Автоматика и телемеханика, № 8, 2023

Линейные системы

А.В. СТЕПАНОВ (andrey8st@yahoo.com)

(Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет)

СИНТЕЗ СУБОПТИМАЛЬНЫХ РОБАСТНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ

НА ОСНОВЕ АПРИОРНЫХ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ¹

Развивается новый подход, позволяющий в едином формате синтези-

ровать субоптимальные робастные законы управления неопределенными

объектами при различных критериях на основе априорной информации и

экспериментальных данных. Показано, что гарантированные оценки γ₀-,

обобщенной H₂- и H_∞-норм замкнутой системы и соответствующие суб-

оптимальные робастные законы управления выражаются в терминах ре-

шений линейных матричных неравенств, формируемых с учетом априор-

ного знания и данных, полученных при моделировании объекта. Числен-

ный пример демонстрирует улучшение качества систем управления при

совместном использовании априорных и экспериментальных данных.

Ключевые слова: робастное управление, априорные данные, эксперимен-

тальные данные, γ₀-норма, обобщенная H₂-норма, H_∞-норма, линейные

матричные неравенства.

DOI: 10.31857/S0005231023080020, EDN: HAQKRE

1. Введение

Среди разнообразных подходов к синтезу управления объектами при

неполной математической модели выделяются два основных, в одном из ко-

торых параметры регулятора находятся исходя из априорной информации об

области возможных значений неопределенных параметров объекта, а в дру-

гом параметры регулятора настраиваются рекуррентно по текущей инфор-

мации или вычисляются на основе полученных экспериментальных данных.

Традиционно первый подход связывают с робастным управлением (см. [1]

и обзор [2]), второй — с адаптивным управлением (см. обзоры [3, 4]).

В последнее время активно разрабатывается синтез систем управления, не

использующий математическую модель объекта явно, а основанный исключи-

тельно на экспериментальных данных [5-9]. Пионерской в этом направлении

была работа [10], где установлено, что для полной характеризации линей-

ной стационарной динамической системы при выполнении так называемого

¹ Работа выполнена при финансовой поддержке Научно-образовательного математиче-

ского центра “Математика технологий будущего” (соглашение № 075-02-2023-945).

условия неисчезающего возбуждения может быть использована единственная

траектория. В [5] показано, что при выполнении этого условия линейно-квад-

ратичное управление объектами без возмущений и без помех в измерениях

может быть реализовано без знания математической модели объекта непо-

средственно по данным измерений входа и выхода. В [6] установлено, что для

построения законов управления по экспериментальным данным достаточно

выполнения менее ограничительного условия информативности данных для

изучаемоего свойства (например, для стабилизируемости линейной обратной

связью по состоянию или для линейно-квадратичного управления при за-

данном функционале). В [7] параметры обратной связи по состоянию нахо-

дятся на основе полученных в открытом контуре измерений входа и выхода

неопределенного объекта, на который действует неизмеряемое возмущение

из определенного класса. В [8] построение H₂- и H_∞-оптимальных законов

управления полностью неопределенным объектом по измерениям входа и вы-

хода осуществляется на основе матричного варианта S-леммы [11], а в [9] —

на основе леммы Питерсена [12].

В настоящей работе разрабатывается новый подход, позволяющий син-

тезировать робастные законы управления неопределенными динамическими

объектами на основе совместного использования априорной информации о

структуре неопределенной матрицы параметров объекта и верхней границе

ее нормы, а также экспериментальных данных, полученных в результате на-

блюдения за объектом на некотором интервале времени. Качество робастно-

го управления оценивается верхними оценками одного из трех показателей:

γ₀-нормы, характеризующей уровень гашения стохастических возмущений в

замкнутой неопределенной системе или максимальное значение квадратично-

го функционала целевого выхода при импульсном возмущении; обобщенной

H₂-нормы, характеризующей максимальное по времени уклонение евклидо-

вой нормы целевого выхода системы при всех ограниченных в l₂-норме де-

терминированных возмущениях; H_∞-нормы, характеризующей максималь-

ное значение отношения l₂-норм целевого выхода и внешнего возмущения.

Синтез включает в себя несколько основных шагов. Сначала множество

неизвестных матриц, согласованных с априорной информацией, характери-

зуется квадратичным неравенством. Затем проводится эксперимент, в кото-

ром измеряется траектория системы при задаваемых начальных условиях и

управлениях и неизвестном внешнем возмущении, компоненты которого име-

ют известные границы. Это позволяет определить еще одно квадратичное

неравенство, которому удовлетворяют все неизвестные матрицы, согласован-

ные с результатами эксперимента. Далее определяется расширенная полно-

стью определенная система с дополнительными искусственными входом и

выходом, удовлетворяющими двум квадратичным неравенствам, в которую

“погружена” исходная неопределенная система. И, наконец, верхние оценки

уровней гашения возмущений исходной неопределенной системы находятся

как уровни гашения возмущений этой расширенной системы при всех допол-

нительных входах, удовлетворяющих двум указанным квадратичным нера-

венствам.

Статья структурирована следующим образом. После введения в разде-

ле 2 дается общая постановка задачи и показывается, как на основе апри-

орной информации и экспериментальных данных выводятся два квадратич-

ных неравенства, которым удовлетворяет неизвестная матрица параметров

объекта. В разделе 3 приводятся необходимые сведения о γ₀-, обобщенной

H₂- и H_∞-нормах и о связях между ними для прямой и двойственной си-

стем. В разделе 4 описывается процедура синтеза робастных законов управ-

ления и доказывается основная теорема. В разделе 5 приводятся результаты

ряда экспериментов с неопределенной системой третьего порядка, показы-

вающие преимущества робастного управления, построенного на основе апри-

орной информации и экспериментальных данных, над робастными управле-

ниями, синтезируемыми только по априорной информации или только по

экспериментальным данным. В разделе 6 подводятся итоги и делаются вы-

воды.

