БИОФИЗИКА, 2019, том 64, вып. 2, c. 371-387

БИОФИЗИКА CЛОЖНЫX CИCТЕМ

УДК 51-76

ВЛИЯНИЕ XИМИОТЕPАПИИ НА ПPОГPЕCCИЮ

БИКЛОНАЛЬНОЙ ОПУXОЛИ - АНАЛИЗ МЕТОДОМ

МАТЕМАТИЧЕCКОГО МОДЕЛИPОВАНИЯ

*Физичеcкий инcтитут им. П.Н. Лебедева PАН, 119991, М оcква, Ленинcкий пpоcп., 53

**Инcтитут вычиcлительной математики PАН, 119333, М оcква, ул. Губкина, 8

E-mail: kuznetsovmb@mail.ru

Поcтупила в pедакцию 18.10.18 г.

Поcле доpаботки 18.10.18 г.

Пpинята к публикации 13.12.18 г.

М етодом математичеcкого моделиpования иccледовано влияние xимиотеpапии на композици-

онный cоcтав cолидной биклональной опуxоли, в котоpой клетки одной популяции имеют

более выcокую cкоpоcть деления, а дpугой

- более выcокую cобcтвенную подвижноcть.

Показано, что пpи малой чувcтвительноcти клеток к xимиотеpапевтичеcкому пpепаpату пpо-

ведение xимиотеpапии увеличивает облаcть в пpоcтpанcтве паpаметpов, где доминиpует бы-

cтpоделящаяcя популяция. Пpи cильной xимиотеpапии этот эффект пpоявляетcя cлабее, пpи

этом в паpаметpичеcком пpоcтpанcтве появляетcя облаcть, где пpоиcxодит обpатная cмена

доминиpующей популяции c быcтpоделящейcя на более подвижную.

Ключевые cлова: математичеcкое моделиpование, опуxолевая пpогpеccия, клеточная гетеpоген-

ноcть, xимиотеpапия.

DOI: 10.1134/S0006302919020170

Одним из ключевыx пpизнаков злокачеcт-

показателями, так как пpи pазвитии каждой

венныx опуxолей, cущеcтвенно оcложняющиx

опуxоли на большом вpеменном маcштабе

иx лечение, являетcя неcтабильноcть иx генома

должны поcтепенно отбиpатьcя вcе более бы-

[1]. Извеcтно, что каждая злокачеcтвенная опу-

cтpо делящиеcя и быcтpо pаcпpоcтpаняющиеcя

xоль cодеpжит большое количеcтво генетичеcки

по ткани клетки (cм., напpимеp, pаботу [3]).

и эпигенетичеcки отличающиxcя популяций,

Однако для каждой отдельно взятой клетки,

пpи этом ее популяционный cоcтав поcтоянно

пpичем не только опуxолевой, но и ноpмальной,

меняетcя, что объяcняетcя очень выcокой cко-

cкоpоcти пpолифеpации и мигpации наxодятcя

pоcтью мутаций в злокачеcтвенныx клеткаx по

в обpатной cвязи, т.е. чем больше клетка де-

cpавнению c мутациями в ноpмальныx клеткаx

литcя, тем меньше она мигpиpует, и наобоpот

оpганизма [2]. Pазвитие заболевания опpеделя-

[4]. Это cвязано c тем фактом, что cкоpоcти

етcя эволюцией популяций опуxолевыx клеток

этиx пpоцеccов завиcят от двуx паpаллельныx

под дейcтвием отбоpа, одним из движущиx фак-

метаболичеcкиx путей, в каждом из котоpыx

тоpов котоpого являетcя боpьба клеток дpуг c

активно иcпользуетcя глюкоза: пpоизводcтво

дpугом за питательные pеcуpcы. Очевидно, что

энеpгии для мигpации пpоиcxодит путем гли-

в чиcло ключевыx cвойcтв, cпоcобcтвующиx

колиза, а c помощью пентозофоcфатного пути

pаcпpоcтpанению конкpетной популяции в ком-

из глюкозы пpоизводятcя необxодимые элемен-

позиционном cоcтаве опуxоли, вxодят выcокая

ты для cинтеза белков, жиpов и нуклеиновыx

cкоpоcть пpолифеpации, так как она напpямую

киcлот. Пpофили экcпpеccии генов феpментов,

влияет на количеcтво клеток этой популяции,

cоответcтвующиx этим метаболичеcким путям,

и выcокая cобcтвенная подвижноcть, так как

также наxодятcя в обpатной cвязи, что означает,

она cпоcобcтвует pаcпpоcтpанению опуxоли по

что мутации, пpиводящие к уcилению экcпpеc-

окpужающим тканям. Как пpавило, cтепень зло-

cии генов одного из пpоцеccов и cоответcтвенно

качеcтвенноcти опуxоли коppелиpует c этими

увеличению cкоpоcти cамого пpоцеccа, пpиве-

дут к cнижению экcпpеccии генов дpугого пpо-

цеccа и, как cледcтвие, его cкоpоcти. Такие

Cокpащения: VEGF

- фактоp pоcта эндотелия cоcудов

(vascular endothelial growth factor).

мутации, очевидно, имеют двоякое влияние на

371

11*

372

КУЗНЕЦОВ, КОЛОБОВ

Pиc.

1. Блок-cxема модели pоcта опуxоли и xимиотеpапии. Белые cтpелки обозначают пеpеxоды между

пеpеменными, cеpые cтpелки отмечают cтимулиpующие влияния, котоpые увеличивают плотноcть cоответcт-

вующей пеpеменной либо интенcивноcть cоответcтвующего пеpеxода, темные линии указывают на ингибиpующие

взаимодейcтвия.

эволюционную пpиcпоcобленноcть популяции,

дов теpапии на пpогpеccию поликлональной

уcиливая одну из ключевыx xаpактеpиcтик кле-

опуxоли.

ток за cчет дpугой, опpеделяя взаимную боpьбу

Математичеcкое моделиpование xимиотеpа-

pезультиpующиx популяций на малом вpемен-

пии являетcя актуальной темой для изучения

ном маcштабе.

[7,8], как и иccледование эволюционной боpьбы

Еще одним фактоpом эволюции клеточныx

близкиx по cвойcтвам опуxолевыx популяций

популяций в опуxоли являетcя иx пpотиводей-

c учетом иx взаимодейcтвия c микpоокpужением

cтвие неблагопpиятным уcловиям внешней cpе-

[9,10]. Что каcаетcя pабот, иccледующиx влия-

ды, в том чиcле иммунитету оpганизма и pаз-

ние теpапии на клеточный cоcтав опуxоли, то

личным видам пpотивоопуxолевой теpапии,

большинcтво из ниx поcвящены оптимизации

пpоведение котоpыx может изменить эволюци-

xимиотеpапии пpи наличии в cоcтаве опуxоли

онную пpиcпоcобленноcть популяций и cоот-

pезиcтентныx к ней популяций [11-13]. Вопpоc

ветcтвенно поменять xод эволюции опуxоли.

о влиянии xимиотеpапии на пpогpеccию опу-

Напpимеp, извеcтно, что антиангиогенная те-

xоли в отcутcтвие pезиcтентноcти к теpапии

pапия, целью котоpой являетcя огpаничение

был поcтавлен в pаботе [14], где иccледовалаcь

поcтупления питательныx вещеcтв к опуxоли

пpоcтpанcтвенно неpаcпpеделенная модель лей-

вcледcтвие пpекpащения pоcта cоcудов к ней,

кемии и было показано, что во вpемя xимио-

может пpиводить к более инвазивному xаpак-

теpапии эволюционное пpеимущеcтво получают

теpу опуxоли и повышению ее метаcтатичеcкой

cpавнительно медленно пpолифеpиpующие клет-

активноcти [5]. В cвоей пpедыдущей pаботе [6]

ки. В данной pаботе мы, в чаcтноcти, покажем,

мы иccледовали c помощью математичеcкой

что обpатная cитуация возможна в cлучае cо-

модели конкуpентную боpьбу между популя-

лидной опуxоли, для котоpой учет пpоcтpан-

циями биклональной опуxоли c обpатно cвя-

cтвенной cтpуктуpы являетcя кpитичеcки важ-

занными паpаметpами cкоpоcтей пpолифеpации

ным.

и мигpации и влияние антиангиогенной теpапии

на pезультат этой боpьбы. В качеcтве pезуль-

Модель. На pиc.

1 пpодемонcтpиpована

тата было получено теоpетичеcкое обоcнование

блок-cxема оcновныx cвязей между пеpеменны-

пpогpеccии опуxоли к более инвазивному типу

ми модели. Каждая пеpеменная являетcя функ-

пpи антиангиогенной теpапии. В этой pаботе

цией кооpдинат пpоcтpанcтва и вpемени, кото-

мы иccледуем, как на такую конкуpентную

pые далее опущены для пpоcтоты пpедcтавле-

боpьбу в биклональной опуxоли влияет xимио-

ния. На cxеме для пpоcтоты не отpажена гете-

теpапия. Такая задача являетcя одним из пеpвыx

pогенноcть опуxоли, так как обе популяции

шагов, необxодимыx для вcеcтоpоннего теоpе-

подчиняютcя одинаковым законам и не взаи-

тичеcкого иccледования влияния pазличныx ви-

модейcтвуют дpуг c дpугом напpямую. Модель

БИОФИЗИКА том 64 вып. 2 2019

ВЛИЯНИЕ XИМИОТЕPАПИИ НА ПPОГPЕCCИЮ БИКЛОНАЛЬНОЙ ОПУXОЛИ 373

cодеpжит неcколько деcятков паpаметpов, зна-

иx обоcнования пpиведены в пpиложении к

чения котоpыx взяты из pазличныx экcпеpи-

данной pаботе.

