БИОФИЗИКА, 2022, том 67, № 6, с. 1288-1292

БИОФИЗИКА CЛОЖНЫX CИCТЕМ

УДК 573.7.017.6+519.711.3

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ МЕТОДОВ ОЦЕНКИ СКОРОСТИ

СТАРЕНИЯ ПОПУЛЯЦИЙ

*Федеральный исследовательский центр «Информатика и управление» РАН,

ул. Вавилова, 44/2, Москва, 119333, Россия

**Первый Московский государственный медицинский университет имени И.М. Сеченова МЗ РФ

(Сеченовский университет), ул. Трубецкая, 8/2, Москва, 119991, Россия

^#E-mail: dontsovvi@mail.ru

Поступила в редакцию 12.04.2022 г.

После доработки 13.09.2022 г.

Принята к публикации 14.09.2022 г.

Сущностью старения является снижение общей жизнеспособности с возрастом, являющейся

основной характеристикой личностного потенциала человека. Жизнеспособность (v) определяется

как вероятность остаться живым в течение года, смертность (m) определяется как вероятность

умереть в течение года и является соответственно противоположным по значению, но адекватным

по смыслу показателем, определяющим степень постарения организма. Для количественного

анализа старения давно и широко используется формула Гомпертца-Мейкхама (традиционный

подход), достаточно хорошо описывающая феномен экспоненциального роста смертности с

возрастом. Другим подходом к оценке процесса старения является вычисление скорости прироста

интенсивности смертности с возрастом (d(m)), характеризующей скорость старения. Целью работы

является сравнение информативности, точности и удобства этих подходов для решения задачи

оценки скорости старения человека на основе анализа возрастной смертности человеческой

популяции. Показано, что показатель d(m) является наиболее точным, простым для вычисления,

математически и биологически адекватным показателем скорости старения. Его использование

позволяет оценить исторические изменения характеристик старения человеческой популяции:

постоянство скорости старения в истории и снижение с середины XX века для средних и старших

возрастов, а также сохранение пониженной скорости старения для долгожителей.

Ключевые слова: старение, скорость старения, формула Гомпертца-Мейкхама, приращение интенсив-

ности смертности, старение в истории.

DOI: 10.31857/S0006302922060278, EDN: LNACXH

Увеличение доли пожилых в популяции во

процесса старения является вычисление скоро-

всех развитых странах мира является важнейшей

сти прироста уровня смертности с возрастом -

демографической особенностью настоящего вре-

d(m), непосредственно характеризующей ско-

мени и определяет повышение интереса к про-

рость старения.

блеме старения [1-4]. При этом одним из важных

вопросов является количественное измерение

Почти 200 лет назад Б. Гомпертц (B. Gompertz)

скорости старения.

показал, что изменение смертности с возрастом

хорошо описывается экспоненциальной функци-

Сущностью старения является снижение об-

щей жизнеспособности с возрастом, являющейся

ей [5], и с тех пор до настоящего времени формула

основной характеристикой личностного потен-

Гомпертца с поправкой Мейкхама (W. M. Make-

циала человека.

ham) характеризующей смертность от внешних

причин, широко используется для описания воз-

Жизнеспособность (v) определяется как веро-

растной динамики смертности. Формула Гом-

ятность остаться живым в течение года, смерт-

ность (m) определяется как вероятность умереть в

пертца-Мейкхама, математически моделирую-

течение года и является, соответственно, проти-

щая изменение смертности с возрастом, имеет

воположным по значению, но адекватным по

следующий вид:

смыслу показателем определяющим степень по-

старения организма. Другим подходом к оценке

m(t) = R₀·exp(k·t) + A,

1288

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ МЕТОДОВ

1289

где m(t) - интенсивность смертности для возраста

ся за константу (что не так даже теоретически).

t, k - показатель экспоненты; A и R₀ - константы,

Прямую оценку скорости старения можно полу-

не зависящие от возраста. Константе R₀ часто

чить через вычисление приращения интенсивно-

сти смертности - d(m) по таблицам выживаемо-

придают значение «начального уровня старения»

сти стандартных когорт.

