БИОФИЗИКА, 2022, том 67, № 6, с. 1209-1219

БИОФИЗИКА CЛОЖНЫX CИCТЕМ

УДК 532.11:539.3:577.1

ВЛИЯНИЕ НЕЛИНЕЙНОСТИ УПРУГИХ СВОЙСТВ РОГОВИЦЫ

НА РЕЗУЛЬТАТЫ ТОНОМЕТРИИ ПО ШИОТЦУ: ОЦЕНКА НА ОСНОВЕ

ДВУХКОМПОНЕНТНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

*Институт механики Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова,

Мичуринский пр., 1, Москва, 117899, Россия

^#E-mail: moiseeva.ir@yandex.ru

^##E-mail: stein.msu@bk.ru

Поступила в редакцию 18.07.2022 г.

После доработки 18.07.2022 г.

Принята к публикации 25.07.2022 г.

При тонометрии по Шиотцу роговица глаза, предварительно нагруженная вогнутым тяжелым

штампом (стопой), дополнительно нагружается стержнем (плунжером), по глубине погружения

которого в роговицу судят о величине внутриглазного давления. Выполнено математическое

моделирование этого процесса на базе эффективной модели глазного яблока, ранее разработанной

и тестированной авторами. В отличие от базового (физически линейного) варианта этой модели,

упругие свойства системы характеризуются здесь не двумя, а тремя существенными параметрами,

один из которых отвечает за нелинейность упругого поведения роговицы. Численно анализируется

влияние такой нелинейности на тонометрическую разность - превышение тонометрического

давления (в глазу, нагруженном тонометром) над истинным (до нагружения). Обнаружена

отсутствующая в линейной модели возможность немонотонной зависимости тонометрической

разности от истинных давлений, когда последние малы. Оценена вносимая нелинейностью

поправка в расчет истинного давления по тонометрическому. Эта поправка имеет разный знак в

зависимости от истинного давления и оказывается существенной для достаточно высоких значений

этой величины: в этом случае учет нелинейности уменьшает тонометрическую разность. Однако

зависимость от обеих присутствующих в модели жесткостей (роговичной и склеральной) в

большинстве случаев более существенна, чем влияние нелинейности. Использование при расчете

истинного давления средних значений этих жесткостей вместо индивидуальных может приводить к

фатальным ошибкам для глаз, жесткость которых сильно отклоняется от средней, что, в частности,

имеет место при глаукоме. Зависимости, используемые в клинике при стандартной обработке

данных тонометрии по Шиотцу, могут при некоторых значениях упругих параметров давать с

практической точностью правильные результаты, но значительно отклоняются от расчетных даже

при средних значениях этих констант, и тем заметнее, чем больше вес плунжера. Полностью

корректный подход к оценке механического состояния и механических характеристик глаза должен

включать несколько измерений по крайней мере двумя разными тонометрами с последующей

численной обработкой результатов.

Ключевые слова: глаз, упругие свойства, роговица, нелинейная упругость, тонометрия, тонометр

Шиотца, математическое моделирование.

DOI: 10.31857/S0006302922060175, EDN: LLEFQM

В 2011 г. нами была опубликована работа [1], в

однородной, а склеральный элемент считался ли-

которой предложен эффективный подход к мате-

нейно упругим. Предложенный подход был ис-

матическому моделированию механического

пользован в той же работе для моделирования ап-

нагружения роговицы глаза внешними устрой-

планационной тонометрии по Маклакову. В

ствами. Этот подход основан на представлении

дальнейшем исходная (базовая) модель была

роговицы безмоментной поверхностью, а скле-

применена при моделировании нагружения глаза

ральной области - нульмерным элементом, от-

различными устройствами и обобщена на случай

кликающимся изменением объема на изменения

пространственно неоднородной роговицы [2-4].

внутреннего давления. В работе [1] поверхность,

В отличие от большинства численных иссле-

представляющая роговицу, предполагалась ли-

дований механики глаза, разрабатываемые нами

нейно упругой, изотропной и пространственно

модели содержат лишь небольшое количество па-

1209

1210

МОИСЕЕВА, ШТЕЙН

раметров, определяющих упругие свойства глаз-

значительно упрощающих моделирование. Во-

ного яблока (в базовой модели их всего три, из

первых, было показано, что в рассматриваемых

них два существенных). Таким образом, внутриг-

диапазонах давлений деформации остаются

лазное давление и индивидуальные представи-

малыми, что позволило сохранить прежнюю фор-

тельные механические характеристики глаза,

му уравнений равновесия, написанных в предпо-

влияющие на интерпретацию результатов клини-

ложении малости деформаций (при допущении

ческих измерений, могут быть определены в не-

конечных перемещений) [19]. Во-вторых, выяс-

большом количестве опытов после математиче-

нилось, что для элемента, представляющего скле-

ской обработки полученных данных. В конечном

ральную область, правомерно сохранить линей-

счете такая методика обосновывает, обобщает и

ную зависимость объема от давления [20]. В-тре-

уточняет ту оценку механического состояния и

тьих, предложено [19] физически корректное

механических характеристик глаза на основе эм-

пирических зависимостей, которая традиционно

экспоненциальное соотношение, связывающее

используется в клинике для интерпретации ре-

возникающие в поверхности, моделирующей ро-

зультатов измерений [5-7]. При численных рас-

говицу, усилия (двумерные напряжения) с ее де-

четах, основанных на учете множества парамет-

формациями. Для случая изотропной и однород-

ров, характеризующих упругие свойства глазных

ной (как поверхность) роговицы такая нелиней-

тканей, такое обобщение невозможно, и получа-

ность приводит к появлению лишь одного

емые выводы сводятся лишь к общим рекоменда-

дополнительного к линейной модели параметра

циям [8, 9]. Это связано с тем, что упругие харак-

нелинейности, т.е. упругие свойства объекта ха-

теристики глазного яблока сильно индивидуаль-

рактеризуются теперь тремя существенными па-

ны [10]: они не могут быть определены для

раметрами.

