БИОФИЗИКА, 2021, том 66, № 5, с. 1005-1014
БИОФИЗИКА СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
УДК 574.14
К ВОПРОСУ О САМООРГАНИЗАЦИИ ПРОЦЕССОВ ИЗМЕНЕНИЯ
ЧИСЛЕННОСТИ НАСЕЛЕНИЯ ЗЕМЛИ
© 2021 г. С.О. Гладков
Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет),
125993, Москва, Волоколамское шоссе, 4
E-mail: sglad51@mail.ru
Поступила в редакцию 21.12.2020 г.
После доработки 25.01.2021 г.
Принята к публикации 26.01.2021 г.
Предложена новая математическая модель из тематики задач «хищник-жертва». Строго аналитиче-
ски дан вывод системы нелинейных дифференциальных уравнений, качественно правильно опи-
сывающих динамику поверхностной концентрации населения Земли с учетом основных факторов
«обрезания», влияющих на ее пространственно-временную эволюцию. С помощью предложенной
модели показано, что вначале численность населения Земли имеет тенденцию к возрастанию, а за-
тем, в силу открытости системы, после достижения максимума, начинает убывать. Этот факт под-
твержден строгим математическим и численным расчетом.
Ключевые слова: самоорганизация и саморегуляция, модель «хищник-жертва», нелинейная динамика,
концентрация популяций.
DOI: 10.31857/S0006302921050203
Задача, о которой пойдет речь, относится к об-
альном обществе до уровня простого замещения
щим проблемам теоретической биофизики, глав-
поколений. Кроме того, не стоит сбрасывать со
ная тенденция которых имеет ярко выраженное
счетов и гендерный фактор, обуславливающий
направление к области математических проблем,
рост частично бесплодного процента людей в че-
характеризуемых вполне понятной терминологи-
ловеческой популяции, связанный с психически-
ей «хищник-жертва».
ми заболеваниями и ослаблением интеллекта,
вызываемыми чисто искусственным путем. От-
Подобный тип задач изучается уже примерно в
меченные факторы напрямую связаны с мысли-
течение двух столетий, и одними из самых первых
тельным процессом, но не инстинктивным, как у
работ в этом направлении по праву считаются ра-
животных. К примеру, если взять гендерный фак-
боты Г. Ферхюльста [1-3], в которых было пред-
тор, внесенный в сознание человечества искус-
ложено модельное описание эволюционного раз-
ственно или иначе, насильственно, то в этом пла-
вития определенного класса индивидов. В рамках
не он никак уже не может считаться естествен-
этой модели были учтены как естественный при-
ным.
рост популяции, так и ее естественная убыль из-
за гибели вследствие вероятной встречи с хищни-
Главной целью настоящего сообщения явля-
ками.
ется доказательство того, что рост человечества
является саморегулируемым и самоорганизован-
К подобного рода проблемам относится и за-
ным (пренебрегая интеллектуально создаваемы-
дача, связанная с выяснением характерной дина-
ми насильственными факторами и исключая так-
мики развития численности населения Земли в
условиях учета разнообразных естественных и ис-
же инопланетное вмешательство) процессом, ко-
кусственных факторов, обрезающих демографи-
торый диктуется лишь условиями хаоса,
естественными при развитии любой биологиче-
ческий рост нашей популяции. К ним можно от-
ской системы (см. Приложение).
нести, например, такие понятия, как интеллекту-
альный фактор, учитывающий развитие науки,
Здесь необходимо понимать, что Земля пред-
техники и технологий и приведший к «зеленой
ставляет собой уникальный объект для изучения
революции» и к «индустриальному птицевод-
развития популяций в экологически открытой и
ству», а также социально-биологический фактор,
эволюционирующей по своим законам системе,
породивший демографический переход, а имен-
которая изначально была организована таким об-
но быстрое снижение рождаемости в индустри-
разом, что в процессе многовековой эволюции на
1005
1006
ГЛАДКОВ
ней постепенно стала появляться биологическая
как, скажем, оживание различных дремавших до
жизнь. В этой связи вполне прозрачным, на наш
определенного момента времени микроорганиз-
взгляд, является такое понятие, как эволюцион-
мов и вирусов, замороженных в арктических
ное развитие человечества в результате естествен-
льдах и оттаявших благодаря потеплению клима-
ного размножения. Поэтому сразу же возникает и
та Земли.
вопрос: а почему рост человечества должен
Если придерживаться несостоятельной (как
длиться до бесконечности? Ответ кроется в дру-
сейчас говорится) теории Т. Мальтуса, в которой
гом встречном вопросе, а почему никого не бес-
основным «тормозящим» фактором роста чис-
покоит, например, факт того, что, скажем, попу-
ленности населения считалось ограниченное ко-
ляция волков не может расти до бесконечности?
