Автоматика и телемеханика, № 8, 2023

Стохастические системы

(Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)

РЕЗОЛЬВЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ИТО,

МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫХ ПО ВЕКТОРУ СОСТОЯНИЯ

Получены интегральные представления решений линейных мульти-

пликативно возмущенных дифференциальных уравнений, диффузионная

часть которых билинейна по вектору состояния и вектору независимых

винеровских процессов. Уравнения такого класса служат моделями сто-

хастических систем с управлением, функционирующих в условиях пара-

метрической неопределенности или нежелательного воздействия внешних

возмущений. Для отыскания интегральных представлений и фундамен-

тальных матриц уравнений применяются понятия и аналитический аппа-

рат теории алгебр Ли.

Ключевые слова: мультипликативная стохастическая система, фунда-

ментальная матрица, дифференциал Стратоновича—Фиска, теоретико-

групповой метод, матричная алгебра Ли, теорема Вея—Нормана, стоха-

стическая резольвента.

DOI: 10.31857/S0005231023080068, EDN: HBYRVP

1. Введение

В теории оптимизации динамических систем важное место отводится за-

дачам управления объектами, функционирующим в условиях параметриче-

ской неопределенности или нежелательного воздействия внешних возмуще-

ний. В стохастическом разделе теории простейшими моделями таких систем

являются линейные, называемые мультипликативными, уравнения Ито, диф-

фузионные компоненты которых линейны по векторам состояния, управ-

ления и внешнего или параметрического возмущения. Мультипликативные

уравнения — достаточно простые математические объекты, и можно надеять-

ся получить в замкнутой аналитической форме их решения или интегральные

для них представления.

Рассмотрим стохастическую систему Ито (1.1), (1.2), динамика которой

задается мультипликативным уравнением марковского типа

(1.1)

dx_t = a(t, x_t)dt + b(t)(x_t; dw(t)), x_t ∈ R^d, w(t) ∈ R^r, x₀

= const

(с коэффициентами, зависящими, вообще говоря, от t), а вынуждающая сила

определяется случайной функцией f с дифференциалом

(1.2)

df(t) = (B₁(t)u_t + B₂(t)υ_t)dt + B₀₁(t)u_tdw₁(t) + B₀₂(t)υ_tdw₂

(t),

где u_t и υ_t — векторные сигналы управления и внешнего возмущения соот-

ветственно; w(t), с индексами или без них, обозначает векторный винеров-

ский процесс. Уравнение (1.1) предполагается линейным по вектору состоя-

ния x_t, так что a(t, x) = A(t)x, где A(t) ∈ R^d×d — матрица d × d при каждом t,

а диффузионная компонента определена функцией b(t)(· ; ·) двух перемен-

ных (x, h) ∈ R^d × R^r, принимающей значения в R^d, при этом отображение

R^d × R^r → R^d является билинейным. Тем самым при фиксированном h опе-

ратор B(t)h, определенный соотношением (B(t)h)x = b(t)(x; h), — линейный

R^d → R^d. Все матричные функции в (1.1), (1.2) предполагаются непрерывны-

ми на каждом конечном интервале значений параметра t. Система (1.1), (1.2)

называется ниже (x, u, υ)-мультипликативной; в частности, система (1.1)

(x)-мультипликативна. Мультипликативные модели типа (1.1), (1.2) исполь-

зуются, в частности, в теории H₂/H_∞ — оптимизации стохастических си-

стем [1].

Цель статьи

— получение в интегральном виде решения линейного

(x, u, υ)-мультипликативного уравнения или стохастического аналога его

фундаментальной матрицы. Поясним, о какой фундаментальной матрице

и каком решении в интегральном виде идет речь. Как известно, в детер-

минированном случае решение линейного дифференциального уравнения

x = A(t)x + B(t) имеет вид

∫t

(1.3)

x(t) = R(t, t₀)x₀ +

R(t, τ)B(τ)dτ,

t₀

где R(t, t₀) — резольвента (или фундаментальная матрица) однородного, при

B = 0, уравнения; см., например, [2, стр. 144]. Функция R(t,t₀)x₀ есть об-

щее решение однородного уравнения, принимающее значение x₀ при t = t₀,

а интеграл в (1.3) — это решение возмущенного уравнения, обращающееся в

нуль при t = t₀. В стохастическом случае фундаментальная матрица урав-

нения (1.1) является матричной случайной функцией Φ(t, τ), а общее решение

возмущенного уравнения, руководствуясь аналогией с (1.3), следует задавать

формулой

∫^t

(1.4)

x(t) = Φ(t, t₀)x₀ +

Φ(t, τ) ◦ df(τ),

t₀

в которой интеграл является стохастическим; через ◦ df обозначен диффе-

ренциал Стратоновича; см., например, [3, стр. 105-109]. Интеграл выбира-

ется стохастическим в смысле Стратоновича по той причине, чтобы пра-

вило дифференцирования сложной функции t → f(ξ¹(t), . . . , ξ^d(t)) представ-

лялось в том же виде, что и в классическом исчислении, а именно в виде

∑_d

∂f

df =

◦ dξⁱ [3]. Запись интеграла в форме Стратоновича делает воз-

i=1 ∂xⁱ

можным распространение некоторых теоретико-групповых методов на сто-

хастический случай. Как известно [4], в детерминированном случае теоре-

тико-групповые концепции позволяют преодолеть трудности исследования

многомерных систем, вызванные некоммутативностью матричных коэф-

фициентов, задающих динамику системы. Возможно, те же концепции могут

оказаться полезными и в проблеме мультипликативности.