конкретного живого глаза заранее и при коррект-

ной методике должны оцениваться в процессе из-

Сравнение результатов расчетов по линейному

мерений. Более того, оценка индивидуальных

варианту модели с данными опытов на живом

упругих свойств глазного яблока оказывается су-

глазу позволило ранее оценить порядок двух

щественной для диагностики, в первую очередь

упругих параметров - роговичной и склеральной

глаукомы. Для такой оценки разработаны базиру-

жесткостей - присутствующих в модели [1]. Зна-

ющиеся на тонометрии процедуры: эластотоно-

чения этих параметров для конкретного обследу-

метрия и дифференциальная тонометрия. Одна-

емого глаза могут при этом существенно отли-

ко, строго говоря, величина внутриглазного дав-

ления и упругие свойства в большинстве случаев

чаться от рассчитанных по множеству глаз сред-

не могут оцениваться раздельно, и их определе-

них значений. Порядок параметра нелинейности

ние представляет собой единую задачу.

был оценен [19] на основании сравнения расче-

При всей грубости полуэмпирических моде-

тов по модели с данными по растяжению изоли-

лей, положенных в основу стандартной методики

рованной роговицы давлением и затем уточнен

обработки измерений, эти модели учитывают

[20] при сравнении с результатами опытов по вве-

(хотя и не вполне корректно) наблюдаемую в экс-

дению известных объемов жидкости в энуклеиро-

периментах нелинейность упругого отклика глаз-

ванный глаз. При этом было показано, что оцен-

ного яблока на изменения давления [11-15]. В

ки значений упругих констант, сделанные ранее в

большинстве исследованных нами ситуаций не-

рамках линейной модели, сохраняются и для не-

линейность, тем не менее, не слишком суще-

линейной, если под жесткостью роговицы пони-

ственна, поскольку при нагружении тонометром

мать ее жесткость при физиологически нормаль-

давления (а, следовательно, и напряжения), как

ных давлениях. Нелинейное обобщение исход-

правило, меняются в достаточно узком диапазо-

ной модели было использовано для оценки

не. Однако в случае тонометра Шиотца ситуация

влияния нелинейности роговицы на результаты

оказывается иной: в ненагруженном и нагружен-

ном тонометром глазу давления различаются зна-

тонометрии по Маклакову. В целом связанные с

чительно - на десятки миллиметров ртутного

нелинейностью поправки оказались, как и ожи-

столба, т.е. меняются в диапазоне, для которого

далось, не слишком существенными.

эксперименты демонстрируют заметную нели-

Настоящая работа посвящена исследованию

нейность упругого поведения роговицы [16-18] и

влияния нелинейности упругих свойств рогови-

глазного яблока в целом [11-15].

цы на результаты тонометрии по Шиотцу. Основ-

С целью учета эффектов, связанных с нели-

ной вопрос, на который предполагается ответить:

нейностью упругого поведения глазных тканей,

в каком диапазоне упругих параметров использо-

мы разработали физически нелинейное обобще-

ние нашей базовой модели, максимально при-

вание линейной модели может привести к суще-

способленное к решаемым задачам [19]. При этом

ственным ошибкам при оценке внутриглазного

оказалось, что можно принять ряд допущений,

давления?

БИОФИЗИКА том 67

№ 6

2022

ВЛИЯНИЕ НЕЛИНЕЙНОСТИ УПРУГИХ СВОЙСТВ РОГОВИЦЫ

1211

Рис. 1. К постановке задачи: роговица до внешнего нагружения (а) и нагруженная тонометром Шиотца (б): 1 -

свободная роговица, 2 - вогнутый штамп (стопа), 3 - стержень (плунжер); стрелки и буквы A и B указывают точки

отрыва роговицы от стопы, буква C - точку отрыва роговицы от плунжера. На схеме показана конфигурация

изучаемого объекта справа от оси симметрии (оси глаза); R_c - радиус не нагруженной извне роговицы; R_b - радиус

круга, на который она опирается; h - заглубление плунжера.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

)′ -T

cosϕ=

И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

-T

sinϕ-rϕ′

+λr

Схема нагружения в импрессионном тономет-

(1)

r′=λ

cosϕ,

ре Шиотца представлена на рис. 1. Роговица глаза

лежащего пациента нагружается вогнутым штам-

sinϕ , ϕ =

λ =

1+ε, ε

-1.

пом (стопой). Через ее центральное отверстие

свободно опускается стержень (плунжер) с вогну-

той торцевой поверхностью, вдавливающейся в

Здесь независимым параметром считается ко-

роговицу. Непосредственно измеряемая величи-

ордината s, отсчитываемая по дуге образующей

на - заглубление плунжера под поверхность

роговицы в ненагруженном состоянии от ее пере-

сечения с осью симметрии; T₁ и T₂ - касательные

стопы.

усилия в меридиональном и перпендикулярном к

Общая постановка задачи в рамках базовой

нему направлениях (двумерные напряжения

(физически линейной) модели подробно описана

[19]); r - расстояние точки поверхности, пред-

в [1] и конкретизирована для тонометра Шиотца

ставляющей роговицу, от оси; φ - угол между

в работе [3]. Модификация модели с учетом нели-

нормалью к этой поверхности и осью симметрии;

нейности упругого отклика роговицы представ-

ε₁ и ε₂ - деформации в направлении главных

лена и обоснована в [19]. Здесь ограничимся вос-

осей, отсчитываемые от начального состояния

произведением необходимых соотношений без

(без внешней нагрузки при давлении p₀). Угол φ

обоснований и обсуждений.

считается положительным, если нормаль направ-

Рассматривается осесимметричная деформа-

лена во внешнюю относительно оси сторону.