личество пищи, то надо заметить, что в те времена -
Совершенно понятно, что человек, вмешиваясь в
в XVIII веке - это предположение было основано
Природу, сам начинает их уничтожение, однако,
на утверждении, что народонаселение растет в
это действие вполне равносильно такому поня-
геометрической прогрессии, а прирост пищи - в
тию, как насилие. В этой связи становится абсо-
арифметической. Действительно, с этим можно
лютно понятным, что если пустить развитие все
было бы согласиться, но только с существенной
тех же волков на самотек, не вмешиваясь в их
поправкой, что речь об этом шла в эпоху сильно
жизнь, то их популяция, достигнув определенно-
отсталого в плане интеллектуального развития
го порога, дальше расти не будет. Связано же это
малообразованного общества. Придерживаясь
будет с тем, что даже при их миграции в другие
современного уровня развития сельскохозяй-
места, где более благоприятные условия, они не
ственной науки, можно абсолютно уверенно
смогут выжить, поскольку и на новом месте будет
утверждать, что вполне реально добиться, чтобы
действовать естественный, подчеркнем (а не на-
количество произведенной пищи могло также
сильственный благодаря кому-то), «обрезающий
расти в геометрической прогрессии, пропорцио-
фактор». Переселение на следующее новое место
нально росту народонаселения. Другое дело, что
обитания не улучшит ситуацию, а приведет к то-
для этого необходимо сильно напрягаться, что не
му же эффекту, но только с еще большей скоро-
всем по вкусу, и куда проще ввести искусственно
стью ухода из нее ввиду сильно возросшей их чис-
обрезающие рост популяций факторы в виде, на-
ленности. То есть, в конце концов, они начнут
пример, гендерных.
уничтожать себя сами, что является вполне ло-
В этой связи еще раз подчеркну, что в Прило-
гичным, например, для такой популяции, как
жении строго математически обоснована общая
крысы. Совершенно понятно, что уменьшение их
биологическая модель, придерживаясь которой, в
популяции будет происходить ровно до такого
частных случаях получаются и уравнение Воль-
критического уровня, пока их количество не вый-
терра-Лотки, и Ферхюльста, и наша система
дет на ту предельную концентрацию, которая
уравнений (1), исследованию которой и посвя-
позволит им балансировать на грани жизни и
щена настоящая статья.
смерти, т.е. выживать. Этот абстрактный пример
представляет собой идеальную полностью за-
мкнутую и изолированную биологическую систе-
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.
му. В реальности, однако, идеальных систем не
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
бывает, а потому любая биосистема является от-
крытой, поскольку помимо волков существует и
Когда речь идет о классической задаче Ферх-
масса других животных и организмов, которые
юльста, в нее закладывается лишь простейшая
также размножаются и которые могли бы служить
формулировка модели без учета таких понятий,
им, например, пищей. Ясно поэтому, что сколько
как, например, естественная или принудительная
бы организмов на Земле мы не рассматривали, у
(по неосторожности) гибель хищников [4, 5], а
каждого из них имеются свои естественные вра-
также неоднородности распределения их числен-
ги, регулирующие численность собственной по-
ности по территории парка и множества других
пуляции. То же самое относится и к человеку как
также вполне объективных естественных фак-
относительно разумному примату. В процессе
торов.
своего размножения, способствующего перена-
В более сложной задаче, которая была сформу-
селенности численности любой популяции, с не-
лирована Вольтерра и Лоткой [6, 7], авторами был
обходимостью происходит объективное включе-
учтен ряд новых физических параметров, каче-
ние каких-либо естественных, подчеркиваем, а
ственно влияющих на поведение всей системы в
не искусственных факторов, обрезающих» их раз-
целом и, в частности, изменение концентрации
множение.
самих хищников.
Заметим также, что, помимо уже упомянутых
Более общая теория была предложена в уже со-
чуть выше искусственных факторов (интеллекту-
всем свежей в этом направлении чисто математи-
альный или гендерный), к ним следует добавить и
ческой статье [8], где авторы привели подробный
вполне объективные факторы, например, такие,
анализ обобщенного уравнения Вольтерра-Лот-
БИОФИЗИКА том 66
№ 5
2021
К ВОПРОСУ О САМООРГАНИЗАЦИИ ЧИСЛЕННОСТИ НАСЕЛЕНИЯ ЗЕМЛИ
1007
ки (см. также работы близкого направления [9-
β
t)
=αn
−
n
2,
27]) и доказали ряд теорем, связанных с этим во-
m
(1)
просом.
m
1,
mn+ λεmλ+
= -γ
Далее мы приведем подробное исследование
где β(t) - непрерывно меняющийся от времени
хаотического роста народонаселения Земли, рас-
параметр. Он имеет вероятностный смысл и яв-
сматривая его на языке только двух параметров -
ляется «тормозящим» рост популяций фактором
плотности популяции n и обрезающего их рост
(наподобие похожего слагаемого в уравнении
фактора m, используя уже другую математиче-
Ферхюльста, где этот коэффициент считался по-
скую модель в отличие от двух упомянутых. При
стоянным). Обрезающий фактор в знаменателе
этом если придерживаться современного пред-
верхнего уравнения этой системы также введен
ставления о факторах сдерживания скорости ро-
не случайно. Чисто качественно он ведет к тому,
ста популяций, и ввести в обрезающий фактор
что при его резком уменьшении должно произой-
помимо пищевого дефицита все искусственные
ти и резкое уменьшение численности населения.
(т.е. гендерные и техногенные), то такой пара-
Что касается последнего (но не по значению) па-
метр будет иметь максимально возможное значе-
раметра ε, то он характеризует собой медленную
ние. Именно поэтому далее мы будем рассматри-
скорость возможного увеличения обрезающего
вать только нижнюю границу этого параметра,
фактора.
считая, что его роль сводится только к пищевому
Под сказанным подразумевается следующее.