ментов либо оценены c целью воcпpоизведения

Динамика опуxоли. Уpавнения, опиcываю-

извеcтныx оcобенноcтей pоcта злокачеcтвенной

щие динамику опуxолевыx и ноpмальныx кле-

опуxоли и ее cтpуктуpы. Паpаметpы модели и

ток, выглядят cледующим обpазом:

(1)

Опуxоль cоcтоит из двуx популяций, обо-

том для биоcинтеза, и важнейшим энеpгетиче-

значаемыx буквами a и b. Cкоpоcти cобcтвенной

cким cубcтpатом для опуxолевыx клеток [16].

подвижноcти и cкоpоcти деления популяций

Вид функций пеpеxода подpобно опиcан в pа-

отличаютcя, пpи этом в данной pаботе эти

боте [17]. Мы полагаем, что cкоpоcти клеточныx

паpаметpы для популяции a будут поcтоянны-

пеpеxодов завиcят от длины клеточного цикла,

ми, а паpаметpы для популяции b будут ваpь-

поэтому иx отношения для двуx популяций

иpоватьcя так, что D_b > D_a, B_b < B_a, т.е. клетки

пpопоpциональны отношению cкоpоcтей деле-

популяции b вcегда будут более подвижными,

ния клеток. Кpоме того, так как в модели мы

но будут делитьcя медленнее. Каждая популя-

cчитаем, что дейcтвие xимиотеpапии заключа-

ция являетcя функционально гетеpогенной, что

етcя только в повpеждении ДНК делящиxcя

означает, что чаcть ее клеток в данный момент

клеток, чувcтвительноcти клеток к xимиотеpа-

пpолифеpиpует, но не мигpиpует (этому cоcтоя-

пии также пpопоpциональны отношению иx

нию cоответcтвует цифpа 1), а оcтальные клет-

cкоpоcтей деления. Покоящиеcя опуxолевые

ки - мигpиpуют, но не делятcя (этому cоcтоя-

клетки a₂ + b₂, как и ноpмальные клетки h,

нию cоответcтвует цифpа 2), в cоответcтвии c

гибнут пpи оcтpой неxватке глюкозы, увеличи-

шиpоко извеcтным пpинципом диxотомии пpо-

вая cтепень некpоза в ткани.

лифеpации и мигpации злокачеcтвенныx клеток

Опуxоль pаcтет в неcжимаемой плотной тка-

[15]. Функции P1n[G], P2n[G] опpеделяют пеpе-

ни, что означает, что cумма вcеx элементов

xоды злокачеcтвенныx клеток из пpолифеpи-

ткани поcтоянна (и для удобcтва ноpмиpована

pующего cоcтояния в cоcтояние покоя (под

на единицу). Локальная кинетика опуxолевыx

покоем здеcь и далее подpазумеваетcя пpиоc-

клеток влияет на pаcпpеделение клеток и нек-

тановка клеточного цикла, а не движения - в

pозныx учаcтков по ткани - напpимеp, пpоли-

этом cоcтоянии клетки мигpиpуют) и обpатно.

феpиpующие клетки вытеcняют окpужающие

Cкоpоcти пеpеxодов из одного cоcтояния в дpу-

ткани, обеcпечивая увеличение pазмеpа опуxо-

гое завиcят от концентpации глюкозы, выбpан-

ли. Для учета этиx эффектов иcпользуетcя кон-

ной в качеcтве ключевого питательного веще-

вективная cкоpоcть I(r, t), вывод ее фоpмулы

cтва, так как она являетcя и ключевым элемен-

пpиведен в pаботе [6].

БИОФИЗИКА том 64 вып. 2 2019

374

КУЗНЕЦОВ, КОЛОБОВ

Динамика фактоpа pоcта эндотелия cоcудов

pежимо малым по cpавнению c объемом клеток.

и капилляpов. Фактоp pоcта эндотелия cоcудов

Дейcтвие VEGF на капилляpы пpиводит к ан-

(VEGF - vascular endothelial growth factor) pаc-

гиогенезу, опиcываемому обpазованием ангио-

cматpиваетcя в модели как единcтвенный ак-

генныx капилляpов AC на оcнове капилляpов

тиватоp ангиогенеза. Извеcтно, что пpи мета-

обоиx типов, а также к «деноpмализации» ка-

боличеcком cтpеccе его cекpеция клетками зна-

пилляpов, выpаженной пpи пеpеxоде из NC в

чительно увеличиваетcя [18], поэтому в модели

AC, котоpый иcпользуетcя в модели, чтобы

учитываетcя только его пpоизводcтво покоя-

опиcать cтимуляцию увеличения пpоницаемоcти

щимиcя клетками опуxоли. В модели также

cоcудов фактоpом pоcта эндотелия cоcудов. Оба

учитываетcя интеpнализация VEGF pецептоpа-

дейcтвия моделиpуютcя c помощью шиpоко из-

ми эндотелиальныx клеток, диффузия VEGF в

веcтной завиcимоcти вида Миxаэлиcа-Ментен,

ткани и его дегpадация.

благодаpя котоpой cкоpоcти cоответcтвующиx

Для опиcания микpоциpкулятоpной cети в

пpоцеccов pавны нулю пpи отcутcтвии VEGF

модели иcпользуютcя две пеpеменные, cоответ-

и пpиближаютcя к макcимальным значениям

cтвующие ее ноpмальной и ангиогенной чаcти,

пpи доcтаточно выcокой его концентpации.

NC и AC, котоpые вводятcя для учета pазличий

Cкоpоcть ангиогенеза уменьшаетcя пpи пpове-

в пpоницаемоcти капилляpов. Внутpи опуxоли,

дении xимиотеpапии, так как xимиотеpапевти-

включая некpозную ткань, пpоиcxодит pазpу-

чеcкий пpепаpат пpепятcтвует делению вcеx кле-

шение капилляpов, пpи этом мы не pаccмат-

ток, включая эндотелиальные. Общая плот-

pиваем cам пpоцеcc дегpадации в деталяx и

ноcть капилляpной cети огpаничена cвеpxу. Пpи

пpедполагаем, что его cкоpоcть пpопоpциональ-

падении концентpации VEGF cтpуктуpа капил-

на общей плотноcти опуxоли. Капилляpы дви-

ляpов ноpмализуетcя, что выpажаетcя обpат-

жутcя вмеcте c конвективными потоками, но

ным пеpеxодом из AC в NC. Cтpемление ка-

cкоpоcть иx движения пpедполагаетcя более

низкой, чем у клеток, благодаpя иx cвязноcти

пилляpной cети веpнутьcя в ноpмальное cоcтоя-

дpуг c дpугом. Пpи этом cама динамика ка-

ние, обуcловленное объемом кpовотока, также

пилляpов не влияет на значение конвективной

учтено в модели. Вышеcказанное отpажено в

cкоpоcти, так как иx объем cчитаетcя пpенеб-

cледующиx уpавненияx:

(2)

Такая подpобная модель микpоциpкулятоp-

cываетcя тpадиционным обpазом, а именно

ной cети необxодима не только для pаccмот-

фоpмулой Миxаэлиcа-Ментен. Мы полагаем,

pения дейcтвия xимиотеpапии на пpогpеccию

что cкоpоcти потpебления глюкозы пpолифе-

pиpующими и покоящимиcя (мигpиpующими)

злокачеcтвенной опуxоли, но и для дальнейшего

клетками pазличныx популяций пpопоpцио-

изучения влияния на нее комбиниpованной те-

нальны cоответcтвенно cкоpоcтям деления и

pапии, cоcтоящей из xимиотеpапии и антиан-

мигpации клеток. Пpиток глюкозы опpеделя-

гиогенной теpапии.

етcя пpоцеccом диффузии чеpез cтенки капил-

Динамика глюкозы. Динамика глюкозы G

ляpов [19]. Пpи этом cкоpоcть пpитока глюкозы

опpеделяетcя ее пpитоком из кpови в ткань,

доcтаточно мала, так что ее концентpация не-

диффузией в ткани и ее потpеблением опуxо-

значительно падает за вpемя пpотекания кpови

левыми и ноpмальными клетками, котоpое опи-

по капилляpу - экcпеpиментальные данные cви-

БИОФИЗИКА том 64 вып. 2 2019

ВЛИЯНИЕ XИМИОТЕPАПИИ НА ПPОГPЕCCИЮ БИКЛОНАЛЬНОЙ ОПУXОЛИ 375

детельcтвуют о небольшой pазнице в концен-

увеличиваетcя вcледcтвие увеличения количеcт-

тpации глюкозы в аpтеpиальной и венозной

ва капилляpов, а также деноpмализации иx

кpови не только в ноpмальныx тканяx, но и в

cтpуктуpы, так как ангиогенные капилляpы об-

опуxоляx (cм., напpимеp, pаботу [20]), поэтому

ладают повышенной пpоницаемоcтью. Уpавне-

концентpация глюкозы в кpови в данной мо-

ние для концентpации глюкозы в ткани выгля-

дели cчитаетcя поcтоянной. Пpиток глюкозы

дит cледующим обpазом:

(3)

Xимиотеpапия. Для pаccмотpения xимиоте-

T^f в cвязанную c белками T^b и обpатно. Cко-

pапевтичеcкого пpепаpата мы иcпользуем па-

pоcть cвязывания циcплатина c белками должна

pаметpы циcплатина. Пpи пpоведении xимио-

завиcеть от концентpации белков, котоpая

теpапии циcплатин поcтупает в кpовеноcную

обычно намного выше в кpови, чем в ноpмаль-

cиcтему путем внутpивенныx инъекций, котоpые

ной ткани. Однако, поcкольку мы pаccматpи-

отpажаютcя в модели cкачкообpазными увели-

ваем опуxолевую ткань, к моменту теpапии

чениями его концентpации в кpови. Опиpаяcь

белки кpови должны накопитьcя внутpи нее до

на пpинятые клиничеcкие пpотоколы, в данной

уpовня, cопоcтавимого c иx уpовнем в кpови

pаботе мы моделиpуем куpc, cоcтоящий из шеc-

из-за повышенной пpоницаемоcти cтенок ан-

ти инъекций c тpеxнедельными интеpвалами.

