БИОФИЗИКА, 2022, том 67, № 6, с. 1262-1268

БИОФИЗИКА CЛОЖНЫX CИCТЕМ

УДК 577.3

К ТЕОРИИ ЯВЛЕНИЯ СУПЕРКОМПЕНСАЦИИ НА ОСНОВЕ МОДЕЛИ

НЕЛИНЕЙНОГО ПЕРЕТОРМОЖЕННОГО ОСЦИЛЛЯТОРА

*Калининградский государственный технический университет,

Советский просп., 1, Калининград, 236000, Россия

^#E-mail: aaz039@yandex.ru

**Национальный исследовательский центр «Курчатовский институт»,

123182, Москва, пл. академика Курчатова, 1, Россия

***Московский авиационный институт (Национальный исследовательский университет),

Волоколамское шоссе, 4, Москва, 125993, Россия

****Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова,

Ленинские горы, 1/2, Москва, 191991, Россия

^##E-mail: sazonov.sergey@gmail.com

Поступила в редакцию 19.10.2021 г.

После доработки 19.10.2021 г.

Принята к публикации 02.09.2022 г.

Предложен аналитический подход к описанию явления суперкомпенсации на основе уравнения

нелинейного переторможенного осциллятора Дюффинга. Получено выражение для порогового

значения функционального сдвига живого организма. Найдено и проанализировано приближенное

решение, которое описывает временную динамику функционального сдвига, включая фазу супер-

компенсации первого порядка.

Ключевые слова: суперкомпенсация, функциональный сдвиг, нелинейность, нелинейный переторможен-

ный осциллятор.

DOI: 10.31857/S0006302922060242, EDN: LMNDEM

Процессы восстановления живых организмов

кращения происходит плавная релаксация функ-

после интенсивных физических нагрузок часто

ционального сдвига к нулевому значению. Одна-

происходят через фазу суперкомпенсации [1-6].

ко если сразу после действия интенсивной на-

Данный эффект, как правило, способствует уве-

грузки величина сдвига превышает некоторое

личению функциональных способностей орга-

пороговое значение P_th, то релаксация сдвига к

низма.

нулевому значению имеет квазиосциллирующий

Суть явления состоит в следующем. Пусть Q -

характер. В таком случае говорят о явлении су-

один из динамических параметров, характеризу-

перкомпенсации (или о сверхвосстановлении).

ющих состояние организма. Например, это мо-

При релаксации P к нулевому значению посред-

жет быть мгновенное значение пульса или, други-

ством одной квазиосцилляции (одного экстрему-

ми словами, частоты сердечных сокращений. В

ма в зависимости P(t)) имеем суперкомпенсацию

состоянии равновесия Q = Q_eq. При внешних воз-

первого порядка (рис. 1а). Если процесс релакса-

действиях на организм значение Q изменяется, в

ции включает две квазиосцилляции (два экстре-

результате чего данный динамический параметр

мума в зависимости P(t)), говорят о суперкомпен-

начинает зависеть от времени t: Q = Q(t). Опреде-

сации второго порядка (рис. 1б) и т.д.

лим функциональный сдвиг P(t) данного пара-

В основе эффекта суперкомпенсации лежат

метра равенством P(t) = Q_eq - Q(t). Очевидно, что

процессы пластического характера в утомленных

если организм находится в равновесном состоя-

органах и тканях живого организма [7].

нии, то P = 0. Реакция организма на внешнюю

физическую нагрузку проявляется в том, что па-

В работе [8] было предложено описывать явле-

раметр Q отклоняется от равновесного значения.

ние суперкомпенсации на основе уравнения зату-

Пусть, например, при этом Q > Q_eq, тогда P < 0.

хающего осциллятора с кубической нелинейно-

При небольших внешних нагрузках после их пре-

стью для функционального сдвига

1262

К ТЕОРИИ ЯВЛЕНИЯ СУПЕРКОМПЕНСАЦИИ

1263

данного эффекта и характере его протекания во

времени в зависимости от величины нагрузки на

организм, а также от соотношения между пара-

метрами γ и ω₀. Здесь необходимо использовать

приближенные аналитические методы решения

уравнения (1).

