БИОФИЗИКА, 2019, том 64, № 5, с. 1010-1020

БИОФИЗИКА CЛОЖНЫX CИCТЕМ

УДК 531.391:612.76

АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ СТАБИЛОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕСТОВ

СО СТУПЕНЧАТЫМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ C ТОЧКИ ЗРЕНИЯ МЕХАНИКИ

УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ

Механико-математический факультет Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова,

119991, Москва, Ленинские горы, 1

Е-mail: pkruch@mech.math.msu.su

Поступила в редакцию 01.07.2019 г.

После доработки 19.07.2019 г.

Принята к публикации 24.07.2019 г.

Рассмотрены задачи оптимального управления для модели движения человека при выполнении

стабилометрических тестов, в которых он меняет позу при ступенчатом воздействии. Характерной

особенностью стабилограмм для этих тестов является наличие отчетливо выраженных на траекто-

рии центра давления «размаха» и «перерегулирования». В статье используется математическая мо-

дель однозвенного перевернутого маятника. Тестам ставится в соответствие решение задач управ-

ления изменением положения маятника с помощью момента, приложенного в опорной точке. Рас-

смотрены задача быстродействия и задача оптимальной стабилизации с квадратичным критерием

качества. Проведено сравнение решения оптимальных задач с результатами стабилометрических

тестов. Предложен модифицированный алгоритм обработки показаний стабилоанализатора. Пока-

зано, что рассматриваемое движение носит характер устойчивого двигательного штампа, а «размах»

и «перерегулирование» соответствуют этапам разгона и торможения.

Ключевые слова: изменениe вертикальной позы, стабилометрия, тест со ступенчатым воздействием,

оптимальное управление.

DOI: 10.1134/S0006302919050259

При анализе изменения человеком вертикаль-

системы управления движениями человека и в

ной позы под действием различных ступенчатых

алгоритмах прогнозирования движений при по-

воздействий на его сенсорные входы часто ис-

строении сред виртуальной реальности. В связи с

пользуется стабилоанализатор (силовая платфор-

этим представляется полезным анализ указанно-

ма) [1-8]. При этом в показаниях стабилоанали-

го движения на основе теоретико-механических

затора при быстром изменении позы часто на-

и управленческих моделей. Отдельные элементы

блюдается характерная картина, показанная на

этого анализа приведены ранее в работах [9,10].

рис. 1, отображающая совершенное движение.

Настоящая статья представляет собой обобщение

Характеристики этого движения рассчитываются

этих результатов и обсуждение их соответствия

в программном обеспечении стабилоанализатора

результатам стабилометрических обследований.

«Стабилан» (ЗАО ОКБ «РИТМ», Таганрог, Рос-

Не нарушая общности, будем рассматривать дви-

сия) [2], однако в большинстве случаев из этих ха-

жение человека в сагиттальной плоскости, учи-

рактеристик анализируют латентный период и

тывая, что в силу моделей из работы [11] получен-

время выполнения движения [6-8]. Значимой с

ные результаты с известной степенью приближе-

диагностической точки зрения, возможно, явля-

ния могут быть перенесены и на случай движений

ется скорость перемещения центра давления и

во фронтальной плоскости.

размахи совершаемого движения, снижение ко-

торых отмечено при болезни Паркинсона [4,5].

МЕХАНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДВИЖЕНИЯ

Анализу качественного характера переходного

процесса уделяют меньшее внимание. Подроб-

Для описания колебаний человека в сагитталь-

ный анализ этого движения не проводился.

ной плоскости примем традиционную модель пе-

Отмеченное движение несет следы двигатель-

ревернутого маятника, изображенную на рис. 2.

ного штампа и, предположительно, может быть

Предполагаем, что тело человека в ходе теста до-

использовано для анализа функционирования

пустимо моделировать недеформируемым стерж-

1010

АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ СТАБИЛОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕСТОВ

1011

Рис. 1. Характерный вид сагиттальной стабилограммы при выполнении теста со ступенчатым воздействием.

нем массы m_p, закрепленным шарнирно в точке

Δ ≈Δ

(3)

O, соответствующей голеностопному суставу.

Центр масс стержня расположен в точке C, уда-

ленной от точки O на расстояние l. Момент инер-

где через ΔM обозначено изменение момента в

ции стержня относительно фронтальной оси,

проходящей через точку О, равен J. Отклонение

голеностопном суставе.

стержня от вертикали опишем углом θ. Через M

Соотношения (1) и (3) позволяют объяснить

обозначим момент, создаваемый мышцами в го-

наличие участков стабилограммы, названных в

леностопном суставе, приложенный как показа-

программном обеспечении [2] «размах» и «пере-

но на рис. 2. Будем считать, что обследуемый ори-

регулирование». Рассмотрим движение вперед.

