БИОФИЗИКА, 2020, том 65, № 3, с. 583-593

БИОФИЗИКА СЛОЖНЫХ СИСТЕМ

УДК 577.3

ПРИМЕНЕНИЕ ФРАКТАЛЬНОГО АНАЛИЗА ДЛЯ ОЦЕНКИ

АРТЕРИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ МОЗГА КРЫСЫ

НИИ цитохимии и молекулярной фармакологии, 115404, Москва, ул. 6-я Радиальная, 24/14

E-mail: kopilova.veronika@yandex.ru

Поступила в редакцию 29.11.2019 г.

После доработки 29.11.2019 г.

Принята к публикации 27.02.2020 г.

Сосудистые сети обладают свойствами самоподобия, что позволяет рассматривать их как стохасти-

ческие фракталы. Для оценки параметров фрактальной структуры традиционно используется метод

«Box-counting» на основе расчетов по центральной линии сосуда. Подобный алгоритм не позволяет

учитывать различия структур между разными уровнями бифуркации системы, характеризующими-

ся природным свойством изменения калибра сосудов. При этом расхождение между значениями

фрактальной размерности может превышать 20%. В данной работе предложен подход, позволяю-

щий избежать недооценки сложности системы для низких порядков бифуркации и крупных сосу-

дов. На основе построенного артериального дерева мозга крысы показано, что при увеличении по-

казателя ветвления и показателя затухания длины ветви происходит увеличение значения фрак-

тальной размерности. Полученные значения наиболее полно отражают свойства артериального

дерева с учетом реальной геометрии сосудов, и их предлагается использовать для оценки трехмер-

ных сосудистых сетей.

Ключевые слова: артериальная система, ветвление кровеносных сосудов, компьютерное моделирование,

фрактальная размерность.

DOI: 10.31857/S0006302920030199

Основная функция сосудистой системы состо-

мозга представляет собой совокупность двух ком-

ит в обеспечении всех клеток организма кислоро-

понент: однородно заполняющей пространство

дом и другими жизненно важными метаболита-

капиллярной сети и разветвленной фрактальной

ми. Для наиболее эффективного выполнения

структуры более крупных сосудов [5]. В фрак-

данной задачи артериальное дерево должно пред-

тальной геометрии свойства самоподобных

ставлять из себя ветвящуюся систему, при этом

структур, наблюдаемых в широком спектре по-

бифуркация является наиболее распространен-

следовательных бифуркаций, оцениваются коли-

ной формой деления на каждом шаге [1]. В связи

чественно с использованием фрактальной раз-

с чрезвычайной сложностью и многоуровнево-

мерности (FD), которая является мерой сложно-

стью топологии сосудистой сети отсутствует од-

сти структур [6]. Ее можно рассматривать как

нозначное мнение о том, какие параметры ис-

количественное определение заполнение про-

пользовать для описания структуры кровеносных

странства, аналогичное анализу плотности сосу-

сосудов. Кроме того, необходим критерий нор-

дов [7]. Так, в случае двумерной разветвляющейся

мального развития, позволяющий диагностиро-

сети, чем ближе значение фрактальной размер-

вать заболевания. Для решения этих проблем

ности к двум, тем более эффективно дерево за-

применялся фрактальный анализ при оценке раз-

полняет пространство, так как верхний предел

личных здоровых и патологических кровеносных

фрактального измерения соответствует тополо-

систем [2, 3]. Сосудистые сети не являются строго

гическому измерению. Оценка фрактальной раз-

фрактальными, поскольку они не проявляют

мерности была использована для характеристики

масштабную инвариантность на бесконечном

сетчатки человека [8], различных опухолевых об-

диапазоне, однако они обладают свойствами са-

разований [9, 10], а также для анализа трехмерно-

моподобия, так как процесс ветвления на каждом

го артериального дерева легких человека, полу-

этапе одинаков, следовательно, сосудистая си-

ченного с использованием данных компьютер-

стема носит фрактальный характер и может рас-

ной томографии [11]. Кроме того, в нескольких

сматриваться как псевдофрактал [4]. Было пока-

исследованиях были оценены фрактальные изме-

зано, что, по крайней мере, артериальная система

рения 2D-проекций сосудистой системы легких

583

584

КОПЫЛОВА и др.

