БИОФИЗИКА, 2022, том 67, № 4, с. 689-699

БИОФИЗИКА КЛЕТКИ

УДК 57.086.13:534.2:597.423

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ АКУСТИЧЕСКОГО ПОЛЯ

ДЛЯ ВОЗДЕЙСТВИЯ НА РЕПРОДУКТИВНЫЕ КЛЕТКИ РЫБ

В КРИОЗАЩИТНОМ РАСТВОРЕ ПРИ ЭКВИЛИБРАЦИИ

Д.А. Нижник*, А.А. Егорова*^, ***, А.А. Красильникова*^, **

*Донской государственный технический университет, пл. Гагарина, 1, Ростов-на-Дону, 344010, Россия

^#E-mail: kafavb@mail.ru

**Южный научный центр РАН, просп. Чехова, 41, Ростов-на-Дону, 344006, Россия

***Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, Ростов-на-Дону, 344090, Россия

Поступила в редакцию 30.11.2021 г.

После доработки 21.04.2022 г.

Принята к публикации 26.05.2022 г.

Работа посвящена математическому моделированию акустических полей при применении пьезоак-

туаторов в технологии низкотемпературного консервирования репродуктивных клеток осетровых

рыб с интеллектуальным управлением процесса замораживания. Предложено воздействовать аку-

стическим полем на репродуктивные клетки рыб на этапе эквилибрации после помещения их в

криозащитную среду. Построена математическая модель пьезоактуатора, создающего акустическое

поле, и с помощью конечно-элементного анализа выполнены численные эксперименты. В резуль-

тате определены частоты резонанса и антирезонанса, коэффициент электромеханической связи,

проанализированы распределения скоростей в объеме, занимаемом суспензией, найдены опти-

мальные характеристики пьезоактуатора, создающего акустическое поле.

Ключевые слова: пьезоактуатор, акустическое поле, криопротектор, эквилибрация, сперма рыб, метод

конечных элементов.

DOI: 10.31857/S000630292204007X, EDN: ITDBRY

повреждения при их замораживании. Для этого

В настоящее время по данным Организации

используют криопротекторы, призванные защи-

Объединенных Наций одним из глобальных вы-

тить клетку в процессе охлаждения и формирова-

зовов человечеству является нехватка продоволь-

ния кристаллов льда. Чтобы криопротектор быст-

ствия [1, 2]. Около 30% населения Земли (более

рее проникал внутрь клетки, на этапе эквилибра-

2.3 миллиарда человек) лишены доступа к доста-

ции желательно увеличить проницаемость

точному питанию, из них 0.8 миллиарда голодают

клеточных мембран. Такого эффекта можно до-

[3]. Вкладом в эту борьбу является интенсивное

стичь воздействием на клетку акустического поля

развитие аквакультуры, в том числе разработка

определенной мощности и частоты [4]. Так, вы-

новых технологий низкотемпературного консер-

живаемость сперматозоидов осетровых рыб после

вирования репродуктивных клеток рыб и их внед-

применения акустического воздействия в про-

рение в процессы искусственного воспроизвод-

цессе эквилибрации увеличивается на 20% по

ства рыбы с целью повышения продуктивности

сравнению со спермой, замороженной по тради-

рыбоводческих хозяйств. Другой важной задачей

современности является сохранение генетиче-

ционной методике [5]. Сперма такого качества в

дальнейшем может быть использована для дли-

ского разнообразия ценных видов рыб. Для реше-

тельного хранения и последующего искусствен-

ния этой задачи необходимо создавать криобан-

ного осеменения икры осетровых рыб.

ки, способные обеспечить сохранность криокон-

сервированных образцов половых клеток без

Обзор мировой литературы, посвященной

потери их продуктивных качеств в течение не-

проблемам криоконсервации спермы, показал,

скольких десятилетий.

что основными темами исследований являются

разработка протоколов консервации, составов

Основная проблема криоконсервации заклю-

криопротекторов, коэффициентов разбавления,

чается в необходимости предохранения клеток от

времени эквилибрации и др.

Сокращение: КЭМС - коэффициент электромеханической

При этом в основном рассматриваются кон-

связи, АЧХ - амплитудно-частотная характеристика.

кретные породы рыб или морских животных. Так

689

690

ПОНОМАРЕВА и др.