Заметим, что в случае, когда γ/ω₀ << 1, разра-

ботан ряд аналитических методов для нахожде-

ния приближенных аналитических решений

уравнения (1). Можно выделить методы Ван-дер-

Поля, Крылова-Боголюбова-Митропольского,

Линштедта-Пуанкаре, метод многих масштабов

и др. [9]. В другом, противоположном случае

(γ/ω₀ >> 1) хорошо зарекомендовал себя метод

пограничного слоя [9]. Этим двум взаимно про-

тивоположным условиям не удовлетворяют зна-

чения отношения γ/ω₀ из интервала (2).

Следует отметить, что при γ/ω₀ = 3/√8 ≈ 1.06

имеется одно точное решение уравнения (1) [10,

11]. Важно, что данное значение параметра γ по-

падает в интервал, определенный двойным нера-

венством (2). В работе [12] был предложен при-

ближенный подход для нахождения приближен-

ного решения уравнения

(1) при γ/ω₀

= 1,

основанный на асимптотическом методе Вентце-

Рис. 1. Эффекты суперкомпенсации первого (а) и

ля-Крамерса-Бриллюэна. В то же время при

второго (б) порядков; t₀ и t_m - соответственно време-

слабой переторможенности отсутствуют методы

на начала и максимума фазы суперкомпенсации пер-

вого порядка, P_m ≡ P(t_m) - максимальное значение

поиска приближенных аналитических решений

функционального сдвига в фазе суперкомпенсации

уравнения (1), справедливые для всех отношений

первого порядка.

γ/ω₀ из интервала значений (2).

Настоящая работа посвящена представлению

и развитию оригинального приближенного мето-

+ 2γP

+ω

+βP

(1)

да решения нелинейного уравнения Дюффинга

(1) при условии слабой переторможенности (2) и

где γ и ω₀ - постоянные параметры, характеризу-

анализу на этой основе явления суперкомпенса-

ющие соответственно вязкую и упругую сопро-

ции.

тивляемости организма по отношению к выводу

его из равновесного состояния, при котором

P = 0, β - нелинейный коэффициент упругой со-

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ, ПРИБЛИЖЕННОЕ

противляемости, точка сверху означает произ-

РЕШЕНИЕ И ЕГО АНАЛИЗ

водную по времени.

После масштабных преобразований

Условие переторможенности γ > ω₀ наряду с

жесткой (β > 0) нелинейностью обеспечивает по-

R, t

Γ =

(3)

роговый по начальному сдвигу (|P(0)| > P_th) харак-

тер эффекта [8]. Для реализации эффекта супер-

компенсации в случае здорового организма пере-

уравнение (1) и условие слабой переторможенно-

торможенность должна быть относительно

сти (2) примут соответственно вид

слабой, такой, что (см. работу [8])

1 ≤ γ/ω₀≤ 1.1.

(2)

+2Γ

(1a)

dτ2

dτ

Численные эксперименты, проведенные в ра-

1 ≤ Γ ≤ 1.1.

(2a)

боте [8], показали, что уравнение (1) наряду с

условием слабой переторможенности (2) доста-

Будем считать, что действие внешней нагрузки

точно корректно описывает эффект суперком-

на организм соответствует отрицательным време-

пенсации и его пороговый характер. Однако с по-

нам. При t = τ = 0 действие нагрузки прекращает-

мощью численных экспериментов затруднитель-

ся и начинается восстановление организма. В со-

но сделать прогнозные оценки в появлении

ответствии с этим для обезразмеренного функци-

БИОФИЗИКА том 67

№ 6

2022

1264

ЗАЙЦЕВ, САЗОНОВ

Для определения α воспользуемся методом

Таблица 1. Подобранные значения параметров

наименьших квадратов [15], согласно которому

1.00

1.05

1.10

минимизируется интеграл

I_min

0.0008

0.0012

0.0018

∞

0.800

0.745

0.690

≡

(U( ) -U

(τ))

dτ



онального сдвига R при τ = 0 имеем следующие

В результате найдем α как функцию декремен-

начальные условия:

та затухания Γ (см. уравнения (6) и (10)). Сначала

запишем α = Γσ. Затем простым перебором для

разных Γ найдем те значения σ, при которых ин-

R(0) = R₀,

(4)

(

)

dτ

τ=0

теграл I принимает минимальные значения I_min.

Соответствующие данные сведены в табл. 1.