ция роговицы как упругой безмоментной двумер-

Функции r₀(s) и φ₀(s) - значения функций r(s) и

ной поверхности, первоначально распертой толь-

φ(s) при начальной сферической конфигурации

ко внутренним давлением p₀ (истинное давле-

(рис. 1а). В этой конфигурации T₁ = T₂ = T₀ =

ние), а затем нагруженной тонометром. В

= p₀R_c/2.

результате этого нагружения устанавливается то-

нометрическое давление p_t. Предполагается, что в

В областях контакта роговицы с элементами

нагружающего устройства имеют место связи

не нагруженном извне состоянии роговица имела

форму сферического сегмента радиуса R_c с ради-

sinϕ=

, sin ϕ=

(2)

усом основания R_b (рис. 1а). В областях свобод-

ной роговицы (вне контакта с приложенной на-

грузкой, на рис. 1б обозначены цифрой 1) уравне-

для стопы с радиусом r_f и плунжера с радиусом r_p

ния равновесия в предположении малых

соответственно. В предположении свободного

деформаций с учетом конечности смещений име-

проскальзывания роговицы по поверхностям

ют следующий вид:

контакта система (1) остается справедливой в об-

БИОФИЗИКА том 67

№ 6

2022

1212

МОИСЕЕВА, ШТЕЙН

ластях контакта за исключением проекции урав-

Определяющее соотношение, связывающее

нения равновесия на нормальное к роговице на-

двумерные напряжения T₁ и T₂ с деформациями

правление (второе уравнение из уравнений рав-

относительно начального, не нагруженного тоно-

новесия

(1)), которое теперь заменяется

метром, состояния ε₁ и ε₂ задается в виде

соответствующей связью из уравнений (2).

AB(exp(

B Cε

)

-1)

C(exp(

B Cε

)

-1)]+T

AB(exp(

B Cε

)

-1)

C(exp(

B Cε

)

-1)]+T

(3)

)

ς

-ν 

1±

=ς-





1−ν

+ν

(

)





В силу симметрии решение задачи ищется в

где E_c*(p₀) и v_c - модуль растяжения и коэффици-

области, лежащей по одну сторону от оси симмет-

ент Пуассона роговицы как двумерной упругой

рии (s ≥ 0). В качестве граничных условий на кон-

поверхности в начальном состоянии [19]; ζ - па-

цах области принимаем (см. работу [1]) условие

раметр нелинейности.

закрепления роговицы на склере, деформации и

Если рассматривать не нагруженную извне ро-

смещения которой считаются малыми, и условие

говицу (рис. 1а), закрепленную по границе, и

ограниченности усилия T₁ в точке пересечения с

принять, что она имеет при давлении p₀ форму

осью симметрии. Последнее принимает форму

сферического сегмента, то при другом давлении

асимптотического соотношения при s → 0: r ~ (1 +

p₀´ ее сферичность утратится, деформация уже не

+ ε₁)s [21]. Условия на границах отрыва роговицы

будет пространственно однородной, а тензор

от твердых поверхностей имеют следующий вид [3]:

жесткости перестанет быть однородным и изо-

−

тропным. Однако при нагружении только внут-

=ϕ

ренним давлением остаются малыми не только

=πr

⋅

-T

sinϕ⋅2πr,

деформации, но и перемещения. В силу этого для

такого нагружения при расчете напряжений воз-

−

=ϕ

, T

(5)

можно пренебречь неоднородностью деформа-

−

ций и изменением формы, что позволяет выби-

рать отсчетное (нагруженное только внутренним

=πr

sin(

-ϕ

)

⋅2πr

давлением) состояние произвольно, считая сег-

мент сферическим с тем же радиусом и полагая,

что упругие константы для этих состояний связа-

где G и G_f - соответственно вес плунжера и стопы,

ны такими же соотношениями, как и для одно-

* - радиус сечения плунжера, а индексами «-» и

родной деформации [19], т.е. v_c и ζ не изменяют-

«+» обозначены значения переменных по разные

ся, а модуль растяжения E_c* преобразуется по

стороны линии отрыва, причем знак «-» соответ-

формуле

ствует области, лежащей дальше от оси. В соотно-

шениях, содержащих веса (условиях равновесия),

(1-ν

)

функции, непрерывные на рассматриваемой по-

(p′)

)

(

′

(4)

верхности разрыва, индексами «-» и «+» не поме-

Таким образом, давление, при котором форма

чены.

роговичного сегмента считается сферической,

Приращение ΔV_c подроговичного объема

может практически выбираться произвольно с

(часть внутриглазного объема над плоскостью S

пересчетом E_c* по формуле (4), что было провере-

круга, на который опирается роговица) связано с

приращением всего заполненного жидкостью

но в пробных расчетах. Поскольку растяжимость

внутриглазного объема ΔV соотношениями

распертой давлением роговицы сильно зависит от

этого давления, сравнивать роговицы по их упру-

ΔV_s = K(p - p₀),

гим свойствам целесообразно при одном и том же

ΔV = ΔV_c + ΔV_s,

(6)

давлении, которое назовем отсчетным. В настоя-

щей работе за отсчетное принято давление

где ΔV_s - приращение «склерального» объема (под

12 мм рт. ст., находящееся в области значений,

плоскостью S), K - интегральная константа,

считающихся физиологически нормальными.

определяющая упругое поведение склеральной

Модуль растяжения роговицы при этом давлении

области. При моделировании тонометрии прини-

далее обозначается E_c* (без указания аргумента).