[6].

Проведем далее теоретическое сравнение

Целью работы было сравнение двух вышеупо-

удобства, точности, надежности и биологической

мянутых методов оценки скорости старения и их

сущности обоих методов оценки скорости старе-

соответствия сущности процесса старения.

ния.

1. Вычисление d(m) на практике гораздо проще

МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ

и точнее, чем вычисление коэффициентов фор-

В геронтологии принято измерять в качестве

мулы Гомпертца-Мейкхама.

показателя старения интенсивность смертности,

2. Показатель d(m) отражает скорость старения

для чего существуют таблицы выживаемости

для конкретного возраста, а не средние значения

стандартной когорты с уже вычисленными стати-

для широкого возрастного диапазона, которые

стическими показателями, среди которых есть и

дает формула Гомпертца-Мейкхама, так как яв-

величина интенсивности смертности - m, кото-

ляется по существу вычисления именно парамет-

рая характеризует уровень (степень) постарения

ром скорости.

членов когорты данного возраста [6, 7]. На основе

3. Показатель d(m) непосредственно дает

таких таблиц можно простейшим способом оце-

оценку скорости старения, тогда как график Гом-

нить скорость старения d(m) - вычислением раз-

пертца-Мейкхама показывает абсолютные зна-

ности соседних значений m, деленной на шаг по

чения m, прямо не указывающие на скорость ста-

возрасту, с которым составлены таблицы (обычно

рения, и требует проведения линий наклона гра-

это один год).

фика.

Для сравнения методов оценки скорости ста-

4. Показатель d(m) имеет единственный био-

рения использовали таблицы выживаемости

логический смысл - скорость старения. Формула

стандартной когорты (The Human Mortality Data-

Гомпертца-Мейкхама включает параметры, пря-

base, http://www.mortality.org) с уже вычисленны-

мо не связанные с процессом старения - не зави-

ми статистическими показателями, среди кото-

симый от старения «внешнесредовой» параметр A

рых - величина интенсивности смертности - m

и коэффициент R₀ с не вполне понятным биоло-

[8]; для вычисления значений формулы Гомперт-

гическим смыслом, который туманно называют

ца-Мейкхама использовали общепринятый ме-

«начальным уровнем старения». Единственный

тод, описанный в работе [6].

коэффициент, прямо отражающий процесс ста-

рения - это коэффициент экспоненты k, однако

РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ

небольшие изменения этого коэффициента ведут

к существенным изменениям скорости старения

Анализ математических особенностей фор-

с возрастом, что в свою очередь приводит к низ-

мул, описывающих старение, показывает следую-

кой точности экспериментальной оценки разли-

щее.

чий в скорости старения, например, для разных

В формуле Гомпертца-Мейкхама вычисляют-

стран. Наличие коэффициента A в формуле Гом-

ся абсолютные значения интенсивности смертно-

пертца-Мейкхама ведет к резкому изменению

сти m для определенного возраста, поэтому для

формы графика при больших значениях A осо-

сравнения скорости старения различных популя-

бенно в молодом возрасте (рис. 1а), что ведет к от-

ций, усредненной по периоду жизни человека,

клонению графика от прямой в полулогарифми-

приходится прибегать к сравнению наклонов кри-

ческих координатах для младших возрастов. Для

вых зависимостей m от возраста, что, в частности,

возрастов долгожителей, ввиду очень высокой

предполагает равномерность изменения показа-

смертности в этих возрастах, практически цели-

теля в течение всего периода жизни. О скорости

ком зависимой от процесса старения, значения

старении отдельной популяции часто судят про-

(m - A) и m практически совпадают. Все эти вы-

сто по общему виду данного графика.

шеупомянутые эффекты искажают основной за-

Также для вычисления биологической (опре-

кон старения (экспоненциальный рост смертно-

деляющейся внутренними процессами старения

сти) в молодых и старческих возрастах и адекват-

организма) компоненты старения по формуле Гом-

но отражают его лишь для средних возрастов.

