БИОФИЗИКА, 2019, том 64, № 5, с. 1030-1039

БИОФИЗИКА CЛОЖНЫX CИCТЕМ

УДК 532.11:539.3:577.1

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ АППЛАНАЦИОННОЙ

И ИМПРЕССИОННОЙ ТОНОМЕТРИИ ПОСЛЕ ХИРУРГИЧЕСКОЙ

КОРРЕКЦИИ ЗРЕНИЯ

Институт механики Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова,

117899, Москва, Мичуринский просп., 1

E-mail: moiseeva.ir@yandex.ru, stein.msu@bk.ru

Поступила в редакцию 22.05.2019 г.

После доработки 22.05.2019 г.

Принята к публикации 30.05.2019 г.

Выполнено математическое моделирование аппланационной и импрессионной тонометрии (по

Маклакову и Шиотцу соответственно) для глаза с искусственно вызванной сильной неоднородно-

стью упругих свойств роговицы. Такая неоднородность возникает, в частности, в результате хирур-

гической коррекции зрения. Рассматривается ослабление роговицы либо в области апекса (коррек-

ция миопии), либо в периферической кольцевой зоне, лежащей вблизи склеры (коррекция гипер-

метропии). Использована двухкомпонентная модель глазного яблока, в которой роговица

представляется безмоментной деформируемой линейно-упругой поверхностью, а склеральная об-

ласть - упругим элементом, откликающимся изменением объема на изменения внутриглазного

давления. При таком представлении механические свойства роговицы характеризуются эффектив-

ной жесткостью - параметром, содержащим в себе как упругие свойства материала роговицы, так и

ее толщину. Проведен анализ применимости соотношений, используемых при стандартной обра-

ботке данных тонометрии, а также результатов моделирования, полученных нами ранее для случая

однородной роговицы, к оперированным глазам со значительной неоднородностью ее упругих

свойств. Поправки, вносимые неоднородностью, оказались наиболее значительны для тонометра

Шиотца при апикальном ослаблении и достаточно высоком внутриглазном давлении. В случае то-

нометрии по Маклакову влияние неоднородности на расчет истинного давления не слишком вели-

ко для обоих рассмотренных типов ослабления роговицы.

Ключевые слова: роговица глаза, неоднородность упругих свойств, хирургическая коррекция зрения,

тонометрия по Маклакову, тонометрия по Шиотцу, математическое моделирование.

DOI: 10.1134/S0006302919050272

В последние десятилетия в офтальмологиче-

лает практически важным вопрос об интерпрета-

скую практику широко вошли методы коррекции

ции результатов тонометрии в приложении к опе-

зрения, основанные на хирургическом измене-

рированному глазу, поскольку накопленный за

нии формы роговицы [1,2]. Все эти методы связа-

долгие годы исследований опыт относится к глазу

ны с удалением части стромы, прилегающей к

с распределением упругих свойств роговицы, не

внешней поверхности роговицы. Таким образом,

слишком отличающимся от однородного

[3].

образуются области, в которых ее толщина замет-

Прежде всего, речь должна идти о статической

но уменьшается. Меньше становится также эф-

тонометрии, так как данные других методов тоно-

фективная жесткость роговицы как оболочки. В

метрии тарируются по результатам статической.

особенности на уменьшении эффективной жест-

В России наиболее распространенными стати-

кости сказывается тот факт, что прочностные

ческими тонометрами являются тонометры Ма-

свойства роговицы распределены неоднородно

клакова (аппланационная тонометрия) и Шиотца

по толщине и в основном определяются именно

(импрессионная тонометрия). Именно для них и

внешними слоями, прилегающими к эпителию,

будет проведено математическое моделирование

т.е. как раз теми слоями, из которых производит-

в предлагаемой работе.

ся удаление ткани.

Строго говоря, и для глаза, не подвергшегося

Возникновение значительной неоднородно-

операции, стандартные методики обработки дан-

сти роговицы при корректирующей хирургии де- ных тонометрии могут давать значительные

1030

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

1031

ошибки [4,5] вследствие большого разброса упру-

гих свойств глазных тканей [6]. Для эффективной

оценки влияния такого разброса нами была раз-

работана модель, представляющая роговицу дву-

мерной упругой безмоментной поверхностью, а

склеральную область упругим элементом, откли-

кающимся изменением объема на изменение

внутриглазного давления [4]. В первоначальном

варианте модели поверхность считалась однород-

ной и изотропной. В дальнейшем рассматрива-

лись обобщения такого подхода. В частности, в

работе [7] модель была модифицирована для слу-

чая пространственно неоднородной роговицы. В

рамках нашего приближения неоднородность

упругих свойств и толщины роговицы в танген-

циальном направлении описывается как зависи-

мость от положения на меридиональной дуге

единственной величины - эффективной жестко-

сти поверхности, моделирующей роговицу. Такое

представление позволяет не учитывать неодно-

родность упругих свойств роговицы по толщине,

недостаточно изученную и, по всей видимости,

сильно различающуюся для разных глаз [7-9].

