БИОФИЗИКА, 2019, том 64, № 4, с. 821-826

БИОФИЗИКА CЛОЖНЫX CИCТЕМ

УДК 57.081.23

АЛГОРИТМ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

ЛАЗЕР-ИНДУЦИРОВАННОЙ ОПОСРЕДОВАННОЙ

ТЕРМОТЕРАПИИ КИСТЫ БЕЙКЕРА

Н.И. Сивкова***, В.Б. Аретинский****

Институт теплофизики Уральского отделения РАН,

620016, Екатеринбург, ул. Амундсена, 107а

E-mail: gorbatov@ursmu.ru

*Уральский государственный медицинский университет Минздрава России,

620000, Екатеринбург, ул. Репина, 3

E-mail: chsa-surg@mail.ru

**ООО «Новые технологии для амбулаторной медицины»,

620057, Екатеринбург, ул. Краснофлотцев 47/44

E-mail: doctor-zhilyakov@rambler.ru

***Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина,

620002, Екатеринбург, ул. Мира, 19

E-mail: Letica@mail.ru

****Областной специализированный центр медицинской реабилитации «Озеро Чусовское»,

620043, Екатеринбург, п. Чусовское Озеро, ул. Мира, 1

E-mail: priemnaya@chuslake.ru

Поступила в редакцию 19.03.2019 г.

После доработки 19.03.2019 г.

Принята к публикации 30.04.2019 г.

Предложена теплофизическая модель процесса переноса тепла от нагреваемой излучением жидко-

сти вглубь биологических тканей с формированием индивидуальной картины температурных по-

лей, учитывающей параметры лазерного излучения, индивидуальные термодинамические и морфо-

метрические особенности объекта воздействия и его синтопии. Модель предназначена для алгорит-

мизации выполнения опосредованной лазер-индуцированной термотерапии полостных

новообразований. Приведено сравнение теоретического прогноза динамики изменения температу-

ры в стенке кисты Бейкера с экспериментальными данными, полученными с помощью тонкой

игольчатой термопары, помещенной через иглу в центр кисты, наполненной жидкостью, размеры

которой были предварительно определены при исследовании методом магнитно-резонансной то-

мографии. Показано, что при значениях коэффициента теплоотдачи 3000 Вт/(м²·K) предложенная

модель хорошо описывает процесс нагрева содержимого за счет теплоотдачи от внутренней стенки

образования.

Ключевые слова: киста Бейкера, математическое моделирование, лазер-индуцированная термо-

терапия.

DOI: 10.1134/S0006302919040239

Лазер-индуцированная

интерстициальная

Также общеизвестно, что при полном контак-

термотерапия имеет уже длительную историю

те световода с коагулируемой тканью практиче-

применения в различных отраслях медицины.

ски полностью исключается отражение излуче-

Многочисленные работы, посвящены изучению

ния в окружающее пространство, что при значи-

тканевых реакций на прямое воздействие лазер-

тельной мощности потока фотонов может

ного излучения. Многими учеными доказано, что

привести к резкому выделению тепла, которое

использование разных длин волн, мощности и

пенетрирует стенку и вызовет повреждение близ-

длительности контактного облучения вызывает

ко расположенных органов. [4,5]. Учитывая вы-

коагуляционный эффект не больше 1 см в шири-

шеизложенное, можно сделать вывод, что подоб-

ну и глубину, а чаще значительно меньше [1-3].

ная методика малопригодна для термотерапии

821

822

ГОРБАТОВ и др.

кист, поскольку не может обеспечить равномер-

МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ

ного и безопасного воздействия по всей площади

Киста Бейкера имеет сложную трехмерную

полостного новообразования и толщине его

форму и двухслойную структуру, она состоит из

стенки.

тонкой стенки и окружающей ее жировой ткани.

