Автоматика и телемеханика, № 8, 2023

Нелинейные системы

(Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил

«Военно-воздушная академия им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина»,

Воронеж)

НЕПРЕРЫВНЫЕ ПРОЦЕССЫ С НЕЧЕТКИМИ СОСТОЯНИЯМИ

И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

Введены и изучены скалярные характеристики непрерывных процессов

с нечеткими состояниями — средние и корреляционные функции. Уста-

новлены их алгебраические свойства, а также свойства, связанные с опе-

рациями дифференцирования и интегрирования нечетких функций ве-

щественного аргумента. Показана зависимость между характеристиками

нечеткого сигнала на входе и выходе динамической системы, описывае-

мой дифференциальным уравнением высокого порядка с постоянными

коэффициентами.

Ключевые слова: непрерывные нечеткие процессы, средние корреляцион-

ные функции, «нечеткие» динамические системы.

DOI: 10.31857/S0005231023080032, EDN: HBBOUB

1. Введение

При исследовании динамических процессов в условиях ограниченной ис-

ходной информации один из возможных подходов заключается в трактовке

их параметров как реализации некоторых случайных процессов [1]. Одна-

ко часто возникает ситуация, когда закон распределения случайных вели-

чин в рассматриваемые моменты времени слабоформализуем. В этом случае

удобно рассматривать такие процессы, как процессы с нечеткими состояния-

ми (нечеткие процессы). В частности, важный класс «нечетких» динамиче-

ских процессов дают системы автоматического регулирования и оптимально-

го управления.

Таким образом, непрерывные нечеткие процессы представляют собой аль-

тернативный по отношению к непрерывным случайным процессам метод мо-

делирования задач теории автоматического регулирования. При этом «нечет-

кий» процесс понимается как параметрическая система нечетких чисел,

непрерывно зависящая от параметра (времени). В настоящее время теория

нечетких множеств используется при решении разнообразных прикладных

задач [2, 3]. В частности, исследованы различные нечеткие модели объектов

управления [4].

В разделах 3-4 настоящей работы введены и изучены числовые характе-

ристики непрерывных процессов с нечеткими состояниями и непрерывным

временем, а именно средние и корреляционные функции. Установлены их

свойства, аналогичные свойствам соответствующих характеристик непрерыв-

ных случайных процессов. В разделе 3 рассмотрены алгебраические свой-

ства средних и корреляционных функций непрерывных нечетких процес-

сов. В разделе 4 установлены свойства этих характеристик относительно

интегралов и производных от нечетких процессов. При этом интегралы от

нечетких функций понимаются как частный случай интегралов Аумана [5]

от многозначных функций (как интегралы от α-срезок). Они рассмотрены

в [6, 7 и др.]. Различные определения производных от нечетких функций рас-

смотрены в [6-8 и др.]. Здесь используем определение, связанное с разностью

множеств по Хукухаре [9]. Результаты разделов 3 и 4 опираются на опреде-

ление и свойства ковариации нечетких чисел, рассмотренные в работе авто-

ра [10] и изложенные в разделе 2.

В настоящее время активно исследуются «нечеткие» дифференциальные

уравнения и их приложения, см. [3 (гл. 7, 8), 7, 8, 11-13 и др.]. Из последних

работ отметим [14, 15]. В разделе 5 данной работы рассматриваются «нечет-

кие» динамические системы, описываемые линейными дифференциальными

уравнениями n-го порядка с постоянными коэффициентами. Установлена за-

висимость между числовыми характеристиками нечеткого сигнала на выходе

«нечеткой» динамической системы и соответствующими характеристиками

входного нечеткого сигнала. В отличие от известных подходов [12-15] изла-

гаемый здесь подход опирается на развитие метода функции Грина, широко

распространенного в теории обыкновенных дифференциальных уравнений

[16, гл. II; 17, гл. 1], на случай нечетких дифференциальных уравнений.

2. Среднее, квазискалярное произведение и ковариация нечетких чисел

Под нечетким числом будем понимать нечеткое подмножество универсаль-

ного множества действительных чисел, имеющее компактный носитель и нор-

мальную, выпуклую и полунепрерывную сверху функцию принадлежности

(см., например, [2, гл. 5]). Множество таких нечетких чисел обозначим че-

рез J.

Ниже будем использовать интервальное представление нечетких чисел.

Как известно, интервалы α-уровня (α-уровни) нечеткого числа z с функ-

цией принадлежности μ_z(x) определяются соотношениями

z_α = {x|μ_z(x) ≥ α}, (α ∈ (0,1]), z₀ = cl{x|μ_z(x) > 0},

где cl обозначает замыкание множества. Согласно принятым предположени-

ям все α-уровни нечеткого числа — замкнутые и ограниченные интервалы

вещественной оси.

Обозначим левую границу α-интервала через z^-(α), а правую — z⁺(α),

таким образом, z_α = [z^-(α), z⁺(α)]. Выражения z^-(α) и z⁺(α) называют со-

ответственно левым и правым α-индексами (индексами) нечеткого числа. Ве-

щественное число x ∈ R трактуется как нечеткое число с левым и правым

α-индексами, равными x.

Ниже под суммой нечетких чисел с индексами z^-(α), z⁺(α) и u^-(α),

u⁺(α) понимается нечеткое число с интервалами α-уровня [z^-(α) + u^-(α),

z⁺(α) + u⁺(α)]. Умножение на положительное число c характеризуется ин-

тервалами α-уровня [cz^-(α), cz⁺(α)], а умножение на отрицательное чис-

ло c — интервалами α-уровня [cz⁺(α), cz^-(α)]. Равенство нечетких чисел по-

нимается как равенство всех соответствующих α-индексов при ∀ α ∈ [0, 1].