пациентов [12]. Оценка фрактальной размерно-

Более мелкие сосуды, являющиеся ответвле-

сти широко используется для характеристики со-

ниями от основных артерий, были выделены в от-

судистых сетей при различных заболеваниях. Так,

дельную стохастическую структуру. Стохастиче-

например, уменьшение фрактальной размерно-

ская часть реализуется в виде бинарного дерева,

сти легочного артериального дерева по данным

что согласуется с данными морфометрического

КТ-ангиографии связывают с ухудшением выжи-

анализа, в ходе которого было установлено, что

ваемости в исследовании людей с легочной ги-

практически всегда при ветвлении сосудистой

пертензией [13], а также с повышенным риском

системы образуется бифуркация [16, 17]. При та-

развития инсульта [14]. Была выдвинута гипотеза,

кой форме ветвления материнская ветвь (i) разде-

что любая патологическая морфология сосуди-

ляется на два дочерних сосуда

(2i+1,

2i+2),

стого дерева приводит к уменьшению фракталь-

каждый из которых в свою очередь образует би-

ной размерности [15]. В настоящей работе фрак-

фуркацию вплоть до достижения уровня, соот-

тальный анализ был применен для оценки струк-

ветствующего минимальному радиусу сосуда, ко-

туры в модели артериального дерева мозга крысы.

торый в данной модели соответствует 8 мкм. При

этом процесс генерации каждой единичной би-

фуркации состоит из нескольких ключевых эта-

МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ

пов (рис. 1). В качестве входных параметров вы-

ступают радиус, длина и координаты узлов мате-

Для того чтобы анатомически корректно отра-

ринской ветви, а также значения ключевых

зить структуру церебральной сети, модельное

параметров модели, которые определяют геомет-

представление артериального дерева было разде-

рию ветвления дерева в целом. Уменьшение длин

лено на детерминированную и стохастическую

дочерних сосудов относительно длины материн-

части в зависимости от калибра сосуда. Основные

ской ветви характеризуется показателем затуха-

артерии головного мозга, имеющие больший ра-

ния длины ветви (λ):

диус, а также топология которых достаточно кон-

L2i+1, 2i+2 = λL_i.

(1)

сервативна у большинства образцов, представля-

ют собой детерминированную структуру, что

Взаимосвязь между радиусом материнской

позволяет максимально точно воспроизвести ха-

ветви и радиусами левой и правой дочерних вет-

рактерную топологию крупных артерий. Пред-

вей устанавливается бифуркационным законом,

ставление артерий детерминированной части

также известным как закон Мюррэя [18]:

было реализовано в виде упорядоченной сово-

2i+1

2i+2

(2)

купности цилиндров, для каждого из которых за-

давились радиусы и координаты центров их осно-

где γ - показатель ветвления, значения которого,

ваний, где радиус цилиндра соответствовал ради-

согласно литературным данным, варьируют от

усу сосуда. Диаметры основных артерий мозга

двух до трех [19, 20]. Генерация нормализованных

крысы, использованные для построения базового

радиусов дочерних сосудов происходит в диапа-

уровня, были рассчитаны на основе изображений

зоне, определенном радиусом материнской ветви

сосудов мозга крысы.

и минимальным радиусом:



low

r

(

−

)

⋅U

(0,1)



low

2i+1

low

high

low





(3)







2i+2

(

1−

2i+1

)

high

(

1−

low

)



где R_low - минимальный радиус в артериальной

−2



r





2i+1

системе; U(0,1) - стандартное равномерное рас-

θ

2i+1

arccos



1−

(

1−

2i+1

)









пределение. Наряду с радиусами и длинами до-



(5)

−2

черних сосудов происходит генерация азимуталь-

r







2i+2

arccos

1−

ных углов:



(

2i+2

)











φ2i+1 = 2πU(0,1),

С использованием полученных координат

терминальных узлов исключаются пересечения

φ2i+2 = φ2i+1 + π.

