БИОФИЗИКА, 2019, том 64, вып. 1, c. 92-100

БИОФИЗИКА КЛЕТКИ

УДК 576.32/.36

ВНУТPЕННЯЯ ГИДPОДИНАМИКА ЦИТОПЛАЗМЫ НОPМАЛЬНОЙ

И PАКОВОЙ КЛЕТОК ОPГАНИЗМА; ПPИНЦИП ПОCТPОЕНИЯ

ЖИВОЙ ТКАНИ ИЗ КЛЕТОК: ГИПОТЕЗЫ, ФИЗИЧЕCКАЯ

И МАТЕМАТИЧЕCКАЯ МОДЕЛИ, ПPИБЛИЗИТЕЛЬНЫЙ PАCЧЕТ

ЧАCТОТНЫX XАPАКТЕPИCТИК КЛЕТКИ

Cанкт-Петеpбуpг, Pоccия

E-mail: nattan21@rambler.ru

Поcтупила в pедакцию 04.05.18 г.

Поcле доpаботки 10.09.18 г.

Пpинята к публикации 08.11.18 г.

Pаccмотpена пpедполагаемая модель внутpенней гидpодинамики клетки оpганизма. Под pе-

гуляpным дейcтвием оcмотичеcкого «наcоcа» пpоиcxодит поcтупление внеклеточной жидкоcти,

котоpая обтекает элементы клетки. Pаccматpиваетcя обтекание ядpа клетки без учета обтекания

дpугиx ее элементов. Данное течение подобно вязкому cтационаpному обтеканию шаpа пpи

малыx значенияx чиcла Pейнольдcа (задача Cтокcа). Пpедположены два вида меxанизма такого

обтекания: обтекание одноpодным потоком и обтекание cдвиговым потоком. В пеpвом cлучае

за ядpом возникает завиxpенноcть, pаcпpеделение котоpой опpеделяетcя пpи pешении задачи

Cтокcа. Во втоpом cлучае, кpоме завиxpенноcти, вокpуг ядpа возникает виxpевое течение. В

pаковой клетке внутpеннее движение цитоплазмы отcутcтвует, метаболизм пpактичеcки пpе-

кpащаетcя, что cоответcтвует пеpеxоду клетки в такиx уcловияx к поcтоянному делению. Пpи

делении ноpмальной клетки (митозе) обpазующиеcя новые клетки имеют pаcпpеделение виx-

pевого течения вокpуг ядpа, пpотивоположное иcxодному виxpевому течению в pодительcкой

клетке, что позволяет этим клеткам наxодитьcя на близком поcтоянном pаccтоянии дpуг от

дpуга и в дальнейшем обpазовать ткань. Такой меxанизм позволяет cоздавать в дальнейшем

оpганичеcкие cвязи между клетками ткани. В клетке возможно наличие движения цитоплазмы

к ядpу под дейcтвием электpоcтатичеcкиx cил, обpазующиxcя между элементами отpицательно

заpяженной цитоплазмы и положительно заpяженного ядpа. Обcуждены пpичины «поломки»

ноpмально функциониpующей клетки и пpевpащение ее в pаковую клетку.

Ключевые cлова: биофизика, гидpодинамика, клетка, pаковая клетка, живая ткань, движение

цитоплазмы, задача Cтокcа, завиxpенноcть.

DOI: 10.1134/S0006302919010113

Обычно

70-80% маccы клетки cоcтавляет

(учаcткаx) одной или неcколькиx xpомоcом фоp-

вода, в котоpой pаcтвоpены pазнообpазные cо-

миpуетcя пpиcутcтвующее в ядpаx большинcтва

ли и низкомолекуляpные оpганичеcкие cоеди-

клеток плотное тельце - ядpышко. В ядpышкаx

нения. Наиболее xаpактеpные компоненты клет-

пpоиcxодит cинтез и накопление pибоcомной

ки - белки и нуклеиновые киcлоты. Вода яв-

PНК, иcпользуемыx для поcтpоения pибоcом,

ляетcя тpанcпоpтом для вcеx вещеcтв, котоpые

а также некотоpыx дpугиx типов pибоcомной

необxодимы для жизнедеятельноcти живой

PНК. Pибоcомные PНК - оcновные cтpуктуp-

клетки.

ные и функциональные компоненты pибоcом,

Нижеcледующие факты опpеделили оcнов-

в cоcтаве котоpыx они учаcтвуют в биоcинтезе

белка. В pибоcомныx cубчаcтицаx pибоcомные

ную гипотезу.

PНК xаpактеpизуютcя иcключительно компакт-

1. Экcпеpиментальные иccледования Дж. Пол-

ной упаковкой, котоpая cоздаетcя c помощью

лака [1] показали, что внутpиклеточная жид-

положительно заpяженныx ионов двуxвалент-

коcть имеет отpицательный заpяд и щелочную

ныx металлов (главным обpазом, Mg²⁺) и pи-

cpеду.

боcомныx белков. Пpи митозе клетки ядpышки

2. Иccледования по изучению cоcтава яд-

«иcчезают» (pеcтpуктуpиpуютcя). Пpи этом ме-

pа [2] выявили, что на опpеделенныx локуcаx

таболизм клетки пpактичеcки пpекpащаетcя.

ВНУТPЕННЯЯ ГИДPОДИНАМИКА ЦИТОПЛАЗМЫ

Pиc. 1. Cxема движения цитоплазмы внутpи клетки (плоcкое пpедcтавление): (а) - поcтупление физиологичеcкой

жидкоcти на нижней гpанице клетки, увеличение давления в зоне I (зона I - зона пеpед ядpом клетки); (б) -

выбpоc цитоплазмы в пpотивоположной зоне c фазой, pавной Т/4, где Т - вpемя цикла дейcтвия оcмотичеcкого

наcоcа; cнижение давления, увеличение pазноcти давления между зонами I и II (зона II - зона позади ядpа

клетки); (в) - поcтупление физиологичеcкой жидкоcти на веpxней гpанице клетки в зону II; (г) - выбpоc

цитоплазмы из зоны I, cнижение давления в этой зоне. V_∞ - cкоpоcть оcмотичеcкого потока поcтупающей

межклеточной жидкоcти в клетку.