Некоторые примеры применения теоретико-групповых методов к стати-

стическим исследованиям известны в литературе. Приведем небольшой спи-

сок публикаций (см. [5-11]), тематически близких к задаче анализа мульти-

пликативных систем. В [5] рассмотрена задача численной аппроксимации ре-

шения стохастического уравнения вида

∑

dx_t = (Ax_t + f(x_t))dt + (B_ix_t + g_i(x_t))dw_i, x(0) = x₀ ∈ R^d

i=1

c нелинейными функциями f, g_i : R^d → R^d и матрицами A, B_i ∈ R^d×d, удо-

влетворяющими следующим условиям: A, B_i принимают значения в матрич-

ной алгебре Ли g с коммутаторными соотношениями [A, B_i] = 0, [B_i, B_j ] = 0

для всех i, j. На фоне работ по теоретико-групповому анализу детермини-

рованных уравнений, число которых в последнее время явно поубавилось,

см. об этом обзор [6], анализ свойств решений и численные алгоритмы на-

хождения решений (так называемых экспоненциальных интеграторов) для

стохастических уравнений остается активной областью исследования урав-

нений как мультипликативных, так и с аддитивными шумами; см., напри-

мер, [7, 8]. В [9] иследован вопрос о среднеквадратической устойчивости чис-

ленных методов вычисления экспоненциальных интеграторов. Как показа-

но в [10], теоретико-групповые методы оказались эффективными и для чис-

ленного интегрирования уравнений с частными производными. Среди работ

отечественных авторов отметим исследование мультипликативного стохасти-

ческого дифференциально-операторного уравнения с операторами A, B, дей-

ствующими в сепарабельном гильбертовом пространстве [11]. В работе пред-

полагается, что оператор A порождает полугруппу операторов S(t), t > 0

класса C₀; это гарантирует корректность задачи Коши для невозмущенно-

го уравнения

^X (t) = AX(t).

В задаче, решаемой в данной статье, рассматривается конечномерное

мультипликативное уравнение, для вычисления резольвентного аналога ко-

торого применяется теоретико-групповой метод, являющийся обобщением на

стохастический случай детерминированного метода Вея-Нормана [12] нахож-

дения резольвент линейных дифференциальных уравнений. В общих чер-

тах суть метода Вея-Нормана заключается в следующем. Если в матричном

уравненииΦ(t) = B(t)Φ(t), Φ(0) = E (E - единичная матрица) неслучайная

функция B(t) принимает значения в матричной алгебре Ли g, то решение Φ(t)

принадлежит соответствующей группе Ли G. При этом один из способов по-

строения решения Φ(t) состоит в представлении его конечным произведением

матричных экспонент

(1.5)

Φ(t) = exp(s₁(t)A₁) . . . exp(s_m(t)A_m

где {A₁, . . . , A_m} — базис минимальной алгебры Ли g, порожденной матрица-

ми A(t) при всех t, а s_i(t), i = 1, . . . , m — некоторые вещественные функции.

Нахождение искомых s_i(t) сводится к решению некоторой системы нелиней-

ных дифференциальных уравнений [12]. В основе предлагаемого здесь обоб-

щения метода Вея-Нормана на случай мультипликативного уравнения Ито

лежит запись последнего в форме уравнения Стратоновича-Фиска и поиск

решения последнего в виде произведения матричных экспонент exp(A_is_i(t)) с

искомыми семимартингалами (по терминологии, принятой в [3]) s_i(t). Отно-

сительно матриц A_i, i = 1, . . . , m, предполагается, как и в детерминированном

случае, что они образуют базис некоторой матричной алгебры Ли.

Применения теории групп к задачам анализа и отыскания решений де-

терминированных дифференциальных уравнений широко известны по мо-

нографической литературе; см., например, [4, 13, 14]. Приложения к теории

стохастических дифференциальных уравнений значительно более скромные;

из учебной литературы отметим [3, 15, 16]. Изложение теоретико-группового

метода Вея-Нормана к задаче вычисления резольвент мультипликативных

уравнений Ито в литературе, кажется, не встречалось.

2. Постановка задачи

При характеризации в предыдущем разделе стохастической системы как

заданной (x, u, υ)-мультипликативным уравнением Ито было сделано разде-

ление уравнения на динамическую его часть и вынуждающую силу, от век-

тора состояния системы не зависящую. Это продиктовано характером по-

ставленной задачи — вычислить фундаментальную матрицу (резольвенту)

стохастического уравнения Ито, которая определяется только его однород-

ной, зависящей от x_t частью. Вычислив резольвенту, не трудно получить

затем интегральное представление решения уравнения. Руководствуясь этим

соображением, можно от общей (x, u, υ)-мультипликативной системы перей-

ти сначала к ее динамической части, т.е. к уравнению (1.1), которое является

мультипликативным только по состоянию.

Перечислим решаемые в статье задачи. Первой задачей является определе-

ние двух видов диффузионной компоненты b(t)(x_t; dw(t)) уравнения (1.1) —

винеровского и мартингального. Вторая задача, в разделах 3, 4, — это за-

пись мультипликативного уравнения (1.1) в симметризованной форме Стра-

тоновича-Фиска. Третья задача — получение интегрального представления

решения мультипликативного уравнения (1.1). Здесь в несколько более об-

щем случае диффузионного уравнения с матрицей σ(t, x), зависящей аффин-

но (а не просто линейно) от x, см. раздел 5, возникает интересный феномен

появления дополнительной вынуждающей силы в интегральном представле-

нии для решения уравнения. При решении в разделах 6 и 7 двух последующих

задач возникают теоретико-групповые аспекты решения мультипликативного

уравнения, записанного в симметризованной форме, с разрешимой (в разде-

ле 6) алгеброй Ли и с произвольной в разделе 7 алгеброй Ли для матричных

коэффициентов диффузионной компоненты уравнения. Уравнение в разде-

ле 7 задано при этом в несимметризованной мартингальной форме вместо

винеровских процессов. В отдельном разделе приведен пример нахождения

резольвенты уравнения теоретико-групповым методом. Заключительные за-

мечания и список цитированной литературы завершают работу.

3. Винеровское и мартингальное представления

диффузионной компоненты

Оба представления дифференциального уравнения — по винеровскому

процессу и по мартингалу для возмущающих сил — достаточно интересны в

мультипликативной теории. Мартингальное уравнение рассматривается по-

дробнее в разделе 7.