пертца-Мейкхама используют показатель m - A -

Между тем, показатель d(m) сохраняет линей-

разность между общей интенсивностью смертно-

ность на гораздо большем возрастном периоде,

сти и внешнесредовой компонентой смертности,

фактически, в течение всего периода старения,

которая, как полагают, не зависит от возраста, а

следующего за периодом роста и развития орга-

только от внешних условий жизни, и принимает-

низма человека.

БИОФИЗИКА том 67

№ 6

2022

1290

ДОНЦОВ и др.

ца-Мейкхама основана на усредненных значе-

ниях. Это ведет к тому, что модельный график,

построенный по вычисленным коэффициентам

Гомпертца-Мейкхама, не совпадает с реальным

графиком m в начальной и конечной областях

возрастов.

7. Из общих соображений достаточно ясно, что

принимаемый за константу коэффициент A фор-

мулы Гомпертца-Мейкхама будет не одинаков

для разных возрастов, так как факторы среды

обитания для молодых и пожилых очевидно раз-

личаются, также, как и реакция организма на эти

факторы, так как сущность процесса старения -

это существенное повышение уязвимости орга-

низма ко всем воздействиям с возрастом. Для по-

казателя d(m) постоянная А для ближайших значе-

ний возраста практически одинакова, поэтому

значение параметра А действительно не влияет на

величину скорости старения.

8. Показатель d(m) меньше по абсолютной ве-

личине и размаху, чем m (на порядок и более), что

делает его более точным, а график более четким,

чувствительным и наглядным, отражающим не-

большие изменения скорости старения в разные

возрастные периоды и при сравнении разных по-

пуляций и исторических эпох. Следствием этого,

однако, является чувствительность этого показа-

теля к случайному шуму, что делает график d(m)

не гладким, как график m, а зубчатым, если ис-

пользовать расчеты для каждого года. Этого,

впрочем, легко избежать, делая шаг в три-пять

лет или путем сглаживания графика по трем-пяти

точкам.

9. Как можно видеть (рис. 1б), показатель d(m)

Рис. 1. Показатели интенсивности смертности и ско-

выраженно и наглядно показывает изменения

рости старения на примере Франции: (а) - по дан-

скорости старения в среднем возрасте, тогда как

ным 1930 г., (б) - по данным 2010 г. По оси абсцисс -

для графиков m и (m - A) это не улавливаемые на

возраст, по оси ординат - показатели (логарифмиче-

глаз изменения. Также график d(m) показывает

ская шкала). Представлены графики истинной ин-

сохранение феномена снижения скорости старе-

тенсивности смертности m (жирная линия), модель-

ния для долгожителей с середины прошлого века

ной кривой по формуле Гомпертца-Мейкхама (тон-

кая линия), истинной смертности без внешнего

до настоящего времени, тогда как для m и (m - A)

компонента (m-A) (точечная линия), приращения

мы видим реверсию этого процесса - кажущееся

интенсивности смертности d(m) за один год (сглаже-

ускорение старения для долгожителей. Эту ревер-

но по трем точкам, нижняя линия). Пунктир на рис.

сию можно объяснить быстрым увеличением

(б) - теоретическая прямая для наглядного отображе-

средней продолжительности жизни, что чисто

ния отклонения (снижения) скорости старения от

статистически перемещает в область долгожите-

прямой в средне-старших возрастах. Расчет показате-

лей все большее число лиц с обычной скоростью

лей формулы Гомпертца-Мейкхама - по Гаврилову

старения.

и др. [6].

10. Наконец, если сравнить угол наклона для

графиков m и (m - A), для прошлого (50-70 лет

5. Наличие нескольких коэффициентов в фор-

назад) и настоящего времени, то часто оказывает-

муле Гомпертца-Мейкхама ведет к тому, что при

ся, что наклон кривых увеличился в настоящем

вычислении они оказываются связаны между со-

времени, что формально говорит об увеличении

бой, что резко затрудняет сравнение скорости

скорости старения! Однако все геронтологиче-

старения нескольких популяций или в разные ис-

ские исследования показывают, что 70-летние

торические периоды.