В работе [10] исследовано влияние некоторых

типов естественной и искусственной неоднород-

ности роговицы на ее поведение при раздувании

внутренним давлением, а также при нагружении

плоским широким штампом (тонометрия по Ма-

клакову). В настоящей работе внимание сосредо-

точено на статической тонометрии (как по Ма-

клакову, так и по Шиотцу) для таких распределе-

ний неоднородности, которые возникают при

хирургической коррекции зрения. Анализируется

влияние присутствия значительно ослабленных

областей в апикальной зоне роговицы (коррек-

ция миопии) и в кольцевой зоне на ее периферии

(коррекция гиперметропии).

Исследуется влияние различных параметров,

характеризующих ослабление роговицы, на соот-

ношение между характеристиками, измеряемы-

ми при тонометрии, и давлением в ненагружен-

ном глазу. В конечном счете исследование имеет

целью ответить на естественные вопросы практи-

кующего врача:

- В какой степени при обработке данных то-

Рис. 1. К постановке задачи: (а) - глазное яблоко до

нометрии глаз после операций по коррекции ми-

нагружения; (б) - роговица, нагруженная тономет-

опии и гиперметропии можно использовать стан-

ром Маклакова; (в) - роговица, нагруженная тоно-

метром Шиотца: 1 - плунжер; 2 - стопа; 3 - рогови-

дартные формулы и таблицы?

ца. Остальные обозначения - в тексте.

- Дает ли в этом случае преимущество исполь-

зование расчетных кривых, полученных ранее на-

ми для «среднего» глаза [4,5]?

(рис. 1в). Последний состоит из тяжелого вогну-

того штампа (стопы) и свободно опускающегося

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

на роговицу через отверстие в центре стопы тон-

На рис. 1 схематически представлены глазное

кого стержня (плунжера).

яблоко, не нагруженное извне (рис. 1а), а также

нагруженное широким плоским штампом (тоно-

Система уравнений для части роговицы вне

метр Маклакова, рис. 1б) и тонометром Шиотца

контакта с тонометром обоснована для неодно-

БИОФИЗИКА том 64

№ 5

2019

1032

МОИСЕЕВА и др.

родной роговицы в работе [10] и имеет следую-

т.е. полный объем внутриглазной жидкости оста-

щий вид:

ется неизменным. Здесь K - константа, характе-

ризующая упругость склеральной области.

(r₀T₁)' - T₂cosφ = 0,

Далее используются переопределенные упру-

-T₂sinφ -r₀φ'T₁ + λr₀p_t = 0,

гие константы E_c и E_s [4], связанные с Ec* и K фор-

r' = γcosφ,

мулами

E_c* = δE_c,

, ε

-1,

sin φ

, φ

(s)

,(1)

K = (ζE_s)^-1,

где δ = 0,5 мм - средняя в норме толщина рогови-

[

−ν

−

(1−ν

)

]

цы, а ζ = 1,44·10^-5 мм^-3. Будем называть E_c и E_s

роговичной и склеральной жесткостями соответ-

ственно. Упругий модуль E_c (s) - задаваемая

[

−ν

−

−ν

)

]

функция координаты s.

Решение задачи ищется в области 0 ≤ s ≤ s_*, где

Здесь приняты обозначения:

- расстояние

* = φc^Rc - значение координаты s на границе ро-

точки поверхности, представляющей роговицу,

говицы и склеры. Граничные условия включают

от оси; φ - угол между нормалью к этой поверх-

условие r(s_*) = R_b (жесткое закрепление роговицы

ности и осью симметрии; s - длина дуги образую-

щей роговицы в начальном состоянии, отмеряе-

на склере) и условие ограниченности усилия T₁ в

мая от точки пересечения роговицы с осью сим-

апексе [4,5]. Задаются также условия на поверх-

метрии (апекса) и играющая роль независимой

ностях отрыва поверхностей тонометра от рого-

переменной; p_t - тонометрическое давление (т.е.

вицы.

давление внутриглазной жидкости в присутствии

Для тонометра Маклакова такое условие имеет

груза); Ec* и v_c - жесткость и коэффициент Пуас-

вид

сона роговицы как поверхности [4]; T₁ и T₂ - ка-

G = πr²·p_t,

(2)

сательные усилия в меридиональном и перпенди-

где G - вес груза, а функции T₁(s), φ(s) и r(s) не-

кулярном к нему (окружном) направлениях; ε₁ и

прерывны.

ε₂ - деформации в тех же направлениях, отсчиты-

Для тонометра Шиотца на границах, разделя-

ваемые от некоторого начального состояния не

ющих обозначенные на рис. 1в зоны [5], имеем

нагруженной извне роговицы; r₀(s) и φ₀(s) - r и φ

как функции s в этом начальном состоянии

I-II: r^- = r⁺ = r_*, T_1- = T₁₊,

(рис. 1а). Последнее считается условно соответ-

G_p = πr_*2·p_t - 2πr_* T₁sin(-φ^-),

ствующим некоторому сферическому простран-

ственно однородному сегменту радиуса R_c (ради-

II-III: r^- = r⁺, φ^- = φ⁺, T_1- = T₁₊,

ус роговицы) с внутренним давлением p₀. В этом

III-IV: r^- = r⁺, φ^- = φ⁺, T_1- = T₁₊,

состоянии T₁ = T₂ = T₀ = p₀R_c/2.