в работе [6] рассматривается текущее положение

вают с применением программируемых криоза-

и будущие перспективы стандартизации приме-

мораживателей до температуры жидкого азота

нения криоконсервации спермы устриц. В работе

(-196°С) с применением солевых разбавителей; в

[7] исследуются вопросы воздействия криопро-

качестве криопротекторов чаще всего использу-

текторов при криоконсервации на сперму камен-

ют метанол и диметилсульфоксид.

ной камбалы Kareius bicoloratus, в том числе рас-

Одним из перспективных направлений крио-

сматривается влияние коэффициента разбавле-

биологических исследований является исполь-

ния, времени эквилибрации и др.

зование в технологии низкотемпературного

В работе [8] описаны положительные резуль-

консервирования репродуктивных клеток новых

таты экспериментов по витрификации спермато-

физических методов, математического и ком-

зоидов двух видов рыб: пресноводного евразий-

пьютерного моделирования, что обеспечивает

ского окуня Perca fluviatilis и морского евро-

комплексный междисциплинарный подход к ре-

пейского угря Anguilla anguilla. Приводится

шению проблемы увеличения эффективности

разработка протоколов витрификации, обсужда-

консервации. Следует подчеркнуть, что работы,

ются температурный режим, состав витрифици-

посвященные воздействию полей различной фи-

рующих растворов, коэффициенты разбавления

зической природы на сперму осетровых рыб в

и смежные вопросы. В работе [9] представлена

процессе эквилибрации [4, 5], в частности аку-

разработка методов криоконсервации спермы у

стических полей, практически отсутствуют.

пехерей Odontesthes bonariensis. Обсуждаются во-

Применение нового методологического под-

просы состава и концентрации криозащитных

хода к методам длительного сохранения при низ-

сред. Впервые продемонстрирована возможность

ких температурах репродуктивного материала

криоконсервации спермы пехерей с использова-

гидробионтов с применением акусто-механиче-

нием простых протоколов.

ского воздействия, открывает большие возмож-

В работе [10] описывается разработка откры-

ности для создания новых эффективных биотех-

того аппаратного

3D-печатного конвейерного

нологий.

устройства для непрерывной криоконсервации

Нами впервые предложено применение в тех-

нестандартных образцов. В статье [11] описыва-

нологии криоконсервации репродуктивных кле-

ются изменения параметров спермы самок рыбок

ток рыб акусто-механического воздействия на за-

мандаринок с измененным полом Siniperca chuatsi

мораживаемый материал, что, как мы предпола-

в процессе криоконсервации. Работа [12] посвя-

гаем, позволит увеличить сохранность клеток во

щена обзору состояния криоконсервации аква-

время двойного температурного шока. Основа-

риумных рыб. Проведено сравнение предложен-

нием для применения акустических актуаторов в

ных протоколов криоконсервации спермы аква-

процессах криоконсервации клеток являются

риумных рыб. Подчеркивается важность

данные об увеличении проницаемости биологи-

искусственного оплодотворения для оценки жиз-

ческих мембран при воздействии ультразвука на

неспособности размороженной спермы.

клетки в суспензиях и биологические ткани [18,

Целью исследования [13] стала оценка различ-

19]. Применение ультразвука в криобиологии и

ных протоколов криоконсервации спермы хиро-

криоконсервации подробно рассмотрено в работе

стомы Chirostoma estor. Сделан вывод о том, что

[20]. В химиотерапии и биотехнологии использу-

при криозаморозке данного объекта могут ис-

ется эффект увеличения пассивной проницаемо-

пользоваться коммерческие разбавители спермы

сти мембран клеток в фазе разрежения под дей-

MIII™ и Androstar Plus™ совместно с метилглико-

ствием ультразвука [21].

лем. В исследовании [14] авторы представили

Целью настоящей работы стало построение

протокол криоконсервации спермы Oryzias в со-

математической и компьютерной модели и лабо-

ломинках объемом 0.25 мл.

раторной установки процесса акустического воз-

В работе [15] рассматривается использование

действия на смесь криозащитного раствора и

для криоконсервации спермы карпа (Cyprinus

спермы рыб, установления адекватности модели

carpio) разбавителя, содержащего 10% соевого ле-

и проведения модельного эксперимента с фикса-

цитина и лишенного животных белков. Показа-

цией акустических полей в жидкости (в качестве

но, что такой разбавитель обладает защитными

жидкости в модельном эксперименты была вы-

свойствами, близкими по уровню к свойствам

брана вода, т.к. использование половых клеток

разбавителя на основе яичного желтка. Работы

связано с сезонными процессами), а также выбор

[16, 17] посвящены совершенствованию протоко-

оптимальных параметров конструкции, в смысле

ла криоконсервации спермы осетровых рыб, в

преобразования электрической энергии в меха-

том числе белуги (Huso huso), внесенной в Крас-

ническую в окрестности первой изгибной моды

ную книгу.