фактору. Как увидим, даже это минимальное зна-
Достигнув определенного максимального значе-
чение позволяет утверждать, что в силу хаотиче-
ния, численность населения начнет свое стреми-
ского поведения энтропии общества в целом бу-
тельное убывание из-за начинающегося умень-
дет иметь место и условие максимума численно-
шения глобальной энтропии, а именно благодаря
сти населения, которое, благодаря объективным
включению обрезающих факторов. Например,
законам теории хаоса, затем неминуемо начнет
это может быть извержение вулкана Йеллоустон
спадать. Этот спад, подчеркнем, будет продикто-
или, скажем, сдвиг литосферных плит, который
ван уменьшением энтропии, связанным с пере-
породит цунами высотой в несколько десятков
населенностью, включающим естественные фак-
метров, сметающий целые континенты, еще кос-
торы обрезания ее численности, о которых чело-
мическое излучение, а также множество других
вечество пока может даже и не догадываться.
более мелких природных катаклизмов, включаю-
Прежде, чем приступать к формальной сторо-
щихся по мере эволюции самой Земли, свой-
не, касающейся строгого анализа обозначенной
ственных любой открытой системе.
выше проблемы, необходимо остановиться на не-
Но вот что интересно. Как бы человек не пы-
которых основных понятиях и определениях, без
тался навредить Природе, что является неоспори-
которых все нижеследующее изложение может
мым и объективно доказанным фактором (кста-
оказаться малопонятным.
ти, также способствующим уменьшению числен-
ности населения), регулирование популяции
Будем предполагать, что распределение насе-
Земли является неотъемлемым элементом суще-
ления по поверхности Земли имеет однородный и
ствования самой нашей Планеты. Подобное
равномерный характер. При этом, как кажется
утверждение базируется на невозможности нару-
вполне очевидным, подобное предположение ни-
шения основного закона эволюции, связанного с
как не должно повлиять на суть решаемой задачи.
хаотическим ростом глобальной энтропии и
Помимо этого, будем также считать, что скорость
стремлении системы к хаосу, фактически означа-
роста численности населения α представляет со-
ющее гибель всего живого. Отмеченный факт
бой вполне естественный природный фактор.
бесспорно приведет к изменению климатических
Обрезающий фактор, роль которого мы отводим
условий, приводящих, в свою очередь, и к иному
жертве, мы обозначим буквой m.
локальному перераспределению введенного нами
параметра m.
Пусть скорость убывания параметра m харак-
теризуется некоторой постоянной величиной γ, а
Например, какие-то континенты могут уйти
безразмерный параметр λ обозначает долю ее ха-
под воду, где-то активируются вулканы, что может
рактерной убыли, в определение которой мы
породить, например, нашествие летучих мышей, а
вместе с ними и каких-то эпидемий, что в целом и
включим всевозможные субъективные и объек-
тивные факторы, влияющие на нее. Тогда систе-
приведет, причем естественным образом, к умень-
му динамических уравнений, описывающих есте-
шению численности народонаселения. Формаль-
но это и заложено в коэффициенте β(t) системы
ственное эволюционное развитие численности
уравнений (1), а также в коэффициенте ε.
населения, можно записать в следующем вполне
понятном с качественной точки зрения виде (по-
Подобные факторы продиктованы и вполне
дробности вывода см. в Приложении):
объективной эволюцией глобальной энтропии S
БИОФИЗИКА том 66
№ 5
2021
1008
ГЛАДКОВ
(она составляет порядка 16 миллиардов лет, пока
β
t)
будет иметь место вращение Земли вокруг своей
=αx
−
x
2,
y
(3)
оси, связанное с неостывшим пока ядром), обу-
словленной принципом самоорганизации наше-
= -γxy
+ λεyλ+
1.
го макромира.
В том случае, если мы хотим учесть неоднород-
Соответствующие уравнения, которые можно
ность распределения параметров x и y по поверх-
представить в виде (1), нетрудно получить из не-
ности Земли, уравнения (3) следует переписать с
обходимого и достаточного (при решении синер-
учетом неоднородности концентраций в виде
гетических проблем) условия существования экс-
β
t)
2
тремума некоторого функционала Φ{m,n}, исходя
= D Δx
+αx
−
x
,
1
из равенства Φ = 0 (похожий принцип был ис-
y
(4)
пользован, например, в работах [28, 29]).
1
Δ -γxy
+ λε
yλ+
2
= D
обладают по своему смыс-
где коэффициенты D1,2
АНАЛИЗ УРАВНЕНИЙ (1)
лу размерностью коэффициентов диффузии, а в
представлении популяций просто учитывают ее
Вернемся теперь к формальному анализу урав-
миграцию, 2 - двухмерный оператор Лапласа,
нений (1) и введем следующие безразмерные кон-
который на сферической поверхности с фикси-
центрации:
рованным радиусом R и в сферической системе
координат имеет обычный вид
n
m
x
=
,
y
=
,
(2)
2
n
0
m
0
1
1
∂
∂
1
∂
Δ
=
sin
θ
+
,
(5)
2
2
(
)
2
2
R
sinθ∂θ
∂θ
sin
ϕ∂ϕ
где n0 и m0 - средние значения концентраций ин-
дивидов и обрезающего фактора соответственно.
где θ и ϕ по своему смыслу представляют собой
соответственно азимутальный и полярный углы,
Что касается концентрации n0, ее можно опре-
которые можно «привязать» к параллелям и ме-
делить естественным образом, как n0 = N/S, где
ридианам Земли, а центр сферической системы
N = 7000000000 - современное население Земли,
координат поместить в ее центре.
S = S0/6 - площадь поверхности суши, где
Найдем вначале стационарное решение систе-
S0 = 4πR2 - площадь поверхности Земли, R - ее
мы уравнений (3) в однородном случае, считая,
что D1 = D 2 = 0, а
радиус. Что касается конкретной величины сред-
него значения обрезающего рост народонаселе-
β(t) = β = const.