Так как большинство известных методов не поз-

Для термотерапии полостных образований ря-

воляют в полной мере выполнять измерения гео-

дом авторов предложено облучать лазером внут-

метрических параметров исследуемого объекта,

рикистозное содержимое. При этом происходит

при математическом модулировании теплового

его значительный нагрев, вызывающий термоде-

воздействия и реакции объекта на это воздей-

струкцию внутренней эпителиальной выстилки и

ствие нами было допущено, что однокамерная

коагуляцию коллагена подлежащих соединитель-

киста (или одна из ее камер) является полым не-

нотканных слоев, в результате чего развивается

равносторонним эллипсоидом с оболочкой опре-

их асептическое воспаление, в дальнейшем фиб-

деленной толщины, равномерно заполненный

роз стенки и облитерация полости кисты [6]. Ана-

однородной серозной жидкостью. Аналогичный

логичный способ описан для лазер-индуциро-

способ уже неоднократно применялся в меди-

ванной термотерапии кист Бейкера, в котором

цинских исследованиях как отечественных, так и

термопроводником являются остатки серозной

зарубежных ученых [11,12].

жидкости [7]. Однако достаточность воздействия

Исходные размеры

«модельной» кисты по

лазерной энергией определялась в этих работах

трем координатным осям, а также средняя тол-

косвенно, по начинающейся вапоризации и об-

щина ее стенки были определены по результатам

разованию гиперэхогенной тени в полости ки-

предварительного исследования методом маг-

сты. К сожалению, подобные критерии не дают

нитно-резонансной томографии. Кроме того,

даже приблизительного ответа о степени и глуби-

данные многочисленных гистологических иссле-

не прогрева стенки кисты. Неравномерность теп-

дований показали, что коллагеновые волокна

лопередачи в разные слои кисты, их отличающа-

фиброзной соединительной ткани, составляю-

яся теплоемкость, а также разная толщина стенок

щие основную часть стенки кисты Бейкера, очень

образования могут приводить к непредсказуемым

прочны, но имеют низкую эластичность. Их мо-

термическим изменениям как патологических,

дуль упругости не превышает 60-70 кг/мм [13,14].

так и нормальных перифокальных тканей в про-

Следовательно, сокращением истинных разме-

цессе лазер-индуцированной термотерапии [8].

ров кисты после эвакуации внутриполостной се-

Поскольку в основе термотерапии лежит ди-

розной жидкости и последующей заменой ее дру-

гой водосодержащей жидкостью (например, ли-

намический процесс переноса тепла от источни-

ка вглубь тканей с формированием индивидуаль-

докаином) можно пренебречь. Это допущение

ной картины температурных полей, то многими

дозволило избежать сложных измерений образо-

вания, потерь времени на их запись и расчет объ-

исследователями уже неоднократно предприни-

ема и площади поверхности, с точностью превы-

мались попытки его математического моделиро-

шающей утилитарную практическую необходи-

вания. При этом создавались модели, описываю-

мость [15,16].

щие процессы распространения тепла, иниции-

рованные источниками, расположенными на

Перечисленные выше обстоятельства позво-

поверхности объекта [9,10].

лили нам оценить объем жидкости, подлежащий

нагреву инфракрасным лазерным излучением, и

Таким образом, предварительный расчет энер-

площадь внутренней поверхности кисты Бейке-

гии, необходимой для введения в закрытую по-

ра, используя следующие соотношения:

лость малого объема, наполненную водной сре-

4π

дой, остается актуальной задачей, поскольку все-

abc,

(1)

гда есть опасения по поводу достаточности

количества введенного тепла для реализации

n n

ожидаемого клинического эффекта и вероятного

⎛a

b + a

b cn⎞n

(2)

π⎜

⎟

возникновения негативных тепловых эффектов в

⎝

⎠

окружающих нормально функционирующих тка-

где a, b и c - оси полого трехосного неравномер-

нях.

ного эллипсоида, исходящими из общего центра;

Цель данной работы: предложить математиче-

n = 1,6075.

скую модель, учитывающую переменные пара-

Очевидно, что пространственно-временное

метры излучения и индивидуальные характери-

распределение температуры в стенке конкретной

стики объекта воздействия, алгоритмизирующую

кисты при ее опосредованном лазерном нагреве

выполнение опосредованной лазер-индуциро-

кроме формы и размеров зависит также от кон-

ванной термотерапии полостных новообразова-

кретных параметров лазерного излучения и от

ний.