плоского дна емкости, представляющей собой

Суммируя вышеописанные работы, можно

полупассивный биморф. Предполагается, что оп-

сделать вывод, что клетки чаще всего заморажи-

тимальные амплитуда и частота воздействия мо-

БИОФИЗИКА том 67

№ 4

2022

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ АКУСТИЧЕСКОГО ПОЛЯ

691

Рис. 1. Пьезоэлемент (а), собранная конструкция (б) и сенсор (в).

гут быть определены построением математиче-

стических полей внутри стакана, в будущих экс-

ской модели процесса.

периментах с раствором криоагента и половыми

клетками его использование не предполагается в

силу вышеописанных соображений стериль-

МЕТОДЫ

ности.

В работе выполнена целая серия численных

экспериментов. При проведении расчетов ис-

РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ

пользованы следующие материальные константы

материалов: стакан

- стекло (модуль Юнга

Пьезоактуаторы - это специальные сверхпре-

70 ГПа, коэффициент Пуассона 0.33, плотность

цизионные короткоходные линейные электро-

приводы. Они преобразуют электрическую энер-

2700 кг/м³); пьезоэлемент

- пьезокерамика

гию в небольшое, но крайне точно контролируе-

PZT-4 (плотность 7500 кг/м³,

= 139 ГПа,

мое линейное перемещение с высоким

развиваемым усилием. В основе принципа их

= 77,8 ГПа,

= 77,4 ГПа,

= 115 ГПа,

действия лежит обратный пьезоэлектрический

= 25,6 ГПа,

= -5,2 Кл/м²,

эффект, то есть механическая деформация кри-

= 15,1 Кл/м²,

= 12,7 Кл/м²,

= 730,

сталла (пьезокерамики) при воздействии на него

электрического поля. При этом осуществляется

= 635,

= 8,85 · 10^-12 Ф/м) [22-24].

возвратно-поступательное движение или другие

Акустической средой является криозащитный

его виды. Поскольку пьезокерамика является до-

раствор, имеющий достаточно сложный состав. В

вольно хрупким материалом, плохо выдерживаю-

него, исходя из расчета на 1 литр, входят следую-

щим высокие нагрузки растяжения и сдвига, пье-

щие вещества [16, 17]: NaCl - 6.5 г/л; KCl -

зоактуаторы изготавливают в корпусе для защиты

0.25 г/л; CaCl₂ - 0.25 г/л; NaHCO₃ - 2 г/л; HCl в

от воздействия внешних сил, а также проникно-

количестве, чтобы показатель кислотности (водо-

вения влаги и инородных частиц.

родный показатель) pH равнялся 8.0; сахароза -

Математическая модель воздействия на ре-

1,7 г; маннит - 1 г; яичный желток - 10%; диме-

продуктивные клетки рыб при криоконсервации

тилсульфоксид - 10%.

акустического поля, генерируемого пьезоактуа-

Для проверки предложенной модели, был про-

тором, строится в рамках механики сплошной

веден модельный натурный эксперимент, в кото-

среды. Для этого используются уравнения меха-

ром возбуждение колебаний осуществляли пьезо-

ники деформируемого твердого тела (в частно-

элементом с радиусом 0.01 м (рис. 1а), сосуд с

сти, линейной теории упругости и электроупру-

приклеенным пьезоэлементом показан на

гости) и уравнения движения жидких и газооб-

рис. 1б. Для регистрации акустических волн в

разных сред (в акустическом приближении) [25,

жидкости, в качестве которой в модельном экспе-

26]. Такая модель представляет собой начально-

краевую задачу и в общем случае ее решение мо-

рименте была выбрана вода, использовали пьезо-

жет быть построено только численно с использо-

керамический сенсор, представляющий собой

ванием соответствующих программных комплек-

полый цилиндр с радиальной поляризацией и

сов конечно-элементного анализа.

электродированными цилиндрическими поверх-

ностями (рис. 1в). Для изоляции сенсора от воды

Выпишем уравнения движения для упругой

он был покрыт слоем эпоксидной смолы. Этот

среды (в рамках линейной теории упругости),

сенсор служил только для цели регистрации аку-

определяющие соотношения (закон Гука) и соот-

БИОФИЗИКА том 67

№ 4

2022

692

ПОНОМАРЕВА и др.

