}

adj

zTB(t)z_B(t)

zTB(t)Δ(t)B_ref

(4.6)

{

}

M(t): = det

zTB(t)z_B(t)

и сглаживания (k = k₀γ₁, k₀ ≥ 1)

(

)

(4.7a)

Υ(t) = -k (Υ(t) - Y(t)) , Υ

t⁺⁰

=0(n+m)×n,

(

)

(4.7b)

Ω(t) = -k (Ω(t) - M(t)) , Ω

t⁺⁰

= 0,

имеем возмущенное регрессионное уравнение относительно θ(t):

(4.8)

Υ(t) = Ω(t)θ(t) + w(t),

где функции Υ(t), Ω(t) вычисляются по Φ(t) и дополнительно:

a) при выполнении допущений 1-3 ∀t ≥ t⁺⁰ + T₀ верно 0 < Ω_LB ≤ Ω(t) ≤

≤ Ω_UB < ∞.

(

)

b) если t+i = t+i - t+i = 0, то ∥w(t)∥ ≤ w_maxφ

t,t⁺⁰ + T₀

≤w_max.

Доказательство утверждения и определение величин w(t), w_max приведены в

Приложении.

Временно предположив постоянство параметров ϑ(t) = ϑ и θ(t) = θ, крат-

ко поясним назначение используемых процедур. Фильтрация (4.1) позволя-

ет по измеримым сигналам Φ(t) получить в распоряжение измеримое ре-

грессионное уравнение x(t) - lx(t) = ϑ^Tϕ(t) относительно параметров объек-

та управления (2.1). Нормализация (4.2) обеспечивает принадлежность про-

странству L_∞ всех используемых в дальнейших процедурах сигналов. Проце-

дуры расширения и смешивания (4.3a), (4.3b), (4.4) позволяют преобразовать

полученную в (4.1), (4.2) регрессию к виду Y (t) = Δ(t)ϑ, где Δ(t) ∈ R — ска-

лярный регрессор (см. доказательство утверждения и [9]). Кроме того, инте-

гральная фильтрация (4.3a), (4.3b) позволяет обеспечить ∀t ≥ t⁺⁰ + T₀ выпол-

нение условия Δ(t) ≥ Δ_LB > 0 [26]. Вырезание (4.5) в силу Δ(t) ∈ R реализует

переход к отдельному рассмотрению регрессионных уравнений z_A(t) = Δ(t)A,

z_B(t) = Δ(t)B относительно матриц A и B. С помощью подстановки (4.6) вы-

ражений (4.5) в условие согласованности (2.7) выполняется переход от урав-

нений относительно A и B к уравнению Y(t) = M(t)θ относительно θ (см. до-

казательство утверждения и [25, 27, 28]). Сглаживание (4.7a), (4.7b) позволя-

ет для всех t ≥ t⁺⁰ + T₀ отделить Ω(t) от нуля и обеспечивает достаточную

гладкость Υ(t) и Ω(t).

Вернемся к рассмотрению кусочно-постоянных неизвестных параметров

системы (2.1). В этом случае получаем ненулевое возмущение w(t), вызванное

нарушением коммутативности фильтров (4.1), (4.3a), (4.7a).

При произвольном выборе t+i в силу интегральной природы (4.3a), (4.3b)

возмущение w(t) оказывается незатухающей функцией. Однако, как следу-

ет из результатов части б) утверждения выбором t+i = t+i, т.е. путем сброса

фильтров (4.1) и (4.3a), (4.3b) после каждого изменения параметров системы

(2.1) возможно обеспечить экспоненциальное убывание w(t).

Моменты времени t+i изменения параметров системы (2.1) неизвестны по

постановке, поэтому вводим в рассмотрение следующий алгоритм обнаруже-

ния переключений.

Утверждение 3. Если выполнены допущения 2 и 3, оценка t+i форми-

руется по функции

(4.9)

ϵ(t) = Δ(t)ϕ_n(t)zTn(t) - ϕ_n(t)ϕTn

(t)Y (t),

в соответствии с алгоритмом детектирования

Инициализация: i ← 1, t_up = t+i-1

(4.10)

ЕСЛИ t - t_up ≥ Δ_pr И ∥ϵ(t)∥ > 0,

ТО t+i: = t + Δ_pr, t_up ← t, i ← i + 1,

то ситуационным выбором min

T_i > Δ_pr ≥ 0 гарантируется t+i = Δ_pr ≤ T_i.

∀i∈N

Доказательство утверждения приведено в Приложении.

Имея в распоряжении регрессионное уравнение (4.8), вычисленное исклю-

чительно по измеримым сигналам Φ(t), и алгоритм обнаружения переключе-

ний (4.10), обеспечивающий t+i = Δ_pr ≥ 0, можно косвенно реализовать филь-

трацию (3.1) и гарантировать достижение поставленной цели (2.11) в адап-

тивной постановке.

Теорема 1. Пусть Δ_pr = 0, выполнены допущения 1-3, тогда закон на-

стройки:

(

)

θ(t) = -γ(t)Ω(t) Ω(t)^θ(t) - Υ(t)

(

)

= -γ(t)Ω²(t)^θ(t) + γ(t)Ω(t)w(t),

t⁺⁰

= θ₀,

(4.11)

⎧

⎨

0, если Ω(t) < Ω_LB,

γ(t) =

γ₁

⎩

иначе,

Ω²(t)

если дополнительно выполняется хотя бы одно из условий:

1) i ≤ i_max < ∞,



(

)

(

)

∀q ∈ N,

^Δ^θq≤ cqφk0

t+q,t⁺⁰

,c_q >cq+1,φ

t+q,t⁺⁰

=e-γ1(tq-t0),

при k₀ ≥ 1 и достаточно большом значении параметра γ₁ > 0 гарантирует:

∀t ≥ t⁺⁰ξ(t) ∈ L_∞

ii)

∀t ≥ t⁺⁰ + T₀ lim ∥ξ(t)∥ = 0(exp).

t→∞

Доказательство теоремы приведено в Приложении.

Структурная схема предложенного алгоритма адаптивного управления

объектами с кусочно-постоянными неизвестными параметрами представле-

на на рис. 1.

Рис. 1. Структурная схема разработанной адаптивной системы.

Таким образом, разработанная адаптивная система управления объекта-

ми с кусочно-постоянными параметрами состоит из закона управления (2.9),

закона адаптации (4.11), набора процедур (4.1)-(4.8) обработки измеряемых

сигналов и алгоритма детектирования (4.9)-(4.10) переключений параметров

объекта (2.1). В отличие от существующих методов адаптивного управления

системами с переключениями, предложенный подход не требует какой-либо

информации о матрицах коэффициентов усиления объекта B_i, не использует

сигнал управления с разрывными параметрами, равноприменим для управ-

ления объектами с переключениями, вызванными дискретными событиями

(2.4b) и движением фазовых траекторий (2.4a), и гарантирует глобальную

экспоненциальную сходимость ошибки ξ(t) к нулю при условии конечного

возбуждения регрессора после каждого переключения параметров.

4.1. Робастность

Любая система управления, проектируемая в предположении отсутствия

внешних возмущающих воздействий, обязательно в случае их наличия долж-

на гарантировать хотя бы ограниченность регулируемых сигналов.

Робастность предложенной системы адаптивного управления (2.9), (4.10),

(4.11) в смысле ограниченности ошибки ξ(t) зависит от робастности как за-

кона адаптации (4.11), так и алгоритма детектирования (4.10).

При использовании закона (4.11) и действии внешних возмущений на объ-

ект управления (2.1) или измеримые сигналы Φ(t), параметрическая ошиб-

ка^θ(t) описывается следующим линейным дифференциальным уравнением:

(

)

θ(t) = -γΩ(t) Ω(t)^θ(t) - Υ(t)

- θ(t) =

(4.12)

= -γΩ²(t)^θ(t) + γΩ(t)(w(t) - δ_w(t))

θ(t),

где δ_w(t) ∈ L_∞ — внешнее возмущение, вызванное распространением через

(4.1)-(4.8) возмущений, действующих на объект управления или измеримые

сигналы.

Уравнение (4.12) в силу γ(t) > 0, Ω(t) ∈ L_∞, ∀t ≥ t₀ + T₀ Ω(t) ≥ Ω_LB > 0

является устойчивым в смысле ограниченный вход — ограниченный выход.