2. Постановка задачи робастного управления на основе априорных

и экспериментальных данных

Рассмотрим неопределенную систему

x(t + 1) = (A + B_ΔΔC_Δ)x(t) + (B_u + B_ΔΔD_Δ)u(t) + Bw(t),

(2.1)

z(t) = Cx(t) + Du(t),

в которой x(t) ∈ Rnx - состояние, z(t) ∈ Rnz - целевой выход, w(t) ∈ Rnw -

возмущение, u(t) ∈ Rnu - управление. Все матрицы, за исключением матри-

цы неизвестных параметров Δ, заданы. В общем плане требуется на осно-

ве информации о неизвестных параметрах системы синтезировать линейные

обратные связи по состоянию, при которых уровни гашения внешних воз-

мущений из разных классов в замкнутой системе не превышают заданных

значений.

Информация относительно неизвестной матрицы Δ делится на априорную

и получаемую в результате предварительного эксперимента. Предполагается,

что матрица Δ имеет блочно-диагональную структуру и представима в виде

∑

(2.2)

Δ = diag (Δ₁,...,Δ_l) =

L_iΔ_iRTi, Δ_iΔTi ≤ η2iI,

i=1

где Δ_i ∈ Rmi×ni - полный матричный блок или диагональный квадратный

матричный блок Δ_i = δ_iIni , L_i и R_i - матрицы, столбцами которых явля-

ются единичные векторы, соответствующие расположению i-го матрично-

го блока, и для которых LTiL_j = 0, RTiR_j = 0, i = j, η_i - заданные числа.

Представим матрицу B_Δ в соответствии со структурой матрицы Δ в виде

B_Δ = (B₁ ... B_l), где B_i = B_ΔL_i, обозначимΔ = B_ΔΔ. Тогда

∑

(2.3)

Δ= B_Δ L_iΔ_iRTi = B_iΔ_iRTi.

i=1

(

)

Δ_l

Так какΔR_j = B_jΔ_j, j = 1, . . . , l, тоΔ =

Δ₁ Δ₂ ···

, гдеΔi = B_iΔ_i.

В частности, если матрицы состояния и управления в уравнении объекта

полностью неизвестны, то в (2.1) положим

(2.4)

A = 0, B_u = 0, B_Δ = I, C_Δ = (I

0)^T, D_Δ = (0 I)^T

и тогдаΔ = Δ = (A(real) Bureal)), где A(real) и Bureal) - неизвестные матрицы

состояния и управления. Рассмотрению именно этого случая без использова-

ния априорной информации посвящены работы [5, 6, 8, 9]).

Далее, выразим априорную информацию о матрице Δ в терминах мат-

рицы

Δ. Применяя известный подход к синтезу робастного управления

в случае структурированной неопределенности [13, 14], определим множе-

ство Λ = diag (Λ₁, . . . , Λ_l), состоящее из всех Λ = diag (Λ₁, . . . , Λ_l), для ко-

торых Λ_i = λ_iIni , λ_i ≥ 0, если матричный блок Δ_i полный, и всех симмет-

рических неотрицательно определенных матриц Λ_i ∈ Rni×ni , если Δ_i = δ_iIni .

Так как согласно (2.2) для полного матричного блока Δ_i ∈ Rni×ni при всех

λ_i ≥ 0 выполняется λ_iΔ_iΔTi ≤ λ_iη2iI, а для блока Δ_i = δ_iIni для всех сим-

метрических неотрицательно определенных матриц Λ_i ∈ Rni×ni выполняется

Δ_iΛ_iΔTi ≤ η2iΛ_i, то для всех матриц Δ, удовлетворяющих (2.2), как нетрудно

проверить, выполняется

(2.5)

ΔΛΔ^T - ηΛη^T ≤ 0

∀Λ∈Λ,

где η = diag (η₁In1 , . . . , η_lInl ). Умножая это неравенство слева на матрицу B_Δ

и справа на матрицу B^TΔ, получим неравенство

(2.6)

ΔΛΔT - B_ΔηΛη^TB^TΔ ≤ 0

∀Λ∈Λ,

которое запишем в виде

(

)

(

)_T

(2.7)

Δ I Υ

Δ I

≤0

∀Λ∈Λ,

где Υ = diag (Λ, -B_ΔηΛη^TB^TΔ). Обозначим через Δ множество матриц Δ за-

данной структуры, удовлетворяющих (2.5), а черезΔa - множество матриц

Δ= (Δ1,... ,Δl), которые удовлетворяют неравенству (2.6). Ясно, что для

любой Δ ∈ Δ имеетсяΔ = B_ΔΔ ∈Δa. Покажем, что верно и обратное утвер-

ждение.

Лемма 2.1. Если матрицы B_i = B_ΔL_i, i = 1,...,l имеют полный столб-

цовый ранг, то для любой^Δ ∈Δa найдется Δ ∈ Δ такая, чтоΔ = B_ΔΔ.

Доказательство леммы. Пусть Δ ∈ ^Δa. Из (2.6) следует, что для лю-

бого вектора a = 0, для которого B^TΔa = 0, выполняетсяΔTa = 0. Это означа-

ет, что столбцы матрицыΔ принадлежат образу матрицы B_Δ. Следователь-

но, линейное матричное уравнение B_ΔΔ =Δ имеет решение относительно

матрицы Δ. Осталось показать, что для этого решения выполняется нера-

венство (2.5). Из (2.6) следует, что для каждого из блоков выполнено

B_i(Δ_iΛ_iΔTi - η2iΛ_i)BTi ≤ 0.