ношения Коши (для малых деформаций) соот-

давление,

- вектор скорости, b - диссипатив-

ветственно [27]:

ный коэффициент акустической среды, ψ - по-

тенциал скоростей,

- единичный тензор.

Для корректной постановки задачи к системам

σ=

 ε,

(1)

уравнений (1)-(3) необходимо добавить гранич-

ные и начальные условия.

При определении механических граничных

условий граница тела представляется в виде объ-

где

- тензор напряжений;

- тензор деформа-

единения непересекающихся областей S

= S_u∪S_σ∪Suσ, на которых задаются следящие

ций;

- вектор перемещений;

- вектор плот-

условия (

- единичный вектор внешней норма-

ности объемных сил;

- тензор (четвертого ран-

ли к поверхности):

га) упругих модулей;

- набла-оператор;

- условие задания перемещений на границе

операция полного скалярного умножения; верх-

тела:

ним индексом «Т» обозначена операция транспо-

нирования.

(4)

Для пьезоэлектрической среды к уравнениям

и, в случае условия закрепления границы тела:

движения и соотношениям Коши в рамках ли-

нейной теории электроупругости добавляются

;

уравнения электростатики и определяющие соот-

- условие приложения внешней нагрузки ин-

ношения (уравнения состояния для предвари-

тельно поляризованной среды с независимыми

тенсивности к границе тела:

переменными - компонентами тензора деформа-

(5)

цией и компонентами вектора напряженности

электрического поля) соответственно [28]:

- условие гладкого контакта рассматриваемо-

го тела с абсолютно твердым телом - равенство

нулю нормальных перемещений и касательных

напряжений:

(6)

D =eε+∋

·E,

(2)

Последнее условие ставится также на оси сим-

метрии при решении осесимметричной задачи.

Электрические краевые условия задаются на

совокупности областей

, на

где

- вектор электрической индукции,

- век-

которых задаются следующие условия:

тор напряженности электрического поля, φ -

- условие на металлизированных поверхно-

электрический потенциал,

- тензор (третьего

стях (электродах), когда задается известный элек-

трический потенциал:

ранга) пьезомодулей,

- тензор (второго ранга)

;

(7)

диэлектрических проницаемостей, измеренных

при постоянной (нулевой) деформации.

– условие на неэлектродированных участках

Для акустической среды уравнения движения,

границы:

уравнение неразрывности, определяющие соот-

(8)

ношения и условие потенциальности поля скоро-

(последнее условие также ставится на оси сим-

стей соответственно [29]:

метрии при решении осесимметричной задачи);

- условие для определения неизвестного элек-

трического потенциала, которое формулируется

дополнительно к условию (7) на электроде, вклю-

ченному в электрическую цепь:

σ=-ρ

b∇ν,

(3)

(9)

В частности, если электрод свободен, то заряд

где ρ - плотность акустической среды, с - ско-

или ток в электрической цепи равны нулю

рость звука в акустической среде, p - звуковое

(I_m = 0).

БИОФИЗИКА том 67

№ 4

2022

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ АКУСТИЧЕСКОГО ПОЛЯ

693

Для формулировки граничных условий для

бания пьезоактуатора и соответственно стакана.

акустической среды предположим, что акустиче-

Создаваемое акустическое поле в суспензии в

ская среда заполняет объем Ω_w с границей

свою очередь приводит к акустическому воздей-

ствию на репродуктивные клетки рыб. При этом

Sw^=∂Ωw. Разобьем Sw на четыре части: Sw⁼

рабочей частотой является первая частота изгиб-

= S_wf∪S_wc∪S_wi∪S_ws. Будем считать, что граничная

ных колебаний дна емкости.

поверхность S_wf свободна, S_wc - жесткая стенка,

Задача решается в осесимметричной поста-

Swi^{- участок с заданным импедансным условием,}

новке.

a S_ws - часть границы, контактирующей с дефор-

мируемым твердым телом (упругим или пьезо-

Для решения сформулированной задачи аку-

электрическим). В этом случае соответственно

стоэлектроупругости (1)-(3) с граничными усло-

имеем следующие граничные условия:

виями (4)-(6) будем использовать метод конеч-

ных элементов в классической формулировке

Лагранжа.