малось условие ΔV = 0, соответствующее предпо-

БИОФИЗИКА том 67

№ 6

2022

ВЛИЯНИЕ НЕЛИНЕЙНОСТИ УПРУГИХ СВОЙСТВ РОГОВИЦЫ

1213

Упругие константы E_s и E_c варьировались в

широком диапазоне. В настоящей работе диапа-

зон изменения этих величин несколько расширен

в сторону их увеличения по сравнению с рассмат-

ривавшимся нами ранее, причем особое внима-

ние обращено на случай одновременного значи-

тельного превышения значений обеих жестко-

стей над средними. Это связано с тем, что

имеются данные об увеличении жесткостей как

склеральной, так и роговичной ткани с возрастом

и при глаукоме [22]. Необходимость такого рас-

ширения области исследуемых жесткостей под-

тверждается тем, что для некоторых глаз получен-

ные в клинике при дифференциальной тономет-

рии результаты

оказалось

возможным

согласовать с теоретическими расчетами лишь

Рис. 2. Зависимость тонометрической разности от

для таких значений. Здесь и ниже под средними

истинного давления для различных значений

(нормальными) значениями жесткостей понима-

коэффициента нелинейности: ζ = 1 (кривые 1), ζ = 30

ются оценки, полученные нами ранее для здоро-

(кривые 2), ζ = 60 (кривые 3) при E_c = 0.3 МПа,

вых глаз [1]: E_s = 10 МПа и E_c = 0.3 МПа. Иссле-

= 10 МПа. Сплошные линии - вес плунжера 7.5 г,

E_s

дуемый диапазон истинных давлений p₀, наобо-

штриховые линии - вес плунжера 5.5 г.

рот, расширен в сторону уменьшения до

значений p₀ ~ 5 мм рт. ст., поскольку именно при

ложению о постоянстве объема жидкости под

малых давлениях наблюдаются наиболее значи-

оболочкой глаза за время процедуры.

тельные отклонения показаний дифференциаль-

ной тонометрии от нормальных. Подробному

Для удобства сравнения с данными других ав-

анализу влияния нелинейности упругих свойств

торов упругие константы модели далее были пе-

роговицы на результаты дифференциальной то-

реопределены [1] по формулам E_c* = δE_c, K =

нометрии будет посвящена отдельная статья.

= (ζE_s)^-1, где δ = 0.5 мм - средняя в норме толщи-

Численное решение осуществлялось методом

стрельбы с использованием схемы Рунге-Кутта

на роговицы, а ζ = 1.44·10^-5 мм^-3. Константы E_s и

четвертого порядка.

E_c, имеющие размерность упругого модуля (и

давления), далее именуются жесткостями - скле-

ВЛИЯНИЕ НЕЛИНЕЙНОСТИ РОГОВИЦЫ

ральной и роговичной (роговицы) соответствен-

НА СВЯЗЬ МЕЖДУ ТОНОМЕТРИЧЕСКИМ

но. Роговичная жесткость E_c имеет смысл жест-

И ИСТИННЫМ ДАВЛЕНИЕМ:

кости материала роговицы, осредненной по ее

ЧИСЛЕННЫЕ РАСЧЕТЫ

условной (нормальной) толщине. Склеральная

Процедуру интерпретации результатов тоно-

жесткость E_s - средняя по толщине склеры жест-

метрии принято разделять на две составляющие.

кость ее материала при выборе специальной гру-

Сначала определяется тонометрическое давление

бой модели склеральной области (однородная

p_t по непосредственно измеряемой геометриче-

оболочка, имеющая форму сферического сегмен-

ской величине (в случае тонометра Шиотца - по

та со стандартными для человеческой склеры ра-

заглублению плунжера h), а затем ищется истин-

диусом и толщиной) [1]. Полагаем геометриче-

ное давление p₀ по тонометрическому p_t. Разность

ские параметры роговицы равными их нормаль-

между этими давлениями p_t - p₀ будем называть

ным для человеческого глаза значениям: R_c = 8 мм,

тонометрической разностью.

R_b = 5.8 мм. Коэффициент Пуассона принимает-

Первая из этих задач исследована нами с уче-

ся равным v_c = 0.45, что соответствует слабой

том нелинейности упругих свойств роговицы в

сжимаемости роговицы как трехмерного объекта.

работе [23]. Установлено, что нелинейность (как

Радиусы кривизны двух компонентов тонометра

и вообще упругие свойства) роговицы сколько-

Шиотца - стопы и плунжера - полагаем равными

нибудь заметно влияет на зависимость p_t(h) лишь

r_f = r_p = 15 мм, а вес стопы G_f = 11 г. Это стандарт-

при очень низких, практически не наблюдаемых

ные характеристики прибора. В расчетах иссле-

тонометрических давлениях порядка и ниже

довали двa наиболее употребительных веса

20 мм рт. ст. Таким образом, для физического

плунжера: G = 5.5 и 7.5 г. Грузы именно такого ве-

осмысления результатов тонометрии по Шиотцу

са используются в тонографе GlauTest 60, приме-

основной становится задача о связи между истин-

няющемся во многих российских клиниках.

ным и тонометрическим давлениями.

БИОФИЗИКА том 67

№ 6

2022

1214

МОИСЕЕВА, ШТЕЙН

Рис. 3. Зависимость тонометрической разности от истинного давления для различных значений отсчетной жесткости

роговицы. (а) - Сплошные кривые соответствуют E_c = 0.6 МПа, штриховые кривые - 0.3 МПа; E_s = 10 МПа, G = 5.5 г;

ζ = 1, ζ = 30, ζ = 60 (сверху вниз, если смотреть на кривые справа). (б) - G = 7.5 г, ζ = 60, кривые нижнего семейства

соответствуют склеральной жесткости E_s = 10 МПа, верхнего семейства - 40 МПа, E_c = 0.3 МПа (кривые 1), 0.6 МПа

(кривые 2), 0.9 МПа (кривые 3); штриховая кривая в верхнем семействе имеет те же параметры, что и кривая 1, но

соответствует практически линейному случаю (ζ = 1).