ентирован так, что его сагиттальная плоскость

Считаем, что до начала движения человек, слегка

параллельна соответствующей оси чувствитель-

ности платформы, а его стопы неподвижны отно-

сительно платформы. Уравнения движения для

малых значений угла θ и скорости его изменения

запишем в соответствии с работами [9,11] в следу-

ющем виде:

Jθ

glθ

(1)

Соотношения для сагиттальной стабилограм-

мы получим на основании условий равновесия

системы «платформа-стопа» (см. рис. 3), из кото-

рых запишем выражение для проекции на сагит-

тальную ось расстояния от оси голеностопного

сустава до центра давления:

⎛

lh⎞

θ,

(2)

⎜

⎟

⎝

⎠

где h - высота голеностопного сустава над плос-

костью чувствительности тензодатчиков плат-

формы, а N - величина нормальной реакции опо-

ры (вес).

Заметим, что изменение величины y_n совпада-

ет с переменной составляющей сагиттальной ста-

билограммы Δy. Как показано в работе [11], из

Рис. 2. Модель движений человека в сагиттальной

выражений (1) и (2) при выполнении условия

плоскости. На рисунках показаны внешние силы,

h/l ! 1 верно приближенное соотношение

действующие на систему «человек-платформа».

БИОФИЗИКА том 64

№ 5

2019

1012

КРУЧИНИН

ПОСТАНОВКА МОДЕЛЬНОЙ ЗАДАЧИ

УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ

Уточним постановку задачи управления, счи-

тая начальное и финальное положения равнове-

сия неподвижными: систему в виде перевернуто-

го маятника, описываемую уравнением (1) необ-

ходимо перевести из начального положения

θ = θ_o;

θ_o= 0; M = M_o в положение θ = θ_f;

θf = 0;

M = M_f. M_o и M_f удовлетворяют условиям (4) и

(5). При этом будем принимать во внимание

условия ограниченности величины момента в го-

леностопном суставе

M - ≤ M ≤ M +

(6)

и скорости его изменения

Рис. 3. Силы, действующие на стопу.

U − ≤ M ≤ U⁺

(7)

наклонившись вперед, удерживает положение

Для величины момента помимо чисто физио-

равновесия θ_o с помощью момента M_o в голено-

логических ограничений, связанных с ограни-

стопном суставе. Значение θ_o при задании поло-

ченностью развиваемых мышечных усилий, сле-

дует принимать во внимание возможность опро-

жительных направлений в соответствии с рис. 2

кидывания человека вследствие того, что

отрицательное, следовательно, имеем:

равновесие стоп на платформе должно обеспечи-

M_o= -m_pglθ_o.

(4)

ваться нормальной реакцией, приложенной в об-

ласти опоры a^- ≤ y_n ≤ a⁺ (см. рис. 3). Отсюда, с

Это соответствует координате центра давле-

учетом выражения (2), следует достаточно слож-

ния y_o = -lθ_o, которую, как правило, выбирают за

ное с точки зрения теории управления фазовое

начало отсчета.

ограничение:

Для начала движения момент в голеностопном

⎛

lh⎞

Na ≤ M

≤

(8)

суставе должен быть уменьшен для того, чтобы

⎜

⎟

⎝

⎠

момент силы тяжести превысил момент в голено-

С той же погрешностью, что и для соотноше-

стопном суставе и началось движение вперед. Та-

ния (3), для малых медленных изменений угла θ

ким образом, ΔM, а вслед за ним и Δy принимают

ограничения момента в голеностопном суставе

отрицательные значения, что соответствует на-

приближенно можно принять равными

чальному участку стабилограммы на фазе «разма-

ха». Для финального положения θf также должно

m_pga^- ≤ M ≤ m_pga⁺.

выполняться условие равновесия:

Для дальнейшего анализа задачи представим

приведенные соотношения в безразмерном виде.

M_f = -m_pglθ_f.,

(5)

Для этого перейдем к новым переменным:

что соответствует координате центра давления

θ-θ

M-M

φ=

при y_f = -lθ_f. При наклоне вперед θ_f < θ_o. Тогда

glθ

выполнены условия M_f > M_o и y_f > y_o. На значи-

В качестве характерного значения угла выбе-

тельном участке движения и момент, и стабило-

рем разность начального и конечного значений

грамма будут возрастать. Для быстрого движения

угла в голеностопном суставе при выполнении

характерен участок интенсивного торможения в

пробы θ_* = θ_o - θ_f. Введем безразмерное время:

окрестности финального положения θ ≈ θ_f. Для

такого торможения должно выполняться условия

τ = t/t_*, где

M > M_f и y_n > y_f. Такой участок будет соответство-

вать «перерегулированию». Таким образом, «раз-

Управлением u будем считать скорость изме-

нения безразмерного момента. Для этих перемен-

мах» и «перерегулирование» корректнее называть

ных обезразмеренные уравнения движения при-

«разгоном» и «торможением». Эти эффекты най-

мут следующий вид:

дут отражение и в оптимальных алгоритмах

управления.