(6)
ния фактора m0, то чисто условно его можно вве-
В результате приходим к следующей системе
сти в виде некоторой средней наименьшей вели-
нелинейных алгебраических уравнений:
чины, позволяющей человечеству выжить. Это
наименьшее значение мы будем характеризовать
β
t)
2
в виде дроби m0 = M/N, где под параметром M мы
α
x
−
x
=
0,
y
(7)
будем подразумевать только количество общей
1
пищи на Земле, опустив такие важнейшие факто-
xy
− λε
yλ+
=
0.
γ
ры, как гендерный фактор и индустриальный.
Отсюда получаем, что
Подобное введение нам кажется вполне объек-
тивным, поскольку при таком описании мы полу-
λ
1
чим оправданно реальную картину, описываю-
α
β
1−λ
λε
1-λ
x
=
y
=
,
щую взаимодействие обоих параметров n и m при
()
β
α
γ
условии, что значение m - наименьшее. Это про-
(8)
1
сто означает, что всегда можно сделать корректи-
1-λ
λεβ
y
=
ровку условия m0 < m, перейдя к искусственно
αγ
увеличенному значению m. Именно в рамках та-
кого представления, если исходить из разумных
Чтобы численно оценить обе эти величины,
мы можем, исходя из разумных предположений,
предположений чисто феноменологически, счи-
тая, например, что суточная норма потребления
задать все входящие в решение (6) параметры.
пищи (минимальное значение m), позволяющая
Действительно, поскольку по своему смыслу все
выжить, определяется минимальным значением
они малы (эта малость диктуется малостью без-
m0 = 1 кг/сутки.
размерных концентраций численности населе-
ния x и наименьшей доли обрезающего фактора y
В итоге систему уравнений (1) можно записать
благодаря огромной площади поверхности Зем-
следующим образом:
ли), то, как видно из уравнений (3), если исходить
БИОФИЗИКА том 66
№ 5
2021
К ВОПРОСУ О САМООРГАНИЗАЦИИ ЧИСЛЕННОСТИ НАСЕЛЕНИЯ ЗЕМЛИ
1009
из соображений размерности, вполне можно счи-
Это значит, что если придерживаться крите-
тать, что α = m0/t0, β = n0/t0, γ = n0/t1.
рия жизни, когда доля потребления должна со-
ставлять ограничение в виде среднего значения
Стоит заметить, что за единицу времени здесь
удобно выбрать не традиционные секунды, как
кг
q =
1
,
(15)
это обычно делается в физических задачах, а сут-
сут ×чел
ки. Полагая поэтому, что α = 10-2 кг/км2·сут,
то приходим к той предельной цифре численно-
β = 10-5 кг/км2·сут, γ = 10-6 кг/км2 сут, λ = 10-2,
сти, которая допустима и составляет, очевидно,
ε = 10-2 (СИ, км, сут), найдем
величину
2
(16)
x ≈10
, y = 0,1.
(9)
Nпред = 2 · 1010 человек.
Предельное число (16) указывает, что на каж-
В пересчете на размерные величины отсюда
дом квадратном километре вполне комфортно
получаются такие вполне реальные предельные
может проживать примерно 750 человек.
значения:
И еще: согласно официальной статистике [30]
2
1
2
кг
каждые сутки на Земле рождается в среднем
n
≈
10
n
,
m
=
10
m
(10)
0
2
0
2
км
км
сут
433382 ребенка, а умирает естественным
путем или суммарно погибает примерно 150000
Поскольку радиус Земли R ≈ 6400 км, то для
человек.
средней плотности населения получаем
Как видим, разность прироста народонаселе-
ния не так велика, а потому достичь значения в
n0 = N/S = 2.5·102 км-2.
(11)
20 миллиардов человек реально можно примерно
В настоящее время это составляет примерно
через 120 лет. Совершенно понятно, что за такой
250 человек на квадратный километр, что и поз-
промежуток времени ввиду непредсказуемости
волило нам спрогнозировать выбор приведенных
человеческой психики и общих законов Природы
выше численных значений параметров. Подстав-
может произойти все что угодно.
ляя величину (11) в выражение (10), находим, что
Что же касается описания временного хода со-
предельно допустимая средняя плотность населе-
бытий, которые находятся в полном соответствии
ния на квадратный километр может составлять
с приведенными выше величинами (11)-(16), то
25000 человек.
нам следует вернуться к общим однородным
Поскольку же полная поверхность суши Земли
уравнениям (3) и для случаев, когда β(t) = β =
S
2π
2
7
2
const и β = β(t) (эту зависимость мы конкретизи-
есть
S
=
= R
≈
8
⋅
10
км
,
то, согласно вы-
0
руем), провести численное интегрирование полу-
6
3
ченной системы уравнений.
ражению (10), для наименьшего значения обреза-
ющего фактора мы приходим к следующей пре-
дельной оценке
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ (1)
9
кг
В первом случае, когда β(t) = β = const, зависи-
μ = mS =
8
⋅ 10
m
(12)
0
сут
мость y(x) показана на рис. 1.
Во втором случае, если выбрать, например,
Для предельного же количества населения
рост функции в виде степенного закона
Земли найдем, согласно выражению (10):
β(t) = β0τκ, где константы β0 и k мы задаем, зави-
11
N = xS =8⋅ 10
челoвек.
(13)
симость y(x) при k = 1 показана на рис. 2.
Как видно из рис. 1 и 2, поведение популяции
Вполне разумным нам кажется предположе-
ние, что m0 = 2.5.