(4)

между сосудами путем вычисления расстояний до

ближайших бифуркаций. В данной работе гене-

Далее на основе нормализованных радиусов

рация артериальной системы происходит в про-

рассчитываются бифуркационные углы между

странстве, ограниченном геометрическими раз-

дочерними ветвями:

мерами фантома мозга крысы, поэтому на

БИОФИЗИКА том 65

№ 3

2020

ПРИМЕНЕНИЕ ФРАКТАЛЬНОГО АНАЛИЗА

585

Входные параметры материнского сосуда и параметры моделирования

{→ , R , L }, {γ,

λ,R

Ω}

low

Генерация

нормализованных

длин дочерних

азимутальных

радиусов сосудов

сосудов

углов

Расчет

радиусов сосудов

Проверка

Вычисление

Вычисление координат

пересечений

бифуркационных углов

терминальных углов

между сосудами

Проверка

Выход за пределы фантома

локализации

терминальных узлов

внутри фантома

Выходные параметры дочерних сосудов

{→

,→

}

2i+1

2i+2

2i+1

2i+2

2i+1

2i+2

Рис. 1. Алгоритм моделирования единичной бифуркации.

последнем этапе проверяется локализация тер-

где FD - фрактальная размерность заданной

минальных узлов внутри заданной области:

структуры. Алгоритм «Box-counting» подсчитыва-

ет количество непустых ячеек для различных зна-





чений r. Значение фрактальной размерности рас-



x

−

i, j





Ω=

;

≤

1,

(6)

считывается на основе линейной аппроксимации













j=1







логарифмической кривой:

где c_i,j и R_i,j - координаты центра и величины по-

log

N r)

FD =

lim

(8)

луосей i-го эллипсоида. Фантом мозга крысы был

r→0

log

построен с использованием аппроксимации моз-

га системой эллипсоидов, геометрические пара-

На рис. 2 показан пример расчета фрактальной

метры которых были получены на основе оциф-

размерности двумерного артериального дерева,

ровки изображений головного мозга крысы.

построенного на основе алгоритма, представлен-

Артериальные деревья, построенные с исполь-

ного выше. В описанном примере каждый сосуд

зованием предложенного подхода, были исполь-

для расчета был представлен центральной лини-

зованы для оценки фрактальной размерности ме-

ей, что не позволяет учитывать влияние радиуса

тодом «Box-counting» [21]. Для заданной фрак-

сосуда на величину фрактальной размерности

тальной структуры, встроенной в d-мерный

(рис. 3а). Следует отметить, что радиус сосуда яв-

объем, метод состоит в разбиении пространства

ляется одной из важнейших геометрических ха-

структуры на d-мерную сетку переменного разме-

рактеристик единичной ветви, определяющей то-

ра. Количество непустых ячеек N(r) размера r, не-

пологию артериального дерева в целом. В связи с

обходимых для покрытия фрактальной структу-

этим был разработан подход, позволяющий более

ры, зависит от r:

точно оценивать сложность сосудистой сети. По-

верхность каждого сосуда равномерно разбивает-

N(r) ~ r-FD,

(7)

ся на полигоны, среднее значение длины ребер

БИОФИЗИКА том 65

№ 3

2020

586

КОПЫЛОВА и др.

(а)

(б)

Рис. 2. Схематическое представление метода измерения фрактальной размерности на примере двумерной артериаль-

ной сети методом «Box-counting»: (а) - двумерное артериальное дерево, построенное с использованием предложенно-

го подхода; (б) - последовательное разбиение пространства на сетку переменного размера с выделением ячеек, по-

крывающих структуру артериального дерева.

которых составляет величину порядка двух мик-

скими особенностями исследуемого объекта. Для

рометров (рис. 3б).