При этом величина R₀ связана с начальным

значением P₀ функционального сдвига очевид-

Нетрудно видеть, что эти данные в промежутке

1 ≤ Γ ≤ 1.1 удовлетворяют следующей зависимо-

ным соотношением P₀ = ω₀R₀/√β (см. первое вы-

сти: σ = 0.8 - 1.1(Γ - 1.0) = 0.8[1.0 - 1.375(Γ - 1.0)].

ражение (3)).

Так как параметр σ принимает только положи-

Для аналитического исследования, следуя ра-

тельные значения, предположим, что выражение

боте [12], нелинейное слагаемое в уравнении (1a)

в квадратных скобках представляет собой первые

перепишем в приближенном виде:

два члена разложения экспоненты в ряд Тейлора.

Таким образом, σ = 0.8exp[-1.375(Γ - 1.0)]. Сле-

R³ ≈ Ri2(τ)R,

(5)

довательно, имеем:

где R_i(τ) - решение линеаризованной задачи (1a),

−11(Γ-

α= Γe

^1)/8.

(12)

(2a):

R( ) =

Формальная проверка показывает, что данное

выражение c хорошей точностью выполняется

−Γτ 



(6)

Γ2 -1τ

вплоть до Γ = 1.5.



(

)

(

)





−1



На рис. 2 показаны профили кривых (10), (6) и

Тогда уравнение (1a) примет вид

(11) при равенстве (12). Заметно удовлетворитель-

ное совпадение обеих кривых.

+2ΓR

R R2(τ)R

(7)

Теперь совершим формальный прием: про-

длим четным образом зависимость U(τ) в область

Представляя R как

отрицательных значений τ. В этом случае мы мо-

R = e^-Γτψ(τ)

(8)

жем использовать результаты квантовомеханиче-

ской задачи для потенциала Пешля-Теллера на

и подставляя данное выражение в уравнение (7),

всем интервале значений τ от -∞ до +∞. Также

придем к уравнению

четным образом продлим в область отрицатель-

ных времен зависимость R(τ). Это соответствует

^ψ+

( )ψ =

−1

(9)

начальным условиям (4). Тогда число связанных

(

)

τ²

состояний n + 1 в потенциальной яме Пешля-

Теллера соответствует порядку суперкомпенса-

Уравнение (9) формально совпадает со стаци-

ции n при том, что основному связанному состо-

онарным уравнением Шредингера из квантовой

янию соответствует n = 0. Действительно, соглас-

механики [13] для частицы с энергией E = -(Γ² -

но теории одномерного движения в квантовой

- 1)/2, движущейся в потенциальной яме

механике волновая функция основного состоя-

ния нигде не пересекает ось абсцисс, а одно свя-

U( ) =-

(10)

занное состояние существует при любой, сколь

угодно малой глубине потенциальной ямы. Зна-

где роль координаты играет безразмерное

чит, наличие только одного связанного состоя-

время τ.

ния не приводит к эффекту суперкомпенсации.

Для проявления же эффекта суперкомпенсации

Аппроксимируем U(τ) модифицированным

глубина потенциальной ямы должна быть тако-

потенциалом Пешля-Теллера [14]:

вой, чтобы в ней содержалось не менее двух свя-

занных состояний. Ниже ограничимся рассмот-

U( ) ≈U

( ) =-

sech

(ατ),

(11)

рением суперкомпенсации первого порядка

(n = 1), что соответствует двум связанным состо-

где α - подлежащая определению постоянная.

яниям в рассматриваемой потенциальной яме.

БИОФИЗИКА том 67

№ 6

2022

К ТЕОРИИ ЯВЛЕНИЯ СУПЕРКОМПЕНСАЦИИ

1265

Рис. 3. Зависимость безразмерного порогового значе-

ния R_th функционального сдвига от параметра Γ.

В работе [11] было найдено точное решение за-

дачи (1а), (4) при Γ = 3/

≈ 1.06. Поэтому для те-

стирования формул (12) и (13) удобно рассмот-

реть именно этот случай. Подставив в уравнения

(12) и (13) Γ = 1.06, найдем R_th = 1.47. Это практи-

чески совпадает с результатом, полученным в ра-

боте [11] точными математическими методами.

Данное обстоятельство является серьезным аргу-

Рис. 2. Зависимости «потенциалов» V = 2U/R₀₂ (жир-

ментом в пользу корректности формул (12) и (13).

ные кривые) и V_PT = 2U_PT/R₀₂ (тонкие кривые) от

безразмерного времени τ при Γ = 1.0 (а) и Γ = 1.1 (б).