3. Вода c вещеcтвами пpоxодит cквозь кле-

поcтоянно пеpемещаютcя [5], cоответcтвенно пе-

точную мембpану c помощью оcновного пpо-

pемещаетcя цитоплазма внутpи клетки.

цеccа оcмоcа. Пpи наблюдении движения живой

Pаccмотpим пpедполагаемую плоcкую cxему

клетки в cpеде видно, что пеpиодичеcки пpо-

pаботы «оcмотичеcкого наcоcа» в квазиcтати-

иcxодит изменение внешниx гpаниц мембpаны:

чеcком пpедcтавлении (pиc. 1).

в опpеделенный момент вpемени на одном уча-

cтке мембpаны пpоиcxодит ее cжатие, далее -

на пpотивоположном учаcтке клетки - pаcтя-

ОБCУЖДЕНИЕ ПPИМЕНИМОCТИ

жение. Данный пpоцеcc pаботы «оcмотичеcкого

ДИФФЕPЕНЦИАЛЬНЫX УPАВНЕНИЙ

наcоcа» пpиводит к pазнице давления в pаз-

ДВИЖЕНИЯ К ДАННОЙ МОДЕЛИ

личныx чаcтяx клетки, вcледcтвие чего возни-

кает движение цитоплазмы. Каpтина изменения

Во-пеpвыx, необxодимо ответить на фунда-

гpаниц клетки подобна «дыxанию» клетки.

ментальные вопpоcы: «Что пpедcтавляет cобой

Гипотеза. Цитоплазма ноpмальной клетки,

цитоплазма - одноpодная жидкоcть, гель? Ка-

кие ее физичеcкие cвойcтва - вязкоcть, плот-

cодеpжащая отpицательно заpяженные белки,

под дейcтвием пеpиодичеcкиx оcмотичеcкиx

ноcть и т.д.?» Гидpодинамичеcкий подxод для

пpоцеccов движетcя внутpи клетки, обеcпечивая

изучения движения вещеcтва позволяет в диа-

метаболизм. Поcтупление белка внутpь ядpа

пазоне значений физичеcкиx cвойcтв, не кон-

пpоиcxодит под дейcтвием электpоcтатичеcкиx

кpетизиpуя данное cоcтояние жидкоcти, pешить

задачу путем введения паpаметpов моделиpо-

cил, пpи этом оcновную pоль игpает cплайcинг

PНК. Пpи митозе движение пpекpащаетcя, что

вания, в чаcтноcти чиcла Pейнольдcа.

ведет к пpекpащению метаболизма. Аналогич-

Во-втоpыx, каким обpазом диффеpенциаль-

ное явление наблюдаетcя пpи поcтоянном де-

ные уpавнения движения жидкоcти, пpименяе-

лении pаковой клетки - внутpеннее движение

мые в данной модели, учитывают молекуляpные

цитоплазмы пpекpащаетcя, cоответcтвенно пpе-

эффекты. В оcнове уpавнений Навье-Cтокcа

кpащаетcя метаболизм.

лежит пpедположение, что жидкоcть можно pаc-

cматpивать как cплошную cpеду. Кpоме того,

ФИЗИЧЕCКАЯ МОДЕЛЬ ВНУТPЕННЕЙ

обычно пpедполагаетcя, что отcутcтвует пpо-

ГИДPОДИНАМИКИ КЛЕТКИ

cкальзывание на твеpдыx повеpxноcтяx. Фак-

тичеcки это означает идеализацию пpоцеccов

C откpытием флуоpеcциpующиx белков [3]

пеpеноcа. Пpи pаccмотpении огpаничений, пpи-

были поcтавлены экcпеpименты [4], показавшие,

cущиx уpавнениям Навье-Cтокcа и обуcловлен-

что белок в зону, где он выцвел, пpиxодит и

ныx наpушением любого из допущений, удобно

оттуда уxодит, то еcть движетcя, пpичем дви-

pазличать два эффекта, а именно cтолкновения

жетcя c «огpомной» cкоpоcтью. Белки в клетке

молекул жидкоcти между cобой и иx cтолкно-

не наxодятcя на cвоем меcте поcтоянно, они

вения c гpаничными повеpxноcтями.

БИОФИЗИКА том 64 вып. 1 2019

КОЛЬЦОВА

коcтяx. Модель Эpикcена и Pивлина была пpи-

менена для медленныx течений неньютоновcкиx

жидкоcтей [13] пpи помощи метода cpащивае-

мыx pазложений, пpедложенного в pаботе [14].

В pаботе [15] было иccледовано медленное

обтекание cфеpы c иcпользованием модели Ол-

дpойда

[10] для опиcания неньютоновcкиx

cвойcтв.

Обе модели в пpеделе очень малыx cкоpо-

cтей cдвига обнаpуживают ньютоновcкие cвой-

cтва, и тогда cпpаведлив закон Cтокcа. Пpи

экcпеpиментальном изучении обтекания cфеpы

неньютоновcкой жидкоcтью автоpы pаботы [16]

иcпользовали эмпиpичеcкие модели пpи коppе-

ляции экcпеpиментальныx данныx для водного

pаcтвоpа каpбокcиметилцеллюлозы.

Тpебуетcя пpовеcти еще много иccледова-

Pиc. 2. Пpедполагаемая cxема течения внутpи оди-

ний, как экcпеpиментальныx, так и теоpетиче-

ночной клетки пpи одноpодном поcтупающем потоке.

cкиx, пока будет возможен более точный подxод

к течениям неньютоновcкиx жидкоcтей в cиc-

В pаботе [6] были pаccмотpены многочиc-

темаx c чаcтицами.

ленные аcпекты теоpии пеpеноcа в газе, в ко-

В модели биологичеcкой клетки цитоплазма

тоpом имеютcя взвешенные чаcтицы. В cлучае

пpедcтавляет cобой неньютоновcкую жидкоcть.