люди в настоящее время по всем физиологиче-

6. Если показатель d(m) отражает скорость ста-

ским показателям, социальной активности, об-

рения для каждого возраста, то формула Гомперт-

щему виду, самочувствию и статистике смертно-

БИОФИЗИКА том 67

№ 6

2022

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ МЕТОДОВ

1291

сти соответствуют 50-60-летним в более ранние

сятков стран и в течение нескольких веков был

исторические периоды, то есть, имеет место не-

дан нами ранее [7] и не является темой статьи; все

сомненное сравнительное омоложение лиц сред-

особенности изменений скорости старения для

него и старшего возраста, что, в свою очередь, мо-

разных стран, в разное время, в разном возрасте и

жет быть достигнуто только за счет снижения

их вероятные причины - темы обширных статей,

скорости старения. Изменение угла наклона гра-

написанных нами ранее [4, 7], там же подробно

фиков m и (m - A) оказывается неизбежным при

обсуждены особенности поведения отдельных

очень значительных изменениях средней продол-

компонентов показателей старения в разном воз-

жительности жизни в истории и очень незначи-

расте в разные исторические эпохи [7].

тельном изменении максимальной продолжи-

тельности жизни - возраста полного вымирания

стандартной когорты. Это не удивительно, так

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

как на конечных этапах жизни смертность растет

В работе представлены результаты сравни-

так быстро, что изменения скорости старения на

тельного анализа двух подходов к количественно-

более ранних возрастных периодах почти не отра-

му описанию скорости старения на популяцион-

жаются на скорости старения конечных этапов

ном уровне - с помощью уравнения Гомпертца-

жизни - конечные точки графика не могут сдви-

Мейкхама для интенсивности смертности m (тра-

гаться значительно ввиду очень высокого уровня

диционный подход) и с помощью вычисления

смертности пожилых. И наоборот, резкие изме-

скорости старения по данным разности интен-

нения смертности в молодом и среднем возрастах

сивности смертности для близлежащих возрас-

существенно снижают начальные значения гра-

тов - d(m) по таблицам дожития. Показано, что

фика, давая видимость резкого изменения накло-

показатель d(m) является более точным, простым

на графика. К тому же, как отмечалось выше, ме-

для вычисления, математически и биологически

тод определения наклона графика предполагает

более адекватным показателем скорости старе-

его линейность в течение всего возрастного пери-

ния, отражающим скорость старения в конкрет-

ода, что явно не так. Всего этого лишен график

ном возрасте и позволяющим исследовать исто-

показателя d(m), который адекватно показывает

рические закономерности изменения скорости

скорость старения и его изменения именно для

старения человеческой популяции. Использова-

данного возраста и не зависит от средних значе-

ние этого показателя позволило обнаружить по-

ний и константных коэффициентов, как в фор-

стоянство скорости старения в истории и сниже-

муле Гомпертца-Мейкхама.

ние с середины XX века для средних и старших

Использование показателя d(m) позволяет на-

возрастов, а также сохранение пониженной ско-

глядно и строго описывать особенности старе-

рости старения для долгожителей [4].

ния, в частности исторические изменения скоро-

сти старения - скорости старения в истории и

ИСТОЧНИКИ ФИНАНСИРОВАНИЯ

снижение скорости старения с середины XX века

для средне-старших возрастов, а также сохране-

Исследование выполнено при частичной фи-

ние пониженной скорости старения для долгожи-

нансовой поддержке РФФИ в рамках научного

телей [4, 7].

проекта № 19-29-01046 «Разработка базы знаний,

моделей и методов для оценки и управления здо-

Формула d(m) является, по существу вычисле-

ровьем и трудоспособностью как важнейшими

ния (разность значений, деленная на время),

составляющими индивидуального личностного

именно параметром скорости, поэтому адекватна

потенциала», а также при частичной финансовой

именно скорости старения, основная роль ее -

анализ уже имеющегося статистического матери-

поддержке НТИ ДК «Хелснет» в рамках научного

проекта «Интеллектуальная цифровая платформа

ала. Предсказательная сила показателя не при-

персонализированного управления качеством

сутствует, хотя она может быть экстраполирована

жизни «Health Heuristics»».