Преимущество используемого приближенно-

го подхода в сравнении с точным подходом, про-

веденным в работе [11], состоит в том, что полу-

Приняв во внимание уравнение (11), запишем

ченные здесь основные выражения (12) и (13)

с учетом замены R₀ → R_th выражение для соб-

справедливы не только при Γ = 1.06, но и при дру-

ственных значений энергии связанных состоя-

гих значениях Γ из допустимого интервала (2а).

ний в следующем виде [13]:

Полагая, например, Γ

1.0, будем иметь

R_th = 1.13. В работе [12], где для приближенного





решения задачи (1), (2) был использован метод



(

)





Вентцеля-Крамерса-Бриллюэна, было получе-

но значение R_th = 1.15, что очень близко к 1.13. Од-

С другой стороны, как было отмечено выше,

нако хорошее совпадение нашего результата с ре-

E = -(Γ² - 1)/2. Приравнивая друг другу правые

зультатом, найденным в работе [11] с помощью

части данных выражений и полагая в уравнении (15)

точного решения, дает нам основания утвер-

n = 1, будем иметь

ждать, что R_th = 1.13 при Γ = 1.0 уточняет соответ-

1/2

ствующий результат, полученный в работе [12].





(

α+ Γ2 -1

)(

2α+ Γ2 -1

)

(13)





(Γ), по-

На рис. 3 изображена зависимость R_th

При этом α определяется выражением (12), а

строенная на основе уравнений (12) и (13) в ин-

P_th = ω₀R_th/ β.

тервале 1.0 ≤ Γ ≤ 1.1. Как и следовало ожидать, R_th

монотонно возрастает с увеличением диссипа-

Величиной R_th определяется наименьшее

тивного параметра Γ.

(критическое) начальное значение обезразмерен-

ного функционального сдвига, при превышении

Общее решение уравнения (9) может быть

которого возникает явление суперкомпенсации

представлено в виде линейной комбинации чет-

первого порядка.

ной и нечетной собственных функций [14]:



1 3



ψ =

ατ

; sh2ατ

+BshατF

; sh2ατ

(14)

(

)

(

)





БИОФИЗИКА том 67

№ 6

2022

1266

ЗАЙЦЕВ, САЗОНОВ

где F(a,b,c;x) - гипергеометрическая функция аргумента x [15]; A и B - постоянные, определяемые из

начальных условий;













−1

λ =



−1,

= λ-

,

= λ+



(15)

















Приняв во внимание выражения (8) и (4), запишем интересующее нас решение в виде

−Γτ λ



1 3



ατ

ab, ;−sh

ατ

shατF

, ;-sh

ατ

(16)

(

)

(

)





Данное выражение содержит в себе решение (6)

фазы суперкомпенсации. В свою очередь, при-

линейной задачи как частный случай R₀ → 0. Дей-

равняв к нулю производную по τ той же правой

ствительно, как видно из выражений (15), в этом

части, можно в принципе найти безразмерное

время τ_m экстремальной (развитой) стадии фазы

случае λ = 0,

. Учитывая

=-b

=- Γ2 -

1 / (2α

)

суперкомпенсации. Затем с помощью второй

также, что F(-b,b,1/2;-sh²ατ) = ch²ατ, F(-b +

формулы (3) можно найти соответствующие раз-

+ 1/2, b + 1/2, 3/2;-sh²ατ) = sh(2bατ)/(2bshατ), из

мерные времена τ₀ и τ_m (см. рис. 1). Соответству-

решения (16) придем к решению (6). Данное об-

ющие уравнения являются трансцендентными,

стоятельство является существенным аргументом

содержащими гипергеометрические функции.

в пользу решения (15), (16).

Поэтому они не очень удобны для анализа. С дру-

На рис. 4 изображены кривые, построенные на

гой стороны, нетрудно заметить, что при замет-

основе выражений (12), (15), (16) и на основе чис-

ном превышении начальным значением функци-

ленного решения задачи (1a), (4) при Γ = 1.5 и

онального сдвига пороговой величины R_th спра-

R₀ = 3.0. В этом случае вычисление по формуле

ведлива оценка τ₀ ~ 1/Γ. Отсюда, а также из

(13) дает для порогового значения безразмерного

формул (3) имеем t₀ ~ 1/γ. Для оценки интервала

функционального сдвига Rth = 1.44. Налицо

t_m - t₀ заметим, что в фазе суперкомпенсации

вполне удовлетворительное согласие между чис-

ленным экспериментом и аналитическим реше-

значения R_m = √βP_m/ω₀ относительно невелики

нием (16), где постоянные параметры определя-

(см. рис. 1). Следовательно, здесь можно прене-

ются по формулам (12) и (15).