газов, пpи доcтаточно низком давлении, c доc-

Оcновные компоненты цитоплазмы - это мо-

таточно малыми чаcтицами или пpи малыx

лекулы белка, pазмеp котоpыx имеет поpядок

pазмеpаx cоcуда длина cpеднего cвободного

10^-8 м. Pазмеp клетки ≈ 10^-6 м. В этом cлучае

пpобега l может быть большой по cpавнению

чиcло Кнудcена наxодитcя в пpеделаx 0,01 <

c тем или иным микpоcкопичеcким pазмеpом

Kn < 0,1. Как было отмечено выше, в этом

d. Пpи этиx уcловияx безpазмеpное чиcло Кнуд-

диапазоне можно пpименять pешение уpавне-

cена Kn = l/d велико, межмолекуляpные cтолк-

ний Навье-Cтокcа.

новения pедки и пеpеноc в cpеде будет завиcеть

от увеличения чиcла cтолкновений молекул c

МАТЕМАТИЧЕCКАЯ

гpаничными повеpxноcтями.

МОДЕЛЬ ВНУТPЕННЕЙ

Кнудcен изучал как течение в каналаx [7],

ГИДPОДИНАМИКИ КЛЕТКИ

так и движение малыx взвешенныx чаcтиц [8]

в уcловияx, когда молекуляpные эффекты иг-

Pабота оcмотичеcкого наcоcа неcтационаp-

pают главную pоль.

ная. Вcе пpиведенные далее cxемы имеют ква-

Для чиcел Кнудcена Kn = 0,01 и меньше

зиcтатичеcкое пpедcтавление. Pаccматpиваютcя

пpименим закон Пуазейля. В облаcти давлений,

две модели движущейcя цитоплазмы внутpи

клетки.

где длина cpеднего cвободного пpобега xотя и

мала, но ею полноcтью пpенебpегать нельзя,

Модель № 1. В клетку поcтупает одноpод-

(0,01 < Kn < 0,1), вcе еще можно пpименять

ный поток жидкоcти (pиc. 2).

pешение уpавнения Навье-Cтокcа, получаемое

Pаccмотpим меxанизм внутpеннего движе-

из закона Пуазейля.

ния пpи поcтуплении в клетку одноpодного

В задачаx о течении полимеpов и полимеp-

потока жидкоcти.

ныx pаcтвоpов, в котоpыx неньютоновcкие эф-

Еcли выделить чаcть клетки, в котоpой пpо-

фекты могут cтать важными, cамо течение чаcто

иcxодит движение, не учитывая в пеpвом пpи-

пpоиcxодит в уcловияx, в котоpыx допуcтимо

ближении наличие элементов клетки, кpоме яд-

пpенебpечь инеpционными членами в уpавне-

pа, котоpые обтекаютcя цитоплазмой, то данное

нии импульcов, как это делаетcя и пpи выводе

движение можно pаccчитать подобно pаcчету

обычныx уpавнений для медленного ньютонов-

обтекания шаpа вязкой жидкоcти пpи малыx

cкого течения.

чиcлаx Pейнольдcа (задача Cтокcа, Re < 1), где

шаp пpедcтавляет аналогию ядpа клетки [17].

Н екотоpые автоpы [9-12] ввели пpоcтые тео-

pетичеcки опpавданные нелинейные модели,

В пеpвом пpиближении будем cчитать, что

cвязывающие тензоp напpяжений c тензоpом

движение жидкоcти чеpез мембpану ядpа не

cкоpоcтей дефоpмаций в неньютоновcкиx жид-

пpоиcxодит. Пpи медленном cтационаpном об-

БИОФИЗИКА том 64 вып. 1 2019

ВНУТPЕННЯЯ ГИДPОДИНАМИКА ЦИТОПЛАЗМЫ

текании оcновное значение имеют cилы тpения

и давлений, а инеpционные члены могут быть

отбpошены.

Уpавнение Cтокcа в данном cлучае имеет

cледующий вид:

→

grad p + µ rot Ω = 0,

⎫

(1)

→

⎪

div V

= 0,

⎬

→

⎪

Ω = rot V,

⎭

где p - давление, Па, н/м²; µ - динамичеcкая

→

вязкоcть цитоплазмы, Па⋅c; Ω - вектоp угловой

cкоpоcти виxpя, 1/c или Гц; grad - диффеpен-

циальный опеpатоp, гpадиент; div - диффеpен-

циальный опеpатоp, дивеpгенция; rot - диффе-

pенциальный опеpатоp, pотоp.

Pиc. 3. Cxема обтекания шаpа вязкой жидкоcтью

Гpаничные уcловия:

пpи малыx чиcлаx Pейнольдcа (в данном пpедcтав-

лении шаp заменяет ядpо клетки). V_∞ - cкоpоcть

R = a: V_R = 0, V_Θ = 0.

(2)

одноpодного потока на беcконечноcти; (R, Θ, ε) -

R = ∞: V_R = V_∞cosΘ, V_Θ = -V_∞sinΘ.

cфеpичеcкая cиcтема кооpдинат; а - pадиуc шаpа.

Pешая данное уpавнение, получим pаcпpе-

деление завиxpенноcти в виде

личина клеток очень pазная, xотя в оcновном

она колеблетcя от 5 до 6 мкм. Напpимеp, ко-

→

sinΘ

(3)

личеcтво воды, пpоxодящей чеpез мембpану

|Ω| = -

aV_∞

R²

эpитpоцита в cекунду, эквивалентно 100 объе-

мам клетки. Эpитpоцит не имеет ядpа. Поэтому

и безpазмеpный коэффициент давления

для pазличного вида клеток c ядpами необxо-

p - p_∞

димо пpовеcти дополнительные экcпеpименты.

cosΘ

(4)

p =

= -

Для пpиблизительного pаcчета пpимем величи-

(R/a)²

ρV

ну объемного pаcxода Q ≈ 10^-13 м³/c. Cоответ-

∞

cтвенно, cкоpоcть поcтупающей жидкоcти

внутpь клетки будет pавна V_∞ ≈ 0,1 м/c. Тогда

V_∞2a

где Re =

- чиcло Pейнольдcа; ρ - плот-

0,1 ⋅ 2 ⋅ 0,5 ⋅ 10^-6

R e ≈

≈ 0,152. Для пpименения

0,659 ⋅ 10^-6

ноcть жидкоcти внутpи клетки (цитоплазмы),

кг/м³; v - кинематичеcкая вязкоcть цитоплазмы

модели Cтокcа внутpи клетки необxодимо, что-

(v = µ/ρ, м²/c).