Поэтому в случае присутствия в функции Υ(t) ограниченного внешнего воз-

мущения δ_w(t) ∈ L_∞, закон (4.11) гарантирует сходимость параметрической

ошибки^θ(t) в ограниченную область положения равновесия. Если размер

данной области достаточен для ограниченности состояний x(t) объекта, то

дополнительно обеспечивается и ограниченность ξ(t).

Поскольку ошибочные или хуже того постоянные сбросы фильтров (4.1),

(4.3a), (4.3b), при действии на объект управления внешних возмущений могут

приводить к значительному ухудшению качества идентификации или полной

потери законом (4.11) идентифицирующей способности вместе с обеспечени-

ем ограниченности ошибки^θ(t), важно также постараться предотвратить воз-

никновение ошибок детектирования переключений параметров объекта.

Для этого в [26, 30] было предложено использовать следующую робастную

версию алгоритма (4.10):

Инициализация: i ← 1, t_up = t+i-1



√



(4.13)

ЕСЛИ t - t_up ≥ Δ_pr И ∥E {ϵ(t)}∥ >

0,9

var {(t)} + ∥ρ(t)∥,

ТО t+i: = t + Δ_pr, t_up ← t, i ← i + 1,

где ρ(t) — функциональный параметр робастного алгоритма, E {.} — матема-

тическое ожидание, var {.} — дисперсия.

Выбор параметра ρ(t) алгоритма (4.13) позволяет регулировать точность

детектирования и настраиваться под конкретный класс внешних возмущаю-

щих воздействий. Например, если возмущение представляет собой шум с ну-

левым математическим ожиданием, то в соответствии с результатами [26, 30],

достаточно выбрать ρ(t) = 0. В общем случае рекомендуется выбирать ρ(t)

следующим образом:

⎧

⎛

⎨

⎜

(4.14) ρ (t) = E

ϕn (t)⎝Δ (t)ρ1 -

⎩

⎞⎫

∫t

⎬

- ρ₂ϕTn (t) adj {ϕ(t)}

e^-σ(τ-ti

⁾ϕn (τ)dτ^⎠

⎪

где ρ₁ > 0, ρ₂ > 0 — некоторые постоянные.

При отсутствии возмущений свойства алгоритма (4.13) совпадают со свой-

ствами алгоритма (4.10), а при наличии возмущений алгоритм (4.13) при пра-

вильном выборе функционального параметра ρ(t) позволяет избежать оши-

бок детектирования. Больше подробностей об алгоритме (4.13) возможно най-

ти в [26, 30].

5. Математическое моделирование

В среде Matlab/Simulink выполним моделирование предложенной адап-

тивной системы управления при переключениях параметров объекта, вызван-

ных как дискретными неизвестными событиями (2.4b), так и переходом со-

стояний объекта между полиэдральными регионами фазового пространства

(2.4a). Моделирование будем проводить, используя численное интегрирова-

ние методом Эйлера c постоянным шагом дискретизации τ_s = 10-4 секунды.

5.1. Переключение параметров в дискретные моменты времени

Проверим работоспособность разработанной системы при изменении па-

раметров объекта, вызванных дискретными неизвестными событиями. Моде-

лирование выполним как при отсутствии, так и при наличии внешних возму-

щений.

5.1.1. Отсутствие внешних возмущений

Рассмотрим объект управления в форме (2.5) с тремя переключениями:

⎧

⎨

A₀x(t) + B₀u(t), если t ∈ [0; 5)

∀t ≥ 0, x(t) =

A₁x(t) + B₁u(t), если t ∈ [5; 10)

⎩

A₂x(t) + B₂u(t), если t ≥ 10,

[

]

[

]

(5.1.1)

A₀ = A₂ =

; B₀ =B₂ =

;

−6 -8

[

]

[

]

A₁ =

; B₁ =

−2 -4

−4

1,0

0,5

x1ref (t)

(t) - (3.1)

x₁

-0,5

x₁(t) - (4.11)

-1,0

t, c

x2ref (t)

x₂(t) - (3.1)

x₂(t) - (4.11)

-1

t, c

Рис. 3. Переходные процессы по состояниям эталонной модели x_ref (t) и объ-

екта x(t) при применении управлений (2.9) c (3.1) и (4.11).

Начальные условия объекта (5.1.1), параметры фильтров (4.1), (4.3), (4.7),

а также параметры закона адаптации (4.11) и алгоритма детектирования

(4.10) установим в соответствии с выражением:

[

]_T

[

]_T

x (0) =

-1 0

^θ(0) =

, l = 10, σ = 5,

(5.1.3)

k₀ = 100, γ₀ = 1, γ₁ = 1, Δ_pr = 0,1.

Удостоверимся в выполнении допущений 2-3, а также требований теоремы

и утверждений 2, 3.

На рис. 2 представлено: а) сравнение ∥w(t)∥ при различных Δ_pr; б) пере-

ходные процессы по регрессору Ω(t) при Δ_pr = 0,1; в) сравнение ∥ϵ(t)∥ при

различных Δ_pr.

Малые амплитуды сигналов на рис. 2 объясняются использованием про-

цедуры смешивания (4.4) и плохой обусловленностью ϕ(t): λ_max (ϕ(t)) ≫

∏

≫λ_min (ϕ(t)) > 0 ⇒ Δ(t) =

λ_i (ϕ(t)) → 0. Подробнее вычислительная

i=1

ликвидация сигналов обсуждалась в [25]. В целом результаты моделирования

подтверждают выполнение в эксперименте допущений, сделанных в теорети-

ческом анализе:

2,0

1,5

1,0

0,5

K ^x(t)

–0,5

-1,0

t, c

K^r(t)

-1

-2

t, c

Рис. 4. Переходные процессы по оценкам

^θ(t) неизвестных параметров θ(t).

— переключение параметров объекта приводит к возникновению конечно-

[

]

го возбуждения регрессора на

t+i; t+i + T_i

^[t+;t+i +Ti

(п. 2)-3) из

допущения 2);

— выбором l возможно гарантировать сохранение возбуждения регрессора

и его дальнейшее распространение в параметризации (допущение 3).

Кроме того, моделирование подтвердило теоретические выводы утвержде-

ний 2-3:

— регрессор Ω(t) отделен от нуля ∀t ≥ t⁺⁰ + T₀;

— возмущение w(t) при близких к нулю значениях параметра Δ_pr является

экспоненциально убывающей функцией;

[

]

— индикатор ϵ(t) отличен от нуля только на интервале

t+i; t+i

;

— при использовании алгоритма детектирования (4.10) выполняется нера-

венство t+i ≤ T_i, а величина ошибки детектирования t+i определяется

величиной Δ_pr.

Таким образом, все принятые допущения в эксперименте выполнены, а вы-

воды утверждений 2, 3 получили экспериментальное подтверждение.

На рис. 3 приведено сравнение переходных процессов по координатам со-

стояния x(t) с эталонными x_ref (t) при применении управлений (2.9) c (3.1)

и (4.11).

Временные диаграммы по x(t) показывают достаточно высокое быстродей-

ствие предложенной адаптивной системы управления (2.9), (4.11) по сравне-

нию с идеальным непрерывным законом (2.9), (3.1) и подтверждают дока-

занную в утверждении 1 и теореме экспоненциальную сходимость к нулю

ошибки e_ref (t) при конечном числе переключений параметров объекта.

На рис. 4 представлены переходные процессы по оценкам^θ(t) неизвестных

параметров θ(t).

Рисунок 4 подтверждает доказанную в теореме экспоненциальную сходи-

мость ошибки^θ(t) к нулю.

Таким образом, эксперимент, проведенный в условиях переключения па-

раметров объекта управления в дискретные неизвестные моменты времени,

полностью подтвердил теоретические свойства предложенной адаптивной си-

стемы управления.

5.1.2. Влияние внешних возмущений

Проверим работоспособность предложенной адаптивной системы при дей-

ствии на объект управления внешнего ограниченного возмущения.

