БИОФИЗИКА, 2021, том 66, № 3, с. 597-604

БИОФИЗИКА СЛОЖНЫХ СИСТЕМ

УДК 616.892

МУЛЬТИФРАКТАЛЬНЫЙ И ВЕЙВЛЕТНЫЙ АНАЛИЗ ИЗМЕНЕНИЯ

СТРУКТУРЫ ПАТТЕРНОВ НЕПРОИЗВОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

РУКИ ЧЕЛОВЕКА ПРИ БОЛЕЗНИ ПАРКИНСОНА

Институт физиологии им. И.П. Павлова РАН, 199034, Санкт-Петербург, наб. Макарова, 6

E-mail: dickviola@gmail.com

Поступила в редакцию 07.07.2020 г.

После доработки 07.07.2020 г.

Принята к публикации 20.07.2020 г.

С помощью методов вейвлетного и мультифрактального анализа показано, что при двигательных

нарушениях в структуре паттернов непроизвольных колебаний руки человека, возникающих в про-

цессе выполнения им двигательной задачи, появляются перестройки, сопровождающиеся возник-

новением долговременных корреляций между последовательными значениями этих колебаний.

Эти перестройки являются причиной значительного повышения амплитуды непроизвольных коле-

баний руки человека с болезнью Паркинсона, по сравнению с такими колебаниями руки здорового

человека. Механизм возникновения коррелированной динамики связан с повышением вклада

сильных флуктуаций последовательных значений непроизвольных колебаний. Уменьшение ам-

плитуды этих колебаний и энергии их вейвлетного спектра на фоне приема антипаркинсонических

препаратов сопровождается уменьшением долговременных корреляций и смещением мультифрак-

тальных характеристик в диапазон, характерный для здорового человека.

Ключевые слова: непроизвольные колебания руки человека, паркинсонический тремор, вейвлет,

мультифрактальность.

DOI: 10.31857/S0006302921030212

При выполнении человеком определенных

Поскольку возникающие непроизвольные ко-

двигательных задач, например, при поддержании

лебания существенно нестационарны, для их

усилия пальцами руки возникают непроизволь-

анализа подходят концепции вейвлетов и мульти-

ные колебания (тремор). У здорового человека

фрактальности, с помощью которых можно полу-

эти непроизвольные колебания имеют малую ам-

чить информацию об изменении частотных ха-

плитуду и не мешают выполнению задачи [1].

рактеристик сигнала во времени и вычислить

Разброс частот непроизвольных колебаний в диа-

спектр фрактальных размерностей [6-10]. Акту-

пазоне от 7 до 20 Гц, характерный для здорового

альность таких подходов с теоретической точки

человека, свидетельствует об асинхронности раз-

зрения обусловлена необходимостью понимания

рядов мотонейронов [2]. При двигательных нару-

того, каким образом происходят изменения в

шениях возникает патологический тремор, кото-

структуре паттернов колебаний при возникнове-

рый мешает выполнению двигательной задачи и

нии патологического состояния, а с практиче-

имеет большую амплитуду, по сравнению с фи-

ской точки зрения - тем, что клиническая ме-

зиологическим тремором, что объясняется воз-

дицина нуждается в разработке эффективных

растающей синхронизацией мотонейронов [3].

алгоритмов, применимых для достоверной диа-

Известно, что различным частотам соответству-

гностики состояния пациента.

ют специфические уровни регуляции движения-

ми. Например, у пациентов с болезнью Паркин-

Целью настоящей работы является примене-

сона в частотном спектре отсутствуют частоты,

ние методов вейвлетного и мультифрактального

превышающие 12 Гц [4]. Возвращение этих ча-

анализа для определения биофизического меха-

стот в спектр после приема препаратов, уменьша-

низма, лежащего в основе изменения структуры

ющих паркинсонические симптомы, свидетель-

паттернов непроизвольных колебаний руки чело-

ствует о важности высокочастотного диапазона в

века при двигательных нарушениях у лиц с дро-

выполнении двигательной функции [5].

жательной формой болезни Паркинсона.

