БИОФИЗИКА, 2021, том 66, № 1, с. 157-167

БИОФИЗИКА СЛОЖНЫХ СИСТЕМ

УДК 57.05, 577.353, 539.3

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СТЕНКИ РЕЗИСТИВНОГО МОЗГОВОГО

СОСУДА КРЫСЫ

Институт физиологии им. И.П. Павлова РАН, 199034, Санкт-Петербург, наб. Макарова, 6

E-mail: nkhsh@yandex.ru

Поступила в редакцию 01.09.2020 г.

После доработки 01.09.2020 г.

Принята к публикации 10.09.2020 г.

Представлена математическая модель механических свойств стенки мелкой мозговой артерии кры-

сы. Предполагается, что активная составляющая напряжения имеет окружное направление и явля-

ется функцией концентрации активатора сокращений гладкомышечных клеток и окружного и ра-

диального растяжений, продольные растяжения не рассматриваются. Расчеты показали существен-

ное снижение как окружного напряжения, так и окружного растяжения в сосудистой стенке после

активации, распределение этих величин в трансмуральном направлении становится более однород-

ным. Активная составляющая оказывает преобладающее влияние на формирование общего напря-

жения. Окружная компонента напряжения в несколько раз превышает радиальную и продольную.

Модуль отношения радиальной компоненты напряжения к окружной в результате активации уве-

личивается, прослеживается тенденция к уменьшению его величины с ростом окружного растяже-

ния. Численный анализ выявил высокую чувствительность и радиуса, и напряжения даже к неболь-

шому изменению значений параметров, входящих в функциональную зависимость напряжения от

концентрации активатора сокращений гладких мышц.

Ключевые слова: резистивный сосуд, напряжение в сосудистой стенке, сокращение гладких мышц,

концентрация свободных ионов кальция.

DOI: 10.31857/S0006302921010178

Гладкомышечные клетки в сосудистой стенке

среднем слое (медии) [4], при трехслойном - в

играют важную роль в регуляции кровотока и

рассмотрение вводится также внутренний слой

оказывают существенное влияние на механиче-

(интима) [9, 10]. Часть исследований учитывает

ские свойства как крупных, так и мелких (рези-

ориентацию волокон эластина, коллагена и глад-

стивных) артериальных сосудов [1]. К настояще-

комышечных клеток [3, 7, 11]. Однако зависи-

му времени имеется достаточно много математи-

мость активных напряжений от концентрации

ческих моделей, описывающих механические

кальция в приведенных публикациях не рассмат-

свойства крупных артерий на основе экспери-

ривалась. Этот параметр присутствовал в каче-

ментальных данных (см., например, работы [2-

стве постоянного множителя, чаще всего актив-

4], также обзоры [5-7]). В неактивированном

ные напряжения рассматривались при макси-

состоянии материал стенки считается гипер-

мальной активации гладких мышц. Другой

упругим, напряжение в активированном сосуде

подход к моделированию активных напряжений

представляется суммой активной и пассивной со-

при рассмотрении толстостенных сосудов состо-

ставляющих. Пассивная часть напряжений опи-

ит в использовании многомасштабного модели-

сывается с помощью функции плотности энергии

рования [11-14]. Модели этой группы включают

деформаций, активная - функцией растяжений и

кинетические уравнения, описывающие четыре

концентрации кальция, основного активатора

состояния головок миозина в сократительной

сокращений гладкомышечных клеток. Зависи-

единице гладкомышечной клетки. В более про-

мость активных напряжений от растяжений ис-

стом случае переход от микромасштабного

следовалась в экспериментах на сегментах круп-

уровня к макромасшабному осуществляется вве-

ных артериальных сосудов [2, 4, 8]. Существую-

дением доли присоединенных мостиков в каче-

щие модели с разной степенью подробности

стве одного из множителей функции энергии де-

описывают внутреннюю структуру сосудистой

формаций [11]. При более сложном описании

стенки. При двухслойном описании отдельно

кроме молекулярного и тканевого уровней вво-

рассматриваются напряжения в адвентиции и

дится промежуточный, клеточный уровень, опи-

157

158

ШАДРИНА

сывающий процесс прикрепления миозиновых

точного пространства, что приводит к активации

головок к актиновым нитям [15]. Все упомянутые

и сокращению гладкомышечных клеток.

исследования используют экспериментальный

Ниже предлагается физически более есте-

материал, полученный на сегментах крупных со-

ственный по сравнению с работами [21, 22] под-

судов.

ход, при котором активные напряжения опреде-

Цель представленной работы состояла в опи-

ляются растяжениями и концентрацией актива-

сании механических свойств малого артериаль-

тора сокращений гладкомышечных клеток. В

ного сосуда. Именно в таких сосудах происходит

качестве активатора выступают свободные ионы

наибольшее падение артериального давления

кальция в цитоплазме гладкомышечных клеток.