структуры, морфологии и теплофизических

БИОФИЗИКА том 64

№ 4

2019

АЛГОРИТМ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

823

свойств образования. Так, например, использо-

вание лазеров «водопоглащающего» спектра (на-

пример, λ = 1,45 мкм) устраняет прямое фотоде-

структивное действие на биоткань за счет высо-

кой степени поглощения в теплоотдающей среде

[17,18]. В свою очередь, практически полное ло-

кальное поглощение излучения жидкой средой

на выходе из световода сопровождается процес-

сом интенсивного (вихревого) перемешивания,

приводящего в итоге к быстрому и равномерному

прогреву внутриполосной жидкости по всему

объему, что, в свою очередь, способствует созда-

нию однотипных условий теплообмена по всей

внутренней поверхности кисты [19].

Мы учли, что толщина стенки кисты в десятки

Рис. 1. Геометрическая модель объекта «стенка кисты -

раз меньше ее размеров, что дозволило рассмот-

жировая ткань».

реть процесс распространения тепла только в од-

ном направлении - по нормали к внутренней по-

верхности. Тогда, представив кисту Бейкера как

∂T(0,τ)

структуру

«стенка кисты

- жировая ткань»

=α

[

(0,τ)

− τ

]

(6)

(рис. 1), нестационарное распределение темпера-

∂x

туры в каждом слое мы описали уравнениями

где α- коэффициент теплоотдачи; T_f - темпера-

теплопроводности следующего вида:

тура жидкости в данный момент времени.

∂

T x,τ)

∂

⎡

∂

T x,τ)⎤

Условия идеального теплового контакта в ме-

≤

x ≤ x

(3)

сте соприкосновения двух слоев (х = x₁) записано

∂τ

∂x⎢

∂x

⎥

следующим образом:

,τ)

(

,τ),

∂

T x,τ)

∂

⎡

∂

T x,τ)⎤

= λ

≤

x ≤ x

(4)

(7)

∂T

,τ)

∂T

,τ

∂τ

∂x⎢

∂x

⎥

=λ

∂x

где τ - время; x - текущая координата вдоль нор-

мали; T₁(x,τ) и T₂(x,τ) - соответственно текущая

И, наконец, предположим, что примыкающие

снаружи к кисте биологические ткани снабжены

температура в слоях 1 и 2; δ₁, δ₂ - толщина слоев 1

кровотоком и вследствие этого имеют температу-

и 2; ρ₁, ρ₂, λ₁, λ₂, c_p1, c_p2 - соответственно плот-

ру человеческого тела. Тогда граничное условие в

ность, коэффициент теплопроводности и удель-

этом месте контакта будет иметь вид:

ная теплоемкость слоев 1 и 2. Здесь и далее пред-

T₂(x₂,τ) = T₀, (8)

(8)

положено, что плотность, теплопроводность и

удельная теплоемкость стенки кисты и жировой

где T₀ = 309,6 K (36,6°С).

ткани могут зависеть от температуры.

Решение представленной системы уравнений (3)-

Динамика изменения температуры внутрипо-

(8) осуществлено методом конечных разностей. Для

лосной жидкости при лазерном нагреве опреде-

построения разностного аналога исходной задачи ис-

ляется уравнением:

пользован интегро-интерполяционный метод (метод

баланса) [20]. Его идея заключается в том, что раз-

∂ τ

−Q

(5)

ностные уравнения строятся не на простой замене

∂τ

pf f

частных производных их конечно-разностными ана-

логами, а на основе интегральных соотношений, вы-

где c_pf, ρ_f и V - соответственно удельная теплоем-

ражающих закон сохранения энергии для каждой

кость, плотность и объем жидкости; P₀ - мощ-

элементарной ячейки пространственно-временной

ность подводимого лазерного излучения;

сетки, на которую разбивается область непрерывного

(0,τ)

∂

изменения аргументов. И только потом, используя

=λ

- тепловой поток, отводимый от

∂x

формулу Грина, интегралы и производные, входящие

жидкости через внутреннюю поверхность кисты;

в эти соотношения, заменили разностными выраже-

S - площадь внутренней поверхности кисты, рас-

ниями. При этом пространственная сетка построена

считываемая по формуле (2).