597

598

ДИК

МЕТОДЫ

зисного вейвлета, растягивающегося во вре-

мени и сдвигающегося на некоторое расстоя-

Были проанализированы характеристики не-

произвольных колебаний руки одиннадцати здо-

ние [12]:

ровых испытуемых в возрасте от 47 до 56 лет и

+∞

одиннадцати пациентов с болезнью Паркинсона

W(a,b)

(

)

xt) ψ

((t

−

a)dt,

с двусторонними проявлениями тремора в воз-

∫

-∞

расте от 46 до 63 лет при выполнении ими двига-

тельной задачи, состоящей в поддержании уси-

где a - параметр масштаба, b - параметр времен-

лия пальцами руки. Двигательная задача заклю-

ного сдвига, ψ((t - b)/a) - вейвлет-функция, по-

чалась в управлении напряжением мышц с

лученная из базисного вейвлета ψ(t), символ *

возможностью слежения за величиной усилия по

означает комплексное сопряжение. Cмещение

смещению меток на экране монитора. Данные

вейвлета вдоль сигнала дает возможность обнару-

были предоставлены клиникой Института мозга

жить изменение во времени частоты сигнала

человека им. Н.П. Бехтеревой РАН.

f = 1/a.

Удаление медленного тренда из анализируе-

В качестве базисного вейвлета в работе ис-

мых данных осуществлялось с помощью адаптив-

пользовался вейвлет Морле:

ного метода (the adaptive detrending method) [11].

К не содержащим тренд непроизвольным колеба-

−14

ψ(t)

=π

exp(-0.5t

)

(

exp(iω

)- exp(-0.5ω

)

ниям были применены методы вейвлетного и

мультифрактального анализа.

в соответствии с которым вейвлетное преобразо-

Метод вейвлетного анализа основан на

вание сигнала x(t) вычислялось в следующем

разложении сигнала x(t) по набору копий ба- виде:

∞

-1/4

W(f,b)

=π

x(t)exp(-0.5(t

−

)(exp(− π

−

)

)dt

∫

−∞

Величина квадрата модуля вейвлетного преоб-

n, разбиение повторялось, начиная с противопо-

ложного конца, в итоге получалось 2m интер-

разования |W(f,b)|² определяет локальный вей-

валов;

влетный спектр энергии сигнала в момент време-

ни b, т.е. мгновенное распределение энергии по

3) для каждого из интервалов полученную по-

частотам f.

следовательность аппроксимировали прямой по

Для оценки энергии вейвлетного спектра ис-

методу наименьших квадратов, в результате чего

пользовался интеграл

определялся локальный тренд v_s(i) в пределах вы-

бранного интервала,

E f)

= ∫W f,b)

db,

4) далее определяли отклонения вычис-

ленных последовательностей относительно

определяющий усредненное по времени распре-

локального тренда для каждого интервала

деление энергии спектра по частотам на заданном

s = 1,…, m и s = m+1,…, 2m:

временном интервале [t₁, t₂].

Для оценивания мультифрактальности сигна-

F n,s)

[y((

−

1)n + i

)

−

v i)]

ла применялся метод анализа флуктуаций отно-

∑

i=1

сительно тренда [13]. Алгоритм этого метода со-

стоит из следующей последовательности проце-

F n,s)

[y((

−

(s - m

)n + i)

−

v i)]

дур:

∑

i=1

1) для исходного ряда значений

{

x(t

)

i=1

5) вычисляли функцию флуктуаций F_q(n) q-го

вычислялась последовательность, состоящая

порядка:

⌢

из накопленных отклонений от среднего

⎪

q/2

⎪

F n

=⎨

∑

[F n,s)]

⎬

yi)

(

−

x),

,…,N;

∑

⎩2m

⎭

k=1

2) эта последовательность разбивалась на

6) вычисления повторяли для других значений

m = N/n неперекрывающихся интервалов длины длины интервала n от 5 до 100.

БИОФИЗИКА том 66

№ 3

2021

МУЛЬТИФРАКТАЛЬНЫЙ И ВЕЙВЛЕТНЫЙ АНАЛИЗ

599

Рис. 1. Зависимости экспонент Гельдера h(q) и спектры сингулярности D(h) для сигнала, в котором последовательные

значения коррелированы (а, б), и для сигнала, в котором последовательные значения антикоррелированы (в, г).