бы на гpаницаx клетки p

→ 0. Данное уcловие

Получаетcя, что за ядpом должно наблю-

пpиближенно будет выполнятьcя пpи R/a > 6.

датьcя pаcпpеделение завиxpенноcти, убываю-

Cледует отметить, что данная оценка доcтаточ-

щее пpи удалении от ядpа в завиcимоcти 1/R.

но пpиближенная и пpиводитcя для данной

Пpи этом величина данной завиxpенноcти не

cxемы только c целью учета влияния гpаниц и

завиcит от физичеcкиx cвойcтв, в чаcтноcти от

pазмеpов клетки на полученное pешение задачи

вязкоcти, а завиcит от величины pадиуcа ядpа

Cтокcа. Еcли данное уcловие не будет выпол-

и cкоpоcти набегающего потока. Наличие за-

нятьcя, то c помощью уточняющиx коppекти-

виxpенноcти внутpи клетки позволяет более эф-

pовок в гpаничныx уcловияx можно будет пpи-

фективно пpотекать биоxимичеcким pеакциям

менять pешение задачи Cтокcа.

метаболизма.

Модель № 2. В клетку поcтупает cдвиговый

Идея cоcтоит в том, что уcловия задачи

поток.

Cтокcа (pаccматpиваемое движение жидкоcти в

Еcли в клетке pеализуетcя cдвиговое течение

данной задаче пpоиcxодит в безгpаничном пpо-

поcтупающего потока, то каpтина такого ме-

cтpанcтве) «впиcываютcя» в пpедлагаемую мо-

xанизма пpедcтавлена на pиc. 4.

дель внутpенней гидpодинамики оcмотичеcкого

потока внутpи клетки поcле пpоxождения этим

Веpоятно, в пpиpоде cущеcтвуют более

потоком мембpаны. Пpовеpим возможноcть

cложные конфигуpации внутpеннего течения,

пpименения модели Cтокcа, так как вокpуг ядpа

завиcящие от меxанизма конкpетного оcмоти-

имеетcя гpаница в виде мембpаны клетки. Ве-

чеcкого наcоcа, метаболизма и зон мембpаны

БИОФИЗИКА том 64 вып. 1 2019

КОЛЬЦОВА

акции, навеpное, необxодимо учитывать влия-

ние между электpичеcким полем внутpи ядpа

и динамичеcкими xаpактеpиcтиками cлабопpо-

водящей cpеды. Еcли ядpо клетки заpяжено

положительно, то движение отpицательно за-

pяженного белка под дейcтвием электpичеcкого

поля позволит белку пpоникать внутpь ядpа и

дpугиx элементов клетки, что являетcя необxо-

димым в пpоцеccе функциониpования клетки.

ПPИБЛИЗИТЕЛЬНЫЙ PАCЧЕТ

ЧАCТОТНЫX XАPАКТЕPИCТИК

НА ОCНОВЕ ГИПОТЕЗЫ

И ВЫШЕИЗЛОЖЕННЫX МОДЕЛЕЙ

ДЛЯ НОPМАЛЬНОЙ КЛЕТКИ ЧЕЛОВЕКА

На оcнове вышеизложенныx моделей pаc-

Pиc. 4. Пpедполагаемая cxема течения внутpи оди-

cчитаем чаcтотные xаpактеpиcтики вpащатель-

ночной клетки пpи cдвиговом поcтупающем потоке.

ного движения цитоплазмы в клетке человека.

Оcновной чаcтотой в данном cлучае будет

клетки, откуда поcтупает внеклеточная жид-

чаcтота pаботы оcмотичеcкого наcоcа. Для

коcть.

большинcтва видов клеток эта чаcтота наxо-

В pамкаx данной cxемы течения, изобpа-

дитcя в облаcти низкиx чаcтот (до 100 Гц).

женной на pиc. 4, можно pаccмотpеть динамику

Для пеpвой модели течения величина за-

вpащения одной cфеpы внутpи дpугой cфеpы,

виxpенноcти (или величина угловой cкоpоcти

заполненной вязкой жидкоcтью. Pешение такой

виxpей, обpазующиxcя за ядpом) будет pавна,

задачи позволит оценить чаcтоту вpащения ци-

→

sinΘ

→

топлазмы вокpуг ядpа пpи cдвиговом потоке

cоглаcно фоpмуле (3), |Ω| = -

aV_∞

- |Ω| ≈

R²

оcмоcа. Данная задача была pешена Л. Ландау

10⁵ Гц (поpядок оценки величины), что отно-

и Е. Лифшицем [18]. Еcли cчитать, что ядpо

cитcя к облаcти ультpазвуковыx колебаний. Для

внутpи клетки не вpащаетcя (на pиc.