и обрезающий фактор меняются во времени до-
вольно хаотическим образом, что вполне есте-
Поделив выражение (12) на выражение (13),
ственно, поскольку равномерность развития ка-
получим
ких-либо событий нельзя уложить в рамки теории
хаоса, когда речь заходит о таком сложном поня-
μ
−2
кг
q
=
=
2,5
⋅
10
,
(14)
тии, как изменение энтропии (см. Приложение).
N
сут×чел
Главный вывод из всего того, что было сейчас
Приведенная цифра говорит о том, что для
нами изложено, заключается в том, что нет ни
предельной численности населения Земли в
малейших оснований и повода вмешиваться в
800 миллиардов человек суточная норма потреб-
естественный ход развития жизни на Земле и пы-
ления еды (а точнее, фактор обрезания, измеряе-
таться предпринять какие-либо шаги с целью
мый в граммах), имеющая значение в 25 г, факти-
принудительного регулирования роста народона-
чески означает вымирание.
селения на нашей планете.
БИОФИЗИКА том 66
№ 5
2021
1010
ГЛАДКОВ
Рис. 1. Эволюция численности населения x(y) при
Рис. 2. Эволюционное развитие численности населе-
условии, что вероятность действия обрезающего фак-
ния при условии, что вероятность изменения обреза-
тора β постоянна.
ющего фактора β убывает со временем по гиперболи-
ческому закону.
Как видно из обоих рисунков, численность по-
нении (19) отрицательно. В результате это приво-
пуляции в зависимости от обрезающего фактора
вначале ведет к ее росту, а впоследствии всегда
дит к притягивающей спирали (аттрактор) или
будет сопровождаться ее спадом, что изначально
отталкивающей (репеллер).
уже и было заложено в общие свойства энтропии.
В соответствии с общими постулатами синер-
гетики эволюция области фазового пространства
ЛИНЕАРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЙ (3)
ω описывается уравнением
где v -
Следуя общим принципам теории обыкновен-
обобщенная скорость, определяемая как вектор с
ных дифференциальных уравнений [31], легко
компонентами
v =(
провести линеаризацию системы уравнений (3)
вблизи стационарной точки
M
0
=M
(x,
y). В
результате получаем следующие линейные урав-
нения
2
α
= -α(x - x)
+
(y - y
),
β
(17)
= -γy
(
x
-
x
)
+ λγx
(
y
-
y
).
y
Решение системы (17) элементарно находится,
в результате мы получаем
k
1t
k
2
t
x = x +C
e
+C
e
,
1
2
β
βk
k
t
βk
k
t
(18)
1
1
2
2
y = y
+
C
α+
e
+C
α+
e
,
2
1
2
2
2
α
α
α
где корни характеристического уравнения есть
2
λγx- α
λγx− α
k
1,2
=
±
−
αγx
(1 −
λ)
(19)
(
)
2
2
Рис. 3. Эволюция численности населения x(y) соглас-
Как видно из уравнения (19), при различных
но уравнениям (П10) при условии, что вероятность
соотношениях между входящими в ответ пара-
действия обрезающего фактора β постоянна. Здесь
метрами, решение системы (18) может представ-
анализ проведен для начальных условий x(0) = 1,
лять собой узлы, седловые точки, а также аттрак-
y(0) = 1, и до момента времени t = 8000. Пренебреже-
торы и репеллеры.
ние двумя последними слагаемыми в нижнем уравне-
нии системы (П10) вообще не влияет на поведение
При этом последние могут возникать только в
зависимости x(y) и приводит к укороченной системе
том случае, если подкоренное выражение в урав-
уравнений (1), которая и была исследована в статье.
БИОФИЗИКА том 66
№ 5
2021
К ВОПРОСУ О САМООРГАНИЗАЦИИ ЧИСЛЕННОСТИ НАСЕЛЕНИЯ ЗЕМЛИ
1011
Из системы уравнений
(17) видно, что
ПРИЛОЖЕНИЕ
divv = λγx - α.Это означает, что при
α > λγx
об-
С целью подтверждения корректности уравне-
ласть фазовой плоскости ω = ΔxΔy сжимается и
представляет собой типичное притягивающее
ний (1) мы воспользуемся общей методикой вы-
множество, которое является устойчивым и не
вода основных физических уравнений, в которых
будет реагировать ни на какие внешние малые
будут учтены некоторые специфические особен-
возмущения типа техногенных или гендерных,
ности эволюционного развития биосистем. С
которые просто ускоряют уменьшение численно-
этой целью удобно воспользоваться приемом, ко-
сти населения, не влияя качественно на ее есте-
торый основан на использовании закона сохра-
ственное поведение в целом (см. рис. 1 и 2 и урав-
нения полной мощности исследуемой системы и
нения (1) и (П9)).
был успешно применен при решении ряда задач
(см., например, работы [32-37]). По некоторой
аналогии с механическими задачами мы рассмот-
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
рим задачу из серии задач «хищник-жертва» на
Как было показано выше, именно благодаря
языке энергетической и диссипативной функ-
хаотическому характеру развития общества его
ций, которые для биофизических проблем следу-
глобальная энтропия должна вести себя подоба-
ет воспринимать, конечно, не в буквальном
ющим образом в соответствии с общими закона-
смысле, а чисто условно. Как известно [38], кине-
ми эволюции, неотъемлемыми от природы самой
тическую энергию гидродинамического потока
Земли. Поскольку
, то при приближении
1
2
можно представить в виде
ε
=
ρv
dV
,
где ρ -
энтропии к стационарной точке она приближает-
2V
ся к максимуму, как и численность населения.