В работе был использован программный ком-

плекс свободного программного обеспечения

(free software) конечно-элементного анализа

ACELAN [34, 35].

В связи с необходимостью моделировать свя-

где n_wk - компоненты вектора внешней по отно-

занные механические и электрические поля были

шению к объему Ω_w единичной нормали к S_w; Z -

использованы треугольные квадратичные конеч-

импеданс границы S_wi; σ_skm - компоненты тензо-

ные элементы. На рис. 2 представлены половина

ра напряжений деформируемого тела.

осевого сечения стакана с суспензией и пьезоэле-

ментом и фрагмент сгенерированной конечно-

Рассмотрим задачу определения оптимальных

элементной сетки, которая состоит из 2269 эле-

эффективных характеристик пьезоактуатора при

ментов, содержащих 1259 узлов. При проведении

его акустическом воздействии на репродуктив-

численных экспериментов конечно-элементную

ные клетки рыб на этапе эквилибрации.

сетку сгущали до тех пор, пока результаты расче-

Пьезоактуатор [30, 31] представляет собой

тов становились независимы от ее формы. Это

круглую пластину диаметром 0.02 м. Пластина

позволило рассчитывать поле смещений и соб-

приклеена с внешней стороны по центру ко дну

ственные резонансные частоты с точностью до

стандартного стеклянного лабораторного низко-

четвертого знака.

го градуированного стакана B-1-50XC. Стакан

Репродуктивные клетки соединяются с крио-

имеет следующие размеры: объем 50 мл, диаметр

защитной средой. Размеры этих клеток достаточ-

38 ± 1.0 мм, высота 70 ± 2 мм (ГОСТ 25336-82) [32,

но малы по сравнению с длиной акустических

33].

волн. Поэтому полученная смесь криопротектора

Суспензия спермы и криозащитной среды за-

с репродуктивными клетками представляется од-

полняет стакан примерно на одну треть его высо-

нородной суспензией. Определение акустиче-

ты и имеет температуру около 4°С. Эксперимент

ских параметров этой суспензии (плотности ρ,

проводится при комнатной температуре.

скорости звука c, диссипативного коэффициен-

Рабочим элементом пьезоактуатора является

та b) является дальнейшей самостоятельной экс-

пьезоэлемент из пьезокерамики PZT-4 толщиной

периментальной задачей. В силу этого далее в ра-

0.003 м, предварительно поляризованной по тол-

боте в рамках поставленной задачи об определе-

щине. Лицевые поверхности пьезоактуатора

нии оптимальных эффективных характеристик

электродированы способом вжигания серебра и к

пьезоактуатора суспензия моделируется в первом

ним подведены электрические провода. Толщи-

приближении водой (плотность 1000 кг/м³, ско-

ной нанесенных электродов пренебрегаем ввиду

рость звука 1500 м/с).

их малости. Внешняя поверхность электродов по-

крыта эпоксидной смолой толщиной 0.001 м, вы-

Первым шагом численного анализа является

полняющей роль защитного слоя.

исследование эффективности возбуждения коле-

По электрическим проводам на электроды по-

баний в зависимости от радиуса пьезоэлемента.

дается переменная разность потенциалов по гар-

Для этого для различных значений радиусов пье-

моническому закону с амплитудой V₀.

зоэлемента R проведен модальный анализ кон-

струкции без суспензии. При этом найдены чис-

Дно стакана и пьезоэлемент образуют полу-

ленные значения собственных частот резонанса f_r

пассивный биморф, поэтому приложение пере-

менной разности потенциалов на электроды пье-

и антирезонанса f_a. Кроме того, вычислена вели-

зоэлемента приводит к поперечным колебаниям

чина коэффициента электромеханической связи

дна емкости. Это вызывает установившиеся коле-

(КЭМС), определенного через частоты резонанса

БИОФИЗИКА том 67

№ 4

2022

694

ПОНОМАРЕВА и др.

Рис. 2. Конечно-элементная сетка: (а) - половина осевого сечения стакана с суспензией и пьезоэлементом; (б) - фрагмент

конечно-элементной сетки.

и антирезонанса [36, 37]:

эффективно возбуждать акустические волны в

суспензии.

Дальнейшие решение неоднородной задачи о

возбуждении акустических волн в суспензии с

Зависимость частот резонанса и антирезонан-

помощью приложения гармонической разности

са, а также КЭМС от радиуса пьезоэлемента

потенциалов к электродам пьезоэлемента прове-

представлена в табл. 1.

дено именно для этого размера.