Объект управления (2.5) рассмотрим в следующей форме:

⎧

⎨A0x(t) + B0(u(t) + 0,25sgn(sin(2,5t))), если t ∈ [0; 5)

(5.1.4) ∀t ≥ 0, x(t) =

A₁x(t) + B₁(u(t) + 0,25sgn(sin(2,5t))), если t ∈ [5; 10)

⎩

A₂x(t) + B₂(u(t) + 0,25sgn(sin(2,5t))), если t ≥ 10,

где A_i, B_i — матрицы, определенные в (5.1.1), 0,25 sgn (sin (2,5t)) — внешнее

согласованное с сигналом управления ограниченное возмущение.

Все начальные условия и параметры адаптивной системы установим в со-

ответствии с выражением (5.1.3). Для детектирования изменений параметров

объекта будем использовать робастный алгоритм (4.13), где функциональ-

ный параметр ρ(t) выберем в соответствии с выражением (4.14) при ρ₁ = 1,

ρ₂ = 10-1.

На рис. 5 приведены переходные процессы по:



√



а) ∥E {ϵ(t)}∥ и

0,9

var {(t)} + ∥ρ(t)∥;

б) состоянию x₁(t) при применении (2.9) c (3.1) и (4.11);

в) оценкам^θ(t) неизвестных параметров θ(t).

Результаты моделирования подтверждают выводы, сделанные при анали-

тическом обсуждении робастности:

— уравнение параметрической ошибки

(4.12) действительно является

устойчивым в смысле ограниченный вход — ограниченный выход;

— если параметрическая ошибка^θ(t) экспоненциально сходится в доста-

точно малую окрестность нуля, то гарантируется ограниченность x(t)

и eref (t);

— при правильном выборе функционального параметра ρ(t) робастный ал-

горитм (4.13) позволяет обнаружить переключение параметров объекта

даже при действии на объект управления внешних ограниченных воз-

мущений.

Таким образом, проведенный эксперимент подтвердил робастность к влия-

нию внешних ограниченных возмущений закона настройки (4.11) и алгоритма

детектирования (4.13).

5.2. Переключения параметров при фазовом переходе

В этом эксперименте валидируем возможность использования предложен-

ной адаптивной системы управления при переключениях параметров объекта

управления, вызванных движением состояний системы в фазовом простран-

стве.

Рассмотрим объект управления (2.1) с одинарным разбиением фазового

пространства:

⎧

[

]

[

]

⎪

⎨

x(t) +

u(t), если x₁(t) ≥ 0

-1 0,2

-1

(5.2.1)

∀t ≥ 0,

x(t) =

[

]

[

]

⎪

⎩

x(t) +

u(t), если x₁(t) < 0.

−1,5

-0,2

Эталонную модель и задающее воздействие для (5.2.1) определим следую-

щим образом:

[

]

[

]

∀t ≥ 0,

x_ref (t) =

x_ref (t)+

r(t),

−2 -4

⎧

(5.2.2)

⎪

1, если

0 ≤ t < 10

⎨

−1, если

10 ≤ t < 20

r(t) =

⎪

1, если

20 ≤ t < 30

⎩

−1, если

30 ≤ t < 40.

Структурное соответствие матриц эталонной модели матрицам объекта

гарантирует выполнение допущения 1.

Начальные условия объекта (5.2.1) и эталонной модели (5.2.2), параметры

фильтров (4.1), (4.3), (4.7), а также параметры закона адаптации (4.11) и

алгоритма детектирования (4.10) установим в соответствии с выражением:

[

]_T

[

]_T

[

]_T

x(0) =

-2 2

, x_ref (0) =

-1 0

^θ(0) =

-1

(5.2.3)

l = 10, σ = 5, k₀ = 100, γ₀ = 1, γ₁ = 1, Δ_pr = 0,1.

На рис. 6 приведены переходные процессы по: а) x(t) и x_ref (t); б)^θ(t) и θ(t).

Результаты моделирования подтверждают выводы утверждений 2, 3 и тео-

ремы, а также валидируют возможность применения разработанной адаптив-

ной системы для решения задач управления объектами с переключениями,

вызванными движением фазовых траекторий (2.4a).

6. Заключение

Для решения задач управления линейными объектами с неизвестными

кусочно-постоянными параметрами предложен новый закон настройки па-

раметров регулятора, равноприменимый к системам с различной природой

переключений параметров, обеспечивающий при конечном возбуждении ре-

грессора после каждого изменения параметров экспоненциальную устойчи-

вость обобщенной ошибки слежения ξ(t). В отличие от существующих ре-

шений, разработанная система адаптивного управления не требует знания

знаков/значений матриц коэффициентов усиления и моментов времени t+i

изменения параметров объекта, а также свободна от процедур оффлайн ма-

нипулирования с данными.

Целью дальнейших исследований может являться расширение получен-

ных результатов на а) задачи управления по выходу линейными системами с

кусочно-постоянными параметрами; б ) задачи управления по вектору состо-

яний при нарушении условий согласованности (2.7) (например, применение

предложенного подхода в схемах [27, 28]).

Третья часть работы будет посвящена разработке метода адаптивного

управления с гарантией экспоненциальной устойчивости системами с пере-

менными параметрами.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Доказательство утверждения 1. Разделим доказательство экспо-

ненциальной устойчивости ξ(t) на два этапа. На первом этапе покажем экс-

поненциальную сходимость к нулю^θ(t) независимо от ограниченности e_ref (t)

и ω(t). На втором этапе, в силу сходимости ^θ(t), покажем сходимость e_ref (t).

Шаг 1. Решим полученное из (3.1) уравнение^θ(t) =^θ(t) - θ(t):

∫

(

)

(

)

∑

(

)

(Π.1)

^θ(t) = φ

t,t⁺⁰

t⁺⁰

φ(t,τ)

Δ^θqδ

τ -t+q

dτ,

q=1

∫t

где φ (t, τ ) = e^-

γ₁dτ .

Воспользовавшись фильтрующим свойством функции единичного импуль-

са:

∫

(

)

(

)

(

)

(Π.2)

f (τ) δ

τ-t+q

dτ = f

t+q

t-t+q

, ∀f(t),

из (Π.1) можем получить:



∑



(

)

(

)

(

)



(

)

^θ(t)≤φ

t,t⁺⁰

^θ

t⁺⁰

+ φ

t,t+q

Δ^θqh

t-t+q

q=1

⎛

⎞

(Π.3)



∑



(

)

(

)

(

)



)⎠

=⎝θ

t⁺⁰

+ φ

t⁺⁰, t+q

Δ^θqh

t-t+q

t,t⁺⁰

q=1

β(t)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

где φ

t⁺⁰, t+q

=φ-1

t+q,t⁺⁰

=φ-1

t,t⁺⁰

t,t+q

=φ

t⁺⁰, t

t,t+q

Для доказательства экспоненциальной сходимости^θ(t) осталось показать

ограниченность β(t). Если число переключений параметров системы конечно:

i ≤ i_max < ∞, то поскольку:

а) при конечном i моменты времени t+i конечны,

(

)

б) φ

t⁺⁰, t+q

ограничена при конечном t+q,

верна оценка сверху:



(

∑

(

)

(

)



(Π.4)

β(t) ≤

^θ

t⁺⁰

+ φ

t⁺⁰, t+q

Δ^θqh

t-t+q

=β_max.

q=1



(

)

Если ∀q ∈ N

^Δ^θq≤ cqφ

t+q,t⁺⁰

, c_q > cq+1, то даже при неограниченном i

верно:



(

)

∑

(

)



(Π.5)

β(t) ≤

^θ

t⁺⁰

+ c_qh

t-t+q

=β_max.

q=1

Ряд в (Π.5) знакоположительный и все его частичные суммы ограничены

∑

(

)

в силу монотонности 0 < cq+1 < c_q, а поэтому

c_qh

t-t+q

< ∞, что ведет

q=1

к β(t) ≤ β_max.

Из ограниченности (Π.4) или (Π.5) мгновенно следует:



(

)

(Π.6)

^θ(t)≤βmaxφ

t,t⁺⁰

=β_maxe-γ1(t-t0) < β_max.

Перейдем к анализу ошибки слежения e_ref (t).

Шаг 2. Введем в рассмотрение квадратичную форму:

{

}

2a²⁰

Veref =eTrefPeref +

e-γ1(t-t0), H = blockdiag P,2a0

γ₁

(Π.7)

λ_min (H)∥eref ∥2 ≤ V (∥eref ∥) ≤ λmax (H)∥eref ∥2,

λm

λ_M

[

]_T

где e_ref (t) =

eTref (t) e^-

(t-t⁺⁰)

, a₀ > 0, а P есть решение при K = I_n×n

системы:

ATref P + PA_ref = -QQ^T - μP, PI_n×n = QK,

K^TK = D + D^T,

которая эквивалентна уравнению Риккати ATref P +P A_ref +P P^T +μP = 0_n×n.