плотность, а v - скорость жидкости. В рассматри-
При уходе от равновесия энтропия начнет убы-
ваемой нами модели нельзя ввести энергию попу-
вать, «захватывая» за собой и n. В статье это было
ляций, однако записать прототип энергии, как в
строго математически доказано с помощью чис-
гидродинамике, мы имеем полное право, введя в
ленного решения полученных уравнений, описы-
рассмотрение некоторую квадратичную форму по
вающих естественный ход развития народонасе-
ления Земли. Все это возможно лишь благодаря
концентрации индивидов n и обрезающего фак-
открытости нашей биологической системы и
тора m. Обозначая ее, как и в физических задачах
объективному (подчеркиваю) ходу ее развития.
через E, с очевидностью можно записать, что
Это становится вполне понятным, если вспом-
нить основные принципы теории детерминиро-
1
2
2
E
=
C
(m)n
+
C
(n)m
d
σ,
(П1)
ванного хаоса, когда система на каком-то проме-
1
2
2Σ
жутке времени ведет себя хаотическим образом, а
затем под влиянием некоторых вполне опреде-
где C1(n) и C2(m) - две существенно положитель-
ленных факторов «скатывается» в локальную об-
ные функции от соответствующих аргументов,
ласть стационарной точки. Затем история повто-
Σ - поверхность Земли, а dσ - ее элемент поверх-
ряется. Точно по таким же законам должны вести
ности.
себя абсолютно все популяции Земли, в том числе
и человеческая.
Что касается диссипативной функции
, то по
Итак,
своему смыслу она представляет собой производ-
1) Предложена вполне объективная биологи-
ство энтропии в единицу времени [39] и в любых
ческая модель из серии задач по теме «хищник-
физических процессах является величиной суще-
жертва»;
ственно положительной.
2) Проведен аналитический и численный ана-
В случае биологических систем этот принцип
лиз полученных феноменологическим путем
следует применять с осторожностью, исходя из
уравнений, которые показали, что эволюция чис-
объективного фактора того, что процесс измене-
ленности населения при минимальном значении
ния количества популяций носит хаотический ха-
обрезающего параметра должна иметь естествен-
рактер, а потому в случае открытой системы про-
ный неравномерный и хаотический характер раз-
вития (см. рис. 1, 2);
изводство энтропии в единицу времени не мо-
жет все время оставаться существенно
3) Показано, что предельно допустимое значе-
положительной величиной, поскольку на опреде-
ние численности населения Земли может соста-
ленных промежутках времени должна подчи-
вить примерно 20 миллиардов человек, а затем та-
няться двум взаимоисключающим друг друга
ким же вполне естественным образом начнет спа-
дать.
условиям:
0
и
0
БИОФИЗИКА том 66
№ 5
2021
1012
ГЛАДКОВ
Это означает, что диссипативную функцию
щей условно положительной комбинации (см.
для формального описания любого скалярного
работу [34]):
хаоса мы имеем право представить в виде следую-
2
2
3
2
2
S
~Q
=
Γ
(n,
m)m
−Γ
(n,
m)n
+Γ
n
+Γ
nm
+Γ
mn
d
σ,
(П2)
1
2
3
4
5
Σ
где Γ1,2(n,m) - функции от концентраций n и m,
функция существенно положительна), что с оче-
имеющих соответственно смысл обобщенного
видностью указывает на автоматическое выпол-
декремента и инкремента, а Γ3,4,5(n,m) - в общем
нение условия экстремума и для функций, вы-
бранных в виде (П1) и (П2), но уже для открытых
случае также функции от n и m, но при этом лю-
систем. Понятно, что в результате мы должны
бого знака. Кроме того всегда n > 0 и m > 0. Тот
прийти к уравнениям, описывающим экстре-
факт, что в определениях (П1) и (П2) фигурирует
мальное распределение обоих интересующих нас
довольно много свободных параметров, не долж-
параметров (см. ниже).
но вызывать особого удивления, поскольку все
они в предельных частных случаях либо выража-
Действительно, дифференцируя (П1) по вре-
ются друг через друга, либо оказываются равны-
мени, находим
ми нулю.
1
2
2
E
=
C
′
n
+
2C
n +C
′
m
+
2C
mdσ,
(П3)
Согласно общему принципу получения любых
1
1
2
2
2Σ
уравнений динамики, мы имеем право исходить
из условия
+
0
(примерами того являются,
dC
1
dC
2
гдеC
′ =
,
C
′
=
1
2
например, уравнения Навье-Стокса и любые
dm
dm
уравнения механики, в которых диссипативная
Складывая (П2) и (П3), будем иметь
1
2
1
2
2
2
3
2
2
C′ n
+C
n + C′
m
+C
mm
+Γ
(n,
m)m
−Γ
(n,m)
n
+Γ
n
+Γ
nm
+Γ
mn
dσ
=
0.
1
1
2
2
1
2
3
4
5
2
2
Σ
Группируя здесь слагаемые с n и m, получаем в подынтегральной функции сумму двух выражений:
1
2
1
2
1
n C
+ C′
n
+Γ
n
−Γ
(n,m
)n
+ Γ
m
+ Γ
mn
+
1
1
3
2
4
5
2
2
2
1
1
1
2
+
m C
m
+Γ
(
n,m)m+ C′m
+ Γ
nm
+ Γ
n
2
1
2
4
5
2
2
2
Пользуясь независимостью параметров n и m, нулю и находим интересующую нас систему урав-
полагаем каждое из них по отдельности равным нений:
1
2
1
2
1
C
+ C′ n
+Γ
n
−Γ
n
+ Γ
m
+ Γ
mn
=
0,
1
1
3
2
4
5
2
2
2
(П4)
1
1
1
2
C
m+ C
′
m
+Γ
m
+ Γ
nm
+ Γ
n
=
0.