из имеющихся ранее значений d(m); вычислять

же скорость старения по данным формулы Гом-

пертца-Мейкхама не представляется результа-

КОНФЛИКТ ИНТЕРЕСОВ

тивным, так как график Гомпертца-Мейкхама

уже сглажен, и все особенности скорости старе-

Авторы заявляют об отсутствии конфликта

ния в возрастном аспекте уже удалены.

интересов.

Данная статья является, по существу, «пись-

мом в редакцию» и написана в ответ на пожела-

СОБЛЮДЕНИЕ ЭТИЧЕСКИХ СТАНДАРТОВ

ние рецензента нашей предыдущей работы [7]

подробнее сравнить и пояснить два метода вы-

Настоящая статья не содержит каких-либо ис-

числения скорости старения. Подробный анализ

следований с участием людей или животных в ка-

и сравнение методов на примере нескольких де-

честве объектов исследований.

БИОФИЗИКА том 67

№ 6

2022

1292

ДОНЦОВ и др.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

5. B. Gompertz, Philosophical Transactions of the Royal

Society of London A,

115,

513

(1825). DOI:

1. L. A. Gavrilov, V. N. Krut'ko, and N. S. Gavrilova,

10.1098/rstl.1825.0026

Gerontology, 63, 524 (2017). DOI: 10.1159/000477965

6. L. A. Gavrilov and N. S. Gavrilova, The Biology of Life

2. K. G. Kinsella, J. Am. Geriatr. Soc., 53, 299 (2005).

Span: A Quantitative Approach (Harwood Academic

DOI: 10.1111/j.1532-5415.2005.53494.x

Publisher, NY, 1991).

3. OECD Ageing and Employment Policies,

7. V. N. Krut’ko and V. I. Dontsov, Biophysics, 65, 165

http://www.oecd.org/employment/ageingandemploy-

(2020). DOI: 10.1134/S0006350920010108

mentpolicies.htm. Available 01.03.2020.

8. The Human Mortality Database, http://www.mortali-

4. V. I. Dontsov, Biol. Bull., 48,

103

(2021). DOI:

ty.org. Last modified: Jun-2013 Year. Available

10.1134/S1062359021020047

25.01.2022.

Comparative Analysis of Methods for Estimating the Rate of Population Aging

V.I. Dontsov*, V.N. Krut’ko*, and N.A. Yermakova**

*Federal Research Center “Computer Science and Control”, Russian Academy of Sciences,

ul. Vavilova 44/2, Moscow, 119333 Russia

**Sechenov First Moscow State Medical University, Ministry of Health of the Russian Federation (Sechenov University),

Trubetskaya ul. 8/2, Moscow, 119991 Russia

The essence of aging is a decline in total vitality with age, being basic personal characteristics of human po-

tential. Viability v is defined as the probability of surviving through one year. Mortality m is defined as the

probability of dying within a year and therefore has an opposite meaning to the term viability, but can be an

adequate index to estimate the degree of aging of the organism. For the quantitative analysis of aging, a

Gompertz-Makeham model (a traditional approach) has been widely used for a long time in describing the

phenomenon of exponential increase in mortality rate with age rather well. The other approach to assessing

the aging process is to calculate the rate of increment to the mortality rate with age (d(m)), which character-

izes the rate of the aging process. The aim of this work is to compare the informativeness, accuracy and con-

venience of these approaches to solve the problem of estimating the rate of human aging based on the analysis

of age-specific mortality rate in age group in human population. It is shown that the indicator d(m) is the most

accurate, easy to calculate, mathematically and biologically adequate indicator of the aging rate. This indica-

tor is seen as important to estimate historical changes in the characteristics of the aging of the human popu-

lation: constancy in the aging rate in history and decline in the aging rate since the middle of the XX century

for middle and older ages, as well as the preservation of a reduced aging rate for centenarians.

Keywords: aging, aging rate, Gompertz-Makeham model, increment to mortality intensity, aging in history

БИОФИЗИКА том 67

№ 6

2022