Производная (Π.7) имеет вид:

(

)

V_e

=eTref

ATref P + PA_ref

e_ref - 2a²⁰e-γ1(t-t0) + 2eTref PI_nB_i θ^Tω =

ref

(Π.8)

(

)

= -μeTref Pe_ref - eTref QQ^Te_ref - 2a²⁰e-γ1(t-t0) + tr

2B_i θ^TωeTref QK

Так как KK^T = K^TK = I_n×n, выражение (Π.8) примет вид:

V_e

= -μeTref Pe_ref - 2a²⁰e-γ1(t-t0) - eTref QKK^TQ^Te_ref +

ref

(

)

(Π.9)

+ tr

2B_i θ^TωeTref QK

= -μeTref Pe_ref - 2a²⁰e-γ1(t-t0) +

(

)

+ tr

-K^TQ^Te_ref eTref QK + 2B_i θ^TωeTref QK

Использовав дополнение до полного квадрата

K^TQ^Te_ref eTref QK - 2B_i θ^TωeTref QK + B_iθ^Tωω^TθBTi =

(Π.10)

(

)(

)_T

= B_iθ^Tω-K^TQ^Teref

B_i θ^Tω - K^TQ^Te_ref

≥ 0,

имеем:

V_e

≤ -μeTref Pe_ref - 2a²⁰e-γ1(t-t0) +

ref

(

)

+ tr

-K^TQ^Te_ref eTref QK + 2B_i θ^TωeTref QK ± B_i θ^Tωω^T θB^T

≤

(

)

≤ -μeTref Pe_ref - 2a²⁰e-γ1(t-t0) + tr B_i θ^Tωω^TθB^T

≤

≤ -μλ_min (P) ∥e_ref ∥² - 2a²⁰e-γ1(t-t0) + b^2maxλ_max (ωω^T)θ2 ≤

(Π.11)

≤ -μλ_min (P)∥e_ref ∥² - 2a²⁰e-γ1(t-t0)+

(

)

(

)

+b^2maxβ^2maxλ_max

ωω^T

φ²

t,t⁺⁰

≤

≤ -μλ_min (P)∥e_ref ∥² - 2a²⁰e-γ1(t-t0)+

(

)

+b^2maxβ^2maxλ_max

ωω^T

e-γ1(t-t0)e-γ1(t-t0),

где ∀i ∈ N ∥B_i∥ ≤ b_max — из условия управляемости пары (A_i, B_i).

Для экспоненциальной устойчивости e_ref (t) необходимо экспоненциальное

убывание третьего слагаемого в (Π.11), что требует:

(

)

(Π.12)

χ(t) = λ_max

ω(t)ω^T(t)

e-γ1(t-t0) ≤ χ_UB,

где χ_UB > 0.

(

)

Оценим скорость роста λ_max

ω(t)ω^T(t)

, рассмотрев функцию Leref =

=eTrefPe_ref:

(

)

L_e

=eTref

ATref P + PA_ref

e_ref + 2eTref PB_i θ^Tω ≤

ref

≤ -μeTref Pe_ref + 2eTref PB_i K_xx + 2eTref PB_i K_rr ≤



θ∥x∥+

≤ -μλ_min (P)∥e_ref ∥² + 2λ_max (P) b_max ∥e_ref ∥



+ 2λ_max (P ) b_max ∥e_ref ∥θrmax ≤

(Π.13)



θ

≤ -μλ_min (P)∥e_ref ∥² + 2λ_max (P) b_max∥e_ref ∥²

^+

(

)



θ

+ 2λ_max (P ) b_max

xUBref + r_max

∥e_ref ∥

≤

(

)



≤ -μλ_min (P) + 2λ_max (P) b_maxθ

∥e_ref ∥² +

(

)



+ 2λ_max (P ) b_max

xUBref + r_max

∥e_ref ∥θ,

где ∥x_ref (t)∥ ≤ xUBref — оценка сверху на норму вектора состояний эталонной

модели.

Ошибка^θ(t) ограничена, тогда в консервативном случае из (Π.13) имеем:

L_e

(Π.14)

≤ c₁∥eref ∥² + 2c2 ∥e_ref

∥,

ref

где

c₁ = -μλ_min (P) + 2λ_max (P) b_maxβ_max > 0,

(

)

c₂ = λ_max (P) b_maxβ_max

xUBref + r_max

Воспользовавшись неравенством Юнга ab ≤¹² a² +¹² b², из (Π.14), имеем:

(

)

L_e

≤

c₁ + 2c²²

∥e_ref ∥² + 0,5 ≤

ref

(Π.15)

(

)

≤

c₁ + 2c²²

∥e_ref ∥² + 1 =c1 +2c2

Leref + 1.

λ_max (P)

Решим (Π.15) c учетом

λ_min (P) ∥e_ref (t)∥² ≤ L_e

(t), Leref (t) ≤ λ_max (P ) ∥e_ref (t)∥² :

ref

√

λ_max (P)

^c1+2c2

(

)

(t-t⁺⁰)e

∥e_ref (t)∥ ≤

2λmax(P )

t⁺⁰

^+

ref

λ_min (P)

(Π.16)

;

^c1+2c2

(t-t⁺⁰)

√λmax (P)e

λmax(P )

(

)

λ_min (P)

c₁

+ 2c²

Откуда скорость роста x(t) не превосходит экспоненциальной, а поэтому,

в силу ограниченности r(t) верно:

(

)

(

)

∑

λ_max

ω(t)ω^T(t)

= tr

ω(t)ω^T(t)

= x2i(t) +

i=1

(Π.17)

∑

+ r2i(t) ≤ c₀ec1(t-t0), c₀ > 0, c₁ > 0.

i=1

Подставив оценку (Π.17) в выражение (Π.12), имеем выполнение (Π.12)

при достаточно большом значении γ₁ > 0. Далее, используя (Π.12) в (Π.11),

получаем:

V_e

≤ -μλ_min (P)∥e_ref ∥² - 2a²⁰e-γ1(t-t0) +

ref

(Π.18)

+ a²⁰e-γ1(t-t0) = -η_e

Veref ,

ref

где

}

^{μλ_min (P)

γ₁

a²⁰ = b^2maxβ^2maxχ_UB, η_e

= min

ref

λ_max (P)

Решение дифференциального неравенства (Π.18) позволяет получить:

(

)

(Π.19)

Veref (t) ≤ e-ηeref(t-t

⁾V_e

t⁺⁰

ref

Откуда следует экспоненциальная сходимость ошибки слежения e_ref (t) к

нулю:

√

λ_M 

(

)

(Π.20)

∥e_ref (t)∥ ≤

e_ref

t⁺⁰

 e-ηeref (t-t

⁾,

λ_m

где

ηeref =

e_ref

Объединив (Π.20) и (Π.6), запишем:

{√

}

λ_M 

(

)

(Π.21)

∥ξ(t)∥ ≤ max

e_ref

t⁺⁰

 , β_max e-ηeref (t-t

⁾,

λ_m

что завершает доказательство утверждения.

Доказательство утверждения 2. Продифференцируем x(t)-lx(t):

(Π.22)

x(t) - l x(t) = -l (x(t) - lx(t)) + ϑ^T(t)Φ(t).

Решив дифференциальное уравнение (Π.22), имеем:

x(t) - lx(t) = e^-l(t-ti)x⁽t+i) +

∫^t

e-l(t-τ)ϑ^T (τ)Φ (τ) dτ ± ϑ^T(t)Φ(t) =

(Π.23)

∫t

= ϑ^T(t)ϕ(t) +

e-l(t-τ)ϑ^T (τ)Φ (τ) dτ - ϑ^T(t)Φ(t),

где ϑ^T(t) =^[A_i B_i x⁽t+i)] ∈ Rn×(n+m+1).