2
2
1
4
5
2
2
2
Перепишем эти уравнения в виде
C′
1
1
2
1
2
1
+
n
=-
Γ
n
−Γ
n
+ Γ
m
+ Γ
mn
=ϕ
(n,
m),
(
3
2
4
5
)
1
2C
1
C
1
2
2
(П5)
1
1
1
1
2
m
+
C′
m
=-
Γ
m
+ Γ
nm
+ Γ
n
=ϕ
(
n,m
)
2
(
1
4
5
)
2
2C
C
2
2
2
2
БИОФИЗИКА том 66
№ 5
2021
К ВОПРОСУ О САМООРГАНИЗАЦИИ ЧИСЛЕННОСТИ НАСЕЛЕНИЯ ЗЕМЛИ
1013
Если решить эту линейную относительно производных и систему, то получим
C′
Γ
2
C′
3
C′
2
C′
2
1
1
2
5
2
2
2
m
+
Γ
m
+
Γ
+Γ
mn
+
n
−
Γ
m
−
Γ
mn
−
Γ
nm
=
0,
1
2
4
4
3
5
C′
′
2
C
2
4C
2C
4C
1
2
1
1
1
1
C
2
−
mn
4C
1
(П6)
1
2
Γ
2
1
C′
C′Γ
2
C′Γ
3
4
1
1
4
1
5
+
-Γ
n
+Γ
n
+
m
+
Γ
−
Γ
nm
−
mn
−
n
=
0.
2
3
5
1
C′
′
2
2
C
4C
4C
1
2
2
2
2
C
1
−
mn
4C
2
Из общей системы уравнений (П6) сразу же
Полагая в уравнениях (П6) C2(n,m) = const
видно, что при m = 0 и Γ5 = 0 мы приходим к урав-
и опуская все кубические слагаемые по n и m,
2
нению Ферхюльста:
n=αn-βn
При других со-
а также вводя для удобства явные зависимо-
отношениях мы приходим к обобщенной системе
сти от n и m, будем иметь
уравнений Вольтерра-Лотка.
Γ
(n,m)
Γ
(n,m)
1
4
5
2
m
+ Γ
(n,
m)m
+
mn
+
n
=
0,
1
C
2
2
2
(П7)
1
2
Γ
4
(n,
m)
2
1
C′
1
+
-Γ
(n,m)n
+Γ
(n,m)n
+
m
+ Γ
(n,m)
−
Γ
(n,m)
nm
=
0.
2
3
5
1
C
(n,m
)
2
2
C
1
2
Исследуемый нами случай отвечает условиям
γ = 10-6 кг/км2 сут, λ = 10-2, ε = 10-2 (СИ, км,
C1(n,m) = C1m, Γ1(n,m) = Γ1m, Γ2(n,m) = Γ2m,
сут)), то система (П9) примет вполне конкретный
Γ3(n,m) = Γ3 = const, Γ4 = const, Γ5 = 0.
вид
В результате из уравнений (П7) следует, что
-6
−4
1,01
=-10
xy
+10
x
,
Γ
Γ
Γ
C
-5
(П10)
2
3
2
4
1
+ -
n
+
n
+
m
−
Γ
(m)
nm
=
0,
-2
10
2
−6
−4
1,01
1
=
10
y
−
y
−10
x
−
0,5⋅10
yx
C
C
m
2C
2C
1
1
1
2
x
(П8)
1
Γ
4
m
+ Γ
(
m
)m
+
mn
=
0.
Результат численного интегрирования уравне-
1
C
2
ний (П10) проиллюстрирован на рис. 3. Из его
2
сравнения с рис. 1 и 2 мы видим их замечательное
Чтобы привязаться к параметрам уравнений (1),
сходство.
считаем коэффициент Γ1 отрицательным и пола-
гаем, что:
Таким образом, у нас имеется корректная и
вполне обоснованная (правда, укороченная по
Γ
Γ
t)
Γ
Γ
(m)
2
3
4
1
сравнению с уравнениями (П9)), система уравне-
α
=
, β
t)
=
, γ
=
,
=-λεmλ
C
1
C
1
2
2
C C
2
ний (1), моделирующая эволюционное развитие
человеческой популяции с учетом обрезающего
В результате из (П8) следует:
ее развитие фактора.
β
t)
2
C
2
λε
1+λ
=
α
n
−
n
−
γ
m- nm
,
m
C
1
2
(П9)
КОНФЛИКТ ИНТЕРЕСОВ
1+λ
=-
γ
mn
+
λε
m
m
Автор заявляет об отсутствии конфликта инте-
Из сравнения уравнений (П9) с уравнениями
ресов.
(1) видно, что в верхнем уравнении (П9) в правой
части присутствуют два дополнительных слагае-
мых в отличие от уравнений (1), в которых их нет.
СОБЛЮДЕНИЕ ЭТИЧЕСКИХ СТАНДАРТОВ
Казалось бы, этот момент может послужить силь-
Настоящая работа не содержит описания ис-
ным поводом для критики всей работы. Однако
следований с использованием людей и животных
торопиться не будем. Как видно из (П9), эти сла-
в качестве объектов.