Предложение 1. Диффузионная компонента b(t)(x_t;dw(t)) однородно-

го уравнения (1.1) допускает следующие равносильные представления:

(а) b(t)(x_t; dw(t)) = (B₁(t)x_t, . . . , B_r(t)x_t)dw(t), где B_j(t), j = 1, . . . , r —

матрица размера d × d;

∑

(b) b(t)(x_t; dw(t)) =

A_ix_tdζⁱ(t), где A_i, i = 1,... ,m — матрицы d × d,

i=1

∑

а dζⁱ(t) =

b^ij(t)dw^j(t), b^ij(t) ∈ R, где ζⁱ(t) — мартингалы.

j=1

Доказательство. Как отмечалось в разделе 1, диффузионная часть

b(t)(x_t; dw(t)) линейного уравнения при каждом t задается билинейным отоб-

ражением b(t) произведения V × H, где V = R^d, H = R^r, векторных про-

странств в пространство V . При фиксированном h ∈ H оператор B(t)h, опре-

деленный равенством (B(t)h)x = b(t)(x; h), является элементом простран-

ства End V линейных операторов из V в V . Пусть {h_j , j = 1, . . . , r} — базис_∑

в H такой, что в разложении w(t) = w^j(t)h_j винеровские процессы w^j(t)

взаимно независимы. Имеем

⎛

⎞

∑

b(t)(x; dw(t)) = b(t)^⎝x;

dw^j (t)(b(t)h_j )⎠ =

dw^j (t)(B(t)h_j )x,

j=1

где B(t)h_j ∈ End V . Обозначив B_j (t) := B(t)h_j , получим утверждение (а)

b(t)(x_t; dw(t)) = (B₁(t)x_t, . . . , B_r(t)x_t)dw(t) предложения 1. Таким образом,

зависимость b(t) от x задается набором из r произвольных квадратных d × d

матриц B_j (t), не обязательно линейно независимых; см. [1, 17].

Далее, пусть {A_i, i = 1, . . . , m} — базис линейного подпространства L ⊂

∑_m

⊂EndV , порожденного операторами B(t)h_j. Полагая B(t)h_j =

b^ij(t)A_i,

i=1

∑_r

j = 1,...,m, где b^ij(t) ∈ R, и вводя обозначения dζⁱ(t) :=

b^ij(t)dw^j(t),

j=1

∑_m

i = 1,...,m, будем иметь b(t)(x;dw(t)) =

dζⁱ(t)A_ix, что завершает

i=1

доказательство предложения

1. Ниже без потери общности принимаем

dim L = m = r.

При доказательстве предложения 1 снос a(t, x_t)dt в уравнении (1.1) не

учитывался. Неявно он предполагался нулевым. Его действительно можно

обратить в нуль известным преобразованием (разумеется, при этом (1.1) за-

менится уравнением с другим билинейным отображением b(t)). В самом де-

ле, пусть y_t = Λ-1tx_t, где Λ_t — матричная экспонента, удовлетворяющая, как

∫t

известно, интегральному уравнению Λ_t = E +

a(s)Λ_sds с начальным усло-

вием Λ₀ = E. Так как dy_t = (dΛ-1t)x_t + Λ-1tdx_t и dΛ-1t = -Λ-1ta(t)dt, то

dy_t = Λ-1ta(t)x_tdt + Λ-1tb_t(x_t; dw(t)) - Λ-1ta(t)x_tdt

(заметим, что матрицы a(t) и Λ_t коммутируют), тем самым получаем уравне-

ние dy_t = Λ-1tb_t(Λ_ty_t; dw(t)) с нулевым сносом. Видим, что определенные вы-

ше в предложении 1 матрицы B_j(t) заменяются матрицамиΛt = Λ-1tB_j(t) Λ_t,

j = 1,...,r.

Выясним теперь, как преобразовать мультипликативное уравнение (1.1)

к симметризованной форме Стратоновича-Фиска. Выше уже отмечалось,

что такое преобразование является необходимым требованием предлагаемой

здесь методологии.

Предложение 2. В симметризованной форме Стратоновича-Фиска

уравнение состояния (1.1), записанное в виде

(3.1)

dx_t = a(t)x_tdt + (B₁(t)x_t, . . . , B_r(t)x_t

)dw(t)

(см. предложение 1,(a)) принимает вид

∑

(3.2)

dx_t = a(t)x_tdt + B₀(t)x_tdt +

B_j(t)x_t ◦ dw^j

(t),

j=1

∑_r

где B₀(t) := -1/2

B2j(t).

j=1

Доказательство. Отправляясь от теории уравнения марковского типа

(3.3)

dx_t = a(t, x_t)dt + σ(t, x_t

)dw(t),

в котором не предполагается даже линейности по x_t функций a(t, x_t) и σ(t, x_t)

(см., например, [3]), запишем уравнение (3.3) в координатной форме

∑

dx^it = aⁱ(t, x_t)dt +

b^ij(t,x_t)dw^j(t), i = 1,... ,d.

j=1

Согласно общей теории, уравнение (3.3), с использованием дифференциала

Стратоновича-Фиска, представляется в виде

(3.4)

dx_t = a(t, x_t)dt + σ(t, x_t

) ◦ dw(t),

где вектор a(t, x) имеет компоненты

)

∑∑(

∂

(3.5)

aⁱ(t,x) = aⁱ(t,x) - 1/2

b^ik(t,x) b^jk

(t, x).

∂x^j

j=1 k=1

Напомним, что стохастический дифференциал Ито dw^j (t) и дифференциал

◦dw^j (t) связаны формулой

(3.6)

x_tdw^q(t) = x_t ◦ dw^q(t) - 1/2dx_tdw^q

(t).

Рассмотрим уравнение (3.1) в форме

∑

(3.7)

dx_t = a(t)x_tdt +

B_j(t)x_tdw^j

(t)

j=1

и обратимся к формуле (3.6). Поскольку x_tdw^j (t) = x_t ◦ dw^j (t) - 1/2dx_tdw^j (t),_∑

имеем, игнорируя пока снос в (3.7), уравнение dx_t =_j B_j (t)x_t ◦ dw^j (t) -

∑

-1/2

B_q(t)dx_tdw^j(t). Замечая, что

∑

dx_tdw^j (t) =

B_k(t)x_tdw^k(t)dw^j(t) =

B_k(t)x_tδ_jkdt = B_j(t)x_tdt,

уравнение (3.1) в преобразованном виде можно записать как

∑

(3.8)

dx_t = a(t)x_tdt +

B_j(t)x_t ◦ dw^j(t) - 1/2

B2j(t)x_t

dt,

j=1

что и требовалось. Снос в этом уравнении определяется матрицей A(t) :=

∑_r

:= a(t) - 1/2

B2j(t); его можно обратить в нуль, перейдя к вектору со-

j=1

∫t

стояния y_t = Λ-1tx_t, где Λ_t = E +

A(s)Λ_sds.