Так как матрицы B_i имеют полный столбцовый ранг, то Δ_iΛ_iΔTi - η2iΛ_i ≤ 0

для всех i, т.е. Δ ∈ Δ, что и требовалось доказать.

Эта лемма показывает, что при переходе от матрицы Δ, удовлетворяющей

неравенству (2.5), к матрицеΔ, удовлетворяющей неравенству (2.7), никакой

потери информации не происходит. В связи с этим исходную неопределенную

систему (2.1) представим в виде

x(t + 1) = (A +ΔC_Δ)x(t) + (B_u +ΔD_Δ)u(t) + Bw(t),

(2.8)

z(t) = Cx(t) + Du(t),

Δ=

где матрица неизвестных параметров соответствующей структуры

= (Δ1,... , Δl) удовлетворяет неравенству (2.7).

Дополнительная информация о неизвестных параметрах системы (2.8) из-

влекается из конечного набора измерений ее траектории. А именно, допу-

стим, что имеется возможность измерять состояния системы x₀, x₁, . . . , x_N

при выбранных управлениях u₀, . . . , uN-1 и некотором неизвестном возмуще-

нии w(t), компоненты которого удовлетворяют ограничению

(2.9)

|w_i(t)| ≤ d, t = 0, . . . , N - 1, i = 1, . . . , n_w

для некоторого заданного d, которое будем называть уровнем возмущения,

т.е. max0≤t≤N-1 ∥w(t)∥_∞ ≤ d. Следуя принятым обозначениям (см., напри-

мер, [6]), составим матрицы

Φ = (x₀

x₁

···

xN-1) , Φ₊ = (x₁ x₂

···

x_N) ,

W = (w₀

w₁

···

wN-1), U = (u₀ u₁

···

uN-1)

и обозначим

C_ΔΦ + D_ΔU =Φ.

В силу уравнения объекта имеет место равенство

Φ= Δ(real) Φ+BW,

(2.10)

гдеΦ = Φ₊ - AΦ - B_uU,Δ(real) - истинная неизвестная матрица параметров

объекта (2.8). Согласно (2.9) и (2.10) приΔ =Δ(real) имеет место

(Φ -ΔΦ)(Φ -ΔΦ)^T = BWW^TB^T ≤ d²n_wNBB^T.

Обозначим черезΔp множество матрицΔ заданной структуры, удовлетво-

ряющих этому неравенству. Ясно, чтоΔ(real) ∈Δp. Введем матрицу

(

)

(

)

ΦΦT

∗

(2.11)

Ψ=

ΨT12 Ψ22

-ΦΦT

ΦΦ^T - d²n_wNBB^T

и запишем это неравенство в виде

(

)

(

)_T

(2.12)

Δ I Ψ

Δ I

≤ 0.

Обозначим через^Δ =Δa ⋂ Δ_p множество матриц Δ, которые удовлетворя-

ют ограничениям (2.7) и (2.12).

Качество неопределенной системы (2.8), замкнутой управлением вида ли-

нейной обратной связи по состоянию, будем оценивать по ее реакциям на

стохастические и детерминированные возмущения при нулевом начальном

состоянии, измеряемыми тремя показателями: гарантированными оценками

γ₀-, обобщенной H₂- и H_∞-норм. Гарантированная оценка γ₀-нормы опре-

деляется как уровень гашения стохастического возмущения из класса Gnw

векторных гауссовских белых шумов размерности n_w, равный максимально-

му значению квадратного корня отношения установившихся усредненных по

времени дисперсий выхода z и входа w при всех ненулевых ковариационных

матрицах входа K_w [15], т.е.

∥z∥_P

γ₀ = sup

γ₀(Δ), γ₀(Δ) = ess sup

∥w∥_P

^Δ∈

w ∈ Gnw

∑N-1

где ∥s∥2P = lim

(1/N)

|s(t)|², а ess обозначает существенный супремум,

t=0

N→∞

т.е. наименьшую верхнюю границу с вероятностью единица. Гарантирован-

ные оценки обобщенной H₂- и H_∞-нормы характеризуют соответственно от-

носительные максимальные значения максимального по времени уклонения

и квадратичного функционала целевого выхода при детерминированных воз-

мущениях из класса l₂ и определяются как

γg2 = sup γg2(Δ), γg2(Δ) = supsupt≥0 |z(t)|,

w(t)=0

∥w∥

^Δ∈

∥z∥

γ_∞ = sup γ_∞(Δ), γ_∞(Δ) = sup

^Δ∈

w(t)=0 ∥w∥

∑_∞

где ∥s∥² =

|s(t)|². Задача заключается в том, чтобы получить верхние

t=0

оценки этих норм и в конечном итоге синтезировать законы управления, обес-

печивающие требуемые оценки качества системы.

3. Предварительные сведения о γ₀-, обобщенной H₂- и H_∞-нормах

Прежде чем приступить к нахождению гарантированных оценок указан-

ных норм, уточним, как вычисляются сами нормы γ₀(Δ), γg2(Δ) и γ_∞(Δ)

для замкнутой системы (2.8), u(t) = Θx(t) при фиксированной матрицеΔ,

заданной уравнениями

x(t + 1) = [A + B_uΘ +Δ(C_Δ + D_ΔΘ)]x(t) + Bw(t),

(3.1)

z(t) = (C + DΘ)x(t).

Обозначая

A_Θ = A + B_uΘ, C_ΔΘ = C_Δ + D_ΔΘ, A_Δ = A_Θ +ΔC_ΔΘ, C_Θ = C + DΘ,

запишем эти уравнения в виде

x(t + 1) = A_Δx(t) + Bw(t),

(3.2)

z(t) = C_Θx(t).