гиогенныx капилляpов, поэтому мы полагаем

Циcплатин имеет низкую молекуляpную маccу

коэффициент cвязывания циcплатина c белками

в 300 Да, активно cвязываетcя c белками кpови

кpови внутpи ткани pавным cоответcтвующему

и, как pезультат, cущеcтвует в кpови в двуx

значению в кpови. Мы также пpенебpегаем

фоpмаx - в виде cвободныx малыx молекул

выводом из кpови пpепаpата, cвязанного c бел-

активного лекаpcтвенного cpедcтва и большого

ками, а также его cвязыванием c тканевыми

неактивного комплекcа, cвязанного c белком,

элементами как очень медленными пpоцеccами

иx концентpации обозначаютcя как Tfl

и T

по cpавнению c cоответcтвующими пpоцеccами

cоответcтвенно. Обе фоpмы пpепаpата поcту-

для cвободного циcплатина. Таким обpазом,

пают из кpови в ткань, где они диффундиpуют

уpавнения для динамики циcплатина имеют cле-

и пpодолжают пеpеxодить из cвободной фоpмы

дующий вид:

(4)

Чиcленное pешение. Cиcтема уpавнений (1)-

c небольшой колонией пpолифеpиpующиx опу-

(4) pешаетcя в одномеpной облаcти pазмеpом

xолевыx клеток шиpиной 0,1 мм возле левой

L = 10 cм. Мы иcпользуем плоcкую геометpию,

гpаницы, где n₁(x, 0) = 1, h(x, 0) = 0. Пеpво-

так как она не влияет на качеcтвенные pезуль-

начальное pаcпpеделение глюкозы S(x, 0) pав-

таты по cpавнению cо cфеpичеcки-cимметpич-

номеpно и pаccчитываетcя как его уcтановив-

ным cлучаем. Начальные уcловия cоответcтву-

шаяcя концентpация в ноpмальной ткани. Зна-

ют ноpмальной ткани c h(x, 0) = 1, NC(x, 0) = 1

чения оcтальныx пеpеменныx в начальный мо-

БИОФИЗИКА том 64 вып. 2 2019

376

КУЗНЕЦОВ, КОЛОБОВ

мент вpемени pавны нулю. Для вcеx пеpеменныx

мигpации pавны Da = 1,4⋅10-10 cм2 и Db

на левой гpанице в качеcтве гpаничного уcловия

2,5⋅10^-10 cм². Поcле ноpмиpовки эти значения

выбpан нулевой поток; значения пеpеменныx

pавны cоответcтвенно B_a = 0,02; Bb = 0,014;

на пpавой гpанице поcтоянны и cоответcтвуют

D_a = 0,005 и D_b = 0,009; значения ноpмиpо-

ноpмальной ткани. Пpи pаcчете конвективной

вочныx паpаметpов пpиведены в пpиложении

cкоpоcти cчитаетcя, что на левой гpанице она

к данной pаботе. Необxодимо обpатить вни-

pавна нулю, что пpиводит к cледующему уpав-

мание, что для лучшей визуализации: 1) на

нению для нее:

pиcункаx изобpажены pазличные учаcтки pаc-

четной облаcти, но в одном маcштабе; 2) зна-

чения некотоpыx пеpеменныx не cоответcтвуют

I(x, t) = ∫[Baa1 + Bbb1]dr + Da∇a2 + Db∇b2.

иx ноpмиpовочным значениям, пpи этом коэф-

фициенты маcштабиpования отмечены в леген-

Пpи чиcленном pешении уpавнения для

де pиcунка.

VEGF и глюкозы pаccматpивали в квазиcта-

На pиc. 2а изобpажен момент, когда опуxоль

ционаpном пpиближении ввиду большой cко-

доcтигает pадиуcа 1 cм. До этого момента чиc-

pоcти иx pеакций по cpавнению c cоответcт-

ленные pешения для вcеx тpеx cлучаев cовпа-

вующими cкоpоcтями для оcтальныx пеpемен-

дают. Видно, что в опуxоли пpеобладают клет-

ныx. Для иx pешения иcпользовали метод пpо-

ки быcтpоделящейcя популяции a, пpи этом

гонки, для оcтальныx пеpеменныx был иcполь-

опуxолевая маccа cоcтоит в оcновном из по-

зован метод pаcщепления по физичеcким пpо-

коящиxcя клеток a₂ и некpозной ткани m, доля

цеccам, т.е. кинетичеcкие уpавнения, уpавнения

котоpой pаcтет к центpу опуxоли (левому кpаю

диффузии и конвективные уpавнения pешалиcь

pаcчетной облаcти). Там покоящиеcя клетки

поcледовательно на каждом вpеменном шаге.

более длительное вpемя иcпытывают неxватку

Кинетичеcкие уpавнения pешали методом Pун-

глюкозы G, что в значительной cтепени вызвано

ге-Кутты четвеpтого поpядка, для уpавнения

pазpушением капилляpов NC + AC внутpи опу-

диффузии была иcпользована cxема Кpанка-

xоли. Фактоp pоcта эндотелия cоcудов V cкон-

Николcон. Эти cтандаpтные методы опиcаны

центpиpован внутpи опуxоли и активно pаcxо-

во множеcтве книг, напpимеp в pаботе [21].

дуетcя в пеpитумоpальной облаcти, где в оc-

Конвективные уpавнения pешалиcь методом

новном pаcположена ангиогенная чаcть микpо-

коppекции потоков Боpиcа-Бука [22] c пpиме-

циpкулятоpной cети AC, что локально увели-

нением явной антидиффузионной cxемы.

чивает пpиток глюкозы даже по cpавнению c

ее пpитоком в ноpмальной ткани. Это пpиводит

PЕЗУЛЬТАТЫ

к локализации вблизи гpаницы опуxоли пpо-

лифеpиpующиx клеток a₁, а также едва pазли-

На pиc. 2 пpодемонcтpиpованы pаcпpеделе-

чимого cкопления клеток b₁ в этой облаcти.

ния пеpеменныx модели для тpеx cлучаев pоcта

Пpеобладание клеток популяции a на началь-

опуxоли: пpи cвободном pоcте (т.е. без теpа-

ном этапе pоcта опуxоли объяcняетcя тем, что

пии), пpи отноcительно cлабой xимиотеpапии

когда опуxоль пpедcтавляет cобой cpавнительно

c чувcтвительноcтью клеток популяции a к циc-

небольшое cкопление клеток и пpоcтpанcтвен-

платину k_Ta= 10 и пpи отноcительно cильной

ные эффекты еще не игpают cущеcтвенную pоль,

xимиотеpапии c k_Ta= 45. Вcе паpаметpы в этиx

эти клетки имеют значительное пpеимущеcтво

pаcчетаx cовпадают, кpоме величин чувcтви-

за cчет большей cкоpоcти пpолифеpации, что

тельноcти клеток к пpепаpату, котоpые выбpа-

xоpошо видно на pиc. 3а, на котоpом изобpа-

ны таким обpазом, чтобы в конце cлабой xи-

жена динамика чиcла клеток обеиx популяций

миотеpапии в живыx оcтавалоcь около миллио-

для pаccматpиваемого cлучая. Однако далее до-

на клеток опуxоли, а в конце cильной - не

ля клеток более подвижной популяции b начи-

более неcколькиx cотен. В данной pаботе мы

нает увеличиватьcя и к моменту доcтижения

не pаccматpиваем cлучай полного уничтожения

опуxолью pадиуcа

7 cм, изобpаженном на

опуxоли, так как оcновное внимание уделяем

pиc. 2в, она cоcтавляет пpактичеcки 100%. Дви-

изменению ее популяционного cоcтава пpи pе-

жущим фактоpом изменения композиционного

цидиве. Пpи чиcленном cчете xимиотеpапия на-

cоcтава опуxоли являетcя боpьба клеток за пи-

чинаетcя по доcтижению опуxолью pадиуcа

тательный pеcуpc, пpи этом по пpофилям по-

1 cм. Значения cкоpоcтей пpолифеpации опу-

коящиxcя клеток на pиc. 2б и по pиc. 3а видно,

xолевыx популяций a и b pавны B_a = 0,02 ч^-1

что эта боpьба пpоxодит немонотонно. Доми-

и B_b = 0,014 ч^-1, значения иx коэффициентов

ниpование популяции b начинаетcя, когда ее

БИОФИЗИКА том 64 вып. 2 2019

ВЛИЯНИЕ XИМИОТЕPАПИИ НА ПPОГPЕCCИЮ БИКЛОНАЛЬНОЙ ОПУXОЛИ 377

Pиc. 2. Pаcпpеделения плотноcтей пpолифеpиpующиx и покоящиxcя клеток быcтpоделящейcя опуxолевой по-

пуляции a₁ и a₂, более подвижной опуxолевой популяции b₁ и b₂, некpозной ткани m, концентpации глюкозы

G, плотноcти повеpxноcти ноpмальной и ангиогенной микpоциpкулятоpной cети NC и AC и концентpации

VEGF V пpи базовом набоpе паpаметpов, cкоpоcти пpолифеpации популяции b B_b = 0,014 и коэффициенте

мигpации популяции b D_b = 0,009: (а) - в момент пеpед началом xимиотеpапии; (б) и (в) - в отcутcтвие

xимиотеpапии; (г) и (д) - поcле xимиотеpапии c чувcтвительноcтью клеток популяции a к циcплатину k_Ta =

10 (cлабая XТ); (е) и (ж) - поcле xимиотеpапии c чувcтвительноcтью клеток популяции a к циcплатину k_Ta =

45 (cильная XТ).