φ" = φ + m; m' = u.

(9)

БИОФИЗИКА том 64

№ 5

2019

АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ СТАБИЛОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕСТОВ

1013

Здесь через m' обозначено дифференцирова-

ление имеет не более двух переключений в мо-

ние по безразмерному времени τ. Необходимо ре-

менты τ₁ и τ₂ так, что

шение системы (9) перевести из начального поло-

-u

при

τ∈[0,τ

] ∪[τ

,τ

]

жения

⎧

= ⎨

(15)

φ(0) = 1; φ'(0) = 0; m(0) = -1

(10)

⎩+u

при

τ∈[τ

,τ

]

в положение

Задачу можно решать, рассматривая траекто-

рии системы

(9), удовлетворяющие краевым

φ(τ_f) = 0; φ'(τ_f) = 0; m (τ_f) = 0

(11)

условиям (10) и (11).

с помощью ограниченного управления

Решение системы (9) для интервала времени

τ ∈ [0,τ₁] с учетом начальных условий (10) имеет

u^- ≤ u ≤ u⁺, где

следующий вид:

−

(12)

−τ

glθ

(τ)

(

−

)

+1,

* *

Ограничения на величину момента с учетом

−

(τ)

(

)

приближения формулы (3) примут вид

(τ)

=-1

−

τ.

m^- ≤ m ≤ m⁺, где

Для интервала времени τ ∈ [τ₁,τ₂] с учетом

+lθ

−

(13)

условий в точке первого переключения

lθ

φ(τ₁) = φ₁(τ₁),

Такой безразмерный вид позволяет решать за-

дачу управления с минимальным количеством

φ'(τ₁) = φ₁'(τ₁),

параметров, что в дальнейшем позволит упро-

стить анализ.

m(τ₁) = m₁(τ₁)

решение системы (9) имеет следующий вид:

ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО

τ-τ

− +τ

−τ

(τ)

−

ПРОГРАММНОГО УПРАВЛЕНИЯ

(

)

(

)

Рассмотрим две задачи оптимального управле-

−

(

τ - τ

)

ния, которые в дальнейшем будем использовать

τ-τ

− +τ

−τ

для обсуждения свойств реализаций траекторий

ϕ'

−

(τ)

(

)

(

)

центра давления. Для упрощения анализа будем

пренебрегать условием (13), считая, что проба

(τ)

(

τ - τ

)

−

τ.

проводится таким образом, что это ограничение

не выполняется. Также будем пренебрегать асим-

метрией в ограничениях скорости изменения го-

Наконец, для интервала времени τ ∈ [τ₂,τ_f] с

леностопного момента

учетом финальных условий (11) решение системы

(9) имеет вид

-u^- = u⁺ = u_m.

(14)

τ-τ

− +τ

Оптимальное быстродействие. Эта задача отно-

(τ)

(

−

)

−

(

τ - τ

)

сится к хорошо исследованному классу задач оп-

τ−τ

− +τ

тимального быстродействия [8,9]. Ее особенность

ϕ'

(

)

(

)

состоит в задании специфических краевых усло-

вий. Используем для решения принцип максиму-

(τ)

=-u

τ - τ

(

)

ма Понтрягина. Рассматриваемая нами задача

В таком случае соотношения сопряжения ре-

описывается линейной управляемой системой

шений в точке второго переключения

третьего порядка (9). В этой системе при u = 0 все

собственные числа действительны. Одно из них

φ₂(τ₂) = φ₃(τ₂),

положительное, второе отрицательное и равно по

модулю первому, а третье - нулевое. Подробный

φ₂'(τ₂) = φ₃'(τ₂),

(16)

анализ решения этой задачи приведен в работе

[9]. Изложим здесь только опорные утверждения,

m₂(τ₂) = m₃(τ₂)

позволяющие выписать решение. Показано, что в

этом случае оптимальное управление принимает

позволяют замкнуть систему уравнений для

только постоянные значения, которые с учетом

отыскания τ₁, τ₂ и τ_f. Для решения системы (16)

выражений (12) и (14) равны u = ± u_m. Это управ-

введем новые переменные:

БИОФИЗИКА том 64

№ 5

2019

1014

КРУЧИНИН

τ₁

ности его реализации приведут к значительным

x = e

;

ошибкам при попадании в терминальное состоя-

y = e

;

(17)

ние (11). Таким образом, параллельно с управле-

нием такого типа в системе должно действовать

z = e

² .

стабилизирующее управление, которое будет ис-

кажать полученную «идеальную» траекторию.

Тогда систему (16) можно привести к следую-

щему виду:

Использование предложенного алгоритма для

описания движения человека осложнено также

⎧

−1

βz

−1

тем обстоятельством, что автору неизвестно био-

(

)

(

)

⎪

логическое обоснование величины ограничения

⎪

⎪2y

скорости изменения момента, при котором ре-

⎨

(βz

−1)

−

альная траектория соотносится с модельной.