оценки прямого влияния ключевых параметров

модели на топологию сосудистой системы без

учета ограничивающих факторов были построе-

РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ

ны двумерные единичные дочерние деревья на

Основное влияние на пространственное рас-

основе описанных выше принципов для различ-

положение сосудов и топологию артериального

ных значений показателя ветвления (рис. 4) и по-

дерева оказывают показатели бифуркации (γ) и

казателя затухания длины ветви (рис. 5). В пред-

затухания длины ветви (λ). В большей степени это

ставленных моделях радиус материнского сосуда

относится к стохастической части системы, по-

принимали равным 40 мкм, далее происходило

скольку геометрия крупных артерий является ме-

построение сосудистого дерева до достижения за-

нее вариабельной. В качестве дополнительных

данного радиуса ветви, который соответствовал

параметров, ограничивающих сложность систе-

5 мкм. Из приведенных моделей видно, что при

мы, выступают пространство построения сосуди-

увеличении показателя ветвления плотность со-

стой системы (Ω) и минимально возможный ра-

судов заметно увеличивается. В свою очередь,

диус сосуда (R_low), которые является биологиче-

увеличение показателя затухания длины ветви

(а)

(б)

Рис. 3. Представление единичной бифуркации для расчета фрактальной размерности: (а) - сосуды аппроксимирова-

ны центральной линией; (б) - поверхность сосудов представлена совокупностью полигонов.

БИОФИЗИКА том 65

№ 3

2020

ПРИМЕНЕНИЕ ФРАКТАЛЬНОГО АНАЛИЗА

587

γ = 2.3

γ = 2.5

γ = 2.7

FD = 1.39

FD = 1.40

FD = 1.43

γ = 2.9

γ = 3.0

γ = 3.1

FD = 1.45

FD = 1.48

FD = 1.52

Рис. 4. Двумерные сосудистые деревья, построенные при различных значениях показателя ветвления (γ). Величина

показателя затухания длины ветви (λ) принималась равной 0.90. Приведенные значения фрактальной размерности

получены методом «Box-counting» по центральной линии сосудов.

приводит к формированию сосудистой системы,

тратна с точки зрения вычислительных ресурсов

обеспечивающей большую область покрытия.

и дает эффективный способ первичной оценки

Для того чтобы количественно определить запол-

параметров модели исходя из имеющихся экспе-

нение пространства, были рассчитаны значения

риментальных данных. Пример применения ал-

фрактальной размерности для каждого из постро-

горитма «Box-counting» для расчета фрактальной

енных деревьев. С увеличением как показателя

размерности аксиальной проекции артериальной

ветвления, так и показателя затухания длины вет-

системы мозга крысы представлен на рис. 6. Были

ви величина фрактальной размерности увеличи-

получены зависимости фрактальной размерности

вается. Это согласуется с экспериментальными

от показателя бифуркации и затухания длины

данными о различных патологических морфоло-

ветви для случая аксиальной проекции (рис. 7).

гиях сосудистого дерева, при которых фракталь-

Характер роста FD сопоставим со случаем еди-

ная размерность уменьшается [22-24]. Следует

ничных двумерных деревьев, однако абсолютные

отметить, что диапазон изменения FD системы

значения в среднем выше на 0.36, а уменьшение

шире при изменении величины показателя ветв-

диапазона ΔFD связано с наличием маловариа-

ления (ΔFD = 0.13), и сложность системы в боль-

бельной структуры крупных артерий, не подчи-

шей степени определяется ее разветвленностью.

няющихся бифуркационному принципу ветвле-

ния. При высоких значениях показателей γ и λ

В случае анализа медицинских изображений

фрактальная размерность приближенно равна

сосудистых систем фрактальная размерность, как

1.83, что согласуется с экспериментальными дан-

правило, оценивается на основе двумерных про-

ными и результатами моделирования, согласно

екций [13, 25]. Это связано как со сложностью по-

которым фрактальная размерность превышает

лучения полной трехмерной структуры, так и с

1.80 [26, 27].

невозможностью автоматической сегментации

отдельного сосуда для объемного представления,

Наибольший интерес представляет анализ

что приводит к необходимости линейной аппрок-

фрактальной размерности полной трехмерной

симации. Несмотря на это, оценка сложности си-

сосудистой системы. В связи с этим была иссле-

стемы по двумерным проекциям наименее за-

дована зависимость фрактальной размерности от

БИОФИЗИКА том 65

№ 3

2020

588

КОПЫЛОВА и др.

λ = 0.80

λ = 0.82

λ = 0.84

FD = 1.42

FD = 1.43

FD = 1.44

λ = 0.86

λ = 0.88

λ = 0.90

FD = 1.47

FD = 1.48

FD = 1.49

Рис. 5. Двумерные сосудистые деревья, построенные при различных значениях показателя затухания длины ветви (λ).