В частности, если матрицы B_j(t), j = 1, . . . , r, коммутируют, то решение

последнего уравнения записывается в виде произведения

⎧

⎫

∫

∏

⎨∫t

⎬

x_t =

exp

B_q(s)dw^q(s) - 1/2 B2q(s)ds

x₀.

⎩

⎭

q=1

Также ясно, что матрицы B_q(t) и B2q(t) коммутируют, вследствие чего мно-

жители в произведении можно представить в виде

⎧

⎫

⎧

⎫

∫

⎨∫t

⎬

⎨

⎬

exp

B_q(s)dw^q(s)

exp

-1/2

B2q(s)ds

q = 1,...,r.

⎩

⎭

⎩

⎭

Решением уравнения dx_t = B_q(t)x_t ◦ dw^q(t) с нулевым сносом, с начальным

}

{∫

условием x₀ является функция U_q(t)x₀ = exp

B_q(s)dw^q(s) x₀. Отображе-

ние t → U_q(t) является стохастической резольвентой этого уравнения.

4. Стохастическая резольвента мультипликативного уравнения

В мультипликативном уравнении типа

∑

(4.1)

dx_t = a(t)x_tdt +

B_j(t)x_t ◦ dw^j

(t)

j=1

неслучайную компоненту a(t)x_tdt можно, как было отмечено в разделе 3,

обратить в нуль и, следовательно, без потери общности считать уравнение

∑_r

заданным в виде dx_t =

B_j(t)x_t ◦ dw^j(t) с новыми матричными коэф-

j=1

фициентами. Для этого положим y_t = Λ-1tx_t. Тогда dy_t = Λ-1tb(t)(x_t; dw(t)).

∑_r

Поскольку b(t)(x_t; dw(t)) =

B_j(t)x_tdw^j(t), то

j=1

∑

(4.2)

dy_t =

B_j(t)Λ_ty_t ◦ dw^j

(t).

j=1

В рамках теоретико-группового формализма именно матрицы

B_j(t) =

= Λ-1tB_j(t)Λ_t, а не исходные матрицы B_j, j = 1,... ,r, должны порождать

∫t

алгебру Ли, основную в методе Вея-Нормана, где Λ_t = exp

a(s)ds — экспо-

∫t

нента матричной функции t →

a(s)ds.

Дадим теперь определение (стохастической) резольвенты уравнения, ли-

нейного по x_t. Если Ψ_t — решение уравнения

∑

(4.3)

dΨ_t = Λ-1tB_j (t)Λ_tΨ_t ◦ dw^j (t), Ψ_t|t=0

j=1

с нулевым сносом, то фундаментальную матрицу (резольвенту) Φ(t) исход-

ного уравнения (4.1) определим формулой Φ(t) = Λ_tΨ_t. Но так как уравне-

∑_r

ние (4.1) равносильно уравнению Ито dx_t =

dw^j (t)B_j (t)x_t, то, следова-

j=1

тельно, Φ(t) удовлетворяет уравнению Стратоновича

∑

(4.4)

dΦ_t = a(t)Φ_tdt +

B_j(t)Φ_t ◦ dw^j(t), Φ_t|t=0

= E.

j=1

Если f(t) — вынуждающая сила в неоднородном стохастическом уравнении,

то решение последнего должно иметь интегральное представление (1.4).

5. Интегральное представление Коши решения мультипликативного

уравнения с аффинными коэффициентами

Уравнения с аффинными коэффициентами необходимы в теории таких

линейных управляемых систем, которые мультипликативны не только по

вектору состояния, но и по векторам управления и внешнего возмущения.

Теория стохастической резольвенты предыдущего раздела касалась мульти-

пликативного уравнения с линейными, но не аффинными коэффициентами.

Теперь рассмотрим векторное уравнение (с векторным винеровским процес-

сом) вида

(5.1)

dx_t = a(t, x_t)dt + σ(t, x_t)d w(t), x₀ ∈ R^d,

где a(t, x) = a(t)x + a₀(t), σ(t, x) = B(t, x) + b₀(t), a(t) ∈ R^d×d, a₀(t) ∈ R^d,

B(t, x), b₀(t) ∈ R^d×r, w(t) ∈ R^r. Как установлено в разделе 4, см.(4.1), если

(5.1) — мультипликативная система, то B(t, x) = (B₁(t)x, . . . , B_r(t)x) — мат-

рица со столбцами B_j (t)x, где B_j(t) ∈ R^d×d, j = 1, . . . , r. Далее, b₀(t) — мат-

рица со столбцами b0j (t), j = 1, . . . , r. Частный случай одномерной (x_t ∈ R)

системы с аффинными коэффициентами и скалярным w(t) рассмотрен в [15].

В векторном случае x_t ∈ R^d найдем фундаментальную матрицу уравне-

ния (5.1).

Предложение 3. Решение мультипликативного уравнения с аффин-

ными относительно x_t коэффициентами имеет следующее интегральное

представление:

⎛

⎞

∫

∑

(5.2) x_t = Φ_t ⎝x₀ + Φ-1

⎝a₀(s) - B_j(s)b0j (s)⎠ ds +

j=1

⎞

∫t

∑

+ Φ-1

b0j(s)dw^j(s)⎠ .

j=1

Здесь Φ_t — определенная в предыдущем разделе резольвента (4.1), записан-

ная для уравнения (5.1), в котором приняты условия a₀(t) = 0, b0j (t) = 0,

j = 1,...,r.

Заметим, что появление под интегралами в

(5.2), помимо a₀(s)ds +

∑r

b0j(s)dw^j(s), дополнительной вынуждающей силы B(s)b₀(s) :=

j=1

∑_r

:= -

B_j(s)b0j(s)ds (она вызвана “аффинной” добавкой b₀(s)) нельзя бы-

j=1

ло предвидеть заранее, но непосредственная проверка показывает, что функ-

ция (5.2) действительно удовлетворяет уравнению (5.1).