так, чтобы границы раздела областей с различными

Условие конвективного теплообмена между

теплофизическими свойствами в точности совпадали

жидкостью и внутренней поверхностью кисты на

с линиями раздела на элементарные ячейки. Уравне-

границе х = 0 представленo, согласно закону

ния (3) и (4), записанные таким образом для всех про-

Ньютона-Рихмана, в виде:

странственных узлов расчетной области, представля-

БИОФИЗИКА том 64

№ 4

2019

824

ГОРБАТОВ и др.

Несмотря на простоту закона Ньютона-Рих-

мана (формула (6)), не располагая численным

значением коэффициента теплоотдачи α, рассчи-

тать тепловой поток от нагретой жидкости к стен-

ке кисты не удается. Оценить значение α с помо-

щью простых теоретических соотношений также

не представляется возможным, поскольку его ве-

личина зависит от многих факторов - физиче-

ских свойств и скорости движения жидкости, от

температуры стенки, формы, размеров и ориен-

тации теплоотдающей поверхности в простран-

стве. Понятно, что это можно сделать, только

проведя полноценное экспериментальное иссле-

дование процесса теплоотдачи в замкнутой поло-

сти, либо используя метод подбора параметра мо-

дели для описания результата, полученного с по-

мощью реального эксперимента.

В связи с этим представляют интерес получен-

ные нами данные по измерению температуры

жидкости внутри кисты в остром эксперименте

во время выполнения рутинной манипуляции.

После эвакуации внутрикистозной жидкости че-

рез иглу, сохраняющего герметичность за счет си-

Рис. 2. (а) - Игла с проведенной через нее игольчатой

ликоновой мембраны в канюле, в центр полости

термопарой. (б) - Артросонограмма кисты Бейкера с

кисты была помещена тонкая игольчатая термо-

введенной в нее пункционной иглой. Видна термопара,

пара (см. рис. 2). Затем в полость также через си-

выступающая за пределы пункционной иглы.

ликоновую мембрану было введено 15 мл водного

раствора лидокаина, находящегося при темпера-

туре 24°С, который в результате теплоотдачи от

ют собой систему алгебраических уравнений относи-

внутренней поверхности кисты начал нагревать-

тельно значений температур, которые необходимо

ся. Динамика изменения температуры введенной

было определить в текущий момент времени (на дан-

жидкости представлена на рис. 3 (кривая 1). Вид-

ном временном шаге). Это распределение температур

но, что на начальном этапе нагрева она носила

найдено методом прогонки с помощью ЭВМ [21].

волнообразный характер, связанный с переме-

Недостающие уравнения получены из граничных и

шиванием слоев жидкости, имеющих различную

начальных условий.

температуру: нагретые у стенки слои, смещались

к центру кисты, вытесняя оттуда к периферии бо-

лее холодные слои. Этот процесс продолжался в

течение 21 с, пока средняя по объему температура

жидкости не сравнялась с температурой стенки

кисты. Затем наблюдался практически монотон-

ный рост температуры.

Этот же процесс был промоделирован нами с

помощью предложенной выше теплофизической

модели при условии, что мощность лазерного из-

лучения равна нулю (P₀ = 0). В расчетах использо-

вали реальные размеры кисты, определенные с

помощью магнитно-резонансной томографии, и

тепловые свойства биотканей, описанные в рабо-

тах [22,23]. Для определения значения температу-

ры жидкости T_f(τ), входящей в граничное условие

(6), использовали конечно-разностный аналог

формулы (5), в которой величина Q_τ представляет

собой тепловой поток на границе х = 0, вычисля-

Рис. 3. Изменение температуры внутрикистозной жид-

емый по значениям температур, полученных на

кости во времени:

- эксперимент,

- α =

предыдущем временном шаге. В начальный мо-

= 100 Вт/(м² · K), 3 - α = 1000 Вт/(м² · K), 4 - α =

мент времени температура жидкости принима-

= 3000 Вт/(м² · K), 5 - α = 10000 Вт/(м² · K).

лась равной 24°С.

БИОФИЗИКА том 64

№ 4

2019

АЛГОРИТМ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

825

РЕЗУЛЬТАТЫ

функционально важными анатомическими обра-

зованиями, лимитирующие экспозицию тепло-

Окончательные итоги расчета динамики изме-

вого воздействия.