Уровень гашения стохастических возмущений или γ₀-норма этой системы

находится как решение задачи полуопределенного программирования от-

носительно ковариационных матриц возмущения K_w = KTw ≥ 0 и состояния

K_x = KTx ≥ 0 [15]

(3.3) γ²⁰(Δ) = max tr C_ΘK_xC^TΘ : A_ΔK_xA^TΔ - K_x + BK_wB^T = 0, tr K_w ≤ 1.

Здесь потребуется следующее вспомогательное утверждение, доказательство

которого приведено в Приложении.

Лемма 3.1. Задача (3.3) двойственна по Лагранжу задаче

(3.4)

γ²⁰(Δ) = min γ² : A^TΔPA_Δ - P + C^TΘC_Θ ≤ 0, B^TPB ≤ γ²I.

Задача (3.4) означает, что для приращения функции V (x) = x^TP x в си-

лу уравнения (3.2) при начальном возмущении w(0) = w₀, w(t) ≡ 0, t > 0 и

нулевых начальных условиях выполняются неравенства

△V + |z|² ≤ 0, t ≥ 1,

(3.5)

V (x₁) = wT0 B^TP Bw₀ ≤ γ²|w₀|²

∀x∈Rnx, ∀ w₀ ∈Rnw .

Из этих соотношений следует, что уровень гашения стохастических возму-

щений совпадает с уровнем гашения детерминированного начального возму-

щения, понимаемого как максимальное значение отношения l₂-нормы выхода

при “импульсном” возмущении w(0) = w₀, w(t) ≡ 0, t ≥ 1 и нулевых началь-

ных условиях к евклидовой норме возмущения, т.е.

γ²⁰(Δ) = max^∥z∥

w₀=0 |w₀|²

Следующая характеристика — максимальное уклонение выхода или обоб-

щенная H₂-норма [16, 17] — находится как решение задачи

(3.6)

γ2g2(Δ) = min γ² : A_ΔQA^TΔ - Q + BB^T ≤ 0, C_ΘQC^TΘ ≤ γ²I,

которую путем замены P = Q-1 можно представить как

(

)

(

)

A^TPAΔ -P

∗

γ2g2(Δ) = minγ² :

≤ 0,

≥ 0.

B^TPA_Δ B^TPB - I

C_Θ γ²I

Это означает, что для приращения функции V (x) = x^TP x в силу уравне-

ния (3.2) при нулевых начальных условиях выполняется

(3.7)

△V - |w|² ≤ 0,

∀x∈Rnx,

∀w∈Rnw, P ≥γ-2C^TΘC_Θ.

Как хорошо известно, H_∞-норма системы меньше γ тогда и только то-

гда, когда разрешимо относительно матрицы P = P^T > 0 линейное матрич-

ное неравенство

⎞

^⎛ A^TΔPA_Δ - P

∗

⎜

⎟

(3.8)

⎝ B^TPAΔ B^TPB - γ²I

∗

⎠ < 0,

C_Θ

-I

означающее, что для приращения положительно определенной функции

V (x) = x^TP x в силу уравнения (3.2) при всех x и w выполняется

(3.9)

△V + |z|² - γ²|w|² < 0.

Сравнение задач (3.4) и (3.6) показывает, что γ₀- и обобщенная H₂-норма

системы (3.1) совпадают соответственно с обобщенной H₂- и γ₀-нормой двой-

ственной системы

x(t + 1) = (A_Θ +ΔC_ΔΘ)^T x(t) + C^TΘ

w(t),

x(0) = 0,

(3.10)

z(t) = B^Tx(t).

Кроме того, очевидно, что H_∞-нормы двойственных систем (3.1) и (3.10) сов-

падают.

4. Робастные γ₀-, обобщенные H₂- и H_∞-субоптимальные

законы управления

Опишем основные шаги получения гарантированных оценок γ₀-, γg2-

и γ_∞-норм неопределенной системы (3.1) и нахождения соответствующих им

параметров субоптимальных робастных законов управления. Обозначим че-

рез γ₀, γg2 и γ_∞ соответствующие гарантированные оценки норм двойствен-

ной системы (3.10). Как следует из сказанного в предыдущем разделе,

γ₀ = γg2, γg2 = γ₀, γ_∞ = γ_∞.

Рассмотрим систему, которую назовем расширенной, с дополнительными ис-

кусственными входом w_Δ(t) и выходом z_Δ(t), определяемую уравнениями

x_a(t + 1) = A^TΘx_a(t) + C^TΔΘw_Δ(t) + C^TΘw_a(t), x_a(0) = 0,

(4.1)

z_a(t) = B^Tx_a(t), z_Δ(t) = x_a(t),

в которых x_a(t) - состояние, w_a(t) - возмущение, z_a(t) - целевой выход. До-

пустим, что дополнительный входной сигнал w_Δ(t) в системе (4.1) при всех

t ≥ 0 удовлетворяет двум неравенствам

)_T

⁽ w_Δ(t)

⁽ w_Δ(t)⁾

⁽ w_Δ(t))T

⁽ w_Δ(t)⁾

(4.2)

≤ 0,

z_Δ(t)

где матрицы Ψ и Υ заданы в (2.11) и (2.7). Множество всех таких сигналов

обозначим через W_Δ. Система (3.10) “погружена” в систему (4.1), (4.2), так

как при w_Δ(t) =ΔTz_Δ(t) уравнения (4.1) превращаются в уравнения (3.10)

и для всех Δ ∈ Δ , как следует из (2.12), (2.7), выполняются неравенства

(

)_T

(

)

⁽ w_Δ(t))T

⁽ w_Δ(t)⁾

ΔT

= z^TΔ(t)

z_Δ(t) ≤ 0,

z_Δ(t)

(

)_T

(

)

⁽ w_Δ(t))T

⁽ w_Δ(t)⁾

ΔT

= z^TΔ(t)

z_Δ(t) ≤ 0,

z_Δ(t)

т.е. w_Δ(t) =ΔTz_Δ(t) ∈ W_Δ.