В силу того, что при увеличении длины интер-

Основной вклад в спектр сингулярности D(h)

вала n значение F_q(n) возрастает по степенному

при q > 0 дают паттерны, проявляющие большие

флуктуации, а при q < 0 доминируют паттерны с

закону:

малыми флуктуациями [14, 15]. При этом поло-

жение спектра сингулярности D(h) дает инфор-

Fq(n) ~ nh(q),

мацию о степени коррелированности последова-

тельных значений сигнала, поскольку значения

экспоненту Гельдера h(q) вычисляли как угловой

экспонент Гельдера h < 0.5 соответствуют анти-

коэффициент прямой, определяющей зависи-

коррелированной динамике, в то время как зна-

мость log F_q(n) от log n.

чения h > 0.5 - коррелированной [15].

Известно, что линейная зависимость h(q) дает

Например, для сигнала, чей спектр сингуляр-

постоянное значение экспоненты Гельдера h для

ности D(h) представлен на рис. 1б, последова-

монофрактальных сигналов, а нелинейная

тельные значения сигнала коррелированы, об

множество экспонент Гельдера для мультифрак-

этом свидетельствует нахождение спектра в обла-

тальных сигналов, называемое спектром сингу-

сти значений экспонент Гельдера h > 0.5. Корре-

лярности D(h) [14]. Ширина этого спектра Δh ха-

лированность последовательных значений сигна-

рактеризует степень мультифрактальности ана-

ла означает, что с большей вероятностью за боль-

лизируемого сигнала, т.е. чем больше величина

шим значением сигнала следует большее, и на-

Δh, тем выше степень его мультифрактальности.

оборот. Для сигнала, спектр сингулярности D(h)

БИОФИЗИКА том 66

№ 3

2021

600

ДИК

Рис. 2. Непроизвольные колебания руки здорового человека (а) и больного с дрожательной формой болезни

Паркинсона (б). Проекции вейвлетных спектров |W(f,b)|² для этих колебаний (в, г) и усредненное по времени

распределение энергии вейвлетного спектра по частотам (д, е).

которого представлен на рис. 1г, последователь-

РЕЗУЛЬТАТЫ

ные значения антикоррелированы (h < 0.5), это

означает, что с большей вероятностью за боль-

Непроизвольные колебания руки здорового

шим значением сигнала следует малое. В случае

человека (физиологический тремор) при выпол-

если динамика является одновременно коррели-

нении им двигательной задачи и паркинсониче-

рованной и антикоррелированной, спектр сингу-

ский тремор руки человека с болезнью Паркин-

лярности будет находиться в интервале 0 < h < 1.

сона приведены на рис. 2а и 2б соответственно.

Амплитуда паркинсонического тремора до прие-

При этом в спектр сингулярности D(h), пред-

ма больным антипаркинсонического препарата

ставленный на рис. 1б, вносят вклад как сильные

флуктуации (при q > 0), так и слабые флуктуации

накома (комбинация леводопы с карбидопой в

дозе 250/25 мг) в два с половиной раза превышает

(при q < 0), а для спектра сингулярности D(h),

амплитуду физиологического тремора. Мгновен-

представленного на рис. 1г, доминируют слабые

флуктуации, потому что при q > 0 значения h

ные распределения энергии тремора по частотам

близки к нулю (рис. 1в).

|W(f, b)|²и интегральные распределения энергии

Как отмечается в работах [14, 15], мультифрак-

вейвлетного спектра E(f) позволяют определить

тальный анализ позволяет оценивать корреляци-

значительное повышение энергии вейвлетного

онные свойства сигнала даже при сравнительно

спектра паркинсонического тремора, по сравне-

не очень длинных записях, что является несо-

нию с тремором физиологическим (рис. 2в-е).

мненным преимуществом этого метода нелиней-

Проекция локального вейвлетного спектра не-

ной динамики.

произвольных колебаний руки здорового челове-

ка демонстрирует множество максимумов на ча-

Отметим, что простое увеличение амплитуды

стотах в диапазоне от 4 до 16 Гц (рис. 2в) и яркую

сигнала без каких-либо перестроек стуктуры сиг-

полосу в диапазоне частот от 5 до 7 Гц для тремора

нала не изменит степени его мультифрактально-

сти. Поэтому предварительное выявление изме-

больного паркинсонизмом (рис. 2г). Максимум

нения частотной структуры сигнала с помощью

энергии вейвлетного спектра E_max для паркинсо-

вейвлетного анализа важно для последующей

нического тремора имеет на два порядка боль-

оценки изменения его мультифрактальности.

