Автоматика и телемеханика, № 5, 2023

Нелинейные системы

М.В. БЫСТРЕЦКИЙ, канд. физ.-мат. наук (pmbmv@bk.ru)

(Вологодский государственный университет, Вологда),

А.Б. НАЗИМОВ, д-р физ.-мат. наук (n.akbar54@mail.ru)

(Международный инновационный университет, Сочи)

ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ

В ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ¹

Для динамической системы, описываемой обыкновенными дифферен-

циальными уравнениями первого порядка, исследована задача идентифи-

кации периодических режимов. Данная задача состоит в определении пе-

риодичности произвольного решения системы уравнений при обнаруже-

нии периодичности наблюдаемого значения решения. Исследованы усло-

вия, при которых разрешима задача идентификации периодических ре-

жимов. Сформулированы и доказаны теоремы, дополняющие известные

результаты о наблюдаемости динамических систем.

Ключевые слова: динамическая система, идентификация периодических

режимов, наблюдаемое значение.

DOI: 10.31857/S0005231023050021, EDN: AFNHKP

1. Введение

Рассмотрим динамическую систему, описываемую обыкновенными диф-

ференциальными уравнениями вида

(1)

= F(t,x), x ∈ Rⁿ,

где Rn — евклидово пространство n-мерных векторов с вещественными

координатами, n ≥ 2, F (t, y) : R1+n → Rⁿ — непрерывное отображение, пе-

риодическое по t с периодом ω > 0. Всякое ω-периодическое решение x(t) =

= (x₁(t), . . . , x_n(t)), x(t + ω) = x(t), t ∈ R системы уравнений (1) называем пе-

риодическим режимом. Качественная картина фазовых траекторий решений

динамической системы (1) во многом определяется наличием периодических

режимов. Нахождение периодических режимов аналитически или численно,

в общем, весьма затруднительно. Поэтому представляется актуальным на-

хождение периодических режимов динамической системы (1) посредством

¹ Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Российского научного фонда

(проект № 23-21-00032).

так называемых наблюдаемых значений Cx(t), где C — задаваемая ненулевая

матрица размера m × n. Определение ω-периодичности произвольного реше-

ния x(t) при обнаружении ω-периодичности наблюдаемого значения Cx(t)

назовем задачей идентификации периодических режимов в динамической си-

стеме (1).

В теории управления задача наблюдаемости, состоящая в однозначном

определении x(t) по наблюдаемому значению Cx(t), достаточно изучена для

линейных систем (см., например, [1, 2]). Но задача идентификации перио-

дических режимов по наблюдаемым значениям для линейных и нелинейных

систем не исследована. Можно привести примеры линейных и нелинейных си-

стем, где периодические режимы отсутствуют, хотя наблюдаемые значения

периодичны. В настоящей работе выделены классы систем вида (1) и для них

исследованы условия, при которых для произвольного решения x(t) из ω-пе-

риодичности наблюдаемого значения Cx(t) следует ω-периодичность x(t).

Сформулированы и доказаны теоремы, дополняющие известные результаты

о наблюдаемости динамических систем.

Исследованию периодических решений систем обыкновенных дифферен-

циальных уравнений посвящены многочисленные работы. Среди них можно

отметить идейно близкие авторам монографии [3, 4], где представлены осно-

вополагающие методы исследования ограниченных и периодических решений

для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. В [5-7] исследова-

ны условия существования периодических режимов в динамических моделях

теории управления.

2. Основные результаты

Исследуем задачу идентификации периодических режимов для системы

обыкновенных дифференциальных уравнений вида

(2)

= Ax + f(t, Cx), x ∈ Rⁿ.

Здесь n ≥ 2, A — квадратная матрица порядка n, C — матрица размера

m × n, f(t,y) : R1+n → Rⁿ — непрерывное отображение, ω-периодическое по t.

Введем матрицу

(3)

B = [C;CA;...;CAn-1

составленную по строкам матриц C, CA, . . . , CAn-1.

Верна следующая

Теорема 1. Пусть ранг матрицы B, определяемой формулой (3), равен n:

(4)

rank (B) = n.

Тогда для произвольного решения системы уравнений (2) из ω-периодично-

сти Cx(t) следует ω-периодичность x(t).

Условие (4) в теории управления называют условием полной наблюдаемо-

сти для пары матриц (A, C) [2].

В качестве примера рассмотрим следующую систему трех обыкновенных

дифференциальных уравнений:

dx₁

dx₂

dx₃

(5)

= x₂ + f₁(t,Cx),

= x₃ + f₂(t,Cx),

=f₃

(t, Cx),

где

x(t) = (x₁(t), x₂(t), x₃(t))^⊤, C = (c₁, c₂, c₃), f(t, y) = (f₁(t, y), f₂(t, y), f₃(t, y))^⊤:

R⁴ → R³ — непрерывное отображение, ω-периодическое по t. Системе урав-

нений (5) соответствует матрица

⎞

^⎛ 0 1 0

A=^⎝ 0 0 1

⎠_.