Для расширенной системы (4.1), (4.2) определим γ₀-, обобщенную H₂- и

H_∞-нормы относительно входа w_a и выхода z_a при всех допустимых вхо-

дах w_Δ как

∥z_a∥_P

γ₀ = sup ess sup

∥w_a∥_P

w_Δ(t) ∈ W_Δ wa ∈Gnw

(t)|

supt≥0 |z_a

(4.3)

γg2 = sup

sup

∥w_a∥

w_Δ(t) ∈ W_Δ wa(t)=0

∥z_a∥

γ∞ = sup

sup

w_Δ(t) ∈W_Δ wa(t)=0 ∥wa^∥

которые очевидно ограничивают сверху гарантированные оценки норм си-

стемы (3.10). С учетом сказанного выше о связях норм двойственных систем

получим, что для гарантированных оценок норм исходной неопределенной

системы (3.1) верны неравенства

γ₀ ≤ γg2, γg2 ≤ γ₀, γ_∞ ≤ γ_∞.

Определенные в (4.3) показатели будут меньше заданного числа γ, ес-

ли найдется положительно определенная квадратичная функция V (x_a) =

= xTaPx_a, приращение которой в силу уравнения (4.1) удовлетворяет сле-

дующим условиям соответственно для каждой нормы (аналогично условиям

(3.5), (3.7) и (3.9) для системы (3.2)):

(A^TΘx_a + C^TΔΘw_Δ)^TP (A^TΘx_a + C^TΔΘw_Δ) - xTaP x_a + |z_a|² ≤ 0, C_ΘP C^TΘ < γ²I;

(A^TΘx_a + C^TΔΘw_Δ + C^TΘw_a)^TP (A^TΘx_a + C^TΔΘw_Δ + C^TΘw_a) - xTaP x_a - |w_a|² ≤ 0,

(

)

∗

> 0;

B^T γ²I

(A^TΘx_a + C^TΔΘw_Δ + C^TΘw_a)^TP (A^TΘx_a + C^TΔΘw_Δ + C^TΘw_a) -

-xTaPx_a + |z_a|² - γ²|w_a|² < 0

при всех x_a, w_a и всех w_Δ ∈ W_Δ, т.е. удовлетворяющих ограничениям (4.2).

Достаточным для этого условием является существование матрицы P =

= P^T > 0 и неотрицательных чисел μ ≥ 0 и ν ≥ 0, при которых для всех x_a,

w_a и w_Δ выполняются соответствующие условия

)_T

)

⁽ w_Δ

△V + |z_a|² -

(μΨ + νΥ)

≤ 0, C_ΘP C^TΘ < γ²I;

z_Δ

)_T

)

(

)

⁽ w_Δ

∗

△V - |w_a|² -

(μΨ + νΥ)

≤ 0,

> 0;

z_Δ

B^T γ²I

(

)_T

w_Δ

⁽ w_Δ )

△V + |z_a|² - γ²|w_a|² -

(μΨ + νΥ)

< 0,

z_Δ

где приращение функции V (x) в первом из этих неравенств берется по тра-

ектории системы (4.1) при w_a(t) ≡ 0. Записывая эти неравенства в виде мат-

ричных неравенств, вводя новую матричную переменную Z = ΘP , заменяя

матрицу νΛ матрицей Λ без изменения обозначения и применяя лемму Шура,

приходим к следующему результату.

Теорема 4.1. Гарантированные оценки γ₀-, обобщенной H₂- и H_∞-норм

неопределенной системы (2.1), (2.2) при законе управления u(t) = Θx(t), где

Θ = ZP-1, меньше γ, если следующие соответствующие линейные матрич-

ные неравенства разрешимы относительно P > 0, Z, Λ∈ Λ и μ ≥ 0:

⎛

⎞

-P

∗

⎜

⎟

⎜

F_A

-P - μΨ₂₂

∗

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

FCΔ

-μΨ₁₂

-μΨ₁₁ - Λ

∗

⎟

≤ 0,

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

(4.4)

-I

∗

⎝ F

⎠

Λη^TB^TΔ

-Λ

(

)

∗

> 0;

B^T γ²I

⎛

⎞

-P

∗

⎜

⎟

⎜

F_A

-P - μΨ₂₂

∗

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

B^T

-I

∗

≤ 0,

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

(4.5)

C_Δ

-μΨ₁₂

-μΨ₁₁ - Λ

∗

⎝ F

⎠

Λη^TB^TΔ

-Λ

(

)

∗

F_C γ²I

⎛

⎞

-P

∗

⎜

⎟

⎜

F_A

-P - μΨ₂₂

∗

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

B^T

-I

∗

⎟

⎜

⎟

(4.6)

⎜

⎟

< 0,

⎜

⎟

FCΔ

-μΨ₁₂

-μΨ₁₁ - Λ

∗

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

-γ²I

∗

⎝ F

⎠

Λη^TB^TΔ

-Λ

где F_A = AP + B_uZ, F_C = CP + DZ, FCΔ = C_ΔP + D_ΔZ, элементы мат-

риц Ψ определены в (2.11) и матрица η = diag (η₁In1,... ,η_lInl) определена

в (2.2).