Применив (4.2) к левой и правой частям выражения (Π.23), имеем:

∀t ≥ t⁺⁰

z_n(t) = n_s(t)[x(t) - lx(t)] = ϑ^T(t)ϕ_n(t) + ε₀(t),

⎛

⎞

∫t

(Π.24)

⎜

ε₀(t) = n_s(t)⎝

e-l(t-τ)ϑ^T (τ) Φ (τ)dτ - ϑ^T(t)Φ(t)^⎠,

где z_n(t) ∈ Rⁿ, ϕ_n(t) ∈ Rn+m+1, ε₀(t) ∈ Rⁿ.

Использовав (4.4) и умножив z(t) на adj {ϕ(t)}, имеем:

(

)

Y (t): = adj {ϕ(t)}

z(t) ± ϕ(t)ϑ(t)

= Δ(t)ϑ(t) + ε₁(t),

adj{ϕ(t)}ϕ(t) = det{ϕ(t)}I(n+m+1)×(n+m+1) =

(Π.25)

= Δ(t)I(n+m+1)×(n+m+1),

(

)

ε₁(t) = adj {ϕ(t)}

z(t) - ϕ(t)ϑ(t)

где Y (t) ∈ R(n+m+1)×n, Δ(t) ∈ R, ε₁(t) ∈ R(n+m+1)×n.

В силу Δ(t) ∈ R вырезание (4.5) позволяет из (Π.25) записать:

z_A(t) = Y^T(t)L = Δ(t)A_i + ε^T1(t)L,

z_B(t) = Y^T(t)en+m+1 = Δ(t)B_i + ε^T1(t)en+m+1,

(Π.26)

[

]_T

I_n×n

∈R(n+m+1)×n,

0n×(m+1)

[

]_T

en+m+1 =

0m×n Im×m

∈R(n+m+1)×m,

0 m×1

где z_A(t) ∈ R^n×n, z_B(t) ∈ R^n×m.

{

}

Умножим каждое уравнение из (2.7) на adj

zTB(t)z_B(t)

zTB(t)Δ(t) слева.

Подставив с учетом (Π.26) в результат умножения уравнения (4.5) и объеди-

нив полученные выражения, имеем уравнение:

Y(t) = M(t)θ(t) + d(t)

[

{

}

]

adj

z^T(t)zB (t)

zTB(t)(Δ(t)A_ref - z_A(t))

Y(t): =

{

}

adj

zTB(t)z_B(t)

zTB(t)Δ(t)B_ref

(Π.27)

{

}

{

}

adj

zTB(t)z_B(t)

zTB(t)z_B(t) = det

zTB(t)z_B(t)

I_m×m = M(t)I_m×m,

[

{

}

(

)

]

adj

z^T(t)zB(t)

zTB(t)

ε^T1(t)L + ε^T1(t)en+m+1K^x

d(t): = -

{

}

adj

zTB(t)z_B(t)

zTB(t)ε^T1(t)en+m+1K^r

где Y(t) ∈ R(n+m)×n, M(t) ∈ R, d(t) ∈ R(n+m)×n.

С учетом (Π.27) для решения уравнения (4.7a) имеет место соотношение:

∫t∫τ

∫

∫_τ

Υ(t) =

e t⁰ kdτM(τ)θ (τ)dτ +

e t⁰ kdτd(τ)dτ ± Ω(t)θ(t) =

(Π.28)

= Ω(t)θ(t) + w(t),

w(t) = Υ(t) - Ω(t)θ(t),

что подтверждает возможность получения (4.8) на основании процедур (4.1)-

(4.7).

]

[

]

Для доказательства части а) решим (4.7b) на

^[t+;t+i +Ti

t+i + T_i; t+i+1

∫

]

(

)

∀t ∈

^[t+;t+i +Ti

Ω(t) = φk0

t, t+i

⁽t+

φk0 (t,τ)M(τ) dτ,

[

]

(Π.29)

∀t ∈

t+i + T_i; t+i+1

Ω(t) = φk0 (t, t+i + T_i)Ω(t+i + T_i) +

∫t

φk0 (t,τ)M(τ)dτ.

+T_i

С точностью до обозначений в [26] доказано при Φ(t) ∈ FE, t+i ≥ t+i вы-

[

)

полнение ∀t ∈

t+i + T_i; t+i+1

неравенства Δ_UB ≥ Δ(t) ≥ Δ_LB > 0. Тогда на

рассматриваемых в (Π.29) интервалах для регрессора M(t) оказывается

верно:

{

}

{

}

]

∀t ∈

^[t+;t+i +Ti

M(t) = det zTB(t)z_B (t)

= Δ^m(t)det B^TBi

≡ 0,

(Π.30)

{

}

{

}

[

]

∀t ∈

t+i + T_i; t+i+1

ΔmUBdet B^T

B_i

≥ M(t) ≥ Δ^mLBdet B^T

B_i

> 0.

Подставив (Π.30) в (Π.29), учитывая 0 ≤ φ (t, τ) ≤ 1, имеем оценки на Ω(t):

]

∀t ∈

^[t+;t+0 +T0

Ω(t) ≡ 0,

]

)

(

)

∀i ≥ 1 ∀t ∈

^[t+;t+i +Ti

⁽t+

≥ Ω(t) ≥ φk0

t+i + T_i, t+i

⁽t+

> 0,

[

]

(

)

{

}

(Π.31)

∀t ∈

t+i + T_i; t+i+1

t+i + T_i

⁽t+

-t+i -T_i

ΔmUB det

BTiB_i

≥

i+1

(

)

(

)

≥ Ω(t) ≥ φk0

⁽t+

,t+i +T_i

t+i + T_i

i+1

)

{

}

⁽t+

-t+i -T_i

Δ^mLB det

BTiB_i

> 0.

i+1

Откуда получим:

∀t ≥ t⁺⁰ + T₀ Ω_UB ≥ Ω(t) ≥ Ω_LB > 0,

⎧

(

⎫

(

)

⎪

φk0(t+i+1,t+i + T_i) Ω

t+i + T_i

⎬

⎪

)

{

})

(Π.32)

Ω_LB = min

⁽t+

-t+i -T_i

ΔmLBdet

BTiB_i

i+1

∀i≥1⎪

⎪

)

⎭

^⎩φ^k0⁽t+i + T_i, t+i) Ω⁽t

{

)

(

)

{

}}

Ω_UB = max

⁽t+

,Ω

t+i + T_i

⁽t+

-t+i -T_i

ΔmUBdet

BTiB_i

i+1

∀i≥1

что завершает доказательство части а).

Для доказательства части б) продифференцируем возмущение w(t):

w(t) =Υ(t) -Ω(t)θ(t) - Ω(t)˙θ(t) =

= -k (Υ(t) - Y(t)) + k (Ω(t) - M(t)) θ(t) - Ω(t)˙θ(t) =

(Π.33)

= -k (Υ(t) - M(t)θ(t) - d(t)) + k (Ω(t) - M(t))θ(t) - Ω(t)˙θ(t) =

= -k (Υ(t) - Ω(t)θ(t)) - Ω(t)^θ(t) + kd(t) =

(

)

= -kw(t) - Ω(t)˙θ(t) + kd(t), wt+0

=0(n+m)×m,

Покажем выполнение при

= 0 тождественного равенства d(t) ≡ 0.

Как следует из определения (Π.27), верно ε₁(t) ≡ 0 ⇔ d(t) ≡ 0. Предполо-

)

жим ∀i ∈ N

≥ t+i и получим определение ε₁(t) на интервалах

^[t+;t+i+1

[

)

t+i; t+i

)

∀t ∈

^[t+;t+i+1

ϑ(t) = ϑ_i

⇕

∫t

∫

ε₁(t) = adj {ϕ(t)}

^σdsϕ_n (τ) zTn (τ) dτ - Δ(t)ϑ_i =

⎛

∫t

∫

⎜

= adj {ϕ(t)}⎝

^σdsϕ_n (τ) ϕTn (τ) dτϑ_i +

(Π.34)

⎞

∫t

∫

^σdsϕ_n (τ) ε^T0 (τ) dτ^⎠ -

∫^t

∫

-Δ(t)ϑ_i = Δ(t)ϑ_i -Δ(t)ϑ_i +

^σdsϕ_n (τ) ε^T0 (τ) dτ = 0(n+m+1)×n.