G_p + G_f = πr²·p_t - 2πrT₁sinφ,

Там, где роговица соприкасается с поверхно-

стями тонометра, система уравнений (1) остается

где G_p и G_f - веса плунжера и стопы соответ-

справедливой за исключением второго уравне-

ственно, r_* - радиус сечения плунжера, а индек-

ния, которое заменяется уравнением связи:

сами «-» и «+» обозначены значения переменных

sin φ = r/r_t,

по разные стороны линии отрыва, причем знак

«-» соответствует области, лежащей дальше от

где r_t - радиус кривизны соответствующей по-

оси. В соотношениях, содержащих веса (условиях

верхности, равный r_p для плунжера и r_f для стопы

равновесия) функции, непрерывные на рассмат-

в случае тонометра Шиотца и ∞ в случае тономет-

риваемой поверхности разрыва, индексами «-» и

ра Маклакова.

«+» не помечены.

В задаче тонометрии [4] приращение «подрого-

В расчетах принято: R_c = 8 мм, R_b = 5,8 мм, E_s =

вичного» объема ΔV_c (над плоскостью AB) связано

10 МПа, v_c = 0,45, G = 15 г, G_f = 11,5 г, G_p = 5,5 г,

с приращением «склерального» объема ΔV_s (под

* = 1,5 мм, rf = rp = 15 мм. Значения весов G и Gp

плоскостью AB) следующими соотношениями:

выбраны таким образом, чтобы давления в нагру-

женном глазу были сопоставимы для двух рас-

ΔV_s = K(p_t - p₀),

сматриваемых типов тонометров. Независимая

ΔV_c + ΔV_s = ΔV = 0,

переменная s далее обезразмерена по радиусу ро-

БИОФИЗИКА том 64

№ 5

2019

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

1033

говицы R_c, причем прежнее обозначение для нее

сохраняется. При принятых значениях геометри-

ческих параметров роговицы s_* ≈ 0,8.

Эффективная жесткость ослабленной рогови-

цы E_c варьировалась в диапазоне 0,1-0,9 МПа

при различных ее симметричных относительно

оси глаза распределениях. Таким образом, эта ве-

личина считается функцией только параметра s, и

различные схемы коррекции соответствуют раз-

личным формам поведения функции E_c(s). Во

всех случаях, рассмотренных в этом разделе,

функция E_c(s) предполагалась отличной от неко-

торого значения, равного жесткости до операции

(интактной жесткости) в некоторой конечной об-

ласти, где ее значение также постоянно, но на-

много меньше. Считается, что жесткость E_c(s) ме-

няется при переходе от одной области к другой

непрерывно и имеется пограничная область, в

Рис. 2. Общий вид зависимостей эффективной жест-

которой это изменение происходит. Удобное

кости роговицы E_c от характеризующего положение

приближение для описания такого поведения да-

на роговице безразмерного параметра s при ослабле-

ют функции, сконструированные из арктанген-

нии апикальной зоны в первоначально однородной

сов. В частности, функция E_c(s) может быть близ-

роговице. Кривые 1-3 соответствуют положению

границы ослабленной и интактной области в середи-

ка к кусочно-постоянной. В этом случае погра-

не меридиональной дуги (центральное положение

ничная область очень узка в сравнении с

границы, т.е. a₄ = s

/2 ≈ 0,4) при одинаковом среднем

размерами основных областей.

значении 0,3 МПа и различной крутизне перехода.

Пунктирная кривая изображает практически кусоч-

В рамках рассматриваемой постановки задачи

но-постоянное распределение с нецентральным по-

в случае тонометра Маклакова связь между тоно-

ложением границы.

метрическим давлением и непосредственно из-

меряемой геометрической характеристикой (ра-

диусом поверхности контакта «тонометр-рого-

боте [10] при описании естественной неоднород-

вица») известна заранее и задается формулой (2).

ности, для которой характерно плавное ужесточе-

Для тонометра Шиотца соответствующая связь

ние роговицы от апикальной области к склере

(измеряемый параметр - заглубление плунжера)

(кривая 3 на рис. 2) [11,13].

определяется численным расчетом. Для обоих

Выбирая различные наборы констант a₁, a₂, a₃,

рассматриваемых тонометров основной вопрос -

a₄, зависимостью вида (3) можно моделировать

оценка зависимости давления под грузом (тоно-

метрического) p_t от давления до нагружения (ис-

разнообразные монотонные распределения. Фи-

зически существенные характеристики распреде-

тинного) p₀ или, что равноценно, тонометриче-

ления: среднее интегральное значение жесткости

ской разности Δp = p_t - p₀ от истинного давления.

по длине дуги <E_c>; амплитуда жесткости ΔE_c =

В последующих разделах изучается влияние рас-

E_c(s_*) - E_c(0), т.е. разница между ее значениями

пределения роговичной жесткости E_c(s) на эти за-

на границе со склерой (s = s_*) и в апексе (s = 0), и

висимости.

крутизна перехода между этими значениями. Для

Методика численного решения задачи тоно-

распределений с большой крутизной перехода

метрии приведена в работе [4].