[16]. В этих сосудах, называемых резистивными,

В рассматриваемой здесь задаче предполагается,

наблюдается миогенный эффект Остроумова-

что концентрация активатора сокращений опре-

Бейлисса [17], характеризующийся наличием па-

деляется трансмуральным давлением (разностью

дающего участка на статической кривой «ради-

давлений на внутренней и внешней стенке сосу-

ус-давление». Из-за трудностей в проведении

да), а участие мембранного потенциала в явном

необходимых измерений число эксперименталь-

виде не учитывается.

ных исследований механических свойств мелких

артерий весьма ограничено. Этим объясняется

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

использование тонкостенной постановки задач

при рассмотрении регуляции в мелких артериях

Рассмотрим сосуд, форма которого мало отли-

[18, 19], тогда как геометрические параметры ре-

чается от цилиндрической, стенка считается од-

нослойной, материал стенки - несжимаемым.

зистивных сосудов требуют рассмотрения, учи-

Вводим цилиндрическую систему координат: r, θ,

тывающего конечную толщину стенок. На основе

имеющихся в литературе экспериментальных

z - радиальная, окружная и продольная (вдоль

данных [20] ранее нами было представлено опи-

оси сосуда) координаты. Перемещения в стенке

считаются осесимметричными и описываются

сание распределения напряжений в стенке ди-

тензором деформаций Грина:

стальной ветви задней мозговой артерии крысы

[21, 22]. Поскольку результаты измерений актив-

−1

=r z, ε

≡

0 при

≠ j,

(1)

ной составляющей напряжения в церебральном

(

)

сосуде крыс удалось обнаружить только в иссле-

довании [23], где полученный материал представ-

θθ

≡

, λ

≡

, λ

≡

(2)

лен в виде зависимости активного напряжения от

эффективного сосудистого радиуса, в работах [21,

где λ_ii - растяжения в соответствующем направ-

22] активную составляющую напряжения полага-

лении, r₀ и z₀ - радиальная и продольная коорди-

ли зависящей от нормированной радиальной

координаты и концентрации кальция в гладко-

наты в ненагруженном ненапряженном состоя-

мышечных клетках. При таком предположении с

нии. Из-за отсутствия данных о геометрических

использованием данных экспериментальной ра-

параметрах малых артериальных сосудов в нена-

боты [20] была получена зависимость активной

пряженном состоянии остаточные напряжения

составляющей напряжения от концентрации сво-

не учитываются, полагается, что ненапряженное

состояние совпадает с ненагруженным, т.е. с со-

бодных ионов кальция в цитоплазме гладкомы-

шечных клеток (C_Ca). Авторы работы [20] в деак-

стоянием при p = 0. По той же причине не рас-

сматриваем продольные растяжения, т.е. λ_zz ≡ 1.

тивированном сосуде регистрировали диаметр

дистальных ветвей задней мозговой артерии кры-

Полное напряжение в сосудистой стенке рав-

сы, а в активированном сосуде дополнительно

но сумме пассивной и активной составляющих.

измеряли концентрацию кальция в цитоплазме и

Материал стенки при отсутствии активации по-

мембранный потенциал гладкомышечных клеток

лагается гиперупругим. Активное напряжение

при разных значениях внутрисосудистого давле-

развивается в направлении ориентации миозино-

ния (p) в диапазоне 0÷100 мм рт. ст. Другую часть

вых нитей в гладкомышечных клетках. В рези-

экспериментов проводили при фиксированном

стивных сосудах они ориентированы преимуще-

значении p = 60 мм рт. ст., но варьировали значе-

ственно в окружном направлении [24, 25], поэто-

ние мембранного потенциала, регулирующего

му будем считать, что гладкомышечные

поступление кальция в клетку. Был сделан вывод,

сокращения дают вклад только в окружное на-

что повышение давления снижает мембранный

пряжение, а активная составляющая напряжения

потенциал, в результате чего открываются каль-

в двух других направлениях пренебрежимо мала,

циевые каналы и кальций поступает из внекле-

т.е. компоненты напряжения имеют вид:

σ_rr ≡ σ_r = q + σr(p), σ_θθ ≡ σ_θ = q + σθ(p) + σθ(a), σzz ≡ σz = q + σz(p).

(3)

БИОФИЗИКА том 66

№ 1

2021

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СТЕНКИ

159

Верхние индексы (p) и (a) обозначают пассив-

ненты пассивной составляющей напряжения

ную и активную составляющую напряжения со-

Коши, как и в [22], определяются из функции

ответственно, q - множитель Лагранжа, имею-

энергии деформаций W:

щий смысл гидростатического давления. Компо-

(p)

∂W

(p)

∂W

(p)

,σ

, σ

≡

(4)

∂ε

θθ

W =

exp(Q)

Q =

exp

aε

ε ε

(5)

(

θθ

)

Поскольку λ_zz ≡ 1, соответствующая компо-

∂σ σ -σ

(9)

нента деформации ε_zz ≡ 0, она не входит в число

∂r

аргументов функции W.