Для матрицы B = [C; CA; CA²] условие rank (B) = 3 выполняется лишь при

c₁ = 0. Следовательно, согласно теореме 1 при c₁ = 0 для произвольного

решения системы уравнений (5) из ω-периодичности наблюдаемого значе-

ния c₁x₁(t) + c₂x₂(t) + c₃x₃(t) следует ω-периодичность самого решения x(t).

Существование ω-периодических решений зависит от задаваемых функций

f₁(t,y),f₂(t,y),f₃(t,y). Например, полагая ω = 2π, зададим

f₁(t,y) = -2cos tϕ₁(y), f₂(t,y) = -2sin tϕ₂(y), f₃(t,y) = cos tϕ₃(y),

где ϕ_k(y) = 1 при |y| ≤ |c₁| + |c₂| + |c₃|, k = 1, 2, 3. В этом случае вектор-функ-

ция x⁰(t) = (- sin t, cos t, sin t)^⊤ является 2π-периодическим решением систе-

мы уравнений (5).

Выясним, при каких условиях система уравнений (2) имеет хотя бы од-

но решение c ω-периодическим наблюдаемым значением Cx(t). Очевидно,

такое решение существует, если система уравнений имеет ω-периодическое

решение. Из теоремы 13.4, доказанной в монографии [8, c. 77-80], вытекает,

что система уравнений (2) имеет ω-периодическое решение, если матрица A

не имеет чисто мнимых собственных значений, кратных i2π/ω, и отображе-

ние f(t, y) удовлетворяет условию |y|-1|f(t, y)| ⇒ 0 при |y| → ∞. Представ-

ляют интерес случаи, когда существует не ω-периодическое решение x(t) с

ω-периодическим наблюдаемым значением Cx(t).

Рассмотрим систему линейных обыкновенных дифференциальных урав-

нений

(6)

= Ax + g(t), x ∈ Rⁿ,

где вектор-функция g(t) предполагается заданным, непрерывным и ω-перио-

дическим. Справедлива следующая

Теорема 2. Система уравнений

(6) имеет единственное решение с

ω-периодическим наблюдаемым значением Cx(t) тогда и только тогда, ко-

гда выполнены условие (4) и условие

(

)

(7)

det

e^ωA - E

= 0,

где e^ωA — матричная экспонента, E — единичная матрица порядка n.

Заметим, что при выполнении условия (7) однородная система

(8)

= Ax, x ∈ Rⁿ,

не имеет ненулевое ω-периодическое решение [4]. Поэтому из теоремы 2 вы-

текает, что если выполнено условие (7) и нарушено условие (4), то система

уравнений (8) имеет не ω-периодическое решение x(t) с ω-периодическим на-

блюдаемым значением Cx(t).

Теперь рассмотрим систему уравнений вида

(9)

= Ax + G(t, x), x ∈ Rⁿ,

где отображение G(t, y) : R1+n → Rⁿ непрерывно, ω-периодическое по t и удо-

влетворяет условию Липшица

|G(t, y₁) - G(t, y₂)| ≤ L|y₁ - y₂|, y₁, y₂ ∈ Rⁿ,

с константой L ≥ 0, не зависящей от t, y₁ и y₂. Из общих свойств реше-

ний систем обыкновенных дифференциальных уравнений [9, гл. 2, §3] сле-

дует, что любое решение x(t) системы уравнений (9) определено при всех

t ∈ (-∞,+∞).

Имеет место следующая

Теорема 3. Пусть выполнено условие (4). Тогда

1) существует число M > 0, зависящее лишь от матриц A, C, и такое

что для любой вектор-функции z(t) ∈ C¹ ([0, 1]; Rⁿ) справедлива оценка

(



)

dz(t)



(10)

max

|z(t)| ≤ M max



- Az(t)

max |Cz(t)|

;

⁺

0≤t≤1

 dt

0≤t≤1

2) если LM < 1, то для произвольного решения x(t) системы уравнений

(9) при любом a ∈ R верна оценка

(11)

max

|x(t + ω) - x(t)| ≤ (1 - LM)-1 M max

|Cx(t + ω) - Cx(t)|.

a≤t≤a+1

Доказательство теорем 1-3 дано в Приложении.

Приведенные теоремы можно обобщить, предполагая матрицы A и C за-

висящими от t непрерывно и ω-периодично, воспользовавшись результатами

из книги [1, гл. 4].