Величина показателя ветвления (γ) принималась равной 3.0. Приведенные значения фрактальной размерности

получены методом «Box-counting» по центральной линии сосудов.

параметров модели для трехмерного артериаль-

что изменение показателя ветвления влияет в

ного дерева мозга крысы (рис. 8). Как видно из

первую очередь на разветвленность сети и, как

приведенного графика, при значениях показате-

следствие, на величину фрактальной размерно-

ля бифуркации, близких к трем, фрактальная раз-

сти, увеличение калибров дочерних сосудов при

мерность превышает 2.05 в случае оценки по цен-

росте γ является существенным. Кроме того,

тральной линии сосуда (FD_line). Несмотря на то

средние и модальные значения относительной

(а)

(б)

(в)

Рис. 6. Пример применения алгоритма «Box-counting» для расчета фрактальной размерности аксиальной проекции

модельных артериальных систем мозга крысы при различных значениях ключевых параметров: (а) - γ = 3.0, λ = 0.80;

(б) - γ = 2.3, λ = 0.90; (в) - γ = 3.0, λ = 0.90.

БИОФИЗИКА том 65

№ 3

2020

ПРИМЕНЕНИЕ ФРАКТАЛЬНОГО АНАЛИЗА

589

(а)

(б)

1.84

1.82

1.80

1.78

1.76

1.74

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

3.0

3.1

0.80

0.82

0.84

0.86

0.88

0.90

Показатель ветвления (γ)

Показатель затухания длины ветви (λ)

Рис. 7. (а) - Зависимость фрактальной размерности аксиальной проекции артериального дерева от показателя

ветвления (γ); (б) - зависимость фрактальной размерности аксиальной проекции артериального дерева от показателя

затухания длины ветви (λ). Результаты представлены в виде M ± SD для 20 независимо сгенерированных артериальных

систем мозга крысы для каждого из расчетов.

(а)

(б)

2.20

FD_poly

2.20

FD_poly

2.15

FD_line

2.10

line

2.05

2.00

1.95

1.90

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

3.0

3.1

0.80

0.82

0.84

0.86

0.88

0.90

Показатель ветвления (γ)

Показатель затухания длины ветви (λ)

Рис. 8. (а) - Зависимости фрактальной размерности трехмерного артериального дерева от показателя ветвления (γ);

(б) - зависимости фрактальной размерности трехмерного артериального дерева от показателя затухания длины ветви

(λ). Результаты представлены в виде M ± SD для 20 независимо сгенерированных артериальных систем мозга крысы

для каждого из расчетов.

длины сосудов для артериальной системы мозга

ре отражают влияние параметров артериального

крысы составляют 16 и 10 соответственно [28].

дерева с учетом точной геометрии сосудов, и

Это говорит о том, что для большого количества

предлагается использовать их для оценки трех-

сосудов линейная аппроксимация не является

мерных сосудистых сетей.

эффективной, а недооценка величины фракталь-

Как было показано ранее, для максимального

ной размерности при расчете по центральной ли-

соответствия бифуркационной модели артери-

нии существенна. Для оценки влияния радиуса

ального дерева мозга крысы пространство пара-

сосуда на сложность такой системы поверхность

метров {γ, λ} должно быть строго ограничено сни-

каждого сосуда была представлена в виде сово-

зу. Системы с низким значением показателя би-

купности полигонов. Для всех зависимостей ха-

фуркации (γ < 2.9) показывают недостаточную

рактерно увеличение FD_poly, а средняя разница

разветвленность, степень симметричности и не

при оценке фрактальной размерности между дву-

обеспечивают необходимого объема артериаль-

мя методами расчета составляет 0.11. Полученные

ной крови [29, 30]. В свою очередь, артериальная

значения фрактальной размерности в полной ме-

система, эффективная с точки зрения топологии

БИОФИЗИКА том 65

№ 3

2020

590

КОПЫЛОВА и др.

Рис. 9. Модель артериального дерева мозга крысы, построенная на основе оптимальных значений бифуркационных

параметров (γ = 3.0, λ = 0.90). Минимальный радиус сосудов ограничен 8 мкм, что соответствует уровню

терминальных артериол.

