БИОФИЗИКА, 2020, том 65, № 1, с. 190-197

БИОФИЗИКА СЛОЖНЫХ СИСТЕМ

УДК 573.7.017.6+519.711.3

СМЕРТНОСТЬ КАК ПОКАЗАТЕЛЬ СТАРЕНИЯ:

ВОЗМОЖНОСТИ И ОГРАНИЧЕНИЯ

Институт системного анализа Федерального исследовательского центра «Информатика и управление» РАН,

117312, Москва, просп. 60-летия Октября, 9

E-mail: dontsovvi@mail.ru

Поступила в редакцию 04.05.2019 г.

После доработки 26.11.2019 г.

Принята к публикации 28.11.2019 г.

С использованием данных по 40 странам в исторический период за два с половиной века изучены

особенности возрастных изменений скорости старения для стран мира, а также возможности и

ограничения метода количественной оценки старения по показателям, связанным с анализом

смертности популяций. Интенсивность смертности и ее производные показатели - коэффициенты

формулы Гомперца (m(t) = R₀exp(k×t), где m - интенсивность смертности для возраста t, R₀ -

начальный уровень смертности, k - скорость нарастания смертности; считается, что оба

компонента связаны со старением), и формулы Гомперца-Мейкема (дополняется коэффициентом

A, отражающим неизменяемый уровень смертности, зависимый от внешних условий), в реальности

испытывают на себе все внешние влияния на смертность, поэтому они лишь косвенно отражают

старение. Компоненты А и R₀ не обязательно равномерны для разных возрастов и влияют друг на

друга, изменяясь в противофазе, как и компоненты R₀ и k. Для характеристики внешних влияний

на смертность лучше использовать компонент R₀ формулы Гомперца, а для оценки собственно

старения - ее компонент k для высоких значений внешних влияний на смертность; в то же время

для низких значений A лучше использовать компонент k формулы Гомперца-Мейкема. При этом

абсолютное сравнение компонентов формул Гомперца и Гомперца-Мейкема часто не правомерно,

так как они могут различаться в разы. Приращение смертности d(m) - наилучший показатель,

отражающий собственно биологическую природу старения и отражающий изменения ее для

данного возраста, но он может отражать и частные изменения общей смертности для определенных

возрастов. Использование последнего показателя позволяет видеть, что основные закономерности

процесса старения сохраняются на протяжении всех исторических периодов и для всех стран.

Цикличность и изломанность кривых смертности в ранние периоды истории - недостатки методов

регистрации первичных данных, а не действительное явление. В целом следует заключить, что

придание компонентам формул биологического значения следует проводить осторожно, проверяя

математические выводы собственно биологическими данными и методами.

Ключевые слова: старение, смертность, формула Гомперца-Мейкема, скорость старения, изменение

смертности в истории, изменение скорости старения.

DOI: 10.31857/S0006302920010214

Резкое и продолжающееся постарение населе-

использование этого метода до сих пор не позво-

ния в ХХ веке на фоне снижающейся рождаемо-

лило ответить на ряд вопросов: о природе старе-

сти создает выраженные социально-экономиче-

ния, интерпретации самого метода, о биологиче-

ские трудности, что определяет возрастающий

ском пределе продолжительности жизни [4, 5],

интерес к проблемам старения во всем мире и

изменении скорости старения на протяжении

возможностям влияния на него [1]. При этом воз-

жизни, изменении в истории и для разных стран

растает значение методов количественной оцен-

скорости старения, о наличии снижения скоро-

ки процесса старения, особенно на уровне попу-

сти старения долгожителей, об увеличении мак-

ляций - стран. Анализ возрастной смертности

симальной продолжительности жизни в истории

является таким общепризнанным методом оцен-

ки старения на уровне популяций [2] еще со вре-

[6, 7], cохраняется ли экспоненциальное и равно-

мени исследований Б. Гомперца [3] (экспоненци-

мерное увеличение смертности в течение жизни

альное нарастание интенсивности смертности с

или в возрасте долгожителей снижается вплоть до

возрастом как основной закон старения). Однако

и выхода на плато [7] и ряд других.

190

СМЕРТНОСТЬ КАК ПОКАЗАТЕЛЬ СТАРЕНИЯ

191

Цель исследования - изучить особенности

возрастных изменений скорости старения для

стран мира в истории и определить возможности

и ограничения метода оценки старения по пока-

зателям, связанным с оценкой смертности попу-

ляций.

МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ

Изучали изменения возрастной смертности

для 40 стран мира за период 1750-2014 гг. по дан-

ным Human Mortality Database [8]: таблицам вы-

живаемости для когорты в 100000 человек с дожи-

тием за каждый год с 1 до 110 лет для историче-

ских периодов в 10 лет.

По данным таблиц дожития рассчитывали по-

казатели формулы Гомперца и Гомперца-Мей-

кема (в последнем случае формула Гомперца до-

полнена коэффициентом Мейкема А), используя

Рис. 1. Изменения интенсивности смертности с воз-

известные методы [2, 9]: m = A + R₀exp(k ⋅ t), где

растом (Нидерланды, 1950-59 гг.). По оси ординат -

интенсивность смертности (логарифмический мас-

А - константа, показатель внешних влияний на

штаб), по оси абсцисс - возраст доживших. Реальная

смертность; R₀ и k - коэффициенты, которые,

кривая - жирная линия, расчетная кривая при обра-

как принято считать, отражают биологическую

ботке данных по формуле Гомперца-Мейкема - тон-

кая линия.

природу смертности, т. е. скорость старения.

Строили графики изменения общей возрастной

интенсивности смертности m и ее приращения

что приводит нас к известной формуле Гомпер-

d(m), а также графики разницы общей смертно-

ца-Мейкема с общепринятыми коэффициента-

сти и внешних влияний на нее (m - A).

ми и поправкой - коэффициентом Мейкема:

Сравнивали истинную интенсивность смерт-

m(t) = R₀exp(k⋅t) + A.

ности с расчетной, вычисленной по параметрам

Для оценки скорости старения используют по-

формулы Гомперца-Мейкема, и оценивали ко-

казатель m - A (интенсивность смертности без

эффициент корреляции r. Для нивелирования

фонового внешнего компонента A), коэффици-

случайных выбросов значений кривой прираще-

ент возрастной смертности k, определяющий

ния интенсивности смертности использовали ли-

скорость нарастания смертности, зависимой от

нейное сглаживание по трем-пяти точкам.

старения, и коэффициент R₀, определяющий на-

чальный уровень смертности и характеризующий

РЕЗУЛЬТАТЫ

«начальный уровень старения». Также можно ис-

Хотя формула Гомперца (B. Gompertz, 1825)

пользовать приращение интенсивности смертно-

первоначально была получена чисто эмпирически,

сти d(m), которое нивелирует константу A; при

этом показатель d(m) лучше отражает собственно

исходя из статистики смертности [3], в настоящее

скорость старения, чем m - A, так как в послед-

время она может быть выведена теоретически. Из

нем случае используется среднее значение коэф-

общепринятого определения «старение - это сни-

жение общей жизнеспособности с возрастом» и

фициента A, который в реальности может значи-

представления о том, что это является самопроиз-

тельно меняться для различных возрастных пери-

одов.

вольным, вероятностным процессом, можно рас-

сматривать снижение жизнеспособности X с воз-

Наконец, снижение скорости старения позво-

растом как процесс, аналогичный процессу радио-

ляет дожить до более поздних возрастов, что поз-

активного распада, когда количество элементов

воляет для оценки старения использовать возраст

уменьшается с течением времени и зависит только

полного вымирания для стандартной когорты

от их присутствия в данный момент: dX/dt = -k ⋅ X,

(100000 человек) - максимальную продолжитель-

где k - коэффициент пропорциональности. Соот-

ность жизни.

ветственно для времени t количество оставшихся

Идеальным примером графика Гомперца-

жизнеспособных элементов будет следующим:

Мейкема можно считать график для Нидерлан-

Х(t) = Х₀ехр(-k ⋅ t).

дов за 1950 г. (рис. 1): близкий к прямой график,

В то же время общая уязвимость и в конечном

совпадающий с реальной кривой интенсивности

счете общая смертность для популяции обратно

смертности m для 20-90 лет и с отклонением вниз

пропорциональна жизнеспособности: m = 1/X,

от расчетной кривой Гомперца-Мейкема для ре-

БИОФИЗИКА том 65

№ 1

2020

192

КРУТЬКО, ДОНЦОВ

Рис.