Доказательство. Снова обратимся к уравнению (5.1). В стохастиче-

ском случае применим метод, аналогичный детерминированному методу ва-

риации постоянной. Положим x_t = Φ_tη_t и рассмотрим η_t в качестве новой

неизвестной вместо x_t. Дифференцируя x_t = Φ_tη_t стохастически, получаем

dx_t = (dΦ_t)η_t + Φ_tdη_t + dΦ_tdη_t,

или в силу определения Φ_t как решения уравнения (4.4),

⎛

⎞

⎛

⎞

∑

dx_t =^⎝a(t)dt +

dw^j B_j(t)⎠ x_t + Φ_tdη_t + ⎝a(t)dt +

dw^j B_j(t)⎠ Φ_tdη_t.

j=1

Приравняв правые части этого уравнения и исходного уравнения (см. (5.1))

∑

(

)

dx_t = (a(t)x_t + a₀(t))dt +

dw^j B_j (t)x_t + b0j (t)

j=1

после сокращений получим

⎛

⎞

∑

(5.3)

⎝E + a(t)dt + dw^j (t)B_j (t)⎠ Φ_tdη_t = a₀(t)dt + b0j (t)dw^j

(t).

j=1

Поскольку, если действовать формально,

⎛

⎞-1

∑

⎝E+a(t)dt+dwjB_j(t)⎠

j=1

⎛

⎞

⎛

⎞₂

∑

= E - ^⎝a(t)dt + dw^jB_j(t)⎠ + ⎝a(t)dt + dw^jB_j(t)⎠ + ...

j=1

⎛

⎞₂

∑

⎝a(t)dt +

dw^j B_j(t)⎠

= B2jd(t),

j=1

из (5.3) получаем

⎛

⎞

∑

(5.4)

dη_t = Φ-1t ⎝a₀(t)dt -

B_j(t)b0j(t)dt +

dw^j (t)b0j (t)⎠ .

j=1

Это уравнение выражает тот факт, что η_t есть примитивная для правой части

в (5.3), так что интегрирование (5.4) дает в точности формулу (5.2). Будучи

выраженной через резольвенту R(t, s) = Φ_tΦ-1s, эта же формула дает инте-

гральное представление Коши решения мультипликативного уравнения (4.1)

с аффинными коэффициентами. Что и требовалось доказать.

6. Мультипликативное уравнение с разрешимой алгеброй Ли

В этом разделе исчерпывающее решение задачи об интегральном пред-

ставлении решения мультипликативного уравнения получается ценой силь-

ного предположения о том, что алгебра Ли, ассоциированная с уравнением,

является разрешимой. Результат с разрешимой алгеброй Ли получен Х. Ку-

нитой [18] и приведен в [3] в качестве одного из примеров¹. Уравнение со-

стояния предполагается здесь априори заданным в симметризованной форме

Стратоновича-Фиска, коэффициенты уравнения не зависят от t.

Итак, рассматривается уравнение (с постоянными коэффициентами)

∑

dx_t = (B₀x_t + b₀)dt + (B_px_t + b_p) ◦ dw^p(t),

(6.1)

p=1

B_p ∈ R^d×d, b_p ∈ R^d, p = 0,1,... ,d.

∑_d

Алгебра Ли, порожденная векторными полями L_p =

(B_px + b_p)^i∂

i=1

∂xⁱ

p = 0,1,...,r, разрешима, что имеет место при (B_p)^ij = 0 для i > j,

p = 0,1,...,r. Это условие означает, что в каждой из матриц B_p еe элементы

под главной диагональю равны нулю. В частности, при i = d единственным

ненулевым элементом последней, d-й строки является лишь диагональный

элемент (B_p)^dd, p = 0, 1, . . . , r. Из уравнения (6.1) следует, что при i = d

(

)

∑(

)

(6.2)

dx^dt = (B₀)^ddx^dt + b^d

dt +

(B_p)^ddx^dt + b^d

◦ dw^p

(t).

p=1

Это (скалярное) стохастическое уравнение аналогично детерминированному

в том смысле, что записано с использованием дифференциала Стратоновича-

Фиска, поэтому его решение имеет вид

⎛

⎞

∫

(6.3)

x^dt = ecd(t) ⎝xd0 + e-cd(s) ◦ df_d(s)⎠ ,

где функция c_d(t) под знаком экспоненты и вынуждающая сила f_d(t) заданы

соответственно формулами

∑

c_d(t) = (B₀)^dd t +

(B_p)^ddw^p(t), f_d(t) = bd0 t +

b^dpw^p(t).

p=1

Действуя аналогично, рассмотрим уравнение для xd-1t:

(

)

dxd-1t = (B₀)d-1d-1xd-1t + (B₀)d-1dx^dt + bd-1

dt +

(6.4)

∑(

)

(B_p)d-1d-1xd-1t + (B_p)d-1dx^dt + bd-1

◦ dw^p(t).

p=1

¹ Простой пример разрешимой алгебры Ли порождается группой трансляций плоско-

сти R² и вращений вокруг оси, к ней перпендикулярной. Алгебра Ли трехмерна, ее ком-

мутационными соотношениями являются [X1, X2] = 0, [X1, X3] = X2, [X3, X2] = X1 [19].

От xd-1t в правой части уравнения (6.4) зависит сумма

∑

(B₀)d-1d-1xd-1tdt +

(B_p)d-1d-1xd-1t ◦ dw^p(t).

p=1

Интеграл от коэффициента при xd-1t в этой сумме обозначим через

∑

cd-1(t) := (B₀)d-1d-1t +

(B_p)d-1d-1w^p(t).

p=1

Не зависящие от xd-1t слагаемые в правой части уравнения (6.4) образуют

сумму

(

)

∑(

)

(6.5)

dfd-1(t) := (B₀)d-1dx^dt + bd-1

dt +

(B)d-1dx^dt + bd-1

◦ dw^p

(t),

p=1

в которой x^dt уже известна как решение (6.3) уравнения (6.2). Решение урав-

нения (6.4) записывается, следовательно, в виде

⎛

⎞

∫

(6.6)

xd-1t = ecd-1(t) ⎝xd-10 + e-cd-1(s) ◦ dfd-1(s)⎠ .