В то же время:

[

)

[

)

∀t ∈

t+i-1; t+i

ϑ(t) = ϑi-1; ∀t ∈

t+i; t+i

ϑ(t) = ϑ_i

⇕

∫

∫_τ

[

)

∀t ∈

t+i; t+i

, ε₁(t) = adj {ϕ(t)}

i-1

^σdsϕ_n (τ) zTn (τ) dτ - Δ(t)ϑ_i =

i-1

= adj {ϕ(t)} ×

⎛

⎞

∫

t+_i

∫_τ

∫

∫_τ

⎜

σds

⎟

⎜

i-1

⎟

ϕ_n (τ) ϕTn (τ) dτϑi-1 +

^σdsϕ_n (τ) ϕTn (τ) dτϑ_i

⎝

⎠⁺

i-1

(Π.35)

+ adj {ϕ(t)} ×

⎛

⎞

t+_i

∫

∫_τ

∫

∫τ

⎜

σds

⎟

⎜

i-1

⎟

^σdsϕ_n (τ) ε^T0 (τ) dτ

⎝^±

ϕn (τ) ϕⁿ (τ) dτϑi +

⎠^-

i-1

- Δ(t)ϑ_i = adj{ϕ(t)}×

⎛

⎞

t+_i

∫

∫_τ

∫

∫_τ

⎜

⎟

⎜

i-1

⎟

^σdsϕ_n (τ) ϕTn (τ) dτ⁽ϑi-1 - ϑ_i)

^σdsϕ_n (τ) ε^T0 (τ) dτ

⎝

⎠.

i-1

Объединение выражений (Π.34) и (Π.35) позволяет записать:

⎧

⎛

⎪

t+_i

∫

∫_τ

⎪

⎜

⎪

⎜

i-1

⎪adj {ϕ(t)}

^σdsϕ_n (τ) ϕTn (τ) dτ⁽ϑi-1 - ϑ_i) +

⎝

⎪

i-1

⎨

⎞

(Π.36) ε₁(t): =

∫

∫_τ

⎪

⎟

[

)

⎪

i-1

⎟

⎪

^σdsϕ_n (τ) ε^T0 (τ) dτ

i > 0, ∀t ∈

t+i; t⁺

⎠^,

⎪

i-1

⎪

)

^⎩0(n+m+1)×n, ∀t ∈^[t+i; t⁺

i+1

откуда следует ε₁(t) ≡ 0 при t+i = 0, что влечет за собой d(t) ≡ 0.

Используя (Π.2), решим уравнение (Π.33) с учетом d(t) ≡ 0:

∫t

∑

(

)

w(t) = -

φk0 (t,τ) Ω (τ)

Δ^θqδ

τ -t+q

dτ =

q=1

+T₀

∑

(

)

(

)

(

)

(Π.37)

=- φk0

t,t+q

t+q

Δ^θqh

t-t+q

q=1

⎛

⎞

∑

(

)

(

)

(

)

)⎠_φk0(t,t+

=^⎝- φk0

t⁺⁰ + T₀, t+q

t+q

Δ^θqh

t-t+q

+T₀

q=1

Здесь отметим отсутствие в силу допущения 2 переключений параметров

[

)

на интервале

t⁺⁰; t⁺⁰ + T₀

, что приводит к суммированию в (Π.37) от q = 1

до i.

Если число переключений параметров конечно: i ≤ i_max < ∞, то посколь-

ку:

а) при конечном i моменты времени t+i также конечны;

(

)

б)

∀q ∈ N φk0

t⁺⁰ + T₀, t+q

ограничена при конечном t+q,

в)

k₀ ≥ 1,

верна оценка сверху:



(

∑

(

)

(

)



∥w(t)∥ ≤ φ

t,t⁺⁰ + T₀

φk0

t⁺⁰ + T₀,t+q

Ω_UBΔθqh

t-t+q

(Π.38)

q=1

(

)

=w_maxφ

t,t⁺⁰ + T₀

≤w_max.



(

)

Если ∀q ∈ N

^Δ^θq≤cqφk0

t+q,t⁺⁰

, c_q > cq+1, то из (Π.37) имеем:

(

)

(

) ∑i

(

)

(Π.39)

∥w(t)∥ ≤ φk0

t,t⁺⁰ + T₀

Ω_UBφk0

t⁺⁰ + T₀, t⁺⁰

c_qh

t-t+q

q=1

Все частичные суммы знакоположительного ряда в (Π.39) ограничены,

∑

(

)

а поэтому

c_qh

t-t+q

< ∞ и даже при неограниченном числе переключе-

q=1

ний верна оценка:

(

)

(Π.40)

∥w(t)∥ ≤ w_maxφ

t,t⁺⁰ + T₀

≤w_max,

что завершает доказательство утверждения.

Замечание 2. Возмущение d(t), отличающее реальное поведение воз-

мущения w(t) от оценки (Π.40), возникает в предложенной параметриза-

[

]

ции при t+i > 0 на ограниченных интервалах времени

t+i; t+i

, и ∀t ≥ t+i его

вклад в w(t) представляет глобально-экспоненциально затухающую функ-

цию. Поэтому d(t) может влиять исключительно на качество переходных

процессов поθ(t) и e_ref (t), но не на глобальные свойства ошибки ξ(t). Умень-

шить влияние d(t) возможно увеличением параметра σ (подробный анализ

механизма улучшения см. в утверждении 4 из [26]).

Доказательство утверждения 3. В соответствии с результатами

работы [26] алгоритм (4.10) гарантирует выполнение условия t+i = Δ_pr ≤ T_i,

если функция ϵ(t) является индикатором изменения параметров системы:

[

)

(Π.41)

∀t ∈

t+i; t+i

f (t) = 0, ∀t ∈

^[t+; t+i+1

f (t) = 0,

[

)

т.е. отлична от нуля только на интервале

t+i; t+i

задержки детекции.

Подставив выражения (Π.25) и (Π.24) в (4.9), имеем:

ϵ(t) = Δ(t)ϕ_n(t)zTn(t) - ϕ_n(t)ϕTn(t)Y (t) = Δ(t)ϕ_n(t)ϕTn(t)ϑ(t) +

(Π.42)

+ Δ(t)ϕ_n(t)εT0 (t) - Δ(t)ϕ_n(t)ϕTn(t)ϑ(t) - ϕ_n(t)ϕTn(t)ε₁(t) =

= Δ(t)ϕ_n(t)εT0 (t) - ϕ_n(t)ϕTn(t)ε₁(t).

Ошибка ϵ(t) удовлетворяет определению (Π.41), если ε^T0(t) и ε₁(t) удовле-

творяют (Π.41). По доказанному в утверждении 2 (см. (Π.36)) функция ε₁(t)

является индикатором изменений параметров системы. Тогда осталось дока-

зать аналогичный тезис для ε^T0(t). Предположим ∀i ∈ N t+i ≥ t+i, а тогда:

)

∀t ∈

^[t+;t+i+1

ϑ(t) = ϑ_i

⇕

⎛

⎞

∫

)

⎜

∀t ∈

^[t+;t+i+1

ε₀(t) = n_s(t)⎝

e-l(t-τ) x (τ)dτ - ϑTiΦ(t)^⎠ =

(Π.43)

⎛

⎞

∫

⎜

= n_s(t)⎝ϑi

e-l(t-τ)Φ (τ) dτ - ϑTiΦ(t)^⎠ =

(

)

= n_s(t)

ϑTiΦ(t) - ϑTiΦ(t)

= 0.