(например, пунктирная кривая на рис. 2), кото-

рые моделируют разделенность роговицы на две

СЛУЧАЙ ОСЛАБЛЕНИЯ РОГОВИЦЫ

выраженные области с разными жесткостями,

В АПИКАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ

можно говорить о локализации этого перехода,

Рассмотрим сначала случай ослабления рого-

соответствующей разному расположению грани-

вицы в апикальной области, имеющего место при

цы между названными областями. За эту локали-

коррекции миопии. В этом случае будем исполь-

зацию, как видно из (3), отвечает параметр a₄.

зовать функцию вида

Влияние параметров, характеризующих рас-

E_c(s) = a₁ + a₂arctg[a₃(s - a₄)],

(3)

пределение жесткости при одинаковом среднем

ее значении <E_c> = 0,3 МПа, продемонстрирова-

поведение которой при различных значениях

входящих в нее параметров показано на рис. 2.

но зависимостями тонометрической разности

Такого же вида зависимость использовалась в ра-

Δp = p_t - p₀ от истинного давления p₀ (тонометри-

БИОФИЗИКА том 64

№ 5

2019

1034

МОИСЕЕВА и др.

Рис. 3. Зависимость тонометрической разности p_t - p₀ от истинного давления p₀ для тонометров Шиотца (а) и

Маклакова (б) в случае апикального ослабления жесткости роговицы при центральном положении области перехода

(a₄ = 0,4) и различной крутизне ее наклона: пунктир - однородная роговица при среднем для здоровых людей

значении E_c = 0,3 МПа [4]; штрих-пунктир - расчет по стандартным формулам для тонометра Шиотца [5] и таблицам

Нестерова-Вургафта для тонометра Маклакова [14]; 1 - ΔE_c = 0,22 МПа, а₃ = 5; 2 - ΔE_c = 0,3 МПа, а₃ = 50; 3 - ΔE_c =

0,3 МПа, а₃ = 300; 4 - ΔE_c = 0,4 МПа, а = 50.

ческими кривыми) на рис. 3 при a₄ = 0,4 (кривые

апикального искусственного ослабления к уме-

вида 1-3 на рис. 2) и различных значениях ΔE_c

ренным ошибкам для тонометра Шиотца и с

практической степенью точности правомерно

и a₃. В таких распределениях средняя жесткость

для тонометра Маклакова. Для тонометра Шиот-

достигается посредине образующей. Показана, в

ца ошибка становится существенной лишь

частности, тонометрическая кривая для однород-

при больших давлениях и амплитудах неоднород-

ной роговицы с E_c = 0,3 МПа.

ности.

Тонометрическая разность возрастает с увели-

Более значительно отличие в случае тонометра

чением амплитуды неоднородности для обоих то-

Шиотца от результата, даваемого стандартными

нометров, все более отдаляясь от значения, соот-

формулами расчета (см., например, работу [5]),-

ветствующего однородной роговице. При этом

результат завышается на 3-4 мм рт. ст. при боль-

для тонометра Шиотца кривые «тонометрическая

шой неоднородности, что в особенности заметно

разность - истинное давление» с возрастанием

при высоких давлениях. Полученные же нами для

давления заметно расходятся, т.е. различие в Δp

однородной роговицы расчетные зависимости

растет, увеличиваясь более чем вдвое при измене-

дают заметно меньшую погрешность. В случае то-

нии p₀ от 12 до 32 мм рт. ст. В случае тонометра

нометра Маклакова таблицы Нестерова-Вургаф-

та [14] дают для оперированного глаза вполне

Маклакова кривые почти не расходятся.

приемлемые оценки истинного давления при его

Отличие тонометрической разности от расчет-

умеренных значениях, но при давлениях, превы-

ного значения, получаемого для «средней» рого-

шающих 20 мм рт. ст. они определенно завышают

вицы (E_c = 0,3 МПа) без учета неоднородности,

результат и использование наших расчетных фор-

достигает для тонометра Шиотца более 2 мм рт. ст.

мул более правомерно.

при давлении p₀ = 30 мм рт. ст. и амплитуде

Крутизна перехода от интактной к ослаблен-

ΔE_c = 0,4 МПа, при малых же давлениях практи-

ной зоне не оказывает на тонометрическую раз-

чески пренебрежимо. Для тонометра Маклакова

ность практически никакого влияния: кривые 3

это отличие меньше - порядка 1 мм рт. ст. даже

и 2, различающиеся шестикратно бóльшим коэф-

при большой амплитуде ΔE_c = 0,4 МПа - во всем

фициентом а₃, очень близки. Определяющее вли-

практически важном диапазоне давлений. Таким

яние на тонометрическую разность амплитуды

образом, использование соотношений, получен-

неоднородности в сравнении с параметрами, ха-

ных нами ранее для однородной роговицы, при

рактеризующими поведение жесткости в зоне пе-

отождествлении жесткости роговицы с ее

рехода от интактной области к ослабленной при

средним значением может приводить в случае

ее центральном положении (a₄ = 0,4), демонстри-

БИОФИЗИКА том 64

№ 5

2019

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

1035

влияние коэффициента a₃, отвечающего только

за крутизну перехода, не обсуждается.