2. Изменения интенсивности смертности с

Рис. 4. Изменения различных показателей интенсив-

возрастом для разных стран в 1930-39 гг. По оси ор-

ности смертности с возрастом (Россия, 2014 г.). По

динат - интенсивность смертности (логарифмиче-

оси ординат - параметры, логарифмический мас-

ский масштаб), по оси абсцисс - возраст доживших.

штаб, по оси абсцисс - возраст доживших. Сверху

Снизу вверх: Австралия (жирная линия), Канада,

вниз: расчетная и реальная кривые интенсивности

Франция, Финляндия.

смертности (тонкая и жирная линии); разница общей

интенсивности смертности и внешней компоненты:

m - А (средняя линия); приращение интенсивности

альной кривой смертности для возрастов долго-

смертности d(m) (нижняя линия).

жителей.

В большинстве случаев, однако, имеют место

смертность, что отражает коэффициент А форму-

графики интенсивности смертности самой раз-

лы Гомперца-Мейкема.

ной формы для разных стран и разных возраст-

ных периодов (рис. 2). Принято считать, что раз-

Использование показателей смертности без

личия связаны с различием внешних влияний на

внешнего коэффициента (m - A) и использование

приращения смертности d(m), также убирающего

внешние влияния на смертность, показывает

(рис. 3), что если для графика общей смертности

m линейный участок наблюдается для 55-75 лет,

то для графиков m - A и d(m) - для 20-90 лет.

Другие отмечаемые особенности: вклад внеш-

него коэффициента A в общую смертность m с

возрастом резко снижается, так как она не может

уже «соперничать» с экспонентой нарастания

смертности по причинам собственно старения;

кроме того, «ступенька» в 20-40 лет для общей

смертности определяется также во многом кон-

стантой А.

Графики m - A и d(m) параллельны, так как от-

ражают одно и то же - собственно скорость ста-

рения и имеют прямую форму на гораздо боль-

шем возрастном периоде, чем график реальной

интенсивности смертности m. Однако параллель-

ность и прямая форма графика наблюдаются да-

Рис. 3. Изменения различных показателей интенсив-

леко не всегда (рис. 4), и «ступенька» может не

ности смертности с возрастом (Дания, 1930-39 гг.).

нивелироваться константой А.

По оси ординат - параметры (логарифмический мас-

штаб), по оси абсцисс - возраст доживших. Сверху

Колебания графика d(m) также могут быть не

вниз: расчетная и реальная кривые интенсивности

связаны с изменениями собственно старения

смертности (тонкая и жирная линии); разница общей

(рис. 4), а отражают, видимо, частные особенно-

интенсивности смертности и внешней компоненты:

m - А (средняя линия); приращение интенсивности

сти изменения общей интенсивности смертности

смертности d(m) (нижняя линия).

для ряда возрастов.

БИОФИЗИКА том 65

№ 1

2020

СМЕРТНОСТЬ КАК ПОКАЗАТЕЛЬ СТАРЕНИЯ

193

Рис. 5. Избирательное влияние внешних условий на смертность в узком диапазоне возрастов (Италия, 1910-1919 гг.).

По оси ординат - возраст доживших; по оси абсцисс: (а) - вероятность смерти (за год), сверху вниз - 1910-1919 гг.

(жирная кривая), 1900-1909 гг. (тонкая линия) и 1920-1929 гг. (пунктир); (б)– интенсивность смертности,

логарифмический масштаб, те же обозначения кривых.

Для России в 2014 г. график m - А показывает

чисто математический феномен. Аналогичным

инверсию (повышение) общей смертности долго-

образом изменяются в противофазе коэффици-

жителей, что обычно для конца ХХ - начала ХХI

енты R₀ и k.

веков, но график d(m) показывает снижение, что

График Гомперца в ряде случаев оказывается

указывает на сохранение отмечаемого всегда в ис-

предпочтительнее, чем график Гомперца-Мей-

тории для всех стран феномена замедления старе-

кема, так как его компонент k практически не ре-

ния для возрастов долгожителей [10].

агирует на внешние влияния. Однако для низких

Также, исходя из природы показателей, оди-

значений А (и R₀), характерных в современности

наковая скорость старения для m - A выражается

для всех развитых и большинства развивающихся

горизонтальной прямой, как и для графика об-

стран, отмечается повышение k для графика Гом-

щей смертности m, но для графика d(m) это 0, а

перца, чего нет для графика Гомперца-Мейкема,

снижение скорости старения регистрируется как

что также отражает, видимо, математические осо-

отрицательные значения.