ПРИЛОЖЕНИЕ

Проверим справедливость следующей леммы.

Лемма. Для произвольного вектора u ∈ Rⁿ тождество Ce^tAu ≡ 0,

t ∈ (t₁,t₂) равносильно равенствам

(Π.1)

Cu = 0, CAu = 0, ..., CAn-1

u = 0.

Доказательство леммы. Пусть имеет место тождество Ce^tAu ≡ 0,

t ∈ (t₁,t₂). Проверим, что Ce^tAu ≡ 0, t ∈ R. Для этого достаточно показать,

что при любом v ∈ R^m функция ϕ(t) = 〈Ce^tAu, v〉 тождественно равна нулю

на R.

Найдем производные функции ϕ(t): ϕ(k)(t) = 〈CA^ke^tAu, v〉, k = 1, 2,

Далее, воспользуемся тем, что согласно теореме Гамильтона-Кэли [10, с. 93]

матрица A удовлетворяет своему характеристическому уравнению

Aⁿ + q₁An-1 + ... + qn-1A + q_nE = O,

где

λⁿ + q₁λn-1 + ... + qn-1λ + q_n ≡ det(λE - A).

Отсюда вытекает, что функция ϕ(t) удовлетворяет линейному однородному

дифференциальному уравнению

y(n)(t) + q₁y(n-1)(t) + ... + qn-1y^′(t) + q_ny(t) = 0, t ∈ Rⁿ.

Для данного уравнения только нулевое решение может обращаться в ноль

тождественно на каком-либо интервале. Так как по условию ϕ(t) ≡ 0, t ∈

∈ (t₁, t₂), поэтому ϕ(t) ≡ 0, t ∈ R. Следовательно, имеет место тождество

Ce^tAu ≡ 0, t ∈ R. Данное тождество дифференцируя k раз и полагая

k = 0,1,...,n - 1, t = 0, получаем равенства (Π.1).

Обратно, если имеют место равенства (Π.1), то из теоремы Гамильтона-

Кэли следует, что CA^ku = 0 при любом целом k ≥ 0. Отсюда по определению

матричной экспоненты выводим Ce^tAu ≡ 0, t ∈ R. Лемма доказана.

Доказательство теоремы 1. Пусть выполнено условие (4) и x(t) —

решение системы уравнений (2), удовлетворяющее условию

(Π.2)

Cx(t + ω) = Cx(t), t ∈ (-∞,+∞).

Систему уравнений (2) решим относительно x(t), предполагая заданной

вектор-функцию f(t, Cx(t)):

⎛

⎞

∫t

(Π.3)

x(t) = e^tA ⎝x(0) + e^-sAf(s, Cx(s))ds⎠ .

С учетом этого равенства условие (Π.2) принимает следующий вид:

⎛

⎞

∫

(

)

Ce^tA⎝

e^ωA - E

x(0) + e(ω-s)Af(s, Cx(s))ds - e^-sAf(s, Cx(s))ds⎠ = 0.

Легко проверить, что

⎛

⎞

∫

∫t

d ⎝

e(ω-s)Af(s,Cx(s))ds - e^-sAf(s,Cx(s))ds⎠ =

= f(t + ω,Cx(t + ω)) - f(t,Cx(t)) = 0, t ∈ (-∞,+∞).

Следовательно,

∫

e(ω-s)Af(s,Cx(s))ds - e^-sAf(s,Cx(s))ds ≡ e(ω-s)Af(s,Cx(s))ds,

и получаем равенство

⎛

⎞

∫

(

)

Ce^tA⎝

e^ωA - E

x(0) + e(ω-s)Af(s, Cx(s))ds⎠ = 0, t ∈ (-∞, +∞).

Отсюда в силу леммы выводим:

⎛

⎞

∫

(

)

(Π.4)

B^⎝

e^ωA - E

x(0) + e(ω-s)Af(s, Cx(s))ds⎠

= 0.

Таким образом, для решения x(t) системы уравнений (2) из (Π.2) вытекают

(Π.4) и

(Π.5)

f (t + ω, Cx(t + ω)) = f(t, Cx(t)), t ∈ (-∞, +∞).

Верно и обратное, если для решения x(t) системы уравнений (2) выполнены

(Π.4) и (Π.5), то имеет место (Π.2).

Так как rank (B) = n, поэтому (Π.4) возможно лишь при условии

∫

(

)

(Π.6)

e^ωA - E

x(0) + e(ω-s)A

f (s, Cx(s))ds = 0.

Из (Π.3) и (Π.6) следует ω-периодичность x(t).

Теорема 1 доказана.

Доказательство теоремы 2. Выше показали, что для решения x(t)

системы уравнений (2) условие (Π.2) равносильно условиям (Π.4) и (Π.5).