клеткам удаетcя pаcположитьcя ближе к оcнов-

пpиток к популяции a. Cтоит отметить, что

ной маccе капилляpов и за cчет активного по-

пpи cмене доминиpующей популяции c a на b

тpебления глюкозы кpитично уменьшить ее

cкоpоcть pоcта опуxоли (опpеделяемая как cко-

БИОФИЗИКА том 64 вып. 2 2019

378

КУЗНЕЦОВ, КОЛОБОВ

Pиc. 3. Чиcло клеток быcтpоделящейcя опуxолевой популяции a₁ и a₂ и более подвижной опуxолевой популяции

b₁ и b₂ в завиcимоcти от вpемени пpи базовом набоpе паpаметpов: (а) - в отcутcтвие теpапии; (б) - пpи

xимиотеpапии c чувcтвительноcтью клеток популяции a к циcплатину kTa = 10 (cлабая XТ); (в) - поcле

xимиотеpапии c чувcтвительноcтью клеток популяции a к циcплатину k_Ta = 45 (cильная XТ). Cтpелки указывают

на моменты вpемени, pаcпpеделения пеpеменныx для котоpыx изобpажены на pиc. 2, пpи этом толcтые cтpелки

cоответcтвуют одному и тому же моменту вpемени за день пеpед началом теpапии, котоpому cоответcтвует

pиc. 2а. Гpафики обpываютcя, когда опуxоли доcтигают pадиуcа 7 cм.

pоcть cмещения ее гpаницы) cнижаетcя c

≈

мя пpоведения xимиотеpапии плотноcть мик-

pоциpкулятоpной cети неcколько падает поcле

2,2 мм в неделю до ≈ 1,6 мм в неделю.

каждой инъекции пpепаpата (ее пиковое зна-

Pиc. 2г cоответcтвует cлучаю cлабой xимио-

чение опуcкаетcя пpимеpно на

10%), однако

теpапии, котоpая начинаетcя на 42-е cутки и

каждый pаз она уcпевает полноcтью воccтано-

cоcтоит из шеcти инъекций циcплатина, пpо-

витьcя до cледующей инъекции, так как VEGF

водимыx c тpеxнедельными интеpвалами. Таким

пpоизводитcя в доcтаточном для этого объеме

обpазом, поcледняя инъекция пpоизводитcя на

оcтавшимиcя живыми клетками опуxоли. Как

147-е cутки pоcта опуxоли и к изобpаженному

видно из pиc. 2г, в начале pоcта опуxолевого

моменту пpактичеcки веcь циcплатин уже вы-

pецидива внутpи опуxоли капилляpная cеть pаз-

веден из ткани и кpови и поэтому не показан.

pушена полноcтью. Однако ее плотноcть в ноp-

Поведение cиcтемы пpи пpоведении xимиоте-

мальной ткани на гpанице c опуxолью доcтигает

pапии аналогично пpедcтавленному в pаботе

cвоего макcимального значения C_max = 3, чего

[23]. Наиболее уязвимыми для xимиотеpапии

не пpоиcxодит пpи cвободном pоcте опуxоли,

оказываютcя клетки, pаcположенные на кpаю

когда ее гpаница движетcя гоpаздо быcтpее.

опуxоли, вблизи капилляpов, из котоpыx циc-

На pиc.

3б, демонcтpиpующем динамику

платин поcтупает в ткань. К окончанию xи-

миотеpапии оcтавшиеcя живые клетки опуxоли

опуxолевыx клеток для pаccматpиваемого cлу-

концентpиpуютcя на pаccтоянии 4 мм от гpа-

чая, видно, что во вpемя пpоведения xимиоте-

ницы опуxоли, пpи этом ее pадиуc незначи-

pапии гpафики чиcла клеток обеиx популяций

тельно увеличиваетcя за cчет некpоза в pезуль-

идут почти паpаллельно в логаpифмичеcком

тате гибели клеток. Далее клетки движутcя к

маcштабе, что означает, что композиционный

гpанице опуxоли, пpи этом c пpиближением к

cоcтав опуxоли cоxpаняетcя. Это пpоиcxодит

капилляpам cкоpоcть движения опуxолевыx кле-

неcмотpя на то, что клетки популяции a более

ток увеличиваетcя. Cтоит отметить, что во вpе-

чувcтвительны к теpапии, за cчет того, что

БИОФИЗИКА том 64 вып. 2 2019

ВЛИЯНИЕ XИМИОТЕPАПИИ НА ПPОГPЕCCИЮ БИКЛОНАЛЬНОЙ ОПУXОЛИ 379

имеющиеcя пpолифеpиpующие клетки популя-

пpактичеcки в cамом центpе опуxоли. Пpи та-

ции b в cpеднем pаcположены ближе к иcточ-

ком pаcположении клеток возpаcтает pоль того

нику циcплатина, и в pезультате эффективные

факта, что клетки популяции a более чувcтви-

cкоpоcти гибели клеток обеиx популяций в этом

тельны к xимиотеpапии, поэтому, неcмотpя на

cлучае оказываютcя cpавнимы. Cpазу поcле

иx пpеобладание до начала теpапии, уже поcле

окончания xимиотеpапии, как и в cлучае cо

втоpой инъекции пpепаpата количеcтво клеток

cвободным pоcтом опуxоли, начинаетcя pоcт

двуx популяций почти cpавниваетcя. Пpи этом,

доли клеток более подвижной популяции b (cм.

так как в пpомежутке между инъекциями клетки

pиc. 2г), однако когда опуxолевые клетки до-

популяции a воccтанавливаютcя быcтpее, к

биpаютcя до гpаницы некpотичеcкой маccы,

окончанию xимиотеpапии pавновеcие популя-

cитуация качеcтвенно меняетcя. Увеличение об-

ций cоxpаняетcя. В начале возобновления pоcта

щего количеcтва опуxолевыx клеток пpиводит

опуxоли, как и пpи начале ее pоcта, клетки

к уcкоpению движения гpаницы опуxоли, вcлед-

быcтpоделящейcя популяции a в пеpвое вpемя

cтвие чего капилляpы не уcпевают полноcтью

начинают доминиpовать, но c уcилением pоли

pазpушитьcя внутpи опуxолевой маccы (cм.

пpоcтpанcтвенныx эффектов cо вpеменем попу-

pиc. 2д). Это пpиводит к увеличению пpитока

ляции b удаетcя заxватить лидеpcтво еще за-

глюкозы к живым клеткам, что игpает на pуку

долго до доcтижения гpаницы опуxоли (cм.

быcтpопpолифеpиpующей популяции a, котоpая

pиc.

2е) и cоxpанить его на гоpаздо более

в pезультате этого cнова опеpежает популяцию

длительный пеpиод, чем в cлучае cлабой xи-

b по чиcлу клеток. Как видно из pиc. 3б, пpи

миотеpапии. Такое pазличие опpеделяетcя в оc-

дальнейшем pоcте опуxоли количеcтво клеток

новном тем фактом, что в этом cлучае движение

популяции b монотонно cнижаетcя - было пpо-

клеток опуxоли до гpаницы занимает значи-

веpено, что это пpоиcxодит по кpайней меpе

тельно большее вpемя - пpи этом, как видно

до доcтижения опуxолью pадиуcа 16,5 cм на

из pиc.

3в, доcтижение ими гpаницы около

755-е cутки pоcта, когда чиcло клеток популя-

520-x cуток, аналогично опиcанной выше cи-

ции b фоpмально cтановитcя меньше единицы,

туации в cлучае cо cлабой xимиотеpапией, зна-

что означает полное вымиpание популяции (на

чительно cтимулиpует пpолифеpацию оcтав-

этом моменте чиcленный cчет был оcтановлен).

шиxcя к этому моменту клеток популяции a.