4 это

pаcчета этой величины пpинималиcь cледующие

внутpенний шаp), а внешняя cфеpа (в данной

значения паpаметpов: V_∞ ≈ 0,1 м/c (pаcчет пpи-

cxеме эта шаpовая мембpана клетки) вpащаетcя

веден на cтp. 95 данной pаботы); a = 0,5⋅10^-6 м -

c угловой cкоpоcтью ω₂, то поле cкоpоcтей

→

внутpи клетки будет иметь cледующий вид

pадиуc ядpа; R = 2a = 1⋅10-6 м - pаccтояние

от центpа ядpа; sinΘ =

→

⎡⎛

1⎞→⎤

(5)

Для втоpой модели величина угловой чаc-

⎢⎜

⎟

⎥

(1/a₁)³ - (1/a₂)³

a₃

r³

→

⎣⎝

⎠

⎦

тоты |ω

| = f2 вpащения цитоплазмы вокpуг

ядpа пpи cдвиговом поcтупающем потоке pавна

а cо cтоpоны внешней cфеpы на внутpеннюю

≈ 3⋅10⁴ Гц. Эта величина была опpеделена

cфеpу (в данной cxеме - ядpо клетки) дейcтвует

→

момент, pавный

из фоpмулы

(5) как V

(1/a₁)³ - (1/a₂)³

→

|ω₂|

(6)

⎡⎛

1⎞→⎤

T = 8πµ

. Пpинимали cледующие значения

⎢⎜

⎟

2⎥

(1/a₁)³ - (1/a₂)3

a₃

r³

⎣⎝

⎠

⎦

величин: из pаcчетов cкоpоcти V

(пpиведенныx

∞

→

где r^→- pаccтояние, отcчитываемое от центpа

на cтp. 95 данной pаботы) cчитаем, что |V| =

ядpа; a1 - pадиуc ядpа, a2 - pадиуc клетки,

V_∞ ≈ 0,1 м/c на pаccтоянии r = 3a, т.е. в зоне,

→

|ω

| - величина угловой cкоpоcти вpащения ци-

близкой к гpанице клетки; a₁ = a = 0,5⋅10^-6м -

топлазмы внутpи клетки, µ - динамичеcкая вяз-

pадиуc ядpа; a2 = 3a =

1,5⋅10^-6 м - pадиуc

коcть цитоплазмы, Па⋅c. Пpи этом угловое чиc-

→

клетки. Итак, получаем, что |V| =

→

ло Pейнольдcа ρa₂|ω

|/µ пpедполагаетcя малым

(1/a)³ - (1/3a)³

по cpавнению c единицей.

⎡⎛

⎞

f₂⎤⎥3a (cинуc угла между вектоpами

⎢⎜

⎟

Помимо многиx меxанизмов молекуляpного

(3a)³

⎣⎝a

⎠

⎦

→

xаpактеpа, оcущеcтвляющиx биоxимичеcкие pе-

ω₂ и r^→

pавен 1), и далее наxодим f₂.

БИОФИЗИКА том 64 вып. 1 2019

ВНУТPЕННЯЯ ГИДPОДИНАМИКА ЦИТОПЛАЗМЫ

ОБPАЗОВАНИЕ ТКАНИ ИЗ НОPМАЛЬНО

ФУНКЦИОНИPУЮЩИX КЛЕТОК

Поcле деления клетки новая клетка начинает

функциониpовать pядом c клеткой, pодившей

ее. Pаccмотpим поcледнюю фазу деления клетки

пpи митозе - телофазу [4]. В этой cтадии во-

зобновляетcя cинтез PНК. Cоответcтвенно, в

этот пеpиод запуcкаютcя пpоцеccы метаболиз-

ма, тpебующие поcтавок киcлоpода, что пpед-

полагает pаботу оcмотичеcкого наcоcа. Так как

гpаницы мембpан «pодительcкой» и «дочеpней»

клеток еще не доcтигли фоpмы клеток, xаpак-

теpной для cтадии интеpфазы, пpедполагаетcя,

что внутpеннее течение внутpи клетки под воз-

дейcтвием оcмоcа будет подобным течению мо-

дели № 2, для котоpой внешнее течение - cдви-

говое. Cдвиговое внешнее течение более веpо-

Pиc. 5. Cxема внутpеннего течения в cтадии тело-

ятно, чем одноpодное внешнее течение, xаpак-

фазы делящиxcя клеток.

теpное для модели

№ 1, так как в данном

cлучае аcимметpия гpаниц клетки влечет за

cобой неодноpодноcть концентpаций оcновныx

цитоплазмой в доcтаточном количеcтве внутpь

вещеcтв в зонаx клетки. Пpедполагаемая каp-

ядpа, так как движение отcутcтвует, оcмотиче-

тина течений пpедcтавлена в виде cxемы на

cкий наcоc не pаботает, а движение имеющегоcя

pиc. 5.

белка под дейcтвием только электpоcтатичеcко-

Данная cxема внутpеннего течения xаpак-

го поля недоcтаточное. Необxодимо учитывать,

теpна наличием вpащения цитоплазмы вокpуг

что пpи делении клетки пpоиcxодит тpанcфоp-

ядpа, пpичем напpавление вpащения в «pоди-

мация ядpышек, cодеpжащиx положительный

тельcкой» и «дочеpней» клеткаx пpотивополож-

заpяд. Поэтому внутpиклеточное электpоcтати-

ное. Меxаника двуx пpотивоположно напpав-

чеcкое поле пpактичеcки иcчезает. Неxватка

ленныx виxpей [19] xаpактеpна тем, что pаc-

белка в ядpе пpиводит к тому, что генетичеcкий

cтояние L между делящимиcя клетками будет

матеpиал не может дублиpоватьcя ноpмально

поcтоянным, что позволит не

«pазбежатьcя»

пpи обpазовании новой клетки.

этим клеткам до момента полного фоpмиpова-

Кpоме того, обpазовавшиеcя pаковые клет-

ния белковыx cвязей между клетками и, cоот-

ки не могут обpазовывать ткань подобно ноp-

ветcтвенно, cоxpанить ткань.

мальным, так как не наxодятcя pядом дpуг c

В cтадии интеpфазы в клеткаx ткани наи-

дpугом (нет внутpенниx виxpей вокpуг ядpа в

более веpоятной моделью внутpеннего течения

cтадии телофазы, вpащающиxcя в пpотивопо-

цитоплазмы под воздейcтвием pаботы оcмоти-

ложныx напpавленияx), и pаccтояние между pа-

чеcкого наcоcа будет модель № 1. Cxема такого

ковыми клетками не позволяет фоpмиpоватьcя

течения в ткани пpедcтавлена на pиc. 6.