Зависимость собственных частот резонанса,

На рис. 4 представлены первая форма колеба-

антирезонанса от радиуса пьезоэлемента и

ния (первая изгибная мода дна сосуда) и распре-

КЭМС представлены также графически на

деление смещений. Из этих рисунков следует, что

рис. 3а и 3б соответственно.

на этой частоте интенсивно колеблется дно сосу-

да. В то же время цилиндрическая стенка сосуда

Анализ результатов, представленных в табл. 1

находится в относительном покое.

и на рис. 3, показывает, что существует радиус

пьезоэлемента R = 0.014 м, при котором КЭМС

При наличии жидкости (высота 0.021 м), кото-

принимает максимальное значение на первой из-

рая моделирует раствор криоконсерванта и био-

гибной моде. Таким образом, использование дан-

логического материала (суспензии) и учете мо-

ного размера пьезоэлемента позволит наиболее

дельной диссипации по Релею собственная резо-

Таблица 1. Зависимость частот резонанса и антирезонанса, а также величины коэффициента электромеханиче-

ской связи от радиуса пьезоэлемента

Радиус пьезоэлемента (м)

Частота резонанса (кГц)

Частота антирезонанса (кГц)

КЭМС

0.006

8.402

8.504

0.154

0.008

8.405

8.597

0.211

0.010

8.463

8.757

0.257

0.012

8.523

8.901

0.288

0.013

8.549

8.951

0.296

0.014

8.576

8.985

0.298

0.015

8.588

8.985

0.294

0.016

8.614

8.981

0.283

0.018

8.757

9.025

0.242

БИОФИЗИКА том 67

№ 4

2022

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ АКУСТИЧЕСКОГО ПОЛЯ

695

Рис. 3. Зависимости частот резонанса и антирезонанса (а) и коэффициента электромеханической связи (б) от радиуса

пьезоэлемента.

нансная частота уменьшается и равна 6.075 КГц.

дне сосуда, в окрестности резонансной частоты

Очевидно, что эта величина существенно зависит

первой изгибной моды.

от объема жидкости. Так, на рис. 5 представлена

На рис. 8 представлены распределения с изо-

амплитудно-частотная характеристика (АЧХ)

линиями действительной и мнимой частей по-

осевого смещения центральной внутренней точ-

тенциала скоростей соответственно в области

ки, расположенной на дне сосуда, в окрестности

резонансной частоты первой изгибной моды.

жидкости вблизи резонансной частоты первой

изгибной моды.

На рис. 6 и 7 представлены соответственно

На рис. 9 представлены соответственно рас-

АЧХ действительной и мнимой частей потенциа-

пределение осевой и радиальной составляющей

ла скоростей в той же точке, расположенной на

скорости вблизи резонансной частоты первой из-

гибной моды.

Наличие на последнем рисунке областей раз-

ной интенсивности свидетельствует о наличии

положительной и отрицательной составляющей

вертикальной и горизонтальной скорости. Это

явление должно вызвать перемешивание суспен-

зии внутри объема стакана.

На рис. 10а представлен сосуд с жидкостью и

сенсором внутри, а на рис. 10б - осциллограммы

электрического напряжения на актуаторе и на

сенсоре. Таким образом, акустическое поле воз-

буждается в объеме жидкости, о чем свидетель-

ствует принятый сигнал на сенсоре.

Частота резонанса первой изгибной моды,

рассчитанная на основе описанной выше конеч-

ноэлементной модели, составила 5.755 кГц. В

эксперименте резонанс наблюдался на частоте

5.960 кГц, разница с теоретической частотой со-

ставила 3.4%. Следовательно, построенная теоре-

тическая модель является адекватной и может

быть использована при оценке акустического

Рис. 4. Распределение смещений на первой моде: (а) -

воздействия на биологический материал в рас-

осевое смещение, (б) - радиальное смещение.

творе криоконсерванта.

БИОФИЗИКА том 67

№ 4

2022

698

ПОНОМАРЕВА и др.

Рис. 11. Конструкция с пьезоэлементом. Стрелка указывает на светлый кружок - пузырек кавитации (а), криоагент с

половыми клетками в лабораторном стакане с пьезоэлементом (б).