На рис. 5 представлены зависимости тономет-

рической разности от истинного давления в слу-

чае апикального ослабления жесткости роговицы

при разных локализациях зоны ослабления, ха-

рактеризуемых коэффициентом а₄ (а₄ = 0,2-0,5),

и распределении жесткости, близком к кусочно-

постоянному. Интактная жесткость равна

0,5 МПа, а ослабленная - 0,2 МПа (т.е. амплиту-

да неоднородности равна 0,3 МПа). Тонометри-

ческая разность возрастает с расширением зоны

ослабления; незначительно при малых давлениях

и заметно для тонометра Шиотца при больших

давлениях - порядка 4 мм рт. ст.

Кривые, представленные на рис. 5, характери-

зуются одинаковой амплитудой неоднородности,

но разной средней жесткостью, уменьшающейся

с расширением зоны ослабления. Зависимости

Рис. 4. Влияние амплитуды изменения жесткости

тонометрической разности от истинного давле-

роговицы на тонометрическую разность при разных

ния при разной средней жесткости (т.е. локализа-

значениях крутизны изменения жесткости: кружки -

a₂ = 0,01 - 0,135, a₃ = 100; треугольники - a₂ = 0,1,

ции границы ослабленной и интактной областей)

a₃ = 5, 10, 50, 300; p₀ = 12 мм рт.ст., <E_c> = 0,3 МПа;

ведут себя сходно с аналогичными зависимостя-

1 - тонометр Шиотца, 2 - тонометр Маклакова.

ми при разной амплитуде неоднородности

(рис. 3). Как уменьшение средней жесткости, так

и возрастание амплитуды неоднородности ведут к

рует рис. 4. Отклонения при разных значениях

возрастанию тонометрической разности, т.е. дей-

этих параметров от кривой, представляющей за-

ствуют в одном направлении. С уменьшением

висимость Δp = p_t - p₀ от ΔE_c, полученной при-

средней жесткости (возрастанием ширины

ближением расчетных точек полиномами, оказы-

ослабленной области) возрастает отличие Δp от

ваются незначительными.

расчета для интактной роговицы или однородной

В дальнейшем рассматриваются только рас-

роговицы с нормальным значением жесткости

пределения, близкие к кусочно-однородным, а

E_c = 0,3 МПа (последний на рис. 5 не показан).

Рис. 5. Зависимости тонометрической разности p_t - p₀ от истинного давления p₀ при измерении тонометрами Шиотца

(а) и Маклакова (б) в случае апикального ослабления жесткости роговицы при интактной жесткости 0,5 МПа и

амплитуде неоднородности 0,3 мм рт. ст.: пунктирная кривая соответствует однородной роговице с E_c = 0,5 МПа;

сплошные кривые снизу вверх - а₄ = 0,2 (<E_c> = 0,47), 0,25 (<E_c> = 0,46), 0,3 (<E_c> = 0,45), 0,35 (<E_c> = 0,436), 0,4

(<E_c> = 0,42), 0,45 (<E_c> = 0,4), 0,5 (<E_c> = 0,38).

БИОФИЗИКА том 64

№ 5

2019

1036

МОИСЕЕВА и др.

Рис. 6. Зависимость тонометрической разности от

Рис. 7. Зависимость тонометрического давления p_t от

амплитуды жесткости при апикальном ослаблении

заглубления h тонометра Шиотца. Сплошные кривые

роговицы с интактным значением Ec0 = 0,5 МПа при

отображают расчетные зависимости для однородной

а4 = 0,4, рассчитанные для тонометров Шиотца

роговицы при E_c = 0,3 МПа (средняя кривая) и

(семейство А) и Маклакова (семейство Б) при

апикально ослабленных роговиц при а₂

= 0,1,

p₀ = 16 мм рт. ст. (верняя кривая каждого семейства),

а₃ = 100, а₄ = 0,4; а₁ = 0,3 для нижней кривой и

p₀ = 24 мм рт. ст. (средняя кривая) и p₀ = 30 мм рт. ст.

а₁ = 0,6 для верхней кривой. Пунктирная кривая

(нижняя кривая).

соответствует расчету по стандартным формулам.

Кривые на рис. 5 расходятся с возрастанием дав-

Если для тонометра Маклакова в рамках пред-

ления теперь для обоих типов тонометра. Для то-

ложенной нами модели тонометрическое давле-

нометра Шиотца расхождение заметней: при из-

ние в соответствии с формулой (2) однозначно

менении p₀ от 12 до 32 мм рт. ст. тонометрическая

связано с измеряемой геометрической величиной

(радиусом пятна контакта), то для тонометра

разность между значениями, соответствующими

Шиотца однозначной связи тонометрического

а₄ = 0,2 и 0,5, возрастает приблизительно втрое,

давления p_t с измеряемым заглублением плунже-

тогда как для тонометра Маклакова - вдвое. Если

ра h нет, и влияние неоднородности роговицы на

бы средняя жесткость после операции была из-

эту связь требует специального исследования.

вестна, использование зависимостей для одно-

Стандартная же методика предполагает наличие

родной роговицы с жесткостью, равной этой

такой (раз и навсегда эмпирически определен-

средней жесткости, уменьшило бы ошибку (кри-

ной) связи [5].

вые для такой роговицы на рис. 5 лежали бы выше

пунктирной кривой и тем выше, чем меньше

На рис. 7 проиллюстрированы результаты рас-

средняя жесткость).