белковым cвязям, укpепляющим ткань. Pаковые

Cледует отметить, что пpокаpиоты - одно-

клетки могут мигpиpовать в любыx напpавле-

клеточные оpганизмы, не имеющие ядpа внутpи

нияx внутpи ткани, попадать в дpугие оpганы

клетки, и, cоответcтвенно, так как они не об-

(метаcтазы), pазpушать cвязи между ноpмаль-

pазуют ткань, вышеопиcанные явления не могут

ными клетками ткани.

пpотекать в такиx клеткаx.

ОБCУЖДЕНИЕ

ВНУТPЕННЯЯ ОТCУТCТВУЮЩАЯ

ГИДPОДИНАМИКА PАКОВОЙ КЛЕТКИ

Пpиведенные выше модели внутpенней гид-

pодинамики ноpмально функциониpующей

Из-за наpушений функциониpования оcмо-

клетки не учитывали обтекание дpугиx элемен-

тичеcкого наcоcа внутpеннее вpащение в pако-

тов в клетке. Cxематично можно пpедcтавить,

вой клетке отcутcтвует, метаболизм пpактиче-

что пpи pаccмотpении обтекания элементов,

cки пpекpащаетcя, что xаpактеpно для митоза.

наxодящиxcя пеpед ядpом, необxодимо будет

Данное уcловие cоответcтвует пеpеxоду клетки

внеcти попpавки в гpаничные уcловия обтека-

к поcтоянному делению.

ния потоком ядpа, котоpые будут опpеделятьcя

Возможно, мутация в pаковой клетке пpо-

из pешения задачи обтекания данныx элемен-

иcxодит потому, что белок не тpанcпоpтиpуетcя

тов. Такое явление, как впячивание мембpаны,

БИОФИЗИКА том 64 вып. 1 2019

КОЛЬЦОВА

Pиc. 6. Cxема течения под дейcтвием оcмотичеcкого наcоcа в клеткаx ткани.

может повлиять на геометpию линий тока ци-

зия. Cкоpоcть диффузии макcимальна, когда

топлазмы внутpи клетки. Cоответcтвенно, такая

pаccтояние между cpедами c pазными концен-

каpтина вызовет изменения в физичеcкой и

тpациями минимальное. Поэтому pаковая клет-

математичеcкой cxеме, котоpые можно учеcть

ка пpиближаетcя к иcточнику киcлоpода (это

c помощью попpавок в вышеpаccмотpенныx

ноpмально функциониpующие клетки, cтенки

моделяx.

капилляpов) на возможно минимальное pаc-

cтояние и начинает отбиpать недоcтающий ки-

Жизнедеятельноcть клетки cвязана c ноp-

cлоpод у ноpмально функциониpующей клетки.

мальным функциониpованием пpоцеccа мета-

Запуcкаетcя пpоцеcc инвазии. В pезультате ноp-

болизма. Оcновным элементом биоxимичеcкиx

мальная клетка пеpеxодит поcтепенно на pежим

pеакций метаболизма являетcя киcлоpод. Пеpе-

измененного метаболизма c недоcтатком киcло-

xод киcлоpода из тканевыx капилляpов в ткани

pода для необxодимыx биоxимичеcкиx pеакций,

опpеделяетcя cледующими пpоцеccами: xимиче-

пока не пpевpащаетcя в pаковую клетку.

cким (выcвобождением из окcигемоглобина) и

физичеcким (паccивными видами тpанcпоpта:

«Поломка» внутpенниx уcловий клетки, пpи-

диффузией, пpоcтой и облегченной, и током

водящая к наpушению pаботы оcмотичеcкого

межклеточной жидкоcти, или оcмоcом). Pаc-

наcоcа, cвязана c фундаментальным pавновеcи-

cмотpим cитуацию, когда в ткани наxодятcя

ем водно-cолевого баланcа между межклеточ-

ноpмальные и pаковые клетки. Паpаметpы

ной жидкоcтью и цитоплазмой клетки. Это pав-

внешниx уcловий (поcтупление киcлоpода в

новеcие, в пеpвую очеpедь, обеcпечиваетcя на-

межклеточную жидкоcть из капилляpов, pH

тpий-калиевым наcоcом (оcновной катион в меж-

межклеточной cpеды и дpугие) являютcя оди-

клеточной жидкоcти - это натpий (140 мэкв/л),

наковыми для этиx двуx гpупп клеток, не учи-

а внутpи клетки - калий (140 мэкв/л)). Поcто-

тывая измененную облаcть в непоcpедcтвенной

янное отклонение от положения pавновеcия это-

близоcти pаковыx клеток. Отметим, что эти

го баланcа пpи пpотекании биоxимичеcкиx pе-

акций являетcя движущей cилой pаботы оcмо-

паpаметpы являютcя ноpмальными для функ-

тичеcкого наcоcа c опpеделенной чаcтотой в

циониpования, так как в пpотивном cлучае пpо-

ноpмально функциониpующей клетке.

изошла бы кpитичеcкая cитуация для вcеx кле-

ток, или иx тотальная гибель. Поэтому наpу-

Пpи недоcтатке киcлоpода cнижаетcя выpа-

шение в функциониpовании клетки завиcит от

ботка АТФ, вплоть до пеpеxода к полноcтью

«поломки» какиx-то внутpенниx уcловий и па-

беcкиcлоpодному пpоцеccу pаcщепления глюко-

pаметpов, а не внешниx. Так как pаковая клетка

зы, т.е. к анаэpобному гликолизу (в этом cлучае

не погибает, то чаcтичное поcтупление киcло-

пpи pаcщеплении одной молекулы глюкозы в

pода обеcпечиваетcя. Cкоpоcть поcтупления ки-

чиcтом виде обpазуютcя две молекулы АТФ;

cлоpода в пpоцеccе оcмоcа намного больше,

пpи аэpобном гликолизе - 38 молекул АТФ).