шую величину, чем максимум энергии спектра

БИОФИЗИКА том 66

№ 3

2021

МУЛЬТИФРАКТАЛЬНЫЙ И ВЕЙВЛЕТНЫЙ АНАЛИЗ

601

Рис. 3. Усредненные зависимости h(q) и спектры сингулярностей D(h) физиологического и паркинсонического

тремора (а, б) и паркинсонического тремора до и после приема антипаркинсонического препарата (в, г).

физиологического тремора (≈0.3 и ≈0.001 соответ-

колебаний руки в случае наличия у человека дви-

ственно) (рис. 2д,е).

гательной патологии. Это уменьшение ширины

спектра для паркинсонического тремора, по

На рис. 3 представлены усредненные (по те-

сравнению с физиологическим тремором, проис-

стируемым) зависимости экспоненты Гельдера от

ходит за счет роста вклада сильных флуктуаций,

момента q (кривые h(q)) и cпектры сингулярности

поддерживающих при положительных значениях

D(h) для физиологического и паркинсонического

q ненулевое значение экспоненты Гельдера

тремора. Форма кривых указывает на мульта-

(h ≈ 0.5) (рис. 3а,б).

фрактальность как физиологического, так и

паркинсонического тремора. При этом непроиз-

Широкий спектр сингулярности физиологи-

вольные колебания руки здорового человека, воз-

ческого тремора соответствует как антикоррели-

никающие при выполнении поставленной двига-

рованной динамике последовательных значений

тельной задачи, характеризуются большей, по

тремора (при h < 0.5), так и коррелированной ди-

сравнению с тремором руки больного паркинсо-

намике (при h > 0.5). Для паркинсонического тре-

низмом, шириной спектра сингулярности

мора характерно исчезновение антикоррелиро-

(рис. 3б). Уменьшение ширины спектра сингу-

ванной динамики и возникновение исключи-

лярности для паркинсонического тремора пока-

тельно коррелированных последовательных

зывает уменьшение неоднородности и снижение

значений тремора (h > 0.5). Увеличение степени

степени мультифрактальности непроизвольных

коррелированности последовательных значений

БИОФИЗИКА том 66

№ 3

2021

602

ДИК

Сравнение средних значений характеристик тремора руки здоровых добровольцев и пациентов с болезнью

Паркинсона до и после приема последними антипаркинсонического препарата

Клинические проявления

Тремор

Рука

E_max × 10^-4

Δh

тремора

правая

4.5 ± 0.3

0.85 ± 0.08

Физиологический

нет

левая

6.8 ± 0.2

0.92 ± 0.08

правая

2567 ± 176

0.47 ± 0.04

Паркинсонический

да

левая

2391 ± 156

0.43 ± 0.04

правая

6.2 ± 0.1

0.71 ± 0.07

Паркинсонический после

нет

препарата (68 ± 6% лиц)

левая

8.2 ± 0.3

0.76 ± 0.07

правая

1870 106

0.44 ± 0.04

Паркинсонический после

да

препарата (32 ± 3% лиц)

левая

1787 ± 92

0.53 ± 0.05

Примечание: достоверность различий между двумя средними величинами составляет не менее 95% (p < 0.05).

тремора является причиной значительного повы-

менее 95% (p < 0.05, тест Манна-Уитни). Стати-

шения амплитуды паркинсонического тремора и

стически значимые отличия между состояниями

энергии его вейвлетного спектра.

(паркинсонический или физиологический тре-

мор) выявлялись по величине максимума энер-

На рис. 3в,г представлены усредненные кри-

гии вейвлетного спектра тремора E_max и по значе-

вые h(q) и cпектры сингулярности D(h) для для

нию ширины Δh спектра сингулярности.