бенности вычисления компонентов формулы, а

Оценка старения по компонентам формулы

не собственно факт ускорения старения для со-

Гомперца-Мейкема (A, R₀ и k) также имеет свои

временности.

ограничения. Так, для времен Первой мировой

Таким образом, для характеристики внешних

войны график для Италии (1910-1919 гг.) показы-

влияний на смертность лучше использовать ком-

вает «горб» смертности для молодых и средних

понент R₀ формулы Гомперца, а для оценки ста-

возрастов (рис. 5а), что делает невозможным вы-

рения - компонент k для высоких значений

числение обычными методами формулы Гомпер-

внешних влияний на смертность; в то же время

ца-Мейкема (рис. 5б).

для низких значений внешних влияний на смерт-

Таким образом, показатель А может резко раз-

ность лучше использовать компонент k формулы

личаться для разных возрастов, кроме того, впол-

Гомперца-Мейкема. Следует также отметить,

не вероятно, что одинаковые влияния оказыва-

что прямое абсолютное сравнение компонентов

ются не одинаковыми для лиц разного возраста

формул Гомперца и Гомперца-Мейкема неправо-

ввиду того же процесса старения.

мерно, так как они могут различаться в разы.

Также можно видеть, что все три показателя

Если все компоненты формул отражают сред-

формулы тесно связаны между собой. На примере

ние значения для всего возрастного периода (1-

Франции 1850-2000 гг. видно (рис. 6), что компо-

110 лет), то показатель приращения интенсивно-

ненты А и R₀ фактически дополняют друг друга,

сти смертности реагирует на изменение собствен-

реагируя в противофазе на изменение другого;

но старения и для настоящего момента и поэтому

значительные, в разы, изменения близких значе-

является наиболее предпочтительным для оценки

ний R₀ вряд ли означают изменения в разы в бли-

собственно скорости старения. На рис. 7 видно,

жайшие годы и начального уровня старения: это

что графики данного показателя практически

БИОФИЗИКА том 65

№ 1

2020

194

КРУТЬКО, ДОНЦОВ

Рис. 6. Изменение компонентов формулы Гомперца-Мейкема в истории (Франция, 1850-2000 гг.). По оси ординат -

значения параметров, по оси абсцисс - годы; (а) - компоненты A*10 и R₀*1000, логарифмический масштаб; (б) -

компоненты R₀*1000 и k*2, обычный масштаб.

совпадают для разных стран (рис. 6а) и разных ис-

ности, что резко затрудняет анализ закономерно-

торических периодов для одной и той же страны

стей изменения смертности и старения для этих

(рис. 6б).

периодов. Аналогично затрудняет исследования

изломанность графика для ряда стран, сменяю-

Использование этого показателя позволяет

щаяся к концу ХХ века на прямую форму графи-

также видеть сохранение эффекта снижения ско-

рости старения для возрастов долгожителей во

ка, что также является результатом недостаточ-

ной корректности регистрации данных.

все исторические периоды.

Еще одной особенностью графиков интенсив-

Резкое повышение средней продолжительности

ности смертности для ранних исторических пе-

жизни на протяжении 200 лет (за 1750-1950 гг. -

риодов (до 1850-х гг.) является цикличность всех

с 35-40 до 70-75 лет) не сопровождается повыше-

показателей; десятилетний период циклов, сов-

нием максимальной продолжительности жизни

падающий с периодом представления данных,

(она колеблется в пределах 102-105 лет для разных

указывает, что это - феномен регистрации смерт-

стран, не имея тенденции к повышению в течение

Рис. 7. Приращение интенсивности смертности для разных стран (а) и в истории одной страны (б). По оси ординат -

приращение интенсивности смертности d(m), логарифмический масштаб; по оси абсцисс - возраст доживших. (а) -

Ирландия, Канада, Португалия, Финляндия, 2000-2010 гг.; (б) - Франция, 1816, 1850, 1900 и 1950 гг.

БИОФИЗИКА том 65

№ 1

2020

СМЕРТНОСТЬ КАК ПОКАЗАТЕЛЬ СТАРЕНИЯ

195

200 лет). Однако с середины ХХ века средняя про-

тов формул Гомперца и Гомперца-Мейкема

должительность жизни выходит в область долгожи-

не правомерно, так как они могут различаться в

телей (возраст более 80 лет). Это резко увеличивает

разы.