В то же время:

[

)

[

)

∀t ∈

t+i-1; t+i

ϑ(t) = ϑi-1; ∀t ∈

t+i; t+i

ϑ(t) = ϑ_i

⇕

⎛

⎞

∫

[

)

⎜

⎟

∀t ∈

t+i; t+i

, ε₀(t) = n_s(t)⎜

e-l(t-τ) x(τ)dτ - ϑTiΦ(t)⎟

⎝

⎠⁼

i-1

⎛

t+_i

∫

⎜

−l(t-t+i)

= n_s(t)

e^-l(ti-τ)ϑTi-1Φ (τ) dτ +

e-l(t-τ)ϑTiΦ (τ)dτ -

⎝^e

(Π.44)

i-1

⎛

⎞⎞

t+_i

∫

⎜

⎟⎟

⎜

−l(t-t+i)

⎟⎟

-ϑTi

e^-l(ti-τ)Φ (τ)dτ +

e-l(t-τ)Φ (τ) dτ

⎝^e

⎠⎠=

i-1

t+_i

∫

)

= n_s(t)e^-l(t-ti) ⁽ϑTi-1 - ϑTi

e^-l(ti-τ)Φ (τ) dτ.

i-1

Объединив выражения (Π.43) и (Π.44), имеем

⎧

⎪

t+_i

∫

⎪

n_s(t)e^-l(t-ti)⁽ϑTi-1 - ϑ^T)

e^-l(ti-τ)Φ (τ)dτ, i > 0,

⎨

(Π.45)

ε₀(t): =

i-1

⎪

[

)

⎪

∀t ∈

t+i; t+i

⎪

⎩

)

0_n, ∀t ∈

^[t+;t+i+1

что вместе с (Π.36) позволяет записать:

⎧

⎪

Δ(t)ϕ_n(t)ε^T0(t) - ϕ_n(t)ϕTn(t)ε₁(t),

⎨

[

)

(Π.46)

∀i ∈ N, ϵ(t): =

i > 0, ∀t ∈

t+i; t+i

⎪

)

^⎩0(n+m+1)×n,

∀t ∈

^[t+;t+i+1

откуда ϵ(t) — индикатор изменений параметров системы, и по доказанному

]

в [26] при Δ(t) ∈ FE и ϕ_n(t) ∈ FE на

^[t+;t+i +Ti

(что обеспечивается выпол-

нением допущений 2 и 3) верно t+i = Δ_pr ≤ T_i.

Доказательство теоремы 1. Доказательство теоремы проведем ана-

логично доказательству утверждения 1.

[

)

[

)

[

)

Рассмотрим два интервала

t⁺⁰; t⁺⁰ + T₀

t⁺⁰ + T₀; ∞

. На

t⁺⁰; t⁺

+T₀

в консервативном случае выполняется неравенство Ω(t) ≤ Ω_LB, а значит

(

)

θ(t) = 0(n+m)×m ⇒θ(t) =θ

t⁺⁰

(в силу отсутствия по допущению 2 пере-

[

)

ключений на

t⁺⁰; t⁺⁰ + T₀

). Тогда, из ограниченности

^θ(t), по доказанно-

му в утверждении 1 (см. (Π.13)-(Π.17)), следует экспоненциальная скорость

роста e_ref (t) и, следовательно, ограниченность e_ref (t) своим конечным зна-

[

)

чением на правой границе рассматриваемого интервала: ∀t ∈

t⁺⁰; t⁺

+T₀

(

)

e_ref (t) ≤ e_ref

t⁺⁰ + T₀

. Откуда следует ограниченность ξ(t) на интервале

[

)

t⁺⁰; t⁺⁰ + T₀

[

)

Перейдем к рассмотрению интервала

t⁺⁰ + T₀; ∞

Шаг 1. Экспоненциальная сходимость^θ(t) ∀t ≥ t⁺⁰ + T₀.

Решение уравнения (4.11) ∀t ≥ t⁺⁰ + T₀ с учетом (Π.38) или (Π.40) и огра-

ниченности Ω(t) ≥ Ω_LB удовлетворяет неравенству:

∫

(

)

(

)

γ₁w (τ)

^θ(t) = φ

t,t⁺⁰ + T₀

t⁺⁰ + T₀

φ (t, τ )

dτ -

Ω (τ)

+T₀

∫t

∑

(

)

(

)

(

)

(Π.47)

φ(t,τ)

Δ^θqδ

τ -t+q

dτ ≤ φ

t,t⁺⁰ + T₀

t⁺⁰ + T₀

q=1

+T₀

∫

(

)

∑

(

)

(

)

γ₁w_max

φ(t,τ) φ

τ,t⁺⁰ + T₀

dτ - φ

t,t+q

Δ^θqh

t-t+q

Ω_LB

q=1

+T₀

Поскольку выполняется хотя бы одно из условий:

1) i ≤ i_max < ∞,



(

)

(

)

∀q ∈ N

Δ^θq

≤cqφk0

t+q,t⁺⁰

≤c_qφ

t+q,t⁺⁰

,c_q >cq+1,

то аналогично (Π.3)-(Π.5) из (Π.47) можем получить следующую оценку

сверху:



(

)

γ₁w_max

(

)(

)



^θ(t)≤βmaxφ

t,t⁺⁰ + T₀

t-t⁺⁰ -T₀

≤

Ω_LB

(Π.48)

(

)

γ₁w_max

≤β_maxφ

t,t⁺⁰ + T₀

χ₁(t)e-γ

(t-t⁺⁰-T0)_,

Ω_LB

где χ₁(t) — переменный параметр:

)

(

)

(t-t⁺⁰-T0)(t-t+

χ₁(t) = e^-

-T₀

, χ₁

t⁺⁰ + T₀

= 0,

а β(t) для обоих рассматриваемых случаев определен следующим образом:



(

∑

(

)

(

)



(Π.49) β(t) ≤

^θ

t⁺⁰ + T₀

+ φ

t⁺⁰ + T₀, t+q

Δ^θqh

t-t+q

=β_max,

q=1

100



∑

(

)

(

)

(

)

(

)



β(t) ≤

^θ

t⁺⁰ + T₀

+ φ

t⁺⁰ + T₀, t+q

t+q,t⁺⁰

c_qh

t-t+q

q=1

(Π.50)



∑

(

)

(

)

(

)



^θ

t⁺⁰ + T₀

+ φ

t⁺⁰ + T₀, t⁺⁰

c_qh

t-t+q

=β_max.

q=1

Если параметр χ₁(t) ограничен, то для^θ(t) верно:

(

)



γ₁w_max

(Π.51)

^θ(t)≤ βmax +

χ^UB

e^-

(t-t⁺⁰-T0)_.

Ω_LB

Тогда необходимо показать |χ₁(t)| ≤ χ^UB1. Дифференцируем χ₁(t) по вре-

мени:

γ₁

(Π.52)

χ₁(t) = -

χ₁(t) + e^-

(t-t⁺⁰-T0)_.

Оценка сверху на решение (Π.52) принимает вид:



∫



∫t

^γ1



|χ₁(t)| ≤



e^-

^dτ e-21 (τ-t0-T0) dτ

≤



+T₀

(Π.53)



∫



^-γ1



(τ-t⁺⁰-T0)_dτ

≤



≤



γ₁



+T₀

что доказывает целевую ограниченность |χ₁(t)| ≤ χ^UB1.

Из ограниченности (Π.53) мгновенно следует экспоненциальная сходи-

мость (Π.51), что и требовалось доказать на Шаге 1.

Шаг 2. Экспоненциальная сходимость ошибки ξ(t) ∀t ≥ t⁺⁰ + T₀.

Чтобы доказать сходимость ξ(t) ∀t ≥ t+0 + T0 в силу оценки (Π.51), оста-

ется доказать сходимость ошибки слежения e_ref (t) ∀t ≥ t⁺⁰ + T₀.

Введем в рассмотрение следующую квадратичную форму:

{

}

4a²⁰

(t-t⁺⁰-T⁺⁰),H=blockdiagP,4a0

Veref =eTrefPeref +

e^-

γ₁

λ_min (H)∥eref ∥2 ≤ V (∥eref ∥) ≤ λmax (H)

∥e_ref ∥²,

(Π.54)

λm

λ_M

[

]_T

(t-t⁺⁰-T⁺⁰)

e_ref (t) = eTref (t) e^-

101

Аналогично доказательству утверждения

1, ∀t ≥ t+0 + T0 производная

(Π.54) может быть записана в виде:

V_e

(t-t⁺⁰-T⁺⁰)+

(t) ≤ -μλ_min (P ) ∥e_ref (t)∥² - 2a²⁰e^-

ref

(Π.55)



(

)



+b^2maxλ_max

ω(t)ω^T(t)

^θ(t)

².



На основании (Π.55) введем следующую оценку сверху на b^2maxθ(t)

²:

(

)₂



(Π.56)

b^2maxθ(t)

² ≤b^2max β_max +γ1w^maxχ^UB

e-γ1(t-t0-T0).

Ω_LB

Подставим (Π.56) в (Π.55):

V_e

(t-t⁺⁰-T⁺⁰)+

(t) ≤ -μλ_min (P ) ∥e_ref (t)∥² - 2a²⁰e^-

ref

(

)₂

γ₁w_max

(

)

(Π.57)

+b^2max β_max +

χ^UB

λ_max

ω(t)ω^T(t)

e^-

(t-t⁺⁰-T0)_×

Ω_LB

×e^-

(t-t⁺⁰-T0)_.