На рис. 2 представлены зависимости тономет-

мальной склеральной жесткости E_s = 10 МПа и

рической разности от истинного давления при

разных значениях параметра нелинейности. При

разных значениях параметра нелинейности для

более высокой жесткости роговицы (и том же па-

весов плунжера 5.5 и 7.5 г и нормальных значений

раметре нелинейности) тонометрическая разность

отсчетной роговичной и склеральной жесткостей

меньше. С ростом давления тонометрическая раз-

E_c = 0.3 МПа и E_s = 10 МПа. Поскольку использу-

ность падает, тогда как разность между тонометри-

емое уравнение состояния теряет смысл при ζ = 0

ческими разностями при разных жесткостях рого-

(хотя и возможен предельный переход при стрем-

вицы растет, и она тем больше, чем выше параметр

лении к этому значению), здесь и далее в качестве

нелинейности: при p₀ ~ 30 мм рт. ст. и ζ = 60 эта ве-

минимального значения параметра нелинейно-

личина имеет порядок 2 мм рт. ст. При общем сов-

сти берется ζ = 1, что дает зависимости, практиче-

падении характера поведения кривых с их поведе-

ски совпадающие с теми, которые получаются

нием на рис. 2 значение давления, при котором по-

при строго линейной реологии. Далее в случае

правка на нелинейность меняет знак, оказывается

ζ = 1 будем без специальных уточнений говорить

выше для более жесткой роговицы. Соответствен-

о линейно упругой роговице. Видно, что при уме-

но, значение этой поправки в области достаточно

ренных (низких и нормальных - до 20 мм рт. ст.)

высоких давлений, где она существенна, меньше:

значениях истинного давления p₀влияние нели-

при p0 ~ 30 мм рт. ст. для средней роговицы

нейности на тонометрическую кривую невелико:

(E_c = 0.3 МПа) она достигает 2 мм рт. ст., а для бо-

поправки меньше 1 мм рт. ст. Они возрастают с

лее жесткой (Ec = 0.6 МПа) не превосходит

уменьшением давления. При значениях p₀ поряд-

1 мм рт. ст.

ка 20 мм рт. ст. поправка меняет знак (тономет-

Характер влияния жесткости роговицы на то-

рическая разность с возрастанием степени нели-

нометрическую кривую заметно меняется в слу-

нейности теперь падает, а не растет) и с дальней-

чае очень жесткой склеральной области. Из

шим ростом давления довольно быстро

рис. 3б видно, что кривая, представляющая зави-

увеличивается по абсолютной величине. При

симость тонометрической разности от истинного

p₀ ~ 30 мм рт. ст. и ζ = 60 она имеет для стандарт-

давления при средней роговичной жесткости

ных жесткостей порядок 2 мм рт. ст. Интересно,

(E_c = 0.3 МПа) заметно загибается книзу, так что

что тонометрические кривые при возрастании

во всей области низких и умеренных давлений p₀

степени нелинейности заметно спрямляются: их

(не превосходящих 20 мм рт. ст.) тонометриче-

форма приближается к линейной.

ская разность практически (с точностью

Исследуем теперь влияние на тонометрические

1 мм рт. ст.) не зависит от давления. При заметно

кривые обеих жесткостей. На рис. 3а показано вли-

более жестких роговицах этот эффект не наблю-

яние отсчетной роговичной жесткости при нор-

дается, и с уменьшением давления тонометриче-

БИОФИЗИКА том 67

№ 6

2022

ВЛИЯНИЕ НЕЛИНЕЙНОСТИ УПРУГИХ СВОЙСТВ РОГОВИЦЫ

1215

Рис. 4. Зависимость тонометрической разности от истинного давления для различных значений склеральной

жесткости при отсчетной жесткости роговицы E_c = 0.3 МПа и весе плунжера G = 7.5 г. Сплошные кривые

соответствуют нелинейной роговице (ζ = 60), штриховые кривые - линейной роговице (ζ = 1). Снизу вверх:

склеральная жесткость для нелинейной роговицы (сплошные кривые) равна E_s = 6, 10, 20, 40, 60 МПа; для линейной

роговицы (штриховые кривые) - 6, 10, 20 МПа.

ская разность в этой области продолжает расти. В

p₀ ~ 30 мм рт. ст. для кривых, приведенных на

результате при давлении порядка p₀ ~ 5 мм рт. ст.

рис. 4, учет нелинейности уменьшает тонометри-

для роговицы с отсчетной жесткостью E_c = 0.3 МПа

ческую разность на величину не более 2 мм рт. ст.

она оказывается приблизительно на 4 мм рт. ст.

В нелинейном случае кривые «прямее», чем в ли-

больше, чем для роговицы с E_c = 0.9 МПа. При

нейном. Для больших склеральных жесткостей в

этом случае наблюдается уже отмеченный выше

большой склеральной жесткости возрастание

эффект загиба кривой при малых давлениях.

жесткости роговицы в области низких и умерен-

ных давлений приводит уже не к убыванию, а воз-

Важнейшим остается вопрос о возможных

растанию тонометрической разности. Представ-

ошибках при обработке данных тонометрии на

ленная для сравнения штриховая кривая, соот-

основе тех соотношений, которые закреплены

ветствующая линейно упругой роговице со

международными стандартами и используются в

средней роговичной жесткостью (E_c = 0.3 МПа) и

клинике [5, 6]. На рис. 5 показаны зависимости

той же склеральной жесткостью 40 МПа, никако-

для расчета истинного давления по тонометриче-

го загиба не демонстрирует, и тонометрическая

скому при нормальной склеральной жесткости

разность с уменьшением давления продолжает

E_s = 10 МПа и отсчетной жесткости роговицы

расти. Таким образом, отмеченный эффект по су-

E_c = 0.6 МПа для разных значений параметра не-

ществу связан с нелинейностью упругого поведе-

линейности. Влияние нелинейности на тономет-

ния роговицы.