Обозначим минимальные значения γ², получаемые согласно этой теоре-

ме, как γ²(Δ, Θ), где аргументами являются матрица параметров системы

(Δ - для неопределенной системы,Δ(real) - для реальной системы) и мат-

рица параметров применяемой обратной связи: Θ(ab) - матрица параметров

соответствующего робастного закона управления, использующего априорные

и экспериментальные данные, Θ(a) - если используются только априорные

данные, Θ(b) - если используются только экспериментальные данные. Если

используются только априорные данные, то гарантированные оценки норм

γ²(Δ,Θ(a)) находятся при решении соответствующих неравенств с μ = 0; ес-

ли используются только экспериментальные данные, то γ²(Δ, Θ(b)) находят-

ся при решении этих неравенств с Λ = 0. При этом ясно, что γ²(Δ, Θ(ab)) ≤

≤ min{γ²(Δ, Θ(a)), γ²(Δ, Θ(b))}.

В случае полностью неизвестных матриц состояния и управления систе-

мы, для которого матрицы уравнения (2.1) определены в (2.4) и ΔΔ^T ≤ η²I,

теорема 4.1 дает гарантированные оценки норм при Λ = {λI : λ ≥ 0}.

Приведенные в теореме 4.1 неравенства позволяют при выборе соответ-

ствующих блоков F_A, F_C , FCΔ и переменных Λ, μ вычислять параметры

законов управления и нормы для разнообразных сценариев. В следующем

разделе некоторые из этих сценариев будут реализованы для иллюстратив-

ного примера и там же будут приведены соответствующие им блоки F_A, F_C ,

FCΔ и переменные Λ, μ в неравенствах (4.4)-(4.6).

5. Иллюстративный пример

Приведем результаты ряда экспериментов, выполненных с системой ви-

да (2.1)

⎛

⎞

⎛

⎞

0,3

0,8

-0,3

0,2

⎠x(t)+ ⎝1+δ

⎠u(t)+w(t),

x(t + 1) =^⎝ -0,2 + δ

0,6 + Δ₁₁

-0,1 + Δ₁₂

0,5

-0,2 + Δ₂₁

0,9 + Δ₂₂

0,5

)

⁽ I₃

⁽ 03×1 )

z(t) =

x(t) +

u(t),

0,2

в которой

⎞

^⎛ 0 0 0

^⎛ 1

)

⁽ Δ₁

B_Δ =^⎝ 1 1 0

⎠,CΔ = I₃, D_Δ = ⎝ 0

⎠,Δ=

Δ₂

)

⁽ Δ11 Δ12

Δ₁ = δ, Δ₂ =

|δ| ≤ 0,12; Δ₂Δ^T2 ≤ 0,19.

Δ₂₁

Δ₂₂

1. Учитывая только априорную информацию, вычислим гарантированные

оценки норм и матрицы параметров соответствующих субоптимальных

робастных законов управления по формуле Θ(a) = ZP-1, решая неравен-

ства (4.4)-(4.6) при F_A = AP + B_uZ, F_C = CP + DZ, FCΔ = C_ΔP + D_ΔZ,

η = diag (0,12;0,19I₂), μ = 0 и Λ ≥ 0 - неизвестная переменная:

γ²⁰(Δ,Θ(a)0) = 12,8095; Θ(a)0 = (-0,4356; -0,6420; -0,3125),

γ2g2(Δ,Θ(a)g2) = 10,5935; Θ(a)g2 = (-0,8498; -0,7996; -0,6503),

γ2∞(Δ,Θ(a)∞) = 49,2653; Θ(a)∞ = (-1,2373; -0,8204; -0,9710).

Допустим, что реальной системе соответствуют следующие значения не-

определенных параметров: δ(real) = -0,05, Δ(real)11 = 0,2, Δ(real)12 = Δ(real)21 =

= 0, Δ(real)22 = -0,1, так что

⎛

⎞

(5.1)

Δ= Δ(real)₌ ⎝-0,05

0,2

⎠_,

-0,1

а матрицы состояния и управления реального объекта равны

A(real) = A +Δ(real)C_Δ, B(real)u = B_u +Δ(real)D_Δ.

Вычислим три нормы замкнутой системы, состоящей из реального объек-

та и полученной робастной обратной связи с матрицей параметров Θ(a),

решая неравенства (4.4)-(4.6) с

F_A = (A(real) + B(real)uΘ(a))P, F_C = (C + DΘ(a))P, F_C

и при Λ = 0, μ = 0:

γ²⁰(Δ(real),Θ(a)0) = 4,8319;

γ2g2(Δ(real),Θ(a)g2) = 5,1373;

γ2∞(Δ(real),Θ(a)∞) = 23,5459.

Для сравнения приведем еще оптимальные значения рассматриваемых

норм и матриц параметров оптимальных обратных связей для реальной

системы (если бы ее знали), вычисляемых по формуле Θ(real) = ZP-1 при

решении неравенств (4.4)-(4.6) с F_A = A(real)P + Bureal)Z, F_C = CP + DZ,

FCΔ = 0, Λ = 0, μ = 0:

γ²⁰(Δ(real),Θ(real)0) = 3,9569; Θ(real)0 = (-0,0765; -0,9379; 0,0064),

γ2g2(Δ(real),Θ(real)g2) = 4,4024; Θ(real)g2 = (-0,1369; -0,9249; -0,0741),

γ2∞(Δ(real),Θ(real)∞) = 10,4651; Θ(real)∞ = (-1,2547; -1,3605; -0,3919).