Как известно [18], среднее значение нечеткого числа z, используя интер-

вальное представление, можно определить следующим способом:

∫

(1)

m(z) =

(z^-(α) + z⁺(α)) dα.

Отметим, что среднее (1) является линейным.

Пример 1. Рассмотрим нечеткое треугольное число z, характеризуемое

тройкой вещественных чисел (a, b, c) при a < b < c, определяющей функцию

принадлежности

⎧

x-a

⎪

, если x ∈ [a, b];

⎪

⎨

b-a

x-c

μ_z(x) =

, если x ∈ [b, c];

⎪

b-c

^⎩ 0

в противном случае.

Как известно, в этом случае нижняя и, соответственно, верхняя граница

α-интервала имеют вид

z^-(α) = (b - a)α + a, z⁺(α) = -(c - b)α + c.

Нетрудно подсчитать, что среднее (1) для нечеткого треугольного числа

(a, b, c) равно m(z) =¹⁴ (a + 2b + c).

На множестве нечетких чисел можно по-разному ввести определения рас-

стояний между ними. При интервальном подходе часто используют расстоя-

ния Хаусдорфа между множествами α-уровня нечетких чисел. А именно, для

нечетких чисел z и ũ с α-уровнями z_α и u_α задают метрику [19]

{

}

(2)

ρ(z, ũ) = supp max supp

inf

|z - u|, supp

inf |z - u|

0<α≤1

z∈zα

u∈uα

z∈zα

Определение (2) порождает равенство

{

}

(3)

ρ(z, ũ) = supp max

|z^-(α) - u^-(α)|, |z⁺(α) - u⁺(α)|

0<α≤1

Здесь [z^-(α), z⁺(α)] и [u^-(α), u⁺(α)] — интервалы α-уровней нечетких чи-

сел z и ũ.

Отметим, что условие ρ(z, ũ) = 0 в силу (3) соответствует определению

равенства нечетких чисел z и ũ, данному выше.

Пусть нечеткому числу z отвечают α-уровни z_α = [z^-(α), z⁺(α)]. Поло-

жим, как это принято в интервальном анализе,

mid z_α =

(z⁺(α) + z^-(α)), rad z_α =

(z⁺(α) - z^-(α)).

Здесь mid z_α характеризует среднее при каждом α ∈ [0, 1], а rad z_α — размах.

Для нечетких чисел z и ũ из J определим квазискалярное произведение [10]

∫1

〈z, ũ〉 = (mid z_αmid u_α + rad z_αrad u_α) dα =

(4)

∫¹

= 0,5

(z⁺(α)u⁺(α) + z^-(α)u^-(α)) dα.

При этом квазинорма равна ∥z∥ = 〈z, z〉1/2.

Пример 2. Рассмотрим два треугольных числа z₁ и z₂, характеризуемые

тройками вещественных чисел a_i, b_i, c_i при a_i < b_i < c_i (i = 1, 2). По опреде-

лению их правых и левых индексов (см. пример 1) и согласно (4) квазиска-

лярное произведение 〈z₁, z₂〉 подсчитывается по формуле

〈z₁, z₂〉 =

b₁b₂ +

(a₁a₂ + c₁c₂) +

(a₁b₂ + b₁a₂ + b₁c₂ + b₂c₁).

Утверждение 1

[10]. Справедливы следующие свойства квазискаляр-

ного произведения (4).

1) 〈z, ũ〉 = 〈ũ, z〉 ∀ ũ, z ∈ J;

2) 〈c₁ z, c₂ ũ〉 = c₁c₂〈z, ũ〉 при условии, что c₁c₂ > 0;

3) 〈z₁ + z₂, ũ〉 = 〈z₁, ũ〉 + 〈z₂, ũ〉 ∀ ũ, z₁, z₂ ∈ J;

4) 〈z, z〉 ≥ 0, причем условие 〈z, z〉 = 0 эквивалентно равенству нулю ле-

вого и правого индексов z;

5) Обобщенное неравенство Коши-Буняковского |〈z, ũ〉| ≤ 〈z, z〉1/2〈ũ, ũ〉1/2,

∀ ũ, z ∈ J.

Для нечетких чисел z₁ и z₂ со средними значениями m₁ и m₂ определим

их ковариацию формулой [10]

cov[z₁, z₂] = 〈z₁ - m₁, z₂ - m₂〉 =

∫

(5)

(

)

= 0,5

(z⁺¹ - m₁)(z⁺² - m₂) + (z-1 - m₁)(z-2 - m₂)

dα.

Обозначим дисперсию как D(z) = cov|z, z|.

Утверждение 2

[10]. Справедливы следующие свойства ковариации (5):

1) cov[z₁ + z₂, ũ] = cov[z₁, ũ] + cov[z₂, ũ] (∀ ũ, z₁, z₂ ∈ J);

2) cov[c₁ z, c₂ ũ] = c₁c₂cov[z, ũ] (∀ ũ, z ∈ J) для любых вещественных c₁, c₂,

таких что c₁c₂ > 0;

3) специфическое свойство ковариации: cov [z₁, z₂] = 〈z₁, z₂〉 - m₁m₂,

(∀ z₁, z₂ ∈ J), где m₁ и m₂ — средние значения нечетких чисел z₁ и z₂.

Утверждение 3

[10]. Имеют место следующие свойства дисперсии:

1) D(cz) = c²D(z) для любого вещественного числа c,

2) D(z + ũ) = D(z) + D(ũ) + 2cov[z, ũ] для ∀ ũ, z ∈ J.

В ряде работ (см., например, [20]) в качестве ковариации нечетких чисел

z₁, z₂ рассматривается выражение

∫

cov₁[z₁, z₂] =

(z⁺¹(α) - z-1(α))(z⁺²(α) - z-2(α))dα.

При таком определении ковариация всегда неотрицательна, что не соот-

ветствует стандартным свойствам ковариации (для случайных величин).