Следует отметить, что при увеличении напря-

в процессе акустического воздействия имеет

жения на пьезоэлементе на резонансной частоте

смысл использовать перемешивание раствора. В

5.8 кГц, в центре жидкости наблюдался пузырек

то же время наличие участков с интенсивной по-

кавитации (рис. 11а), влияние которого на про-

ложительной и отрицательной составляющей

цесс эквилибрации явлется предметом отдельно-

вертикальной скорости, возможно, автоматиче-

го исследования. В эксперименте с раствором

ски приведет к процессу перемешивания.

криосреды с половыми клетками (рис. 11б), жид-

Таким образом, в технологии низкотемпера-

кость занимает весьма незначительный объем

турного консервирования репродуктивных кле-

стакана, поэтому процессы ее перемешивания по

ток рыб на этапе эквилибрации представляется

глубине не важны.

целесообразным использование пьезоактуаторов

на первой изгибной моде.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В дальнейшем в отдельном исследовании пла-

нируется экспериментально исследовать особен-

В работе выполнено математическое и экспе-

ности проникновения элементов криоагента че-

риментальное моделирование применения пье-

рез клеточную мембрану.

зоактуаторов в акустическом воздействии на

криозащитную среду с репродуктивными клетка-

ми рыб, которая моделируется акустической сре-

БЛАГОДАРНОСТИ

дой, на этапе эквилибрации. Построена матема-

тическая модель пьезоактуатора, создающего

Работа выполнена с использованием Биоре-

акустическое поле в рамках краевой задачи для

сурсной коллекции редких и исчезающих видов

составного упругого, электроупругого и акусти-

рыб ЮНЦ РАН № 73602.

ческого тела. Эта задача решается методом конеч-

ных элементов. В численных экспериментах на

основе определенных частот резонанса и антире-

ФИНАНСИРОВАНИЕ РАБОТЫ

зонанса найдены оптимальные геометрические

параметры пьезоактуатора, проанализирован

Работа выполнена при финансовой поддержке

распределение скоростей в акустической среде.

Российского научного фонда, грант № 21-16-

00118.

Проведен натурный эксперимент, в котором

пьезоэлектрический сенсор регистрировал аку-

стическое поле в жидкости, возбуждаемое пьезо-

КОНФЛИКТ ИНТЕРЕСОВ

актуатором. Этот эксперимент показал адекват-

ность построенной теоретической модели и чис-

Авторы заявляют об отсутствии конфликта

ленных расчетов, разница в определении

интересов.

резонансной частоты составила 3.4%.

Анализ численных результатов, представлен-

ных на рис. 4-9, показывает, что в объеме жидко-

СОБЛЮДЕНИЕ ЭТИЧЕСКИХ СТАНДАРТОВ

сти эффективно возбуждается акустическое поле

на первой изгибной моде. Однако это поле не яв-

Настоящая статья не содержит каких-либо ис-

ляется однородным, о чем свидетельствует рас-

следований с участием людей или животных в ка-

пределение скоростей внутри жидкости. Поэтому

честве объектов исследований.

БИОФИЗИКА том 67

№ 4

2022

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ АКУСТИЧЕСКОГО ПОЛЯ

699

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

19. Применение ультразвука в медицине. Физические ос-

новы, Под ред. К. Хилла (Мир, М., 1989).

https://www.un.org/sustainabledevelopment/hunger/

20. В. Б. Акопян и Ю. А. Ершов, Основы взаимодей-

https://www.wfp.org/

ствия ультразвука с биологическими объектами

Global Report on Food Crises (Food Security Informa-

(МГТУ им. Н.Э. Баумана, М., 2005).

tion Network, WFP,

2021). https://docs.wfp.org/

21. А. И. Журавлев, Биофизическая и радиационная эко-

api/documents/WFP-0000127343/download/

логия («Белые альвы», М., 2012).

Е. Н. Пономарёва, М. М. Богатырёва и А. М. Тихо-

22. T. Ogawa, Piezoelectric Materials (Springer, 2016).

миров, Докл. РАН, 431 (2), 264 (2010).

23. https://www.americanpiezo.com/

Е. Н. Пономарёва, А. М. Тихомиров, М. М. Бога-

24. Handbook of Advanced Dielectric, Piezoelectric and Fer-

тырёва и др., Патент 2009115035/12 (2009).

roelectric Materials, Ed. by Z.-G. Ye (Woodhead Publ.,

M. Mahbubul Hassan, J. G. Qin, and X. Li, Aquacul-

2008).

ture, 438, 24 (2015).

25. T. M. Atanackovic and A. Guran, Theory of Elasticity

Y. Ho Leea, J. Yeol Parka, I. Young Leeb, et al., Aqua-

for Scientists and Engineers (Birkhäuser, Basel, 2000).

culture, 531, 735969 (2021).