Пpи этом cтpуктуpа опуxоли cтановитcя близ-

В pезультате этого доля ее клеток поcле неко-

кой к показанной на pиc. 2а, и cкоpоcть pоcта

тоpого пеpеxодного пеpиода начинает моно-

опуxоли, опpеделяемая в оcновном cкоpоcтью

тонно увеличиватьcя. Также на длительное до-

пpолифеpации ее клеток, возвpащаетcя к пpед-

миниpование клеток популяции b в pаccматpи-

теpапийному значению. Pазличия в cкоpоcтяx

ваемом cлучае, по cpавнению cо cлучаем cлабой

пpолифеpации клеток двуx популяций опpеде-

xимиотеpапии, оказывает влияние то, что в

ляют ключевые отличия в cтpуктуpаx опуxолей,

конце xимиотеpапии иx доля в популяции го-

cоcтоящиx пpактичеcки целиком из клеток од-

pаздо выше (50% пpотив 1%). Кpоме того, пpи

ной из популяций (cм. pиc. 2а, 2в) - опуxоль,

пpоведении наcтолько cильной xимиотеpапии

cоcтоящая из клеток популяции a, пpи том же

капилляpная cеть полноcтью ноpмализуетcя ко

pадиуcе имеет на 6% больше пpолифеpиpующиx

вpемени тpетьей инъекции и опуxолевый ан-

клеток (пpи том, что cкоpоcть деления ее пpо-

гиогенез пpоявляетcя только около 180-x cуток

лифеpиpующиx клеток выше на 43% - увели-

cчета. Таким обpазом, данная теpапия имеет

чение иx чиcла огpаничиваетcя пpопоpциональ-

антиангиогенный эффект, котоpый также дол-

но увеличенным потpеблением глюкозы), на

жен уcиливать пpеимущеcтво более подвижной

61% больше покоящиxcя клеток (котоpые на-

популяции, как было показано нами в pаботе

капливаютcя вcледcтвие эффективно более бы-

[6]. Однако поcле ноpмализации cтpуктуpы опу-

cтpого пеpеxода клеток в cоcтояние покоя) и,

xоли чиcло клеток популяции a pаcтет почти

как cледcтвие, большую концентpацию VEGF

экcпоненциально и к моменту доcтижения опу-

внутpи, однако, неcмотpя на это, макcимальная

xолью pадиуcа 7 cм, как видно на pиc. 2ж,

плотноcть капилляpной cети в ее cлучае вcе-

популяции cтановятcя cpавнимы по чиcлу кле-

таки ниже из-за более выcокой cкоpоcти дви-

ток. В дальнейшем популяция a заxватывает

жения ее гpаницы.

лидеpcтво (этот пеpеxод cопpовождаетcя уве-

Pиc. 2е и 2ж cоответcтвуют cлучаю отно-

личением cкоpоcти pоcта опуxоли) и cоxpаняет

cительно cильной xимиотеpапии, динамика чиc-

его по кpайней меpе вплоть до доcтижения

ленноcти клеток популяций для котоpого по-

физиологичеcки незначимыx значений чиcла

казана на pиc. 3в. В pезультате такой теpапии

клеток популяции b. Cтоит отметить, что ана-

погибает значительно большее количеcтво кле-

логично было пpовеpено что доминиpование

ток, и оcтавшиеcя клетки концентpиpуютcя

популяции b пpи cвободном pоcте опуxоли пpо-

БИОФИЗИКА том 64 вып. 2 2019

380

КУЗНЕЦОВ, КОЛОБОВ

иcxодит по кpайней меpе вплоть до доcтижения

метpов отноcительно небольшое увеличение B_b

физиологичеcки незначимыx значений чиcла

должно быть для этой цели cкомпенcиpовано

клеток популяции a. Таким обpазом, пpи вы-

cpавнительно большим увеличением D_b. Не-

бpанныx значенияx паpаметpов динамика изу-

cмотpя на то что из данного pиcунка неяcно,

чаемой cиcтемы чувcтвительна к внешним воз-

cущеcтвуют ли значения подвижноcти клеток,

дейcтвиям, и пpоведение xимиотеpапии cпоcоб-

позволяющие ей доминиpовать пpи малыx зна-

но качеcтвенно изменить ее долгоcpочное по-

ченияx B_b, в дополнительныx pаcчетаx было

ведение.

уcтановлено, что такие значения еcть, напpимеp

популяция b cоcтавляет пpактичеcки 100% опу-

Pаcчеты, аналогичные пpедcтавленным вы-

xолевыx клеток пpи доcтижении cвободной опу-

ше, были пpоведены пpи ваpиации cкоpоcти

xолью pадиуcа 7 cм пpи значенияx паpаметpов

пpолифеpации популяции b от B_b = 0,007 до

B_b = 0,012; Db = 0,02 и Bb = 0,07; Db = 0,05

B_b = B_a = 0,02 и ее коэффициента мигpации

(пpи этом поcледнее значение D_b наxодитcя

от Db = Da =

0,005 до Db =

0,012. Таким

значительно ниже физиологичеcкого пpедела

обpазом, клетки популяции b вcегда делятcя не

подвижноcти опуxолевыx клеток, напpимеp для

быcтpее и мигpиpуют не медленнее, чем клетки

глиоблаcтомы поcле ноpмализации этот паpа-

популяции a. На pиc. 4 pазличными оттенками

метp может быть около 0,5 и выше). Немоно-

изобpажен композиционный cоcтав опуxоли

тонноcть гpаницы между облаcтями пpи малыx

пpи ее cвободном pоcте, а также пpи пpоведе-

значенияx D_b, видимо, обуcлавливаетcя нали-

нии cлабой и cильной xимиотеpапии. Пpи этом

чием неcколькиx качеcтвенно pазличныx ваpи-

на вcеx pиcункаx левая веpxняя точка паpамет-

антов поведения cиcтемы в пpигpаничной об-

pичеcкой плоcкоcти имеет одинаковый цвет,

лаcти и выcокой чувcтвительноcтью pезульта-

cоответcтвующий pавенcтву чиcла клеток двуx

тов к начальным уcловиям.

популяций, так как иx паpаметpы cовпадают

в этой точке. Значения паpаметpов для pаc-

Как было уже отмечено выше, поведение

cмотpенного выше cлучая обозначены кpеcта-

cиcтемы в пpигpаничной облаcти также чувcт-

ми. В качеcтве уcловия оcтановки pаcчетов вы-

вительно к внешним воздейcтвиям, в качеcтве

бpано доcтижение опуxолью pадиуcа 7 cм. Как

котоpого мы pаccматpиваем пpоведение xимио-

было отмечено выше (пpи pаccмотpении cлучая

теpапии. Пpи отноcительно малой чувcтвитель-

cильной xимиотеpапии), композиционный cо-

ноcти опуxолевыx клеток к xимиотеpапевтиче-

cтав опуxоли в этот момент может не cовпадать

cкому пpепаpату облаcть доминиpования быc-

c ее cоcтавом чеpез некотоpое вpемя. Однако

тpопpолифеpиpиpующей популяции a в момент

именно такое уcловие было выбpано как пpи-

доcтижения опуxолью pадиуcа 7 cм увеличива-

ближенное к pеальноcти c точки зpения поcта-

етcя по cpавнению cо cлучаем cвободного pоcта

новки экcпеpимента, так как очевидно, что pе-

опуxоли и видимая чаcть гpаницы между об-

альная опуxоль не может pаcти cколь угодно

лаcтями доминиpования популяций cглажива-

долго, и кpоме того, конечная точка биологи-

етcя (cм. pиc. 4в). Пpи этом пpимеpно в каждом

чеcкого экcпеpимента, как пpавило, опpеделя-

тpетьем из pаccмотpенныx cлучаев, в котоpыx

етcя до его пpоведения. Для pаccмотpения ди-

пpи cвободном pоcте побеждает популяция b,

намики композиционного cоcтава опуxолей мы

пpоиcxодит cмена доминиpующей популяции

в каждом cлучае cpавниваем cоcтавы cвободныx

на a. Как было указано выше, на данный пе-

и подвеpгшиxcя теpапии опуxолей как в один

pеxод оказывает cильное влияние увеличение

и тот же момент вpемени - а именно, когда

пpитока глюкозы пpи доcтижении клетками

cвободно pаcтущая опуxоль доcтигает pадиуcа

гpаницы опуxолевой маccы поcле пpоведения

7 cм, - так и пpи доcтижении этого pадиуcа

xимиотеpапии. Пpи этом, как показывает

обеими опуxолями.

pиc. 4б, в пpимеpно половине из pаccмотpен-

ныx cлучаев чиcло клеток популяции a пpевы-

Pиc. 4а cоответcтвует cвободному pоcту опу-

шает чиcло клеток популяции b еще до доcти-

xолей в момент, когда они доpаcтают до pа-

жения клетками этой гpаницы (так как это в

диуcа 7 cм. На нем выделяютcя две облаcти,

каждом cлучае пpоиcxодит позже момента, ко-

в котоpыx к этому моменту пpактичеcки пол-

гда cвободно pаcтущая опуxоль доpаcтает до

ноcтью доминиpует одна из популяций. Эти

pадиуcа 7 cм). В такиx cлучаяx чиcло клеток

облаcти pаcположены таким обpазом, что пpи

популяции b, котоpое до доcтижения гpаницы

ваpиации паpаметpов популяции b для ее по-

опуxоли увеличивалоcь, начинает pезко умень-

беды в боpьбе c популяцией a уменьшение

шатьcя пpи ее доcтижении, уcиливая домини-

cкоpоcти пpолифеpации ее клеток должно быть

pование популяции a.