3. Непрерывные нечеткие процессы

Фиксируем отрезок [t₀, T ] числовой оси при t₀ ≥ 0. Отображение z: [t₀, T ]→

→ J будем называть процессом с нечеткими состояниями (или нечетким про-

цессом) и непрерывным временем.

Пусть нечеткий процесс z(t) при t ∈ [t₀, T ] характеризуется функцией при-

надлежности μ_z(x, t). При фиксированном α ∈ (0, 1] рассмотрим α-интервал

z_α(t) = {x ∈ R : μ_z(x,t) ≥ α} и z₀(α) = cl{x ∈ R : μ_z(x,t) > 0}. Обозначим че-

рез z^-α(t) = z^-(t, α) и z+α(t) = z⁺(t, α) левую и соответственно правую грани-

цы α-интервала. Так что z_α(t) = [z^-(t, α), z⁺(t, α)].

Ниже будем предполагать, что индексы z^-(t, α) и z⁺(t, α) квадратично

суммируемы по α при каждом t ∈ [t₀, T ] и непрерывны по t при любом α ∈

∈ [0, 1].

Определим среднее значение z(t) при каждом t ∈ [t₀, T ] равенством

∫

(6)

m_z(t) = m(z(t)) =

(z^-(t, α) + z⁺(t, α))dα.

Теорема 1. Среднее значение непрерывного нечеткого процесса, опреде-

ляемое формулой (6), обладает следующими свойствами.

1. Аддитивность. Если z₁(t) и z₂(t) — непрерывные нечеткие процессы,

тогда m(z₁(t) + z₂(t)) = m(z₁(t)) + m(z₂(t)).

2. Однородность. Если z(t) — непрерывный нечеткий процесс и ϕ(t) — ве-

щественная функция, тогда m(ϕ(t)z(t)) = ϕ(t)m(z(t)).

Действительно, свойство 1 следует из определения интервального сложе-

ния и свойства аддитивности интеграла Лебега.

Покажем свойство 2. Рассмотрим при фиксированном t ∈ [t₀, T ] нечеткое

число w(t) = ϕ(t)z(t). Заметим, что его левый и правый индексы w-(t, α)

и w⁺(t,α) совпадают с выражениями ϕ(t)z^-(t,α) и ϕ(t)z⁺(t,α) в случае

ϕ(t) ≥ 0 и с выражениями ϕ(t)z⁺(t, α) и ϕ(t)z^-(t, α) в случае ϕ(t) < 0. Однако

их сумма w^-(t, α) + w⁺(t, α) совпадает с выражением ϕ(t)(z^-(t, α) + z⁺(t, α))

независимого от знака ϕ(t). Отсюда в соответствии с (1) следует свойство 2.

Следствие 1. Если f(t) — вещественная функция, то m(z(t) + f(t)) =

= m(z(t)) + f(t).

При этом считаем, что при ∀ t ∈ [t₀, T ] для вещественного числа f(t) имеет

место равенство f^-(t) = f⁺(t) = f(t).

Определим корреляционную функцию непрерывного нечеткого процес-

са z(t) равенством

∫

(

)(

)

K_z(t₁,t₂) =

z⁺(t₁,α) - m(z(t₁))

z⁺(t₂,α) - m(z(t₂))

(7)

(

)(

)

z^-(t₁,α) - m(z(t₁))

z^-(t₂,α) - m(z(t₂))

dα.

Дисперсией непрерывного нечеткого процесса назовем величину D_z(t) =

= K_z(t,t). По определению D_z(t) ≥ 0.

Теорема 2. Корреляционная функция непрерывного нечеткого процесса,

определяемая формулой (7), обладает следующими свойствами.

1. Симметричность. Для непрерывного нечеткого процесса

z(t) при

∀t₁,t₂ ∈ [t₀,T] имеет место равенство

K_z(t₁,t₂) = K_z(t₂,t₁).

2. Если z(t) — непрерывный нечеткий процесс и ϕ(t) — числовая функ-

ция, тогда для непрерывного нечеткого процесса

w(t) = ϕ(t)z(t) корреля-

ционная функция K_w(t₁,t₂) имеет вид K_w(t₁,t₂) = ϕ(t₁)ϕ(t₂)K_z(t₁,t₂) для

∀t₁,t₂ ∈ [t₀,T], при которых выполнено условие ϕ(t₁)ϕ(t₂) ≥ 0.

3. Если w(t) = z(t) + ϕ(t), то K_w(t₁, t₂) = K_z(t₁, t₂).

√

4. Справедливо соотношение |Kz1 (t₁, t₂)| ≤

D_z(t₁)D_z(t₂).

Теорема 2 основана на изложенных в разделе 2 свойствах ковариации (5)

нечетких чисел.

Для непрерывных нечетких процессов z₁(t) и z₂(t) рассмотрим взаимную

корреляционную функцию

∫1

(

)(

)

Kz1 z₂ (t,s) =

z⁺¹(t,α) - m(z₁(t))

z⁺²(s,α) - m(z₂(s))

(

)(

)

z-1(t,α) - m(z₁(t))

z-2(s,α) - m(z₂(s))

dα.

Теорема 3. Пусть z₁(t) и z₂(t) — непрерывные нечеткие процессы. То-

гда корреляционная функция суммы w(t) = z₁(t) + z₂(t) имеет вид

K_w(t,s) = Kz1 (t,s) + Kz2 (t,s) + Kz1,z₂ (t,s) + Kz₁,z₂(s,t).

Непрерывные нечеткие процессы z₁(t) и z₂(t) назовем некоррелированны-

ми на отрезке [t₀, T ], если выполнено равенство

Kz1 z₂ (t,s) = 0

(∀ t, s ∈ [t₀, T ]).