Полагая в этих условиях f(s, Cx(s)) ≡ g(s), получаем, что система уравне-

ний (6) имеет единственное решение с ω-периодическим наблюдаемым значе-

нием Cx(t) тогда и только тогда, когда система алгебраических уравнений

⎛

⎞

∫

(

)

B^⎝

e^ωA - E

x(0) + e(ω-s)Ag(s)ds⎠ = 0

имеет единственное решение с неизвестным x(0) ∈ Rⁿ. А такое возможно

лишь при выполнении условия

(

))

rank

e^ωA - E

= n.

Данное условие согласно определению и общим свойствам ранга матрицы

равносильно условиям (4) и (7).

Теорема 2 доказана.

Доказательство теоремы 3. Предположим, что оценка (10) неверна.

Тогда существует бесконечная последовательность вектор-функций z_j (t) ∈

∈ C1 ([0,1];Rⁿ), j = 1,2,... такая, что

(



)

dzj(t)



max

|z_j (t)| > j max

- Az_j (t)

max

|Cz_j (t)|

j = 1,2,

⁺

0≤t≤1

 dt

0≤t≤1

Рассмотрим вектор-функции

v_j(t) = r-1jz_j(t), t ∈ [0,1], j = 1,2,... ,

где r_j — максимум функции |z_j (t)| на отрезке [0, 1]. Для этих вектор-функций

имеем:

(

)

1 = max

|v_j (t)| > j max

|v^′j (t) - Av_j (t)| + max

|Cv_j(t)|

j = 1,2,

0≤t≤1

Переходя к пределу вдоль равномерно сходящейся подпоследовательности

вектор-функций vj1 (t), vj2 (t), . . . , получаем функцию v(t) ∈ C¹ ([0, 1]; Rⁿ) та-

кую, что

max |v(t)| = 1, v^′(t) - Av(t) ≡ 0, Cv(t) ≡ 0.

0≤t≤1

Отсюда выводим:

v(t) ≡ e^tAv(0), v(0) = 0, Ce^tAv(0) ≡ 0.

Из последнего тождества в силу леммы следует, что система уравнений (Π.1)

имеет ненулевое решение, что противоречит условию rank (B) = n. Оцен-

ка (10) доказана.

Пусть LM < 1 и x(t) — произвольное решение системы уравнений (9).

В оценке (10) вместо z(t) подставляя x(t + a + ω) - x(t + a), получаем

max

|x(t + ω) - x(t)| ≤

a≤t≤a+1

(

)

≤ M max

|G(t, x(t + ω)) - G(t, x(t))| + max

|Cx(t + ω) - Cx(t)|

a≤t≤a+1

Далее, воспользуясь условием Липшица

max

|G(t, x(t + ω)) - G(t, x(t))| ≤ L max

|x(t + ω) - x(t)|,

a≤t≤a+1

получаем оценку (11).

Теорема 3 доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Зубов В.И. Лекции по теории управления. Учебное пособие. 2-е изд. СПб.:

Изд-во “Лань”, 2009.

Леонов Г.А. Введение в теорию управления. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2004.

Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных

уравнений. М.: Наука, 1966.

Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука,

1967.

Блиман П.А., Красносельский А.М., Рачинский Д.И. Секторные оценки нели-

нейностей и существование автоколебаний в системах управления // АиТ. 2000.

№ 6. C. 3-18.

Bliman P.A., Krasnosel’skii A.M., Rachinskii D.I. Sector Estimates for Nonlinea-

rities and the Existence of Auto-Oscillations in Control Systems // Autom. Remote

Control. 2000. V. 61. No. 6. P. 889-903.

Красносельский А.М., Рачинский Д.И. Существование континуумов циклов в

гамильтоновых системах управления // АиТ. 2001. № 2. C. 65-74.

Krasnosel’skii A.M., Rachinskii D.I. Existence of Continua of Cycles in Hamiltonian

Control Systems // Autom. Remote Control. 2001. V. 62. No. 2. P. 227-235.

Перов А.И. Об одном критерии устойчивости линейных систем дифференциаль-

ных уравнений с периодическими коэффициентами // АиТ. 2013. № 2. C. 22-37.

Perov A.I. On One Stability Criterion for Linear Systems of Differential Equations

with Periodic Coefficients // Autom. Remote Control. 2013. V. 74. No. 2. P. 183-195.

Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного ана-

лиза. М.: Наука, 1975.

Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.

10.

Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966.

Статья представлена к публикации членом редколлегии Н.В. Кузнецовым.

Поступила в редакцию 23.01.2023

После доработки 06.02.2023

Принята к публикации 20.03.2023