λ_r λ_θλ_z = 1.

(10)

(a)

Активная составляющая напряжения σ_θ

представляется произведением двух функций.

Без ограничения общности можно считать,

Одна из них зависит от растяжений, вторая - от

что внешнее давление на стенке сосуда равно ну-

концентрации свободных ионов кальция в цито-

лю, а трансмуральное давление равно внутрисо-

плазме гладкомышечных клеток:

судистому. Граничные условия на стенках сосуда

запишутся как

σθ(a) = S_smf(λ_r, λ_θ )Ψ(C_Ca),(6)

(6)

σ_r = -p, r = r_i; σ_r = 0, r = r_i

+ h,

(11)

где S_sm - константа, равная доле площади попе-

речного сечения сосуда, приходящейся на глад-

где r_i и h - текущие значения внутреннего радиуса

комышечный слой. Функциональная зависи-

и толщины стенки, p - внутрисосудистое дав-

мость f(λ_r, λ_θ) записывается аналогично той, кото-

ление.

рая была найдена в экспериментах на сегментах

коронарных артерий свиньи [4, 26]:

МЕТОД РЕШЕНИЯ И ЧИСЛЕННЫЕ



λ



ЗНАЧЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ

λ exp

−

(7)

1 θ

-











Вычисления проводили с использованием





экспериментальных данных, полученных на вет-

где g_i - постоянные параметры.

вях задней мозговой артерии крысы авторами ра-

Если не учитывать влияние радиального рас-

боты [20]. Других работ, содержащих измерения

необходимых для построения модели парамет-

тяжения на σθ(a), то при замене λ_θ на относитель-

ров, нам не удалось обнаружить. При нулевом

ный радиус соотношение (7) совпадает с функци-

внутрисосудистом давлении внутренний радиус

ей f(r) в работах [21, 22], полученной в результате

рассматриваемого сосуда

= 35 мкм, толщина

аппроксимации зависимости активной части

среднего окружного напряжения от «эффектив-

стенки h₀ = 16.5 мкм. Значение r получено ап-

ного» радиуса. Эта зависимость является резуль-

проксимацией зависимости радиуса пассивного

татом исследований, проводившихся на сегмен-

сосуда от внутрисосудистого давления.

тах церебральной артерии крысы [23].

Из уравнений (2) и (10) следует равенство:

Вид функции Ψ(C_Ca) для рассматриваемого

сосуда был получен в предыдущих работах

+C,

(12)

[21, 22]:

где C - скалярная величина, меняющая свое зна-

1−

(8)

чение с изменением трансмурального давления,

exp(g

))

ее предстоит определить.

Коэффициенты g_i (i=1,...,7) в уравнениях (7) и

Для определения значений параметров A и

(8) - константы, которые предстоит определить.

a_i (i = 1, 2, 3) в соотношении (5) решается уравне-

Для статической задачи уравнения равно-

ние (9) для пассивного сосуда при σθ(a) ≡ 0 (см. ра-

весия и несжимаемости для материала стенки

боту [22]). С учетом равенств (1)-(5) и гранично-

суть:

го условия на внешней стенке сосуда имеем:

БИОФИЗИКА том 66

№ 1

2021

160

ШАДРИНА



(

)

exp

(Q(

))

−

exp(Q r ))−

exp(Q(r

))dr

(13)

pas

















Q y)

−

(14)





(

)

(

)





Далее используется граничное условие на

ления в работе [20] приводит к следующему

внутренней стенке. Минимизация суммы

результату: A = 44.5 кПа, a₁ = 0.1423, a₂ =

квадратов отклонений вычисленных

σ_r

на

= 0.0142, a₃ = 0.045.

pas

внутренней стенке сосуда (

от соответ-

Решение уравнения (9) для активного со-

)

ствующих экспериментальных значений дав- суда представляется как

r₀







λ



σ = σ

1−

exp

-

−

dr

(15)

pas















exp

(

−

))

g











0i+h0

Значения неизвестных коэффициентов g_i

вия равенства радиального напряжения на

(i = 1,…,7) в этих соотношениях определяются с

внутренней стенке внутрисосудистому давле-

использованием того же граничного условия (11)

нию вычисляли значения C для активного со-

на внутренней стенке и экспериментальных зна-

суда. Имея значения C, можно вычислить ра-

чений C и C_Ca для активного сосуда. В результате

диальную координату любой точки в стенке и

минимизации суммы квадратов разностей между

распределение радиального напряжения σ_r в

σ_r на внутренней стенке и соответствующим зна-

стенке активного сосуда. Из соотношений

чением p получены следующие значения: g₁ =

(3)-(5) с использованием равенств (1) и (2)

= 752.7 кПа, g₂ = 1.49, g₃ = 6.65, g₄ = 2.49, g₅ = 1.02,

определяется множитель Лагранжа:

g₆ = 0.036 нМ^-1, g₇ = 187.34 нМ. Все вычисления

проведены с помощью программы MatLab. По-





иск неизвестных значений численных парамет-





−

expQ

(16)

ров осуществляли с использованием MatLab





(

)

Global Optimization Toolbox.