βz

⎪

Линейно-квадратичное управление. Итак, нало-

βx

жение явных ограничений на скорость измене-

⎪

ния момента приводит к формированию опти-

мальных траекторий, очевидно содержащих ярко

гдеβ

выраженные участки разгона и торможения.

Исключим из этой системы переменные x и y,

Между тем принятое при расчетах значение мак-

которые удовлетворяют соотношениям

симальной скорости изменения момента меньше,

чем реальные значения, известные из литературы

[14,15]. В связи с этим рассмотрим также

(18)

задачу оптимального управления, которая не тре-

бует введения явных значений ограничения вели-

чины u. К этому классу относится, например, ли-

Тогда для определения моментов времени τ₁,

нейно-квадратичное управление [13,16]. Подоб-

τ₂ и τ_f необходимо найти минимальное действи-

ное управление нередко используется при

тельное решение z полиномиального уравнения

моделировании системы управления движения-

ми человека [17-19] при анализе удержания чело-

−

веком вертикальной позы.

−

Для формирования управления будем мини-

удовлетворяющее условию z > 1. Моменты време-

мизировать функционал вида

ни τ₁, τ₂ и τ_f отыскиваются на основании соотно-

шений (17) и (18) по следующим формулам:

∞

⎡a

−

a)m

⎤ τ

(19)

−

∫

⎣

⎦

ze²

Здесь через a и b обозначены безразмерные ве-

совые коэффициенты, отображающие вклад со-

= ln

ответствующей величины в формирование функ-

ционала. Параметр b отвечает за снижение вели-

τ_f = 2lnz.

чины управления

- скорости изменения

Отметим основные свойства этого решения:

момента. Так как реализуемые физиологические

ограничения этой величины неизвестны, рас-

1. Время торможения равно времени разгона:

сматривались значения b, при которых время

τ_f - τ₂ = τ₁.

движения приближенно совпадает со временем

2. Величина снижения значения момента на

изменения позы человеком, стабилограмма кото-

этапе разгона относительно начального уровня

рого приведена на рис. 1. Параметр a ∈ [0,1]. На

равна максимальному значению на этапе тормо-

одном конце этого интервала штрафуются только

жения:

величины управляющего момента, а на втором -

|1 + m₂(τ₁)| = m₂(τ₃).

только величины отклонения от финального по-

ложения. Для этой задачи отыскивается трехмер-

В терминах работы [2] отсюда следует, что для

ный вектор k коэффициентов в цепи обратной

оптимального по быстродействию управления

связи по значениям переменных состояния зада-

амплитуда «размаха» равна амплитуде «перерегу-

лирования».

чи

u = -k(φ,φ',

m)T

в соответствии со стандартным

3. Управление (15) носит программный харак-

алгоритмом линейно-квадратичного управления

тер, в то время как система (9) является неустой-

[13,16]. Вектор k коэффициентов задачи опреде-

чивой. Этого управления недостаточно, чтобы

ляется через решение P матричного уравнения

реализовать заданное движение, так как погреш-

Риккати

БИОФИЗИКА том 64

№ 5

2019

АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ СТАБИЛОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕСТОВ

1015

0 = A^TP + PA + Q - PBR^-1B^TP

существенным. В противном случае соответству-

ющий эффект почти пропадает.

по формуле

Отметим также, что наблюдаемые траектории

k = -R^-1B^TP.

будут заметно искажаться при изменении началь-

Для задачи (9), (19) матричные коэффициенты

ной скорости, которая на самом деле не является

уравнения Риккати имеют следующий вид:

нулевой. Это обстоятельство позволяет предпо-

ложить, что эффекты, отмеченные в моделях оп-

⎡01 0⎤

⎡a

⎤

⎡0⎤

тимальных траекторий, будут неизбежно смазаны

⎢

⎥

⎢

⎥

101⎥,

в практической реализации.

⎢

⎥

⎢ ⎥

⎢

⎥

⎣00 0⎦

⎣1⎦

⎣001-

a⎦

Для формирования усилий в этом случае си-

ОСОБЕННОСТИ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОБ

стема регуляции движений должна определять

На основании данных об оптимальном реше-

момент, используя фильтр

нии задачи сформулируем условия проведения

m' + k₃m = -k₁φ - k₂φ'.

проб и опишем показатели, анализ которых будет

использован в дальнейшем.

Заметим, что здесь использован стационар-

ный вариант линейно-квадратичного управ-

Регистрацию движений человека осуществляли

ления. В нестационарном варианте коэффициен-

с помощью стабилоанализатора «Стабилан 2-01».

ты k будут зависеть от времени, что затрудняет

Обследуемый с открытыми или закрытыми глаза-

анализ задачи. Предварительные расчеты показа-

ми стоял на платформе стабилоанализатора и вы-

ли, что в этом случае основные свойства реше-

полнял одну из двух проб.