рические кривые сколько-нибудь заметно только

На рис. 4 показано влияние на тонометриче-

при очень низких давлениях: для ζ = 60 различие

скую кривую склеральной жесткости при нормаль-

между кривыми, соответствующими линейному

ной отсчетной жесткости роговицы E_c = 0.3 МПа

и нелинейному поведению роговицы, достигает

для весa плунжера G = 7.5 г. Как в линейном, так

при p₀

10 мм рт. ст. значений порядка

и в нелинейном случае тонометрическая разность

2 мм рт. ст. Отличие результатов нашего расчета

с увеличением склеральной жесткости возрастает

от истинного давления, рассчитанного по тоно-

весьма значительно, и на тем большую величину,

метрическому в соответствии со стандартной ме-

чем выше давление. При p₀ ~ 30 мм рт. ст. для не-

тодикой, оказывается в целом весьма значитель-

линейной роговицы тонометрическая разность

но. Оно относительно невелико при малых давле-

при E_s = 60 МПа больше тонометрической разно-

ниях. Учет нелинейности для таких давлений

сти при E_s

= 6 МПа на величину около

несколько приближает расчетные кривые к стан-

12 мм рт. ст. Нелинейность вносит не слишком

дартным. С возрастанием давления расхождение

значительную поправку, которая становится за-

возрастает. При p₀ ~ 30 мм рт. ст. отличие расчет-

метна при достаточно больших давлениях, при

ных значений истинного давления от получаемых

которых она с ростом давления возрастает. При

при стандартной обработке достигает 4 мм рт. ст.

БИОФИЗИКА том 67

№ 6

2022

1216

МОИСЕЕВА, ШТЕЙН

Рис. 5. Зависимость истинного давления от тонометрического для различных значений коэффициента нелинейности:

ζ = 1 (кривая 1), ζ = 30 (кривая 2), ζ = 60 (кривая 3) при E_c = 0.6 МПа, E_s = 10 МПа. Масса плунжера 5.5 г (а) и 7.5 г (б).

Штриховая кривая соответствует зависимости, принимаемой при стандартной обработке данных.

для весa плунжера 5.5 г и 7 мм рт. ст. для плунжера

цисса каждой точки представленных на нем кри-

весом 7.5 г.

вых равна истинному давлению, определенному

Тем не менее, как видно из рис. 6, можно вы-

по некоторому тонометрическому с использова-

брать значения упругих констант глазного яблока

нием стандартной методики, а ордината - откло-

таким образом, чтобы расчетные кривые с доста-

нению этой величины от начального давления,

точно хорошей точностью (ошибка на интервале

рассчитанного на базе нашей модели для того же

истинных давлений 7-30 мм рт. ст. меньше или

тонометрического. Видно, что различия наиболее

порядка 1 мм рт. ст.) совпадали со стандартной

значительны при больших жесткостях роговицы,

зависимостью. При тонометрии плунжером с

весом 5.5 г такое совпадение достигается при зна-

чениях констант E_c = 0.3 и E_s = 12 МПа, а при

весе плунжера 7.5 г оно имеет место, например,

при E_c = 0.3 и E_s = 18 МПа. Найти значения упру-

гих параметров, при которых совпадение с такой

точностью имеет место при обоих весах, не удает-

ся. Однако если допустить меньшую точность

совпадения (порядка 2.5 мм рт. ст., обычно счи-

тающуюся вполне достаточной при клинических

измерениях) достаточное согласие расчетной и

стандартной кривой при обоих весах имеет место,

например, при E_c = 0.3, E_s = 15 МПа и ζ = 60 (от-

сутствует на рис. 6). В задачу настоящей работы

не входит анализ методики получения стандарт-

ной зависимости, да это с учетом давности соот-

ветствующих исследований в полной мере сейчас

и невозможно. Можно предположить, что на ре-

зультаты тех экспериментов оказало влияние ис-

пользование при оценках энуклеированных глаз,

Рис. 6. Зависимость истинного давления от тономет-

для которых жесткость глазных тканей выше, чем

рического для различных значений упругих коэффи-

для живых.

циентов при ζ = 60 в сравнении со стандартной зави-

симостью (сплошные линии). Верхние кривые из

Рис. 7 наглядно демонстрирует отклонение

каждой пары соответствуют весу плунжера 5.5 г, ниж-

расчетных истинных давлений от полученных с

ние - весу плунжера 7.5 г. Штриховые кривые рас-

применением стандартной методики при различ-

считаны для E_c = 0.3 МПа и E_s = 18 МПа, штрих-

ных упругих параметрах глазного яблока. Абс-

пунктирные кривые - для E_c = 0.3 МПа и E_s = 12 МПа.

БИОФИЗИКА том 67

№ 6

2022

ВЛИЯНИЕ НЕЛИНЕЙНОСТИ УПРУГИХ СВОЙСТВ РОГОВИЦЫ

1217

ющего нелинейность упругого поведения рогови-

цы, дало возможность сравнить влияние степени

этой нелинейности с влиянием других интеграль-

ных упругих характеристик: роговичной и скле-

ральной жесткостей. Поскольку ранее было пока-

зано, что нелинейностью упругого поведения

склерального сегмента в задачах тонометрии

можно пренебречь, такой анализ можно считать

полным, если речь не идет о случаях сильной про-

странственной (геометрической или механиче-

ской) неоднородности.

Оказалось, что даже в случае тонометрии по

Шиотцу, при которой разность между тономет-

рическим и истинным давлениями относительно

велика, влияние нелинейности на связь между

ними в большинстве случаев не слишком значи-

тельно. Поправка к результатам расчета истинно-

Рис. 7. Влияние упругих параметров глазного яблока

го давления по тонометрическому вследствие

на разность между истинным давлением, вычислен-

учета нелинейности оказывается весьма суще-

), и истинным дав-

ным по стандартной методике (p_Fr

ственной лишь при достаточно больших истин-

лением, рассчитанным на основании модели (p₀).

ных давлениях - порядка 30 мм рт. ст.и выше.