(a)

После того как значения параметров в σ_θ

Окружная составляющая напряжения из

были определены, из уравнения (2.4) и усло- соотношений (3) - (7) вычисляется по формуле:









C a

−

expQ+S

λ exp-

−



Ψ(C

)

(17)





1 θ





















Значение S_sm полагали равным 0.694, исходя

щее ему значение C_Ca, полученное в эксперимен-

из данных гистологических исследований, приве-

те [20]. Затем из уравнений (12) и (17) вычисляли

денных в работе [27].

r и σ_θ.

На приводимых ниже рисунках, демонстриру-

При исследовании чувствительности модели к

ющих изменения вычисленных величин по тол-

изменениям значений коэффициентов b_i в функ-

щине стенки, по оси абсцисс отложена нормиро-

циональной зависимости Ψ(C_Ca) сначала из пер-

ванная радиальная координата

(

−r

)

вого граничного условия (11) определяли значе-

ния С для измененного значений b_i. Поскольку в

данной модели значение C_Ca жестко связано с

РЕЗУЛЬТАТЫ

трансмуральным давлением, в вычислениях при

Расчеты показали, что активация гладких

фиксированном p использовали и соответствую- мышц приводит к существенному снижению как

БИОФИЗИКА том 66

№ 1

2021

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СТЕНКИ

161

Рис. 1. Трансмуральное распределение радиального (а), окружного (б) и продольного (в) напряжений в неактивиро-

ванном (1) и активированном (2) сосудах при p = 8 кПа.

окружного напряжения, так и его градиента в ра-

жения, обусловленную сокращением гладкомы-

диальном направлении (рис. 1б). Распределение

шечных клеток, и остальную часть, развиваемую

радиального и продольного напряжений в ре-

пассивным материалом стенки, то оказывается,

зультате активных сокращений становится более

что активная часть и радиального (рис. 2а), и

линейным (рис. 1а,в). В рассматриваемом случае

окружного (рис. 2б) напряжений многократно

продольное напряжение совпадает с множителем

превышает пассивную. Поскольку в рассматри-

Лагранжа.

ваемом случае изменение концентрации кальция

обусловлено изменением трансмурального дав-

Из уравнений (15) и (16) следует, что актива-

ления, то повышение давления сопровождается

ция влияет на σ_r и гидростатическое давление q,

увеличением C_Ca. С ростом концентрации каль-

несмотря на то что, по предположению, активная

составляющая входит только в окружное напря-

ция увеличивается и вклад активных напряжений

жение. Если рассмотреть отдельно часть напря-

(ср. линии 2(I) и 2(II) на рис. 2), пассивная же

Рис. 2. Зависимости пассивной (1) и активной (2) части радиального (а) и окружного (б) напряжений от радиальной

координаты. Расчеты при p = 5.3 кПа (I) и 10.7 кПа (II).

БИОФИЗИКА том 66

№ 1

2021

162

ШАДРИНА

максимальное значение на внутренней стенке,

монотонно снижаясь по мере приближения к

внешней стенке, с ростом давления это отноше-

ние увеличивается (рис. 4а). Результаты расчетов

показали, что в неактивированном и активиро-

ванном сосудах этот параметр убывает с ростом

окружных растяжений (рис. 4б), но в активиро-

ванном сосуде отношение σ_r/σ_θ заметно выше.

В качестве критерия чувствительности модели

к варьированию значений коэффициентов g₅-g₇,

входящих в функцию Ψ(C_Ca), рассматривали со-

ответствие зависимости статического радиуса от

трансмурального давления поведению сосуда с

реакцией Остроумова-Бейлисса. Расчеты с изме-

ненными значениями того или иного параметра g_i

сравнивали с результатами вычислений радиуса и

окружного напряжения для исходных значений

параметров g_i, приведенных выше.

Рис. 3. Распределение окружного растяжения по тол-

щине сосудистой стенки в пассивном (1) и активном

(2) сосуде при p = 5.3 кПа (I) и 10.7 кПа (II).

Чем меньше параметр g₅, тем больше величина

активных напряжений на начальном этапе разви-

тия миогенного тонуса. Численный анализ пока-

часть напряжений (рис. 2, линии 1(I) и 1(II)) со-

зал, что даже незначительное (на 3%) уменьше-

ответственно убывает.

ние этого параметра приводит к снижению ради-

Окружное растяжение в активированном со-

уса на 15% при отсутствии нагрузки, т.е. при p = 0.

суде также заметно меньше, чем в пассивном

Увеличение же g₅ даже на 3%, приводит к абсурд-

(рис. 3). В рассмотренном диапазоне давлений

ному результату: в активном сосуде в ненагру-

это различие растяжений увеличивается с ростом

женном состоянии радиус больше, чем после на-

внутрисосудистого давления. Активация снижает

гружения, т.е. при p > 0.