Следствие 2. Если непрерывные нечеткие процессы z₁(t), z₂(t) некор-

релированны и

w(t) = z₁(t) + z₂(t), то

K_w(t,s) = Kz1 (t,s) + Kz2(t,s)

(∀ t, s ∈ [t₀, T ]).

4. Интегрирование и дифференцирование непрерывных нечетких процессов

Интегралом по промежутку [t₀, T ] от непрерывного нечеткого процесса z(t)

называют [7] нечеткое число g, такое что его интервалы α-уровня при любом

∫_T

α ∈ [0,1] имеют вид g_α =

z_α(t)dt. Интеграл обозначают как

z(t) dt.

t₀

По существу, это интеграл Аумана [5] от многозначного отображения z_α(t).

∫_T

Если интеграл

z(t) dt существует, то процесс z(t) называют интегрируе-

t₀

мым на [t₀, T ].

Имеет место следующее свойство средних относительно интегралов.

Теорема 4. Пусть z(t) — интегрируемый на [t₀,T] нечеткий процесс.

)

(∫_T

∫_T

Тогда m

z(τ)d τ

m(z(τ))dτ.

t₀

Действительно, по определению интеграла для его индексов имеем

(∫_T

)_±

∫ T

z(τ) dτ

= z^±(τ,α)dτ.

t₀

Тогда

⎛

⎞

⎛

⎞

∫

⎝

m^⎝

z(τ) dτ^⎠ =1

(z^-(τ, α)) + (z⁺(τ, α)) dτ⎠ dα = m(z(τ))dτ.

t₀

Для непрерывного нечеткого процесса z(t) при ∀t ∈ [t0,T] определим

непрерывный нечеткий процесс g(t) =

∫^t z(τ)dτ._t

Теорема 5. Для корреляционной функции K_g(t₁,t₂) интеграла g(t) от

непрерывного нечеткого процесса z(t) имеет место равенство K_g(t₁,t₂) =

∫t₁ ∫t₂

K_z(τ₁,τ₂)dτ₁dτ₂.

t₀

Доказательство. По определению

K_g(t₁,t₂) =

⎛

⎞⎛

⎞

∫

t₁

∫

t₁

∫

t₂

∫

t₂

⎝ z⁺(τ,α)dτ - m(z(τ,α))dτ⎠⎝ z⁺(τ,α)dτ - m(z(τ))dτ⎠+

t₀

⎛

⎞⎛

⎞

t₁

t₂

∫

+^⎝ z^-(τ,α)dτ - m(z(τ,α))dτ⎠⎝ z^-(τ,α)dτ - m(z(τ))dτ⎠ dα =

t₀

⎛

⎞⎞

∫

t₁

∫

t₂

⎝ (z⁺(τ, α) - m(z(τ)) dτ) ⎝ z⁺(τ, α) - m(z(τ)) dτ⎠⎠ dα +

t₀

⎛

⎞

∫

t₁

∫

t₂

⎝ z^-(τ,α) - m(z(τ))dτ z^-(τ,α) - m(z(τ))dτ⎠ dα.

t₀

Рассмотрим первый интеграл в последнем выражении. Поскольку значе-

ние интеграла не зависит от переменной интегрирования, то его можно запи-

сать в виде

⎛

⎞⎛

⎞

∫

t₁

∫

t₂

⎝

z⁺(τ1, α) - m(z(τ1)) dτ1⎠ ⎝ z+(τ2, α) - m(z(τ2)) dτ2⎠ dα =

t₀

t₁

t₂

∫

(

)(

)

z⁺(τ₁,α) - m(z(τ₁))

z⁺(τ₂,α) - m(z(τ₂))

dτ₁ dτ₂ dα.

t₀

Аналогично для индексов с минусом. Таким образом,

⎛

∫

t₁

∫

t₂

(

)(

)

K_g(t₁,t₂) =

⎝

z⁺(τ₁,α) - m(z(τ₁))

z⁺(τ₂,α) - m(z(τ₂))

t₀

⎞

(

)(

)

z^-(τ₁,α) - m(z(τ₁))

z^-(τ₂,α) - m(z(τ₂))

dτ₁ dτ₂⎠ dα.

Меняя здесь порядок интегрирования, получим утверждение теоремы 5.

Перейдем к рассмотрению производных от нечетких функций. В литерату-

ре используются различные определения. Одно из наиболее распространен-

ных опирается на определение разности Хукухары [9]. А именно, для мно-

жеств A, B множество C называют разностью Хукухары, если A = B + C и

обозначают A

- B.

Отображение z : [t₀, T ] → J называют дифференцируемым в точке t ∈

∈ [t₀, T ]

[7], если для

∀ α[0, 1] многозначное отображение z_α(t) диффе-

ренцируемо по Хукухаре в точке t с производной D_H z_α(t) и семейство

{D_H z_α(t) : α ∈ [0, 1]} определяет некоторый элемент z^′(t), принадлежащий J.

Элемент z^′(t) называют нечеткой производной от z(t) в точке t.

По определению нечеткая производная z^′(t) удовлетворяет соотношению

(

)

lim

z(t + Δt)

− z(t)

, z^′(t)

= 0,

Δt→0

Δt

где расстояние ρ определяется формулой (3).

Утверждение 4

[7]. Пусть отображение z : [t₀, T ] → J дифференци-

руемо и нечеткая производная z^′(t) интегрируема по [t₀,T]. Тогда

∫t

(8)

z(t) = z(t₀) +

z^′(s)ds.

t₀

Утверждение 5

[11]. Пусть нечеткий процесс z(t) дифференцируем и

z_α(t) = [z^-α(t),z+α(t)] — его α-интервал при любом α ∈ [0,1]. Тогда функции

z^-α(t) и z+α(t) дифференцируемы по t и α-интервал производной z^′(t) имеет

вид [z^′(t)]_α = [(z^-α)^′(t), (z+α)^′(t)].