количество доживших до возрастов долгожителей

Важно, что все компоненты формул отражают

(для 1850 и 2010 гг. для Франции: до 80 лет - с 7.8%

средние значения для всего возрастного периода

до 65.6%, до 100 лет - с 0.5% до 14.3%, до 105 лет: с

1-110 лет, в то время как показатель приращения

0 до 0.9%) и, видимо, чисто статистически повышает

интенсивности смертности реагирует на измене-

максимальную продолжительность жизни (со 105 до

ние собственно старения и для настоящего мо-

114 лет соответственно для Франции 1850 и 2010 гг.).

мента; кроме того, этот показатель не требует

специальных сложных вычислений, являясь про-

сто разностью соседних значений интенсивности

ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

смертности m.

Для количественной оценки скорости старе-

Таким образом, показатель приращения ин-

ния человека оптимальными считаются демогра-

тенсивности смертности d(m) является наиболее

фические методы - повозрастная оценка интен-

предпочтительным для оценки собственно ско-

сивности смертности на основании таблиц дожи-

рости старения, что давно отмечено в литературе

тия; график Гомперца-Мейкема остается

[9]. Интересно, что графики данного показателя

важнейшим, коэффициентам которого придается

практически совпадают для разных стран и раз-

определенное биологическое значение: А - кон-

ных исторических периодов для одной и той же

станта Мейкема, отражающая внешние влияния

страны вплоть до середины ХХ века. Этот показа-

на смертность; R₀ и k, отражающие соответствен-

тель также позволяет видеть сохранение отмечае-

но начальный уровень старения и величину

мого всегда в истории и для всех стран феномена

его экспоненциального нарастания с возрастом

замедления старения для возрастов долгожите-

[2, 3, 9].

лей: феномен инверсии смертности для этих воз-

Оценка старения по коэффициентам формулы

растов для современности - результат внешних

Гомперца-Мейкема имеет, однако, свои ограни-

влияний на смертность [10].

чения. Так, пример времен Первой мировой вой-

Для всех показателей также важна точность ре-

ны, когда вероятность смерти для узкого диапазо-

гистрации данных для таблиц дожития. Отмечае-

на возрастов была резко повышена, отражает воз-

мая для ранних исторических периодов (до 1850-

можную неравномерность внешних влияний на

х годов) цикличность всех показателей и десяти-

смертность разных возрастов, что не учитывает

летний период циклов, совпадающий с периодом

компонент А, являющийся константой. Кроме

представления данных, указывает, что это - фе-

того, вполне вероятно, что одинаковые влияния

номен регистрации смертности, как и наблюдае-

оказываются не одинаковыми для лиц разного

мая для ряда стран изломанность графика смерт-

возраста ввиду того же процесса старения.

ности. Все это резко затрудняет анализ законо-

Все три показателя формулы оказываются к

мерностей изменения смертности и старения для

тому же тесно связанными между собой и факти-

ранних исторических периодов.

чески дополняют, влияя друг на друга и изменя-

В целом, однако, можно заключить, что на

ясь в противофазе: A и R₀, R₀ и k. При этом резкие

протяжении всех исторических периодов и всех

и частые колебания компонентов для ближайших

стран сохраняются типичные закономерности

возрастов показывают, что это, видимо, чисто ма-

старения - линейное повышение скорости старе-

тематический феномен, а не реальные изменения

ния (в логарифмическом масштабе, отражающем

биологического старения. На протяжении двух с

экспоненциальный закон нарастания скорости

половиной веков и на примере 40 стран можно

старения с возрастом) с периода окончания роста

легко видеть, что все компоненты формулы реа-

и развития до возрастов долгожителей, и сниже-

гируют на внешние влияния - голод, войны, эпи-

ние скорости старения в возрастах долгожителей.

демии, являющиеся чисто внешними причинами

Снижение скорости старения для возраста

изменения смертности.

долгожителей отражает неоднородность популя-

ции, так как наследственность может вносить,

Кроме того, компоненты формул Гомперца и

видимо, до 25% изменений в длительность жиз-

Гомперца-Мейкема оказываются не идентичны

и по-разному реагируют на внешние влияния на

ни, формируя феномен долгожителей [9, 11].