непроизвольных колебаний руки во время вы-

полнения двигательной задачи пациентами с бо-

Для непроизвольных колебаний руки здорово-

лезнью Паркинсона до и через три часа после

го человека ширина спектра сингулярности име-

приема антипаркинсонического препарата. По-

ла максимальные значения (Δh > 0.8), а энергия

сле приема препарата наблюдается увеличение

вейвлетного спектра тремора - минимальные

ширины спектра сингулярности, т.е повышение

(E_max≈ 5⋅10^-4). Для тремора пациентов с болез-

степени мультифрактальности, и преимуще-

нью Паркинсона, наоборот, ширина спектра

ственное смещение спектра сингулярности в диа-

сингулярности минимальна (Δh < 0.5), а энергия

пазон значений экспонент Гельдера h < 0.5, т.е. в

вейвлетного спектра - намного больше энергии

сторону антикоррелированной динамики после-

спектра физиологического тремора (E_max≈ 2⋅10^-1).

довательных значений тремора (рис. 3г). Это обу-

словлено уменьшением вклада сильных флуктуа-

Исчезновение клинических признаков пато-

ций, приводящем к уменьшению долговремен-

логического тремора на фоне приема антипар-

ных корреляций (рис. 3в).

кинсонических препаратов, регистрируемое в

среднем у 68 ± 6% пациентов с болезнью Паркин-

Подобная динамика вейвлетных и мульти-

сона, сопровождалось приближением мульти-

фрактальных характеристик наблюдалась на фо-

фрактальных и вейвлетных параметров к значе-

не антипаркинсонического лечения не менее чем

ниям, характерным для здоровых лиц

для 60% лиц с болезнью Паркинсона. Обобщен-

ные сравнительные данные, касающиеся измене-

(E_max ≈ 6⋅10^-4 и Δh ≈ 0.7). Для 32 ±3 % пациентов

ния вейвлетных и мультифрактальных парамет-

через 3 ч после приема лекарственного препарата

ров непроизвольных колебаний руки здоровых

энергия вейвлетного спектра тремора или не сни-

добровольцев и лиц с болезнью Паркинсона до и

жалась, или снижалась в меньшей степени, а

после приема последними антипаркинсониче-

мультифрактальные параметры, увеличиваясь, не

ского препарата представлены в таблице. Досто-

достигали физиологических значений. Это кор-

верность различий между двумя средними вели-

релировало с отсутствием у этих пациентов пол-

чинами для здоровых тестируемых и больных до

ного исчезновения клинических проявлений тре-

приема лекарственного препарата составляла не

мора.

БИОФИЗИКА том 66

№ 3

2021

МУЛЬТИФРАКТАЛЬНЫЙ И ВЕЙВЛЕТНЫЙ АНАЛИЗ

603

Таким образом, клинические проявления пар-

нейрофизиологу З.А. Алексанян (Институт мозга

кинсонического тремора коррелировали, во-

человека им. Н.П. Бехтеревой РАН).

первых, со значительным повышением энергии

вейвлетного спектра и, во-вторых, с уменьшени-

ФИНАНСИРОВАНИЕ РАБОТЫ

ем ширины спектра сингулярности. При этом

улучшение функционального состояния (сниже-

Работа выполнена при финансовой поддержке

ние амплитуды патологического тремора) соот-

Программы фундаментальных научных исследо-

ветствовало уменьшению долговременных кор-

ваний государственных академий на

2013-

реляций и смещению спектра сингулярности в

2020 гг. (ГП-14, раздел 64).

диапазон значений экспонент Гельдера, харак-

терный для тремора руки здорового человека.

КОНФЛИКТ ИНТЕРЕСОВ

Уменьшение степени мультифрактальности,

обнаруженное для паркинсонического тремора,

Автор заявляет об отсутствии конфликта инте-

связано с уменьшением динамической сложно-

ресов.

сти, по сравнению с тремором физиологическим

[10]. Динамическая сложность тремора руки здо-

рового человека связана с расширением диапазо-

СОБЛЮДЕНИЕ ЭТИЧЕСКИХ СТАНДАРТОВ

на коррелированных и антикорелированных по-

Все процедуры, выполненные в исследовании

следовательных значений непроизвольных коле-

с участием людей, соответствовали этическим

баний, в отличие от паркинсонического тремора,

стандартам Хельсинкской декларации 1964 г. и ее

для которого характерна только коррелированная

последующим изменениям. От всех участников

динамика. Как известно, при долговременных

предварительно было получено информирован-

корреляциях уровень случайного фактора снижа-

ное добровольное согласие на участие в исследо-

ется, а колебательный процесс сохраняет тренд

вании.