четов зависимости внутриглазного давления от

величины заглубления плунжера тонометра

На рис. 6 представлены зависимости тономет-

Шиотца для разных случаев апикального ослаб-

рической разности Δp от амплитуды жесткости

ления роговицы. Представленные кривые соот-

ΔE_c при одной и той же интактной жесткости

ветствуют одинаковым значениям амплитуды не-

Ec0 = 0,5 МПа, фиксированном положении гра-

однородности ΔE_c = 0,34 МПа при различных

ницы ослабленной зоны (а₄=0.4) и трех значени-

значениях других параметров распределения

ях истинного давления. Видно, что с возрастани-

жесткости, включая разную локализацию грани-

ем амплитуды жесткости и в этом случае тономет-

цы. Для сравнения приведены результаты расче-

рическая разность Δp растет, и ее значение тем

тов для однородной роговицы, имеющей жест-

больше, чем ниже давление. Для тонометра Ма-

кость, близкую к среднему значению неоднород-

клакова рост происходит равномерно по ΔE_c:

ной, и по стандартным формулам. При жесткости

роговицы, близкой к нормальной (однородная

кривые Δp(ΔE_c) приблизительно параллельны;

роговица при E_c = 0,3 МПа и неоднородная рого-

тогда как для тонометра Шиотца с возрастанием

вица <E_c> = 0,22-0,34 МПа; нижняя сплошная

амплитуды жесткости кривые сближаются, т.е. с

ростом амплитуды жесткости влияние давления

кривая - из этого семейства), кривые p_t(h) не раз-

на Δp ослабевает.

личимы графически при высоких тонометриче-

БИОФИЗИКА том 64

№ 5

2019

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

1037

ских давлениях и различаются не более чем на

2 мм рт. ст. при одних и тех же значениях h в обла-

сти низких и умеренных давлений (менее

25 мм. рт. ст.). Зависимости p_t(h) для таких неод-

нородных роговиц отличаются от зависимостей,

получаемых по стандартным формулам (пунк-

тир), несколько сильнее, чем вычисленные нами

для однородных роговиц с той же средней жест-

костью (средняя из сплошных кривых). Для более

жестких роговиц (неоднородная роговица при

<E_c> = 0,52-0,67 МПа; верхняя сплошная кривая

принадлежит к этому семейству) наблюдается

графическое совпадение кривых p_t(h) с аналогич-

ными кривыми для однородных роговиц с той же

средней жесткостью во всем исследованном диа-

пазоне давлений.

В целом поправка, вносимая неоднородно-

стью роговицы в определение тонометрического

давления по заглублению плунжера, невелика.

Рис. 8. Общий вид зависимости эффективной жест-

Вполне приемлемо использование зависимостей,

кости роговицы E_c от характеризующего положение

полученных нами для «среднего» глаза [4,5]. Бо-

на роговице безразмерного параметра s при ослабле-

лее существенна рассмотренная выше поправка,

нии в периферической кольцевой зоне, не прилегаю-

которую неоднородность вносит в расчет истин-

щей к склере.

ного давления по тонометрическому. Однако ес-

ли использовать стандартную методику, при низ-

ослабленной области жесткость приблизительно

ких давлениях возможно весьма значительное за-

равна 0,23 МПа. Значения а₄₂ варьировались для

вышение значения тонометрического давления

(ошибка может достигать 4 мм рт. ст.). В сочета-

изучения влияния ширины зоны ослабления

нии с ошибкой, занижающей тонометрическую

жесткости. Значение а₄₁> а₄₂, характеризующие

разность (см. выше), завышение истинного дав-

локализацию внешней границы зоны ослабле-

ления может быть весьма существенным.

ния, выбрано близким к используемым в офталь-

мологической практике. Далее для ширины

СЛУЧАЙ ОСЛАБЛЕНИЯ РОГОВИЦЫ

В ПЕРИФЕРИЧЕСКОЙ ЗОНЕ

Далее рассматривается роговица, ослабленная

в кольцевой зоне, примыкающей к границе рого-

вицы со склерой, но не прилегающей к этой гра-

нице непосредственно (рис. 8). Было также рас-

смотрено встречающееся в медицинской практи-

ке патологическое ослабление роговицы в

области, непосредственно примыкающей к скле-

ре. Однако поскольку каких-либо представляю-

щих интерес особенностей для этого случая обна-

ружено не было, он далее не обсуждается.

Для моделирования ослабления роговицы в

кольцевой периферической зоне использовалась

зависимость жесткости роговицы от простран-

ственной координаты (длины дуги образующей)

следующего общего вида:

Ec = a1 + a2arctg[a3(s - a41)] - a2arctg[a3(s - a42^{)]. (4)}

В расчетах, результаты которых представлены

на рис. 9 и 10, для входящих в формулу (4) кон-

Рис. 9. Зависимость тонометрической разности pt - p₀

стант были приняты значения а₁ = 0,6 МПа,

от ширины кольцевой зоны ослабления роговицы в

а₂ = 0,12 МПа, а₃ = 300, a₄₁ = 0,7. При выбранном

периферической области при измерении тонометра-

значении а₃распределение жесткости практиче-

ми Шиотца (верхнее семейство сплошных кривых) и

Маклакова (нижние пунктирные кривые) при разных

ски кусочно-постоянно, причем интактная жест-

значениях истинного давления p₀ : 1 - 16, 2 - 24, 3 -

кость приблизительно равна а₁ = 0,6 МПа, а в

30 мм рт. ст.