степень неоднородности окружных растяжений в

радиальном направлении, эта тенденция яснее

Коэффициент g₆ характеризует степень сжа-

прослеживается при большей степени активации

тия/расширения диапазона значений концентра-

(ср. линии 1(II) и 2(II) на рис. 3).

ции кальция, при котором напряжение в стенке

В активированном сосуде модуль отношения

увеличивается с ростом концентрации активато-

радиального напряжения к окружному имеет

ра: повышение/снижение g₆ сопровождается

Рис. 4. Зависимости |σ_r/σ_θ| от радиальной координаты в активном сосуде (а) при p = 5.3 кПа (I) и 10.7 кПа (II) и от

окружного растяжения в середине сосудистой стенки (б) в пассивном (1) и активном (2) сосудах.

БИОФИЗИКА том 66

№ 1

2021

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СТЕНКИ

163

Рис. 5. Влияние изменений g₆ на зависимость внутреннего радиуса (а) и окружного напряжения (б) в среднем слое

сосудистой стенки от давленияпри расчетном значении g₆ (сплошная линия), g₆ + 5% (1), g₆ + 20% (2), g₆ - 5% (3), g₆ -

20% (4).

сужением/расширением диапазона. С ростом g₆

ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

радиус сосуда до момента проявления миогенной

Представленная модель описывает активные

реакции увеличивается быстрее, а в результате ее

напряжения в стенке мелкого церебрального со-

развития становится меньше, чем при исходном

суда в предположении, что удлинение вдоль сосу-

значении g₆ (см. рис. 5а). Окружное и радиальное

да отсутствует, а сокращение гладкомышечных

напряжения незначительно меняются при не-

клеток происходит в одном (окружном) направ-

больших отклонениях g₆, изменение на 20% при-

лении. Зависимость активной составляющей

водит к бóльшим различиям (рис. 5б). Наиболее

окружного напряжения от растяжений f(λ_i) ис-

отчетливо различие проявляется при малых дав-

пользуется в виде, полученном из экспериментов

лениях, до развития миогенной реакции, но при

на свиных коронарных сосудах [4, 26]. Значения

p > 5 кПа в области давлений, где миогенная реак-

входящих в нее коэффициентов установлены ап-

ция «работает», относительное отклонение на-

проксимацией опытных данных для рассматри-

пряжения от исходного не превышает

5.5%.

ваемого сосуда. В предыдущих наших работах [21,

Изменение параметра g₆ больше чем на 20% при-

22] удалось получить функциональную зависи-

водит к результатам, не соответствующим экспе-

мость активного напряжения от C_Ca для малой

риментам.

артерии. Вид функции Ψ(C_Ca) оказался аналогич-

ным зависимости активного напряжения от кон-

Варьирование коэффициента g₇ сопровожда-

центрации внешнего кальция, полученной в ра-

ется сдвигом диапазона значений концентрации

ботах[11, 12] с привлечением кинетических урав-

кальция, при которых происходит рост σθ(a). И

нений для четырех состояний миозиновых

радиус сосуда, и окружное напряжение достаточ-

головок. В этих работах один из коэффициентов

но чувствительны к изменениям этого параметра

кинетических уравнений задавали как функцию

(см. рис. 6). При изменении g₇ лишь на 3% исче-

концентрации внешнего кальция, а зависимость

зает область давлений, где радиус практически не

активного напряжения от C_Ca получали в резуль-

меняется (рис. 6а, линии 1 и 3). В рассмотренном

тате вычислений. В описываемой здесь модели

диапазоне давлений 0÷13.3 кПа при росте g₇ради-

коэффициенты, входящие в σθ(a), определяли ап-

ус увеличивается в начале диапазона, а затем мо-

проксимацией опытных данных для малой арте-

нотонно снижается (рис. 6а, линии 1 и 2), при

рии. Соответствие представленной модели экспе-

уменьшении g₇ ниже расчетногозначения об-

риментальным данным показано на рис. 6а. Рас-

ласть давлений, при которых сосуд сужается, сме-

четная зависимость радиуса активного сосуда от

няется диапазоном, соответствующим расшире-

давления (рис. 6а, сплошная линия) проходит че-

нию сосуда (рис. 6а, линии 3 и 4).

рез экспериментальные точки.

БИОФИЗИКА том 66

№ 1

2021

164

ШАДРИНА

Рис. 6. Зависимости внутреннего радиуса (а) и окружного напряжения в среднем слое стенки (б) от давления при

расчетном значении g₇ (сплошная линия), g₇ + 3% (1), g₇ + 7% (2), g₇ - 3% (3), g₇ - 7% (4). Значками обозначены

экспериментальные точки.