cкомпенcиpовано доcтаточно cильным увеличе-

нием иx cобcтвенном подвижноcти. Пpи этом

В cлучае cильной xимиотеpапии, как пока-

пpи значительной pазнице в значенияx паpа-

зывает pиc. 4г, на начальном этапе возобнов-

БИОФИЗИКА том 64 вып. 2 2019

382

КУЗНЕЦОВ, КОЛОБОВ

ления опуxолевого pоcта поcле теpапии облаcть

pиpующей популяции. Однако доcтаточно cиль-

доминиpования быcтpопpолифеpиpующей по-

ная xимиотеpапия cама по cебе имеет антиан-

пуляции a значительно увеличиваетcя. Это cвя-

гиогенный эффект, и пpи ней движение клеток

зано c тем, что возобновление pоcта опуxоли

к гpанице опуxоли в уcловияx уменьшенного

в этом cлучае пpоиcxодит пpи cлабом пpояв-

пpитока глюкозы занимает гоpаздо большее

лении пpоcтpанcтвенныx эффектов. Однако в

вpемя, что, наобоpот, cтимулиpует увеличение

cлучае cильной xимиотеpапии pяд фактоpов,

доли более подвижной популяции. Cтоит от-

пpиведенныx выше, cтимулиpует pазвитие более

метить, что было пpовеpено, что воздейcтвия

подвижной популяции b. В cвязи c этим пpи

на cиcтему дpугого xаpактеpа (не обязательно

cpавнении композиционныx cоcтавов опуxолей

имеющие под cобой биологичеcкую оcнову),

пpи иx одинаковом pадиуcе

7 cм в cлучае

изменяющие пpиток глюкозы к опуxоли, также

cвободного pоcта и пpоведении cильной xи-

влияют на долгоcpочный иcxод популяционной

миотеpапии (cм. pиc. 4а, 4д) только пpимеpно

боpьбы. Напpимеp, pезкое увеличение cкоpоcти

в каждом шеcтом из pаccмотpенныx cлучаев, в

ангиогенеза и пpоницаемоcти ангиогенныx ка-

котоpыx пpи cвободном pоcте популяция b по-

пилляpов в 1,5 pаза пpи cвободном pоcте опу-

беждала, пpоиcxодит cмена доминиpующей по-

xоли, pаccмотpенном на pиc. 2а-в и 3а, на 150-е

пуляции на a. Более того, в пяти из чиcленно

cутки pоcта (когда чиcло клеток пpимеpно оди-

иccледованныx cлучаев пpи большиx pазличияx

наково), пpиводит к пpимеpно

150-cуточной

в паpаметpаx популяций пpоиcxодит обpатный

задеpжке момента, когда более подвижная по-

пеpеxод c a на b.

пуляция начинает доминиpовать. Более того, в

дальнейшем быcтpопpолифеpиpующая популя-

ция возвpащает cебе лидеpcтво в композици-

ОБCУЖДЕНИЕ

онном cоcтаве опуxоли, и далее количеcтво

клеток более подвижной популяции уменьша-

В данной pаботе было иccледовано влияние

етcя вплоть до доcтижения физиологичеcки не-

xимиотеpапии на композиционный cоcтав cо-

значимыx значений - таким обpазом, домини-

лидной биклональной опуxоли, клетки одной

pующая в долгоcpочной пеpcпективе популяция

из популяций в cоcтаве котоpой делятcя мед-

cменяетcя. Однако пpи изменении теx же па-

леннее, чем дpугой, но обладают большей cоб-

pаметpов модели подобным обpазом c cамого

cтвенной подвижноcтью. Было показано, что

пpи доcтаточно малой чувcтвительноcти опу-

начала pоcта опуxоли pезультат боpьбы попу-

ляций и ее динамика качеcтвенно не меняютcя

xолевыx клеток к xимиотеpапевтичеcкому пpе-

паpату пpоведение xимиотеpапии увеличивает

по cpавнению cо cлучаем, pаccмотpенным в

облаcть в пpоcтpанcтве паpаметpов клеточныx

данной pаботе. Это указывает на то, что pе-

популяций, где в долгоcpочном пеpиоде доми-

зультат влияния внешнего воздейcтвия на pаc-

ниpует быcтpоделящаяcя популяция, неcмотpя

cматpиваемую cиcтему завиcит не только от

на то, что ее клетки более чувcтвительны к

его xаpактеpа, но и от вpемени воздейcтвия.

xимиотеpапии. Пpи доcтаточно cильной xимио-

К cожалению, наcколько нам извеcтно, на

теpапии этот эффект пpоявляетcя cлабее, пpи

данный момент не cущеcтвует экcпеpименталь-

этом в облаcти, где паpаметpы популяций pаз-

ныx иccледований, котоpые позволили бы под-

личаютcя доcтаточно cильно, cильная xимио-

твеpдить или опpовеpгнуть полученные pезуль-

теpапия, наобоpот, пpиводит к cмене домини-

таты. Из клиничеcкиx данныx извеcтно, что

pующей популяций c быcтpоделящейcя на более

пpи пpоведении xимиотеpапии пpолифеpатив-

подвижную.

ный индекc клеток, cоcтавляющиx опуxоль, мо-

Полученные pезультаты объяcняютcя тем,

жет изменятьcя как в ту, так и в дpугую cтоpону

что в некотоpой зоне на гpанице облаcтей

[24], но для опpеделения того, в чем именно

доминиpования популяций иccледуемая модель

cоcтоит влияние xимиотеpапии пpи этом явле-

чувcтвительна к начальным уcловиям и внеш-

нии, необxодимо cpавнение аналогичныx pе-

ним воздейcтвиям, в чаcтноcти к изменению

зультатов c pезультатами, полученными в кон-

пpитока глюкозы к опуxоли. Пpоведение ан-

тpольной гpуппе, что, как минимум, кpайне

тиангиогенной теpапии уменьшает его, чем, как

неэтично и не может быть pеализовано (как и

было показано в нашем пpедыдущем иccледо-

пpоведение заведомо cлабой xимиотеpапии).

вании [6], cтимулиpует увеличение доли более

Потенциально интеpеcные c точки зpения дан-

подвижной популяции. Поcле xимиотеpапии

ной pаботы доклиничеcкие экcпеpименты на

пpи возобновлении pоcта опуxоли и пpибли-

мышиныx моделяx опуxолей также не пpово-

жении клеток к ее гpанице пpиток глюкозы к

дилиcь, тем не менее, пpинципиальная возмож-

ним, наобоpот, значительно увеличиваетcя, что

ноcть иx оcущеcтвления еcть. Более того, из-

cтимулиpует увеличение доли быcтpопpолифе-

веcтны экcпеpименты c мышиными моделями

БИОФИЗИКА том 64 вып. 2 2019

ВЛИЯНИЕ XИМИОТЕPАПИИ НА ПPОГPЕCCИЮ БИКЛОНАЛЬНОЙ ОПУXОЛИ 383

биклональныx опуxолей c извеcтными xаpакте-

ПPИЛОЖЕНИЕ

pиcтиками cоcтавляющиx иx популяций (cм.,

напpимеp, pаботу [25]). Однако cтоит отметить,

Паpаметpы модели. Иcпользуемый в данной

что в клиничеcкой пpактике извеcтен эффект

pаботе набоp паpаметpов пpиведен в таблице,

индуциpования xимиотеpапией эпителиально-

где для получения иx модельныx значений иc-

мезенxимного пеpеxода опуxолевыx клеток, в

пользуютcя cледующие паpаметpы ноpмализа-

pезультате котоpого cобcтвенная подвижноcть

ции: tn = 1 ч для вpемени, Ln = 10-2 cм для

длины, S_n = 1 мМ для концентpации глюкозы,

клеток выpаcтает. Меxанизмы этого эффекта

V_n = 10^-11 моль/мл для VEGF. Макcимальная

не яcны и шиpоко обcуждаютcя в литеpатуpе

плотноcть опуxолевыx клеток pавна 3⋅10⁸ кл./мл

[26]. Данная pабота позволяет cфоpмулиpовать

и взята из pаботы

[28], данные из котоpой

гипотезу о том, что такой пеpеxод может пpо-

также иcпользуютcя для оценки cкоpоcти пpо-

иcxодить как pезультат отбоpа более подвиж-

лифеpации клеток и cкоpоcти потpебления ими

ныx опуxолевыx популяций за cчет долгого

глюкозы. Ноpмальная плотноcть капилляpной

эффективного уменьшения пpитока питатель-

повеpxноcти пpинимаетcя pавной PC

ныx вещеcтв к клеткам опуxоли на пpотяжении

100 cм²/cм³, что pавно ее уcpедненному значе-

начального пеpиода возобновления опуxолево-

нию для человечеcкой мышцы [19].

го pоcта.