26. R. B. Hetnarski and J. Ignaczak, The Mathematical

E. Kása, G. Bernáth, T. Kollár, et al., Gen. Comp. En-

Theory of Elasticity (CRC Press, 2013).

docrinol., 245, 102 (2017).

27. A. I. Lurie. Theory of Elasticity (Foundations of Engi-

G. Lichtenstein, M. Elisio, and L. A. Miranda, Aqua-

neering Mechanics) (Springer, 2005).

culture, 306, 357 (2010).

28. J. Yang, An Introduction to the Theory of Piezoelectricity

10.

Y. Liu, M. Eskridge, A. Guitreau, et al., Aquacult. En-

(Springer, 2018).

gineer., 95, 102202 (2021).

29. R. N. Miles, Physical Approach to Engineering Acoustics

11.

Sh. Liu, G. Wang, Z. Chen, et al., Theriogenology,

(Springer Int. Publ., 2020).

133, 22 (2019).

30. S. N. Shevtsov, A. N. Soloviev, I. A. Parinov, et al.,

12.

H. Yang and T. R. Tiersch, Comp. Biochem. Physiol.,

Piezoelectric Actuators and Generators for Energy Har-

Part C, 149, 224 (2009).

vesting (Springer, 2018).

13.

N. C. Motta, G. J. Machado, I. S. Ferreira, et al., Cryo-

31. S.-B. Choi and Y.-M. Han, Piezoelectric Actuators:

biology, 103, 81 (2021).

Control Applications of Smart Materials (CRC Press,

2010).

14.

H. Yang, M. Norris, R. Winn, and T. R. Tiersch, Cryo-

biology 61 (2), 211 (2010).

32. https://www.chemical.ru/

15.

C. Yildiz, Y. Bozkurt, and I. Yavas, Cryobiology, 67 (1),

33. https://minimed.ru/

91 (2013).

34. A. Belokon, V. Eremeyev, A Nasedkin, et al., J. Appl.

16.

V. P. Osipova, M. N. Kolyada, N. T. Berberova, et al.,

Math. Mechanics, 64 (3), 367 (2000).

Cryobiology 69 (3), 467 (2014).

35. A. Belokon, A. Nasedkin, and A. Solovyev, J. Appl.

17.

М. М. Богатырева, Оптимизация методов криокон-

Math. Mechanics, 66 (3), 481 (2002).

сервации спермы для сохранения генофонда осетро-

36. D. J Griffiths, Introduction to Electrodynamics (Pear-

вых рыб (Астрахань, 2010).

son/Addison-Wesley, 1999).

18.

A. R. Williams, Ultrasound: biological effects and poten-

37. K. Ch. Kao, Dielectric Phenomena in Solids (Acad.

tial hazards (Acad. Press, 1983).

Press, 2004).

Mathematical Simulation of Acoustic Effect on Cryoprotector

with Fish Sperm at Equilibration

Е.N. Ponomareva*^,**, А.N. Soloviev*^,***, А.А. Маtrosov*, V.А. Chebanenko**, D.А. Nizhnik*,

А.А. Egorova*^, ***, and А.А. Кrasilnikova*^, **

*Don State Technical University, pl. Gagarina 1, Rostov-na-Donu, 344010 Russia

**Southern Scientific Center, Russian Academy of Sciences, prosp. Chekhova, 41, Rostov-na-Donu, 344006 Russia

***Southern Federal University, ul. Milchakova 8a, Rostov-na-Donu, 344090 Russia

The work is devoted to mathematical modeling of application of piezoactuators in technology of low-tem-

perature preservation of reproductive cells of sturgeon fish with intelligent control of freezing process. Pre-

cisely, after placing fish reproductive cells in the cryoprotective medium at the equilibration stage, they are

exposed to an acoustic field. The work builds a mathematical model of a piezoactuator that creates an acous-

tic field. Numerical experiments were performed using finite element analysis. As a result, resonance and an-

tiresonance frequencies, electromechanical coupling coefficient were determined, velocity distributions in

the volume occupied by the suspension were analyzed, optimal characteristics of the piezoactuator creating

the acoustic field were found. A full-scale experiment was also conducted.

Keywords: piezoactuator, acoustic impact, cryoprotector, balancing, fish sperm, finite element method

БИОФИЗИКА том 67

№ 4

2022