Расчеты показали, что в результате активации

внутренней стенки [21, 22]. В описанной здесь ра-

существенно снижается окружное напряжение,

боте f является функцией растяжений λ_θ и λ_r. Если

его распределение в трансмуральном направле-

учесть, что в рассмотренном диапазоне давлений

нии становится более однородным, что согласу-

λ_θ и f изменяются однонаправлено, λ_θ убывает в

ется с выводами, полученными для крупных арте-

радиальном направлении (см. рис. 3) и влияние λ_θ

рий [4, 7, 15, 28]. Такой же результат был получен

на f(λ_θ,λ_r) является преобладающим, то различное

ранее для малой артерии, когда активную состав-

ляющую напряжения представляли функцией от-

поведение σ_θ(ξ) в описанной модели и в работах

носительного радиуса и C_Ca [21, 22]. Относитель-

[21, 22] вполне объяснимо.

но знака градиента окружного напряжения в ра-

Величина общего напряжения в стенке актив-

диальном направлении выводы разных авторов

ного сосуда определяется главным образом его

не совпадают. Рис. 1б и 2б демонстрируют сниже-

активной составляющей. С ростом концентрации

ние окружного напряжения в активном сосуде по

параметра активации увеличивается вклад актив-

мере удаления от внутренней стенки. Аналогич-

ной части напряжений в общее напряжение по

ный результат был получен на основе многомас-

сравнению с вкладом пассивной (рис. 2), они мо-

штабной модели, учитывающей и продольные де-

гут различаться на порядок (ср. линии 1(II) и 2(II)

формации [15]. Рассмотрение трехмерной моде-

на рис. 2б). По результатам расчетов для коронар-

ли, включающей описание свойств волокон

ных артерий [3] при λ_θ =1.24 активные напряже-

эластина, коллагена и гладкомышечных клеток

[3], показало, что знак радиального градиента

ния играют преобладающую роль в формирова-

окружного напряжения зависит от величины

нии общего напряжения, но их вклад несколько

окружного растяжения: при λ_θ = 1.24 зависимость

меньше, что можно объяснить тем, что в крупных

σ_θ(r₀) возрастающая, при λ_θ =1.6 - убывающая.

сосудах миогенная реакция Остроумова-Бейлис-

са менее значима (см. работу [29]). По результа-

Вычисления проводили для коронарных артерий

там той же работы [3] при бóльшем значении

свиньи. Для тех же сосудов при трехмерном рас-

смотрении двухслойной модели сосудистой стен-

окружного растяжения (λ_θ =1.6) доминирует пас-

ки получен положительный градиент окружного

сивная составляющая окружного напряжения,

напряжения в радиальном направлении [4]. Заме-

она становится больше активной. Как показано

тим, что в работах [3, 4] авторы рассматривали

на рис. 2, модуль радиального напряжения в стен-

максимально сокращенный сосуд, в нашем слу-

ке активного сосуда существенно меньше окруж-

чае степень активации была заведомо ниже. Для

ного, что отмечалось и для коронарных сосудов

малой артерии представление f в уравнении (6)

[3, 4, 15]. Продольная составляющая напряжения,

как функции относительного радиуса привело к

как следует из уравнений (3) и (4), в нашем случае

выводу о возрастании σ_θ по мере удаления от

равна множителю Лагранжа и мало отличается от

БИОФИЗИКА том 66

№ 1

2021

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СТЕНКИ

165

радиальной, тем не менее, выполняется неравен-

ляющей активного напряжения в отсутствие на-

ство |σ_r| < |σ_z|< σ_θ.

грузки. Поскольку при формулировании модели

полагалось, что остаточные напряжения отсут-

В результате активации окружное растяжение

ствуют, изменения g₅ приводят к результатам, не

в стенке уменьшается почти в два раза и стано-

вится более однородным (рис. 3). Как в неактиви-

имеющим физического смысла. Варьирование

рованном сосуде, так и после активации величи-

коэффициента g₆, регулирующего диапазон зна-

на окружного растяжения снижается по мере уда-

чений C_Ca, в котором активное напряжение рас-

ления от внутренней стенки. Такой же вывод был

тет с увеличением концентрации кальция, допу-

получен для коронарных сосудов человека с по-

стимо не более чем на 20%. При изменении g₆ на

мощью трехслойной анизотропной модели [10].

±20% изменение активной составляющей ради-

Учет остаточных напряжений дал противополож-

ального и окружного напряжений относительно

ный результат [4]: окружное растяжение λ_θ = r/r₀

своего значения при вычисленном g₆ составляет

увеличивается с приближением к внешней стен-

несколько десятков процентов для p ≤ 5.5 кПа, од-

ке. Это различие, по-видимому, связано со спо-

нако при бóльших p отклонение не превышает

собом определения радиуса сосуда в ненагружен-

5.4%.

ном состоянии r₀. Внутренний и внешний радиу-

Даже при незначительном (±3%) изменении

сы ненагруженного сосуда измеряются после его

параметра g₇ исчезает горизонтальный участок

продольного разрезания. После «раскрывания»

зависимости r(p) (рис. 6а). Увеличение g₇ приво-

сосуда внутренний радиус может оказаться боль-

ше внешнего.