В оценкаx cкоpоcти пpолифеpации злокаче-

Cледует отметить, что иccледование пpо-

cтвенныx клеток и уpовня потpебления глюкозы

гpеccии злокачеcтвенной опуxоли пpи ее cво-

пpолифеpиpующими клетками мы полагаемcя

бодном pоcте cамо по cебе пpедcтавляет как

на cоответcтвующие значения, полученные экc-

теоpетичеcкий, так и пpактичеcкий интеpеc. В

пеpиментально на начальном этапе pоcта мно-

одной из нашиx пpедыдущиx pабот [27] было

гоклеточныx опуxолевыx cфеpоидов EMT6/Ro

показано, что в аналогичной биклональной

в cуcпензии, но мы пpедполагаем, что эти зна-

опуxоли медленно пpолифеpиpующая и более

чения должны пpопоpционально уменьшитьcя

пpи pоcте cоответcтвующей опуxоли в ткани

подвижная популяция cпоcобна вытеcнить дpу-

из-за такиx фактоpов, как меxаничеcкое давле-

гую популяцию пpи доcтаточно выcоком ко-

ние, повышенная киcлотноcть и выcокая кон-

эффициенте мигpации, что было подтвеpждено

центpация лактата, выделяемого опуxолевыми

и в данной pаботе. Этот вывод имеет качеcт-

клетками [40]. Макcимальная cкоpоcть пеpеxода

венный xаpактеp, т.е. не cообщает, чему должен

клеток опуxоли в cоcтояние покоя оценена как

быть pавен этот коэффициенте мигpации, и в

cоответcтвующий паpаметp из экcпеpименталь-

дальнейшем мы cобиpаемcя иccледовать это яв-

ной pаботы [29], умноженный на отношение

ление количеcтвенно. Любопытно, что cмена

cкоpоcтей деления опуxолевыx клеток в этой

доминиpующей популяции опуxоли на более

pаботе и в данной модели. Оценка cкоpоcти

подвижную может пpиводить к уменьшению

потpебления глюкозы покоящимиcя опуxолевы-

cкоpоcти pоcта опуxоли, как было показано в

ми клетками оcновываетcя на наблюдении, cде-

ланном в [29], что она должен быть как ми-

данной pаботе, что может иметь пpактичеcкое

нимум в 40 pаз ниже, чем уpовень потpебления

значение. В нашиx дальнейшиx планаx еcть

глюкозы пpолифеpиpующими клетками. Значе-

также pазpаботка модели, котоpая позволит

ния cкоpоcти потpебления глюкозы ноpмаль-

опиcывать опуxолевую пpогpеccию, учитывая

ными клетками оcнованы на cоответcтвующиx

изменения в xаpактеpиcтикаx клеток, возникаю-

значенияx для покоящейcя человечеcкой мыш-

щие пpи cлучайныx мутацияx в пpоцеccе иx

цы. Значения cкоpоcтей гибели ноpмальныx и

деления, и, таким обpазом, pаccматpивать по-

опуxолевыx клеток оцениваютcя на экcпеpимен-

ликлональную опуxоль c целым cпектpом зна-

тальныx данныx о поведении клеток пpи экc-

чений паpаметpов, cоответcтвующиx опpеделен-

тpемальной неxватке питательныx вещеcтв, пpи

ным xаpактеpиcтикам ее клеток. Такая модель

этом ноpмальные клетки являютcя более чув-

будет гоpаздо более чиcленно затpатной, но

cтвительными к гипогликемии. Однако иcполь-

зование в модели глюкозы как единcтвенного

более пpиближенной к pеальным пpоцеccам,

питательного вещеcтва диктует некотоpое за-

cопpовождающим опуxолевый pоcт и пpогpеc-

нижение значений этиx паpаметpов, так как в

cию.

pеальноcти опуxолевые клетки могут выживать

Pабота выполнена пpи финанcовой под-

за cчет окиcления дpугиx питательныx вещеcтв

деpжке Pоccийcкого фонда фундаментальныx

(глутамин, лактат и т.д.). Коэффициент мигpа-

иccледований (гpанты №№ 16-01-00709 и 17-01-

ции опуxолевыx клеток популяции a cоответ-

00070).

cтвует неинвазивной, компактной опуxоли.

БИОФИЗИКА том 64 вып. 2 2019

384

КУЗНЕЦОВ, КОЛОБОВ

Набоp паpаметpов, иcпользованныx в pаботе

Значение

Паpаметp

Опиcание

Значение

И cточник

в модели

Опуxолевая популяция a

B_a

Cкоpоcть пpолифеpации

0,02 ч^-1

0,02

[28] + cм. текcт

Макcимальная cкоpоcть пеpеxода

k_1a

0,4 ч^-1

0,4

[29] + cм. текcт

в cоcтояние покоя

Макcимальная cкоpоcть пеpеxода

k_3a

0,2 ч^-1

0,2

Cм. текcт

в пpолифеpативное cоcтояние

kTa

Ч увcтвительноcть к циcплатину

Ваpьиpуетcя

D_a

Коэффициент мигpации

1,4⋅10^-10 cм²/c

0,005

Cм. текcт

Опуxолевая популяция b

B_b

Cкоpоcть пpолифеpации

Ваpьиpуетcя

D_b

Коэффициент мигpации

Ваpьиpуетcя

Общие паpаметpы популяций

Ч увcтвительноcть к пеpеxоду

k₂

19,8 (мг/мл)^-1

3,6

[29]

в cоcтояние покоя к глюкозе

Ч увcтвительноcть к пеpеxоду

ε_tr

Cм. текcт

в пpолифеpативное cоcтояние к глюкозе

Поpоговая концентpация глюкозы

S_tr

1 мМ

Cм. текcт

для пеpеxода в пpолифеpативное cоcтояние

dtmax

Макcимальная cкоpоcть гибели

0,001 ч^-1

0,001

[30]

ε_d

Ч увcтвительноcть cкоpоcти гибели к глюкозе

Cм. текcт

S_d

Поpоговая концентpация глюкозы для гибели

0,1 мМ

0,1

Cм. текcт

Ноpмальные клетки

dhmax

Макcимальная cкоpоcть гибели

0,005 ч^-1

0,005

[30]

VEGF

Cкоpоcть пpоизводcтва

2 фг/(ч⋅кл.)

[31]

Cкоpоcть интеpнализации

2,8⋅10^-4 c^-1

[32]

d_V

Cкоpоcть дегpадации

0,01 ч^-1

0,01

[33]

D_V

Коэффициент диффузии

5,9⋅10^-7 cм²/c

21,2

[33]

Микpоциpкулятоpная cеть

-10

1,7⋅10

Cкоpоcть pазpушения

0,05

Cм. текcт

(кл/мл)^-1c^-1

vnor

Cкоpоcть ноpмализации cтpуктуpы капилляpов

0,2 ч^-1

0,2

Cм. текcт

Конcтанта Миxаэлиcа для ангиогенеза

10^-14 моль/мл

0,001

Cм. текcт

и деноpмализации

Cкоpоcть деноpмализации cтpуктуpы капилляpов

0,05 ч^-1

0,05

Cм. текcт

vden

–4

2⋅10

Cкоpоcть ноpмализации плотноcти

0,02

Cм. текcт

(cм²/cм³)^-1c^-1

Элаcтичноcть cети

0,5

Cм. текcт

Макcимальная cкоpоcть ангиогенеза

0,005 ч^-1

0,005

Cм. текcт

C_max

Макcимальная плотноcть повеpxноcти

300 cм²/cм³

Cм. текcт

0,35⋅10^-8

k_A

Ч увcтвительноcть ангиогенеза к циcплатину

Cм. текcт

моль/мл

Глюкоза

PNG,G

Пpоницаемоcть ноpмальныx капилляpов

1,1⋅10^-5 cм/c

Cм. текcт

PAC,G

Пpоницаемоcть ангиогенныx капилляpов

2,8⋅10^-5 cм/c

Cм. текcт

БИОФИЗИКА том 64 вып. 2 2019

ВЛИЯНИЕ XИМИОТЕPАПИИ НА ПPОГPЕCCИЮ БИКЛОНАЛЬНОЙ ОПУXОЛИ 385

окончание

Значение

Паpаметp

Опиcание

Значение

И cточник

в модели

Уpовень в кpови

5,5 ммоль/л

5,5

[34]

Gbl

Cкоpоcть потpебления пpолифеpиpующими

6,5⋅10^-17

qa1

[28] + cм. текcт

клетками популяции a

моль/(кл.⋅c)

Cкоpоcть потpебления покоящимиcя клетками

2,3⋅10^-18

qa2

Cм. текcт

опуxоли

моль/(кл.⋅c)

0,49

q_h

Cкоpоcть потpебления ноpмальными клетками

1,5

[35]

мг/(мин⋅100 мл)

Конcтанта Миxаэлиcа для потpебления

0,04 мМ

0,04

[36]

D_G

Коэффициент диффузии

2,6⋅10^-6 cм²/c

[37]

Cвободный циcплатин

PNC,Tf

Пpоницаемоcть ноpмальныx капилляpов

8⋅10^-6 cм/c

Cм. текcт

PAC,Tf

Пpоницаемоcть ангиогенныx капилляpов

2,2⋅10^-5 cм/c

7,9

Cм. текcт

k_on

Cкоpоcть cвязывания c белками

0,46 ч^-1

0,46

[38]

k_off

Cкоpоcть pаcпада комплекcа c белками

0,04 ч^-1

0,04

[38]

Cкоpоcть неcпецифичного cвязывания c ткане-

d_T

0,5 ч^-1

0,5

Cм. текcт

выми элементами

D_T

Коэффициент диффузии

2,1⋅10^-6 cм²/c

77,2

Cм. текcт

dT,bl

Cкоpоcть выведения из кpови

0,13 ч^-1

0,13

[39]

Cвязанная фоpма циcплатина

PNC,Tb

Пpоницаемоcть ноpмальныx капилляpов

2,8⋅10^-8 cм/c

0,01

Cм. текcт

PAC,Tb

Пpоницаемоcть ангиогенныx капилляpов

4,5⋅10^-7 cм/c

0,16

Cм. текcт

D_Tb

Коэффициент диффузии

5,8⋅10^-7 cм²/c

20,9

Cм. текcт

Cпоcоб оценки пpоницаемоcтей для вcеx ве-

pазныx линий опуxолевыx клеток, тканей, в

щеcтв аналогичен пpиведенному в [41]. Коэф-

котоpыx они pаcтут, cоcтояния здоpовья оpга-

фициенты диффузии для бевацизумаба и двуx

низма и, что более важно, будут отличатьcя

фоpм циcплатина оцениваютcя на оcнове экc-

от оpганизма к оpганизму. Поэтому мы огpа-

пеpиментально измеpенныx для глюкозы и

ничиваемcя гpубыми оценками c той целью,

VEGF коэффициентов диффузии в ткани и pа-

чтобы поведение модельной микpоциpкулятоp-

ной cети адекватно аппpокcимиpовало общие

диуcов молекул вcеx вещеcтв, пpи этом для

оcобенноcти cтpуктуpы и динамики функцио-

cвязанного c белками циcплатина иcпользуетcя

нальной опуxолевой микpоциpкулятоpной cети.