Сплошные кривые соответствуют E_c = 0.3 МПа,

Для таких давлений учет нелинейности уменьша-

штриховые кривые - E_c = 0.9 МПа. Верхняя пара

кривых - E_s = 40 МПа, нижняя пара кривых - E_s =

ет тонометрическую разность. В общем же случае

= 10 МПа. Вес плунжера 7.5 г, ζ = 60.

поправка имеет разный знак в зависимости от ве-

личины давления. Обнаружена отсутствующая в

линейной модели возможность немонотонной

но давления, при которых различие особенно су-

зависимости тонометрической разности от давле-

щественно, ниже при большой склеральной

ний, когда последние малы. Непосредственно на

жесткости. В зависимости от величины склераль-

результат тонометрии (т.е. на зависимость истин-

ной жесткости разность p_Fr - p₀ может иметь раз-

ного давления от тонометрического) этот эффект

ный знак.

влияет мало, но может сказаться при дифферен-

циальной тонометрии.

Зависимость от обеих присутствующих в моде-

ОБСУЖДЕНИЕ

ли жесткостей, как правило, более существенна,

Разработанная нами модель экспоненциально

чем влияние нелинейности. Особенно велико

упругой роговицы позволяет оценивать влияние

влияние склеральной жесткости: расчет по ее

характеризующих упругость глазного яблокаp0

среднему значению может давать громадную

параметров при различных типах механического

ошибку - до 10 мм рт. ст.и более. При большой

нагружения глазного яблока. На основе сравне-

склеральной жесткости существенным становит-

ния с результатами опытов, проводившихся на

ся и влияние жесткости роговицы: ее возрастание

мертвой роговице, ранее была доказана эффек-

в этом случае ведет при малых и умеренных ис-

тивность этой модели и определен порядок упру-

тинных давлениях к увеличению тонометриче-

гих констант, в ней присутствующих. Заметим,

ской разности. В случае очень жесткой склераль-

что данные многочисленных экспериментов по

ной области растяжимость роговицы, хотя и за-

растяжению вырезанных из роговицы фрагмен-

нимающей существенно меньшую, чем склера,

тов не позволяют непосредственно перейти к ее

часть оболочки глаза, становится решающим

интегральным характеристикам, а кроме того

фактором.

сильно зависят от условий опыта. Разработанная

Имеются такие значения параметров, характе-

же нами модель дает возможность оценивать эти

ризующих жесткость глазного яблока, при кото-

характеристики в опытах как на целой роговице и

рых стандартные зависимости, используемые в

интактном глазном яблоке, так и на живом глазу.

клинике при обработке данных тонометрии по

В настоящей работе на основании разработан-

Шиотцу, с практической точностью дают пра-

ного и тестированного нами интегрального под-

вильные результаты. Вообще говоря, они различ-

хода численно проанализировано влияние упру-

ны для плунжеров разного веса, однако при неко-

гих характеристик глазного яблока на связь меж-

тором ослаблении критериев можно подобрать

ду тонометрическим и истинным давлениями

такие наборы характеристик, которые дают при-

при тонометрии по Шиотцу. Включение в рас-

емлемое совпадение для обоих рассмотренных

смотрение параметра, эффективно характеризу-

весов. В целом, для наиболее часто используемо-

БИОФИЗИКА том 67

№ 6

2022

1218

МОИСЕЕВА, ШТЕЙН

го плунжера весом 5.5 г отклонения оказываются,

КОНФЛИКТ ИНТЕРЕСОВ

хотя и заметными, но относительно умеренными,

Авторы заявляют об отсутствии конфликта

если упругие параметры остаются вблизи средних

интересов.

значений. Однако при весе плунжера 7.5 г рас-

хождение полученных с помощью стандартной

методики оценок истинного давления с расчет-

СОБЛЮДЕНИЕ ЭТИЧЕСКИХ СТАНДАРТОВ

ными может оказаться значительным и в этом

Настоящая статья не содержит каких-либо ис-

случае.

следований с участием людей или животных в ка-

честве объектов исследований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Оценка внутриглазного давления с помощью

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

единственного тонометрического измерения иг-

И. Н. Моисеева и А. А. Штейн, Изв. РАН. Механи-

норирует индивидуальные упругие характеристи-

ка жидк. и газа, № 5, 3 (2011).

ки обследуемого глаза. Если все же необходи-

Г. А. Любимов, И. Н. Моисеева и А. А. Штейн,

мость в такой оценке есть, использование нашей

Изв. РАН. Механика жидк. и газа, № 6, 5 (2014).

модели при средних значениях упругих констант

И. Н. Моисеева и А. А. Штейн, Росс. журн. био-

представляется более обоснованным, чем расчет

мех., 19 (3), 243 (2015).

на основе стандартных зависимостей. Тем не ме-

И. Н. Моисеева, А. А. Штейн и Г. А. Любимов,

нее даже такой уточненный подход приводит к

Биофизика, 64 (5), 1030 (2019).

ошибкам, которые могут стать фатальными при

J.S. Friedenwald, Am. J. Ophthalmol.,20 (10), 985

обследовании глаза с аномальными упругими ха-

(1937).

рактеристиками. А глаукомный глаз, как прави-

J. S. Friedenwald, Standartization of Tonometers: De-

ло, именно таков.

cennial Report by the Committee on Standartization of To-

nometers (Am. Acad. Ophthalmol. Otolaryngol., 1954).

Тонометрия одним тонометром (даже при ис-

R. A. Moses, Trans. Am. Ophthalmol. Soc., 69, 494

пользовании разных весов плунжера) не дает воз-

(1971).

можности надежно оценить механическое состо-

A. Elsheikh, D. Wang, A. Kotecha, et al., Ann. Biomed.

яние (внутриглазное давление) и механические

Eng., 34, 1628 (2006).