смертность. Для характеристики внешних влия-

Влияние внешних условий на скорость старе-

ний на смертность лучше использовать R₀ форму-

ния также вполне вероятно и отмечается в лите-

лы Гомперца, а для оценки старения - k для вы-

ратуре при использовании различных методов

соких значений внешних влияний на смертность,

оценки старения [12-15].

в то же время для низких значений лучше исполь-

Кроме того, мы предложили взгляд на старе-

зовать компонент k формулы Гомперца-Мейке-

ние, сближающий патологические изменения

ма. При этом абсолютное сравнение компонен-

при естественном старении и изменения при воз-

БИОФИЗИКА том 65

№ 1

2020

196

КРУТЬКО, ДОНЦОВ

растных заболеваниях [16]. Изменения общей

больших исторических периодов показывает, что

жизнеспособности эквивалентно влиянию на

все компоненты формулы могут быть математи-

биологическое старение вне зависимости от при-

чески связаны между собой и отражать влияния

чин, поэтому можно ожидать, что профилактика

внешних условий на смертность, что требует

возрастных заболеваний и высокий уровень ме-

осторожности в интерпретации их показателей.

дико-социальной помощи окажут значимые вли-

Кроме того, следует учитывать возможность не-

яния на видимую скорость старения [16]. В то же

точности регистрации первичных данных для

время в более старших возрастах долгожителей

таблиц дожития.

выраженные изменения физиологических пока-

Наилучшим показателем скорости старения

зателей при естественном старении нивелируют

является, видимо, показатель приращения ин-

этот эффект для доживших до этих возрастов

тенсивности смертности, отражающий измене-

обычных лиц и ведут к инверсии сниженной

ния ее для данного возраста. Его использование

смертности в возрастах долгожителей на повы-

позволяет видеть, что основные закономерности

шенную.

процесса старения сохраняются на протяжении

Резкое повышение средней продолжительно-

всех исторических периодов и для всех стран:

сти жизни на протяжении 200 лет (1750-1950 гг.)

скорость старения изменяется линейно (в лога-

не сопровождается повышением максимальной

рифмическом масштабе) в пределах 20-90 лет, с

продолжительности жизни, однако, с середины

последующим снижением скорости старения

ХХ века средняя продолжительность жизни выхо-

долгожителей, что носит, видимо, наследствен-

дит в область долгожителей (возраст более 80

ный характер.

лет), что резко увеличивает количество дожив-

ших до самых старших возрастов и чисто стати-

КОНФЛИКТ ИНТЕРЕСОВ

стически повышает максимальную продолжи-

тельность жизни, которая, таким образом, уже не

Авторы заявляют об отсутствии конфликта

является показателем только биологического ста-

интересов.

рения. Максимальная продолжительность жизни

признается важнейшим показателем старения

СОБЛЮДЕНИЕ ЭТИЧЕСКИХ СТАНДАРТОВ

как для человека, так и в экспериментах по влия-

нию геропротекторов на продолжительность

Настоящая работа не содержит описания ка-

жизни животных, однако, как можно видеть,

ких-либо исследований с использованием людей

применять этот показатель также нужно осто-

и животных в качестве объектов.

рожно.

В целом геронтологический анализ популяци-

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

онных изменений исторической динамики про-

должительности жизни и причин смерти в раз-

1. Т. М. Смирнова и В. Н. Крутько, Клинич.

личных странах является в настоящее время од-

геронтология 24 (9-10), 63 (2018).

ним из наиболее актуальных научно-

2. V. Canudas-Romo, S. Mazzuco, and L. Zanotto, in In-

практических вопросов [17], как и моделирование

tegrated population biology and modeling, part A, vol. 39

of Handbook of Statistics, Ed. by A. S. S. Rao and

количественного анализа продолжительности

C. Rao (Elsevier, Amsterdam, 2018), pp. 405-442.

жизни [18], однако зачастую этот метод прово-

дится не достаточно аккуратно, не учитывая огра-

3. B. Gompertz, Phil. Trans. Roy. Soc. Lond. A 115, 513

ничения показателей старения при анализе

(1825).

смертности популяций.

4. X. Dong, B. Milholland, and J. Vijg, Nature 538

(7624), 257 (2016).

5. A. Lenart and J. W. Vaupel, Nature 546 (7660), E13

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

(2107).