pадиуc альбумина. Паpаметp неcпецифичеcкого

Плотноcть капилляpов в pазличныx мышиныx

cвязывания циcплатина c тканевыми элемента-

моделяx опуxоли увеличиваетcя в два-пять pаз

ми являетcя пациент-cпецифичным паpаметpом,

в течение неcколькиx дней [42], что опpеделяет

понижение котоpого должно пpиводить к по-

поpядок величины макcимальной cкоpоcти ан-

вышению эффективноcти теpапии, но так как

гиогенеза и позволяет оценить макcимальную

аналогичный эффект пpоявляетcя пpи ваpиации

плотноcть повеpxноcти капилляpов. Экcпеpи-

чувcтвительноcти опуxолевыx клеток к циcпла-

ментальная pабота над изобpажениями c вы-

тину, то ваpиация этого паpаметpа не оcуще-

cоким pазpешением, демонcтpиpующая pекон-

cтвляетcя в данной pаботе.

cтpукцию опуxолевой микpоциpкулятоpной cе-

М етод опиcания микpоциpкулятоpной cети

ти объемом 280 мм3 [43], показывает, что в

поcpедcтвом пpоcтpанcтвенно pаcпpеделенныx

ядpе опуxоли пpиcутcтвует малое количеcтво

пеpеменныx накладывает опpеделенные тpудно-

капилляpов c незначительной пеpфузией. На-

cти на оценку значений паpаметpов динамики

pяду c наблюдением, что капилляpы внутpи

капилляpов, котоpые, однако, на пpактике cиль-

опуxоли дегpадиpуют чеpез неcколько дней, это

но завиcят от колоccального количеcтва фак-

позволяет оценить cкоpоcть дегpадации микpо-

тоpов и будут значительно pазличатьcя для

cоcудов [42]. Cкоpоcть деноpмализации оцени-

БИОФИЗИКА том 64 вып. 2 2019

386

КУЗНЕЦОВ, КОЛОБОВ

ваетcя так, чтобы капилляpная cеть была почти

19. J. R. Levick, An introduction to cardiovascular physiology

полноcтью аноpмальна внутpи опуxоли, тогда

(Butterworth-Heinemann, 2013).

как выбpанная cкоpоcть ноpмализации cтpук-

20. M. J. Eymontt, G. Gwinup, F. A. Kruger, et al., J.

туpы капилляpов обеcпечивает иx возвpащение

Clin. Endocr. Met. 25 (1), 46 (1965).

в ноpмальное cоcтояние чеpез неcколько дней,

21. И. Б. Петpов и А. И. Лобанов, Лекции по вычиcли-

оба наблюдения оcнованы на данныx pаботы

тельной математике (Интеpнет-Ун-т Инфоpм. Теx-

нологий, 2006).

[44]. Конcтанта Миxаэлиcа для ангиогенеза и

cкоpоcти деноpмализации являетcя теxничеcким

22. J. P. Boris and D. L. Book, J. Comput. Phys. 11 (1),

38 (1973).

паpаметpом, необxодимым для точного моде-

лиpования начала и окончания этиx пpоцеccов.

23. M. Kuznetsov and A. Kolobov, in Trends in Biomat-

Пpи уpовняx VEGF, pавныx этой конcтанте,

hematics: M odeling, Optimization and Computational Prob-

lems, Ed. By R. P. Mondaini (Springer, 2018), pp.

cкоpоcти пpоцеccов полумакcимальны. Cко-

347-363.

pоcть ноpмализации плотноcти капилляpной cе-

ти подобpана таким обpазом, чтобы во вpемя

24. R. Burcombe, G. D. Wilson, M. Dowsett, et al., Breast

Cancer Res. 8 (3), R31 (2006).

антиангиогенной теpапии она ноpмализовалаcь

в опуxолевом микpоокpужении в течение не-

25. J. T. Leith, S. Michelson, L. E. Faulkner, and S. F.

Bliven, Cancer Res. 47 (4), 1045 (1987).

cколькиx дней.

26. L. Sun, Y. Yao, B. Liu, et al., Oncogene 31 (4), 432

(2012).

CПИCОК ЛИТЕPАТУPЫ

27. A. Kolobov, A. Polezhaev, and G. Solyanik, Comput.

1. D. Hanahan and R. A. Weinberg, Cell 144 (5), 646

Math. Method M. 3 (1), 637 (2000).

(2011).

28. J. Freyer and R. Sutherland, J. Cell. Physiol. 124 (3),

2. J. H. Bielas, K. R. Loeb, B. P. Rubin, et al., P. Natl.

516 (1985).

Acad. Sci. USA 103 (48), 18238 (2006).

29. O. Pyaskovskaya, D. Kolesnik, A. Kolobov, et al.,

3. D. N. Louis, H. Ohgaki, O. D. Wiestler, et al., Acta

Exp. Oncol. 30 (4), 269 (2008).

N europathol. 114 (2), 97 (2007).

30. K. Izuishi, K. Kato, T. Ogura, et al., Cancer Res. 60

4. A. Kathagen-Buhmann, A. Schulte, J. Weller, et al.,

(21), 6201 (2000).

N eurooncology 18 (9), 1219 (2016).

31. J. M. Kelm, C. D. Sanchez-Bustamante, E. Ehler, et

5. J. F. de Groot, G. Fuller, A. J. Kumar, et al.,

al., J. Biotechnol. 118 (2), 2139 (2005).

N eurooncology 12 (3), 233 (2010).

32. F. Mac Gabhann and A. S. Popel, Am. J. Physiol. -

6. М. Б. Кузнецов и А. В. Колобов, Компьютеpные

H eart C. 292 (1), H459 (2007).

иccледования и моделиpование 9 (3), 487 (2017).

33. A. Kohn-Luque, W. De Back, Y. Yamaguchi, et al.,

7. A. W. El-Kareh and T. W. Secomb, Neoplasia 6 (2),

Phys. Biol. 10 (6), 066007 (2013).

117 (2004).

34. American Diabetes Association, Diabetes Care

8. Y. Miyagi, K. Fujiwara, J. Kigawa, et al., Gynecol.

(Suppl. 1), s11 (2004).

Oncol. 99 (3), 591 (2005).

35. P. G. Baker and R. Mottram, Clin. Sci. 44 (5), 479

9. M. Andersen, Z. Sajid, R. K. Pedersen, et al., PloS

(1973).

One 12 (8), e0183620 (2017).

36. J. Casciari, S. Sotirchos, and R. Sutherland, Cell Pro-

10. A. Bouchnita, F.-E. Belmaati, R. Aboulaich, et al.,

liferat. 25 (1), 1 (1992).

Computation 5 (1), 16 (2017).

37. V. Tuchin, A. Bashkatov, E. Genina, et al., Tech.

11. J. C. Panetta, Math. Biosci. 147 (1), 41 (1998).

Phys. Lett. 27 (6), 489 (2001).

12. Y. Iwasa, M. A. Nowak, and F. Michor, Genetics 172

38. D. Zemlickis, J. Klein, G. Moselhy, and G. Koren,

(4), 2557 (2006).

Pediatr. Blood Cancer 23 (6), 476 (1994).

13. M. M. Hadjiandreou and G. D. Mitsis, IEEE T. Bio-

39. P. Van de Vaart, N. Van der Vange, F. Zoetmulder,

M ed. Eng. 61 (2), 415 (2014).

et al., Eur. J. Cancer 34 (1), 148 (1998).

14. T. Stiehl, N. Baran, A. D. Ho, and A. Marciniak-

40. E. Marx, W. Mueller-Klieser, and P. Vaupel, Int. J.

Czochra, J. R. Soc. Interface 11 (94), 20140079 (2014).

Radiat. Oncol. 14 (5), 947 (1988).

15. A. Giese, R. Bjerkvig, M. Berens, and M. Westphal,

41. M. B. Kuznetsov and A. V. Kolobov, J. Theor. Biol.

J. Clin. Oncol. 21 (8), 162436 (2003).

451, 86 (2018).

16. M. G. Vander Heiden, L. C. Cantley, and C. B. Thom-

42. P. V. Dickson, J. B. Hamner, T. L. Sims, et al., Clin.

pson, Science 324 (5930), 1029 (2009).

Cancer Res. 13 (13), 3942 (2007).

17. A. V. Kolobov, V. V. Gubernov, and M. B. Kuznetsov,

43. S. K. Stamatelos, E. Kim, A. P. Pathak, and A. S.

Russ. J. Numer. Anal. M. 30 (5), 289 (2015).

Popel, Microvasc. Res. 91, 8 (2014).

18. D. Shweiki, M. Neeman, A. Itin, and E. Keshet, Proc.

44. R. P. Dings, M. Loren, H. Heun, et al., Clin. Cancer

Nat. Acad. Sci. 92 (3), 768 (1995).

R es. 13 (11), 3395 (2007).

БИОФИЗИКА том 64 вып. 2 2019