Процедура последовательного решения скалярных уравнений для компо-

нент x^kt, k = n, n - 1, . . . , 1 вектора x_t ∈ Rⁿ вполне очевидна из вышеизложен-

ного. Однако не очевидной остается равносильность такой формы решения

и той, которая приведена в [3]. Чтобы равносильность установить, запишем

исходное уравнение (6.1) покомпонентно:

∑(

)

∑∑(

)

(6.7)

dx^it =

(B₀)^ijx^jt + bⁱ

dt +

(B_p)^ij x^jt + bⁱ

◦ dw^p

(t).

j≥i

p=1 j≥i

При фиксированном i cлагаемые в правой части, зависящие от x^jt c j ≥ i,

играют особую роль. Во-первых, дифференциал dx^it связан с переменной x^jt

∑_r

коэффициентом (B₀)^ij dt +

(B_p)^ij dw^p(t), интеграл от которого обозначим

p=1

через c^ij :

∑

c^ij(t) := (B₀)^ijt +

(B_p)^ij w^p(t), j = i, i + 1, . . . , d.

p=1

Диагональный элемент cⁱⁱ(t) этой матрицы совпадает с функцией, которая

выше обозначалась через c_i(t). Во-вторых, сумма слагаемых справа в (6.7) с

∑_d

индексами j > i получает представление

x^jt ◦ dc^ij(t). Наконец, члены,

j=i+1

вообще не зависящие от каких-либо компонент вектора x_t, образуют сумму

∑_r

b^ipdw^p(t) + bi0dt. Таким образом, решение системы уравнений (6.7) за-

p=1

дается формулами

⎛

⎞

∫t

∑

x^dt = ecd(t) ⎝xd0 + e-cd(s) ◦ df_d(s)⎠ , f_d(t) = bd0 t +

b^dp dw^p(t),

p=1

если i = d, и формулами

⎛

⎞

∫t

x^it = eci(t) ⎝xi0 + e-ci(s) ◦ df_i(s)⎠ ,

где

∫

∑

f_i(t) :=

x^j(s) ◦ dc^ij(s) + bi0t +

b^ipdw^p(t),

p=1

j=i+1 0

если i = d - 1, d - 2, . . . , 1 [3].

7. Алгебра Ли мультипликативного уравнения

с непрерывными семимартингалами

Рассмотрим чуть более общий случай уравнения Ито

∑

(7.1)

dx_t =

A_px_tdζ^p

(t), ζ(0) = 0

p=1

∫ t ∑m

с непрерывными семимартингалами ζⁱ(t) =

b^ij(t)dw^j(t) вместо вине-

j=1

ровских процессов w^j (t), j = 1, . . . , m. Матрицы A_p предполагаются неком-

мутирующими, порождающими произвольную конечномерную алгебру Ли.

Следует отметить, что тема о взаимодействии стохастической структуры

дифференциального уравнения с алгебраической теоретико-групповой струк-

турой его коэффициентов остается к настоящему времени недостаточно ис-

следованной.

Предположим, что уравнение имеет единственное решение x_t, t > 0, то-

гда x_t линейно зависит от x₀. Пусть x_t = U(t)x₀. Решением уравнения

dx_t = A_px_tdζ^p(t), ζ(0) = 0 c единственной матрицей A_p и супермартинга-_∑

лом ζ^p(t) является экспоненциальный супермартингал (если_j(b^pj)² < ∞)

σ_p(t) = eApζ^p(t)-1/2Ap<ζp>(t)σ_p(0),

∑

∫t

где < ζ^p

> (t) =_j

(b^pj)²(s)ds; см. [20, раздел 2.7]. Для получения решения

снова воспользуемся приемом, уже изложенным во введении, а именно: запи-

шем исходное уравнение Ито (7.1) в симметризованной форме Стратоновича-

Фиска и применим к полученному уравнению аналог детерминированного ме-

тода Вея-Нормана [12]. После этого не составит труда получить интегральное

представление решения уравнения (7.1).

100

Теорема. Пусть

∑

(7.2)

dx_t =

A_px_tdζ^p

(t), ζ(0) = 0

p=1

— стохастическая система с семимартингалами

∫t

∑

ζⁱ(t) =

b^ij(t)dw^j(t).

j=1

Функции b^pj(t) известны. Рассмотрим функции

∏

Fi = eXks

^kX_i

e-Xks^k ,

k=1

k=i-1

где X₁, . . . , X_n — базис алгебры Ли, порожденной матричными коэффициен-

тами A_p(t), p = 1, . . . , m, а sⁱ(t) — искомые функции. Тогда для дифференциа-

лов ◦dsⁱ(t) неизвестных функций sⁱ(t) справедлива система уравнений sⁱ(t):

∑

(7.3)

Fi(t) ◦ dsⁱ(t) =

A_p(t) ◦ dζ^p

(t).

i=1

p=1

Через функции sⁱ(t) выражается решение x_t = U(t)x₀ исходного уравне-

ния (7.1).