2. Рассмотрим ситуацию, когда априорная информация об области возмож-

ных значений неизвестных параметров объекта отсутствует и используют-

ся экспериментальные данные. Вычислим гарантированные оценки норм и

найдем матрицы параметров субоптимальных робастных обратных связей

по формуле Θ(b) = ZP-1, решая неравенства (4.4)-(4.6) при F_A = AP +

+B_uZ, F_C = CP + DZ, FCΔ = C_ΔP + D_ΔZ, Λ = 0 и μ ≥ 0 - неизвест-

ная переменная. Для получения экспериментальных данных будем мо-

делировать уравнение

(2.8) с начальными условиями x₀ = (9; 5; -7)^T

при неопределенностях δ(real) = -0,05, Δ(real)11 = 0,2, Δ(real)12 = Δ(real)21 = 0,

Δ(real)22 = -0,1, так чтоΔ =Δ(real). Компоненты векторов управления u(t)

и возмущения w(t) в эксперименте будем выбирать как значения случай-

ных величин, равномерно распределенных на интервалах [-1, 1] и [-d, d]

соответственно и получаемых с помощью датчика случайных чисел. Для

d = 0,1 и N = 100 получились следующие результаты:

γ²⁰(Δ,Θ(b)0) = 9,2104; Θ(b)0 = (-0,1087; -0,8626; -0,0074),

γ2g2(Δ,Θ(b)g2) = 11,0614; Θ(b)g2 = (-0,1745; -1,0321; -0,0257),

γ2∞(Δ,Θ(b)∞) = 56,6811; Θ(b)∞ = (-0,6556; -1,3677; -0,0644).

Для реальной системы, замкнутой робастными обратными связями с со-

ответствующими матрицами параметров Θ(b), получились следующие зна-

чения норм при решении неравенств (4.4)-(4.6) с

F_A = (A(real) + B(real)uΘ(b))P, F_C = (C + DΘ(b))P, F_C

и при Λ = 0, μ = 0:

γ²⁰(Δ(real),Θ(b)0) = 3,9640;

γ2g2(Δ(real),Θ(b)g2) = 4,4416;

γ2∞(Δ(real),Θ(b)∞) = 12,2661.

3. Осуществим синтез субоптимального робастного управления на осно-

ве как априорной информации, так и тех же экспериментальных дан-

ных, полученных выше при моделировании реальной системы. Для это-

го вычислим гарантированные оценки норм и найдем матрицы пара-

метров робастных обратных связей по формуле Θ(ab) = ZP-1 при реше-

нии неравенств (4.4)-(4.6), в которых F_A = AP + B_uZ, F_C = CP + DZ,

FCΔ = C_ΔP + D_ΔZ, Λ ≥ 0 и μ ≥ 0 - неизвестные переменные:

γ²⁰(Δ,Θ(ab)0) = 8,2265; Θ(ab)0 = (-0,1613; -0,7716; -0,0661),

γ2g2(Δ,Θ(ab)g2) = 8,9113; Θ(ab)g2 = (-0,4617; -0,8835; -0,2449),

γ2∞(Δ,Θ(ab)∞) = 35,2885; Θ(ab)∞ = (-0,9790; -1,0324; -0,5212).

Для реальной системы, замкнутой робастными обратными связями с мат-

рицами параметров Θ(ab), три нормы, найденные при решении неравенств

(4.4)-(4.6) с

F_A = (A(real) + B(real)uΘ(ab))P, F_C = (C + DΘ(ab))P, F_C

и п ри Λ = 0, μ = 0, принимают следующие значения:

γ²⁰(Δ(real),Θ(ab)0) = 4,0280;

γ2g2(Δ(real),Θ(ab)g2) = 4,5248;

γ2∞(Δ(real),Θ(ab)∞) = 14,3512.

На рис. 1-3 приведены гарантированные оценки γ₀-, обобщенной H₂-, и

H_∞-норм соответственно, полученные только по априорной информации,

только по экспериментальным данным и совместно по априорной информа-

ции и экспериментальным данным, в зависимости от уровня возмущения d в

эксперименте; нижние горизонтальные линии отвечают значениям этих норм

для реального объекта, верхние линии соответствуют их значениям при ро-

бастных законах управления, синтезированных только по априорной инфор-

мации. На рис. 4 приведен график гарантированной оценки H_∞-нормы, по-

лученной при совместном использовании априорной информации и экспери-

ментальных данных с уровнем возмущения d = 0,05, как функции числа из-

мерений N; горизонтальные линии отвечают H_∞-норме реального объекта и

гарантированной оценке H_∞-нормы, полученной при использовании только

априорной информации.

Эти результаты говорят о том, что если уровень возмущений в экспери-

менте относительно не очень большой, то гарантированные оценки норм за-

мкнутой неопределенной системы, синтезированной при использовании как

априорных, так и экспериментальных данных, значительно меньше соответ-

ствующих оценок норм замкнутой системы при робастных управлениях, син-

тезированных только по априорным данным или только по эксперименталь-

ным данным. Например, гарантированные оценки H_∞-норм замкнутой си-

стемы при законах управления, синтезируемых при использовании только

априорных или только экспериментальных данных с уровнем возмущения

d = 0,1, соответственно равны γ2∞(Δ,Θ∞a)) = 49,2653 и γ2∞(Δ,Θ∞b)) = 56,6811,

а при совместном использовании этих априорных и экспериментальных дан-

ных гарантированная оценка H_∞-нормы равна γ2∞(Δ, Θ∞ab)) = 35,2885. Что

касается наблюдаемого эффекта увеличения гарантированных оценок норм,

получаемых на основе только экспериментальных данных, то это происходит

из-за того, что с увеличением уровня возмущения расширяется множество до-

пустимых моделей объекта, согласующихся с экспериментальными данными,

и соответственно растет максимальное значение нормы на этом множестве.