дит к снижению радиуса в диапазоне давлений

5÷13 кПа после первоначального повышения при

При фиксированной концентрации кальция в

p < 5 кПа. Отсутствие измерений при p > 13 кПа не

сосудистой стенке модуль отношения радиально-

позволяет проследить изменение радиуса при бо-

го напряжения к окружному снижается по мере

лее высоких давлениях. Эксперименты на подоб-

приближения к внешней стенке (рис. 4а), где он

ных сосудах показали [30], что диапазон давле-

равен нулю. Таким образом, в наибольшей степе-

ний, в котором диаметр сосуда практически не

ни влияние радиального напряжения испытывает

меняется при продолжающемся увеличении кон-

внутренняя поверхность стенки. Обнаружено

центрации кальция, может составлять 11÷19 кПа.

увеличение параметра

|σ_r/σ_θ| с уменьшением

При изменении g₇ на ±7% отклонение окружного

окружного растяжения (рис. 4б), или с ростом ра-

напряжения от своего значения при g₇, соответ-

диального, поскольку при отсутствии продольно-

ствующем экспериментальным данным, может

го растяжения из уравнения (10) следует λ_r = λθ-1.

доходить до 35% (рис. 6б). Можно сделать вывод,

Увеличение параметра активации приводит к

что и радиус, и окружное напряжение подверже-

уменьшению λ_θ и усилению действия радиально-

ны существенным изменениям даже при малых

го напряжения на внутреннюю стенку сосуда.

(на несколько процентов) колебаниях значений

Рост модуля отношения радиального напряже-

коэффициентов g₅и g₇ в функции Ψ(C_Ca). Для g₆

ния к окружному в результате активации ранее

допустимы отклонения до 20%.

отмечался при рассмотрении двухслойной

модели для коронарной артерии [4]. Из этого сле-

дует, что с ростом степени активации увеличива-

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ется риск повреждения внутренней поверхности

Получено описание механических свойств

сосуда.

стенки резистивной мозговой артерии крысы в

Анализ чувствительности модели к колебани-

предположении, что сокращения гладкомышеч-

ям значений коэффициентов в функции Ψ(C_Ca)

ных клеток происходят только в окружном на-

правлении и растяжение вдоль сосуда отсутству-

относительно значений, соответствующих опи-

ет. Модель представляет собой развитие предше-

санным в [20] экспериментам, проводили с точки

ствующих работ [21, 22] и рассматривает активное

зрения соответствия статической зависимости

напряжение в сосудистой стенке как функцию

радиус-давление реакции Остроумова-Бейлисса,

растяжений и концентрации активатора сокра-

т.е. наличия «падающего» участка кривой r(p).

щений гладкомышечных клеток.

Расчеты показали, что наибольшей чувствитель-

Результаты вычисления компонентов напря-

ностью обладает коэффициент g₅, определяющий

жения показали преобладающую роль активной

величину активного напряжения при очень ма-

составляющей напряжения по сравнению с пас-

лых нагрузках. Снижение/повышение g₅приво-

сивной. Активация гладкомышечных клеток

дит к увеличению/снижению окружной состав-

приводит к более однородному трансмуральному

БИОФИЗИКА том 66

№ 1

2021

166

ШАДРИНА

распределению окружного напряжения и дефор-

9. G. A. Holzapfel and R. W. Ogden, J. R. Soc. Interface

маций в сосудистой стенке. Модуль отношения

7, 787 (2010). DOI: 10.1098/rsif.2009.0357

радиального напряжения к окружному суще-

10. R. Sanft, A. Power, and C. Nicholson, Math. Biosci.

ственно выше в активном сосуде по сравнению с

315, 108223 (2019). DOI: 10.1016/j.mbs.2019.108223

пассивным. С ростом окружного растяжения этот

11. M. Böl, A. Schmitz, G. Nowak, and T. Siebert, J.

параметр уменьшается как в пассивном, так и ак-

Mechan. Behav. Biomed. Mater. 13, 215 (2012). DOI:

тивном сосудах. Показано, что даже небольшие

10.1016/j.jmbbm.2012.05.015.

изменения параметров функции, описывающей

12. S. Murtada, M. Kroon, and G. A. Holzapfel, Biomech.

зависимость активной составляющей напряже-

Model. Mechanobiol.

749

(2010).

DOI:

ния от концентрации кальция, существенным об-

10.1007/s10237-010-0211-0

разом влияют на радиус и окружное напряжение.

Для более адекватного описания напряжения в

13. S. C. Murtada, A. Arner, and G. A. Holzapfel, J. Theor.

стенке резистивного сосуда необходимы новые

Biol. 297, 176 (2012). DOI: 10.1016/j.jtbi.2011.11.012.