нения температуры жидкости для четырех значе-

Авторы заявляют, что данная работа, ее тема,

ний коэффициента теплоотдачи a представлены

на рис. 3. Видно, что из общей закономерности

предмет и содержание не затрагивают конкуриру-

выпадает зависимость, рассчитанная для коэф-

ющих интересов.

фициента теплоотдачи небольшой величины

Результаты являются частью НИОКР, профи-

(α = 100 Вт/(м²K) (кривая 2)). Эта зависимость

нансированной из средств гранта по программе

практически линейна и по уровню расположена

«Старт», выданного «Фондом содействия разви-

на графике значительно ниже эксперименталь-

тию малых форм предприятий в научно-техниче-

ной кривой. Быстрый и плавный рост теоретиче-

ской сфере» (Фондом содействия инновациям).

ски рассчитанных показателей температуры в на-

чальные моменты времени, в отличие от экспери-

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ментально полученных, отражает изменение во

времени средней по объему температуры жидко-

Y. R. Zhang, L. Y. Fang, C. Yu, et al., J. Huazhong

сти, поскольку в модели предполагается ее ин-

University of Scienceand Technol. Med. Sci. 35 (4),

579 (2015).

тенсивное перемешивание. Наиболее близко к

H. Schoellnast, S. Monette, P. C. Ezell, et al., Cancer

средневзвешенной экспериментальной зависи-

Imaging 13 (1), 8 (2013).

мости лежит кривая 3, соответствующая значени-

В. А. Ильина, Ю. Ю. Подкопаева, А. Е. Усков и

ям температуры, рассчитанным при α = 1000

А. А. Кривопалов, Скорая медицинская помощь

Вт/(м²K). Дальнейший рост α оказывает очень

16 (2), 58 (2015).

слабое влияние на изменение средней температу-

С. Ю. Копаев и В. Г. Копаева, Лазерная медицина

ры жидкости. Для описания изученного нами

14 (3), 34 (2010).

случая наиболее достоверный результат получен

А. М. Шулутко, А. А. Овчинников, О. О. Ясного-

родский и И. Я. Мотус, в сб. Эндоскопическая то-

при величине α = 3000 Вт/(м²K).

ракальная хирургия (Медицина, М., 2006), сс. 211-

241.

В. И. Невожай, Т. А. Федоренко, Л. И. Кухарева и

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В. М. Чудновский, Способ лечения кист молочной

Таким образом, алгоритм оценки временных и

железы, Патент РФ № 2356513. 27.11.2007.

энергетических параметров воздействия при вы-

С. А. Чернядьев, А. В. Жиляков и Н. Ю. Коробова,

полнении опосредованной лазер-индуцирован-

Внутриполостная УЗИ-контролируемая лазерная

ной термотерапии полостных новообразований,

облитерация кисты Бейкера (Изд-во УГМУ, Екате-

ринбург, 2016).

учитывающих индивидуальные характеристики

Б. Н. Жуков, Н. А. Лысов и В. И. Анисимов, Лазер-

конкретного объекта воздействия, может быть

ные технологии в медицине (Медицина, Самара,

следующим. Вначале в программу вводятся все

2001).

необходимые для расчетов исходные данные по

D. Kumar and K. N. Rai, J. Thermal Biol. 62, 170

теплофизическим свойствам термонесущей жид-

(2016).

кости и биотканям. Для этого используются дан-

10.

A. Malek and G. Abbasi, Computers in Biology and

ные, уже имеющиеся в справочной литературе

Medicine 62, 65 (2015).

или определяемые экспериментально для каждо-

11.

Л. А. Бокерия, А. Г. Филатов и А. С. Ковалев, Ан-

го типа кисты. Затем вводятся исходные размеры

налы аритмологии 10 (2), 111 (2013).

12.

R. A. Sternberg, H. C. Pondenis, X. Yang, et al., J. Vet-

кисты, средняя толщина ее стенки, определенны-

erin. Int. Med. 27 (4), 955 (2013).

ми методом измерения дистанций на сканах, по-

13.

В. Ф. Антонов, Е. К. Козлова и А. М. Черныш, Фи-

лученных методом магнитно-резонансной томо-

зика и биофизика: учебник (ГЭОТАР-Медиа, М.,

графии. Полученные таким методом данные ис-

2010).