БИОФИЗИКА том 64

№ 5

2019

1038

МОИСЕЕВА и др.

зультате изменения интенсивности ослабления

роговицы, на величину тонометрической разно-

сти. Данные для периферийного ослабления

сравниваются с аналогичными данными для апи-

кального ослабления. При фиксированных ин-

тактной жесткости и положении границ ослаб-

ленной области средняя жесткость <E_c> опреде-

ляется только интенсивностью ослабления, падая

вместе с ростом последней. С уменьшением <E

тонометрическая разность во всех случаях растет.

Рассчитанные при периферийном ослаблении

роговицы зависимости тонометрического давле-

ния от заглубления плунжера в тонометре Шиот-

ца оказались еще менее отличающимися от ана-

логичных зависимостей для однородной рогови-

цы, чем при апикальном ослаблении. В отличие

от случая апикального ослабления, отклонения

кривых p_t(h) для ослабленной роговицы от кри-

вых для однородной роговицы с тем же средним

Рис. 10. Зависимость тонометрической разности от

значением более заметны для жестких, чем для

средней жесткости <E_c> при апикальном ослаблении

мягких роговиц, но эти отличия остаются менее 1

роговицы с интактным значением Ec0 = 0,5 МПа

(семейство А) и периферийном ослаблении роговицы с

мм рт. ст. Таким образом, для периферийного

интактным значением Ec0 = 0,6 МПа (семейство Б):

ослабления роговицы уточненный расчет связи

расчеты для тонометров Шиотца (сплошные линии) и

p_t(h) с учетом неоднородности практически не

Маклакова (пунктирные линии) при p₀ = 24 мм рт. ст.

влияет на оценку внутриглазного давления.

(верняя кривая каждого семейства) и p₀ = 30 мм рт. ст.

(нижняя кривая каждого семейства); а₄

0,4

Влияние апикального и периферийного

(апикальное ослабление); а₄₁

= 0,7, а₄₂

= 0,45

ослабления на результаты тонометрии по Шиот-

(периферийное ослабление).

цу оказалось существенно различным. При апи-

кальном ослаблении роговицы тонометрическая

разность, определяющая пересчет от тонометри-

ослабленной зоны будем использовать обозначе-

ческого к истинному давлению, возрастает до-

ние d = а₄₁- а₄₂.

вольно значительно, причем ее величина суще-

На рис. 9 показана зависимость тонометриче-

ственно ближе к значению для однородной рого-

ской разности от ширины ослабленного кольца

вицы с жесткостью, равной ее среднему значению

при фиксированном положении его удаленной от

после операции, чем для интактной роговицы (с

апекса границы. Видно, что ширина ослабленной

дооперационным значением жесткости). В слу-

зоны практически не влияет на соотношение

чае же периферийного ослабления тонометриче-

между тонометрическим и истинным давлениями

ская разность меняется мало: различие становит-

при умеренном истинном давлении p₀ = 16 мм рт. ст.

ся сколько-нибудь заметно только при очень

Некоторое различие наблюдается только в слу-

больших давлениях. Это означает, что при тоно-

чае, когда давления достаточно велики (больше

метрии по Шиотцу желательно учитывать харак-

20 мм рт. ст.). Однако оно не слишком значитель-

тер апикального ослабления роговицы (размер

но - для тонометра Шиотца не более 1 мм рт. ст.

ослабленной зоны, объем удаленной ткани). В

(при высоких давлениях), а для тонометра Ма-

случае же периферийного ослабления такие

клакова еще меньше - порядка или менее 0,5 мм

оценки в большинстве случаев не нужны. Для то-

рт. ст. Таким образом, влиянием периферийного

нометрии по Маклакову влияние ослабления в

ослабления при расчете истинного давления по

обоих случаях практически не существенно.

тонометрическому можно без большой ошибки

пренебречь. Поправка к расчету для интактной

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

роговицы может иметь некоторое значение лишь

Операции, направленные на хирургическую кор-

для тонометра Шиотца при больших давлениях.

рекцию зрения, приводят к существенной про-

Во всех случаях следствием увеличения как

странственной неоднородности механических

амплитуды изменения жесткости, так и размеров

свойств роговицы. Проведены расчеты тонометрии

зоны ослабления, является уменьшение средней

оперированных глаз по Шиотцу и Маклакову для

жесткости роговицы, которое и оказывается ос-

разных типов таких операций: с механическим

новным характеризующим роговицу параметром,

ослаблением апикальной области (при коррекции

влияющим на тонометрическую разность.

миопии) и кольцевой зоны вблизи границы со скле-

На рис. 10 продемонстрировано влияние сред-

рой (при коррекции гиперметропии). Оказалось,

ней жесткости роговицы, изменяющейся в ре-

что при апикальном ослаблении в случае тономет-

БИОФИЗИКА том 64

№ 5

2019

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

1039

рии по Шиотцу разность между тонометрическим и

ности, чем определяемое на основе стандартных

истинным давлениями (тонометрическая разность)

методик обработки данных тонометрии.