Для экспоненциальной устойчивости e_ref (t) необходимо экспоненциальное

убывание третьего слагаемого в (Π.57), что требует:

(

)

(t-t⁺⁰)≤χ

(Π.58)

χ(t) = λ_max

ω(t)ω^T(t)

e^-

UB,

где χ_UB > 0.

Ошибка^θ(t) ограничена (Π.51). В этом случае, по доказанному в утвер-

(

)

ждении 1, скорость роста λ_max

ω(t)ω^T(t)

не превосходит экспоненциаль-

ной (Π.17). Тогда при достаточно большом γ₁ > 0 оценка (Π.58) справедлива.

Подставив (Π.58) в (Π.57), имеем:

V_e

(t-t⁺⁰-T⁺⁰)+

(t) ≤ -μλ_min (P ) ∥e_ref (t)∥² - 2a²⁰e^-

ref

(Π.59)

+a²⁰e^-

(t-t⁺⁰-T0)≤-η

Veref (t),

e_ref

где

(

)₂

}

γ₁w_max

^{μλ_min (P)

γ₁

a²⁰ = b^2max β_max +

χ^UB

χ_UB, ηeref = min

Ω_LB

λ_max (P)

Решение дифференциального неравенства (Π.59) позволяет получить:

(

)

-T₀)

(Π.60)

Veref (t) ≤ e-ηeref(t-t

Veref

t⁺⁰ + T₀

102

Откуда следует экспоненциальная сходимость ошибки слежения e_ref (t) к

нулю:

√

λ_M 

(

)

e-ηeref(t-t

-T₀)_,

(Π.61)

∥e_ref (t)∥ ≤

e_ref

t⁺⁰ + T₀

λ_m

где

ηeref =

e_ref

Объединение (Π.61) и (Π.51) позволяет записать:

{√

λ_M 

(

)

(Π.62)

∥ξ(t)∥ ≤ max

e_ref

t⁺⁰ + T₀

^,

λ_m

}

γ₁w_max

-T₀)_,

β_max +

χ^UB1

e-ηeref(t-t

Ω_LB

[

]

что вместе с ограниченностью ξ(t) на интервале

t⁺⁰; t⁺⁰ + T₀

позволяет сде-

лать вывод как о глобальной ограниченности ξ(t) ∈ L_∞, так и об экспонен-

циальной сходимости ξ(t) к нулю ∀t ≥ t⁺⁰ + T₀. Доказательство теоремы за-

вершено.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ioannou P., Sun J. Robust Adaptive Control. N.Y.: Dover, 2013.

2. Narendra K.S., Annaswamy A.M. Stable Adaptive Systems. Courier Corporation,

2012.

3. Tao G. Adaptive Control Design and Analysis. John Wiley & Sons, 2003.

4. Narendra K.S. Hierarchical Adaptive Control of Rapidly Time-Varying Systems

Using Multiple Models // Control Complex Syst. Butterworth-Heinemann, 2016.

P. 33-66.

5. Chowdhary G.V., Johnson E.N. Theory and Flight-Test Validation of A Concurrent-

Learning Adaptive Controller // J. Guid. Control & Dyn. 2011. Vol. 34. No. 2.

P. 592-607.

6. Pan Y., Aranovskiy S., Bobtsov A., Yu H. Efficient Learning from Adaptive Control

under Sufficient Excitation // Int. J. Robust & Nonlinear Control. 2019. Vol. 29.

No. 10. P. 3111-3124.

7. Lee H.I., Shin H.S., Tsourdos A. Concurrent Learning Adaptive Control with

Directional Forgetting // IEEE Trans. Automat. Control. 2019. Vol. 64. No. 12.

P. 5164-5170.

8. Jenkins B.M., Annaswamy A.M., Lavretsky E., Gibson T.E. Convergence Properties

of Adaptive Systems and The Definition of Exponential Stability // SIAM J. Control

& Optimiz. 2018. Vol. 56. No. 4. P. 2463-2484.

9. Ortega R., Nikiforov V., Gerasimov D. On Modified Parameter Estimators for Iden-

tification and Adaptive Control. A Unified Framework and Some New Schemes //

Annual Reviews in Control. 2020. Vol. 50. P. 278-293.

103

10.

Glushchenko A., Petrov V., Lastochkin K. Regression Filtration with Resetting

to Provide Exponential Convergence of MRAC for Plants with Jump Change of

Unknown Parameters // IEEE Trans. Automat. Control. 2022. P. 1-8. Early Access.

11.

Kersting S. Adaptive Identifcation and Control of Uncertain Systems with Switching.

PhD thesis, Technische Universitat Munchen; 2018.

https://mediatum.ub.tum.de/doc/1377055/1377055.pdf. Accessed March 15, 2022.

12.

Sang Q., Tao G. Adaptive Control of Piecewise Linear Systems: The State Tracking

Case // IEEE Trans. on Automat. Control. 2011. Vol. 57. No. 2. P. 522-528.

13.

Sang Q., Tao G. Adaptive Control of Piecewise Linear Systems With Applications

to NASA GTM // Proc. Amer. Control Conf. 2011. P. 1157-1162.

14.

Sang Q., Tao G. Adaptive Control of Piecewise Linear Systems with Output Feed-

back for Output Tracking // Conf. Dec. & Control. 2012. P. 5422-5427.

15.

Sang Q., Tao G. Adaptive Control of Piecewise Linear Systems with State Feedback

for Output Tracking // Asian J. Control. 2013. Vol. 15. No. 4. P. 933-943.

16.

Liberzon D. Switching in Systems and Control. Boston: Birkhauser, 2003.

17.

De La Torre G., Chowdhary G., Johnson E.N. Concurrent learning adaptive control

for linear switched systems // Amer. Control Conf. 2013. P. 854-859.

18.

Goldar S.N., Yazdani M., Sinafar B. Concurrent Learning Based Finite-Time Pa-

rameter Estimation in Adaptive Control of Uncertain Switched Nonlinear Systems //

J. Control, Automat. & Electr. Syst. 2017. Vol. 28. No. 4. P. 444-456.

19.

Wu C., Huang X., Niu B., Xie X.J. Concurrent Learning-Based Global Exponential

Tracking Control of Uncertain Switched Systems With Mode-Dependent Average

Dwell Time // IEEE Access. 2018. Vol. 6. P. 39086-39095.

20.

Wu C., Li J., Niu B., Huang X. Switched Concurrent Learning Adaptive Control

of Switched Systems with Nonlinear Matched Uncertainties // IEEE Access. 2020.

Vol. 8. P. 33560-33573.

21.

Liu T., Buss M. Indirect Model Reference Adaptive Control of Piecewise Affine

Systems with Concurrent Learning // IFAC-PapersOnLine. 2020. Vol. 53. No. 2.

P. 1924-1929.

22.

Du Y., Liu F., Qiu J., Buss M. Online Identification of Piecewise Affine Systems

Using Integral Concurrent Learning // IEEE Trans. Circuits & Syst. I: Reg. Papers,

2021. Vol. 68. No. 10 P. 4324-4336.

23.

Du Y., Liu F., Qiu J., Buss M. A Novel Recursive Approach for Online Identification

of Continuous-Time Switched Nonlinear Systems // Int. J. Robust Nonlinear

Control. 2021. P. 1-20.

24.

Narendra K.S., Balakrishnan J. Adaptive Control Using Multiple Models // IEEE

Trans. Automat. Control. 1997. Vol. 42. No. 2. P. 171-187.

25.

Глущенко А.И., Ласточкин К.А., Петров В.А. Адаптивное управление с гаран-

тией экспоненциальной устойчивости. Часть I. Объекты с постоянными пара-

метрами // АиТ. 2022. № 4. С. 62-99.

Glushchenko A., Lastochkin K., Petrov V. Exponentially Stable Adaptive Control.

Part I. Time-Invariant Plants // Autom. Remote Control. 2022. V. 83. No. 4.

P. 548-578.

26.

Glushchenko A., Lastochkin K. Unknown Piecewise Constant Parameters Identifica-

tion with Exponential Rate of Convergence // Int. J. Adap. Control Signal Proc.

2023. V. 37. No. 1. P. 315-346.

104