Доказательство. Имея в виду сделанные замечания, запишем урав-

нение

(7.1) в симметризованном виде. Имеем x_t · dζ^p(t) = x_t ◦ dζ^p(t) -

−1/2 dx_t · dζ^p(t), где

∑

dx_t · dζ^p(t) =

A_qx_t dζ^q(t) · dζ^p(t).

q=1

∑_r

Так как dζ^q(t) · dζ^p(t) =

b^qj(t)b^pj(t)dt =: c^qp(t)dt, где c^qp(t) — элементы

j=1

матрицы c(t) = b^∗(t)b(t) порядка m × m, а матрицы b(t) = (b^pj(t)) — порядка

r × m, то

∑

x_t · dζ^p(t) = x_t ◦ dζ^p(t) - 1/2

A_q x_tc^qp(t)dt,

q=1

и уравнение (7.1) записывается в виде

∑

(7.4)

dx_t = a(t)x_tdt +

A_px_t ◦ dζ^p

(t)

p=1

101

∑_m

с коэффициентом сноса a(t) = -1/2

A_pA_q c^qp(t). Фундаментальную

p,q=1

матрицу уравнения (7.3), как и выше в разделе 5, отыскиваем в ви-

∫t

де произведения Φ_t = Λ_tΨ_t, где матрица Λ_t = exp{

a(s)ds} удовлетворя-

ет матричному уравнению dΛ_t = a(t)Λ_tdt. Учитывая, что Ψ_t = Λ-1tΦ_t и

dΨ_t = (dΛ-1t)Φ + Λ-1tdΦ_t, а также dΛ-1t = -Λ-1t(dΛ_t)Λ-1t, для неизвестной

функции Ψ_t получаем матричное дифференциальное уравнение

∑(

)

(7.5)

dΨ_t =

Λ-1tA_pΛ_t

Ψ_t ◦ dζ^pt.

p=1

Матричный коэффициент сноса обращается здесь в нуль, а матричные

коэффициенты A_p исходного уравнения (7.1) переходят в коэффициен-

ты

A_p(t) = Λ-1tA_pΛ_t. В таком случае из теоремы Кемпбелла-Бейкера-

Хаусдорфа [21], согласно которой a, b ∈ L ⇒ e^abe^-a ∈ L, следует, что так-

же и

A_p ∈ L, p = 1,... ,m. Здесь возникает ограничение для применения

теоретико-групповых методов, вызванное необходимостью преобразования

уравнения Ито к его симметризованной форме. Возможно, по этой причине

в большинстве статистических приложений групповой анализ применяется к

уравнениям, заданным сразу в форме Стратоновича-Фиска.

Чтобы продолжить тему теоретико-группового анализа уравнения (7.5),

здесь тоже предположим, что матричные коэффициент

A_p(t) = Λ-1tA_pΛ_t в

уравнении (7.5) известные априори заданные и^L есть порожденная ими при

всех t алгебра Ли с некоторым базисом {X₁, . . . , X_n}, тогда к алгебре^L можно

применить метод Вея-Нормана. Ниже допущение о существовании алгебры

Ли^L для уравнения (7.5) считаем выполненным.

Намереваясь искать фундаментальную матрицу Ψ_t в виде произведения

∏n

eXisⁱ(t) с неизвестными скалярными функциями sⁱ(t), рассмотрим мат-

i=1

ричную функцию

u(s) = u(s₁, . . . , s_n) = eX1s¹ · · · eXnsⁿ , s_i ∈ R, i = 1, . . . , n

(предостерегаем от смешения числовой переменной s_i с функцией sⁱ(t)). Част-

∏_n

∂

∏i-1

ная производная

u(s) равна usi =

eXks^k Xik=i eXks^k , что можно за-

∂s_i

k=1

∏₁

∏i-1

писать в виде usi = F_iu(x), где обозначено F_i =

eXks^k Xik=i-1 e-Xks^k.

k=1

Поэтому дифференциал Стратоновича-Фиска функции t → Ψ_t = u(s¹(t),

...,sⁿ(t)) равен

∑

dΨ_t = F_i(t)Ψ_t ◦ dsⁱ(t),

i=1

где F_i(t) получается из формулы для F_i подстановкой в нее sⁱ(t) вме-

сто s_i для всех i = 1, . . . , n. Сравнивая dΨ_t с дифференциалом для Ψ_t

из уравнения (7.5), которое (заменив m на n) перепишем в виде dΨ_t =

∑_n

A_p(t)Ψ_t ◦ dζ^p(t), получим, после сокращения на неособенную мат-

p=1

102

рицу Ψ_t, основное уравнение для дифференциалов ◦ dsⁱ(t) искомых процес-

сов sⁱ(t):

∑

(7.6)

Fi(t) ◦ dsⁱ(t) =

A_p(t) ◦ dζ^p

(t).

i=1

p=1

Напомним еще раз, что имеют место соотношения

∑

dζ^p(t) =

b^pj(t)dw^j(t), p = 1,... ,n, ds^q(t) =

g^qj(t)dw^j(t), q = 1,... ,n,

j=1

где функции b^pj(t) известны, а функции g^qj(t) искомые, при этом n = dim^L.

Если разложить обе части основного уравнения (7.6) по базису {X₁, . . . , X_n}

алгебры Ли^L, то получим систему уравнений, связывающих неизвестные

функции g^pj с известными b^pj. Уравнение (7.6) получено в предположении, что

коэффициент сноса a(t), см. уравнение (7.4), равен нулю. Последнее обеспе-

чено преобразованием исходного уравнения (7.4) к уравнению (7.5). Доказа-

тельство завершено.

8. Пример

Рассмотрим пример решения уравнения Ито типа (7.1), в котором пред-

положение a(t) = 0 нарушается, но по-прежнему a(t) ∈L. Фундаментальная

матрица уравнения состояния находится в виде произведения экспоненци-

альных семимартингалов. Это пример использования модификации метода

Вея-Нормана (его стохастического варианта).

Найдем фундаментальную матрицу U_t стохастического уравнения dx_t =

∑₃

X_px_tdζ^p(t), dζ^p(t) =

b^pj(t)dw^j(t), ζ_i(0) = 0. Пусть L = L₃ — ал-

p=1

j=1

гебра Ли размерности dim L = 3 с базисом (X_i) и таблицей умножения

[X₁, X₂] = X₃, [X₂, X₃] = [X₁, X₃] = 0. Алгебра L₃ допускает представление

(3 × 3)-матрицами X₁ = E₁₂, X₂ = E₂₃, X₃ = E₁₃ (E_ij — матричные канони-

ческие единицы), при этом X2i = 0 для всех i. Матрицу U_t будем искать в

∏₃

виде произведения U_t =

exp{sⁱ(t)X_i}, где компоненты Z_k(t) = s^k(t)X_k

i=1

отсутствуют в силу X2k = 0, а функции sⁱ(t) — подходящим образом подо-

∑₃

бранные случайные процессы с дифференциалами ds^k(t) =

g^kj(t)dw^j(t),

j=1

s^k(0) = 0. Положим

F₁(t) = X₁, F₂(t) = eZ1(t)X₂e-Z1(t), F₃ = eZ1(t)eZ2(t)X₃e-Z2(t)e-Z1(t).