заметно увеличивается по сравнению с доопераци-

Работа выполнена пpи частичной финанcовой

онным состоянием. При этом тонометрическая раз-

поддеpжке Pоccийcкого фонда фундаментальныx

ность, рассчитанная для однородной роговицы с

иccледований (проект № 17-01-00380).

жесткостью, равной ее среднему значению после

операции, существенно ближе к рассчитанной для

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

роговицы с реальной послеоперационной неодно-

1. Л. И. Балашевич, Рефракционная хирургия (Изд.

родностью, и в большинстве случаев различием

дом СПбМАПО, СПб., 2002).

между ними практически можно пренебречь. В слу-

2. С. Э. Аветисов, Вестн. офтальмологии, № 1, 3

чае периферийного ослабления роговицы ситуация

(2006).

иная: тонометрическая разность близка к своему до-

3. С. М. Бауэр, Л. А. Карамшина и А. Б. Качанов,

операционному значению, и поправки, вносимые

Росс. журн. биомеханики 16 (3), 25 (2012).

неоднородностью, становятся заметными лишь при

4. И. Н. Моисеева и А. А. Штейн, Изв. РАН. Сер.

повышенном внутриглазном давлении. В случае же

МЖГ, № 5, 3 (2011).

тонометрии по Маклакову для обеих операций их

5. И. Н. Моиcеева и А. А. Штейн, Pоcc. жуpн.

влияние на тонометрическую разность не слишком

биомеxаники 19 (3), 243 (2015).

велико. Тонометрия по Маклакову, таким образом,

оказывается после коррекции миопии предпочти-

6. I. G. Pallikaris, G. D.Kymionis, H. S.Ginis, et al., In-

vest. Ophthalm. Vis. Sci. 46 (2), 409 (2005).

тельней. После коррекции гиперметропии можно

пользоваться обоими способами тонометрии без

7. Corneal Biomechanics and Refractive Surgery, Ed. by

F. A. Guarnieri (Springer, Berlin, 2015).

учета дополнительных поправок.

8. P. M. Pinsky and D. V. Datye, J. Biomech. 24 (10), 907

Проведенные расчеты можно рассматривать

(1991).

как базу для создания рекомендаций врачам, вы-

полняющим тонометрию оперированного глаза и

9. C. Fernandez, A. M. Niazy, A. M. Kurtz, et al., J.

Biomed. Optics 10 (6), 064018 (2005).

использующих стандартные соотношения, разра-

ботанные для глаз со средней по многим людям

10. И. Н. Моисеева и А. А. Штейн, Биофизика 62 (6),

1193 (2017).

жесткостью. Конкретную методику оценки по

параметрам операции реальной неоднородности

11. E. Reichel, D. Miller, E. Blanco, and R. Mastanduno,

эффективной жесткости и соответствующих из-

Ann. Ophthalmol. 21, 20 (1989).

менений в расчете истинного давления еще пред-

12. J.Ø. Hjortdal, J. Biomech. 29 (7), 931 (1996).

стоит разработать. Однако уже сейчас можно ска-

13. T. J. Shin, R. P. Vito, L. W. Johnson, and B. E. McCa-

зать, что истинное давление, рассчитанное по то-

rey, J. Biomech. 30 (5), 497 (1997).

нометрическому с использованием нашей

14. А. П. Нестеров, Ф. Я. Бунин и Л. А. Кацнельсон,

модели для «среднего» глаза, во всех случаях ока-

Внутриглазное давление. Физиология и патология

залось ближе к полученному с учетом неоднород-

(Наука, М., 1974).

Mathematical Modeling of Applanation and Impression Tonometry

after Surgical Correction of Vision

I.N. Moiseeva, A.A. Stein, and G.A. Lyubimov

Institute of Mechanics, Lomonosov Moscow State University, Michurinsky prosp. 1, Moscow, 117899 Russia

Mathematical modeling of applanation and impression tonometry (by Maklakoff and Schiøtz, respectively) for the

eye with artificially induced strong inhomogeneity of the elastic properties of the cornea is performed. Such inho-

mogeneity arises, in particular, as a result of surgical correction of vision. Corneal weakening is considered either

in the apex area (correction of myopia) or in the peripheral annular zone lying close to the sclera (correction of hy-

peropia). A two-component model of the eyeball is used, in which the cornea is represented by a momentless de-

formable, linearly elastic surface and the scleral area by an elastic element that responds by changing its volume to

changes in intraocular pressure. Within this representation, the mechanical properties of the cornea are character-

ized by effective stiffness - a parameter that contains both the elastic properties of the cornea material and the cor-

nea thickness. The analysis of the applicability of the relations used in the standard processing of tonometry data,

as well as of the simulation results we obtained earlier for the case of a homogeneous cornea, to the operated eyes

with significant inhomogeneity of the elastic properties of the cornea is carried out. The corrections caused by het-

erogeneity turned out to be most significant for the Schiøtz tonometer with apical weakening and fairly high intra-

ocular pressure. In the case of Maklakoff tonometry, the effect of inhomogeneity on the calculation of the true

pressure is not too significant for both studied types of cornea weakening.

Keywords: eye cornea, inhomogeneity of elastic properties, vision correction surgery, Maklakoff tonometry, Schiøtz to-

nometry, mathematical modeling

БИОФИЗИКА том 64

№ 5

2019