ний, удовлетворяющих условию приведения ре-

Тест со ступенчатым визуальным воздействием.

шения в малую окрестность положения равнове-

Человек стоит на платформе стабилоанализатора

сия, остаются неизменными.

перед экраном, на котором отображается движе-

На рис. 4 приведены зависимости от времени

ние его центра давления и показана мишень. Вна-

безразмерного угла φ и безразмерной координаты

чале центр мишени совмещен со средним поло-

центра давления y_m = m(1 + ε) + εφ при различных

жением образа центра давления человека на

значениях весового коэффициента a. Здесь при-

опорной плоскости. В ходе теста производят из-

нято обозначение ε = m_plh/J.

менение положения мишени вдоль оси экрана и

Полученные решения асимптотически устой-

человека просят быстро изменить положение ту-

чивы и не требуют дополнительной стабилиза-

ловища в сагиттальной плоскости за счет измене-

ции. Они не удовлетворяют финальным условиям

ния угла в голеностопном суставе таким образом,

из выражения (2), тем не менее, за характерные

чтобы совместить на экране образ центра давле-

времена порядка времени выполнения человеком

ния с центром мишени и удерживать его в окрест-

упражнения решение приходит в малую окрест-

ности последнего. Величина смещения задается в

ность нулевого положения.

результате предварительной калибровки в соот-

Анализ ансамбля полученных траекторий,

ветствии с возможностями обследуемого. Вели-

удовлетворяющих различным значениям a и b,

чина скачка мишени соответствовала 20, 50 или

показывает, что подбор неизвестных параметров

80% от величины максимального отклонения

для отображения конкретной траектории возмо-

центра давления при наклоне человека. Эти про-

жен, однако не является простой задачей. Поми-

бы получили соответственно обозначения а20,

мо этого истолкование связи этих параметров с

а50 и а80. Величину максимального отклонения

успешностью выполняемого упражнения не

центра давления человек задавал самостоятельно

представляется очевидным. Тем не менее, можно

в ходе предварительной калибровки. По проше-

отметить некоторые важные свойства получен-

ствии 15 с мишень совершает обратное движение

ных траекторий:

и человека просят снова максимально быстро

1. Разгон на всех приведенных траекториях до-

совместить образ центра давления с новым цен-

статочно интенсивен и примерно одинаков. Это

тром мишени. Цикл повторялся пять раз. Перед

является следствием большого начального откло-

проведением записи человек совершал необходи-

нения от стабилизируемого конечного положе-

ния, которое требуется быстро парировать для

мое движение два-три раза для тренировки.

минимизации функционала (19).

Тест со ступенчатым отклонением. Этот тест

2. Интенсивность торможения существенно

выполнялся в форме, отличной от предлагаемой в

зависит от требований к минимизации ресурсов

руководстве стабилоанализатора

[2]. Человек

управления. Торможение является интенсивным

стоит на платформе стабилоанализатора с закры-

и «перерегулирование» велико, если критерий

тыми глазами. В ходе теста он должен быстро из-

минимизации ресурсов управления не является

менить положение туловища в сагиттальной

БИОФИЗИКА том 64

№ 5

2019

1016

КРУЧИНИН

Рис. 4. Расчетные безразмерные зависимости от времени для угловой координаты φ и положения центра давления y_m

в случае линейного квадратичного управления при различных значениях весового коэффициента a.

плоскости за счет изменения угла в голеностоп-

Основное различие в выполняемых тестах за-

ном суставе на произвольный угол, меньший, чем

ключается в следующем. В первом случае человек

максимально возможное отклонение. По проше-

при виде движения мишени планирует движение,

ствии 15 с человек по команде совершает обрат-

и нервная система «запускает» программу выпол-

ное движение. Такой цикл также повторялся

нения этого запланированного движения. Во вре-

пять раз.

мя движения человек оценивает ход его выполне-

ния, прогнозирует погрешность попадания мар-

Продолжительность каждого теста составляла

пять-десять минут. Перерыв между тестами

кера в центр мишени и корректирует движение.

для одного обследуемого составлял не менее трех

Во втором случае обратная связь по результатам

минут.

совершенного движения отсутствует, и мы имеем

БИОФИЗИКА том 64

№ 5

2019

АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ СТАБИЛОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕСТОВ

1017

возможность анализировать реализацию запла-

Введем следующие обозначения. Величину экс-

нированного программного движения.