гаемые входят с правильными знаками, и если
положить здесь C1 = C2 и воспользоваться чис-
ленными значениями параметров, приведенны-
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
ми выше (α = 10-2 кг/км2 сут, β = 10-5 кг/км2 сут,
1. P.-F. Verhulst, Corresp. Math. Phys. 10, 113 (1838).
БИОФИЗИКА том 66
№ 5
2021
1014
ГЛАДКОВ
2. P.-F. Verhulst, Nouv. Mém. Acad. R. Sci. B.-Lett.
21. F. Agusto, S. Bewick, and W. Fagan, Ecol. Complexity
Brux. 18, 1 (1845).
29, 61 (2017).
3. P.-F. Verhulst, Mém. Acad. R. Sci. Lett. B.-Arts Belg.
22. Г. Р. Иваницкий, Успехи физ. наук 187, 757 (2017).
20, 142 (1847).
23. M. Parsamanesh and M. Erfanian, Chaos, Solitons &
4. Yu. Loskutov and А. S. Mihailov, Introduction to Syner-
Fractals 117, 192 (2018).
getic (Science, Moscow, 1990).
24. N. Ahmed, N. Shahid, Z. Iqbal, et al., J. Appl. Environ.
5. H. Haken, Synergetics. Introduction and advanced topics
Biol. Sci. 8 (4), 67 (2018).
(Springer, 2004).
25. Г. Р. Иваницкий, Успехи физ. наук 188, 965 (2018).
6. A. J. Lotka, Elements of Physical Biology (Williams &
26. R. Nistal, M. De la Sen, S. Alonso-Quesada, and
Wilkins, Baltimore, 1925).
A. Ibeas, Mathematics 7, 18 (2019).
7. V. Volterra, Mem. Accad. Lince 6, 31 (1926).
27. N. Ahmed, M. Rafiq, M. Rehman, et al., AIP Advanc-
8. M. A. Safi, Incidence Function. Mathematics 7, 350
es 9, 015205 (2019).
(2019).
28. S. O. Gladkov, Reports Physics RAS 48 (8), 405 (2003).
9. С. П. Капица. Успехи физ. наук 166, 63 (1996).
29. S. O. Gladkov, Technic. Phys. Lett. 309 (9),
735
10. J. Medlock and M. Kot, Math. Biosci. 184, 201 (2003).
(2004).
11. T. Fujimoto and R. R. Ranade, Electron. J. Lin. Alge-
bra 11, 59 (2004).
31. D. K. Arrowsmith and C. M. Place, Ordinary Differen-
12. С. П. Капица, Успехи физ. наук 180, 1337 (2010).
tial Equations: a Qualitative Approach with Applications
13. J. Macías-Díaz and A. A. Puri, Appl. Numer. Math.
(Chapman and Hall, Lond., N. Y., 1982).
60, 934 (2010).
32. S. O. Gladkov, Reports Physics RAS 49 (2), 82 (2004).
14. N. K. Martin, P. Vickerman, and M. Hickman, J. The-
33. S. O. Gladkov and E. F. Medvedev, Glass Phys. Chem.
or. Biol. 274, 58 (2011).
32 (3), 346 (2006).
15. J. E. Macías-Díaz, Comput. Phys. Commun. 182, 2471
34. S. O. Gladkov, Technic. Phys. 53, 952 (2008).
(2011).
16. J. E. Macías-Díaz and A. Puri, Appl. Math. Comput.
35. S. O. Gladkov and S. B. Bogdanova, Int. J. Mechanics
218, 5829 (2012).
9 (11), 909 (2015).
17. J. E. Macías-Díaz, R. Landry, and A. Puri, Int. J.
36. S. O. Gladkov and S. B. Bogdanova, Technic. Phys. 61,
Comput. Math. 91, 2199 (2014).
157 (2016).
18. P. E. Parham, J. Waldock, G. K. Christophides, et al.,
37. S. O. Gladkov, WSEAS Trans. Appl. Theor. Mechanics
Philosoph. Trans. Roy. Soc. B: Biol. Sci. 370, 20130551
15, 24 (2020).
(2015).
38. Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц, Теоретическая физи-
19. Q. Cheng, Q. Jing, R. C. Spear, et al., PLoS Neglected
ка, Т. 6. Гидродинамика (Наука, М., 1988).
Tropic. Dis. 10, e0004417 (2016).
39. Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц, Теоретическая физи-
20. A. P. Lemos-Paião, C. J. Silva, and D. F. Torres, J.
ка, Т. 5. Статистическая физика (Наука, М., 1982).
Comput. Appl. Math. 318, 168 (2017).
On the Question of Self-Organization of Processes of Changing the Population
on the Earth
S.O. Gladkov
Moscow Aviation Institute (National Research University), Volokolamskoe shosse 4, Moscow, 125993 Russia
A new mathematical model based on the predator-prey interactions has been proposed. Strictly analytical
solution has been found for a system of nonlinear differential equations describing accurately the dynamics of
a population concentration on Earth's land surface, taking into account the main factors of "cut-off" influ-
encing its spatio-temporal evolution. With the help of the proposed model, it is shown that the population of
the Earth tends to increase, and then, due to a system’s permeability, after reaching the maximum, the pop-
ulation growth rate begins to decline. This observation is confirmed by rigorous mathematical and numerical
calculations.
Keywords: self-organization and self-regulation, “predator-prey” model, nonlinear dynamics, population con-
centration
БИОФИЗИКА том 66
№ 5
2021