бречь нелинейностью и рассматривать линейное

Приравняв правую часть уравнения (16) к ну-

решение (6) с заменами τ → τ - τ_m и R₀ → R_m [12].

лю, можно найти τ₀ - безразмерное время начала

Таким образом, имеем

−Γ(τ-τ

)





R( ) ≈

Γ2 -1(τ-τ

)

Γ2 -1(τ-τ

)



(

)

(

)





Γ2 -



Рис. 4. Временные зависимости функционального сдвига одного и того же организма, построенные на основе

аналитического решения (12), (15) и (16) (жирная кривая) и на основе численного решения уравнения (1a) при начальных

условиях (4) (тонкая кривая).

БИОФИЗИКА том 67

№ 6

2022

К ТЕОРИИ ЯВЛЕНИЯ СУПЕРКОМПЕНСАЦИИ

1267

Так как при τ = τ₀ сдвиг R обращается в ноль,

ное значение функционального сдвига организма

(сразу после действия внешней нагрузки) должно

отсюда находим

Γ2 -1(τ -τ

)

≈ Γ2 -1/Γ

(

)

превышать пороговую величину, вычисляемую

Так как, согласно условию (2a), значение Γ очень

по формуле (13), где параметр α определяется с

близко к единице, обе части последнего равен-

помощью выражения (12). Пожалуй, это является

ства малы. Приближенно заменяя в этих условиях

основным результатом данной работы.

гиперболический тангенс его аргументом, полу-

Подчеркнем, что использованный здесь при-

чим τ_m - τ₀ ≈ 1/Γ. Отсюда и из формул (3) нахо-

ближенный подход позволяет определять основ-

дим для размерных времен

ные параметры, характеризующие явление супер-

компенсации только первого порядка. Попытка

t_m - t₀ ≈ 1/γ.

(17)

его использования для описания суперкомпенса-

ции высших порядков не привела к успеху. Здесь,

Из рис. 1 и 4 видно, что фаза суперкомпенса-

ции несимметрична относительно времени t_m,

по-видимому, необходимо развивать другие под-

ходы. Понятно, что пороговые значения функци-

соответствующего слабо выраженному локально-

онального сдвига для суперкомпенсации высших

му максимуму. Продолжительность данной фазы

порядков должны значительно превышать соот-

после t_m примерно в три раза превышает проме-

ветствующие пороговые значения в случае эф-

жуток t_m - t₀. Отмерив интервал, равный пример-

фекта первого порядка. Таким образом, при выс-

но 3(t_m - t₀) ≈ 3/γ от значения t_m, придем к прак-

ших порядках суперкомпенсации возрастает роль

тическому окончанию фазы суперкомпенсации.

нелинейности. В этой связи следует заметить, что

использованная в уравнениях (1) и (1а) только ку-

Таким образом, можно сказать, что спустя

бическая нелинейность скорее всего пригодна

время, равное t₀ ≈ 1/γ после начала процесса вос-

лишь для описания эффекта суперкомпенсации

становления наступает фаза суперкомпенсации.

первого порядка. Каковой должна быть нелиней-

Далее, при t = t_m ≈ 2/γ, наступает развитая стадия

ность при описании суперкомпенсации высших

фазы суперкомпенсации, а при t ≈ 5/γ следует

порядков, должны показать будущие исследова-

практическое окончание данной фазы. В резуль-

ния с обязательным анализом эксперименталь-

тате для интервала времени Δt, где организм пре-

ных данных.

бывает в фазе суперкомпенсации, справедлива

приближенная оценка Δt ≈ 4/γ.

Приведем пример на использование получен-

КОНФЛИКТ ИНТЕРЕСОВ

ных здесь результатов. Пусть у тренированного

Авторы заявляют об отсутствии конфликта

спортсмена пульс в покое равен Q_eq = 60 ударов в

интересов.