тремума стабилограммы (минимума для движе-

ния вперед и максимума для движения назад),

предшествующего движению, обозначим y_s, а ве-

АЛГОРИТМ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ

личину локального экстремума в завершающей

ОБСЛЕДОВАНИЙ

части движения - y_t. Эти значения координата

При проведении проб человек тем или иным

центра давления принимает в моменты времени t_s

способом получает команду на выполнение дви-

и t_tсоответственно (см. рис. 1). Среднюю ско-

жения. После получения команды следует ла-

рость центра давления на движении вычисляли

тентный период, в ходе которого нервная система

обрабатывает информацию и принимает решение

по следующей формуле:

о совершении движения. Логично предположить,

−

что за это время формируется программное

За локальное начало отсчета времени для каж-

управление с учетом совершенного «прицелива-

дого конкретного движения примем момент вре-

ния». По-видимому, начальный этап движения

мени t_o = (t_t + t_s)/2. Будем рассматривать движе-

реализуется полностью с этим управлением. Воз-

ние с момента времени за 4 с до to и до момента

мущения на этом этапе связаны с «погрешно-

стью» знания начальных условий движения туло-

o+ 6 с. Для каждой стабилограммы выделяли

вища - координат и скоростей. На завершающей

участок покоя, предшествующий движению, и

стадии движения существенное влияние будет

участок покоя или «пассивного» движения после

оказывать также погрешность «прицеливания»,

его завершения. Средние значения координаты

которую при наличии визуальной обратной связи

центра давления для этих участков обозначим ya и

человек начинает корректировать в ходе движе-

b соответственно. Величиной смещения назовем

ния. Это обстоятельство для теста с визуальным

разность d_y = |y_a - y_b|.

ступенчатым воздействием может значительно

Новое значение безразмерной координаты и

смазывать эффекты, наблюдаемые на участках

безразмерного времени для каждого единичного

разгона и торможения.

перемещения будем рассчитывать по формулам

Вследствие этого был изменен и стандартный

−

алгоритм обработки показаний данных стабило-

(

−

)

анализатора.

При наличии ожидаемых случайных расхож-

Каждое движение обследуемого приводили к

дений в реализации движения в качестве маркер-

своим безразмерным переменным, после чего по

ных показателей целесообразно использовать

всем циклам пробы вычисляли среднюю траекто-

усредненные относительные величины, значение

рию, как показано на рис. 5. Определяли следую-

которых для оптимальных решений известно.

щие параметры этой траектории:

В приведенном примере в качестве указанных

As - безразмерная «амплитуда размаха» (ин-

маркерных показателей помимо скорости совер-

тенсивность разгона);

шения движения могут быть использованы отно-

A_o- безразмерная «амплитуда перерегулиро-

шения величин «перерегулирования» и «разма-

ха». Параметры, описывающие «размах» и «пере-

вания» (интенсивность торможения);

регулирование», характеризуют интенсивность

Δ_os = A_o/As - отношение «амплитуд» торможе-

мышечных усилий при разгоне в начале движе-

ния и разгона. Для решения задачи оптимального

ния и в ходе финального торможения. Использо-

управления в случае симметрии ограничений на

вание безразмерных величин, помимо известных

скорости сокращения мышц эта величина равна

преимуществ [20-22], позволит сравнивать их со

единице и убывает в случае экономии энергоза-

значениями для решений обезразмеренных задач

трат.

оптимального управления.

Алгоритм обработки результатов обследова-

РЕЗУЛЬТАТЫ ОБСЛЕДОВАНИЙ

ний отличался от стандартного, принятого в про-

граммном обеспечении комплекса StabMed [2].

В обследовании приняли участие 17 добро-

При обработке записей латентный период не рас-

вольцев обоего пола в возрасте от 19 до 60 лет.

сматривался и одновременными считались сере-

11 из них выполняли пробу со ступенчатым визу-

дины интервалов времени между минимумом и

альным воздействием а. Величина скачка мише-

максимумом стабилограмм при выполнении дви-

ни менялась на 20, 50 или 80% от величины мак-

жения.

симального отклонения центра давления при на-

Для сравнения движений с различными ам-

клоне. Для указанных величин скачка мишени

плитудами стабилограмму каждого конкретного

значения A_s, Ao иΔ_os приведены в таблице. В по-

движения пересчитывали к безразмерному виду.

следнем столбце таблицы приведены средние

БИОФИЗИКА том 64

№ 5

2019

1018

КРУЧИНИН

Рис. 5. Усредненный ансамбль безразмерных стабилограмм. Пунктирными линиями обозначены реализации, сплош-

ной линией - усредненная стабилограмма.

значения разбросов координат центра давления в

положить, что в этом случае имеет место умень-

ходе одной пробы. Эти значения показывают, что

шение величины тормозящего момента по срав-

разбросы мгновенных значений координат вели-

нению с максимальным моментом при раз-

ки и выводы возможны только на основе стати-

гоне вследствие возможного нарушения ограни-

стического анализа. Также в таблице приведены

чения (8). Приближение к этой границе могло

средние значения скорости v_m. Разбросы этой ве-

привести к отрыву пяток или носков от пола, что

личины достигают 70%, однако повторные обсле-

запрещалось правилами проведения теста. В то

дования, проведенные для трех человек с интер-

же время граница максимального отклонения

валом от недели до года, показали, что средние

центра давления устанавливалась обследуемым

величины скоростей отличаются на 20-30%.