[14], что может лежать в основе повышения дол-

говременной памяти при паркинсоническом по-

вреждении управления движениями. Таким обра-

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

зом, мультифрактальный анализ позволяет вы-

1. R. J. Elble, Clin. Neurophysiol. 114, 624 (2003).

явить механизм, лежащий в основе изменения

структуры паттернов непроизвольных колебаний

2. S. Grillner, Nature Rev. Neurosci. 4, 573 (2003).

руки человека при двигательных нарушениях.

3. J. H. McAuley and C. D. Marsden, Brain 123, 1545

(2000).

4. B. Hellwig, P. Mund, B. Schelter, et al., Clin. Neuro-

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

physiol. 120, 431 (2009).

Возникновение исключительно коррелиро-

5. J. H. McAuley, J. C. Rothwell, and C. D. Marsden,

ванной динамики последовательных значений

Exp. Brain Res. 114, 525 (1997).

непроизвольных колебаний руки при выполне-

нии определенной двигательной задачи является

6. J. Stam, Clin, Neurophysiol. 116, 2266 (2005).

причиной значительного повышения амплитуды

7. O. E. Dick and I. A. Mochovikova, in Chaos Theory:

паркинсонического тремора и энергии его вей-

Modeling, Simulation and Applications, Ed. by

влетного спектра. В основе механизма возникно-

C. H. Skiadas, I. Dimotikalis, and C. Skiadas (World

вения коррелированной динамики лежит увели-

Scientific Publishing, 2011), pp. 159-166.

чение вклада сильных флуктуаций последова-

8. O. E. Dick and I. A. Svyatogor, Neurocomputing 82,

тельных значений тремора.

207 (2012).

Исчезновение клинических признаков тремо-

9. G. E. Polychronaki, P. Y. Ktonas, S. Gatzonis, et al., J.

ра на фоне приема антипаркинсонических препа-

Neural Engineer. 7, 60 (2010).

ратов сопровождается уменьшением долговре-

10. O. E. Dick, Neurocomputing 243, 142 (2017).

менных корреляций, что приводит к смещению

спектра сингулярности в диапазон антикоррели-

11. J. Hu, J. B. Gao, and X. S. Wang, J. Stat. Mech. 1, 2066

рованных последовательных значений, характер-

(2009).

ный для тремора руки здорового человека. Эти

12. A. Grinsted, J. C. Moor, and S. Jevrejeva, Nonlinear

особенности в изменениях паттернов тремора да-

Process. Geophys. 11, 561 (2004).

ют возможность количественно оценить степень

13. J. W. Kantelhardt, S. A. Zschiegner, E. Koscielny-

двигательных нарушений.

Bunde, et al., Physica A 316, 87 (2002).

14. А. Н. Павлов и В. С. Анищенко, Успехи физ. наук

БЛАГОДАРНОСТИ

177, 859 (2007).

Автор выражает признательность за предо-

15. Y. Xu, Q. D. Y. Ma, D. T. Schmitt, et al., Physica A

ставленные экспериментальные данные врачу-

390, 4057 (2011).

БИОФИЗИКА том 66

№ 3

2021

604

ДИК

Multifractal and Wavelet Analysis of Changes in the Structure of Patterns of Involuntary

Oscillatory Hand Movements in Parkinson Individual

O.E. Dick

Pavlov Institute of Physiology, Russian Academy of Sciences, nab. Makarova 6, St. Petersburg, 199034 Russia

Using the methods of wavelet and multifractal analysis, it was shown that alterations in oscillatory activity,

accompanied by the appearance of long-term correlations between successive values of these oscillations oc-

cur as the result of movement disorders in the structure of patterns of involuntary oscillatory hand movements

arising during the performance of a motor task. These alterations cause a significant increase in the amplitude

variation of involuntary oscillatory hand movements in the individual with Parkinson’s disease, compared to

healthy individuals. The mechanism of the appearance of correlated dynamics is associated with an increase

in the contribution of strong fluctuations of successive values of involuntary oscillations. A decrease in the

amplitude variation of these oscillations and the energy of their wavelet spectrum in association with antipar-

kinsonian drugs is accompanied by a decrease in long-term correlations and multifractal characteristics tend

to be attributed to the range characteristic of healthy individuals.

Keywords: involuntary oscillatory hand mpvements, Parkinson's tremor, wavelet, multifractality

БИОФИЗИКА том 66

№ 3

2021