Непосредственно проверяется, что

X2i = 0

∀i, F₁ = X₁, F₂ = X₂ + s₁X₃, F₃ = X₃, F₁F₂ = X₃,

остальные F_iF_j нулевые. Используя изложенную в разделе 3 модифика-

цию метода Вея-Нормана составления уравнений для неизвестных функций

103

(в этом примере ими являются sⁱ(t)), получим уравнение

∑

Fidsⁱ =

X_idζⁱ.

i=1

Учитывая формулы для F_i в разложении по базисным X_i, из этого уравнения

получаем

(8.1)

ds¹ = dζ¹, ds² = dζ², ds³ = dζ³ - s¹ds² - ds¹ds².

Чтобы проверить правильность полученного решения, найдем стохастиче-

ский дифференциал функции U_t, вычислив предварительно саму функцию.

exp{s¹X₁} = I + s¹X₁, exp{s²X₂} = I + s²X₂, exp{s³X₃} = I + s³X₃,

то, перемножая, находим U_t = I + s¹X₁ + s²X₂ + (s³ + s¹s²)X₃, и, стало быть,

dU_t = X₁ds¹ + X₂ds² + X₃(ds³ + d(s¹s²)), где, разумеется, d(s¹s²) = s¹ds² +

+s²ds¹ + ds¹ ds². Подставив сюда выражения для dsⁱ из (8.1), после сокра-

щений получаем X₁dζ¹ + X₂dζ² + X₃dζ³, что совпадает с коэффициентом в

правой части исходного уравнения Ито. Таким образом, решение стохастиче-

ского уравнения Ито найдено в виде произведения стохастических семимар-

тингалов (“стохастических экспонент”).

9. Заключение

В основе интегрального представления решения линейного стохастическо-

го уравнения лежит, как и в детерминированном случае, фундаментальная

матрица решений, через которую выражается функция Грина для неодно-

родного уравнения. При отыскании фундаментальной матрицы многомерно-

го уравнения основная трудность заключается в некоммутативности матрич-

ных коэффициентов сноса и диффузионной компоненты.

Некоммутативность матриц преодолевается известным способом, если они

находятся в инволюции. Обращаясь к методологии теории групп, следует

предположить, что коэффициенты уравнения принадлежат некоторой мат-

ричной алгебре Ли L, замкнутой относительно матричного коммутатора. Для

линейной системы с диффузионными компонентами, зависящими только от

винеровских процессов, но не зависящими от вектора состояния, ассоцииро-

ванная с системой алгебра Ли устроена довольно просто: она порождается

коэффициентами диффузии и сноса. В случае диффузии, зависящей линей-

но от вектора состояния, требуется предварительное преобразование исходно-

го уравнения к форме, использующей дифференциал Стратоновича-Фиска.

Коэффициент сноса становится при этом зависящим от квадратов коэффи-

циентов диффузии, а диффузионные коэффициенты, в свою очередь, пре-

терпевают преобразования, зависящие от коэффициента сдвига. И только в

коммутативном случае (или в случае разрешимой алгебры), удается избе-

жать отмеченных трудностей. Таким образом, положение дел с приложением

104

стандартных теоретико-групповых концепций к стохастическому уравнению

оказывается не вполне удовлетворительным. Возможно, какая-то иная, чем

алгебра Ли, алгебраическая структура, окажется в этой задаче более подхо-

дящей, но выяснение этого вопроса требует дополнительного изучения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Petersen I.R., Ugrinovsky V.A., Savkin A.V. Robust Control Design using H_∞-

methods. London. Springer. ISBN 1-85233-171-2. 2006.

Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. М.:

Мир, 1971.

Ватанабэ С., Икеда Н. Стохастические дифференциальные уравнения и диф-

фузионные процессы. М.: Наука, 1986.

Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: Мир,

1989.

Erdogan U., Lord G.J. A New Class of Exponential Integrators for Stochastic

Differential Equations with Multiplicative Noise // arXiv:1608.07096v2. 2016.

Hochbruck M., Ostermann A. Exponential Integrators // Acta Numerica. 2010.

No. 19. P. 209-286.

Mora C.M. Weak Exponential Schemes for Stochastic Differential Equations with

Additive Noise // IMA J. Numer. Anal. 2005. V. 25. No. 3. P. 486-506.

Jimenez J.C., Carbonell F. Convergence Rate of Weak Local Linearization Schemes

for Stochastic Differential Equations with Additive Noise // J. Comput. Appl. Math.

2015. V. 279. P. 106-122.

Komori Y., Burrage K. A Stochastic Exponential Euler Scheme for Simulation of

Stiff Biochemical Reaction Systems // BIT. 2014. V. 54. No. 4. P. 1067-1085.

10.

Lord G.J., Tambue A. Stochastic Exponential Integrators for the Finite Element

Discretization of SPDEs for Multiplicative and Additive Noise // IMECO J. Numer.

Anal. 2012. drr059.

11.

Мельникова И.В., Альшанский М.А. Стохастические уравнения с неограничен-

ным операторным коэффициентом при мультипликативном шуме // Сиб. мат.

журн. 2017. Т. 58. № 6. С. 1354-1371.

12.

Wei J., Norman E. On global representations of the solutions of linear differential

equations as a product of exponentials // Proc. Amer. Math. Soc. 1964. V. 15. No. 2.

P. 327-334.

13.

Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука,

1978.

14.

Миллер У. Симметрия и разделение переменных. М.: Мир, 1981.

15.

Каллианпур Г. Стохастическая теория фильтрации. М.: Наука, 1987.

16.

Хида Т. Броуновское движение. М.: Наука, 1987.

17.

Шайкин М.Е. Мультипликативные стохастические системы с несколькими

внешними возмущениями // АиT. 2018. № 2. С. 122-134.

Shaikin M.E. Multiplicative Stochastic Systems with Multiple External Distur-

bances // Autom. Remote Control. 2018. Vol. 79. No. 2. P. 299-309.

105