субъективно. В таких условиях не следовало ожи-

дать стопроцентного результата в этом тесте. От-

Характерной особенностью приведенных дан-

метим также, что в пробе a20 у 75% обследуемых,

ных является значительно сниженное значение

а в пробе a50 - у 60% обследуемых Δ_os отличается

Δos для пробы a80. В подтверждение регулярности

от единицы менее чем на 30%. Это также косвен-

этого вывода заметим, что у 88% обследуемых при

но подтверждает сделанный вывод.

отклонении вперед в пробе a80 величина Δ_os со-

ставила менее 2/3. У 65% из них эта величина бо-

Второй тест, выполняемый с закрытыми гла-

лее чем на 30% ниже, чем ее значение в тестах с

зами, делали 13 обследуемых. Средние значения

меньшими величинами смещений, и у 70% мень-

показателей для этого теста приведены в послед-

ше чем при возвратном движении. Логично пред-

ней строке таблицы. Вариабельность траекторий

Средние значения характеристик движений при прохождении теста здоровыми обследуемыми

Вперед

Средняя

Тест

скорость

Погрешность

A_s

A_o

Δ_os

A_s

A_o

Δ_os

ЦД, мм/с

a20

0.6

0.54

1.18

0.56

0.41

0.86

0.31

a50

0.45

0.33

0.80

0.43

0.33

0.90

0.21

a80

0.40

0.18

0.48

0.31

1.08

110

0.19

0.37

0.40

1.42

0.32

0.36

1.29

118

0.13

БИОФИЗИКА том 64

№ 5

2019

АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ СТАБИЛОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕСТОВ

1019

при выполнении такого движения существенно

продолжительность латентного периода, ско-

меньше, как видно из последнего столбца приве-

рость выполнения движения и величина промаха

денной таблицы. Значения параметров движения

с недолетом «при прицеливании». В настоящей

с закрытыми глазами сравнивали с показателями

работе ставилось целью исследование самого

движения вперед с открытыми глазами при сме-

движения и параметры для обработки выбирали

щении мишени а50. При движении вперед тор-

таким образом, чтобы максимальным образом от-

можение активнее разгона на 30% и более для

делить само движение и исключить из анализа

38% обследуемых, а на 50% и более - для 23% об-

влияние латентного периода. Такой подход поз-

следуемых. Для движения с открытыми глазами

волил максимально выявить проявление механи-

эта величина в обоих случаях была меньше 8%. В

ческих особенностей выполняемого движения

то же время при возвратном движении при за-

для всех обследуемых и показать, что рассматри-

крытых глазах Δ_os составляла меньше 0,7 для 8%

ваемое движение носит характер устойчивого

обследуемых. При открытых глазах Δ_os < 0,7 на-

двигательного штампа.

блюдалась для 38% обследуемых и Δ_os < 0,5 - для

Отметим в заключение, что использование

специальных математических моделей типа пред-

23% обследуемых. Заметим, что в пробе с закры-

ставленной в работе [23] позволит аккуратнее

тыми глазами торможение оказалось интенсив-

формализовать вычисление основных показате-

нее разгона.

лей, обсуждавшихся в настоящей статье.

Помимо этого, в обследовании приняли уча-

стие три пожилых человека разного пола в воз-

расте 80-90 лет с различными нарушениями

ФИНАНСИРОВАНИЕ РАБОТЫ

опорно-двигательной и нервной систем. Значе-

Работа выполнена при финансовой поддержке

ния амплитуд и их соотношений у них лежали в

Российского фонда фундаментальных исследова-

пределах значений, отмеченных для здоровых об-

ний (грант № 18-00-01590).

следованных. Отметим при этом, что средняя

скорость v_mвыполнения движения у больной с

СОБЛЮДЕНИЕ ЭТИЧЕСКИХ СТАНДАРТОВ

неврологическими нарушениями (болезнь Альц-

геймера) оказалась, аналогично результатам, по-

Все процедуры, выполненные в исследовании

лученным в работе [6], значительно ниже средней

с участием людей, соответствовали этическим

скорости для здоровых обследованных.

стандартам Хельсинкской декларации 1964 г. и ее

последующим изменениям. От каждого из вклю-

ченных в исследование участников было получе-

ОБСУЖДЕНИЕ

но информированное добровольное согласие.

Итак, в подавляющем большинстве случаев

при выполнении пробы со ступенчатым воздей-

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ствием в стабилограмме наблюдаются четко вы-

1. F. B. Horak and F. J. Hlavacka, J. Neurophysiol. 86,

раженные участки разгона и торможения, отоб-

575 (2001).

ражаемые на стабилограмме интервалами попят-

ного движения центра давления - «размаха» - и

2. Г. А. Переяслов и С. С. Слива, Изв. ТРТУ 5 (28), 82

превышения финального положения маркера,

(2002).