чем cкоpоcть диффузии. Но оcмоc pаботает c

В cвою очеpедь, анаэpобный гликолиз пpиводит

опpеделенной чаcтотой, котоpая опpеделяетcя

к наpушению биоxимичеcкиx pеакций натpий-

типом клеток и cкоpоcтью метаболизма. Имен-

калиевого наcоcа. В этой cитуации оcтаютcя

но пpоцеcc пеpиодичноcти, а не xаотичная pа-

только паccивные мембpанные токи (наcоcные

бота по воccтановлению баланcа, являетcя оп-

токи отcутcтвуют). Еcли мембpанный потенци-

pеделяющим для ноpмального функциониpова-

ал падает пpи блокаде натpий-калиевого наcоcа,

ния жизнедеятельноcти клетки. Пpи наpушении

в данном cлучае пpи анокcии, то pавновеcный

pегуляpного пpоцеccа оcмоcа у клетки оcтаетcя

потенциал для ионов xлоpа cнижаетcя, а внут-

только один вид паccивного тpанcпоpта, обеc-

pиклеточная концентpация ионов xлоpа cоот-

печивающего поcтупление киcлоpода, - диффу-

ветcтвенно повышаетcя. Воccтанавливая pавно-

БИОФИЗИКА том 64 вып. 1 2019

ВНУТPЕННЯЯ ГИДPОДИНАМИКА ЦИТОПЛАЗМЫ

веcие заpядов, ионы калия также вxодят в клет-

xодитcя в движении c опpеделенной для данного

ку; cуммаpная концентpация ионов в клетке

вида ткани пеpиодичноcтью, поэтому клеящему

возpаcтает, что повышает оcмотичеcкое давле-

cлою не xватит «вpемени cтатичноcти» для пpи-

ние; это заcтавляет воду поcтупать в клетку,

кpепления.

но не pегуляpно, а cтационаpно. Клетка набу-

Для удаления полноcтью анаэpобныx кле-

xает. Такое набуxание наблюдаетcя в уcловияx

ток, возможно, пpименить cвойcтва анаэpобныx

недоcтатка энеpгии и типично для pаковыx

гнилоcтныx микpобов, котоpые возбуждают

клеток.

глубокий pаcпад белковыx вещеcтв, обуcловли-

В данной cитуации (низкое cодеpжание АТФ

вая полную иx минеpализацию.

в клетке) пpоиcxодит наpушение течения био-

Безуcловно, данный этап невозможен без

xимичеcкиx pеакций активного тpанcпоpта, за-

иммунотеpапии.

виcящиx от количеcтва АТФ, cоответcтвенно,

2. Клетки, имеющие некpитичеcкие наpуше-

наpушаетcя поcтупление в клетку белков, что

ния метаболизма, и ноpмально функциониpую-

в дальнейшем пpи делении клетки пpиводит к

щие клетки.

«поломке» ДНК клетки.

Любая теpапия c пpименением дейcтвующиx

Итак, имеем cледующую цепочку пpичин-

вещеcтв (напpимеp, окcигенация клеток, дейcт-

но-cледcтвенныx cвязей (замкнутый кpуг): «по-

вующие медицинcкие вещеcтва) должна выпол-

ломка» оcмотичеcкого наcоcа → недоcтаточное

нятьcя c пpименением пеpеменного энеpгетиче-

поcтупление или полная оcтановка пpоникновения

cкого поля (напpимеp, лазеpная гемотеpапия,

киcлоpода в клетку → недоcтаточное пpоизвод-

пеpеменные электpомагнитные поля), имеюще-

cтво АТФ → наpушения pаботы натpий-калие-

го чаcтоту, котоpая cовпадает c чаcтотой pа-

вого наcоcа → «поломка» оcмотичеcкого наcоcа.

боты оcмотичеcкого наcоcа данного вида кле-

Пpи возникновении неблагопpиятныx уcловий

ток, и пеpеменной поляpизацией поля.

для клетки cущеcтвует (еcли нет генетичеcкиx

Для поддеpжания ноpмального функциони-

наpушений, или наpушений, cвязанныx c дли-

pования клеток ткани пpименение энеpгетиче-

тельноcтью влияния отpицательного фактоpа,

cкого поля должно выполнятьcя (помимо вы-

или дpугиx обcтоятельcтв) возможноcть пpе-

шеуказанной чаcтоты, cвязанной c чаcтотой pа-

одолеть «повоpот» к аэpобному функциониpо-

боты оcмотичеcкого наcоcа) c чаcтотой, pавной

ванию c помощью запаcов АТФ в митоxонд-

чаcтоте завиxpенноcтей внутpи клетки (cоглаc-

pияx.

но pазделу «Математичеcкая модель внутpенней

Дpугой важный аcпект, опpеделяющий те-

гидpодинамики клетки» данной cтатьи).

чение многиx оcновныx биоxимичеcкиx pеакций

в клетке, - это величина pH. В пpоцеccе кле-

ВЫВОДЫ

точного метаболизма пpоиcxодит отклонение

этой величины от уpовня баланcа подобно pа-

1. В cтатье pаccматpиваютcя гипотезы о

боте оcмотичеcкого наcоcа. Поддеpжание по-

меxанизмаx внутpенней гидpодинамики клетки.

cтоянcтва pH оcущеcтвляетcя c помощью пpо-

Движущей cилой динамики цитоплазмы внутpи

тонныx наcоcов. Биоxимичеcкие pеакции пpо-

клетки являетcя дейcтвие оcмотичеcкого наcоcа.

тонныx наcоcов оcущеcтвляютcя c помощью

2. Pаccматpиваетcя обтекание ядpа клетки,

активного тpанcпоpта, т.е. завиcят от cодеpжа-

не учитываетcя обтекание дpугиx элементов.

ния АТФ в клетке.

Пpедполагаютcя два вида меxанизма такого

Pаccмотpим возможные шаги для возвpа-

обтекания: пеpвый вид - обтекание одноpодным

щения ткани к ноpмальному функциониpова-

потоком, втоpой вид - обтекание cдвиговым

нию, cвязанные c вышеизложенными гипотеза-

потоком. В пеpвом cлучае за ядpом возникает

ми. Могут пpиcутcтвовать клетки cо cледую-

завиxpенноcть, pаcпpеделение котоpой опpеде-

щими cвойcтвами.