экспериментальные данные для резистивных со-

14. S. C. Murtada and G. A. Holzapfel, J. Theor. Biol. 358,

судов, касающиеся как остаточных напряжений,

1 (2014). DOI: 10.1016/j.jtbi.2014.04.028

так и измерений при разных механических и хи-

15. S. C. Murtada, J. D. Humphrey, and G. A. Holzapfel,

мических воздействиях.

Biophys. J.

113,

714

(2017). DOI:

10.1016/

j.bpj.2017.06.017

ФИНАНСИРОВАНИЕ РАБОТЫ

16. К. Каро, Т. Педли, Р. Шротер и У. Сид, Механика

кровообращения, под ред. С. А. Регирера и В. М. Ха-

Работа выполнена при финансовой поддержке

ютина (Мир, М., 1981).

Программы фундаментальных научных исследо-

ваний государственных академий на 2013-2020

17. Г. П. Конради, Регуляция сосудистого тонуса (Нау-

гг. (ГП-14, раздел 64).

ка, Л., 1973).

18. B. E. Carlson, J. C. Arciero, and T. W. Secomb, Amer.

J. Phys. Heart Circ. Phys. 295, H1572 (2008). DOI:

КОНФЛИКТ ИНТЕРЕСОВ

10.1152/ajpheart.00262.2008.

Автор заявляет об отсутствии конфликта инте-

19. E. VanBavel and B. G. Tuna, PloS One 9 (1), e86901

ресов.

(2014). DOI: 10.1371/journal.pone.0086901

20. H. J. Knot and M. T. Nelson, J. Physiol. 508 (1), 199

СОБЛЮДЕНИЕ ЭТИЧЕСКИХ СТАНДАРТОВ

(1998). DOI: 10.1111/j.1469-7793.1998.199br.x

Настоящая работа не содержит описания ис-

21. Н. Х. Шадрина, Биофизика 63 (4), 795 (2018).

следований с использованием людей и животных

22. Н. Х. Шадрина, Изв. РАН. Механика жидкости и

в качестве объектов.

газа,

№

(2020)

DOI:

10.31857/

S0568528120020115.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

23. E. D. Hogestätt, K.-E. Andersson, and L. Edvinsson,

Acta Physiol. Scand.

117,

(1983).

DOI:

1. В. М. Хаютин и А.Н. Рогоза, в кн. Физиология кро-

10.1111/j.1748-1716.1983.tb07178.x

вообращения. Регуляция кровообращения, ((Наука,

24. G. Gabella, J. Ultrastruct. Res. 84 (1), 24 (1983). DOI:

Л., 1986), сс. 37-67.

10.1016/s0022-5320(83)90083-7

2. B. Zhou, A. Rachev, and T. Shazly, J. Mech. Behav.

Biomed. Mater.

48,

(2015).

DOI:

25. G. E. Sleek and B. R. Duling, Circ. Res. 59, 620 (1986)

10.1016/j.jmbbm.2015.04.004

DOI: 10.1161/01.res.59.6.620

3. H. Chen and G. S. Kassab, Sci. Rep. 7 (1), 9339 (2017).

26. Y. Huo, X. Zhao, Y. Cheng, et al., J. Appl. Physiol. 114,

DOI: 10.1038/s41598-017-08748-7

1451

(1985). DOI:

10.1152/japplphysiol.01237.2012

(2013)

4. Y. Lu, J.Wu, Y. Li, J. Gong, G.S. Ma, Y. Kassab,

W. Huo, Y. Tan, Y. Huo, Sci. Rep. 7 (1), 13911 (2017).

27. G. L. Baumbach, J. G. Walmsley, and M. N. Hart, Am.

DOI: 10.1038/s41598-017-14276-1

J. Pathol. 133 (3), 464 (1988).

5. G. A. Holzapfel and R.W. Ogden, Proc. Roy. Soc. A

28. M. A. Zulliger, A. Rachev, and N. Stergiopulos, Am. J.

466, 1551 (2010). DOI: 10.1098/rspa.2010.0958

Physiol. Heart Circ. Physiol. 287, H1335 (2004) DOI:

6. J. Kim and J. E. Wagensell, Ann. Biomed. Eng. 43 (7),

10.1152/ajpheart.00094.2004

1477 (2015). DOI: 10.1007/s10439-014-1201-7

29. В. А Левтов и С. А. Регирер, в кн. Физиология кро-

7. G. A. Holzapfel and R. W. Ogden, Am. J. Physiol.

вообращения. Физиология сосудистой системы, под

Heart Circ. Physiol.

315: H540

(2018). DOI:

ред. Б. И. Ткаченко (Наука, Л., 1984), сс. 94-140.

10.1152/ajpheart.00117.2018

30. G. Osol, J. F. Brekke, K. McElroy-Yaggy, and

8. H. Chen, T. Luo, X. Zhao, et al., Biomaterials 34, 7575

N. I. Gokina, Am. J. Physiol. Heart Circ. Physiol. 283,

(2013). DOI: 10.1016/j.biomaterials.2013.06.035

H2260 (2002).

БИОФИЗИКА том 66

№ 1

2021