пользуются в программе для оценки объема

14.

F. H. Silver, D. L. Christiansen, P. B. Snowhill, and

внутрикистозной жидкости и площади внутрен-

Y. Chen, Connective Tissue Res. 41 (2), 155 (2000).

ней поверхности кисты. И, наконец, после зада-

15.

Н. А. Миронов, А. А. Сергеева, В. С. Косачев и

ния мощности лазерного излучения и начальной

Е. П. Кошевой, Процессы и аппараты пищевых

температуры вводимой жидкости рассчитывается

производств, № 1, 53 (2010).

16.

А. Ю. Сетейкин, И. В. Красников и М. С. Павлов,

динамика изменения температуры в различных

Оптический журн. 77 (10), 15 (2010).

точках стенки кисты и окружающей ее жировой

17.

В. М. Чудновский, В. И. Юсупов, О. Л. Захаркина

ткани. После анализа полученных кривых воз-

и др., Современные технологии в медицине 8 (2), 6

можно предварительное определение оптималь-

(2016).

ных энергетических параметров лазерного воз-

18.

А. И. Неворотин, Введение в лазерную хирургию:

действия. А для безопасности пациента в про-

Учебное пособие (СпецЛит, СПб., 2000).

грамму должны быть внесены расстояния между

19.

В. М. Чудновский, В. И. Юсупов, А. В. Дыдыкин и

наружной поверхностью кисты и ближайшими

др., Квантовая электроника 47 (4), 361 (2017).

БИОФИЗИКА том 64

№ 4

2019

826

ГОРБАТОВ и др.

20. Н. М. Беляев и А. А. Рядно, Методы теории тепло-

22. С. А. Чернядьев, В. Б. Аретинский, Н. И. Сивкова

проводности (Высшая школа, М., 1982), ч. 2.

и др., Биофизика 63 (6), 1221 (2018).

23. С. А. Чернядьев, А. В. Жиляков, В. И. Горбатов и

21. А. А. Самарский и Е. С. Николаев, Методы реше-

др., Компьютерные исследования и моделирова-

ния сеточных уравнений (М., 1976).

ние 10 (1), 103 (2018).

The Algorithm of Mathematical Modeling of Laser-Induced Mediated

Thermotherapy of a Baker's Cyst

V.I. Gorbatov*, S.A. Chernyadiev**, A.V. Zhilyakov***, N.Ju. Korobova**,

N.I. Sivkova****, and V.B. Aretinsky*****

*Institute of Thermal Physics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences,

ul. Amundsena 107a, Yekaterinburg, 620016 Russia

**Ural State Medical University, Ministry of Health of the Russian Federation,

ul. Repina 3, Yekaterinburg, 620000 Russia

***CJSC “New Technologies for Outpatient Medicine”,

ul. Krasnoflotsev 47/44, Yekaterinburg, 620057 Russia

****Ural Federal University named after the first President of Russia B.N. Yeltsin,

ul. Mira 19, Yekaterinburg, 620002 Russia

*****Regional Specialized Center of Medical Rehabilitation “Lake Chusovskoe”,

ul. Mira 1, Chusovskoe Lake village, Yekaterinburg, 620053 Russia

A thermophysical model is proposed to transfer heat from a fluid heated by radiation into biological tissues

with the formation of an individual picture of temperature fields, taking into account the parameters of laser

radiation, individual thermodynamic and morphometric features of the targeted object and its syntopy. The

model uses an optimazation algorithm to simulate mediated laser-induced thermotherapy of abdominal tu-

mors. A comparison of the theoretical prediction of the dynamics of temperature changes in the Baker cyst

wall with experimental data obtained using a thin needle thermocouple placed through a needle in the center

of a cyst filled with liquid, the dimensions of which were previously determined with the use of MRI. It is

shown that with a heat transfer coefficient of 3000 W/(m²K), the proposed model describes the process of

heating the contents well due to heat transfer from the inner wall of the formation.

Keywords: Baker's cyst, mathematical modeling, laser-induced thermotherapy

БИОФИЗИКА том 64

№ 4

2019