отображающего положение центра давления -

3. B. N. Smetanin, K. E. Popov, and G. V. Kozhina,

«перерегулирование». На первый взгляд, это

Neurophysiol. 36 (1), 58 (2004).

утверждение противоречит данным из докумен-

4. В. Ю. Шлыков, Т. Б. Киреева и Ю. С. Левик, Изв.

тации стабилоанализаторов [2], в которых выде-

ЮФУ. Техн. науки 6 (83), 112 (2008).

лены типы переходных процессов, не содержа-

5. Ю. С. Левик, Т. Б. Киреева и В. Ю. Шлыков,

щие перерегулирования. Например, для прове-

Альманах клин. медицины 17-2, 217 (2008).

денного

исследования

программном

6. Е. П. Муртазина, Изв. ЮФУ. Техн. науки 9 (98),

обеспечении Stabmed параметр «тип переходного

123 (2009).

процесса» принимает все значения от 2 до 6. Объ-

7. Г. С. Кашеваров, О. И. Елкина и Р. Р. Касимова,

яснение этого парадокса заключается в способе

Лечебная физкультура и спортивная медицина

усреднения траекторий, принятом в программ-

4 (130), 36 (2015).

ном обеспечении StabMed, где при усреднении

данных для последующего анализа за начало от-

8. И. Ю. Горская, Л. Г. Харитонова, А. А. Терещенко

счета принимаются моменты подачи визуального

и О. В. Криживецкая, Совр. проблемы науки и об-

стимула. При этом «перерегулирование» описы-

разования, № 2 (2017). URL: http://www.science-ed-

вается как «превышение» уровня стабилограммы

ucation.ru/ru/article/view?id=26193 (дата обраще-

над уровнем, задаваемым положением мишени. В

ния: 26.06.2019).

этом случае траектория значительно «размазыва-

9. П. А. Кручинин и Е. А. Касаткин, Изв. ЮФУ.

ется» за счет вариабельности таких величин, как

Техн. науки 10 (159), 254 (2014).

БИОФИЗИКА том 64

№ 5

2019

1020

КРУЧИНИН

10. П. А. Кручинин, Вестн. МГУ. Сер. 1, Математика.

17. A.D. Kuo, IEEE Trans. Biomed. Eng. 42 (1), 87

Механика, № 2, 62 (2016).

(1995).

11. П. А. Кручинин, Рос. журн. биомеханики 18 (2),

18. S. G. Carver, T. Kiemel, N. J. Cowan, and J. J. Jeka,

184 (2014).

Biol. Cyber. 101 (1) 35 (2009).

12. М. Атанс и П. Фалб, Оптимальное управление

19. P. Paoletti and L. Mahadevan, J. R. Soc. Interface 9,

(Машиностроение, М., 1968).

2097 (2012).

13. Я. Н. Ройтенберг, Автоматическое управление

(Наука, М., 1971).

20. A. L. Hof, Gait & Posture 4 (3), 222 (1996).)

14. A. L. Hof, J. Biomech. 36 (7), 1031 (2003).

21. Л. И. Cедов, Методы подобия и размерности в

15. B. J. Thompson, E. D. Ryan, T. J. Herda, et al., J.

механике (Наука, М., 1977).

Electromyogr. and Kines. 22 (6), 893 (2012).

22. И. В. Новожилов, Фракционный анализ (Изд-во

16. В. В. Александров, С. И. Злочевский, С. С. Лемак

мех.-мат. ф-та МГУ, М., 1995).

и Н. А. Парусников, Введение в динамику управляе-

мых систем (Изд-во ЦПИ при мех.-мат. ф-те МГУ,

23. А. П. Кручинина и А. Г. Якушев, Вестн. МГУ.

М., 1993).

Сер. 1, Математика. Механика, № 2, 68 (2018).

Analyzing the Results of Stabilometric Tests under a Stepwise Input Action

in the Context of Mechanics of Controlled Systems

P.A. Kruchinin

Faculty of Mechanics and Mathematics, Lomonosov Moscow State University, Leninskiye Gory 1, Moscow, 119991 Russia

In this paper we consider optimal control problems for a human motion model in the case of stabilometric

tests when the posture of a person changes under a stepwise input action. A characteristic peculiarity of the

center of pressure trajectories for these tests is the presence of prominent «swing» and «overshoot». In this

work one-dimensional inverted pendulum model is used. The solution of optimal control for the inverted

pendulum motion controlled by coupling torque is put in correspondence with the results of such tests. The

problems of optimal speed-of-response control and linear-quadratic regulator are considered. The solution

of these optimum problems is compared with the results of stabilometric tests. A modified algorithm for sta-

bilographic data processing is proposed. It is shown that the motion under study reaches a stable motor pat-

tern. “Swing” and “overshoot” correspond to the stages of acceleration and deceleration, respectively.

Keywords: change of upright posture, stabilometry, tests under a stepwise input action, optimal control

БИОФИЗИКА том 64

№ 5

2019