Изучение изменений возрастной смертности

6. J. De Beer, A. Bardoutsos, and F. Janssen, Nature 546

является давним общепринятым методом изуче-

(7670), E16 (2017).

ния скорости старения как в эксперименте на жи-

7. E. Barbi, F. Lagona, M. Marsili, et al., Science 362

вотных при изучении влияния средств продления

(6412), pii: eaav3229 (2018).

жизни, так и для человека. Обработка данных

8. The Human Mortality Database. http://www.mortali-

таблиц дожития с вычислением коэффициентов

ty.org (Last modified: Jun-2013 Year, Available

формулы Гомперца-Мейкема - важнейший ме-

25.01.2019).

тод оценки старения, так как коэффициентам

9. L. A. Gavrilov and N. S. Gavrilova, The Biology of Life

формулы придается биологический смысл, свя-

Span: A Quantitative Approach (Harwood Acad. Publ.,

занный со старением организма.

N.-Y., 1991).

Однако сравнение коэффициентов формулы

10. В. И. Донцов, Здравоохранение Российской Феде-

Гомперца-Мейкема для разных стран в течение

рации 63 (1), 42 (2019).

БИОФИЗИКА том 65

№ 1

2020

СМЕРТНОСТЬ КАК ПОКАЗАТЕЛЬ СТАРЕНИЯ

197

11. S. Dato, G. Rose, P. Crocco, et al., Mech. Ageing Dev.

15. А. А. Гриневич, А. В. Танканаг и Н. К. Чемерис,

165 (Pt B), 147 (2017).

Биофизика 64 (1), 140 (2019).

12. L. Hayflick, PLoS Genet. 3 (12), 220 (2007).

16. V. N. Krut’ko, V. I. Dontsov, V. A. Khalyavkin, et al.,

13. A. I. Ribeiro, E. T. Krainski, M. S. Carvalho, et al.,

Frontiers Biosci., Landmark 23, 909 (2018).

Geospat. Health 12 (2), 581 (2017).

17. В. Б. Мамаев, Биофизика 63 (5), 1035 (2018).

14. C. E. Finch, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 107 (1), 1718

18. Н. Л. Векшин и М. С. Фролова, Биофизика 64 (1),

(2010).

162 (2019).

Mortality as an Indicator of Aging: Possibilities and Limitations

V.N. Krut’ko and V.I. Dontsov

Institute for Systems Analysis, Federal Research Center «Computer Science and Control» of Russian Academy of Sciences,

prosp. 60-letiya Oktyabrya 9, Moscow, 117312 Russia

Using data gathered on 40 countries throughout a historical period covering two and a half centuries, we stud-

ied the features of age-related changes in the rate of aging for the countries in the world and elucidated the

possibilities and limitations of the method for quantitatively measuring the aging effect by the parameters re-

lated to the analysis of population mortality. Mortality rate and its derivatives are the variables of the

Gompertz formula: m(t) = R₀exp(k×t), where m is the mortality rate at time t (age), R₀ is basic reproductive

rate, k is mortality rate increase; both components are believed to be associated with aging), and of the

Gompertz-Makeham formula (supplemented by the coefficient A as an immutable mortality rate dependent

on external conditions). A and R₀ components are not necessarily uniform for different ages and affect each

other, changing in antiphase, as components R₀ and k. To characterize the external effects on mortality, it is

better to use the R₀ of the Gomperеtz formula, and when the values of external effects on mortality are high,

the component k of the Gomperеtz formula can be used to evaluate aging; at the same time, when the coef-

ficient A is low, it is better to use the component k of the Gompertz-Makeham formula. In this case, the

absolute comparison of the components of the Gompertz and Gompertz-Makeham formulas is not reason-

able because these components may differ considerably. Mortality increment d(m) is the best indicator re-

flecting the biological nature of ageing. Using this indicator, it is possible to observe that the main patterns of

the aging process persist throughout all historical periods and for all countries. The curves of mortality for ear-

ly periods of history are discontinuous and distorted not because of a reflection of actual events but on ac-

count of the demerits of the methods for collecting primary data. Hence, it is necessary to remember that the

components of the formulas may have biological meaning only when mathematical proof is supported by bi-

ological data and methods..

Keywords: aging, mortality, Gompertz-Makeham formula, aging rate, mortality change in in history, aging rate

change

БИОФИЗИКА том 65

№ 1

2020