сосудов, может быть получена только при опти-

графиков, с увеличением порядка ветвления ве-

мальном значении обоих ключевых параметров

личина FD возрастает, причем максимальной

(γ = 3.0; λ = 0.90) [28]. Ограничение радиуса сосу-

рост сложности системы наблюдается на первых

дов на уровне метартериол связано с тем фактом,

пятнадцати порядках бифуркации в обоих случа-

что микрокапилярные русла, как правило, не

ях. Однако при методике расчета по центральной

подчиняются бифуркационным законам ветвле-

линии диапазон изменения фрактальной размер-

ния и представляют собой хаотические сетепо-

ности существенно больше (от 1.42 до 2.08), тогда

добные структуры [31]. Пример оптимального ар-

как при использовании полигонального пред-

териального дерева приведен на рис. 9.

ставления - от 1.77 до 2.18. Следует также отме-

Приведенные выше результаты позволяют

тить, что граничному порядку ветвления, разде-

оценить как значения фрактальных размерностей

ляющему артериальную систему на «распределя-

для различных артериальных деревьев в целом,

ющие» и

«доставляющие» сосуды

[32,

28],

так и учитывать влияние основных бифуркаци-

соответствует рост сложности в 61 и 55% для ли-

онных параметров на сложность системы. В свою

нейного и полигонального представления соот-

очередь, внутри одной артериальной системы

ветственно.

фрактальная размерность локальных участков

Калибр сосудов не зависит напрямую от по-

может существенно различаться несмотря на тот

рядка ветвления, так как при увеличении порядка

факт, что и законы ветвления (разделение мате-

бифуркации симметричность сосудов значитель-

ринской ветви строго на два дочерних сосуда) и

но возрастает [33, 29]. Это связано с различными

ключевые параметры внутри одного дерева оста-

функциями двух типов сосудов: сосуды с преиму-

ются неизменными.

щественно асимметричными бифуркациями да-

Для артериального дерева с оптимальными

ют относительно небольшой поток в боковые вет-

значениями обоих параметров был проведен ана-

ви при делении и, следовательно, способны пере-

лиз зависимости фрактальной размерности от по-

носить кровь на большие расстояния; более

рядка ветвления для двух вариантов представле-

симметричная бифуркационная структура распа-

ния сосудов (рис. 10). Как видно из приведенных

дается на многочисленные мелкие ветви, которые

БИОФИЗИКА том 65

№ 3

2020

ПРИМЕНЕНИЕ ФРАКТАЛЬНОГО АНАЛИЗА

591

(а)

(б)

FD_line

FD_poly

2.2

2.0

1.8

1.6

1.4

Порядок ветвления

Рис. 10. Зависимости фрактальной размерности трехмерного артериального дерева мозга крысы от порядка

ветвления: (а) - расчет FD по центральной линии сосуда; (б) - расчет FD на основе полигонального представления

сосуда.

снабжают окружающие ткани кровью. Был про-

больший разброс значений FD позволяет сделать

веден анализ зависимости фрактальной размер-

вывод о недооценке сложности системы при рас-

ности от радиуса сосуда (рис. 11). Минимальный

чете по центральной линии, особенно для низких

радиус соответствует радиусу терминальных арте-

порядков бифуркации и крупных сосудов.

риол, который в предложенной модели равняется

8 мкм, а максимальное значение - артериям. С

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

помощью полученных зависимостей можно оце-

нить фрактальную размерность артериального

В качестве критерия оценки структуры по-

дерева различной степени сложности. Так, на-

строенного сосудистого дерева была использова-

пример, фрактальная размерность системы, со-

на методика расчета фрактальной размерности,

стоящей только из артерий, радиус которых со-

позволяющая количественно определять эффек-

ставляет 50 - 80 мкм, варьируется от 1.78 до 1.87

тивность заполнения пространства. Данный под-

(таблица). Как и в случае предыдущего анализа,

ход получил широкое распространение для выяв-

(а)

(б)

FD_poly

line

2.2

2.0

1.8

1.6

1.4

Радиус сосуда, мкм

Рис. 11. Зависимости фрактальной размерности трехмерного артериального дерева мозга крысы от радиуса сосуда:

(а) - расчет FD по центральной линии сосуда; (б) - расчет FD на основе полигонального представления сосуда.