Утверждение 5 показывает связь рассмотренной выше производной с про-

изводной Сеиккала [8].

Теорема 6. Среднее от производной дифференцируемого нечеткого про-

цесса z(t), производная которого z^′(t) интегрируема, совпадает с производ-

ной от среднего: m(z^′(t)) =^ddtm(z(t)).

Доказательство. Возьмем среднее от левой и правой части форму-

лы (8). Тогда

∫^t

m(z(t)) = m(z(t₀)) + m(z^′(s))ds.

t₀

Здесь воспользовались свойством аддитивности средних и теоремой 4.

Продифференцируем обе части последнего равенства. Тогда, используя

свойства интеграла с переменным верхним пределом, получим^ddt m(z(t)) =

= m(z^′(t)), т.е. утверждение теоремы 6.

Теорема 7. Корреляционная функция производной z^′(t) дифференцируе-

мого нечеткого процесса z(t) вычисляется по формуле

∂²(K_z(t₁,t₂))

K_z′ (t₁,t₂) =

∂t₁∂t₂

Доказательство. Обозначим z^′(t)= w(t). Рассмотрим g(t)=

∫ ^t w(s)ds._t

Согласно теореме 5 корреляционная функция K_g(t₁, t₂) имеет вид

K_g(t₁,t₂) =

⎛

⎞⎛

⎞

∫

t₁

∫

t₂

⎝ w⁺(τ₁,α)dτ₁ - m( w(τ₁))⎠ ⎝ w⁺(τ₂,α)dτ₂ - m( w(τ₂))⎠ dα +

t₀

⎛

⎞⎛

⎞

t₁

t₂

∫

⎝ w^-(τ₁,α)dτ₁ - m( w(τ₁))⎠ ⎝ w^-(τ₂,α)dτ₂ - m( w(τ₂))⎠ dα.

t₀

Дифференцируя это равенство сначала по t₁, а затем по t₂, получаем

∫

∂²K_g(t₁,t₂)

(

)(

)

w⁺(τ₁,α) - m( w(τ₁))

w⁺(τ₂,α) - m( w(τ₂))

dα +

∂t₁∂t₂

∫

(

)(

)

w^-(τ₁,α) - m( w(τ₁))

w^-(τ₂,α) - m( w(τ₂))

dα.

Так что справедлива формула

∂²K_g(t₁,t₂)

(9)

= K_w(t₁,t₂).

∂t₁∂t₂

Далее воспользуемся формулой (8). Обозначая z(t₀)

ξ, можем записать

∫t

z(t)

ξ+

w(s) ds

ξ + g(t).

t₀

Полагая η(t)

ξ + g(t) и используя формулу для подсчета корреляцион-

ной функции от суммы нечетких процессов, получим

K_z(t₁,t₂) = K_η(t₁,t₂) = K˜ξ(t₁,t₂) + K_g(t₁,t₂) + K_ξg(t₁,t₂) + K_ξg(t₂,t₁).

Продифференцируем обе части этого равенства сначала по t₁, а затем

по t₂. Тогда∂2K^z(t1,t2)_∂t

= ∂²K^g(t1,t2). Остальные члены справа занулятся, по-_∂t

1∂t2

скольку K˜ξ не зависит от t₁, t₂ по определению, K_ξg(t₁, t₂) зависит только

от t₂, а K_ξg(t₂, t₁) — только от t₁. Учитывая установленную выше форму-

лу (9), получим равенство

∂²K_z(t₁,t₂)

= K_w(t₁,t₂) = K_z′(t₁,t₂),

∂t₁∂t₂

что и доказывает теорему 7.

5. Преобразование непрерывного нечеткого процесса

линейной динамической системой

Рассмотрим ситуацию, когда на вход некоторого устройства А поступает

непрерывный нечеткий сигнал y(t), а на выходе наблюдается непрерывный

нечеткий сигнал z(t).

Устройство А называют линейной динамической системой, если связь меж-

ду входом и выходом описывается дифференциальным уравнением n-го по-

рядка с постоянными коэффициентами. Если на входе и выходе наблюдаются

нечеткие сигналы y(t) и z(t) соответственно, то линейная динамическая си-

стема описывается «нечетким» дифференциальным уравнением

a_nz(n)(t) + an-1z(n-1)(t) + ··· + a₁z^′(t) + a₀z(t) =

(10)

=b_ky(k)(t)+bk-1y(k-1)(t)+···+b₁y^′(t)+b₀y(t)

f (t).

Здесь коэффициенты a_i (i = 0, . . . , n) и b_i (i = 0, . . . , k) — постоянные чис-

ла, производные второго порядка от нечеткой функции понимаются как

z^′′(t) = (z^′(t))^′ и т.д. для последующих производных.

Связь между средними значениями входного и выходного нечетких сигна-

лов характеризует

Лемма 1. Среднее значение z_cp(t) = m(z(t)) нечеткого сигнала z(t) на

выходе динамической системы (10) удовлетворяет скалярному дифферен-

циальному уравнению

(11)

a_nx(n) + an-1x(n-1) + ··· + a₁x^′ + a₀x = f(t),

где через f обозначено среднее от правой части (10) f(t) =

f (t).

Действительно, рассмотрим среднее от левой и правой частей равен-

ства (10). Используя свойства аддитивности и однородности средних, а также

теорему 6, получим

a_n(mz(t))(n) + an-1(mz(t))(n-1) + ··· + a₁(mz(t))^′ + a₀mz(t) =

=b_k(my(t))(k) +bk-1(my(t))(k-1) +···+b₁(my(t))^′ +b₀(my(t))≡

f (t).

Тогда для скалярной функции z_cp(t) = m(z(t)) выполнено уравнение (11).