(упругие) характеристики глаза [24]. Полностью

С. М. Бауэр, Л. А. Венатовская, Д. В. Франус и

корректный подход должен включать несколько

Л.А. Федотова, Росс. журн. биомех., 19 (2), 136

измерений с использованием по крайней мере

(2015).

двух разных тонометров с последующей числен-

10.

I. G. Pallikaris, G. D. Kymionis, H. S.Ginis, et al.,

ной обработкой результатов.

Invest. Ophthalm. Vis. Sci., 46 (2), 409 (2005).

Промежуточное положение занимает метод

11.

J. H. Clark, Am. J. Physiol., 101, 474 (1932).

дифференциальной тонометрии, когда использу-

12.

F. J. Macri, T. Wanko, and P. A. Grimes, AMA Arch.

Ophthalmol., 60 (6), 1021 (1958).

ется нагружение одним тонометром с двумя (или

более) разными грузами. Он дает возможность

13.

E. H. McBain, AMA Arch. Ophthalmol., 60 (6), 1080

(1958).

получить некоторую (хотя и неполную) информа-

14.

D. M. Silver and O. Geyer, Curr. Eye Res., 20 (2), 115

цию об индивидуальных механических свойствах

(2000).

глаза. Традиционное представление о том, что по

15.

D. W. Dyk and K. M. Miller, J. Cataract Refract. Surg.,

результату только дифференциальной тономет-

44, 231 (2018).

рии можно судить о жесткости глаза (ригидно-

16.

M. R. Bryant and P. J. McDonnell, J. Biomech. Eng.,

сти), вообще говоря, неверно: измеряемый пока-

118 (4), 473 (1996).

затель (коэффициент эластоподъема) существен-

17.

K. Anderson, A. El-Sheikh, and T. Newson, J. Roy.

но зависит от давления [24]. Исследованию этого

Soc. Interface, 1 (1), 3 (2004).

метода с учетом нелинейности упругих свойств

18.

A. Elsheikh, D. Alhasso, and P. Rama, Exp. Eye Res.,

роговицы будет посвящена отдельная работа. От-

86, 783 (2008).

метим, что при расчетах в широком диапазоне

19.

А. А. Штейн, И. Н. Моисеева и Г. А. Любимов,

параметров для определенных их комбинаций

Росс. журн. биомех., 23 (3), 375 (2019).

получены высокие значения коэффициента эла-

20. И. Н. Моисеева, А. А. Штейн и Г. А. Любимов,

стоподъема (выше 2 мм рт. ст./г). Такие значе-

Росс. журн. биомех., 24 (4), 412 (2020).

ния, измеренные у некоторых пациентов в кли-

21. И. Н. Моисеева и А. А. Штейн, Росс. журн. био-

нике, ранее не удавалось получить в рамках ли-

мех., 24 (3), 272 (2020).

нейной модели.

22. B. Liu, S. McNally, J. I. Kilpatrick, et al., Surv. Oph-

thalmol., 63 (1), 56 (2018).

23. И. Н. Моисеева и А. А. Штейн, Росс. журн. био-

ФИНАНСИРОВАНИЕ РАБОТЫ

мех., 25 (3), 230 (2021).

Работа выполнена в рамках Госпрограммы

24. И. Н. Моисеева, А. А. Штейн и Г.А. Любимов,

АААА-А19-119012990119-3.

Биофизика, 61 (6), 1219 (2016).

БИОФИЗИКА том 67

№ 6

2022

ВЛИЯНИЕ НЕЛИНЕЙНОСТИ УПРУГИХ СВОЙСТВ РОГОВИЦЫ

1219

Influence of Nonlinearity of the Elastic Properties of the Cornea on the Results

of Schiøtz Tonometry: Estimation on the Basis of a Two-Component

Mathematical Model

I.N. Moiseeva* and A.A. Stein*

*Institute of Mechanics, Lomonosov Moscow State University, Michurinsky prosp. 1, Moscow, 117899 Russia

During Schiøtz tonometry the cornea of the eye, previously loaded with a concave heavy stamp (footplate),

is additionally loaded with a rod (plunger), by the depth of immersion of which into the cornea the intraocular

pressure is estimated. Mathematical modeling of this process is performed on the basis of an effective model

of the eyeball, previously developed and tested by the authors. In contrast to the basic (physically linear) ver-

sion of this model, the elastic properties of the system are characterized here not by two, but by three essential

parameters, one of which is responsible for the nonlinearity of the elastic behavior of the cornea. The influ-

ence of such a nonlinearity on the tonometric difference, i.e., the excess of the tonometric pressure (in the

eye loaded with a tonometer) over the true one (before loading), is analyzed numerically. The possibility of a

nonmonotonic dependence of the tonometric difference on the true pressures when the latter are small,

which is absent in the linear model, is found. The correction introduced by the nonlinearity into the calcula-

tion of the true pressure from the tonometric one is estimated. This correction has a different sign depending

on the true pressure and turns out to be significant for sufficiently high values of this quantity: in this case,

taking into account the nonlinearity reduces the tonometric difference. However, the dependence on both

stiffnesses present in the model (corneal and scleral) is in most cases more significant than the effect of non-

linearity. The use of the average values of these stiffnesses instead of individual ones when calculating the true

pressure can lead to fatal errors for the eyes, the stiffness of which strongly deviates from the average, which,

in particular, occurs in glaucoma. The dependences used in the clinic during the standard processing of

Schiøtz tonometry data can give correct results with practical accuracy for some values of elastic parameters,

but deviate significantly from the calculated ones even at average values of these constants, and the more no-

ticeably the greater the weight of the plunger. A completely correct approach to estimating the mechanical

state and mechanical characteristics of the eye should include several measurements with at least two different

tonometers, followed by numerical processing of the results.

Keywords: eye, elastic properties, cornea, nonlinear elasticity, tonometry, Schiøtz tonometer, mathematical mo-

deling

БИОФИЗИКА том 67

№ 6

2022