БИОФИЗИКА том 65

№ 3

2020

592

КОПЫЛОВА и др.

Фрактальные свойства основных типов сосудов артериальной системы мозга крысы

Тип

Функции

Радиус, мкм

FD_line

FD_poly

Перенос крови от сердца и

Артерии

снабжение различных участков

50-80

1.43-1.57

1.78-1.87

мозга кровью

Регуляция артериального

Артериолы

давления и распределения крови

10-50

1.57-2.01

1.87-2.13

по капиллярному руслу

Регуляция снабжения отдельных

Метартериолы

8-10

2.01-2.08

2.13-2.18

групп капилляров

ления патологических отклонений сосудистых

СОБЛЮДЕНИЕ ЭТИЧЕСКИХ СТАНДАРТОВ

сетей при различных заболеваниях. Ранее было

Настоящая работа не содержит описания ка-

установлено, что даже незначительное снижение

ких-либо исследований с использованием людей

фрактальной размерности является негативным

и животных в качестве объектов.

фактором при прогнозе течения целого ряда за-

болеваний [34]. В данной работе было показано,

что при увеличении показателя ветвления (γ) и

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

показателя затухания длины ветви (λ) происходит

J.-J. Li, Dynamics of the vascular system (World Scien-

увеличение значения фрактальной размерности.

tific Publishing Co., 2004).

Результаты указывают на то, что построение мо-

B. R. Masters, Annu. Rev. Biomed. Eng. 6, 427 (2004).

дели артериальной сети в ткани на основе опти-

E. Gaudio, S. Chaberek, A. Montella, et al., J. Anat.

мальных значений обоих ключевых параметров

207 (2), 107 (2005).

является обоснованным не только физико-хими-

M. Zamir, J. Theor. Biol. 212 (2), 183 (2001).

ческими, но и физиологическими особенностями

S. Lorthois and F. Cassot, J. Theor. Biol. 262 (4), 614

разветвленных структур. Для оценки фракталь-

(2010).

ных свойств артериальных систем наиболее часто

T. Takahashi, Microcirculation in fractal branching net-

используется метод «Box-counting» на основе рас-

works (Springer Japan, 2014).

четов по центральной линии сосуда. Данный ме-

D. J. Gould, T. J. Vadakkan, R. A. Poche, et al., Micro-

тод является простым с точки зрения вычисли-

circulation 18 (2), 136 (2011).

тельной сложности, однако линейное представ-

ление сосудов не позволяет учитывать различия

H. A. Crystal, S. Holman, Y. W. Lui, et al., PLoS One

между уровнями бифуркации системы, характе-

11 (5), e0154858 (2016).

ризующимися разными калибрами сосудов. В

V. Goh, B. Sanghera, D. M. Wellsted, et al., Eur. Radi-

данной работе был предложен подход, позволяю-

ol. 19 (6), 1358 (2009).

щий избежать недооценки сложности системы

10.

S. Lang, B. Muller, M. D. Dominietto, et al., Micro-

для низких порядков бифуркации и крупных со-

vasc. Res. 84 (3), 314 (2012).

судов, которая на уровне крупных артерий может

11.

M. Helmberger, M. Pienn, M. Urschler, et al., PLoS

превышать 20%. Полученные значения фракталь-

One 9 (1), e87515 (2014).

ной размерности наиболее полно отражают свой-

12.

S. Haitao, L. Ning, G. Lijun, et al., Korean J. Radiol.

ства артериального дерева с учетом реальной гео-

12 (3), 289 (2011).

метрии сосудов и позволяют оценить как фрак-

13.

S. Moledina, A. de Bruyn, S. Schievano, et al., Heart

тальную размерность артериального дерева

97 (15), 1245 (2011).

различной степени сложности, так и сделать вы-

14.

R. Kawasaki, M. Z. Che Azemin, D. K. Kumar, et al.,

вод о наличии сосудистых патологий при прове-

Neurology 76 (20), 1766 (2011).