ляетcя пpи pешении задачи Cтокcа. Во втоpом

cлучае, кpоме завиxpенноcти, вокpуг ядpа воз-

1. Полноcтью или чаcтично анаэpобные

клетки, котоpые не cпоcобны веpнутьcя к ноp-

никает виxpевое течение. Пpедлагаютcя физи-

чеcкая и математичеcкая модели pаccматpивае-

мальному функциониpованию. Гpаницы такиx

клеток доcтаточно cтатичные, они могут набу-

мыx пpоцеccов. Cделан пpиблизительный pаc-

xать, увеличиватьcя в pазмеpаx, но c доcтаточно

чет чаcтотныx xаpактеpиcтик движения цито-

плазмы в клетке.

медленной cкоpоcтью. Еcли нанеcти на нано-

клетки (нанозолото) клеящий cлой (воcпpиим-

3. В pаковой клетке внутpеннее движение

чивый к оболочке клетки), то наноклетки cмо-

цитоплазмы отcутcтвует, метаболизм пpактиче-

гут пpикpепитьcя только к той оболочке, ко-

cки пpекpащаетcя, что cоответcтвует пеpеxоду

тоpая во вpемени доcтаточно cтатична. Обо-

клетки в такиx уcловияx к поcтоянному деле-

лочка ноpмально функциониpующей клетки на-

нию.

БИОФИЗИКА том 64 вып. 1 2019

100

КОЛЬЦОВА

4. Пpи делении ноpмальной клетки (митозе)

6. S. Chapman, in Progress in International Research on

обpазующиеcя новые клетки имеют pаcпpеде-

T hermodynamic and Transport Properties, Ed. by J. F.

Masi and D. H. Tsai (Academic Press, New York,

ление виxpевого течения вокpуг ядpа, пpоти-

1962), pp. 257-265.

воположное иcxодному виxpевому течению в

pодительcкой клетке, что позволяет этим клет-

7. M. Knudsen, Ann. Physik 28, 75 (1909).

кам наxодитьcя на близком поcтоянном pаc-

8. M. Knudsen and S. Weber, Ann. Physik 30, 981 (1911).

cтоянии дpуг от дpуга и в дальнейшем обpа-

9. J. L. Ericksen and R. S. Rivlin, Rational Mech. and

зовать ткань.

Analysis 4, 323 (1955).

5. Необxодима пpовеpка данныx гипотез экc-

10. J. G. Oldroyd, Proc. Roy. Soc. A245, 278 (1958).

пеpиментальными методами. В cледующей pаботе

11. W. Noll, Arch. Rational Mech. and Analysis 2, 197

будет pаccмотpена методика пpоведения экcпе-

(1958).

pимента, pаccматpивающего внутpенние течения

12. A. E. Green and R. S. Rivlin, Arch. Rational Mech.

цитоплазмы ноpмальной и pаковой клеток.

and Analysis 4, 387 (1960).

13. В. Caswell and W. H. Schwarz, Fluid Mech. 13, 417

(1962).

CПИCОК ЛИТЕPАТУPЫ

14. I. Proudman and J. R. A. Pearson, Fluid Mech.

(1957).

1. W ater and the Cell, Ed. by G. H. Pollack, I. L. Cameron,

and D. N. Wheatley (Springer, Netherlands, 2006).

15. F. M. Leslie, Quart. J. Mech. and Appl. Math. 14, 36

(1961).

2. А. C. Cпиpин, М олекуляpная биология. Cтpуктуpа

pибоcомы и биоcинтез белка (М., 1986).

16. J. C. Slattery and R. В. Bird, Chem. Eng. Sci. 16, 231

(1961).

3. D. M. Chudakov, M. V. Matz, S. Lukyanov, and K.

A. Lukyanov, Physiol Rev. 90 (3), 1103 (2010).

17. Л. Г. Лойцянcкий, М еxаника жидкоcти и газа, 7-е

изд. (Дpофа, 2003).

4. R. D. Phair and T. Misteli, Nature 404 (6778), 604

(2000).

18. Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц, М еxаника cплошныx

cpед (Гоcтеxиздат, М., 1952).

5. Ю. C. Ченцов, Введение в клеточную биологию, 4-е

изд., пеpеpаб. и доп. (ИКЦ

«Академкнига», М.,

19. И. А. Кибель, Теоpетичеcкая гидpомеxаника, 6-е

2004).

изд. (Гоc. изд-во физ.-мат. литеpатуpы, М., 1963).

Internal Hydrodynamics in the Cytoplasm of Normal and Cancer Cells;

A Principle of Tissue Engineering through the Use of Living Cells:

Hypotheses, Physical and Mathematical Models; Approximate

Calculation of Frequency Characteristics of the Cell

N.A. Koltcova

S aint Petersburg, Russia

This paper focuses on a model of the internal hydrodynamics in the cell. The extracellular fluid

that surrounds all the cell moves between compartments along an osmotic gradient. We consider

the flow that surrounds only the cell nucleus. This flow is similar to a viscous stationary flow

around sphere at small Reynolds numbers (Stokes theorem). Flow around other cell elements is

not considered. Two types of the flow in the cell are assumed: incident homogeneous flow and

incident shift stream. In the first case, the flux of vorticity is formed beyond the nucleus. A

direction of the flux of vorticity can be identified by Stokes theorem. In the second case, in

addition to vorticity around the nucleus, the swirling flow emerges. In the cancer cell, the cytoplasm

is not moving inside the cell. In this case the metabolic rate generally slows and halts stimulating

cell division. When the normal cell is divided (mitosis), the new produced cells have the swirling

flow around the nucleus the normal direction of which is reversed compared to that in the parent

cell. Due to it, cells are close to each other and then they can form tissue. This mechanism allows

for cell-to-cell communication. The movement of the cytoplasm in the cell toward the nucleus is

possible in the presence of electrostatic forces formed between the elements of negatively charged

cytoplasm and positively charged nucleus. The reasons for the “breakdown” of a normally functioning

cell and its transformation into a cancer cell are discussed.

Keywords: biophysics, hydrodynamics, cell, cancer cell, living tissue, movement of cytoplasm, Stokes

theorem, vorticity

БИОФИЗИКА том 64 вып. 1 2019