Утверждение 6 [16, гл. II]. Пусть корни характеристического уравне-

ния a_nλⁿ + an-1λn-1 + ··· + a₁λ + a₀ = 0 не содержат точек мнимой оси.

Тогда для любой непрерывной ограниченной на всей числовой оси функ-

ции f(t) уравнение (11) имеет ограниченное на всей числовой оси решение,

причем единственное. Оно дается формулой

∫∞

(12)

x(t) =

G(t - s)f(s) ds,

-∞

где G(t) — функция Грина задачи об ограниченных решениях уравнения (11).

Отметим, что общий вид функции Грина задачи об ограниченных реше-

ниях уравнения (11) известен (см., например, [17, гл. 1, § 8]).

Замечание 1. Пусть в условиях утверждения 6 все корни характери-

стического уравнения лежат в левой полуполоскости (Reλ_i < 0, i = 1, . . . , n).

Тогда ограниченное решение уравнения (11) асимптотически устойчиво по

Ляпунову. При этом функция Грина задачи об ограниченных решениях урав-

нения (11) имеет вид

^{ k(t) при t ≥ 0;

G(t) =

при t < 0,

где k(t) — функция Коши однородного уравнения, соответствующего (11).

Теорема 8. Пусть входной нечеткий процесс y(t) ограничен на всей

числовой оси, а корни характеристического уравнения a_nλⁿ + an-1λn-1 + · · ·

··· + a₁λ + a₀ = 0 не содержат точек мнимой оси. Тогда среднее значе-

ние m(z(t)) на выходе динамической системы (10) представимо в виде

∫∞

(13)

m(z(t)) =

G(t - s)m

f (s)) ds,

−∞

где G — функция Грина задачи об ограниченных решениях уравнения (11).

Действительно, в условиях теоремы 8 правая часть уравнения (11) — огра-

ниченная на всей оси функция. Тогда согласно лемме 1 функция z_cp(t) =

= m(z(t)) является ограниченным на всей оси решением уравнения (11). По-

этому теорема 8 вытекает из утверждения 6.

Отметим, что ограниченность нечеткого процесса y(t) в теореме 8 и ниже

понимается как ограниченность по t всех соответствующих α-индексов y^±α(t),

∀α ∈ [0,1].

Следствие 3. Пусть в условиях теоремы 8 на вход поступает «ква-

зистационарный» сигнал, т.е. m(y(t)) = m_y = const. Тогда на выходе так-

же будет «квазистационарный» сигнал, причем его среднее значение равно

m(z(t)) = m_z =b0a₀ my^.

Действительно, поскольку производная любого порядка от постоянной

равна нулю, то в этом случае правая часть уравнения (11) равна b₀m_y. То-

гда m_z — решение соответствующего уравнения (11), а именно a₀m_z = b₀m_y.

Других ограниченных решений уравнение (11) в условиях теоремы 8 не имеет.

Такой же вывод можно сделать, когда среднее значение нечеткого вход-

ного сигнала стабилизируется с течением времени, т.е. m(y(t)) → m_y при

t → ∞.

В некоторых случаях удается выписать индексы нечеткого сигнала на вы-

ходе динамической системы (10) в явном виде.

Теорема 9. Пусть выполнены условия теоремы 8 и дополнительно

все коэффициенты динамической системы

(10) положительны (a_i > 0,

i = 0,...,n). Тогда индексы нечеткого сигнала z(t) на выходе динамической

системы (10) имеют вид

∫∞

∫

∞

(14)

z^-α(t) =

G(t - s)f^-α(s) ds, z+α(t) =

G(t - s)f+α(s) ds,

−∞

-∞

где f^±α(s) — индексы функци

f (s).

Действительно, поскольку равенство нечетких чисел означает равенство

всех соответствующих α-интервалов, то согласно правилам интервальной

арифметики с учетом положительности коэффициентов a_i и в силу теоремы 6

получим, что уравнение (10) влечет при ∀ α ∈ [0, 1] выполнение равенства

(15)

a_n(z^-α)(n)(t) + an-1(z^-α)(n-1)(t) + ··· + a₁(z^-α)^′(t) + a₀z^-α(t) = f^-α(t)

и аналогично для индексов с плюсом

(16)

a_n(z+α)(n)(t) + an-1(z+α)(n-1)(t) + ··· + a₁(z+α)^′(t) + a₀z+α(t) = f+α(t).

Согласно (15) и (16) в силу утверждения 6 выполнены равенства (14).

Утверждение 7. Пусть выполнены условия теоремы 9 и дополнитель-

но функция Грина G задачи (10) неотрицательна. Тогда для нечеткого огра-

ниченного сигнала на выходе динамической системы (10) справедливо пред-

ставление

∫∞

(17)

z(t) =

G(t - s

f (s) ds.

−∞

Действительно, согласно определению интеграла от нечеткой функции

имеют место соотношения для индексов

⎛

⎞-

∫

∞

∫

∞

⎝ G(t - s

f (s) ds^⎠

= G(t - s)f^-α(s) ds,

−∞

-∞

⎛

∞

⎞+

∞

∫

⎝ G(t - s

f (s) ds^⎠

= G(t - s

f+α(s)ds,

−∞

-∞

которые в силу (14) влекут представление (17).

Теорема 10. Пусть выполнены условия теоремы 9 и дополнительно

вещественные части всех корней характеристического уравнения отри-

цательны (Reλ_i < 0, i = 1, . . . , n). Тогда корреляционная функция K_z(t₁, t₂)

нечеткого сигнала z(t) на выходе динамической системы (10) определяется

формулой

∫t1

∫t2

(18)

K_z(t₁,t₂) =

G(t₁ - τ₁)G(t₂ - τ₂)K˜f(τ₁, τ₂)dτ₁dτ₂,

-∞ -∞

∑_n

где K˜f(τ₁, τ₂) — корреляционная функция входного сигнал

f =

b_iy(i), а

i=1

G — функция Грина задачи об ограниченных решениях уравнения (11).