дении медицинских исследований.

15.

B. J. West, Front. Physiol. 1, 12 (2010).

16.

G. S. Kassab, C. A. Rider, N. J. Tang, et al., Am. J.

Physiol. 265, H350 (1993).

КОНФЛИКТ ИНТЕРЕСОВ

17.

V. S. Kopylova, S. E. Boronovskiy and Y. R. Nartsissov,

Авторы заявляют об отсутствии конфликта

Biochem. Soc. Trans. 45 (3), 839 (2017).

интересов.

18.

C. D. Murray, J. Gen. Physiol. 9 (6), 835 (1926).

БИОФИЗИКА том 65

№ 3

2020

ПРИМЕНЕНИЕ ФРАКТАЛЬНОГО АНАЛИЗА

593

19. R. Karch, F. Neumann, M. Neumann, et al., Ann.

27. N. Tsafnat, G. Tsafnat and T. D. Lambert, Conf. Proc.

Biomed. Eng. 28 (5), 495 (2000).

IEEE Eng. Med. Biol. Soc. 1, 683 (2004).

20. M. Zamir, The physics of pulsatile flow (Springer, New

28. V. Kopylova, S. Boronovskiy and Y. Nartsissov, Phys.

York, 2000).

Biol. 16 (5), 056002 (2019).

21. M. Ge and Q. Lin, Geo-spatial Information Science 12

29. V. S. Kopylova, S. E. Boronovskiy and Y. R. Nartsissov,

(4), 265 (2009).

J. Physics: Conf. Ser. 1141, 012027 (2018).

22. Y. T. Ong, D. A. De Silva, C. Y. Cheung, et al., Stroke

44 (8), 2121 (2013).

30. V. S. Kopylova, S. E. Boronovskiy and Y. R. Nartsissov,

Math. Biosci. 315, 108237 (2019).

23. C. Y. Cheung, Y. T. Ong, M. K. Ikram, et al., Alzhei-

mers Dement. 10 (2), 135 (2014).

31. F. Cassot, F. Lauwers, C. Fouard, et al., Microcircula-

24. N. Popovic, M. Radunovic, J. Badnjar, et al., Micro-

tion 13 (1), 1 (2006).

vasc. Res. 118, 36 (2018).

32. M. Zamir, J. Gen. Physiol. 91 (5), 725 (1988).

25. S. Kido, K. Kuriyama, M. Higashiyama, et al., J. Com-

33. A. Kaimovitz, Y. Huo, Y. Lanir, et al., Am. J. Physiol.

put. Assist. Tomogr. 27 (1), 56 (2003).

Heart Circ. Physiol. 294 (2), H714 (2008).

26. Y. Gazit, D. A. Berk, M. Leunig, et al., Phys. Rev. Lett.

75 (12), 2428 (1995).

34. A. D. Hughes, Artery Res. 10 (Iss. C), 1 (2015).

Application of Fractal Analysis to Estimation of the Rat Brain Arterial System

V.S. Kopylova, S.E. Boronovskiy, and Ya.R. Nartsissov

Institute of Cytochemistry and Molecular Pharmacology, ul. 6-ya Radialnaya 24/14, Moscow, 115404 Russia

Vascular networks have the properties of self-similarity, that makes it possible to consider them stochastic

fractals. Based on calculations concerning the vessel’s centre line, the traditional box-counting method is

commonly used to assess the parameters of the fractal structure. Using this algorithm, structural diìfferences

between various bifurcation levels of the system, characterized by the natural property to change blood vessel

diameter, are not taken into account. Furthermore, the discrepancy between the fractal dimension values

may exceed 20%. In this paper we propose an approach that can be used to avoid underestimation of the sys-

tem complexity for low bifurcation orders and large vessels. With the constructed rat brain arterial tree, it is

shown that the value of fractal dimension increases, when there is an increase in the branching exponent and

the length coefficient. The obtained values better demonstrate the properties of the arterial tree, taking into

account the real vascular geometry, and it is advisable to use these data for evaluation of three-dimensional

vascular networks.

Keywords: arterial system, bifurcation of blood vessels, computer modelling, fractal dimension

БИОФИЗИКА том 65

№ 3

2020