минуту. При этом параметры его организма сле-

дующие: γ = 1.33·10^-2 c^-1, ω₀ = 1.27·10^-2 с^-1, β =

СОБЛЮДЕНИЕ ЭТИЧЕСКИХ СТАНДАРТОВ

= 1.5·10^-4 [12]. Тогда после использования мас-

Статья не содержит описания исследований,

штабных преобразований (3) получим Γ = 1.047.

выполненных с участием людей или использова-

Подставляя данное значение в формулы (12) и

нием животных в качестве объектов.

(13), найдем R_th = 1.435. Используя далее форму-

лы (3), получим = ω₀R_th/

= 1.49 c^-1 ≈ 89 уд/мин.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Таким образом, для наступления фазы суперком-

пенсации пульс спортсмена сразу после снятия

1. В. В. Розенблат, Проблема утомления (Медицина,

интенсивной нагрузки должен превышать значе-

М., 1975).

ние Q_th = Q_eq + P_th = 149 уд/мин. При этом стадия

2. В. Н. Платонов, Подготовка квалифицированных

суперкомпенсации наступит примерно через

спортсменов (Физкультура и спорт, М., 1986).

t₀ ≈ 1/γ = 75 с и продлится порядка пяти минут.

3. В. П. Луговцев, Восстановительные процессы после

мышечной деятельности (СГИФК, Смоленск,

1988).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

4. Ю. В. Верхошанский, Основы специальной физиче-

Предложенный в настоящей работе подход ос-

ской подготовки спортсменов (Физкультура и

нован на приближенном представлении кубиче-

спорт, М., 1988).

ски нелинейного слагаемого в виде (5). Это поз-

5. В. С. Мищенко, В. А. Мироненко, А. И. Павлик

волило эффективно линеаризовать уравнение

и др., Теория и практика физической культуры,

(1a) и найти приближенное решение (16) уравне-

№ 5, 17 (1990).

ния (1а). В результате удается проследить наступ-

ление фазы суперкомпенсации или ее отсутствие.

6. В. Э. Ээпик и А. А. Виру, Теория и практика физи-

Для реализации данной фазы абсолютное началь-

ческой культуры, № 5, 24 (1990).

БИОФИЗИКА том 67

№ 6

2022

1268

ЗАЙЦЕВ, САЗОНОВ

7. Н. А. Фомин и Ю. Н. Вавилов, Физиологические ос-

12. А. А. Зайцев и С. В. Сазонов, Биофизика, 52 (4),

новы двигательной активности (Физкультура и

727 (2007).

спорт, М., 1991).

13. Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц, Теоретическая физи-

8. А. А. Зайцев и С. В. Сазонов, Биофизика, 42 (2),

ка. Т. 3. Квантовая механика: нерелятивистская

521 (1997).

теория (Наука, М., 1989).

9. А. Найфэ, Введение в методы возмущений (Мир, М.,

1984).

14. З. Флюгге, Задачи по квантовой механике (Мир,

10. Ю. В. Брежнев, А. А. Зайцев и С. В. Сазонов, Био-

М., 1974), т. 1.

физика, 56 (2), 342 (2011).

11. Ю. В. Брежнев и С. В. Сазонов, Журн. эксперим. и

15. А. Анго, Математика для электро- и радиоинжене-

теорет. физики, 146 (5), 1106 (2014).

ров (Наука, М., 1967).

To the Theory of the Supercompensation Phenomenon Based on a Model

of a Nonlinear Overdamped Oscillator

A.A. Zaitsev* and S.V. Sazonov**^, ***^, ****

*Kaliningrad State Technical University, Sovetskii prosp. 1, Kaliningrad, 236000, Russia

**National Research Centre "Kurchatov Institute", pl. akademika Kurchatova 1, Moscow, 123182 Russia

***Moscow Aviation Institute (National Research University), Volokolamskoe shosse 4, Moscow, 125993 Russia

****Lomonosov Moscow State University, Leninskie Gory 1/2, Moscow, 191991 Russia

In this paper, an analytical approach to the description of the supercompensation phenomenon based on a

nonlinear overdamped Duffing oscillator equation is proposed. An expression for the threshold value of a

functional shift of the living body is obtained. An approximate solution is found and analyzed, this solution

describes the temporal dynamics of the functional shift, including a first-order supercompensation phase.

Keywords: supercompensation, functional shift, nonlinearity, nonlinear overdamped oscillator

БИОФИЗИКА том 67

№ 6

2022