Важно подчеркнуть, что диапазон уровней возмущения, в котором гаран-

тированная оценка нормы при совместном использовании априорных и экс-

периментальных данных меньше, чем гарантированная оценка нормы при

использовании только априорных данных, зависит от начальных условий и

выбираемых управлений в эксперименте и, таким образом, может варьиро-

ваться и даже, по-видимому, планироваться. Кроме того, из рис. 4 видно, что

для получения приемлемых результатов не требуется большого количества

измерений.

6. Заключение

В работе предложен новый метод построения субоптимальных робастных

законов управления, позволяющий учитывать не только априорную инфор-

мацию о математической модели объекта, но и экспериментальные данные

моделирования объекта на небольшом интервале времени. При получении

экспериментальных данных не требуется ни выполнение условия неисчеза-

ющего возмущения, которое обеспечивает идентифицируемость неизвестных

параметров, ни выполнение условия информативности данных для соответ-

ствующего закона управления. Использование в этом методе дополнительной

информации о неизвестных параметрах объекта, полученной из эксперимен-

тальных данных, существенно уменьшает гарантированные оценки γ₀-, обоб-

щенной H₂- и H_∞-норм замкнутой системы.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Доказательство леммы 3.1. Запишем функцию Лагранжа для этой

задачи и выразим оптимальное значение двойственной ей функции как

[

min

max

tr C_ΘK_xC^TΘ + tr P₀(A_ΔK_xA^TΔ - K_x + BK_wB^T) +

P₀≥0,γ²≥0

Kx≥0,Kw≥0

]

+γ²(1 - trK_w) =

[

= min

max

γ² + tr K_x(A^TΔP₀A_Δ - P₀ + C^TΘC_Θ) +

P₀≥0,γ²≥0

Kx≥0,Kw≥0

]

+ tr K_w(B^TP₀B - γ²I) .

Для того чтобы эта величина была конечной, должны выполняться неравен-

ства (3.4), и тогда максимум достигается при K_x = 0 и K_w = 0. При этом оп-

тимальное значение двойственной задачи совпадает с λ_max(B^TP₀B). Так как

функция является выпуклой и имеется внутренняя точка, удовлетворяющая

ограничению, то оптимальные значения прямой и двойственной задач совпа-

дают [18].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука,

2002.

2. Petersen I.R., Tempo R. Robust Control of Uncertain Systems: Classical Results

and Recent Developments // Automatica. 2014. V. 50. No. 5. P. 1315-1335.

3. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Метод скоростного градиента и его приложе-

ния // АиТ. 2021. № 9. С. 3-72.

Andrievsky B.R., Fradkov A.L. Speed Gradient Method and Its Applications //

Autom. Remote Control. 2021. V. 82. No. 9. P. 1463-1518.

4. Annaswamy A.A., Fradkov A.L. A Historical Perspective of Adaptive Control and

Learning // Annual Reviews in Control. 2021. V. 52. P. 18-41.

5. De Persis C., Tesi P. Formulas for Data-Driven Control: Stabilization, Optimality

and Robustness // IEEE Trans. Automat. Control. 2020. V. 65. No. 3. P. 909-924.

6. Waarde H.J., Eising J., Trentelman H.L., Camlibel M.K. Data Informativity: a New

Perspective on Data-Driven Analysis and Control // IEEE Trans. Automat. Control.

2020. V. 65. No. 11. P. 4753-4768.

7. Berberich J., Koch A., Scherer C.W., Allgower F. Robust data-driven state-feedback

design // Proc. Amer. Control Conf. 2020. P. 1532-1538.

8. Waarde H.J., Camlibel M.K., Mesbahi M. From Noisy Data to Feedback Controllers:

Nonconservative Design via a Matrix S-Lemma // IEEE Trans. Automat. Control.

2022. V. 67. No. 1. P. 162-175.

9. Bisoffi A., De Persis C., Tesi P. Data-driven Control via Petersen’s Lemma //

Automatica. 2022. V. 145. Article 110537.

10. Willems J.C., Rapisarda P., Markovsky I., De Moor B. A note on persistency of

excitation // Syst. Control Lett. 2005. V. 54. P. 325-329.

11. Якубович В.А. S-процедура в нелинейной теории управления // Вестник Ле-

нинградского университета. Математика. 1977. Т. 4. С. 73-93.

12. Petersen I.R. A stabilization algorithm for a class of uncertain linear systems //

Syst. Control Lett. 1987. V. 8. P. 351-357.

13. Doyle J.C. Analysis of feedback systems with structured uncertainties // IEE Proc.

1982. V. 129. Part D(6). P. 242-250.

14. Safonov M.G. Stability margins of diagonally perturbed multivariable feedback

systems // IEE Proc. 1982. V. 129. Part D(6). P. 251-256.

15. Kogan M.M. Optimal discrete-time H_∞/γ₀ filtering and control under unknown

covariances // Int. J. Control. 2016. V. 89. No. 4. P. 691-700.

16. Wilson D.A. Convolution and Hankel Operator Norms for Linear Systems // IEEE

Trans. Autom. Control. 1989. V. 34. No. 1. P. 94-97.

17. Баландин Д.В., Бирюков Р.С., Коган М.М. Минимаксное управление уклонени-

ями выходов линейной дискретной нестационарной системы // АиТ. 2019. № 12.

С. 3-24.

Balandin D.V., Biryukov R.S., Kogan M.M. Minimax Control of Deviations for the

Outputs of a Linear Discrete Time-Varying System // Autom. Remote Control. 2019.

V. 80. No. 12. P. 345-359.

18. Boyd S., Vandenberghe L. Convex Optimization. Cambridge: University Press, 2004.

Статья представлена к публикации членом редколлегии М.В. Хлебниковым.

Поступила в редакцию 21.03.2023

После доработки 02.05.2023

Принята к публикации 09.06.2023