Доказательство. По определению (7) и в силу (13), (14) с учетом за-

мечания 1 имеем

K_z(t₁,t₂) =

⎡⎛

⎞⎛

⎞

∫

⎣⎝ G(t₁ - s)(f+α(s) - m

f (s)))ds⎠⎝

G(t₂ - s)(f+α(s) - m

f (s)))ds^⎠ +

-∞

⎛

⎞⎛

⎞⎤

∫

+^⎝ G(t₁ - s)(f^-α(s) - m

f (s)))ds⎠⎝

G(t₂ - s)(f^-α(s) - m

f (s)))ds⎠⎦ dα =

−∞

-∞

∫

t₁

∫

t₂

[

G(t₁ - τ₁)G(t₂ - τ₂) (f+α(τ₁) - m

f (τ₁)))(f+α(τ₂) - m

f (τ₂))) +

0 -∞ -∞

]

+ (f^-α(τ₁) - m

f (τ₁)))(f^-α(τ₂) - m

f (τ₂))) dτ₁dτ₂dα.

Меняя здесь порядок интегрирования, получим

K_z(t₁,t₂) =

⎛

∫t1

∫

t₂

∫

G(t₁ - τ₁)G(t₂ - τ₂)⎝1

(f^-α(τ₁) - m

f (τ₁)))(f^-α(τ₂) - m

f (τ₂))) +

−∞ -∞

⎞

+ (f+α(τ₁) - m

f (τ₁)))(f+α(τ₂) - m

f (τ₂)))dα^⎠ dτ₁dτ₂.

Отсюда следует формула (18).

Отметим, что предположение Reλ_i < 0, i = 1, . . . , n в теореме 10 служит

лишь для наглядности в сравнении с теоремой 5. Без этого предположения

формула (18) принимает вид

∫∞

∫

∞

K_z(t₁,t₂) =

G(t₁ - τ₁)G(t₂ - τ₂)K˜f(τ₁, τ₂)dτ₁dτ₂.

-∞ -∞

Пример 3. На вход линейной динамической системы, описываемой диф-

ференциальным уравнением первого порядка с постоянными коэффициен-

тами

z^′(t) + βz(t) = y^′(t), β > 0

поступает нечеткий ограниченный на всей числовой оси сигнал y^′(t).

Укажем характеристики выходного нечеткого сигнала. Заметим, что

функция Грина задачи об ограниченных решениях скалярного уравнения

x^′ + βx = y(t) представима формулой

{

e^-βt при t ≥ 0;

G₁(t) =

при t < 0.

Тогда согласно теореме 8 среднее значение на выходе имеет вид

∫t

∫

m(z(t)) =

e-β(t-s)m(y^′(s))ds = e^-βt

e^βsm(y(s))^′ds.

−∞

-∞

Взяв интеграл справа по частям, получим

∫t

m(z(t)) = m(y(t)) - βe^-βt

e^βsm(y(s))ds.

-∞

Для корреляционной функции на выходе K_z(t₁, t₂) согласно теореме 10 и

свойству 2 из теоремы 2 можем записать

∫

t₁

∫

t₂

∂²K_y(τ₁,τ₂)

K_z(t₁,t₂) = e-β(t1+t2)

eβ(τ1+τ2)

dτ₁dτ₂,

∂τ₁∂τ₂

-∞ -∞

где K_y(τ₁, τ₂) — корреляционная функция входного сигнала.

Пример 4. На вход линейной динамической системы, описываемой диф-

ференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициен-

тами

z^′′(t) + a₁z^′(t) + a₀z(t) = y(t),

поступает непрерывный нечеткий ограниченный на всей числовой оси сиг-

нал y(t). Укажем характеристики выходного нечеткого сигнала z(t).

Пусть коэффициенты данного уравнения удовлетворяют условиям a₁, a₀ > 0

и a²¹ - 4a₀ > 0. Тогда корни λ₁, λ₂ характеристического уравнения λ² + a₁λ+

+a₀ = 0 вещественны и различны, причем λ₁ < λ₂ < 0. В этом случае функ-

ция Грина G₂ задачи об ограниченных решениях для уравнения a₂x^′′ + a₁x^′ =

+a₀x = f(t) имеет вид

{

(e^λ2t - eλ1t)(λ2 - λ1)-1 при t ≥ 0;

G₂(t) =

при t < 0.

Тогда в соответствии с теоремами 8, 10 для нечеткого сигнала z(t) на

выходе справедливы соотношения

∫t

m(z(t)) =

G₂(t - s)m(y(s))ds,

-∞

t₂

∫t1

∫

K_z(t₁,t₂) =

G₂(t₁ - τ₁)G₂(t₂ - τ₂)K_y(τ₁,τ₂)dτ₁dτ₂.

-∞ -∞

Заметим, что функции Грина G₁ и G₂ примеров 3, 4 неотрицательны, так

что в условиях примеров 3, 4 справедливо представление (17).

Пример 5. На вход линейной динамической системы, описываемой диф-

ференциальным уравнением третьего порядка с постоянными коэффициен-

тами

z^′′′(t) + a₂z^′′(t) + a₁z^′′(t) + a₀z(t) = y(t),

поступает непрерывный нечеткий ограниченный на всей числовой оси сиг-

нал y(t). Укажем характеристики выходного нечеткого сигнала z(t).

Предположим, что a₂ > 0, a₁ > 0, a₀ > 0 и a₂a₁ - a₀ > 0. Тогда соглас-

но критерию Гурвица для характеристических чисел уравнения λ³ + a₂λ²+

+a₁ + a₀ = 0 выполнены условия Reλ_i < 0 (i = 1,2,3). Поэтому в соответ-

ствии с теоремами 8, 10 для выходного нечеткого сигнала z(t) справедливы

следующие соотношения

∫t

m(z(t)) =

G₃(t - s)m(y(s))ds,

-∞

t₂

∫t1

∫

K_z(t₁,t₂) =

G₃(t₁ - τ₁)G₃(t₂ - τ₂)K_y(τ₁,τ₂)dτ₁dτ₂.

-∞ -∞

Здесь G₃(t) — функция Грина задачи об ограниченных решениях для урав-

нения

x^′′′(t) + a₂x^′′(t) + a₁x^′(t) + a₀x(t) = f(t),

^{k(t) при t ≥ 0;

определяемая равенством G₃(t) =

(см., например, [17, гл. 2,

при t < 0,

§ 8], где k(t) — функция Коши, определяемая как решение однородного урав-

нения

k^′′′(t) + a₂k^′′(t) + a₁k^′(t) + a₀k(t) = 0,

удовлетворяющее начальным условиям

k(0) = k^′(0) = 0, k^′′(0) = 1.

Например, в случае различных корней характеристического уравнения

функция Коши определяется формулой

k(t) = C₁eλ1t + C₂eλ2t + C₃eλ3t,

где

C₁ =

,C₂ =

,C₃ =

(λ₁ - λ₂)(λ₁ - λ₃)

(λ₂ - λ₃)(λ₂ - λ₁)

(λ₃ - λ₁)(λ₃ - λ₂)

6. Заключение

Результаты разделов 3, 4 данной работы о свойствах числовых характери-

стик нечетких процессов аналогичны известным результатам для непрерыв-

ных случайных процессов. Однако, несмотря на их значимость, они ранее не

отмечались.

Основные результаты данной работы относятся к «нечетким» динамиче-

ским системам, описываемым линейными дифференциальными уравнениями

n-го порядка в предположении ограниченности входного нечеткого сигнала

(раздел 5). Они опираются на установленные свойства средних и корреля-

ционных функций непрерывных нечетких процессов (разделы 3, 4), а также

на развитие метода функции Грина на случай нечетких дифференциальных

уравнений.

Изложенный здесь подход является альтернативой стандартному подходу

к исследованию линейных динамических систем с постоянными коэффици-

ентами, связанному с частотной характеристикой, прямым и обратным пре-

образованием Фурье. В отличие от известных подходов он не предполагает

стационарности (в каком-либо смысле) рассматриваемых процессов. Отме-

тим, что данный подход допускает развитие для непрерывных процессов с

нечеткими случайными состояниями.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и их инженерные

приложения. М.: Кнорус, 2016. 439 с.

2. Аверкин А.Н. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного ин-

теллекта. М.: Наука, 1986.

3. Buckley J.J., Eslami E., Feuring T. Fuzzy mathematics in economic and engineering.

Heidelberg, N.Y.: Physica-Verl., 2002.

4. Пегат А. Нечеткое моделирование и управление. М.: БИНОМ. Лаборатория

знаний, 2015.

5. Aumann R.J. Integrals of set-valued functions // J. Math. Anal. Appl. No. 12. 1965.

P. 1-12.

6. Puri M.L., Ralescu D.A. Differential of fuzzy functions // J. Math. Anal. Appl. 91.

1983. P. 552-558.

7. Kaleva O. Fuzzy differential equations // Fuzzy sets and systems. V. 24. No. 3. 1987.

P. 301-317.

Seikkala S. On the fuzzy initial value problem // Fuzzy Sets and Systems. 24 (No. 3).

1987. P. 319-330.

Hukuhara M. Integration des applications mesurables dont la valeur est un compact

convexe // Func. Ekvacioj. No. 11. 1967. P. 205-223.

10.

Khatskevich V.L. Means, quasi-scalar product and covariance of fuzzy numbers.

Journal of Physics: Conference Series. 2021, 1902(1), 012136.

11.

Jong Yeoul Park, Han H. Existence and uniqueness theorem for a solution of fuzzy

differential equations // International Journal of Mathematics and Mathematical

Sciences, 1996. P. 271-280.

12.

Ahmad L., Farooq M., Abdullah S. Solving nth order fuzzy differential equation by

fuzzy Laplace transform // Ind. J. Pure Appl. Math. 2014.

13.

Мочалов И.А., Хрисат М.С., Шихаб Еддин М.Я. Нечеткие дифференциальные

уравнения в задачах управления. Часть II. М.: Информационные технологии,

т. 21, № 4. 2015.

14.

Деменков Н.П., Микрин Е.А., Мочалов И.А. Нечеткое оптимальное управле-

ние линейными системами. Часть 1. Позиционное управление. Информационные

технологии. Т. 25, № 5. 2019.

15.

Esmi E., Sanchez D.E., Wasques V.F., de Barros L.C. Solutions of higher order

linear fuzzy differential equations with interactive fuzzy values // Fuzzy Sets and

Systems. V. 419. 2021. P. 122-140.

16.

Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных урав-

нений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970.

17.

Красносельский М.А., Бурд В.Ш., Колесов Ю.С. Нелинейные почти периодиче-

ские колебания. М.: Наука, 1970. 351 с.

18.

Dubois D., Prade H. The mean value of fuzzy number // Fuzzy sets and systems.

1987. P. 279-300.

19.

Kaleva O., Seikkala S. On fuzzy metric spaces // Fuzzy Sets and Systems. V. 12.

1984. P. 215-229.

20.

Fuller R., Majlender P. On weighted possibilistic mean value and variance of fuzzy

numbers // Fuzzy sets and systems. V. 136. 2003. P. 363-374.

Статья представлена к публикации членом редколлегии Д.В. Виноградовым.

Поступила в редакцию 25.02.2022

После доработки 03.04.2023

Принята к публикации 09.06.2023